UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando Neves4 - Sistemas com Mais de Um Grau de Liberdade

4.1- Introduo

O nmero de coordenadas independentes necessrias para descrever o movimento.ou O nmero de coordenadas necessrias para definir a configurao do sistema, subtrado no nmero de equaes

de restrio.(Estas no so definies rigorosas, mas descries conceituais...)

estudarem, em outro captulo sistemas com 3 ou mais GDL.com dois, ou

multi-GDL: Um sistema linear com n GDL ser descrito por n equaes diferenciais ordinrias simultneas de 2a ordem . Um sistema linear com n GDL ter n frequncias naturais (tantas quanto o nmero de graus de liberdade) A cada Frequncia Natural corresponde um Modo de Vibrao Em geral o movimento do sistema a sobreposio (com amplitudes diferentes para cada modo) dos movimentos de todos os modos do sistema

Normalmente os modos de vibrao esto acoplados; desacoplados ( uma operao matemtica que corresponde a uma mudana de coordenadas) o

sistema pode ser descrito por n equaes diferenciais ordinrias independentes de 2a ordem;desacoplado cada modo de vibrao pode ser visto de forma semelhante a um sistema com

um grau de liberdade (isso a base para a Anlise Modal...).

Sistema de Parmetros Concentrados, ou Discreto - Modelo idealizado considerando massas concentradas, elasticidade concentrada em molas ideais; amortecimento...

Sistema Contnuo - Modelo idealizado considerando massa, elasticidade e amortecimento distribudos continuamente ao longo de suas dimenses.

4.1

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando Neves4.2- Equaes do Movimento Lei de Newton

Comeamos por analisar um sistema de 2 GDL e parmetros concentrados, para entender a montagem das equaes diferenciais do movimento.

Para um sistema com mais graus de liberdade a metodologia seria a semelhante (com mais equaes, claro!) (j se se tratasse de um sistema contnuo, o tratamento seria diferente e mais complexo...)

A metodologia a usar a de usar o balano de foras (Lei de Newton), da mesma forma j utilizada para um sistema com um s grau de liberdade.

m1 x1 =k1 x 1 c1 x1 k x 1x 2 c x1 x2 F 1t m2 x 2 =k2 x2 c2 x2 k x2x1 c x2 x 1 F 2 t

(verificar os sinais de acordo com a conveno)re-arranjando m1 x1 cc1 x1 kk 1 x1 c x2 k x2 = F 1t

m2 x 2 cc2 x2 kk2 x 2 c x 1 k x1 = F 2 t organizado para notao matricial

ou m1 x 1 cc1 x 1 kk 1 x1 c x 2 k x2 = F 1t c x1 k x1 m2 x 2 cc 2 x2 kk2 x2 = F 2 t

c x2k x2 na 1 equao e c x1k x1 na 2 so os termos de acoplamento. Porqu???

O acoplamento se manifesta, matematicamente pelo fato de que as equaes no so independentes; e fisicamente por o movimento x1 afetar x2 e vice-versa.

mais eficiente, simples e compacto usar notao matricial para escrever as equaes do movimento para sistemas multi-GDL.

As equaes podem ser escritas na forma [m1 00 m2]{x 1x 2}[

cc 1 c

c cc 2]{x 1x 2}[

kk 1 kk kk2]{

x 1x 2}={

F 1t F 2 t }

(pode-se, mais claramente, notar os termos de acoplamento)que, de forma compacta, ser [M ]{x}[C ]{x}[K ]{x}={F }

4.2

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesEquaes do Movimento Lei de Newton (cont.)

[m1 00 m2]{x1x 2}[

cc1 c

c cc2]{x 1x 2}[

kk1 kk kk2]{

x 1x 2}={

F 1t F 2t }

[M ]{x}[C ]{x}[K ]{x}={F }

[M ] ; [C ] ; [K ] Matriz Massa; Matriz Amortecimento; Matriz Rigidez{x } ; {x } ; {x } Vetor acelerao; Vetor Velocidade; Vetor Deslocamento{F }

Vetor Fora

Importante: Pode-se mostrar que a equao(es) deduzida(s) no a nica que pode descrever o sistema. Outras formas

podem ser obtidas usando outros sistema de coordenadas para descrever o movimento. Apesar haver mais do que um sistema de equaes que descreve o sistema (dependendo das coordenadas

escolhidas), as propriedades inerentes ao sistema (frequncias naturais e modos de vibrao) no sero alteradas, embora as matrizes e o vetor fora sejam alterados (claro !!!).

Se forem usadas coordenadas absolutas as matrizes sero simtricas.

De forma geral a equao matricial para um sistema com 2 GDL ser

[m11 m12m21 m22 ]{q1q 2}[

c11 c12c21 c22]{

q1q 2}[

k 11 k 12k 21 k 22]{

q 1q2}={

Q1t Q2t }

{q} coordenadas generalizadas

{Q } foras generalizadas

Para um sistema com n GDL, as matrizes sero de ordem nxn. E os vetores sero de ordem n.

Nota: Para sistemas mola - massa - amortecedor, em que sejam usadas coordenadas absolutas, podem-se montar as matrizes de forma rpida sabendo que:

- As matrizes so simtricas e ... Matriz Massa: - S elementos da diagonal so diferentes de zero

- Elementos da diagonal tem valor igual massa da respectiva coordenada Matriz Rigidez: - Elementos da diagonal (i,i) tem valor igual soma da rigidez de todas as molas ligadas coordenada i

- Elementos fora da diagonal (i,j) tem valor igual soma (com sinal negativo) da rigidez de todas as molas que ligam a coordenada i coordenada j

Matriz Amortecimento: - Tratamento semelhante rigidez (com as substituies bvias)4.3

4.4

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesVibrao Livre No-amortecida (cont.)

Para o caso geral, com 2GDL, em que a matriz massa seja diagonal, a Equao de Frequncia ser dada porEquao de Frequncia 4

k 11m11

k 22m22

2k 11 k22k12 k21

m11 m22= 0

A Equao de Frequncia, para um sistema com 2 GDL, uma equao quadrtica em 2 . A soluo d como resultado as duas frequncias naturais do sistema. (De fato existem 4 solues ( 1 e 2), mas, na prtica, s interessam os valores positivos.)

