unidade 3 vibracoes

Unidade 3: Vibraes Foradas sob Excitao Harmnica

55

UNIDADE 3 - VIBRAES FORADAS SOB EXCITAO

HARMNICA

3.1 - Introduo

Vibrao forada aquela que ocorre quando o sistema sofre a ao de foras externas durante o movimento.

As foras que atuam sobre o sistema podem ser determinsticas ou aleatrias, determinando uma caracterstica do

movimento vibratrio. As foras determinsticas podero se apresentar de diversas formas. As foras harmnicas e as

foras peridicas so as que representam a maioria dos fenmenos responsveis por vibraes em sistemas fsicos.

Como visto na Unidade 2, os sistemas que sero estudados so representados por equaes diferenciais lineares. A

resposta de um tal sistema, que a soluo da equao do movimento, sob a ao de foras, ter a mesma forma

funcional que a fora atuante. Isto significa que uma fora harmnica produz uma vibrao harmnica, uma fora

peridica produz uma vibrao peridica, etc. A soluo particular da equao diferencial , ento responsvel por

representar este movimento. Mas a soluo geral composta de uma soluo homognea e uma soluo particular. A

soluo homognea representa a parcela transitria da resposta do sistema, aquela que produzida pelas condies

iniciais do movimento. tambm a soluo homognea que representa a resposta transiente que resulta da aplicao

eventual de alguma fora com tempo de durao finito, o que ser visto na Unidade 4.

A excitao harmnica representada por uma funo senoidal apresentando a forma

F t F t( ) sen 0 ou

F t F t( ) cos 0

onde F0 a amplitude da fora (o valor da fora quando a mesma aplicada estaticamente), a frequncia com que a fora aplicada (igual a zero quando de aplicao esttica) e o ngulo de fase medido em relao ao referencial de tempo (atraso da resposta em relao fora).

Em forma complexa pode-se escrever tambm

F t F e

i t( )

0

Este tipo de fora produzir uma resposta harmnica que tambm ter a forma funcional senoidal.

Neste captulo, tambm ser visto o fenmeno da ressonncia, que ocorre quando a frequncia com que a fora

aplicada coincide com a frequncia natural do sistema que sofre a ao da referida fora. Este fenmeno amplamente

conhecido e pode produzir graves consequncias integridade estrutural do sistema.

3.2 - Equao Diferencial do Movimento

k

(a)

kx

m m

.cxc

x

Sistema Diagrama de corpo livre

(b)

F(t) F(t)

Figura 3.1 - Sistema de um grau de liberdade sob esforo externo.


56

A Figura 3.1 mostra o modelo de um sistema de um grau de liberdade, amortecido, e seu respectivo diagrama

de corpo livre. O diagrama de corpo livre mostrado na Figura 3.1b ilustra as foras atuantes na massa m. Aplicando a 2a

Lei de Newton, a equao diferencial do movimento obtida como

mx cx kx F t (3.1)

Esta equao diferencial possui uma soluo geral constituda de uma soluo homognea associada a uma

soluo particular

x t x t x th p (3.2)

A soluo homognea obtida fazendo F(t) = 0 resultando na vibrao livre (dependente das condies

iniciais) que foi estudada na Unidade 2. A soluo particular representa a vibrao de regime permanente do sistema,

persistindo enquanto a fora externa atuar. A Figura 3.2 ilustra a composio da soluo da equao diferencial (3.1). A

parcela do movimento que diminui com o tempo, devido ao amortecimento chamada transiente ou transitria e a

rapidez com que ocorre esta diminuio depende dos parmetros do sistema, m, c e k.

t

t

xh(t)

xp(t)

x(t) = xp(t) + x

p(t)

t

Figura 3.2 - Solues homognea, particular e geral da equao diferencial do movimento.

