Função ExponEncialFunção ExponEncialConta a lenda que um rei solicitou aos seus súditos que lhe

inventassem um novo jogo, a fim de diminuir o seu tédio. O melhor jogo teria direito a realizar qualquer desejo.

Um dos seus súditos inventou, então, o jogo de xadrez.

O astuto inventor pediu então que as 64 casas do tabuleiro do jogo de xadrez fossem preenchidas com moedas de ouro, seguindo a seguinte condição: na primeira casa seria colocada uma moeda e em cada casa seguinte seria colocado o dobro de moedas que havia na casa anterior.

Tal foi sua surpresa quando os tesoureiros do reino lhe apresentaram a suposta conta, pois apenas na última casa o total de moedas era de:

O rei estava falido!

 

aplicaçõEsaplicaçõEsAs funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras.Exemplos de aplicação da teoria das exponenciais:

Lei do resfriamento dos corpos Curvas de aprendizagem Desintegração radioativa Crescimento populacional Matemática financeira

DEFiniçãoDEFiniçãoChama-se função exponencial de base a à correspondência

f: lR lR+

x ax , com a > 0 e a ≠ 1

Note que, a variável da função é o expoente. Se a = 1, a função é constante.

Exponencial crescente: base a > 1 Exponencial decrescente: base 0 < a < 1

GráFicos

ObservaçõesObservações A função exponencial é definida sómente para base a positiva, uma vez que se a é

negativo teríamos valores da imagem ax não pertencente ao conjunto dos números reais. Por exemplo para a = -2 e x = 1/2, ax é igual à raiz quadrada de -2, contradizendo a definição da função exponencial;

A base também tem que ser diferente de 1 porque para todo x real teríamos como imagem, sempre, o valor 1, uma vez que 1 elevado a x é igual a 1 para qualquer que seja o x. Em outras palavras a imagem seria o conjunto unitário {1}, o que também contradiz a definição. E a não pode ser zero pois teríamos uma indeterminação para x = 0;

A função obtida acima é denominada de função constante, f(x) = c, x real, onde c = 1;

Qualquer que seja a função exponencial, temos que: para x = 0 => f(0) = a0 = 1. Ou seja, o par ordenado (0, 1) pertence à função para todo a no conjunto dos reais positivos diferente de 1. Isto significa que o gráfico cartesiano da função exponencial corta o eixo y no ponto de ordenada 1;

A função exponencial é crescente se, e somente se, a > 1.

A função exponencial é decrescente se, e somente se, 0 < a < 1. A função exponencial é injetora e sobrejetora, ou seja, ela é bijetora.

Exemplos:

a COnstante a COnstante ee de euler de euler Existe uma importantíssima constante matemática definida por:

e = exp(1)

O número e é um número irracional e positivo. Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard

Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número. O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:

e = 2,718281828459045235360287471352662497757

Conexão entre o número e e a função exponencial

Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a

potência de base e com expoente x, isto é:

ex = exp(x)

Equação ExponEncialEquação ExponEncial

Para termos uma equação devemos ter uma igualdade ou seja, alguma coisa igualada à outra.

E para ser equação exponencial devemos ter uma igualdade que tenha uma variável (normalmente X) colocada no expoente (potência). Para resolvê-las utilizamos métodos que se valem das propriedades de potenciação

ExEmplosExEmplos

O nosso objetivo é sempre o mesmo, igualar as bases. Vamos fatorar ambos os lados.

Temos agora que utilizar as propriedade de potenciação

Pronto, estamos com as bases iguais. Vamos cortar e resolver a equação do primeiro grau novamente.

2x-2=5 Aplicando as propriedades operatórias.

2x=5+2 2x=7 x=7/2 Esta é a solução

Novamente começamos fatorando.

Para igualar as bases, vamos aplicar as propriedades de potenciação e radiciação.

Com as bases iguais vamos operar os expoentes

Esta é a nossa solução x=4

Precisamos igualar as bases mas nenhum dos lados da igualdade pode ser fatorado. Iremos usar uma propriedade que aprendemos na lição passada: qualquer número elevado na potência zero vale 1 (Xo=1). Então o lado direito da igualdade pode ser 3o.

Agora com as bases igualadas vamos corta-las.

x2-x-6=0 Agora é uma equação do segundo grau. Aplicando Báscara achamos suas raizes.

{-2 e 3} Esta é a solução, "x" pode ser qualquer um destes valores.

Inequação Inequação exponencIalexponencIal

É uma inequação porque não é uma equação (hehehe, até parece brincadeira), ou seja, pois na expressão não há uma IGUALDADE (=).

É "Exponencial" pois em um dos termos da inequação há um expoente com uma incógnita, ou também chamada, variável (normalmente é "x").

Os sinais de desigualdades são:

Símbolo Significado

> maior

< menor

maior ou igual

menor ou igual

observaçãoobservaçãoSempre que tivermos uma base maior que 1 “(base>1)”, devemos conservar o sinal da desigualdade quando "cortar" as bases.

Sempre que tivermos uma base menor que 1 e maior que 0 “(0<base<1)”, devemos inverter o sinal da desigualdade quando "cortar" as bases.

exemplosexemplos

2x < 83 Como em uma equação, vamos fatorar ambos os lados:

2x < (23)3 Aplicando as propriedades de potenciação

2x < 29 Pronto, com as bases iguais podemos cortá-las e trabalhar somente com os expoentes.

x < 9 Gran finale!! Esta é a resposta

Já igualadas as bases, vamos cortá-las. Mas com o cuidade de inverter a desigualdade.

4x + 5 2x + 3 Agora é só resolver.

4x - 2x 3 - 5 2x -2 x -1

Agora sim esta é a resposta certa!