Verifica-se que, como esperado, existem duas frequncias naturais para o sistema com dois graus de liberdade.

Soluo da equao diferencial do movimento:

Importante: As solues x1=A1 sen tx2=A2 sen t

s so possveis se =1 ou =2 .

Considerar o Princpio da Sobreposio: Se existem 2 conjuntos de soluo possveis, ento a soluo geral ser a soma (sobreposio) dos dois conjuntos

Soluo de Geral {x1x2}={A11A21}sen1 t 1{

A12A22}sen2 t 2 (C)

(Notar que, em Aik : i - n da coordenada, k - n da frequncia)

Os sistema de equaes (B) (folha anterior)kk1

2m1 A1 k A2 = 0

k A1 kk22m2 A2 = 0

determina os valores de Aij que fixam a amplitude dos movimentos senoidaisque, somadas representam o movimento. A1k

A2k=

kkk1k2 m1

=kk 2k

2m2

k =u1ku2k

=1uk

(Claro que para valores diferentes i resulta um conjunto diferente A1 ; A2 )

4.5

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesVibrao Livre No-amortecida (cont.)

Para o sistema exemplificado: Para um sistema geral (2 GDL e matriz massa diagonal):kk12 m1 A1 k A2 = 0

k A1 kk 22 m2 A2 = 0k112 m11 A1 k12 A2 = 0

k21 A1 k222 m2 A22 = 0 [m11 00 m22]{

q1q2}[

k11 k12k21 k22]{

q1q2}={

00}

4kk1

m1

kk2m2

2k 1 k2k k1k k2

m1 m2= 0 4

k11m11

k22m22

2k11 k 22k 12 k21

m11 m22= 0

A1kA2k

=k

kk1k2m1

=kk2k2 m 2

k =u1k

u2k=

1uk

A1kA2k

=k12

k11k2m11

=k22k2 m22

k21=

u1k

u2k=

1uk

Observaes:

As relaesA1kA2k

=u 1k

u 2k=

1uk

so uma propriedade do sistema (no dependem das condies iniciais). Elas definem os Modos de Vibrao do sistema.

Os Modos de Vibrao descrevem a forma ou modo como o sistema vibra, quando a frequncia de vibrao igual a uma das frequncias naturais.

Para um sistema com n GDL, em vez de uma frao, tm-se um vetor definindo a relao entre amplitudes do movimento dos n GDL. Esse vetor o Vetor Modal e descreve a Forma Modal que corresponde a cada Frequncia Natural.

Os Modos de Vibrao (Vetores Modais) e as Frequncias Naturais so propriedades do sistema.

Das Condies Iniciais se obtm as 4 constantes [ A11, A12 e 1, 2 ], que determinam as amplitudes e ngulos de fase do movimento (de forma semelhante ao que se tem para um GDL).

(Neste exemplo supem-se as amplitudes de x1 determinadas pelas condies iniciais. De fato as condies iniciais determinam a amplitude do movimento de um grau de liberdade qualquer.)

4.6

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesVibrao Livre No-amortecida - Observaes (cont.):

O movimento livre a sobreposio dos movimentos descritos pelos Modos de Vibrao. Nenhum outro movimento possvel para o sistema. Os Modos de Vibrao formam a base (base no sentido matemtico) a partir da qual se constroem todos os movimentos vibratrios possveis para o sistema.

Qualquer movimento vibratrio possvel para o sistema uma composio linear das equaes (D).

1{A12A22}sen2 t 2(Composio dos modos principais, cada um oscilando em sua frequncia natural)

Notar que, como, em geral, 12 , o movimento de cada grau de liberdade no ser harmnico.

4.7

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesVibrao Livre No-amortecida (cont.) Tratamento Matricial

O tratamento matricial resulta (claro!) nos mesmos resultados, mas mais eficiente. Talvez seja menos intuitivo (para iniciantes !?).

Principalmente, o tratamento matricial pode ser usado para sistemas com qualquer nmero de GDL, e a base para a simulao numrica de sistemas com muitos GDL.

Vamos aplicar o mtodo ao sistema com 2 GDL proposto para ilustrar os procedimentos e conceitos.

Partir da equao matricial de equilbrio [m1 00 m2]{x 1x 2}[

kk 1 kk kk 2]{

x 1x 2}={

00}

No caso geral (n GDL) ser [M ]{x}[K ]{x}={0}

Se as solues so da forma x1=A1 sen tx2=A2 sen t

ento 2 [M ]{x }[K ]{x}={0} (Porqu?)2 [M ]{x}=[K ]{x }

2 {x}=[M ]1 [K ]{x } problema de autovalor

A relao estabelece que se {x } soluo da equao, ento este vetor, multiplicado por um escalar ( 2 ), igual a ele prprio pr-multiplicado pela matriz ( [M ]1 [K ] ).

Encontrar a soluo encontrar {x } e (Lembrar o problema de lgebra linear)

Pode-se mostrar que a soluo leva aos

A lgebra linear estabelece tambm que se os pares [ {u1} e n1 ] e [ {u 2} e n2 ] so soluo do problema, ento combinaes lineares deles sero tambm solues.

[ x ]= Ai{ui}sen i t i

Notar que os valores dos coeficientes multiplicadores de cada parcela (Ai) dependem das condies iniciais do problema)

4.8

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesVibrao Livre No-amortecida - Tratamento Matricial (cont.)

2 [M ]{x}=[K ]{x }

2 {x}=[M ]1 [K ]{x } problema de autovetor / autovalor

Soluo: {x } e 2 que verifiquem a equao modos de vibrao {u} e frequncias naturais n do sistema.

resulta em [x ]= Ai{ui}sen i t i

Nota: Normalmente se usam mtodos iterativos para encontrar os autovalores e autovetores. (Para sistemas com muitos GDL pode ser a nica forma). Existem formas diversas de implementao desses mtodos. Eles envolvem alguma forma de sweeping que permita que o processo iterativo possa convergir para as frequncias intermedirias...

(Notar que iterao direta em 2{x }=[M ]1 [K ]{x} leva frequncia natural mais alta e 2[K ]1[M ] {x}={x} leva frequncia natural mais baixa.)

