DINÂMICA

VIBRAÇÕES DE SISTEMAS

COM 1 GRAU DE LIBERDADE

António Araújo Correia

Janeiro de 2007

1

VIBRAÇÕES DE SISTEMAS

COM 1 GRAU DE LIBERDADE

1. INTRODUÇÃO Esta publicação destina-se ao apoio das aulas da disciplina semestral de Dinâmica do primeiro semestre do segundo ano do mestrado integrado em Engenharia Civil do Instituto Superior Técnico.

O tema abordado é o das vibrações de sistemas discretos em que o movimento pode ser descrito por apenas um parâmetro, ou seja, de sistemas com 1 grau de liberdade.

1.1. VIBRAÇÕES MECÂNICAS

Uma vibração mecânica é o movimento oscilatório de uma partícula ou de um corpo em torno de uma posição de equilíbrio. Este movimento oscilatório é geralmente provocado quando o sistema é deslocado da sua posição de equilíbrio estável devido, por exemplo, à actuação de forças exteriores, de deslocamentos da sua base ou de choques com outros corpos. As forças actuantes no corpo quando essa solicitação cessa têm a tendência de restaurar a configuração inicial, sendo denominadas de forças de restituição (força elástica no caso de uma massa ligada a uma mola ou força gravítica no caso de um pêndulo). Quando o corpo atinge de novo a sua posição inicial a sua velocidade não será nula pelo que o movimento se prolongará no tempo como uma oscilação harmónica.

O intervalo de tempo necessário para o movimento completar um ciclo é o período de vibração (T). A frequência de vibração (f) é o seu inverso e corresponde ao número de ciclos por unidade de tempo:

T/1f = (1.1)

Sendo que um ciclo num movimento circular corresponde a um ângulo de 2π radianos, define-se a frequência angular (ω) como sendo:

f2πω = (1.2)

O deslocamento máximo do sistema medido a partir da sua posição de equilíbrio é a amplitude do movimento.

Uma vibração pode ser classificada como livre, quando o movimento se mantém apenas devido às forças de restituição, ou forçada, quando se aplica uma força variável no tempo. Pode ainda ser amortecida, quando os efeitos do atrito não são desprezáveis, ou não amortecida, quando esses efeitos podem ser desprezados.

1.2. FENÓMENOS DINÂMICOS E SOLICITAÇÕES

Um fenómeno de origem dinâmica caracteriza-se por uma solicitação variável no tempo, e porventura também no espaço, no qual as forças de inércia, produto da massa pela aceleração, têm uma influência significativa na resposta do sistema. Por abuso de linguagem, o termo “carregamento dinâmico” é frequentemente atribuído de forma errada a fenómenos cuja única característica é serem variáveis no tempo. De facto, se a velocidade de carregamento for suficientemente lenta, a aceleração é desprezável e as forças de inércia não têm uma influência significativa na resposta. Tais fenómenos são classificados de cíclicos, se o sentido do carregamento é alternado, ou quasi-estáticos monotónicos. A título de exemplo citam-se:

2

- fenómeno quasi-estático monotónico: aplicação de uma carga crescente a uma estrutura (Figura 1.1a), na qual a carga P(t) varia lentamente; as únicas forças aplicadas à viga além da carga P(t) são as reacções de apoio R(t), também elas variáveis no tempo;

- fenómeno dinâmico: impacto na estrutura produzindo uma força P(t); as forças aplicadas são nesse caso a força P(t), as reacções de apoio R(t) e as forças de inércia fi(t) dependentes da distribuição de massa e das acelerações na estrutura (Figura 1.1b);

- carregamento cíclico: solicitação da estrutura da Figura 1.1a) por uma força lentamente crescente e de seguida decrescente, como é o caso da acção das ondas sobre as plataformas off-shore;

- carregamento dinâmico alternado: a força P(t) varia rapidamente de forma crescente e de seguida decrescente, como é o caso das vibrações de uma máquina colocada sobre a estrutura da Figura 1.1a). Este tipo de carregamento é igualmente o induzido por uma solicitação sísmica imposta à estrutura.

a) b)

Figura 1.1: Carregamento de uma viga.

Os tipos de solicitações podem definir-se como sendo determinísticos ou aleatórios consoante a sua variação temporal e espacial é perfeitamente definida ou não. De entre as solicitações determinísticas podem distinguir-se as periódicas (harmónicas ou não) e não periódicas (impulsivas ou de longa duração). As Figuras 1.2 a 1.6 representam os vários tipos de solicitações e a respectiva variação temporal.

Figura 1.2: Carregamento periódico harmónico – vibração de máquina rotativa.

Figura 1.3: Carregamento periódico não harmónico – propulsor de navio.

Forças de inércia

3

Figura 1.4: Carregamento impulsivo – onda de choque de uma explosão.

Figura 1.5: Solicitação de longa duração – acção sísmica.

Figura 1.6: Carregamento aleatório – vibração ambiente.

2. FORMULAÇÃO DAS EQUAÇÕES DO MOVIMENTO A formulação das equações do movimento de um problema dinâmico é uma das étapas mais delicadas na análise da resposta de uma estrutura. São apresentadas aqui várias técnicas para as obter, que estão na base de métodos numéricos que permitem o estudo das situações mais complexas. As técnicas referidas apresentam como grande diferença a utilização de quantidades vectoriais ou de grandezas escalares.

2.1. FORMULAÇÃO DIRECTA

Esta formulação consiste em identificar as forças e momentos que se exercem sobre a estrutura em estudo e a escrever que a sua resultante é igual à variação da quantidade de movimento do sistema, baseando-se portanto na segunda lei de Newton ou lei fundamental da dinâmica. Em geral o sistema de forças actuantes é equivalente a uma força resultante e a um momento resultante, com três componentes cada.

4

Designando por R�

(t) a força resultante aplicada a uma massa M animada de uma velocidade v�

, a quantidade de movimento é igual a M v

� e o teorema da quantidade de movimento permite escrever:

( ) uMdt

udM

dt

udM

dt

dvM

dt

dR

2

2

�����

��==

== (2.1)

A quantidade ( uM ���

− ) representa a força de inércia que actua sobre o sistema. Esta equação pode

ser escrita numa forma alternativa, como indicado na expressão seguinte, que corresponde ao princípio de D’Alembert: a equação do movimento do sistema satisfaz a equação de equilíbrio estático do sistema solicitado pelas forças aplicadas e pelas forças de inércia. O comportamento dinâmico do sistema é então descrito por uma equação análoga a um problema estático:

0uMR�

����

=− (2.2)

A equação (4) é de facto um sistema de N equações, cada uma associada a um grau de liberdade da massa M. Em geral para um corpo rígido N=6, correspondendo a três translacções e três rotações. Consoante o grau de liberdade M designa a massa ou uma inércia de rotação, sendo que nesse caso a equação do movimento seria ligeiramente diferente mas com termos similares.

