Teorema da Função Inversa e da Função Implicita

Universidade Estadual de Maring - Departamento de Matemtica Clculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivncia c Publicao eletrnica do KIT

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O Teorema da Funo Inversa e da Funo ImplcitaProf. Doherty AndradeUniversidade Estadual de Maring Departamento de Matemtica - 87020-900 Maring-PR, Brazil

Sumrio

1. Teorema da Funo Inversa 2. Teorema da Funo Implcita1. Teorema da Funo Inversa

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O Teorema da funo Inversa um importante resultado que trata da possibilidade de inverter uma funo, mesmo que localmente. O teorema tambm fala das propriedades de diferenciabilidade da inversa. O Teorema da Funo Inversa diz basicamente que sef (x0 ) invertvel, ento f invertvel numa vizinhana de x0 .

Este critrio usa o determinante da matriz Jacobiana da funo, como veremos mais adiante. Antes de enunciarmos este importante teorema vamos precisar de alguns conceitos.

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Prof. Doherty Andrade

Denio 1 Seja U Rm um aberto. Dizemos que f : U fi , xj i = 1, 2, . . . , n e j = 1, 2, . . . , m existem e so contnuas em U . Rm Rn de classe C 1 em U se as derivadas parciais

Denio 2 Sejam U e V abertos do Rn e f : U V umabijeo. Dizemos que f um difeomorsmo se f e f 1 so diferenciveis. Dizemos que f um difeomorsmo de classe C 1 se f e f 1 so de classe C 1 .Dois fatos bvios: A composta de difeormorsmos um difeomorsmo. A inversa de um difeomorsmo um difeomorsmo.

Notemos que se f : U V um difeomorsmo, ento f (x) :Rn Rn , um isomorsmo, para todo x U e [f (x)]1

= f 1 (f (x)).

De fato, IdU (x) = f 1 f (x) segue queh = (f 1 ) (f (x)).f (x)h,

isto ,[f (x)]1

= f 1 (f (x)).

Denio 3 Seja U Rn um aberto e f : U Rn uma aplicao. Dizemos que f um difeomorsmo local se para cada x U , existe um aberto Vxx e um aberto Wf (x) tal que f : Vx Wf (x)

seja um difeomorsmo. Um difeomorsmo local de classe C 1 quando f : Vx Wf (x) for de classe c1 para cada x U.

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Para a demonstrao do Teorema da funo inversa vamos precisar do seguinte teorema sobre ponto xo. o teorema do ponto xo de Banach ou o princpio da contrao. Sejam (M, d) e(N, d1 ) dois espaos mtricos. Uma aplicao f : M N dita

uma contrao se existe 0 k < 1 tal qued1 (f (x), f (y)) kd(x, y), x, y M.

fcil ver que toda contrao uniformemente contnua.

Teorema 4 Sejam (M, d) um espao mtrico completo e f : M M uma contrao. Ento, f possui um nico ponto xo em M.

Alm disso, dado x0 M a sequncia denida porx1 = f (x0 ), xn+1 = f (xn ), n = 1, 2, . . .

uma sequncia convergente e limn xn = a ponto xo de f.

Demonstrao: se a sequncia (xn) denida acima convergepara a M, ento como f contnua temosf (a) = f (lim xn ) = lim f (xn ) = lim xn+1 = a.

Provando que a ponto xo de f. Se f tem dois pontos xos a e b, ento temosd(a, b) = d(f (a), f (b)) kd(a, b),

o que absurdo a menos que a = b. Logo, a = b. Resta provar que a sequncia (xn ) converge. Notemos qued(x1 , x2 ) kd(x0 , x1 ) e que em geral d(xn+1 , xn ) k n d(x1 , x0 ), n

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N. Segue que para n, p N temos d(xn , xn+p ) d(xn , xn+1 ) + + d(xn+p1 , xn+p ) [k n + k n+1 + + k n+p1 ]d(x0 , x1 ) kn d(x0 , x1 ). 1k

Como lim k n = 0 segue que a sequncia de Cauchy e portanto convergente, o que completa a prova do teorema. 2

Exemplo 5

Seja f : [a, b] [a, b] uma aplicao contnua com derivada tal que supx[a,b] |f (x)| < 1. Ento, f uma contrao. Este resultado decorre da seguinte desiguadade|f (y) f (x)| |y x| sup |f (c)| k|y x|.c(a,b)

Vamos precisar tambm dos seguinte fatos:

Fato 1: Desigualdade do valor mdio: Seja U aberto conexodo Rn e f : U Rn diferencivel tal que f (x) M, x M , entof (b) f (a) M b a , a, b U.