Voltando ao nosso sistema com 2 GDL, a equao do movimento ser:

{x 1x 2}={u11u21} A1 sen1 t 1{

u12u22} A2 sen 2 t 2

que pode ser escrita {x 1x 2}=[u11 u12u21 u22]{A1 sen 1 t 1A2 sen 2 t 2}

Claro que este tipo de notao pode ser generalizado para qualquer nmero de graus de liberdade.

A matriz, nxn no caso geral, chama-se Matriz Modal [u ]=[{u11u21...

un1}{

u12u 22...

un2} ... {

u1nu2n...

unn}] .

(A Matriz Modal vai ser importante, mais tarde no curso, porque ela permite desacoplar as equaes do sistema, encontrando as Coordenadas Principais - {x}=[U]{p} -)

4.9

Frequncias Naturais:1= km=30 rad / s ; 2=3 km=51,96 rad / s

Modos:u11

u21=

kkk 11

2m1

=k

kk km

m;

u11

u21= 1

u12u22

=k

kk 122m1

=k

kk3 km

m;

u12

u22=1

Equaes do movimento:

{x1x2}=[1 11 1]{A1 sen 30,00 t1A2 sen 51,96 t2} ; ou {

x 1x 2}={

11} A1 sen 30 t 1{ 11} A2 sen51,96 t 2

Para o caso de {x10 x2 0}={10} e {x10x20 }={

00} obtem-se A1=A2=12

4.10

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando Neves4.3.1.1- Exemplo 1 (cont.)ii) Soluo numrica (usando iterao)

Equao diferencial [m1 00 m2]{x 1x 2}[

kk1 kk kk 2]{

x 1x 2}={

00}

Ento de 2 {x}=[M ]1 [K ]{x } , sendo [M ]1= [1/m1 00 1/m2] , vem 2{x}=[1 /m1 00 1 /m2] [

kk1 kk kk2]{x }

e com valores numricos 2 {x}=[1800 900900 1800 ] {x} (a)Resolvendo o problema de autovalor obtm-se as frequncias naturais e os modos de vibrao.

Pode-se ilustrar, de forma muito simplificada, como se pode obter a soluo por iterao:

- Arbitrar um vetor inicial para a iterao e substituir no lado direito de (a). Seja {x}=10 . Notar que se obter a frequncia mais alta (Porqu?). Iteraes sucessivas resultam em:

U1 U1L U2 U2L U3 U3L U4 U4L U5 U5L U6 U6L U7 U7L U81 1800 1 2250 1 2520 1 2636 1 2678 1 2692 1 2698 10 -900 -0,5 -1800 -0,8 -2340 -0,928 -2571 -0,976 -2656 -0,991 -2685 -0,997 -2695 -0,999

(Os nmeros na tabela foram arredondados) V-se que houve uma convergncia rpida para {u2}= 11 (erro para U8 de 0,09%). Sabe-se que este o 2 vetor

modal. A 2 frequncia natural pode ser aproximada por 22=U 7LU8

=2697,5 ; 2=51,94 (erro de 0,05%).

- Para obter a 1 frequncia natural usar 2 [K ]1[M ] {x}={x} . (Nota: Pode-se mostrar que [K ]1= [7,407 3,7043,704 7,407 ]104 )Iniciando a iterao com {x}= 10,8 , obtem-se: U1 U1L U2 U2L U3 U3L U4

1 1,037E-3 1 1,085E-3 1 1,111E-3 10,8 0,929E-3 0,929 1,058E-3 0,9756 1,093E-3 0,9837

O 1 vetor modal foi aproximado, com 4 iteraes por {u1}= 10,9837 (erro de 1,4%). E a 1 frequncia natural pode ser aproximada por 1

12 =

U 3LU 4

=1,111103 ; 12=900 ; 1=30

(Notar que o procedimento acima serve apenas para ilustrar o processo iterativo. De nenhuma forma se deve supor que ele descreve uma rotina a ser usada, de fato, para a determinao numrica das frequncias naturais e modos de vibrao.)

4.11

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando Neves4.3.1.2- Exemplo 2

- Desprezar a massa das rodas- Supor que s existe movimento vibratrio no plano do papel

(2 GDL: rotao em torno do CG e translao vertical). (Notar que se tem agora x e -uma coordenada de translao e outra de rotao- em vez das duas de translao x1 e x2)

i) Montagem das equaes: m x= forasm x=k1 xL1k 2 xL2

J 0 = momentosJ 0 =k 1xL1L1k2 xL2L2

Sistema de equaes m x k1k2 x k1 L1k 2 L2=0 (1a)J 0 k1 L1k 2 L2 x k1 L12k 2 L22=0 (1b)

Forma matricial[m 00 J 0 ]{x}[ k1k 2 k 1 L1k2 L2k1 L1k 2 L2 k 1 L12k2 L22 ]{x}={00}

Equao de Frequncia (ver equao de frequncia para 2 GDL na folha 4.5) :

4k 11m11

k 22m22

2k 11 k22k12 k21

m11 m22= 0

4

k 1k2m

k1 L1

2k2 L22

J 0

2k1k 2k 1 L1

2k2 L22k1 L1

2k 2 L222

m J 0= 0

Modos de Vibrao (comparar as equaes (1a) e (1b) com as descrevem os Modos de Vibrao na folha 4.6) :A1kA2k

=k 12

m112k 11

A1kA2k

=k1 L1k2 L2

m2k1k2

4.12

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando Neves4.3.1.2- Exemplo 2 (cont.)ii) Determinao do movimento:

Dados: m = 1800 kg ; L1 = 1,6 m ; L2 = 2,0 m ;rCG = 1,4 m ; k1 = 42 kN/m ; k2 = 48 kN/m

rCG = J 0m J 0 = m rCG2 = 3528 kg m2

Frequncias Naturais:

4k 11m11

k 22m22

2k 11 k22k12 k21

m11 m22= 0

44248103

1800 421,624822103

3528 2

[4248421,624822421,6482 2]106

18003528 = 0

4134,924114,29 = 0 2 = 46,6 ; = 6,83 rad / s=1,09 Hz2 = 88,3 ; = 9,40 rad /s=1,50 Hz

Modos de Vibra o :A1kA2k

=k1 L1k2 L2

m2k1k2=

421031,648103218001,2

2 4210348103 X 1 =4,69 m/rad

X 2 = 0,418 m /rad

A Equao global do Movimento :

{x}=[4,69 0,4181 1 ]{A1'

sen6,83 t1A2

' sen 9,40 t 2} ou {x

}=[ 1 10,213 2,394]{A1 sen 6,83 t 1A2 sen 9,40 t 2}

4.13

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando Neves4.4- Sistema Amortecido - Vibrao Harmnica Forada

(Trataremos aqui, sempre que no for especificado o contrrio, apenas da resposta permanente.)

