Funções

Funções

Função Polinomial de 1º Grau – (Reta) baxxf baxy

x

xf

x

y

0a 0a

Crescente Decrescente


x

xf

x

ybb

ab

ab

Raiz da função

Raiz da função

Função Polinomial de 1º Grau – Linear (b = 0) xxf xy

x

xf

Identidade

x

y


x

xf

x

y0a

Constante Constante

byxf

b

b

0b

0a0b

Função Polinomial de 2º Grau – (Parábola)

cbxaxxf 2 cbxaxy 2

x

xf 0a 0a

Concavidade voltada para cima

x

y

Concavidade voltada para baixo

Função Polinomial de 2º Grau – (Parábola)

cbxaxxf 2 cbxaxy 2

x

xf

x

y c

cRaiz da função

Raiz da função

Raiz da função

Raiz da função

Função Polinomial de 2º Grau – Raízes cbxaxy 2

0ycbxax 2002 cbxax

acb 4)( 2

abx

2

0

0

0

não existem raízes reais (a parábola não toca o eixo das abscissas).

possui duas raízes reais iguais (a parábola toca em único ponto no eixo das abscissas).

possui duas raízes reais distintas ( a parábola toca em dois pontos no eixo das abscissas.

Função Polinomial de 2º Grau

x x x1x 2x 21 xx Rxex 21

0a0

0a0

0a0

x x x1x 2x 21 xx Rxex 21 0a0 0a

00a0

Raízes reais distintas

Raízes reais iguais

Não existem raízes reais

Função Polinomial de 2º Grau – Vértice

x

y

Vértice

eixo de simetria

ayV 4

abxV 2

VV yxV ,

aabV

4,

2

Função Polinomial de 2º Grau – Vértice

x

y

Vértice

x

yPonto

de máximo

Vértice

Ponto de

mínimo

0a

0a

Função Polinomial de 2º Grau – pontos notáveis

x

y

cRaiz da função

Raiz da função

VérticeayV 4

abxV 2

Função Polinomial de 2º Grau – Imagem

x

y

Vértice

x

y Vértice

Se a >0, então:

vyyRy /Im

Se a < 0, então:

vyyRy /Im

Função Polinomial de 2º Grau – Forma fatorada

cbxaxxf 2

21 xxxxaxf

raízessãoxex 21

Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras

INJETORAPara uma função ser classificada como injetora, devemos lembrar que, para DOMÍNIOS diferentes devem gerar IMAGENS diferentes, ou seja:

2121 xfxfxx Ex.: 63 xxf

91

6316131

fff

60

6006030

fff


Para uma função ser classificada como sobrejetora, devemos lembrar que, o CONTRADOMÍNIO deve ser igual a IMAGEM da função dada, ou seja:

ImCDEx.: RRf : 2xxf

x

y

SOBREJETORA


Para uma função ser classificada como bijetora, devemos lembrar que ela deve ser INJETORA e SOBREJETORA ao mesmo tempo, ou seja:

ImCDEx.: RRf : 2xxf

x

y

BIJETORA

x

y

-2 2

- 4

f(x) =|x2 - 4|

f : R+ R

f(x) = x2 - 4

4

x

y

-2 2-2 2

4f(x) =|x2 - 4|

f : R+ R

f(x) = x2 - 4

f : D CD

x

x

y

22

4

2

4

f : D CD

f(x) =|x2 - 4|

f : R+ R

f(x) = x2 - 4

x y

Não é Injetora

x

y

22

4

2

4

Não é Injetora

0

Im(f) = [0, +∞)CD = R

Não é Sobrejetora

Im(f) ≠ CD

f : D CD

f(x) =|x2 - 4|

f : R+ R

f(x) = x2 - 4

x y

x

y

22

4

2

4

Não é Injetora

f : D CD

f(x) =|x2 - 4|

f : R+ R

f(x) = x2 - 4

x y

Não é Sobrejetora

x

y

22

4

2

4

Não é Injetora

f : D CD

f(x) =|x2 - 4|

f : R+ R

f(x) = x2 - 4

x y

Não é Sobrejetora

x

y

22

4

2

4

É uma função Simples

Não é Injetora

f : D CD

f(x) =|x2 - 4|

f : R+ R

f(x) = x2 - 4

x y

Não é Sobrejetora

Função inversa e função compostaFunção inversa

12 xxf

A

4321 B

7531

4,3,2,1A 7,5,3,1B

BAf :

Função inversa e função composta

4,3,2,1AFunção inversa

7,5,3,1BABg :

21

xxg

A

4321 B

7531

xfxg 1


A inversa de uma função f só existirá se f for bijetora.

Lei de Formação da inversa

1º – Troca x por y e y por x.2º – Isola a variável y.


12 xxf

12 xy12 yxyx 21

yx

2

1

21

xy

211

xy

2

11 xxf


(representação gráfica)

2xy

21 xy

x

y

2

2

2

2

B.Q.I.