O método directo é particularmente útil para a formulação das equações do movimento de sistemas discretos nos quais as massas estão concentradas em alguns pontos da estrutura, sendo que a dificuldade reside na correcta determinação das forças e momentos resultantes que resultam das ligações e das interacções entre as várias massas do sistema.

2.2. PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

Quando o sistema estrutural é relativamente complexo e envolve várias massas interligadas ou corpos rígidos, o método directo pode revelar-se bastante difícil de utilizar. Frequentemente as várias forças envolvidas podem ser expressas facilmente em função dos graus de liberdade mas as suas relações de equilíbrio serem complexas. Neste caso o Princípio dos Trabalhos Virtuais pode ser utilizado para formular as equações do movimento em detrimento do método directo.

O Princípio dos Trabalhos Virtuais exprime que se um sistema em equilíbrio sob a acção de um conjunto de forças aplicadas for sujeito a deslocamentos virtuais, compatíveis com as ligações do sistema, o trabalho total realizado por essas forças é nulo. Naturalmente, a anulação do trabalho realizado durante um deslocamento virtual é equivalente a uma equação de equilíbrio. A resposta dinâmica de um sistema pode então ser estabelecida identificando primeiro todas as forças actuantes nas massas do sistema, incluindo as forças de inércia de acordo com o Princípio de D’Alembert. De seguida as equações do movimento são obtidas introduzindo campos de deslocamentos virtuais correspondentes a cada um dos N graus de liberdade e igualando o trabalho virtual a zero.

Para um campo de deslocamentos virtual a componente da força generalizada segundo o grau de liberdade qi é Qi e vem:

( )∑=

=−N

1i

iiiii 0qqmqQ δδ �� (2.3)

Uma das grandes vantagens desta abordagem é que os trabalhos virtuais são grandezas escalares, podendo ser adicionadas algebricamente, enquanto que as forças actuantes são grandezas vectoriais e só podem ser sobrepostas vectorialmente.

2.3. MÉTODOS ENERGÉTICOS - PRINCÍPIO DE HAMILTON E EQUAÇÕES DE LAGRANGE

Esta formulação, ao contrário do método directo, baseia-se apenas em grandezas escalares, dando

5

origem à Mecânica Analítica por oposição à Mecânica Vectorial de Newton. Essas grandezas escalares estão relacionadas com a energia mecânica do sistema e com o trabalho das forças nele aplicadas.

O Princípio Variacional de Hamilton é uma lei geral da Física que, sendo um princípio, não pode ser provado. Apesar de não poder ser provado, aliás tal como os princípios de Newton, assumindo a sua validade pode demonstrar-se o Princípio dos Trabalhos Virtuais ou as Leis de Newton através deste princípio e vice-versa.

Introduz-se a função de Lagrange, ),,,( tqqL ii� como sendo uma função que contém toda a

informação sobre a evolução mecânica do sistema, conhecidas as posições e velocidades dos elementos do sistema num determinado instante. Define-se ainda a Acção, S, de um sistema como sendo o integral da função de Lagrange no período de tempo em estudo:

∫=2

1

),,(t

tii dttqqLS � (2.4)

O Princípio Variacional de Hamilton postula então que de todas as trajectórias possíveis para ir de um ponto a outro, ou de todas as configurações de equilíbrio possíveis, a real corresponde à que minimiza a Acção, ou seja, aquela à qual corresponde uma variação nula da Acção:

0=Sδ (2.5)

Note-se que a noção de variação consiste numa trajectória diferente mas com os mesmos pontos extremos, ou numa configuração de equilíbrio diferente mas com as mesmas ligações ao exterior e entre as componentes do sistema.

Na Mecânica Clássica a função de Lagrange para um sistema conservativo é igual à diferença entre a energia cinética e potencial (L = T – V). Quando actuam forças não conservativas o seu trabalho é denominado aqui por τ nc e o Princípio de Hamilton escreve-se:

0)(2

1

2

1

=+− ∫∫t

tnc

t

tdtdtVT τδδ (2.6)

As Equações de Lagrange constituem uma outra forma de formular as equações do movimento de um sistema e podem ser deduzidas do Princípio de Hamilton. Na formulação de Lagrange as energias cinética e potencial e o trabalho das forças não conservativas exprimem-se em função das coordenadas generalizadas:

∑=

===N

i

incinciii qQqVVqqTT

1

)(),( δδτ� (2.7)

O Princípio de Hamilton escreve-se então:

02

1 1

=

+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂∫ ∑

=

t

t

N

i

incii

i

i

i

i

i

dtqQqq

Vq

q

Tq

q

Tδδδδ �

� (2.8)

Integrando por partes o segundo termo:

∫∫

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂ 2

1

2

1

2

1

t

ti

i

t

t

i

i

t

ti

i

dtqq

T

dt

dq

q

Tdtq

q

Tδδδ

���

� (2.9)

e reconhecendo que o primeiro termo do membro da direita nesta expressão é nulo, porque a variação δqi é nula em t1 e em t2, vem:

6

02

1 1

=

+

∂

∂−

∂

∂+

∂

∂−∫ ∑

=

t

ti

N

i

nci

iii

dtqQq

V

q

T

q

T

dt

dδ

� (2.10)

Este resultado deve ser válido qualquer que seja a variação arbitrária δqi, pelo que se obtêm as Equações de Lagrange do sistema:

iii

nci

q

V

q

T

q

T

dt

dQ

∂

∂+

∂

∂−

∂

∂=

� (2.11)

Exemplo de aplicação

Considere-se o pêndulo da Figura 2.1 constituído por 2 massas m1 e m2 ligadas por barras rígidas de comprimento L1 e L2. A descrição cinemática do sistema é obtida facilmente considerando como coordenadas generalizadas os ângulos θ1 e θ2 que as barras formam com a vertical.

Figura 2.1: Pêndulo.