[M ]{x}[C ]{x}[K ]{x}={F }

(Na equao homognea (vibrao livre), o vetor nulo, no lado direito da equao, pelo vetor das foras externas aplicadas.)

Supondo que todas as foras aplicadas so harmnicas e com a mesma frequncia,

a soluo ser tambm um vetor de funes harmnicas e com a mesma frequncia.

NB: Dependendo de certas condies, aplicveis a [C], os elementos do vetor {x} podem estar todos em fase (=0 ou =180), ou no ( variado).

Sendo {x} e {F} na forma acima a equao do movimento pode ser escrita, com notao complexa, como

2 [M ]{x } j[C ]{x}[K ]{x}={F }

[Z ] Matriz Impedncia

Pode-se escrever ento [Z ] {x }={F } ; com [Z ]=[K ]2 [M ] j[C ] (a)

A Matriz Impedncia, relaciona o vetor das foras dinmicas aplicadas com o vetor dos deslocamentos dinmicos (de forma semelhante ao que ocorre, estaticamente, onde a rigidez relaciona as foras estticas aplicadas com as deformaes estticas resultantes). A Matriz Impedncia descreve a Impedncia Mecnica do sistema.

(Lembrar do conceito de Impedncia Eltrica)

Pode-se pensar a Impedncia Mecnica como sendo Rigidez Dinmica.

A soluo {x} da equao (a) Matriz Flexibilidade

4.14

{x }= {X 1 sen t1X 2 sen t2

...

X n sen tn }

{F }= {F 1 sen tF 2 sen t

...

F n sen t}

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesSistema Amortecido - Vibrao Harmnica Forada (cont.)

2 [M ] j [C ][K ] {x}={F }[Z ] {x }={F } (1) [Z ]=[K ]2[M ] j[C ] Matriz Impedncia{x }=[Z ]1 {F } (2)

Notas: - De fato, na prtica, no se inverte a matriz impedncia. Seria mais eficiente resolver o sistema de n equaes a n

incgnitas [Z ]{x }={F } ! - A soluo de (1) ou (2) vlida s para uma dada frequncia de excitao. (Veremos mais adiante que os mtodos de

Resposta em Frequncia permitem obter informaes mais globais acerca do comportamento do sistema) - Lembrar que cada elemento de [Z ] z ij = k ij2 mij j cij (parecido com o termo que aparece para 1 GDL)

Caso particular de dois graus de liberdade:

Voltando ao caso de dois graus de liberdade , o sistema com poucas equaes (matrizes 2 x 2), permite obter uma soluo fechada para {x } .

A soluo {x} para 2 GDL X 1 = Z 22 F 1 Z12 F 2Z 11 Z 22 Z 12 Z 21 ; X 2 =

Z 21 F 1 Z 11 F 2Z 11 Z 22 Z 12 Z 21

Notar que as equaes acima podem ser encontradas usando a regra de Kramer:

de [Z 11 Z 12Z 21 Z 22] {X 1X 2}= {

F 1F 2} com Z= Z 11 Z 22 Z 12 Z 21= obtm-se

X 1 =F 1 Z 12F 2 Z 22

=Z 22 F 1 Z 12 F 2

Z 11 Z 22 Z 12 Z 21

; X 2 =

Z11 F1Z 21 F 2

=Z 21 F1 Z 11 F 2Z 11 Z 22 Z 12 Z 21

4.15

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando Neves4.4.1- Absorvedor Dinmico de Vibrao (no-Amortecido)

(Lembrar absorvedor da Renault F1) O absorvedor reduz a amplitude de vibrao de de um dado sistema sem adicionar amortecimento. De fato, trata-se

de re-distribuir a energia armazenada no sistema, de forma que determinado grau de liberdade tenha seu movimento reduzido. (Lembrar o absorvedor estudado em "Sistemas com 1GDL")

Considerar o esquema da figura:m1 e suspenso de rigidez k1 (suposta sem

amortecimento), que est sujeita a uma fora de desbalanceamento.k1 e m1.

Montando as equaes do sistema, ele pode ser analisado para verificar em que condies se tem uma massa / mola auxiliar funcionando como absorvedor.

[m1 00 m2]{x 1x 2}[

k1k 2 k2k 2 k2 ]{

x 1x 2}={

F eq sen t0 }

[k1k22m1 k 2

k 2 k22m2]{X 1X 2}={F eq0 } ( [Z ]{x }={F } )

As [Z ] igual a zero (lembrar porqu?):

= k1k22m1k2

2m2k 2

2 = 0

k1 k2k222 m1 k 2

2 k 1 m22 k2 m2

4m1 m2k2

2 = 0

m1 m24m1 k2k1k2m2

2k 1 k2 = 0m1 m2

k 1 k24

m1

k11

k 2k 1m2

k 221= 0

(A)

As equaes de Resposta em Frequncia podem ser obtidas usando a regra de Kramer:

X 1=Z 22 F 1 Z 12 F 2

X 1 =

1

k22m2F eq

X 2=Z 21 F 1 Z 11F 2

X 2 =

1

k2 F eq

4.16

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesAbsorvedor Dinmico de Vibrao no-Amortecido (cont.)

Notar que o absorvedor poderia ser sintonizado em outra frequncia. Resposta em Frequncia:

Sendok 2m2

=k 1m1

; p= k 2m2= k1m1 ; definindo r=

p, ento a Equao de Frequncia vem:

(de (A) m1 m2k1 k 2 4

m1k 11 k 2k 1

m2k 2

21 = 0 ) =r 42 k 2k 1 r21 = 0

ou ( sendo m1m2=k 1k 2 ) =r

42m2

m1 r 21= 0

As equaes de resposta em frequncia so:

X 1F eq /k 1

=1r 2

r42

m2m1

r21

X 2F eq /k 1

=1

r42

m2

m1r 21

Frequncias Naturais

r2 =

12[2

m2

m1 2m2m1

2

4 ] ; n2 =

k 12 m1

[2m2

m12m2m1

2

4 ]

(Notar que estas equaes s so vlidas se k 2m2

=k1m1

)

4.17

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesAbsorvedor Dinmico de Vibrao no-Amortecido (cont.)