Fato 2: Continuidade da Aplicao matriz Inversa: Se A invertvel e B L(Rn ; Rn ) tal que B A A1 < 1, entoB invertvel. A aplicao A A1 contnua para todo A.

Teorema 6 (Funo Inversa) Seja W Rn um aberto, f :W Rn uma aplicao de classe C 1 e a W. Se f (a) bijetora

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e b = f (a), ento a) existem abertos U bijetora. b) g : V U de classe C 1 , g = f 1 . Em outras palavras, f um difeomorsmo local de classe C 1 .aeV b do Rn tal que f : U V

Demonstrao: Seja f (a) = A e tal que2 A1 = 1.

(1.1)

Como f contnua em a, existe uma bola aberta U de centro ema tal que f (x) A < , x U.

(1.2)

Seja y Rn e(x) = x + A1 (y f (x)), x U.

(1.3)

Note quef (x) = y (x) = x.

Alm disso, (x) = I A1 f (x) = A1 [A f (x)] .

Logo, (x) = A1 A f (x) < 1 1 = , 2 2

isto ,1 (x) < . 2

(1.4)

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Tomemos x1 e x2 na bola U e h(t) = ((1 t)x1 + tx2 ). Ento,h (t) = ((1 t)x1 + tx2 ).(x2 x1 ).

Logo, por (1.4) temosh (t) = ((1 t)x1 + tx2 ) . x2 x1 < 1 x2 x1 . 2

Agora usando a desigualdade do valor mdio, conclumos que(x2 ) (x1 ) < 1 x2 x1 . 2

(1.5)

Assim, uma contrao sobre a bola U . Como (U ) U e : U U uma contrao, ento tem um nico ponto xo x U . Segue que y = f (x) para no mximo um x U. Assim, f : U f (U ) bijetora. Seja g = f 1 . Agora mostraremos que V = f (U ) aberto. Seja y0 = f (x0 ) U. Seja B1 a bola aberta de centro x0 e raio r > 0 tal que B1 U.

Tomemos y tal quey y0 < r,

provaremos que y pertence a V . Assim, da denio de , veja (1.3), temosr (x0 ) x0 = A1 (y y0 ) < A1 r = . 2

Se x B1 , segue de (1.5) que(x) x0 (x) (x0 ) + (x0 ) x0 1 r x x0 + 2 2 r r < + = r. 2 2

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Segue que (x) B1 B1 . Assim, : B1 B1 uma contrao e como B1 um espao mtrico completo, temos que tem um nico ponto xo x B1 . Para este x, f (x) = y e assim y f (B1 ) f (U ) = V . Logo, V aberto, pois y ponto interior de V . Isto prova a parte a) do teorema. Para a parte b) do teorema, que g de classe C 1 , tomemosU = B e V = f (B). Seja y V e y + k V . Ento, existe x B e x + h B tal que f (x) = y e f (x + h) = y + k.

Da denio (1.3) de , temos(x + h) (x) = h + A1 [f (x) f (x + h)] = h A1 k.

Por (1.5) temosh A1 k 1 h . 2 1 h , 2

Logo,h A1 k

isto , A1 k

1 h . 2

Ou seja,A1 k

1 h . 2

Logo,h 2 A1 . k = k .

(1.6)

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Agora vamos usar o seguinte que a se A invertvel e B L(Rn ; Rn ) tal que B A A1 < 1, ento B invertvel. A

aplicao A A1 contnua para todo A. Em (1.1) e (1.2) temos quef (x) A A1 < 1 < 1, 2

e assim f (x) tem uma inversa T . Comog(y + k) g(y) T k = h T k = T [f (x + h) f (x) f (x)h]

De (1.6) temos que1 1 . k h

g(y + k) g(y) T k T f (x + h) f (x) f (x)h . (1.7) . k h

De (1.6) temos que quando k 0, h 0 tambm. Logo, o lado direito de (1.7) vai para zero e portanto o lado esquerdo de (1.7) vai para zero. Segue da denio de derivada queg (y) = T = [f (x)]1

.

Temos que g contnua em V , pois g diferencivel. Como g (y) = T = [f (g(y))]1 temos que g contnua, poisf , g e A A1 so contnuas. 2

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Exemplo 7 A hiptese f C 1 no pode ser retirada. Consi1 x + x2 sin( ), se x = 0, 2 x 0, se x = 0.

dere a seguinte funof (x) =

Temos que f diferencivel e sua derivada dada por 1 + 2x sin( 1 ) cos( 1 ), se x = 0, x x f (x) = 2 1 , se x = 0. 2

Se f fosse invertvel numa vizinhana de x0 = 0, ento f seria injetora nessa vizinhana. Como f (0) =f muda de sinal.1 2

> 0, f seria

crescente. Mas isto impossvel, pois em todo vizinhana de x0 ,

Corolrio 8 Seja U Rn um aberto e f : U Rn aplicaode classe C 1 . Se f (x) : Rn Rn invertvel para todo x U , ento f um difeomorsmo de classe C 1 .

