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7/25/2019 Funciona Is

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EQUAES FUNCIONAISEduardo Tengan - Colgio Etapa

Nvel Avanado

Uma das tcnicas bsicas para a resoluo de equaes com funes perceber quando ela injetora, isto , quando .)()( babfaf Isto particularmente freqente em problemas em que temos equaes do tipo

.0,))(( kkxxff De fato, .))(())(()()( bakbkabffaffbfaf

"Sabendo que f injetora, podemos provar novas relaes aplicando f dos doislados da equao". Por exemplo, considere o seguinte problema:

(IMO) Seja

Q o conjunto dos racionais positivos. Construa uma funo QQ:f tal que yxfyxff )())(( para todo ., Qyx

Para x = 1, temos yfyff )1())(( e da temos que f injetora:

,)1((.)1()1())(())(()()( Qfbabfafbffaffbfaf logo

).0)1( f Agora, vamos provar que a funo multiplicativa, isto , que

).()()( bfafabf Aplicamosfa cada membro da equao,

ab

fabff

)1())((

ab

f

b

affbfaff

)1())(())()((

Como os resultados so iguais ef injetora, conclumos que ).()()( bfafabf Da temos:

1)1()1()1()11( ffff

)(

111)(1

1)(

1

afaf

afaf

afaf

aaf

)(

)(1

bf

af

baf

b

af

Assim, basta construir a funo para os inteiros positivos. Mais ainda, bastadefini-la para os primos. Devemos ter .1)1())(( ppfpff Pensando um

pouco, sendo ,...,, 321 ppp todos os primos, podemos tomar


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mparse1

parse)(

1

1

np

nppf

n

n

n

e verificar que a condio inicial satisfeita.

EXERCCIO 1(IMO) Determine o menor valor possvel de f(1998), onde f uma funo doconjunto N dos inteiros positivos nele mesmo, tal que, para todo :, Nnm

.))(())(( 22 nfmmfnf

Para funes de domnio real, podemos utilizar desigualdades para obterigualdades. Por exemplo, considere o seguinte problema.

Determine todas as funes RR 2:f tais que aaaf );( para todo Ra e

),(),( dcfbafdcba para quaisquer a, b, c, d R .

Observe, em primeiro lugar, que, para ,0

2,

2),(

2,

2

babafbaf

babaf

(*)2

),(2

ba

bafba

Logo razovel que .2)(),( babaf Suponha que existam 0a e 0b tais que

.2)(),( 0000 babaf Se ,2)(),( 0000 babaf ento 0,2)(),( 0000 ppbabaf .

Mas 22)(),( 0000 pbabaf por (*), ou seja,,022)(2)( 0000 ppbapba absurdo.

Analogamente 2)(),( 0000 babaf impossvel. Logo 2)(),( babaf

para todo ., Rba Podemos utilizar um raciocnio semelhante em diversos problemas que envolvemfunes crescentes. s vezes, necessrio obter a desigualdade a partir das

condies do problema, muitas vezes, utilizamos relaes como 22 xfxf para concluir que 0)(0 xfx (basta substituir x no lugar dexna relaoanterior).Observe o exerccio a seguir.

Sejafuma funo de R em R tal quef(1) = 1,f(a+ b) =f(a) +f(b) para todo a, be 1)1()( xfxf para todo .0x Prove que xxf )( para todo nmero real.


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fcil ver que nnf )( para todo n inteiro positivo e de

0)0()0()0()0( ffff e ,1)1()1()1()0( ffff quexxf )( para todo .Zx Para verificar este resultado para ,Qx basta

utilizar ).(1)1( xfxf Observamos ainda que f injetora: temos

).()()()()()( yfxfyxfxfyxfyf

Como ,0)(1)1()( xfxfxf ento 00)( xxf e

.00)(0)()()()( yxyxyxfyfxfyfxf Para estender o resultado para R, precisamos obter uma desigualdade (na verdade, s desta forma que poderemos distinguir o conjunto dos racionais do conjuntodos reais. No jargo matemtico, dizemos que R um corpo ordenado completo).

Utilizando a observao que precede o exerccio, vamos tentar calcular ).( 2xf

Se 0)(, 22

aafaa (poisf injetora), logo

aaf

aaf

aafafaf 1

111

)(

1

)()(

1222

,))(()()1(

1

)(

1

1

11 22afaf

afafaf

af

que vale tambm quando 02 aaa ou .1a Agora, observando que ),()(0)(0 bfafbafbaba

conclumos verificando que, por exemplo, se 00 )( xxf para algum ,0 Rx que

se 00 )( xxf ento existe um Qq tal que .)( 00 xqxf Porm

),()()( 000 xfqxfqfxq o que absurdo. O caso 00 )( xxf

anlogo, o que termina o problema.

EXERCCIO 2

(IMO) Encontre todas as funes RR:f tais que .)())(( 22 xfyyfxf

Dica: Prove que 22 ))(()( xfxf e que ),()()( yfxfyxf para 0x e

,Ry ento conclua. Se voce no conseguir concluir, puxa!! Voc passou muitoperto da resoluo.

EXERCCIO 3(IMO) Encontre todas as funesf, definidas no conjunto dos reais no negativose assumindo valores reais no negativos, tais que:

i) )()())(( yxfyfyxff para todo 0, yx ii) 0)2( f


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iii) 0)( xf para 20 x

Dica: ).(22 yfxyx Incrvel, no?PONTO FIXOMuitas vezes, til considerarmos os pontos fixos de uma funo, isto , pontosxtais que .)( xxf Para mostrar que esta simples considerao leva, muitas vezes,

soluo do problema, observe abaixo o seguinte exemplo:

(IMO) Seja S o conjunto dos reais maiores que 1. Encontre todas as funesSSf : satisfazendo as condies

i) Syxxyfxfyyxfyfxf ,),()())()((

ii) xxf )( estritamente crescente para 1 0.

Para x = 0, temos ),0())0(1())(( ffyyff donde conclumos que f

injetora. De )0())0(( fff e da injetividade def, conclumos que .0)0( f Seja 0x um ponto fixo def. Sabemos da condio ii) que h no mximo um ponto

em cada um dos intervalos (1; 0) e (0; + ). Substituindo 0xyx em i),

encontramos .22 020020 xxxxf Se ),0;1(2),0;1( 0

200 xxx logo 00

20 2 xxx , absurdo. Analogamente,

no h pontos fixos em ).;0( Assim, 0 o nico ponto fixo de f. Substituindo x = y em i), temos

),()())()(( xxfxfxxxfxfxf ou seja )(xxf ponto fixo e, portanto,

igual a 0, logo ),1()( xxxf que satisfaz i) e ii).EXERCCIO 4

(IMO) Encontre todas as funes f definidas no conjunto dos reais positivos eassumindo valores neste conjunto e que satisfaz as condies:

i) )())(( xyfyxff para todo ;, *Ryx

ii) 0)( xf quando .x

EXERCCIO 5(Torneio das Cidades) Mostre que no existem funes RR:f tais

.1996))(( 2 xxff Dica: utilize pontos fixos, mas utilize mesmo!

EXERCCIO 6(IMO) Seja 0N o conjunto dos inteiros no negativos. Encontre todas as funes

00: NNf

tais que ),())(())(( nfmffnfmf

., 0Nnm

Dica: considere o menor ponto fixo da funo.

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