Observaes sobre o comportamento do absorvedor

k2m2

=k 1m1

X 1Feq /k 1

=1r2

r411m2m1

r21 r2 =

12 [ 2

m2m1

2m2m1 2

4 ]

X 2F eq /k 1

=1

r411

m2

m1 r

21 n

2 =k 1

2 m1[ 2m2

m1 2m2m1

2

4 ]

1- Claro que se m2=0 ento n = k1m1 (sistema com 1 GDL); 2- Quanto maior for m2 (mantendo-se k2m2=

k 1m1

, claro), tanto mais afastadas sero as duas frequncias naturais ( 1 , 2 ) uma da outra;

3- Quanto maior for m2 (frequncias naturais mais afastadas), mais fcil ser sintonizar o absorvedor (porqu?);

4-

5-

6-

Importante: Notar ainda que o absorvedor pode ser sintonizado em qualquer outra frequncia, bastando fazer k2 /m2=s (onde s a frequncia a sintonizar)....

4.18

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando Neves4.4.2- Absorvedor Dinmico de Vibrao Amortecido

Equao de Equilbrio:

4.19

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesAbsorvedor Dinmico de Vibrao Amortecido (cont.)

Sintonia do absorvedor

Pode-se mostrar que as condies de sintonia (com dois picos de igual amplitude) so obtidas considerando as frmulas:

=m2

m1, =

p2 p1

=1

1 e d D

2 =3

8 13 ;

com p1 = k 1m1 ; p2 = k2m2 ;d D =

c2

2k 2 m2.

Usar o seguinte roteiro:

1- Escolher ( m2 ) to grande quanto possvel (porqu??); 2- De obter ; permite obter p2 = k2m2 ; p2 permite obter k2 ; 3- De d D (com m2 e k2 ) obter c2 .

(ver Den Hartog para justificativas)

4.20

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando Neves4.4.3- Isolamento de Vibrao

O isolamento de vibrao de uma mquina com relao sua fundao de apoio pode ser melhorado com o arranjo

Fora Transmitida BaseFT =X 2 k2 jc 2= 1 k1 jc 1 k2 jc2F eq

(ver exemplo numrico na folha seguinte)

4.21

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesIsolamento de Vibrao (cont.)Exemplo numrico: Em um sistema como o esquematizado na figura, seja:

m2

m1=4 k1=k2 ;

c1c 20 (amortecimento muito prximo de zero)=2 k1m1 .

a) Em uma primeira simulao, supor que a mquina representada por m1 ancorada diretamente no bloco m2 (k1 = ). Qual ser a amplitude da fora transmitida?

O sistema se reduz a 1 GDL.

E resulta

(Notar que

Considerando que (de m2/m1=4 e k1=k2 ) vem m1m2k1 =5 m1k2

, e o movimento de X2 X 2=F eq/ k215 r 2

e ento FT=k 2 X 2=Feq

15 r 2.

Sendo a especificao que =2 k1m1 , r=2 FT=Feq

154=0,0526 F eq

a1) Se existisse apenas a massa m1 ... (Obviamente o sistema tem 1 GDL)

Tem-se k 12 m1X 1=Feq ; X 1=F eq

k 12m1

=F eq/k1

12 m1k1

=F eq/ k11r 2

( r= 1 com 1= k1m1 ) FT=k1 X 1=F eq

1r2

Sendo =2 k1m1 ento r=2 FT=Feq

14=0,3333F eq

4.22

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesIsolamento de Vi brao - Exemplo numrico (cont.):

b) Sistema c/ 2 GDL m2m1

=4 k1=k2 ;

c 1c 20 (amortecimento muito prximo de zero)=2 k1m1 ;

As equaes obtidas para o sistema, quando c1c 20 , resultam em=k1

2m1 k1

k1 k1k22m2 =k1 k2[4

m1 m2

k1 k22

m1

k1

m2

k2

m1

k21]

=k1 k2[4 1

42

11

2411

211

2 1]

=k1 k2[4 r 46 r21]

(Notar que de =0 se obtm as frequncias naturais)

Obtm-se ento: X 1 = 1 k1k22m2F eq =

1

k1 114

2

12 F eq =

24 r 2

4 r 46 r 21Feqk 2

X 2 =1

k1 F eq =

14 r 46 r21

F eqk 2

FT = X 2 k2 =1

k1 k 2 F eq =

14 r 46 r21

F eq

Para a frequncia especificada ( r=2 ) vir FT = 14 246221 F eq =0,0244 F eq

(Importante - Notar que a comparao com os casos anteriores ( FT=0,0526 Feq e FT=0,3333 F eq ), com um s grau de liberdade, os valores no tm significado especial. Eles teriam valores relativos diferentes conforme a frequncia de excitao se aproxime ou afaste das frequncias naturais.)

4.23

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando Neves4.5- Coordenadas Generalizadas - Acoplamento de Coordenadas

A equao geral para um sistema, com dois graus de liberdade,

[m11 m12m21 m22 ]{q1q 2}[

c11 c12c21 c22]{

q1q 2}[

k 11 k 12k 21 k 22]{

q 1q2}={

Q1t Q2t }

(Notar que para n graus de liberdade as matrizes seriam de ordem nxn.)

Se o sistema for livre e no amortecido, vir [m11 m12m21 m22]{q1q2}[

k11 k12k21 k22]{

q1q2}={

00}

Observe-se esta equao para considerar o significado dos seus termos (Notar que o texto abaixo no tem preocupao com rigor de definio):

kii representa a rigidez do movimento da coordenada i com relao a um ponto fixo (considerando todas as outras coordenadas fixas)

kij representa a rigidez do movimento relativo entre as coordenadas i e j

mii representa o efeito da massa (momento de inrcia) relativa coordenada i na fora (torque) de inrcia para o movimento da prpria coordenada i

mij representa o efeito da massa (momento de inrcia) na fora (torque) de inrcia relativa coordenada i, em funo movimento da coordenada j

(Notas: - No caso da rigidez, um sistema esttico ilustra bem os conceitos... O caso da matriz massa mais difcil de visualizar, mas ser visto, de seguida... -Estes conceitos aplicam-se a sistemas com mltiplos graus de liberdade.)