Observao 9 Escrevendo y = f (x) em coordenadasyi = fi (x1 , x2 , . . . , xn ), i = 1, 2, . . . , n

o sistema pode ser resolvido para x = x1 , . . . , xn em termos dey1 , y2 , . . . , yn se x e y estiverem restritos a abertos adequados a e b. As solues so nicas e continuamente diferenciveis.

Exemplo 10

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a: Seja F (x, y) = (exp(x) cos(y), exp(x) sin(y)) de classe C 1. Temos queF (x, y) = exp(x) cos(y) exp(x) sin(y) exp(x) sin(y) exp(x) cos(y)

O determinante de F (x, y) igual a exp(2x) = 0 para todo(x, y) R2 .

Pelo Teorema da Funo Inversa, dado (x0 , y0 ) existe um abertoU (x0 , y0 ) e um aberto V F (x0 , y0 ) tal que F : U V um

difeomorsmo. Note que F no bijetora, pois F (0, 0) = F (0, 2).

b: SejaU = {(r, ); r > 0 e 0 < < 2}

aberto do R2 . Seja F (r, ) = (r cos(), r sin()), com (r, ) U. Como F de classe C 1 e |F (r, )| = 0 segue que F localmente um difeo de classe C 1 .f (a, b) = 0. Ento, y F : U R2 dada por (x, y) = (x, f (x, y)) de classe C 1 e um

c: Seja U R2 aberto e f : U R tal que

difeo local em (a, b). Basta calcular a derivada de F , temos que = f (a, b) = 0. |F (x, y)| = det f f y (a, b) (a, b) x y 1 0

Pelo Teorema da funo inversa, existem abertos U0 e U1 tal queF : U0 U1 um difeomorsmo de classe C 1 .

d: F (x, y) = (exp(x) + exp(y), exp(x) + exp(y)).

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e: Perto de quais pontos (x, y) podemos resolver x e y em funode u e v , ondex4 + y 4 = u, x cos(x) + sin(y) = v(x, y)?

f: Sejam x, y e z dados em coordenadas esfricas,x(, , ) = sin() cos() y(, , ) = sin() sin() z(, , ) = cos(),

perto de que quais pontos podemos resolver o sistema acima para, e em funo de x, y e z ?

2.

Teorema da Funo Implcita

uma consequncia do Teorema da Funo Inversa. Suponha que seja dado a relao F (x, y) = 0. Ento, para cada valor de x pode existir um ou mais valores de y que satisfaz a equao (ou pode no existir). Se I = (x0 h, x0 + h) um intervalo tal que para cada x I existe extamente um y satisfazendo a equao, ento dizemos que F (x, y) = 0 dene y como uma funo de x implicitamente sobre I . Um teorema de funo implcita um teorema que determina condies sob as quais uma relao como F (x, y) = 0 dene y como funo de x ou x como funo de y . A soluo local no sentido que o tamanho do intervalo I pode ser menor do que o domnio da relao F .

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O Exemplo mais simples de um teorema de funo implcita arma que se F diferencivel e se P um ponto em que Fy no se anula, ento possvel expressar y como funo de x em uma regio contendo este ponto.

Teorema 11 Seuponha que F, Fx e Fy so contnuas soobre umsubconjunto aberto A do R2 contendo o ponto P = (x0 , y0 ). Suponha queF (x0 , y0 ) = 0, Fy (x0 , y0 ) = 0.

Ento, existem nmeros h e k que determinam um retngulo R contido em A tal que para cada x em I = {x; |x x0 | < h} existe um nico nmero y em J = {y; |y y0 | < k} que satisfaz a equao F (x, y) = 0. A totalidade dos pontos (x, y) formam uma funo f cujo domnio contm I e cujo imagem est em J . b) A funo f e suas derivadas so contnuas em I .