3.3 - Sistema No Amortecido Sob Fora Harmnica

Por simplicidade, estudaremos inicialmente o sistema sem amortecimento (c = 0) e com F(t) = F0 cost. A equao (3.1) assume a forma

mx kx F t cos 0 (3.3)

A soluo homognea desta equao, estudada na seo 2.2.1, tem a forma

x t C t C th n n 1 2cos sen (3.4)

A soluo particular, por sua vez,

x t X tp cos (3.5a)

Se (3.5a) soluo da equao (3.3), ento deve verificar a mesma. Se a velocidade e a acelerao so obtidos

por derivao direta


57

senx t X tp (3.5b)

cosx t X tp 2 (3.5c)

substituindo (3.5a) e (3.5c) em (3.3), resulta

m X t kX t F t 2 0cos cos cos

Dividindo toda a expresso por cost, e rearranjando, chega-se a

XF

k m

0

2 (3.6)

Substituindo (3.6) em (3.5a), a soluo particular se torna

x tF

k mtp

0

2cos (3.7)

A soluo geral obtida como a soma das expresses (3.4) e (3.7), sendo igual a

x t C t C tF

k mtn n

1 2

0

2cos sen cos

(3.8)

Introduzindo as condies iniciais x t x 0 0 e x t x 0 0 , as constantes de integrao so calculadas, resultando em

C xF

k m1 0

0

2

e C

x

n2

0

(3.9)

que introduzidas em (3.8) resultam na expresso

x t xF

k mt

xt

F

k mtn

nn

00

2

0 0

2

cos

sen cos (3.10)

0

1

1

-1

-2

-3

-4

-5

2

3

2 3

4

4

5

Xst

rn

Figura 3.3 - Fator de amplificao dinmica.


58

Dividindo numerador e denominador por k em (3.6), sendo a deflexo esttica stF

k 0 , a deformao

sofrida pelo sistema quando a fora aplicada estaticamente, e considerando que a frequncia natural do sistema dada

por nk

m2 esta expresso (3.6) pode ser escrita na forma

X

st

n

1

1

2 (3.11)

que chamado de fator de amplificao dinmica.

A Figura 3.3 mostra a funo expressa em (3.11), que apresenta trs domnios distintos, caracterizando

comportamentos diferentes.

Caso 1 - Para 0 1

n o denominador de (3.11) positivo e a resposta de regime permanente do sistema

dada pela equao (3.7). Diz-se que a resposta harmnica xp(t) est em coincidncia de fase com a fora externa,

conforme mostra a Fig. 3.4.

F(t) = F0cost

xp(t) = X cost

F0

X

t

t

2

2

0

0

Figura 3.4 - Resposta harmnica em fase com a fora externa.

Caso 2 - Para

n 1 o demonimador de (3.11) negativo e a resposta de regime permanente do sistema

dada por

x t X tp cos (3.12)

em que a amplitude do movimento redefinida como uma quantidade positiva, ou

X st

n

2

1

(3.13)

Neste domnio a resposta harmnica xp(t) est oposio de fase com a fora externa, conforme mostra a Fig.

3.5. Ainda na Fig. 3.3 observa-se tambm que, para n , a amplitude X 0 , de forma que o deslocamento de

um sistema sob excitao harmnica em frequncias muito altas muito pequeno.


59

F(t) = F0cost

xp(t) = X cost

F0

- X

t

t

2

2

0

0

Figura 3.5 - Resposta harmnica em oposio de fase com a fora externa.

Caso 3 - Para

n 1 , a amplitude dada por (3.11) ou (3.13) infinita. Esta condio, em que a frequncia

com que a fora aplicada igual frequncia natural do sistema, chamada de RESSONNCIA. Para determinar a

resposta nesta condio necessrio que a equao (3.10) seja escrita na forma

t0

xp(t)

2

n

Figura 3.6 - Resposta harmnica na ressonncia.

x t x tx

tt t

nn

n st

n

n

0

0

2

1

cos

sencos cos

(3.14)

O ltimo termo desta equao vai a infinito quando n, e para avaliar a funo no limite necessrio aplicar a Regra de LHospital, resultando


60

n n n

t t

d

dt t

d

d

t t tt

n

n

n

nn

n

nlim lim limcos cos cos cos sen

sen

1 1

2 22 2

2

De forma que (3.14), que a resposta do sistema, se torna

x t x tx

t tnn

n

t

nst n

00

2cos

sen sen

(3.15)

representando um movimento cuja amplitude cresce indefinidamente com o tempo devido ao termo st n t

2ser sempre

crescente, como ilustra a Figura 3.6.