Acoplamento de Coordenadas: Nas equaes kij e mij so responsveis pelo acoplamento das coordenadas i e j . Pode-se mostrar que os valores dos elementos nas matrizes no so nicos para um dado sistema. Dependem das coordenadas usadas.

Da mesma forma, o acoplamento nas matrizes dependem das coordenadas usadas.

(Para ilustrar estes conceitos iremos usar o exemplo anterior, modelado com apenas 2 GDL (ver 4.3.1.2- Exemplo 2 - Suspenso de veculo))

4.24

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando Neves4.5.1- Acoplamento de Coordenadas - Exemplo de Acoplamento Esttico

Considerar a situao j estudada (4.3.1.2- Exemplo 2 - Suspenso de veculo) Escolheu-se para coordenada de translao x1 o movimento do centro de massa.

A equao resultante {x1 }[ k1k2 k1 L1k2 L2k1 L1k2 L2 k 1 L12k2 L22 ]{x1 }={00} Acoplamento Esttico:

[M ] desacoplada. [K ] acoplada.

Aplicando somente uma fora esttica em CG, o sistema sofre uma translao e uma rotao. Aplicando somente um torque esttico em CG, o sistema sofre uma rotao e uma translao.

4.5.2- Acoplamento de Coordenadas - Exemplo de Acoplamento Dinmico

Escolheu-se para coordenada de translao x2 o movimento a uma distncia e do centro de massa, tal que k1 L3=k 2 L4

Neste caso aplicando uma fora em x2 no haver rotao, pois os momentos aplicados pelas molas em 2 se equilibram. Porm...

Durante a vibrao, a fora de inrcia m x2 , em 2 criar um momento m x2e no CG que resultar em uma rotao .

Tambm uma rotao em 2 resulta em um deslocamento e no CG criando um momento me2em 2.

As equaes resultantes so m x2e 2=m x 1M i=J 2me ac

m x2me k 1k 2 x2 k1 L3k 2 L4=0J 2 m e x 2 k1 L3k2 L4 x2 k1 L32k 2 L42=0

[ m m em e J 2 ]{x2 }[k1k 2 k1 L32k 2 L42]{x 2 }={00}

Acoplamento Dinmico:

[M ] acoplada.

[K ] desacoplada.4.25

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando Neves4.5.3- Acoplamento de Coordenadas - Exemplo de Acoplamento Total

Escolher para coordenada de translao x3 o movimento de qualquer ponto que cumpra as condies dos casos anteriores. Por exemplo, o extremo esquerdo (ponto de ligao de k2).

As equaes resultantes so

m x3m L =k1 x 3k2 x3LJ 3 m L x3=k 2 x3LLm x3m L k1k 2 x 3 k2 L =0J 3 m L x3 k 2 L x3 k2 L2=0

[ m m Lm L J 3 ]{x3 }[k 1k 2 k 2 Lk 2 L k 2 L2]{x 3 }={00} Acoplamento Total:

[M ] acoplada. [K ] acoplada.

Pode-se verificar que:a) O acoplamento depende das coordenadas escolhidas;b) A escolha de coordenadas mera convenincia;c) O sistema vibrar da mesma maneira quaisquer que sejam as coordenadas escolhidas (claro!!!), e as alteraes

que resultam, da escolha de coordenadas, em [K ] e [M ] no alteram a forma de vibrao do sistema;d) As equaes que resultam para uma determinada escolha de coordenadas podem ser obtidas daquelas que

resultam para outro sistema de coordenadas, usando-se uma transformao matemtica;e) O acoplamento no uma propriedade do sistema (como so, por exemplo, as frequncias naturais e os modos

de vibrao;f) Qualquer sistema pode ser totalmente desacoplado (tanto em relao a [K ] como a [M ] ). (Na prtica as

operaes necessrias podero envolver um volume de clculo que torne o procedimento invivel, mas o desacoplamento sempre teoricamente possvel Isso ser visto de seguida e a base para os procedimentos de Anlise Modal).

Nota: [K ] e [M ] Tm surgido sempre simtricas. Pode-se mostrar que isto acontecer se forem usadas coordenadas absolutas.

4.26

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando Neves4.6- Coordenadas Principais

Sugeriu-se anteriormente que, para todos os sistemas, deve existir um conjunto de coordenadas para o qual as equaes do sistema so desacopladas.

Pode-se provar que essas coordenadas existem, para qualquer sistema (Para sistemas amortecidos, a distribuio de amortecimento - matriz massa- precisa obedecer a certas limitaes).

Por agora vamos supor que tal sistema de coordenadas existe, e considerar o que acontece...

As coordenadas que desacoplam o sistema chamam-se Coordenadas Principais.

Se forem usadas Coordenadas Principais, a equao matricial que descreve um sistema no amortecido

com 2 Graus de Liberdade ser [m11 00 m22]{p1p2}[

k 11 00 k 22]{

p1p2}={

00}

(Notar que, para sistemas com n graus de liberdade, as matrizes seriam semelhantes, mas de ordem nxn.)

ou seja m11 p1 k11 p1 = 0m22 p2 k22 p2 = 0

Claro que este um sistema de equaes independentes.

Resolver o sistema equivalente a resolver, independentemente, dois sistemas com um grau de liberdade.

A soluo p1=A11 sen 1 t1p2=A22 sen 2 t 2 (A) com 1= k11m11 e 2= k22m22

Notar: Embora o sistema possa ser tratado, matematicamente, como 2 (n) sistemas separados com um grau liberdade, fisicamente ele continua sendo um sistema nico.

Existir a questo de saber o que so fisicamente as coordenadas pi. (Em geral elas no se podem facilmente visualizar.) Esta questo no importante. (Porqu?)

4.27

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesCoordenadas Principais (cont.)

As Coordenadas Principais podem-se obter de xi , ou qi , a partir de uma transformao de coordenadas.