No referencial indicado na figura as coordenadas (xi, yi) das duas massas exprimem-se por:

)cos()cos()sin()sin(

)cos()sin(

2211122112

111111

θθθθ

θθ

LLyLLx

LyLx

+=+=

== (2.12)

As suas derivadas temporais são:

)sin()sin()cos()cos(

)sin()cos(

22211112221112

11111111

θθθθθθθθ

θθθθ

����

��

LLyLLx

LyLx

−−=+=

−== (2.13)

As energias cinética e potencial são dadas por:

)()()(

)(2

1)(

2

1

2221121

22

222

21

211

yLgmyLgmmV

yxmyxmT

−+−+=

+++= ���� (2.14)

Juntando as equações (2.12), (2.13) e (2.14) consegue exprimir-se as energias cinética e potencial em função das coordenadas generalizadas q1 = θ1 e q2 = θ2.

Após derivação as equações de Lagrange conduzem às duas equações diferenciais que regem o equilíbrio dinâmico do sistema:

θ 1

θ 2

m1

m2

L1

L2

y

x

7

0)sin()(

)sin()cos()(

1121

122

221212221212

121

=++

−−−++

θ

θθθθθθθ

gLmm

LLmLLmLmm �����

(2.15a)

0)sin(

)sin()cos(

222

122

121212121222

22

=+

−−−+

θ

θθθθθθθ

gLm

LLmLLmLm �����

(2.15b)

Este exemplo ilustra a relativa facilidade dos métodos energéticos para obter as equações do movimento de sistemas complexos. O método directo aplicado ao mesmo sistema é de aplicação bastante mais difícil.

2.4. CONCLUSÃO

Os vários métodos aqui expostos são equivalentes e conduzem às mesmas equações do movimento. A escolha do método mais apropriado depende do problema concreto em análise.

O método directo é mais intuitivo mas revela-se de aplicação mais difícil para os sistemas complexos devido ao facto de utilizar grandezas vectoriais. Os métodos energéticos, visto que utilizam apenas grandezas escalares, ou os baseados nos trabalhos virtuais são mais robustos e simples de aplicar. Estes métodos constituem o fundamento dos métodos numéricos de resolução de problemas complexos.

3. SISTEMAS COM 1 GRAU DE LIBERDADE O oscilador linear com um grau de liberdade constituído por um bloco rígido de massa M ligado a um apoio e com movimento na horizontal sem atrito é o sistema mecânico mais simples para o estudo das vibrações de um sistema com um grau de liberdade.

A Figura 3.1 representa um tal oscilador, solicitado por uma força P(t) variável no tempo. O único movimento possível do oscilador é o deslocamento horizontal, u(t), da massa. O oscilador encontra-se ligado ao apoio por um elemento que desenvolve uma força ),( uuF � , função do

deslocamento e da velocidade da massa M. A função ),( uuF � caracteriza o comportamento do

oscilador; a força P(t) caracteriza a solicitação.

Figura 3.1: Oscilador com 1 grau de liberdade.

Alguns esquemas estruturais simples podem ser assimilados a osciladores com 1 grau de liberdade para efeitos práticos:

M

u

�F(u,u )

P(t)

8

Figura 3.2: Estruturas assimiláveis a osciladores com 1 grau de liberdade.

Lei de comportamento do oscilador

Esta lei de comportamento depende em geral do deslocamento u(t) da massa e da sua velocidade )(tu� em relação ao apoio. Se a força de restituição F só depender do deslocamento u(t) e se houver

proporcionalidade entre a força e o deslocamento então o oscilador é elástico linear. Esse é o caso típico de uma mola, mas representa também o comportamento de qualquer estrutura quando os deslocamentos são inferiores a um determinado limite do comportamento elástico linear. A relação entre a força no elemento de ligação e o deslocamento relativo u(t) das duas extremidades desse elemento escreve-se simplesmente:

uKFs = (3.1)

Nesta equação K é a constante de rigidez da mola e o índice s corresponde à denominação anglo-saxónica para a mola (“spring”). Nestes apontamentos apenas se analisará o caso do oscilador linear caracterizado por uma lei de comportamento como a dada pela equação 3.1. Nesta equação o tempo não intervém, sendo a relação válida quer o carregamento se efectue de forma lenta ou rápida. Desta forma, se for imposto um deslocamento inicial u0 à massa M antes de a libertar, esta oscilará indefinidamente com uma amplitude do movimento u0.

Na realidade constata-se que a amplitude do movimento decresce ao longo do tempo e que a massa se imobiliza ao fim de algum tempo na sua posição de equilíbrio estático. De facto, uma parte da energia elástica armazenada na mola dissipa-se ao longo do tempo, sendo este fenómeno denominado de amortecimento.

O amortecimento de um movimento pode ser o resultado de diferentes causas. Pode tratar-se de um amortecedor físico (por exemplo um amortecedor hidráulico) o qual é utilizado em automóveis ou em problemas de isolamento das vibrações numa estrutura. A dissipação da energia pode também ser originada por efeitos térmicos relacionados com carregamentos repetidos dos elementos estruturais, por atrito interno nos materiais ou por deformações plásticas dos materiais e elementos estruturais.

Em geral, e salvo em casos excepcionais, o amortecimento em construções de Engenharia Civil não pode ser calculado a partir das propriedades físicas do sistema. Por exemplo, no caso de um edifício em betão armado submetido a uma solicitação sísmica significativa, as fontes de dissipação de energia são múltiplas: fissuração do betão, plastificação das armaduras, danos em elementos secundários (paredes de alvenaria, envidraçados, etc.). Na prática os fenómenos de dissipação de energia são então caracterizados de forma bastante simplificada considerando que provém de um amortecedor viscoso linear.

Um amortecedor viscoso linear é caracterizado por uma relação linear entre a força desenvolvida no amortecedor e a velocidade relativa das suas extremidades:

uCFd�= (3.2)

9

A constante de proporcionalidade C, característica do amortecedor, tem undiades de massa por unidade de tempo. O índice d corresponde à denominação anglo-saxónica para o amortecedor (“damper”). A descrição dos fenómenos de dissipação de energia com base num amortecedor equivalente é realizada igualando a energia dissipada num ciclo de vibração do sistema à energia dissipada no amortecedor para um ciclo de vibração com a mesma amplitude de deslocamento.

3.1. EQUAÇÃO DO MOVIMENTO

De acordo com o exposto no capítulo 2, a equação de equilíbrio dinâmico pode ser obtida a partir de três métodos: método directo, princípio dos trabalhos virtuais e método energético.

3.1.1. MÉTODO DIRECTO

As forças exercidas sobre o oscilador da Figura 3.3 são:

- a força exterior aplicada P(t);

- a força de ligação exercida pela mola Fs, proporcional ao deslocamento u da massa M;

- a força de ligação exercida pelo amortecedor Fd, proporcional à velocidade u� da massa M;

- as forças de inércia Fi exercidas sobre a massa M, iguais ao produto desta pela aceleração da massa u�� .