3.3.1 - Resposta Total

A resposta total do sistema, expressa em (3.8), pode ser escrita na forma

x t A t tn st

n

cos cos

1

2 ; para

n

1 (3.16)

x t A t tn st

n

cos cos

2

1

; para

n

1 (3.17)

onde as constantes so determinadas a partir das condies iniciais. A Fig. 3.7a mostra o movimento produzido pela

equao (3.16) em que a frequncia excitadora menor que a frequncia natural do sistema e a Fig. 3.7b aquele

produzido por (3.17) em que a frequncia excitadora maior que a frequncia natural do sistema.

x(t) 2

A

st

n

1

2

t

t

0

0

x(t)

2

2

n

2

n

st

n

2

1

A

(a)

n 1

(b)

n 1

Figura 3.7 - Resposta total do sistema.


61

3.3.2 - Fenmeno do Batimento

Quando a frequncia da fora externa muito prxima da frequncia natural, ocorre uma composio de

movimentos conhecida como batimento. Se, na equao (3.10) fizermos x x0 0

0 , a mesma se torna

x tF

k mt t

Fm

t t

Fm

t t

n

n

n

n

n n

0

2

0

2 2

0

2 2 2 2 2

cos cos cos cos

sen sen

(3.18)

Se a diferena entre as frequncias pequena, pode-se dizer que

n

n

n

2

242 2

e (3.18) se torna

x tF

m t t

0

2 sen sen (3.19)

cujo movimento est representado na Fig. 3.8.

t0

xp(t)

2

2

Fm

0

2

Figura 3.8 - Fenmeno do batimento.

A Fig. 3.8 mostra o movimento composto de uma parcela de baixa frequncia envolvendo outra de alta

frequncia. O movimento de baixa frequncia tem perodo

b

n

2

2

2 (3.20)

conhecido como perodo de batimento. A frequncia de batimento, consequentemente, tambm pode ser obtida por

b n 2 (3.21)

Exemplo 3.1 - Uma bomba alternativa, pesando 70 kg, est montada no meio de uma placa de ao de espessura igual a

0,0127 m, largura igual a 0,508 m, e comprimento igual a 2,54 m, engastada ao longo de dois lados, como mostra a Fig.

3.9. Durante a operao da bomba, a placa est sujeita a uma fora harmnica F(t) = 220 cos 62,8t N. Encontrar a

amplitude de vibrao da placa.

Soluo: O momento de inrcia dado por

Ibh

m 3

3

8 4

12

0 508 0 0127

128 67 10

, ,,

A rigidez da placa obtida modelando-a como uma viga bi-engastada.


62

k

EI

lN m

192 192 2 068 10 8 67 10

2 542 10 10

3

11 8

3

5, ,

,, /

F(t), x(t)

2,54 m

0,0127 m

Figura 3.9 - Bomba sobre placa.

A amplitude obtida aplicando-se (3.6), com F0 = 220 N e = 62,8 rad/s

X

F

k mm

0

2 5 2

3220

2 10 10 70 62 83 33 10

, ,,

O sinal negativo indica que a frequncia da fora excitadora maior que a frequncia natural do sistema, uma

vez que ocorre oposio de fase.

3.4 - Resposta de um Sistema Amortecido sob Excitao Harmnica

Sob a atuao de uma fora harmnica a equao do movimento amortecido se torna

mx cx kx F t cos 0

(3.22)

A soluo particular

x t X t

x t X t

x t X t

p

p

p

cos

sen

cos

2

(3.23)

Substituindo em (3.22) resulta

m X t c X t kX t F t 20

cos sen cos cos (3.24)

Colocando a amplitude X em evidncia e reagrupando os termos

tFtsenctmkX coscos0

2 (3.25)

Usando as relaes trigonomtricas

cos cos cos sen sen

sen sen cos cos sen

t t t

t t t

a expresso (3.25) torna-se

X k m c t k m c t t F t 2 2 0cos sen cos sen cos sen cos (3.26)

Igualando coeficientes de sent e cost de ambos os lados da expresso

X k m c F

X k m c

2

0

2 0

cos sen

sen cos (3.27)

De onde se obtm


63

X

F

k m c

0

22 2

(3.28a)

e

tan 12

c

k m (3.28b)

XF

0

0

F(t), x(t)

F(t)

x(t)

t

t-F(t)

x(t)

2

2

t

Figura 3.10 - Representao grfica de funo excitadora e resposta.