Vejamos como... (notar que esta no pretende ser uma prova!)Vimos que a soluo do sistema,

usando coordenadas principais {p1p2}={A1 sen1 t 1A2 sen 2 t 2} (A)

e usando coordenadas generalizadas {q1q2}=[u11 u12u21 u22]{

A1 sen1 t 1A2 sen 2 t2} (B)

A transformao de coordenadas que se procura pode ser obtida considerando as equaes (A) e (B).Se as equaes (A) e (B) dizem respeito ao mesmo sistema fsico, ento elas representam necessariamente a mesma soluo fsica. Apenas a soluo matemtica diferente, por terem sido usados sistemas de coordenadas diferentes.

A comparao de (A) e (B) sugere que a relao entre os dois sistemas de coordenadas deve ser

{q}=[U ] {p} (C1) ou {p}=[U ]1 {q} (C2)

Pode-se demonstrar formalmente que as expresses acima, de fato, relacionam as coordenadas principais com as coordenadas generalizadas.

Portanto: O sistema de equaes pode ser desacoplado por uma mudana de coordenadas;

A transformao de coordenadas para Coordenadas Principais realizada por meio da Matriz Modal (conforme as expresses (C) ).

Os modos de vibrao do sistema formam uma base para a descrio do movimento.

4.28

Pode-se entender o que ocorre, no caso do exemplo, operando sobre o sistema de equaes diferenciais que representam o sistema

m x12k x1k x2=0m x 2k x12 k x2=0

somando e subtraindo m x1 x2k x1x2=0

m x1 x23 k x1x 2=0

m12 x1 x2k

12x1x2=0

m12 x1 x23 k

12 x1x 2=0

m p1 k p1=0m p2

e as frequncias naturais so, obviamente... = kmCoordenadas Principais =3 km

4.29

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesCoordenadas Principais - Exemplo ilustrativo (cont.): Tcnica de tratamento matricial:

Podemos mostrar como se obtem o mesmo resultado, usando a matriz modal (equaes (C) {q}=[U ] {p } ;{p}=[U ]1 {q } ) .

A tcnica envolve na equao [M ] {q}[K ] {q}={0 } ,a) substituir {q} por [U ] {p} ,b) pr-multiplicar por [U ]T ,

o que resulta em [U ]T [M ] [U ] { p}[U ]T [K ][U ] {p}={0} (D)

sendo que [U ]T [M ][U ] e [U ]T [K ][U ] so diagonais,

resulta finalmente em [M ] { p }[K ] {p}={0} .

Vejamos o caso do exemplo com 2 GDL:

[1 11 1][m 00 m][1 11 1]=[1 11 1][m mm m]=[2m 00 2m]

[1 11 1][ 2k kk 2k ][1 11 1]=[1 11 1][k 3kk 3k]=[2k 00 6k ]

O que resulta em [2 m 00 2 m]{p1p2}[2 k 00 6 k]{p1p2}={

00} e = 2 k2 m ; = 6 k2 m

Nota: Pode-se mostrar que as equao (C) e (D) so gerais e vlidas para qualquer nmero de graus de liberdade.

4.30

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando Neves4.7- Vibrao Forada No-amortecida - Introduo Anlise Modal

A Matriz Modal, que permite desacoplar as equaes do movimento obtida a partir da soluo da equao homognea no-amortecida

[M ] {q}[K ] {q}={0}

Considerando um sistema forado, no-amortecido, pode-se mostrar que a equao que o representa ser tambm

[M ]{q}[K ]{q}={Q t }p}[U ]T [K ][U ] {p}=[U ]T {Q t }

sendo [U ]T [M ] [U ] e [U ]T [K ][U ] diagonais, e fazendo [N t ]=[U ]T [Q t ]

resulta [M ] { p}[K ] {p}={N t } (E)

A equao (E) est desacoplada. Ela corresponde, de fato a um conjunto de n equaes matematicamente independentes (embora o sistema fsico continue o mesmo).

Resolver o sistema equivalente a encontrar a soluo de n sistemas com um s grau de liberdade.

Parece, portanto, que o problema tem uma soluo muito fcil... Mas existem algumas dificuldades:

a) As coordenadas {p} fazem sentido matematicamente, mas no fazem sentido fisicamente (a no ser em alguns casos particulares). (Uma sada seria voltar s coordenadas {q} , fazendo {q}=[U ] {p } .);

b) Para se obter [U ] tm que se determinar todos os vetores modais. Isso pode ser difcil (trabalhoso); ou impossvel para sistemas com grande nmero de graus de liberdade;

c) A soluo direta (fora bruta) de 2[M ][K ] {q}={Q t } ser, para sistemas grandes, computacionalmente mais eficiente do que todo o processo descrito envolvendo o desacoplamento das equaes.

Estas dificuldades podem ser bem resolvidas... (como veremos a seguir...) 4.31

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesVibrao Forada No-amortecida - Introduo Anlise Modal (cont.)

Os conceitos de Coordenadas Principais e de desacoplamento so muito importantes! (Embora no sejam aplicados diretamente na soluo, como foi sugerido acima.)

Eles so a base para o entendimento do comportamento de um sistema com mltiplos graus de liberdade. Pode-se verificar que o movimento ser uma combinao linear (sobreposio) dos movimentos correspondentes

aos Modos Principais de Vibrao (cada um na respectiva Frequncia Natural) da estrutura. Vejamos como, de fato, se podem contornar as dificuldades de clculo levantadas (e, mais do que isso,

compreender como um sistema com vrios GDL fisicamente se comporta):

Seja a equao geral [M ] {q}[K ] {q}={Q t } com excitao harmnica de frequncia {Q t }={Q1Q2...

Qn} sen tento a resposta (movimento) ser tambm harmnica e com frequncia {q}={

q1q 2...

qn} sen t

Vimos que, nesse caso, a equao geral pode ser escrita 2 [M ][K ]{q}={Q t }ou, em coordenadas principais, 2 [M ][K ]{p}=[U ]T {Q t }

A matriz do lado esquerdo da equao diagonal e, por isso, muito simples de inverter.

2 [M ][K ]1= [ k ii2 mii ]1

=[ 1kii2 mii ]e ento {p} fcil de obter

{ p }= [ 1k ii2 mii ][U ]T {Q t}4.32

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesVibrao Forada No-amortecida - Introduo Anlise Modal (cont.)