Figura 3.3: Oscilador linear com 1 grau de liberdade.

Escrevendo que a resultante de todas estas forças é nula:

)(tPFFF sdi =++ (3.3)

Para um sistema viscoelástico linear a equação anterior transforma-se em:

)(tPuKuCuM =++ ��� (3.4)

3.1.2. PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS

Considere-se um deslocamento virtual δu para a massa M. A aplicação do princípio dos trabalhos virtuais ao trabalho virtual de todas as forças aplicadas, incluindo as forças de inércia, fornece:

0)( =+−−− utPuFuFuF sdi δδδδ (3.5)

Como esta expressão é válida para qualquer deslocamento virtual δu, obtém-se facilmente a equação do movimento (3.4).

3.1.3. MÉTODO ENERGÉTICO

A energia cinética do sistema é dada por:

M

u

K

C

P(t) R(t)

Fs=Ku

dF Cu= �

P(t)

10

2

2

1uMT �= (3.6)

A energia potencial da mola corresponde a:

2

2

1uKVs = (3.7)

O potencial das forças exteriores é calculado como sendo o simétrico do seu trabalho:

utPV fe )(−= (3.8)

E finalmente, o trabalho virtual das forças não conservativas consiste no trabalho da força de amortecimento, obtendo-se a força generalizada não conservativa correspondente ao grau de liberdade u:

uCQuuCuQ ncncnc�� −=⇒−== δδδτ (3.9)

Introduzindo agora estas grandezas nas equações de Lagrange (2.11), obtem-se imediatamente a equação do movimento (3.4).

3.1.4. EXEMPLO DE UM OSCILADOR COM 1 GRAU DE LIBERDADE

O mecanismo da Figura 3.4 é um oscilador com 1 grau de liberdade composto por duas barras rígidas AB e BC com uma articulação em B, um apoio fixo em A e um apoio deslizante em C que permite o movimento na horizontal. A solicitação é constituída pela força distribuída transversal p(t) aplicada à barra AB. As barras estão apoiadas ainda em molas e amortecedores. A massa do sistema é constituída por uma massa uniformemente distribuída m(x)=m na barra AB e por uma massa pontual M. Considera-se que as barras se encontram na posição horizontal na configuração de equilíbrio estático, pelo que o peso não será considerado, de acordo com o que será discutido no parágrafo 3.2.

Figura 3.4: Mecanismo com corpos rígidos.

Sendo as duas barras consideradas como rígidas, o sistema possui apenas 1 grau de liberdade, sendo utilizado o deslocamento vertical u(t) do ponto B como coordenada generalizada. Devido à complexidade do sistema, a formulação das equações do movimento é efectuada mais facilmente utilizando o princípio dos trabalhos virtuais em vez do método directo.

Os trabalhos virtuais associados às forças actuantes são:

u(t) p(t)

11

- forças elásticas nas molas:

utuKutuKs δδδτ3

1)(

3

1

4

3)(

4

321 ×−×−= (3.10a)

- forças de amortecimento:

utuCutuCd δδδτ ×−×−= )(4

1)(

4

121 �� (3.10b)

- forças de inércia:

utuMa

u

a

tuaamutuMI ABAB

ABAi δ

δδδθαδτ

3

2)(

3

2

44

)(

3

)4()4(

3

2)(

3

2 2

×−×−=×−−= ����

�� (3.10c)

- forças exteriores:

uatpfe δδτ12

5)2()(

2

1×= (3.10d)

O Princípio dos Trabalhos Virtuais escreve-se então:

0)(12

5)(

9

4

)(3

4)()(

16

1)(

9

1)(

16

92121

=

+−

+−−−−−

utpatuM

tumatuCtuCtuKtuK

�

����

(3.11)

Tendo em conta que o deslocamento virtual δu é arbitrário, a equação anterior pode ser escrita sob a forma da equação (3.4) para o oscilador simples:

)(tPuKuCuM ∗∗∗∗ =++ ��� (3.12)

Nesta equação ∗∗∗∗ PKCM e,, representam a massa generalizada, o coeficiente de amortecimen-

to generalizado, a rigidez generalizada e a solicitação generalizada do sistema, sendo dados por:

)(12

5)(

9

1

16

916

1

9

4

3

4

21

21

tpatPKKK

CCCMmaM

=−=

+=+=

∗∗

∗∗

(3.13)

3.1.5. FORMA REDUZIDA DA EQUAÇÃO DO MOVIMENTO

A equação do movimento de um oscilador linear com 1 grau de liberdade ((3.4) ou mais genericamente (3.12)) pode ser escrita na sua forma reduzida dividindo os dois membros da equação por M:

MtPuuu nn /)(2 2=++ ωξω ��� (3.14)

Escrevendo a equação do movimento nesta forma são introduzidas as duas grandezas que usualmente são utilizadas para caracterizar o comportamento dinâmico de um sistema com 1 grau de liberdade:

- frequência angular própria ou natural:

12

M

Kn =ω (3.15)

- factor de amortecimento:

cn C

C

KM

C

M

C===

22 ωξ (3.16)

Nesta equação Cc é o coeficiente de amortecimento crítico cujo significado físico será explicado no parágrafo 3.4.2

A solução para a equação diferencial do movimento do oscilador linear com 1 grau de liberdade vai ser estudada nos parágrafos 3.4 e 3.5.

3.2. INFLUÊNCIA DAS FORÇAS GRAVÍTICAS

A influência das forças gravíticas na equação do movimento, para efeitos do estudo das oscilações de sistemas, pode separar-se em dois casos, tal como representado na Figura 3.5:

a) a força generalizada associada às forças gravíticas é constante, não dependendo dos graus de liberdade do sistema;

b) a força generalizada associada às forças gravíticas é variável e dependente dos graus de liberdade do sistema.

a) b) Figura 3.5: Influência das forças gravíticas.

