apostila vibracoes RAO

7/23/2019 apostila vibracoes RAO

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Captulo 3Vibraes Livres com Amortecimento

Viscoso

Na natureza no existe uma vibrao sem nenhum amortecimento. Pormenor que seja ele sempre est presente. Este amortecimento ser responsvel

pela atenuao do movimento, tendendo a diminuir a sua amplitude com otempo.A fora de amortecimento viscoso, F, proporcional velocidade e

pode ser expressa como: Onde c a constante de amortecimento ou coeficiente de amortecimento

viscoso, e o sinal negativo indica que a fora de amortecimento oposta aosentido da velocidade. Um sistema com um grau de liberdade com um

amortecedor viscoso mostrado na prxima figura. Se x for medida emrelao posio de equilbrio da massa m, a aplicao da lei de Newton da equao de movimento: Ou

Figura 3.1: Sistema com um grau de liberdade com amortecimento viscoso

Dividindo a equao 3.2 pela massa (m), temos:


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(3.11)

Assim temos, e definindo o parmetro (zeta) = , quepassar a se chamar como fator de amortecimento, sendo uma constante real,positiva. A equao 3.3 pode ser escrito como:

Para qualquer sistema amortecido, o fator de amortecimento (zeta) definido como a razo entre a constante de amortecimento e a constante deamortecimento crtico:

Onde:

Para solucionar a equao 3.4, admitimos uma soluo na forma:

Onde A e so constantes indeterminadas. A insero das equaes

anteriores na equao 3.4 resulta na equao caracterstica:

Cujas razes so:

Com isso, chega-se a uma soluo geral:

Ou da forma:


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(3.12)

(3.13)

Como , o radicando pode ser positivo, negativo ounulo, dando origem s seguintes trs categorias de movimento amortecido:

Sistema Superamortecido: ; Sistema Criticamente Amortecido:

;

Sistema Sub-amortecido: .3.1 CASO 1. SISTEMA SUPERAMORTECIDO ( )

As razes e so nmeros reais negativos e distintos. O movimento daequao 3.11 deca de modo quexse aproxima de zero para grandes valores

de tempo. No h oscilao, e, portanto no existe perodo associado aomovimento.

Nesse caso, a soluo prpria equao 3.11.Este sistema tambm possui como caracterstica:

3.2 CASO 2. SISTEMA CRITICAMENTE AMORTECIDO ( )Neste caso, as razes e so nmeros reais negativos iguais, ( ), e a soluo da equao 3.2 dada por:

Novamente, o movimento decai comxaproximando se de zero para

tempos grandes e o movimento no peridico.

Um sistema criticamente amortecido, quando excitando com umavelocidade ou deslocamento inicial, se aproximar do equilbrio maisrapidamente do que um sistema superamortecido.

Este sistema tambm possui como caracterstica:


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3.3 CASO 3. SISTEMA SUBAMORTECIDO Para essa condio, o radicando negativo e recordando que

, podemos reescrever a equao 3.11, como:

Onde . conveniente adotar uma nova varivel para

representar a combinao . Assim:

O uso da formula de Euler , que nos permite escrevera equao anterior como:

Onde:

A frequncia denominada a frequncia de vibrao amortecida. E definida como:


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(3.21)

Pode-se ver que a frequncia de vibrao amortecida sempre menordo que a frequncia natural no amortecida. O caso subamortecido muitoimportante no estudo de vibraes mecnicas porque nico que resulta emum movimento oscilatrio.

Este sistema possui como caracterstica:

Figura 3.2: Comparao entre movimentos com tipos diferentes de amortecimento

Na figura 3.2 podemos observar o perodo de amortecimento, que dado por:

3.4 DECREMENTO LOGARTMICO

O decremento logartmico representa a taxa de reduo da amplitude

de uma vibrao livremente amortecida. definido como o logaritmo naturalda razo entre duas amplitudes sucessivas. Vamos representar por e ostempos correspondentes a duas amplitudes (deslocamentos) consecutivasmedidas, a figura 3.3 esta representando este movimento.


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Figura 3.3: Movimento oscilatrio

Pela equao 3.16, podemos expressar a razo:

Porm, onde o perodo de vibraoamortecida. Por conseqncia, e a equao 3.22 pode ser escrita como:

O decremento logartmicopode ser obtido pela equao 3.23:

O decremento logartmico adimensional e, na realidade, outraforma do fator de amortecimento adimensional . Uma vez conhecido , pode ser determinado resolvendo-se a equao 3.24.