Dividindo numerador e denominador de (3.28a) e (3.28b) por k tem-se

X

Fk

m

k

c

k

0

2

2 2

1

(3.29a)

e

tan 1

21

c

km

k

(3.29b)

Como n

k

m ,

c

c

c

k

c

k

m

kc

c n

n

2 2 e

st

F

k 0 , tem-se

Xst

n n

1 2

2 2 2

(3.30a)

e

tan 1 2

2

1

n

n

(3.30b)

ou ainda com rn

= razo de frequncias, pode-se escrever

X

r rst

1

1 222 2

(3.31a)

e

tan 1 2

2

1

r

r (3.31b)

Na Fig. 3.11 so apresentadas as funes expressas em (3.31a) e (3.31b). As curvas so obtidas para as

relaes de Xst

e em funo de r, de onde podem ser extradas algumas observaes:


64

X

st

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0

1,0

2,0

3,0

2,5

1,5

0,5

r

(a)

= 0,1

= 2,0

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,50

45o

90o

135o

180o

4,0

r

(b)

= 0,1

= 0,3

= 0,3

= 0,5

= 0,5

= 0,7

= 0,7 = 1,0 = 1,0

= 2,0

= 5,0

= 5,0 = 1,0

= 2,0

= 5,0

= 0

= 0

Figura 3.11 - Variao de X e com a relao de frequncias r.

1 - Para = 0 = 0 para r < 1 e = rad para r > 1.

2 - O amortecimento reduz a relao de amplitudes para todos os valores da frequncia de excitao.

3 - A reduo da relao de amplitudes na presena do amortecimento significativa na, ou perto da,

ressonncia.

4 - A mxima relao de amplitudes obtida fazendo a derivada de Xst

em relao a r se igualar a zero. O

correspondente valor de r

rn d

1 2 1 22 2

5 - O mximo valor de X, obtido de (3.31a) quando r 1 2 2 ,

X

st max

1

1 1 2 2 1 2

1

2 12 2 2 2 2 (3.32)

A expresso (3.31) permite a obteno experimental do fator de amortecimento a partir da medio do

mximo valor da relao de amplitudes.

Na ressonncia, com =n ou r = 1 a relao de amplitudes (3.31a) se torna

X

st res

1

2 (3.33)

6 - Para 12

(0,707), observa-se que a relao de amplitudes menor que 1 para qualquer valor de r.

7 - O ngulo de fase no depende da magnitude da fora excitadora F0.

8 - Para r > 1, , a resposta vibratria est em oposio de fase com a fora excitadora. Na ressonncia, para qualquer valor de , o ngulo de fase sempre igual a /2, independente do fator de amortecimento. Isto utilizado para determinao experimental da frequncia de ressonncia uma vez que, como foi visto acima, a amplitude mxima no ocorre na ressonncia, de

forma que a medio do ngulo de fase permite uma medida mais precisa da frequncia natural do sistema.

3.4.1 - Resposta Total

A resposta total a soluo geral da equao diferencial (3.22) cuja soluo homognea foi obtida no Cap. 2,

Eq. (2.22) e a soluo particular (3.23), resultando

x t X e t X tnt d 0 0 cos cos (3.34)

As constantes X0 e 0 so constantes de integrao obtidas atravs das condies iniciais. Com x t x 0 0 e

x t v 0 0 , X0 e 0 so obtidos como


65

X v x X X x Xd

n d0 0 0

2

0

22

1

cos sen cos (3.35a)

e

0

1 0 0

0

tancos sen

cos

v x X X

x X

n

d

(3.35b)

onde X e so obtidos por (3.31a) e (3.31b), respectivamente.

3.4.2 - Fator de Qualidade e Largura de Banda

Para baixos fatores de amortecimento < 0,05 a eq. (3.33) pode ser utilizada

X XQ

st stn

1

2 (3.36)

onde Q chamado de fator de qualidade.

Q 1

X

st

2=

Q

2

R1

R2

1,0

n

Figura 3.12 - Pontos de meia potncia e largura de banda.