Força generalizada constante

No caso da força generalizada ser constante o efeito das forças gravíticas é o de impor um deslocamento estático ao sistema estando o movimento de oscilação centrado nessa posição de equilíbrio estático. Para o demonstrar analisemos a equação do movimento da Figura 3.5a), em função do deslocamento absoluto do sistema:

gFxKxM =+�� (3.17)

Podemos também medir o deslocamento a partir da posição de equilíbrio estático através do deslocamento relativo do sistema ( xuxu est

���� =⇒−= δ ). Substitutindo esta relação na equação

(3.17) obtem-se:

M

u

K

x δest = Fg / K

P(t)

K

M

θ L

13

gest FKuKuM =++ � (3.18)

Visto que o deslocamento estático corresponde ao deslocamento para o qual a força desenvolvida na mola equilibra o peso do corpo, então a equação (3.18) reduz-se a:

0=+ uKuM �� (3.19)

Ou seja, obtem-se a mesma equação do movimento que foi obtida anteriormente para o oscilador linear com 1 grau de liberdade, isto é, sem considerar o efeito das forças gravíticas, desde que o movimento seja medido a partir da configuração de equilíbrio estático.

Conclui-se que o efeito de uma força generalizada constante é apenas o de alterar a posição de equilíbrio estático do sistema, em torno da qual se dá a oscilação.

Força generalizada variável

Quando a força generalizada associada às forças gravíticas é dependente dos graus de liberdade do sistema a equação do movimento incluirá sempre uma parcela associada às forças gravíticas, mesmo que seja escrita em relação à posição de equilíbrio estático.

Analisando o pilar esquematicamente representado na Figura 3.5b), as equações do movimento podem ser obtidas facilmente através do equilíbrio de momentos na sua base. Para fins didácticos estas equações serão obtidas de seguida utilizando as equações de Lagrange.

A energia potencial (elástica, gravítica e das forças exteriores) é dada por:

θθθ sin)(cos2

1 2 LtPMgLKV −+= (3.20)

A energia cinética da massa é:

22

2

1θ�MLT = (3.21)

A equação do movimento que se obtem é então:

θθθθ cos)(sin2 LtPMgLKML =−+�� (3.22)

A equação do movimento (3.22) poderia também ser obtida através do equilíbrio de momentos em relação à base do pilar na configuração deformada da estrutura. Esta equação diferencial do movimento é não linear em θ, sendo válida para qualquer valor desse ângulo. No estudo das vibrações de estruturas em engenharia civil o interesse centra-se sobretudo nas pequenas oscilações em torno da posição de equilíbrio estático, para as quais θ ≈ 0. Podem então realizar-se dois tipos de análises aproximadas:

i) Análise geometricamente não linear de 2ª ordem:

Neste caso vão reter-se nas expressões da energia potencial e cinética os termos até ao 2º grau em θ. Assim:

( ) LtPMgLKML )(

sin2

1cos 2

2

=−+⇒

≈

−≈θθ

θθ

θθ �� (3.23)

Verifica-se que o efeito das forças gravíticas na equação do movimento é o de reduzir a rigidez generalizada da estrutura.

14

A equação do movimento (3.23) poderia mais uma vez ser obtida através do equilíbrio de momentos em relação à base do pilar na configuração deformada da estrutura, considerando que para pequenas oscilações o vector deslocamento de um ponto devido a uma rotação é perpendicular ao vector que une o centro de rotação ao ponto considerado e tem uma amplitude igual ao valor da rotação multiplicado pela distância entre os dois pontos (Figura 3.6). Esta aproximação geométrica é equivalente a considerar um movimento devido a uma rotação infinitesimal não como um arco de circunferência mas como a tangente a essa circunferência.

Figura 3.6: Rotação infinitesimal.

ii) Análise geometricamente linear:

Neste caso vão reter-se nas expressões da energia potencial e cinética apenas os termos lineares em θ. Assim:

LtPKML )(sin

1cos 2 =+⇒

≈

≈θθ

θθ

� (3.24)

Verifica-se agora que o efeito das forças gravíticas na equação do movimento desaparece numa análise geometricamente linear, tal como sucedia quando a força generalizada era constante.

Para obter a equação do movimento (3.24), correspondente a uma análise geometricamente linear, através do equilíbrio de momentos em relação à base do pilar, essa equação de equilíbrio é escrita na configuração indeformada da estrutura.

3.3. INFLUÊNCIA DO MOVIMENTO DA BASE

Um movimento oscilatório pode ser forçado não por uma força P(t), aplicada à massa e variável no tempo, mas por um movimento dos apoios da estrutura. É o caso de solicitações como a vibração transmitida às estruturas por máquinas ou o movimento sísmico da fundação da estrutura em estudo.

A Figura 3.7 esquematiza o sistema em estudo. A massa M é submetida ao movimento do seu apoio ao longo do tempo, definido pela função y(t). Denomina-se o movimento absoluto da massa por x(t) e o movimento relativo entre a massa e o seu apoio por u(t).

R θ

θ R

15

Figura 3.7: Oscilador com 1 grau de liberdade sujeito ao movimento da base.

As forças exercidas sobre o oscilador da Figura 3.7 são:

- a força de ligação exercida pela mola Fs, proporcional ao deslocamento relativo u da massa M;

- a força de ligação exercida pelo amortecedor Fd, proporcional à velocidade relativa u� da massa M;

- as forças de inércia Fi exercidas sobre a massa M, iguais ao produto desta pela aceleração absoluta da massa x�� .

O deslocamento absoluto da massa M corresponde à soma do deslocamento da sua base com o deslocamento relativo ( uyxuyx ������ +=⇒+= ). Escrevendo que a resultante de todas as forças

exercidas sobre o oscilador é nula:

00 =++⇔=++ uKuCxMFFF sdi��� (3.25)

Escrevendo esta equação com base no deslocamento relativo e no movimento da base vem:

)(tyMuKuCuM ����� −=++ (3.26)

Ou seja, o movimento do oscilador solicitado por um movimento do seu apoio é equivalente ao do mesmo oscilador solicitado por uma força variável no tempo, correspondendo essa força à força de inércia associada ao movimento do seu apoio.

3.4. VIBRAÇÕES LIVRES

Quando um movimento oscilatório é provocado unicamente por um deslocamento inicial em relação à posição de equilíbrio estático ou por uma velocidade inicial denomina-se de vibração livre. As vibrações livres são a solução da seguinte equação do movimento:

02 2=++ uuu nn ωξω ��� (3.27)

A resposta do sistema será diferente consoante exista ou não amortecimento. A solução para esta equação diferencial de 2ª ordem homogénea com coeficientes constantes será estudada nos parágrafos seguintes.