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Exemplos

E3.1 Para um sistema massa-mola-amortecedor temos m=1kg, c=2kg/s e

k=10kN/m. Calcule os valores de e . O sistema superamortecido, sub-amortecido ou criticamente amortecido?Soluo:

E3.2Um bloco possui massa de 20 kg e a mola tem rigidez k=600 N/m. Aps obloco ser deslocado e solto, efetuaram-se duas medidas da amplitude x1=150mm e x2=87 mm. Determine o coeficiente de amortecimento viscoso c.Soluo:

E3.3Um bloco de 0,8kg est suspenso por uma mola de rigidez igual a 120 N/m.Se um amortecedor apresenta fora de amortecimento de 2,5 N quando avelocidade de 0,2 m/s, determine o perodo amortecido.

Soluo:


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E3.4A massa de 2 kg solta a partir do repouso a uma distncia x 0 direita daposio de equilbrio. Determine o deslocamento x em funo do tempo.Dados c = 42 Ns/m e k = 98 N/m.Soluo:


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E3.5A massa do sistema mostrado na figura liberada a partir do repouso emx0 = 150 mm, quando t=0. Determine o deslocamento x em t=0,5s se c=200Ns/m.

Soluo:


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E3.6 A massa de 2kg solta a partir do repouso a uma distncia x0 para adireita em relao posio de equilbrio. Determine o deslocamento x emfuno do tempo t, onde t=0 o tempo em que a massa foi solta.

Soluo:


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Exerccios

3.1 Para um sistema massa-mola-amortecedor, temos m=1kg, c= 2kg/s e

k=10N/m. Calcule os valores do fator de amortecimento e da frequncianatural do sistema. E depois diga se o sistema superamortecido,subamortecido ou criticamente amortecido?

3.2 Um aprimoramento do projeto original da plataforma de pesagem mostrado aqui com dois amortecedores viscosos que foram introduzidoslimitando para 4 a razo entre amplitudes positivas sucessivas da vibraovertical na condio descarregada. Determine o coeficiente deamortecimento viscoso c para cada um dos amortecedores. Admita m=4000kge k=474 k N/m.

3.3Determine o valor do fator de amortecimento para o sistema massa-molaamortecedor simples mostrado, onde m= 40 lb, k = 3 lb/in e c = 2,5 lb.s/ft.

3.4 Determine o valor do coeficiente de amortecimento c para o qual osistema criticamente amortecido se k = 70 kN/m e m= 100kg.

3.5 Um oscilador harmnico possui massa m=30kg e constante de rigidezk=100kN/m. Determinar:a) A constante de amortecimento para um fator de amortecimento .b) O decremento logartmico e a frequncia natural amortecida.3.6 Determine o valor do coeficiente de amortecimento viscoso c para o qual osistema mostrado na figura apresenta uma taxa de amortecimento de (a) 0,5 e(b) 1,5.


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3.7Determine o valor do coeficiente de amortecimento viscoso c para o qual osistema mostrado na figura criticamente amortecido.

3.8 O sistema mostrado na figura liberado a partir do repouso a uma posio

inicial x0. Determine o deslocamento negativo de x1. Admita que o movimentode translao ocorra na direo x.

3.9A massa do sistema mostrado na figura liberada a partir do repouso em x0= 125 mm, quando t=0. Determine o deslocamento x em t=0,65s se c=300 Ns/m.

3.10O proprietrio de uma picape testa a ao dos amortecedores traseirosaplicando uma fora permanente de 450 N ao para-choque traseiro emedindo um deslocamento esttico de 75 mm. Ao se retirar repentinamente afora, o para-choque se levanta e, em seguida, desce at um deslocamentomximo de 12 mm abaixo da posio de equilbrio sem carga. Trate aoscilao como um problema unidimensional com uma massa equivalente

igual metade da massa do carro. Determine o fator de amortecimentoviscoso para a extremidade traseira e o coeficiente de amortecimento viscoso


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c para cada amortecedor supondo que sua ao seja vertical. Admita amassa do veculo igual a 1.600 kg.