(representação gráfica)f

1f

x

y

B.Q.I.

Função inversa e função compostaFunção composta

A

4321 B

6543

2xxfBAf :

B

6543 C

11975

12 xxgCBg :


xfgxh CAh :

12 xfxh

122 xxh

142 xxh

32 xxh

12 xxg 2xxf

32 xxfgxh


A

4321 B

6543

2xxfBAf :

B

6543 C

11975

32 xxh 32 xxfg

12 xxgCBg :


A

B

Cfg

fgh

xfgxh

xfgxh

fgh

x f


A composta de uma função com sua inversa é a função identidade. (fof-1 = f-1of = x)

2xy21 xy 221 xff

xff 1

221 xff

xff 1

Função Exponencial

RRf :

Definição

RDomínio

,0Im f

Imagem

xaxf 10 a

*R

,0Im f RfD

Função ExponencialRepresentação Gráfica

xxf 2x

1234... ..x

xy 2221 y422 y823 y1624 y

xy 2

y

1 2123 x

12

4

0


x

xg

21

1 22 x

y

1

4

0


xxf 2

1 2123 x

y

12

4

1 22 x

y

1

4

x

xg

21

1

1aCrescente

10 aeDecrescent

00

Equação exponencial322 x

8191

x

171333 112 xxx

093109 xx

Equação exponencialkxaa kx

322 x522 x

5x 42 33 x

42 33 x

8191

x

42 x 2x

Equação exponencial63933 1212 xxx

6333

333 22

2 x

xx

6333

333 22

2 xx

x

yx 23

633

3 yyy

318939 yyy

1897 y 27y

32 33 x23

x

Equação exponencial224 xx

02222 xx

02222

xx

yx 2

11 y

12 x

1x

022 yy

22 y

22 x

Inequação exponencial322 x

8191

x

64,08,0 2 x

093109 xx

Inequação exponencial

kx aa

322 x522 x

5x 21 99 x

299 x

2 x

2x

1 , asekx

10 , asekx

8191

x

Inequação exponencial

1x

64,08,0 2 x

100648,0 2 x

100648,0 2 x

1088,0 2 x

8,08,0 2 x

12 x

Logaritmos

xab logBase do logaritmo

Logaritmando

Logaritmo

0a 01 bCondição de Existência

Logaritmos


Logaritmando

Logaritmo

xab log ab x

Logaritmos


Logaritmando

Logaritmo

x8log2 82 x3x

8log2

38log2

LogaritmosSistema de Logaritmos

aa loglog10

2100log100log10

LogaritmosSistema de Logaritmos (Logaritmo Natural)

bae log

...718281828,2e

2log ee 2ln 2 e5logee 55ln e

ba ln

LogaritmosPropriedades operátórias

babaP ccc logloglog1

babaP ccc logloglog2

anaP bn

b loglog3

LogaritmosMudança de Base

baa

c

cb log

loglog

babaa cc

c

cb loglog

logloglog

Função LogarítmicaDefinição

RRf *: xxf blog

*RDomínio

Rf Im

Imagem R

*RfD

Função LogarítmicaRepresentação Gráfica

xxf 2log

1 x

y

1

2

1

21

0

Representação Gráfica

xxg21log

12

x

y

1

1

0

Função Logarítmica

Representação Gráfica xxg

21log

12

x

y

1

1

1 x

y

1

2

1

21

0 0

xxf 2log

1bCrescente

10 beDecrescent


Inversa da Função Logarítmica

x

y

xxf blog

1

1

xbxf

1bCrescente

xy


Inversa da Função Logarítmica

x

y

xxf blog

1

1

xbxf 10 beDecrescent

xy


Equação Logarítmica

xgxfxgxf bb loglog

53log2 x

325 xx332

35x

03 x3x

35S


xgxfxgxf bb loglog

295log 1 xx

951 2 xx95122 xxx

095 x59 x

01x 1 x

11x 2 x

01072 xx21 x 51 x 5S


xgxfxgxf bb loglog 8log4log3log 555 xx

03 x 3 x04 x 4 x

41 x

3 x

4S

8log43log 55 xx

8122 xx0202 xx 52 x

0202 xx

Inequação Logarítmica xgxf bb loglog

1b xgxf

10 b xgxf

5log3log 22 x

53 x8x

03 xC.E

3x 8/ xRxS

,8S

Inequação Logarítmica xgxf bb loglog

1b xgxf

10 b xgxf

2log82log32

32 xx

282 xx6x

082 xC.E

4x02 x

2x

I II

4 xIII

Inequação Logarítmica 34log3log 22 xx

8122 xx

322 2log43log xx

322 2log43log xx

0202 xx51 x

42 x

x5 – – – – – –+ + +

4

+ + +

45 x

Inequação Logarítmica 34log3log 22 xx

x5 – – – – – –+ + +

4

+ + +

45 x

03 xC.E

3x04 x

4x

3 x

43/ xRxS

0202 xx

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