3.4.1. VIBRAÇÕES LIVRES NÃO AMORTECIDAS

Quando o amortecimento é nulo a equação do movimento reduz-se a:

02=+ uu nω�� (3.28)

As únicas funções para as quais a soma da segunda derivada com a própria função pode ser nula são

M

x(t)

K

C

R(t)

y(t) x – deslocamento absoluto

y – deslocamento da base

u=x-y – deslocamento relativo

16

funções trigonométricas do tipo seno ou cosseno. Dessa forma a solução geral para esta equação do movimento é:

( ) ( )tBtAtu nn ωω sincos)( += (3.29)

Nesta expressão A e B são constantes que dependem das condições iniciais do movimento (deslocamento inicial u(0) e velocidade inicial u� (0)). Para que essas condições iniciais sejam satisfeitas tem que ser:

( ) ( )tututu

Bu

Aun

n

n

n

ωω

ωω

sin)0(

cos)0()()0(

)0( �

�+=⇒

=

= (3.30)

A solução da equação do movimento pode também ser escrita com uma única função sinusoidal:

( )ϕω += tUtu nm sin)( (3.31)

Nesta solução Um é a amplitude do movimento oscilatório e ϕ é o ângulo de fase da resposta. A velocidade e aceleração do oscilador são dados por:

( ) ( )ϕωωϕω +=+= tUtVtu nmnnm coscos)(� (3.32)

( ) ( ) )(sinsin)( 22tutUtAtu nnmnnm ωϕωωϕω −=+−=+=�� (3.33)

onde Vm e Am correspondem às amplitudes da velocidade e da aceleração. Introduzindo as condições iniciais obtem-se:

( ) ( )( )2

22222

2

2 )0()0(cossin

)0()0(

+=⇒=+=

+

n

mmm

n

uuUUU

uu

ωϕϕ

ω

�� (3.34)

( )

=⇒=

)0(

)0(

/)0(

)0(

u

uarctg

u

utg n

n��

ωϕ

ωϕ (3.35)

O movimento correspondente a uma vibração livre não amortecida é então um movimento harmónico com amplitude constante e período igual a Tn = 2π / ωn (Figura 3.8).

Figura 3.8: Vibração livre não amortecida.

− ϕ ωn nT / 4 /nT

mU

u(t)

t

u(0)1

�u(0)

17

3.4.2. VIBRAÇÕES LIVRES AMORTECIDAS

A solução geral para a equação (3.27) é uma função que somada à sua primeira e segunda derivadas se anula. Vai procurar-se uma solução do tipo:

tetu λ=)( (3.36)

Introduzindo esta função na equação (3.27) obtem-se:

( ) 02 22 =++ tnn eλωλξωλ (3.37)

Para que esta expressão se anule para todo e qualquer instante t:

12 −±−= ξωξωλ nn (3.38)

O valor crítico do coeficiente de amortecimento é o que anula a raiz na expressão anterior, ou seja, é aquele para o qual o factor de amortecimento é unitário. Consoante o valor do factor de amortecimento distinguem-se três casos distintos:

- sistema com amortecimento sobre-crítico (ξ >1);

- sistema com amortecimento crítico (ξ =1);

- sistema com amortecimento sub-crítico (ξ <1);

Para estruturas de engenharia civil o factor de amortecimento é em geral igual ou inferior a 5%.

Sistema com amortecimento sobre-crítico

Neste caso as duas soluções encontradas são exponenciais negativas, sendo a solução geral dada por:

0,)( 2121 <+= λλλλ

eBeAetutt (3.39)

Esta solução não é oscilatória e tende para zero a tempo infinito, sendo o regresso à posição de equilíbrio estático tão mais célere quanto menor for o amortecimento. As constantes A e B dependem das condições iniciais e podem ser determinadas de forma semelhante ao exposto anteriormente.

Sistema com amortecimento crítico

Quando o amortecimento é crítico as duas soluções são iguais, demonstrando-se que a solução geral da equação do movimento é da forma:

( ) tnetBAtuω−+=)( (3.40)

Tal como no caso do amortecimento sobre-crítico esta solução não é oscilatória e tende para zero a tempo infinito. As constantes A e B dependem, mais uma vez, das condições iniciais e podem ser determinadas de forma semelhante ao exposto anteriormente.

O valor crítico do coeficiente de amortecimento corresponde ao menor valor que este pode apresentar para que o movimento não seja oscilatório.

18

Sistema com amortecimento sub-crítico

A um valor inferior à unidade do factor de amortecimento correspondem soluções complexas para a equação (3.38). Definindo a frequência angular amortecida por:

21 ξωω −= nd (3.41)

As soluções da equação (3.38) são então:

dndn ii ωξωλωξωλ −−=+−= 21 (3.42)

Tendo em conta as propriedades da exponencial complexa:

θθθ sincos ie i += (3.43)

A solução geral da equação do movimento é dada por:

( ) ( )[ ] tdd

netBtAtuωξωω −+= sincos)( (3.44)

Introduzindo as condições iniciais obtem-se:

( ) ( ) td

d

nd

dn

netuu

tutuBAu

Au ωξωω

ξωω

ωξω−

++=⇒

+−=

=sin

)0()0(cos)0()(

)0(

)0( �

� (3.45)

Esta solução pode também escrever-se com uma única função sinusoidal, ficando:

( )ϕωωξ += −teUtu d

tm

n sin)( (3.46)

Nesta equação Um é a amplitude máxima do movimento oscilatório e ϕ é o ângulo de fase da resposta, sendo dados por:

2

2 )0()0()0(

++=

d

nm

uuuU

ω

ξω� (3.47)

+=

n

d

uu

uarctg

ξω

ωϕ

)0()0(

)0(

� (3.48)

O movimento correspondente a uma vibração livre amortecida com deslocamento inicial u(0) encontra-se representado na Figura 3.9. Como pode ver-se nessa figura os valores máximos do deslocamento estão espaçados de um intervalo de tempo igual a Td = 2π / ωd. A sua amplitude decresce exponencialmente ao longo do tempo e tende para zero a tempo infinito. O regresso à posição de equilíbrio estático é tanto mais lento, e com mais ciclos de oscilação, quanto menor for o amortecimento.

Uma forma simples de estimar o amortecimento em estruturas é através do chamado decremento logarítmico δ, que relaciona os valores das amplitudes do deslocamento em dois ciclos sucessivos:

( )121

2ln

21,

,/2

1,

,<<≈

−=

=⇒=

++

ξξπξ

ξπδωπωξ

seU

Ue

U

U

im

im

im

imdn (3.46)

19

Figura 3.9: Vibração livre amortecida.

3.5. VIBRAÇÕES FORÇADAS

Neste parágrafo são estudadas as vibrações forçadas devido a uma solicitação aplicada directamente à massa ou devido a um movimento dos apoios. Será considerado o caso de um sistema com amortecimento sub-crítico, que é o único caso com interesse prático para estruturas de engenharia civil.