Na Fig. 3.12 os pontos R1 e R2 correspondentes a relaes de frequncia para as quais a razo de amplitudes

Q

2, so chamados de pontos de meia potncia, pois a energia vibratria proporcional ao quadrado da amplitude no

movimento harmnico. A diferena entre as frequncias correspondentes a estes dois pontos, 2 -1 , define o que se chama de largura de banda. Os valores das relaes de frequncia correspondentes a estes pontos podem ser obtidos

fazendo X Q

st

2 em (3.31a), usando (3.36)

X Q

r rst

2

1

2 2

1

1 222 2

(3.37)

que resolvida para obter o valor de r, resultando em

r1,2

2 21 2 2 1 (3.38)

Para


66

Subtraindo-se as duas razes de (3.39), tem-se

2

2

1

2

2

2

1

2

2 1 2 1 2 4n n n

(3.40)

Abrindo o produto notvel do numerador de (3.40), obtm-se

1 2 2 14

n n

(3.41)

Como

n

n

1 2 1 2

22 , tornando (3.41)

2 4 2

2 1

2 1

n

n (3.42)

e, considerando (3.36) chega-se a

Qn

1

22 1

(3.43)

onde se tem o fator de qualidade expresso em funo da largura de banda 2 -1. Um mtodo experimental de determinao do fator de amortecimento se fundamenta nesta equao: medindo-se as frequncias correspondentes s

amplitudes iguais amplitude ressonante dividida por 2 (1 e2), determina-se o fator de amortecimento por (3.43).

3.5 - Resposta de um Sistema Amortecido Excitao Complexa

Considerando a equao do movimento na forma

mx cx kx F e i t 0

(3.44)

que tem soluo particular na forma

x t Xepi t (3.45)

que, substituda em (3.44), resulta

m ci k Xe F ei t i t 20

(3.46)

de onde se conclui que

XF

k m ic

0

2 (3.47)

A eq. (3.47) pode ser escrita na forma Z iF

XZ i 0 = impedncia mecnica.

Multiplicando numerador e denominador de (3.47) pelo conjugado do denominador, chega-se a

XF

k m ck m ic

0

22 2

2

(3.48)

ou ainda

XF

k m ce i

0

2 2 2

(3.49a)

e

tan 1 2

c

k m (3.49b)

Substituindo (3.49a) em (3.45), chega-se soluo particular


67

x t

F

k m cep

i t

0

2 2 2

(3.50)

Resposta em Frequncia

Realizando a mesma operao realizada em (3.30a), ou seja, dividindo numerador e denominador por k e

utilizando n

k

m ,

c

k n

2

e r

n

, a expresso (3.45) pode ser escrita na forma

kX

F r i rH i

0

2

1

1 2

(3.51)

que chamada de resposta em frequncia complexa. O mdulo da resposta em frequncia complexa

H ikX

Fr r

0 22 2

1

1 2

(3.52)

de forma que a resposta em frequncia complexa pode ser escrita na forma

H i H i e i (3.53a)

onde

tan 12

2

1

r

r (3.53b)

A resposta de regime permanente (soluo particular) pode tambm ser escrita na forma

x tF

kH i ep

i t

0 (3.54)

A resposta harmnica tambm pode ser representada pelas partes real e imaginria da resposta excitao

complexa. Se F t F t 0 cos , tem-se de (3.23), considerando-se (3.28) e (3.29)

x tF

k m ct

F

kH i e

F

kH i e

p

i t i t

0

2 2

0 0

cos

Re Re

(3.55)

Se F t F t 0 sen , tem-se de (3.23), considerando-se (3.28) e (3.29)

x tF

k m ct

F

kH i e

F

kH i e

p

i t i t

0

2 2

0 0

sen

Im Im

(3.56)

Representao Vetorial Complexa do Movimento Harmnico

mx +

kx..mx..

cx.

kx

x(t)

F(t)

Im

Re

t

Figura 3.13 - Representao complexa do movimento harmnico.


68

Se o deslocamento dado por (3.54), a velocidade e a acelerao so determinados por derivao como

x t iF

kH i e i x t

p

i t

p

0

(3.57a)

e

x tF

kH i e x t

p

i t

p

20 2 (3.57b)

concluindo-se que a velocidade est adiantada /2 em relao ao deslocamento e a acelerao est em oposio de fase,

tambm em relao ao deslocamento. O diagrama mostrado na Fig. 3.13 mostra a configurao de foras durante o

movimento. O sistema est em equilbrio dinmico e a evoluo no tempo possui o efeito apenas de girar o diagrama por

inteiro sem mudar a posio relativa entre os vetores nem desfazer o equilbrio de foras.