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(4.1)

Captulo 4Vibraes Livres com Amortecimento de

Coulomb

O amortecimento de Coulomb aparece quando corpos deslizam em

superfcies secas. Em muitos sistemas mecnicos, so utilizados elementos que

provocam amortecimento por atrito seco. Tambm em estruturas,componentes frequentemente deslizam um em relao ao outro e o atritoseco aparece internamente. A Lei de Coulomb para o atrito seco estabeleceque quando dois corpos esto em contato, a fora requerida para produzirdeslizamento proporcional fora normal atuante no plano do contato. Afora de atrito F:

onde N a fora normal e o coeficiente de atrito. A fora de atrito atua emsentido oposto ao da velocidade. O amortecimento de Coulomb , algumasvezes, chamado de amortecimento constante, uma vez que a fora de

amortecimento independente do deslocamento e da velocidade,dependendo somente da fora normal atuante entre as superfcies emdeslizamento.

A figura 4.1a, mostra um sistema de um grau de liberdade comamortecimento de Coulomb. A figura 4.1b apresenta os diagramas de corpolivre para as duas possveis orientaes do movimento. Em cada uma destas

orientaes a equao do movimento tomar uma forma diferente. Omovimento se d oscilatoriamente, portanto o sistema est ora em umasituao, ora em outra.


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(4.2)

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Figura 4.1 - Sistema com amortecimento de Coulomb.

Primeira fase do movimento: Quando a velocidade tiver sentido positivo(segundo o referencial adotado), a fora de atrito ser negativa e a SegundaLei de Newton aplicada resultar:

que uma equao diferencial ordinria, linear, de segunda ordem,coeficientes constantes, no homognea. A soluo geral desta equaocompe-se de duas partes, uma chamada homognea, que a soluo daequao (2.15), dada em (2.19a), e a outra chamada particular, que inclui otermo do lado direito da equao, resultando:

A equao (4.2) e, consequentemente, sua soluo (4.3), valem

somente enquanto a velocidade permanecer com o sinal positivo.

Segunda fase do movimento: Quando a velocidade troca de sinal, a fora deatrito tambm muda de sinal resultando na equao:

Ou ento,


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(4.4)

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(2.58)

Em (4.3) e (4.5), o termo N/k representa o deslocamento da mola

devido fora de atrito estabelecendo uma nova posio de equilbrio. Comoa fora de atrito muda de sentido a cada meio ciclo (perodo em que avelocidade permanece com sinal inalterado), esta posio de equilbrio

tambm muda a cada meio ciclo como pode ilustrar a figura 2.10.Para complementar a soluo das equaes (4.2) e (4.4), deve-se

analisar o movimento a partir de condies iniciais. O sistema inicia o seumovimento a partir de um deslocamento inicial, com velocidade inicial nula,para caracterizar a inverso do sentido do movimento em cada meio ciclo.So, ento, as condies iniciais:

Soluo:Deslocamento Inicial:

Velocidade Inicial:

Figura 4.2 Movimento do sistema com amortecimento de Coulomb.

que tem soluo anloga a 2.54, apenas como sinal da soluo particular invertido,resultando:


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(4.7)

(4.8)

Se o movimento comea com um deslocamento inicial positivo evelocidade nula, o primeiro meio ciclo ocorrer com velocidade negativa. Aequao que descreve esta fase do movimento (4.4), cuja soluo dada

em (4.5). Introduzindo as condies iniciais (4.6) em (4.5), as constantes podemser determinadas por:

Resultando em:

A equao 4.5 se torna, portanto:

Est soluo vlida apenas para metade do ciclo, isto , para 0 t . Quando t = , a massa estar em sua posio extrema esquerda e seu

deslocamento em relao posio de equilbrio pode ser determinado pelaequao acima.

Uma vez que o movimento comeou com um deslocamento de x = x0

e, em um meio-ciclo, o valor de x tornou-se , a reduo emmagnitude de x no tempo de .

No segundo meio-ciclo, a massa movimenta-se da esquerda para a

direita, portanto a equao 4.3 deve ser usada. As condies iniciais para essemeio-ciclo so:

Substituindo as condies iniciais (4.8) na equao (4.3), temos:


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(4.9)

(4.10)

(4.11)

O deslocamento, neste segundo meio ciclo do movimento, regidoento por:

Esta equao vlida somente para o segundo meio-ciclo, isto , para . No final desse meio-ciclo, o valor de x(t) :

Os valores da equao (4.10) sero as condies iniciais do terceiro

meio ciclo, quando, novamente, passa a valer a equao (4.4) e sua soluo(4.5).