3.5.1. CARGA HARMÓNICA APLICADA À MASSA

Estudam-se neste parágrafo as vibrações forçadas devido a uma solicitação variável no tempo correspondente a uma carga harmónica aplicada directamente à massa com amplitude Pm e frequência ωf:

)sin()( tPtP fm ω= (3.47)

O interesse de estudar o caso de uma solicitação harmónica prende-se com o facto de qualquer função poder ser decomposta numa série de funções harmónicas. Assim , o caso que é abordado neste parágrafo serve de base para a análise de vibrações forçadas devido a solicitações mais complexas.

A equação do movimento (3.4) passa a ter um termo independente harmónico (parcela do lado direito da equação, que não depende de u), transformando-se então em:

)sin(2)sin( 2t

M

PuuutPuKuCuM f

mnnfm ωωξωω =++⇔=++ ������ (3.48)

Uma solução particular desta equação diferencial terá que ser também harmónica com frequência ωf, sendo procurada uma função do tipo:

( ) ( )tCtCtu ffp ωω sincos)( 21 += (3.49)

Introduzindo esta solução na equação (3.48) e identificando as constantes termo a termo obtem-se:

( )[ ] ( )

( ) ( )

−+−

+−= tt

K

Ptu f

n

f

f

n

f

nfnf

mp ω

ω

ωω

ω

ωξ

ωωξωωsin1cos2

/2/1

1)(

2

222 (3.50)

Uma solução da equação das vibrações forçadas (3.48) que consista na soma desta solução particular com as soluções da equação das vibrações livres (3.27), que corresponde à forma homogénea (com termo independente nulo) da equação (3.48), é também solução para este

ξ = 1

ξ > 1

ξ < 1

−ξωnte

t / Td

u / u(0)

20

movimento oscilatório forçado. A solução geral da equação das vibrações forçadas é assim a soma da solução particular com a solução da equação homogénea:

( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )( ) ( )

−+−

+−+

++=+= −

ttK

P

etBtAtututu

f

n

f

f

n

f

nfnf

m

tddph

n

ωω

ωω

ω

ωξ

ωωξωω

ωω ωξ

sin1cos2/2/1

1

sincos)()()(

2

222

(3.51)

O primeiro termo da equação anterior corresponde ao regime livre ou transitório e foi estudado no parágrafo 3.4.2., enquanto que o segundo termo corresponde ao regime forçado ou permanente.

As constantes A e B da equação (3.51) são determinadas pelas condições iniciais de velocidade e deslocamento da massa.

O regime transitório tem essa designação porque a sua amplitude decresce ao longo do tempo, apenas tendo alguma importância na resposta total nos instantes iniciais do movimento. À medida que esta parcela se desvanece o movimento passa a ser dominado pela resposta em regime permanente (Figura 3.10), pelo que de seguida se irá aprofundar a análise da solução particular.

Figura 3.10: Resposta total em vibração forçada.

Estudo da solução particular (regime permanente)

A resposta em regime permanente correspondente à equação (3.50) pode também escrever-se como uma única função sinusoidal, ficando:

( )1sin)( ϕω −= tUtu fmp (3.52)

A amplitude Um desta solução particular é dada por:

( )[ ] ( ) K

P

K

PU mm

nfnf

m 1222 /2/1

1β

ωωξωω

=

+−

= (3.53)

onde β 1 é o coeficiente de amplificação dinâmica do deslocamento. De facto, o deslocamento produzido no sistema se a força P(t) fosse aplicada estaticamente (com frequência nula e com valor Pm) é:

K

PU m

estático = (3.54)

Resposta total

Regime

permanente

Resposta total

Regime

permanente

u(t) / Um

t / Tf

21

pelo que a amplitude do deslocamento dinâmico correspondente à solução particular é:

estáticom UU 1β= (3.55)

O coeficiente de amplificação dinâmica encontra-se representado na Figura 3.11 em função da relação entre a frequência de excitação e a frequência própria do sistema. Naturalmente este coeficiente é unitário para um carregamento estático e tende para zero quando a frequência de excitação tende para infinito, qualquer que seja o valor de ξ. Para frequências de excitação muito elevadas as forças de inércia tornam-se preponderantes em relação às forças elástica e de amortecimento. Essas forças de inércia tendem para infinito e, sendo contrárias ao movimento, a massa permanece praticamente imóvel.

Figura 3.11: Coeficiente de amplificação dinâmica do deslocamento.

O valor máximo do coeficiente de amplificação dinâmica é dado por:

=⇒=⇒≤<

−=⇒−=⇒≤

1012

2

12

121

2

2

,1

2,1

2

máx

n

f

máx

n

f

βω

ωξ

ξξβξ

ω

ωξ

(3.56)

Para efeitos práticos, em estruturas de engenharia civil, o valor máximo é atingido quando a frequência de excitação iguala a frequência própria do sistema (situação de ressonância):

ξ

βωωξ2

12,0 ,1 =⇒≈⇒≤ máxnf (3.57)

Em situação de ressonância, quando o amortecimento é nulo o valor máximo do coeficiente de amplificação dinâmica tende para infinito.

O ângulo de fase indicado na equação (3.52) entre a força aplicada e o deslocamento resultante é dado por:

22

( )

−=

21/1

/2

nf

nfarctg

ωω

ωωξϕ (3.58)

A Figura 3.12 representa o ângulo de fase em função da relação entre a frequência de excitação e a frequência própria do sistema. Para frequências baixas o desfasamento é nulo ou desprezável o que significa que o sistema responde instantaneamente à solicitação. Quando se atinge a ressonância existe um desfasamento de 90º entre a força aplicada e o deslocamento resultante, sendo o deslocamento nulo quando a força é máxima e vice-versa. Para altas frequências da excitação a força aplicada e o deslocamento estão em oposição de fase, sendo ambos máximos em valor absoluto no mesmo instante mas com sinais contrários. Relembre-se que para altas frequências, no entanto, a amplitude do deslocamento tende para zero.

Figura 3.12: Ângulo de fase da resposta permanente.