Demonstrao: Para x xo no retngulo R considere a aplicaoTx y = y F (x, y) Fy (x0 , y0 )

que leva um ponto y de J em R1 . Vamos mostrar que para h e k sucientemente pequenos a aplicao leva J em J e tem um ponto xo. Isto , existe um y tal que Tx y = y ou em outras palavras, existe um y tal que F (x, y) = 0. Para fazer isto, primeiro reescrevemos a aplicao Tx :Tx y = y0 c(x x0 ) (x, y),

ondec=

Fx (x0 , y0 ) Fy (x0 , y0 )

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(x, y) =

1 [F (x, y) Fx (x0 , y0 )(x x0 ) Fy (x0 , y0 )(y y0 )] . Fy (x0 , y0 )

Como F (x0 , y0 ) = 0 vemos que(x0 , y0 ). x (x0 , y0 ) = 0, y (x0 , y0 ) = 0.

Como x e y so contnuas podemos tomar k to pequeno tal que1 1 |x (x, y)| < , |y (x, y)| < 2 2 S = {(x, y); |x x0 | k e |y y0 | k}.

para todo (x, y) no quadrado

Agora espandimos (x, y) em srie de Taylor em S em torno do ponto (x0 , y0 ):(x, y) = x (, )(x x0 ) + y , )(y y0 ), (, ) S .

Portanto, para h k temos a estimativa no retngulo R|(x, y)| h k + . 2 2

A seguir vamos mostrar que se reduzirmos h e k sucientemente a aplicao Tx aplica o intervalo J em J . Temos1 h h k |Tx y y0 | |c(xx0 )|+|(x, y)| c|h|+ + = ( +c)|h|+ . 2 2 2 2

Escolhendo h sucientemente pequeno, ento Tx y aplica J emJ para cada x em I . A aplicao Tx uma contrao, de fato,

pelo Teorema do valor mdio1 |Tx y1 Tx y2 | = |(x, y1 ) (x, y2 )| |y1 y2 |. 2

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Aplicando o teorema da contrao e para cada x I xo, existe um nico y em J tal que F (x, y) = 0. Isto , y uma funo dex para (x, y) R. 2

Teorema 12 (Teorema da Funo Implcita- caso especial)Seja F : Rn+1 R funo de classe C 1 . Um ponto do Rn+1 ser denotado por (x, z), onde x Rn e z R. Suponha queF (x0 , z0 ) = 0 e F (x0 , y0 ) = 0. z

Ento, existe uma bola aberta B Rn contendo x0 e uma vizinhana V de z0 tal que z = g(x), para uma nica funo g de classe C 1 em B e que satisfaz F (x, g(x)) = 0. Alm disso,F g x = i , i = 1, 2, . . . , n. F xi z

Exemplo 13

a) Perto de quais pontos a superfcie x3 + 2y 2 + 8xz 2 3z 3 y = 1 pode ser representada como grco de uma funo diferencivelz = k(x, y)?

Dena F (x, y, z) = x3 + 2y 2 + 8xz 2 3z 3 y 1. Vamos determinar pontos (x0 , y0 , z0 ) tais queF (x0 , y0 , z0 ) = 0. Como z

F (x0 , y0 , z0 ) = z0 (16x0 9y0 z0 ) = 0, z

se z0 = 0 ou 16x0 9y0 z0 = 0, segue que fora destes pontosz = k(x, y) diferencivel e z Fx 3x2 + 8z 2 = = x Fz 16xz 9yz

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e

z Fy 6y 3z 3 = = . y Fz 16xz 9yz

Teorema 14 (Funo Implcita) Seja F : Rk Rm Rmuma funo de classe C 1 . Suponha que F (x0 , y0 ) = 0 edet F (x0 , y0 ) = 0. y

Ento, existe um aberto W Rk e : W Rk funo de classe C 1 tais que a) x0 W e (x0 ) = y0 . b) F (x, (x)) = 0, x W.

Demonstrao: Seja g : Rk Rm Rk Rm denida porg(x, y) = (x, f (x, y)).

Ento g de classe C 1 e a matriz jacobiana tem determinante em(x0 , y0 ) no nulo, g (z0 ) = IkF x (x0 , y0 )

0F y (x0 , y0 )

,

edet g (x0 , y0 ) = det

F (x0 , y0 ) = 0. y

Segue do Teorema da Funo Inversa que existe U Rk Rm vizinhana aberta de (x0 , y0 ) tal que V = g(U ) aberto e g : U V difeomorsmo de classe C 1 . Se denotarmos por (x, y) = g(x, y) para (x, y) U , ento (x, y) = g 1 (x, y).

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Como x = x temos que y = F (x, y) se, e somente se, y =g 1 (x, y). Em particular, F (x, y) = 0 y = g 1 (x, 0)

e conclumos a prova denotando (x) = g 1 (x, 0) para todo x W = U Rk .

Referncias

[1] W. Rudin, Principles of Mathemacal Analysis. MacGrawHill, 1989.

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