3.6 - Resposta de um Sistema Amortecido sob Movimento Harmnico da Base

m

ck

m

x x

y(t) = Y sen t

baset

k(x - y) c(x - y)

x

. .

..

(a) (b) Figura 3.14 - Sistema com movimento na base.

O sistema da Fig. 3.14a, tem seu movimento provocado pelo movimento de sua base y(t). O diagrama de corpo

livre, mostrado na Fig. 3.14b, apresenta as foras atuantes na massa m. A Segunda Lei de Newton aplicada para

determinar a equao do movimento que se torna

mx c x y k x y 0 (3.58)

Se y Y t sen ento cosy Y t e a eq. (3.58) se torna

mx cx kx kY t c Y t sen cos (3.59)

cuja soluo particular

x tkY t

k m c

c Y t

k m cp

sen cos

1

2 2 2

1

2 2 2 (3.60)

Considerando cos cos cos sen sen t t t 1 2 2 1 2 1 , (3.60) pode ser escrita na forma

x t X t Y k c

k m ctp

cos cos

1 2

2 2

2 2 2 1 2 (3.61)

com a relao de amplitudes dada por

X

Y

k c

k m c

r

r r

2 2

2 2 2

2

2 22

1 2

1 2

(3.62a)

e os ngulos de fase

1

1

2

1

2

2

1

tan tanc

k m

r

r (3.62b)


69

2

1 11

2

tan tan

k

c r (3.62c)

A eq. (3.62a) expressa o que se chama de transmissibilidade entre a base e o sistema. Na forma complexa,

sendo y t Ye i t Re , a soluo particular dada por

x ti r

r i rYe

p

i t

Re1 2

1 22

(3.63)

e a transmissibilidade dada por

X

Yr H i 1 2

2

(3.64)

3.6.1 - Fora Transmitida

Como pode ser visto na Fig. 3.14b a fora resultante que atua na base a soma das foras atuantes na mola e no

amortecedor, ou

F k x y c x y mx (3.65)

Se a soluo particular x t X tp cos 1 2 , a fora ser

F m X t F tT 2 1 2 1 2cos cos (3.66)

onde FT chamado de fora transmitida, dada por

F

kYr

r

r r

T

2

2

2 22

1 2

1 2

(3.67)

A Fig. 3.15 mostra curvas da fora transmitida em funo de r para vrios valores do fator de amortecimento,

onde se torna evidente que, para r 2 o acrscimo de amortecimento aumenta significativamente a fora transmitida.

Isto nos faz concluir que acrescentar amortecimento quando a frequncia vibratria superior a 2n no uma

soluo adequada para isolamento de vibraes transmitidas pela base do sistema.

0

1

1

2

3

4

4322

r

FT

kY

= 0,35

= 0,2

= 0,1

= 0

= 0,5

= 1,0 = 0

= 0,1

= 0,2

Figura 3.15 - Fora transmitida.

3.6.2 - Movimento Relativo

Em muitas aplicaes interessante representar o movimento em relao base. Sendo z x y , o

deslocamento da massa em relao sua base, a equao do movimento torna-se

m z y cz kz 0 (3.68)

ou ento


70

mz cz kz my m Y t sen 2 (3.69)

cuja soluo

z t

m Y t

k m cZ t

2

1

2 2 21

sensen (3.70)

e a relao de amplitudes dada por

Z

Y

m

k m c

r

r r

2

2 2 2

2

2 22

1 2

(3.71)

A Fig. 3.16 apresenta a variao da relao de amplitudes com r para vrios fatores de amortecimento.

20

1

1 3 4

4

3

2

5

6

7

ZY

MXme

r

= 0,10

= 0,15

= 0,25

= 0,50 = 1,00

= 0,00 = 0,00

Figura 3.16 - Movimento relativo base e desbalanceamento.

Exemplo 3.2 - A Fig. 3.17a mostra um modelo simples de um veculo que pode vibrar na direo vertical quando

trafega por uma estrada irregular. O veculo tem uma massa de 1200 kg. O sistema de suspenso tem uma constante de

mola de 400 kN/m e um fator de amortecimento de 0,5. Se a velocidade do veculo 100 km/h, determinar a amplitude

de deslocamento do mesmo. A superfcie da estrada varia senoidalmente com uma amplitude de 0,05 m e um

comprimento de 6 m.