O movimento prosseguir desta forma, mudando de equao a cadameio ciclo at que no final de um determinado meio ciclo, o deslocamentoseja to pequeno que a fora de mola seja incapaz de vencer a fora deatrito esttico. Isso acontecer no final do meio ciclo de ordem r que pode ser

determinado por:

Ou

A caracterstica principal do amortecimento causado por atrito seco,

como j foi dito anteriormente, que a amplitude diminui sempre uma

quantidade constante a cada ciclo (ou meio ciclo). Observando 4.7 e 4.9,ambas representam movimentos harmnicos na frequncia , com aamplitude caindo

a cada meio ciclo e com a posio de equilbriovariando tambm a cada meio ciclo.


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Exerccios

4.1Uma massa de 10 kg oscila deslizando em uma superfcie seca sob a ao

de uma de rigidez 10 N/mm. Aps quatro ciclos completos a amplitude 100mm. Qual o coeficiente de atrito mdio entre as duas superfcies se aamplitude original era 150 mm? Em quanto tempo a massa executar quatrociclos?Soluo:

4.2 Uma massa de 20 kg est suspensa por uma mola de rigidez 1000N/m. Omovimento vertical da massa est sujeito a uma fora de atrito de Coulomb demagnitude 50N. Se a mola inicialmente deslocada de 5 cm para baixo desua posio de equilbrio esttico determinar:

a)O nmero de meio ciclos transcorridos at que atinja o repouso;b) Tempo transcorrido at atingir o repouso;

c) Posio em que ocorrer a parada.Soluo:


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4.3A massa de um sistema massa-mola com k = 10.000 N/m e m = 5kg postapara vibrar sobre uma superfcie irregular. Se a fora de atrito for F=20N eobservarmos que a amplitude da massa diminui 50 mm em 10 ciclos, determineo tempo transcorrido para completar os 10 ciclos.

4.4Uma massa de 10 kg esta ligada a uma mola de rigidez 3000 N/m e soltaaps sofrer um deslocamento inicial de 100 mm. Admitindo que a massamovimenta-se sobre uma superfcie horizontal, como mostrado na figuraabaixo, determine a posio na qual a massa atinge o repouso. Suponha queo coeficiente de atrito entre a massa e a superfcie seja 0,12.

4.5 Uma massa de 20 kg desliza para frente e para trs sobre uma superfcieseca devido ao de uma mola com rigidez de 10 N/mm. Aps 4 cicloscompletos, verificou-se que a amplitude de 100 mm. Qual o coeficientemdio de atrito entre as duas superfcies se a amplitude original era de 150mm? Quanto tempo transcorreu durante os 4 ciclos?

4.6Um peso de 25 N esta suspenso por uma mola que tem uma rigidez de 1000

N/m. O peso vibra no sentido vertical sob uma fora de amortecimentoconstante. Quando o peso inicialmente puxado para baixo at umadistncia de 10 cm em relao sua posio de equilbrio esttico e ento solto, atinge o repouso aps exatamente dois ciclos completos. Determine amagnitude de fora de amortecimento.

4.7Um bloco de metal colocado sobre uma superfcie irregular esta ligado auma mola e sofre um deslocamento inicial de 10 cm em relao sua posiode equilbrio. Constata-se que o perodo natural de movimento 1,0 s e que aamplitude decresce 0,5 cm em cada ciclo. Determine:

a) O coeficiente de atrito cintico entre o bloco de metal e a superfcie;b) O nmero de ciclos de movimento executados pelo bloco antes de parar.

4.8A massa m = 2 kg de um oscilador harmnico linear com k = 500 N/m deslizaem uma superfcie horizontal com coeficiente de atrito esttico s = 0,2 ecintico = 0,08.

(a) Determinar o mximo valor do deslocamento inicial que no resultar emqualquer movimento devido fora de atrito.(b) Determinar o nmero de ciclos para a vibrao iniciada por um

deslocamento inicial de 25 mm at pararem completamente.

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