O valor da solicitação que é transmitida aos apoios do sistema (a reacção R(t)) é dada pela soma das forças na mola e no amortecedor:

( ) ( ) ( )211 sincossin)()()( ϕωϕωωϕω −=−+−=+= tRtUCtKUtuCtuKtR fmfmffm� (3.59)

A amplitude e a fase desta reacção são calculadas através das seguintes equações:

( )

( ) ( )

−=−+=⇒=−

−=⇒=−

21211

211

cos2/sin2/

sin0

ϕϕϕϕππϕω

ϕϕωϕω

mmmf

mmff

RRKUt

RUCt (3.60)

De seguida calcula-se:

( ) ( ) ( )

( ) ( )nfnf

f

mmnfmfmm

arctgK

Ctg

PPUCKUR

ωωξϕϕωωξω

ϕϕ

βωωξβω

/2/2

/21

1221

22

122

−=⇒==−

=+=+=

(3.61)

O coeficiente de amplificação dinâmica da reacção, β 2, que relaciona a amplitude da força transmitida ao apoio com a amplitude da força aplicada, encontra-se representado na Figura 3.13 em função da relação entre a frequência de excitação e a frequência própria do sistema. Este coeficiente é unitário para um carregamento estático. Para valores da relação entre a frequência de excitação e a

frequência própria do sistema inferiores a 2 , o efeito de amplificação do deslocamento faz com que a força na mola seja preponderante em relação à força no amortecedor, sendo a reacção tanto

ϕ 1

ω f / ω n

ξ = 0

ξ = 1

23

menor quanto maior é o amortecimento devido à diminuição da amplitude do deslocamento que este

implica. Quando essa relação é superior a 2 a força no amortecedor passa a ser preponderante face à força na mola, passando a reacção a ser tanto maior quanto maior é o amortecimento.

Figura 3.13: Coeficiente de amplificação dinâmica da reacção.

Estudo da ressonância

Como foi referido, quando a frequência de excitação coincide com a frequência própria do sistema a resposta em deslocamento apresenta um valor máximo, que pode ser infinito se o amortecimento for nulo.

Para um oscilador forçado com condições iniciais nulas em deslocamento e em velocidade a equação (3.51) indica que a resposta em deslocamento é:

( ) ( ) ( )

−

−+=⇒

−=

=−

tettK

Ptu

K

PB

K

PA

nt

ddm

m

m

n ωωξ

ξω

ξ

ξ

ξωξ cossin

1cos

2

1)(

12

1

2

1

2

2

(3.62)

Esta expressão pode simplificar-se para valores baixos de ξ e para um instante suficientemente posterior ao instante inicial:

( ) ( )teK

Ptu n

tm n ωξ

ωξ cos12

1)( −= − (3.63)

Quando o sistema não é amortecido, a passagem ao limite da solução (3.59) para ξ → 0 leva à seguinte resposta em deslocamento:

( ) ( )[ ]tttK

Ptu nnn

m ωωω cossin2

)( −= (3.64)

A Figura 3.14 representa a evolução ao longo do tempo das respostas do sistema descritas pelas equações (3.60) e (3.61). Para o sistema não amortecido a amplitude da resposta cresce de um factor

24

π em cada ciclo, relativamente ao deslocamento estático, e tende para infinito – o sistema é instável.

Para o sistema amortecido, mesmo que o amortecimento tenha um valor reduzido, a amplitude da resposta cresce também ao longo do tempo mas o coeficiente de amplificação dinâmico é limitado a um valor de 1 / 2ξ, que é atingido tão mais rapidamente quanto mais elevado for o amortecimento.

Figura 3.14: Evolução da amplitude da resposta de um sistema em ressonância.

3.5.2. MOVIMENTO HARMÓNICO DA BASE

Estudam-se neste parágrafo as vibrações forçadas devido a um movimento do apoio variável no tempo de forma harmónica com amplitude Ym e frequência ωf:

)sin()( tYty fm ω= (3.65)

A equação (3.26) é a equação do movimento deste sistema, escrita com base no deslocamento relativo e no movimento da base, e transforma-se para esta solicitação em:

)sin()( 2tYMuKuCuMtyMuKuCuM fmf ωω=++⇔−=++ �������� (3.66)

Esta equação diferencial do movimento é similar à equação (3.48) das vibrações forçadas devido a uma carga sinusoidal aplicada directamente à massa do sistema. As duas equações são iguais se se fizer a equivalência entre a amplitude da força de inércia associada ao movimento da base e a amplitude de uma força sinusoidal equivalente:

mfm YMP2ω= (3.67)

Com esta equivalência os resultados obtidos anteriormente são directamente aplicáveis às vibrações forçadas por movimento da base. Analisando a solução em regime permanente obtem-se:

( )1sin)( ϕω −= tUtu fmp (3.68)

com:

mm

n

fmfmm YY

K

YM

K

PU 3

2

1

2

11 βω

ωβ

ωββ =

=== (3.69)

O coeficiente de amplificação dinâmica β 3, que relaciona o movimento da base com o deslocamen-to relativo da massa, encontra-se representado na Figura 3.15 em função da relação entre a frequência de excitação e a frequência própria do sistema. Quando a frequência de excitação é nula

u(t)

25

ou quando o oscilador é muito rígido (frequência própria muito elevada), o oscilador acompanha o movimento da base e o deslocamento relativo é nulo. Quando o oscilador é muito flexível (frequência própria muito baixa), este permanece imóvel e a amplitude do deslocamento relativo é igual à do movimento da base, sendo a sua fase oposta.

Figura 3.15: Coeficiente de amplificação dinâmica do deslocamento relativo face ao movimento da base.

A força transmitida ao apoio neste caso é dada também pela equação (3.59) e a sua amplitude é igual a:

mfmm YMPR2

22 ωββ == (3.70)

Esta reacção é naturalmente nula quando o movimento da base é aplicado estaticamente (com frequência nula).

Quanto ao movimento absoluto, a equação (3.25) indica que a força de inércia é igual à força transmitida pela massa ao apoio:

( )2sin)( ϕω −==+=− tRtRuKuCxM fm��� (3.71)

Tendo em conta esta equação e a equação (3.70), que define a amplitude da força transmitida ao apoio, a aceleração absoluta fica:

( )22

2 sin)( ϕωωβ −−= tYtx fmf�� (3.72)

Integrando esta expressão em relação ao tempo duas vezes e sabendo que a massa parte do repouso, com velocidade e deslocamento absolutos nulos, obtem-se:

( ) ( )222 sinsin)( ϕωϕωβ −=−= tXtYtx fmfm (3.73)

Ou seja, a amplitude do deslocamento absoluto relaciona-se com a amplitude do movimento da base através do coeficiente de amplificação dinâmica β 2. Assim, quando o oscilador é muito rígido a amplitude do deslocamento absoluto é igual à do movimento da base e quando o oscilador é muito flexível o deslocamento absoluto tende para zero tem fase contrária ao movimento da base.