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Funções IIIFunções ExponenciaisFunções logarítmicas
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Funções Exponenciais
• Outra opção de tratamento de dados quando a técnica das diferenças finita falha é considerar a função exponencial
• Isso é particularmente útil em fenômenos de reprodução e crescimento.
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Funções Exponenciais
• Considere os dados da tabela a seguir como sendo a quantidade de bactérias inseridas em uma cultura.
• Sendo x as gerações ( reprodução)
• e ƒ(x) a quantidade de bactérias ( aos milhares)
• Veja a tabela a seguir...
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Funções Exponenciais
!P/!x !P/!x
x(gerações) P(x)(milhares) 1º Variação 2º Variação
0 132
1 158,4 26,4
2 190,08 31,68 5,28
3 228,096 38,016 6,336
4 273,715 45,619 7,603
5 328,46 54,745 9,126
6 394,15 65,69 10,945
Dividindo a população decada geração pela anterior...
População da geração 1
População da geração 0=
158,4
132= 1,2
População da geração 2
População da geração 1=
190,08
158,4= 1,2
Efetuando os mesmos cálculos
para as outras gerações
chegamos ao mesmo numero 1,2
Podemos escrever a quantidade de bactérias em função das gerações
como uma função exponencial
P(x) = 132.(1,2)x
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Funções Exponenciais
P(x) = 132.(1,2)x
Quando x =0 , a população = 132.(1,2)0= 132
Quando x =1 , a população = 132.(1,2)1= 158, 4
Quando x =2 , a população = 132.(1,2)2= 190,08
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Funções Exponenciais
• Essa é uma função exponencial de base 1,2 , assim chamada por que x está presente no expoente.
• A base representa um fator de crescimento pelo qual a população muda a cada valor
• Se quiséssemos medir o crescimento em termos percentuais. %=1 - 1,2 =0,2 . Ou seja 20% de crescimento a cada geração.
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Funções exponenciais
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Propriedades e Definições de exponenciais
a0= 1 a-1
=1
a, tem se que a-x
=1
ax
a
1
2 = a a1
3 = a3 tem-se então que a
1
n = an
Propriedade dos expoentes
ax .at = ax+ t
ax
at= a
x! t
(ax )t = ax.t
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Exemplo de questões com exponenciais
Considere uma máquina agrícola que tenha uma depreciação de 25% ao ano . Se seu valor de compra foi de R$80.000, quanto custará daqui a 4 anos? Quanto tempo em anos o valor da maquina vai atingir a metade do valor de compra??
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Exemplo de questões com exponenciais
• Taxa de depreciação=25% = 0,25
• Fator de decrescimento=1- 0,25=0,75
• ƒ(x) = 80.000 (0,75)t
• ƒ(4) = 80.000 (0,75)4
• f(4)=25.313
• ...
Quanto tempo em anos o valor da maquina vai
atingir a metade do valor de compra??
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Exemplo de questões com exponenciais
ƒ(x)
0
10000
20000
30000
40000
50000
60000
70000
80000
90000
1 2 3 4 5 6 7 8
ƒ(x)
anos ƒ(x)
0 80000
1 60000
2 45000
3 33750
4 25312,5
5 18984,375
6 14238,28125
7 10678,71094
Quanto tempo em anos o valor da maquina vai
atingir a metade do valor de compra??
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Exemplo 2 de questões com exponenciais
• Considerando P=ƒ(t) uma função exponencial de t. Sendo ƒ(5)=8,1509 e ƒ(5,4)=8,6286, encontre a base , determine sua taxa de crescimento e calcule ƒ(6).
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Exemplo 2 de questões com exponenciais
como P= Po.ax, então:
P(5)= Po.a5 e P(5,4)= Po.a
5,4
Para achar a base devemos dividir P(5,4) por P(5)
P(5,4)
P(5)=8,6286
8,1509=Po.a
5,4
Po.a5... a
0,4=8,6286
8,1509
15,3% de Crescimento!!!!
a0,4
=8,6286
8,1509
!"#
$%&
a0,4( )
1
0,4 =8,6286
8,1509
!"#
$%&
1
0,4
a =8,6286
8,1509
!"#
$%&
2,5
a = 1,153020235
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Exemplo 2 de questões com exponenciais
Vamos agora determinar o valor de P(6)...
Para encontrar Po , utilizamos um dos valores previamente
tabelados
P(5)=Po(1.153)5= 8.1509 Po=
8.1509
2.03772= 3.9999 = 4
Logo para acharmos o P(6)...
P(6)=4.(1,153)6= 9,398008535
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Funções Logarítmicas
• Em termos simples o logaritmo é o expoente que uma dada base deve ter para produzir certa potência
• Por exemplo: 34=81 , portanto log3 81=4
• o logaritmo de 81 na base 3 é 4, pois 4 é o expoente que a base 3 deve usar para resultar 81.
• Logaritmos são úteis para se resolver equações cujos expoentes são desconhecidos
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Funções Logarítmicas
• A função logarítmica é dada por
y = ƒ(x) = log10 x
A função inversa é uma função exponencial g(y)=10y
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Propriedade dos logaritmos
log10 = 1
log (a.b)= log a + log b
log(a
b) = loga ! logb
logap= p.loga
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Exemplo do uso de Logaritmos
Considere uma máquina agrícola que tenha uma depreciação de 25% ao ano . Se seu valor de compra foi de R$80.000, quanto custará daqui a 4 anos? Quanto tempo em anos o valor da maquina vai atingir a metade do valor de compra??
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Exemplo do uso de Logaritmos
• Taxa de depreciação=25% = 0,25
• Fator de decrescimento=1- 0,25=0,75
• ƒ(x) = 80.000 (0,75)t
anos ƒ(x)
0 80000
1 60000
2 45000
3 33750
4 25312,5
5 18984,375
6 14238,28125
7 10678,71094
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Exemplo do uso de Logaritmos
Pegando a função exponencial original ...
ƒ(x)=80000.(0.75)t
substituindo ƒ(x) = 40 000
40 000= 80 000 .(0.75)t... 40 000
80 000= (0.75)
t
0.5 = (0.75)t ... Aplicando-se o log de 10 em ambos os lados
log10 0.5 = log10 (0.75)t
log10 0.5 = t.log10 (0.75)t=
log10 0.5
log10 (0.75)t = 2.409
anos ƒ(x)
0 80000
1 60000
2 45000
3 33750
4 25312,5
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Exercício de logaritmos
Considerando a função P(x) = 132.(1.2)t como a função que
descreve o crescimento populacional de bacterias em uma cultura
Determine o tempo necessario para que a população dobre em
relação ao tamanho original.
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Exercício de logaritmos
P(x) = 2Po P(x) = Po.(1.2)t
2Po = Po(1.2)t
log2 = log1.2t
log2 = t.log1.2
t =log2
log1.2=0,30102999566
0,07918124605= 3,80178401692
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Exercício de logaritmos
Resolva as seguintes equações em t, usando
logaritmos:
a)2t=5 b)2.3=1.1
t c)a=b
t
d)2.02(1.15)t= 3.18(2.01)
t
e)Pat= Qb
t
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