Soluo: O modelo adotado de um sistema de um grau de liberdade com excitao pela base. A frequncia excitadora

dada por

(a)

m

ck

y(t) = Y sen t

t

x(t)

m

x(t)

y(t) Y

um ciclo

k2

k2c

(b)

Figura 3.17 - Veculo em movimento em um piso irregular.

fv

lHz cps

1000003600

64 63, ( )


71

com a frequncia angular sendo

= 2f = 229,1 rad/s

A frequncia natural dada por

n

k

mrad s

400000

120018 3, /

A relao de frequncias obtida por

rn

29 1

18 3159

,

,,

A amplitude , ento obtida utilizando a eq. (3.62a)

X

Y

r

r r

1 2

1 2

1 2 0 5 159

1 159 2 0 5 1590 849

2

22 2

2

22 2

, ,

, , ,,

consequentemente

X = 0,849 x 0,05 = 0,0425 m

Exemplo 3.3 - Uma mquina pesando 3000 N est apoiada em uma base deformvel. A deflexo esttica da base,

devida ao peso da mquina 7,5 cm. Observa-se que a mquina vibra com uma amplitude de 1 cm quando a base est

sujeita oscilao harmnica na frequncia natural do sistema com amplitude de 0,25 cm. Achar:

(1) a constante de amortecimento da base;

(2) a amplitude da fora dinmica na base, e

(3) a amplitude do deslocamento da mquina em relao base.

Soluo:

(1) Para determinar a constante de amortecimento necessrio, em primeiro lugar, determinar a constante de rigidez

kW

N mst

3000

0 07540000

,/

O fator de amortecimento obtido resolvendo-se a eq. (3.62a) na ressonncia (r = 1)

X

Y

1 2

2

1

0 25

2

2

,

resultando em

21

600 129 ,

Com isto, a constante de amortecimento obtida por

c m kmN s

mn

2 2 2 0 129 400003000

9 81903 ,

,

(2) A fora atuante na base obtida de (3.67) com r = 1 resultando em

F kY kX NT

1 2

240000 0 01 400

2

2

,

(3) A amplitude do movimento relativo calculada a partir da expresso (3.71), que, para r = 1, torna-se

ZY

2

0 0025

2 0 1290 00968

,

,,

Pode ser observado que, embora sendo a amplitude do movimento relativo definido como z x y , Z no

igual diferena entre as amplitudes X e Y. Isto se d porque existe um ngulo de fase entre os movimentos, de forma

que no atingem os seus valores mximos no mesmo instante de tempo.


72

3.7 - Resposta de um Sistema Amortecido sob Desbalanceamento Rotativo

No sistema mostrado na Fig. 3.18, o movimento gerado pela componente da fora centrfuga atuante na

direo vertical. As componentes horizontais so sempre iguais e opostas, anulando-se a cada instante. Desta forma a

fora externa, de natureza harmnica, dada por

F t me t 2 sen (3.72)

A equao diferencial do movimento , ento

Mx cx kx me t sen 2 (3.73)

e2 sentm2

e2 sentm2

e2 costm2

e2 costm2

e2m2

e2m2

em2

m2

t

e

t

x(t)

k2

k2

c

A

A

M

Figura 3.18 - Massas rotativas desbalanceadas.

A soluo particular de (3.73) tem a forma

x t X tme

MH i e

p

n

i t( ) sen Im

2

(3.74)

Pela semelhana com a eq. (3.44) a soluo pode ser obtida por analogia fazendo F me02 de forma que a

amplitude ser obtida de (3.49a) como

Xme

k M c

me

MH i

me

M

r

r rn

2

2 2 2

2 2

2 22

1 2

(3.75a)

com

tan tan12

1

2

2

1

c

k M

r

r (3.75b)

obtido de (3.49b), sendo nk

M .

O comportamento de X em funo da relao de frequncias r mostrado na Fig. 3.16, de onde podem ser

feitas algumas observaes:

1 - Todas as curvas apresentam amplitudes nulas para frequncias nulas. Isto acontece porque a fora

excitadora, que uma fora centrfuga, tem amplitude proporcional ao quadrado da frequncia sendo, portanto, nula

quando a frequncia zero.

