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Funciones Trigonométricas

Iván CastroLeonardo Rendón

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Universidad Nacional de ColombiaFacultad de Ciencias

Departamento de Matemáticas

Octubre - 2009

FuncionesTrigonométri-

cas

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Definición de Radián

Definición de Radián: Un radiánes una medida de un ángulo cuyovértice está en el centro de unacircunferencia y que barre unarco cuya longitud es igual alradio de la circunferencia.

S = rθ

r = rθ

1rad = θ


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Relación entre radianes y gradossexagecimales

Como la longitud de lacircunferencia C está dada por ,2πr se tiene que:

2π → 360◦

π → 180◦


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luego se siguen las equivalencias

Radianes Gradosπ 1800 0π6 30π4 45π3 60π2 903π2 270

2π 360


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Sentido de los ángulos

Se determina un sentido para determinar los ángulos(en radianes) en el plano cartesiano

Sentido positivo de un ángulo enposición normal

Sentido negativo de un ángulo enposición normal


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Definición de las funciones seno y coseno

Consideremos un número real t y construyamos elángulo en posición normal de medida t radianes . SeaP el punto de intersección de la línea terminal delángulo con la circunferencia unitaria centrada en elorigen. Si P = (x, y), definimos

cos(t) = x y sen(t) = y


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Definición de seno y coseno de un ángulo

De la definición de seno y de coseno, se tiene:Dom sen = Dom cos = R|sen(t)| ≤ 1 , |cos(t)| ≤ 1sen2(t) + cos2(t) = 1, ∀t ∈ R

t 0 π2 π 3π

2 2πcos(t) 1 0 −1 0 1sen(t) 0 1 0 −1 0f es una función periódica si existe p > 0 tal que,para todo x ∈ Domf se tiene f(x+ p) = f(x).El periodo es el mínimo valor de p para el cualf(x+ p) = f(x)

sen(t+ 2π) = sen(t)cos(t+ 2π) = cos(t)


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LeonardoRendón sen(−t) = −sen(t) (función

impar)cos(−t) = cos(t) (función par)

sen(π2 − t) = cos(t)cos(π2 − t) = sen(t)


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Valores del seno y del coseno para ángulos conmedidas de π

4 ,π3 y π

6

x =√

22

sen( π4 ) =

√2

2

cos( π4 ) =

√2

2

x = 12 ,y =

√3

2sen( π

3 ) =√

32

cos( π3 ) = 1

2

x = 12 ,y =

√3

2cos( π

6 ) =√

32

sen( π6 ) = 1

2


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Gráficas de seno y coseno

y(x) = sen(x)

y(x) = cos(x)


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Relaciones Trigonométricas de seno ycoseno

CO

sen(t)=h

1CA

cos(t)=h

1

sen(t) =CO

hcos(t) =

CA

h


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Ley de cosenos

b2 − (bcos(t))2 = h2 = a2 − (c− bcos(t))2

b2 − b2Cos2(t) = a2 − c2 + 2bccos(t)− b2cos2(t))2

b2 = a2 − c2 + 2bccos(t)

a2 = b2 + c2 − 2bccos(t)


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Ejemplo:

Calcular el valorde a


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Ley de senos

sen(β) =h

a, sen(α) =

h

b

sen(β)sen(α)

=b

a

sen(β)b

=sen(α)a

sen(α)a = sen(β)

b = sen(γ)c


cas

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LeonardoRendón Ejemplo:

Calcular el valorde β


cas

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seno y coseno de la suma y de la resta dedos ángulos

A partir de la ley de los cosenos, se tiene:

(cos(β)− cos(α))2

+ (sen(β)− sen(α))2

= 1 + 1− 2cos(β − α)

cos2(β)− 2cos(β)cos(α) + cos

2(α)+

sen2(β)− 2sen(β)sen(α) + sen

2(α) = 2− 2cos(β − α)

cos(β − α) = cos(β)cos(α) + sen(β)sen(α)


cas

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seno y coseno de la suma y de la resta dedos ángulos

Para calcular cos(α+ β):

cos(α + β) = cos(α− (−β)) = cos(α)cos(−β) + sen(α)sen(−β)

= cos(α)cos(β)− sen(α)sen(β)

cos(α+ β) = cos(α)cos(β)− sen(α)sen(β)

Para calcular sen(α+ β):

sen(α + β) = cos( π2 − (α + β))

= cos(( π2 − α)− β)

= cos( π2 − α)cos(β) + sen( π

2 − α)sen(β)

= sen(α)cos(β) + cos(α)sen(β)

sen(α+ β) = sen(α)cos(β) + sen(β)cos(α)


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seno y coseno de la suma y resta de ángulos

Para calcular sen(α− β):

sen(α− β) = sen(α + (−β)) = sen(α)cos(−β) + sen(−β)cos(α)