O procedimento de clculo para obter {p} parece simples { p }= [ 1k ii2 mii ][U ]T {Q t}Mas continuam as dificuldades de que :

a) Com as coordenadas principais {p} difcil (impossvel) visualizar o movimento. b) Precisam ser calculados todos os vetores modais para obter a matriz modal [U ] !

Elas podem se contornadas considerando que:

a) Pr-multiplicando por [U ] obtem-se {q} , uma vez que {q}=[U ] {p} .

e obtem-se o resultado em termos das coordenadas generalizadas {q }= [U ] [ 1k ii2 mii ][U ]T {Q t }b) Pode-se mostrar que [U ] [ 1k ii2 mii ][U ]T =i=1n {ui}T {ui}k ii2 mii

o que ento resulta {q }=i=1

n {ui}{ui}T

kii2 mii{Q t }

que pode ser aproximada por {q }=i=1

m {ui}{ui}T

kii2 mii{Q t }

(com m n )

Quer dizer.... no ser necessrio usar todos os n vetores modais (e frequncias naturais) do sistema com n graus de liberdade.

Apenas os m primeiros modos de vibrao (aqueles com frequncia natural mais baixa) sero suficientes para sintetizar a resposta. (A contribuio dos modos com frequncias mais altas pode ser desprezada).

Quantos modos (m) sero necessrios, depende da aproximao desejada e do sistema analisado (mas sempre ser m

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesVibrao Forada No-amortecida - Introduo Anlise Modal (cont.)

4.34

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando Neves4.8- Composio Modal - Sistema Amortecido

Para um sistema amortecido, com n graus de liberdade, e excitao harmnica com frequncia tem-se[M ]{x}[C ]{x}[K ]{x}={F } sen t

A resposta ser tambm harmnica e com frequncia {x }={X } sen t( {X } contm informao de amplitude e fase)

A equao pode ento ser escrita como2 [M ] j [C ][K ] {x}={F } (a)

Vimos que [M ] e [K ] se reduzem a matrizes diagonais, se for feita a transformao de coordenadas {x }=[U ] {p} .ou seja elas so desacopladas ( [U ]T [M ] [U ]=[ M ] ; [U ]T [K ][U ]=[ K ] )

De fato existe uma condio menos restritiva!

O amortecimento chama-se, neste caso Amortecimento Proporcional.

Neste caso a equao (a) pode ser escrita, aps a transformao de coordenadas, completamente desacoplada, usando coordenadas principais

2 [M ] j[C ][K ] {p}=[U ]T {F } (b)

As vantagens e desvantagens da utilizao desta equao so as mesmas j apresentadas para sistemas no-amortecidos (sistema desacoplado vs coordenadas no visualizveis, dificuldade/impossibilidade de obter [U] completa, etc.).

Mas a equao (b) tem grande importncia conceitual, pois ela (e o conceito de Coordenadas Principais e de linearidade do sistema) permite chegar conceituao de Composio Modal.

A Composio Modal a base para toda uma metodologia e sistemtica de estudo do comportamento dinmico de sistemas e/ou estruturas de grande porte, que a Anlise Modal (experimental e/ou numrica).

4.35

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesComposio Modal - Sistema Amortecido (cont.)

A equao 2 [M ] j [C ][K ] {p}=[U ]T {F } (b) pode ser escrita

[ Z ]

Formalmente, a soluo de (b) pode ser obtida a partir da inversa de [ Z ] , usando procedimento semelhante ao usado para o sistema no amortecido...

(Notar que no este, o procedimento prtico de clculo)

[ Z ]1 = [ k ii 2 mii j c ii ]1

= [ 1k ii 2 mii j cii ]resultando a soluo {p }= [ Z ]1[U ]T {F }

Mas a soluo procurada dever ser apresentada usando Coordenadas Generalizadas.

Ela pode ser obtida de {x }=[U ] { p}

{x }= [U ] [ 1k ii 2 mii j cii ] [U ]T {F }Tal como para o caso no-amortecido, o produto {x }= [ Z ]1 [U ]T {F } pode ser substitudo por um somatrio...

[U ] [ 1k ii 2 mii j cii ] [U ]T =i=1n {ui}{u i}Tk ii 2 mii j c ii4.36

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesComposio Modal - Sistema Amortecido (cont.)

Vimos que {x }= [U ] [ 1k ii 2 mii j cii ] [U ]T {F } e [U ] [ 1k ii 2 mii j cii ] [U ]T =i=1n {ui}{u i}Tk ii 2 mii j c iiPortanto, a soluo procurada {x }=

i=1

n {ui}{ui}T

k ii 2 mii j cii{F }

De novo, esta equao pode ser aproximada por um somatrio com um nmero de termos muito menor (para sistemas grandes) do que o nmero de graus de liberdade do sistema ( m

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesComposio Modal - Sistema Amortecido (cont.)Vimos que a Resposta em Frequncia para um sistema com n Graus de Liberdade, Vetores Modais forem orto-normalizados com relao massa, pode ser expressa por

{x }=i=1

m {ui}{ui}T

i2 2 j 2 i i

{F } (c1)

Notar: O movimento forado obtido como o somatrio das contribuies de respostas que correspondem a cada uma

das Frequncias Naturais / Modos de Vibrao do sistema. A resposta em frequncia a composio linear das respostas modais.

Esta a conceituao de Composio Modal Os vetores modais e as frequncias naturais so obtidas da equao livre do movimento no amortecido

[M ]{q}[K ]{q}={0}resolvendo o problema de autovetor/autovalor

2[M ]{q}=[K ]{q}

Supondo que apenas uma fora aplicada na estrutura (em {F } s F k0 , F j=0 se jk ), e que se pretende conhecer a resposta em frequncia apenas na coordenada l, ento a equao (c1) fica muito simples

UnB - Departamento de Engenharia Mecnica Vibraes 1 Prof. Fernando NevesQuatro Figuras para Conversar sobre Resposta em Frequncia e Anlise Modal

(As figuras podem ser encontradas, bem com o texto que as acompanha, em: - Peter Avitable, Experimental Modal Analysis A Simple Non-Mathematical Presentation, Sound and Vibration, jan 2001)

4.39