2 - Em altas frequncias (r >> 1) a relao MXme

1 para qualquer fator de amortecimento mostrando que,

nesta faixa de frequncias, o amortecimento no eficiente em diminuir os nveis vibratrios em sistemas com

desbalanceamento rotativo.

3 - O valor mximo MX

memax

obtido quando

d

dr

MX

me

0 o que se verifica para r

1

1 2 2que

sempre maior que a unidade, ao contrrio do que acontece com os sistemas sob excitao harmnica com foras com

amplitude independente da frequncia.


73

Exemplo 3.4 - O diagrama esquemtico de uma turbina de gua tipo Francis est mostrado na Fig. 3.19, na qual a gua

flui de A para as lminas B e caem no conduto C. O rotor tem uma massa de 250 kg e um desbalanceamento (me) de 5

kg.mm. A folga radial entre o rotor e o estator 5 mm. A turbina opera na faixa de velocidades entre 600 e 6000 rpm. O

eixo de ao que suporta o rotor pode ser assumido como engastado nos mancais (livre para girar). Determinar o

dimetro do eixo de forma que o rotor no entre em contato com o estator em todas as velocidades de operao da

turbina. Assumir que o amortecimento pequeno.

A A

C

BB

Mancal

Eixo

Rotor

Estator

Saida da gua

l = 2 m

5 mm5 mm

Entrada

da gua

Entrada

da gua

Figura 3.19 - Turbina de gua tipo Francis.

Soluo: Como o amortecimento desprezvel, (3.75a) torna-se

X

me

k M

me

k r

2

2

2

22

1 (a)

A frequncia determinada pela faixa de velocidades de operao da turbina

600 6002

6020 62 8

6000 60002

60200 628

rpm rad s rad s

rpm rad s rad s

/ , /

/ /

A frequncia natural do sistema

nk

M

k

250 (b)

So duas solues que satisfazem o problema apresentado. Em uma delas a faixa de frequncias de operao se

localiza inteiramente abaixo da frequncia natural do sistema enquanto que na outra a faixa de operao est acima da

frequncia natural.

Caso 1 - Para que a faixa de frequncias de operao fique abaixo da frequncia natural necessrio que a

maior frequncia da faixa, = 200 rad/s, seja inferior a esta. Aqui vamos estabelecer um limite de segurana de 20%, ou seja, max 12 200 240, rad/s. Aplicando a expresso (a) tem-se

0 005

0 005 240

250 2401 250 240 1 43 10

2

2

2 8,,

) , /

kk N m

A rigidez do eixo sob flexo

kEI

l

Ed

l

33

643

4

3

(c)

de onde se obtm o dimetro


74

dkl

E

4364

3

(d)

que, para este caso, resulta

d m d m48 3

11

2 464 1 43 10 2 0

3 2 07 103 74 10 0 440

, ,

,, ,

Neste caso, a frequncia natural, dada na expresso (b), ser igual a

nk

rad s

250

1 48 10

250755

8,/

superior maior frequncia da faixa de operao.

Caso 2 - Para que a faixa de frequncias de operao fique acima da frequncia natural necessrio que a

menor frequncia da faixa, = 20 rad/s, seja superior a esta. Estabelecendo novamente um limite de segurana de 20%, ou seja, min 0 8 20 16, rad/s. Para que a faixa de frequncias fique acima da frequncia natural deve-se

trocar o sinal do denominador a expresso (a), para que a amplitude continue sendo positiva. Resulta, ento em

Xme

M k

2

2 (e)

Aplicando a este caso

0 005

0 005 16

250 16250 1 16 6 29 10

2

2

2 5,,

) , /

kk N m

O dimetro obtido pela aplicao da expresso (d), resultando

d m d m45 3

11

4 464 6 29 10 2 0

3 2 07 101 65 10 0 113

, ,

,, ,

Neste caso, a frequncia natural, dada na expresso (b), ser igual a

nk

rad s

250

6 29 10

25050 2

5,, /

inferior menor frequncia da faixa de operao.

Em ambos os casos as solues encontradas atendem os requisitos dinmicos apresentados. O valor escolhido

para o dimetro deve atender os demais requisitos de projeto.

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