= sen(α)cos(β)− sen(β)cos(α)

sen(α− β) = sen(α)cos(β)− sen(β)cos(α)


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Definición Tangente

tan(t) = sen(t)cos(t)

Domtan = R− {(2k + 1)π2 : k ∈ Z}


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Características y Gráfica de Tangente

Función imparFunción periódica con periodo π:sen(t+π)cos(t+π) = sen(t)cos(π)+sen(π)cos(t)

cos(t)cos(π)−sen(t)sen(π) = sen(t)cos(t)


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Definición secante, cosecante y Cotangente

sec(t) = 1cos(t)

sec(t+ 2π) = 1cos(t+2π) = 1

cos(t) = sec(t)El periodo de sec es 2π

Domsec = R− {(2k + 1)π2 : k ∈ Z}

csc(t) = 1sen(t)

csc(t+ 2π) = 1sen(t+2π) = 1

sen(t) = csc(t)El periodo de csc es 2π

Domcsc = R− {kπ : k ∈ Z}

cot(t) = cos(t)sen(t)

cot(t+ π) = 1tan(t+π) = 1

tan(t) = cot(t)El periodo de cot es π

Domcot = R− {kπ : k ∈ Z}


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Gráficas de secante y cosecante

y(x) = sec(x)

y(x) = csc(x)


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Gráfica de Cotangente

y(x) = cot(x)


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Líneas Trigonométricas en el círculounitario


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Identidad Pitagórica

Circunferenciaunitaria centradaen el origen.

De la ecuación deunacircunferenciacentrada en elorigen de radio 1se tiene que

x2 + y2 = 1

por lo tanto

cos2(t) + sen2(t) = 1

para todo valorde t


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Identidad Pitagórica

A partir desen2(t) + cos2(t) = 1

se obtiene:dividiendo la primera ecuación por cos2(t)

1 + tan2(t) = sec2(t)

dividiendo la primera ecuación por sen2(t)

1 + cot2(t) = csc2(t)


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Identidades Trigonométricas

Una identidad trigonométrica es una igualdad entreexpresiones que contienen funciones trigonométricas, que esverdadera para todos los valores de los ángulos para loscuales están definidas dichas expresiones.De la teoría anterior se tiene las siguientes relacionesfundamentales

sen2(t) + cos2(t) = 1

1 + tan2(t) = sec2(t)

1 + cot2(t) = csc2(t)

tan(t) = sen(t)cos(t)

sec(t) = 1cos(t)

csc(t) = 1sen(t)

cot(t) = 1tan(t)


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Ejemplo de Identidades Trigonométricas

Demostrar quetan(2x) = 2 tan(x)

1−tan2(x)

.Solución:

tan(2x) = sen(2x)cos(2x) = sen(x+x)

cos(x+x) = sen(x)cos(x)+sen(x)cos(x)cos(x)cos(x)−sen(x)sen(x)

= 2sen(x)cos(x)cos2(x)−sen2(x)

=2sen(x)cos(x)

cos2(x)

cos2(x)−sen2(x)cos2(x)

=2sen(x)cos(x)

cos2(x)

cos2(x)cos2(x)−

sen2(x)cos2(x)

=2sen(x)cos(x)

1−sen2(x)cos2(x)

= 2tan(x)1−tan2(x)


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Ejemplo de Identidades Trigonométricas

Demostrar que

1 + tan(2x)tan(x) = sec(2x)

.Solución:

1 + tan(2x)tan(x) = 1 + 2tan2(x)1−tan2(x) = 1+tan2(x)

1−tan2(x)

=1+

sen2(x)cos2(x)

1−sen2(x)cos2(x)

= sen2(x)+cos2(x)cos2(x)−sen2(x)

= 1cos(2x)

= sec(2x)

Ejercicio: Demostrar que tan(x)− tan(y) = sen(x−y)cos(x)cos(y)


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Ecuaciones Trigonométricas

Una ecuación trigonométrica es una igualdad entre expresionesque contienen funciones trigonométricas, que es verdadera paraalgunos valores de los ángulos para los cuales están definidasdichas expresiones.Resolver una ecuación trigonométrica es encontrar los valores delángulo que satisface la ecuación dada


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Ecuaciones Trigonométricas

Ejemplo Resolver la ecuación para valores entre 0 y 2π

cos(2x)csc(x) + csc(x) + cot(x) = 0

Solución: Como cos(2x) = cos2(x)− sen2(x), csc(x) = 1sen(x) y

cot(x) = cos(x)sen(x) , sustituyendo se obtiene:

cos2(x)−sen2(x)sen(x) + 1

sen(x) + cos(x)sen(x) = 0

cos2(x)− sen2(x) + 1 + cos(x) = 0

2cos2(x) + cos(x) = 0cos(x)(2cos(x) + 1) = 0

De aqui cos(x) = 0 o cos(x) = − 12 :

Por lo tanto x = π/2, 2π/3, 4π/3, 3π/2

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