Escola Secundária Francisco Rodrigues Lobo

10º Ano - Matemática B - Ficha de Trabalho nº7 (Trabalho de Grupo)

Funções: Análise de um modelo matemático

Instruções1. Indiquem na folha de resposta a identificação dos dois elementos do grupo.

2. Utilizem a calculadora gráfica para responder às questões que se seguem.

3. Apresentem o esboço do gráfico em causa e justifiquem convenientemente as respostas da

forma o mais completa possível, indicando sempre todos os cálculos e os pontos do gráfico que

permitem obter a resposta a cada questão.

A Cerca Rectangular

Na construção dos três lados de uma cerca rectangular são utilizados

100 metros de rede. Um muro faz o quarto lado.

1) Mostrem que a expressão que exprime a área da cerca em função do comprimento da mesma é

A (c )=−2c2+100c.

2) Representem graficamente a função A(c).

3) Quais são os valores que faz sentido atribuir a c? Indiquem o domínio da função A(c).

4) Qual é a área da cerca com 30m de comprimento?

5) Quais são as dimensões da cerca com área de 800 m2?

6) Qual é o valor de c que permite obter a área máxima? Qual o valor dessa área? Quais são as

dimensões da cerca com área máxima?

7) Pretende-se construir a cerca com área máxima e relvar o terreno no seu interior. Determinem o

custo total da obra, sabendo que:

para cobrir 1m2 de relva são necessários 50 g de semente; para adubar 1m2 de relva são necessários 40 g de adubo; 1 kg de semente de relva custa 7,35€; 1 kg de adubo custa 1,30. 1m de rede custa 12,00€. Para fixar a rede coloca-se uma estaca de 5m em 5m. Nos pontos de união com o muro

não leva estaca. Cada estaca custa 9,00€. 1h de mão-de-obra custa 10€. São necessários dois jardineiros a trabalhar durante 8h

para concluir o trabalho.

BOM TRABALHO!

Escola Secundária Francisco Rodrigues Lobo

10º Ano - Matemática B - Ficha de Trabalho nº7 (Trabalho de Grupo)

Funções: Análise de um modelo matemático - CORRECÇÃO

A Cerca Rectangular

Na construção dos três lados de uma cerca rectangular são utilizados

100 metros de rede. Um muro faz o quarto lado.

1) Por um lado, sabe-se que

A=c× l

e por outro, sabemos que a soma dos três lados de rede da cerca é igual a 100 m. Assim,

2c+l=100⇔l=100−2c . (*)

Substituindo l por 100-2c na 1ª equação, vem:

A=c×(100−2c)⇔A=100c−2c2⇔A=−2c2+100c, c.q.d.

2) Inicialmente desenhar o gráfico que se segue que depois se completará com os dados necessários

para responder às várias questões, como se mostra nas figuras que se seguem.

Fig. 1

Fig. 2

Fig. 3

Fig. 4

Fig. 5

3) Resolução Gráfica: Como a área só pode tomar valores positivos, então faz sentido atribuir a c os

valores compreendidos entre 0 e 50 (zeros da função e abcissas dos pontos A e B

respectivamente). (ver Fig. 2).

D=]0,50[

Resolução Analítica: A área só pode tomar valores positivos. Determinemos os zeros da função:0=−2c2+100c⇔⇔2c2−100 c=0⇔⇔c (2c−100)=0⇔⇔c=0∨2c−100=0⇔

⇔c=0∨ c=1002⇔

⇔c=0∨ c=50

Como a parábola é voltada para baixo, então só então só faz sentido atribuir a c os valores compreendidos entre 0 e 50 que corresponderão a áreas positivas.D=]0,50[

4) Resolução Gráfica: A área da cerca com 30m de comprimento (abcissa do ponto C) é de 1200 m2

(ordenada do ponto C) (Fig. 3).

Resolução Analítica: Substituindo c por 30 na expressão da função obtém-seA (30 )=−2×302+100×30=−1800+3000=1200

Portanto, a área da cerca com 30m de comprimento é de 1200 m2.

5) Resolução Gráfica: Traçando a recta y=800, verificamos que esta intersecta o gráfico da parábola

nos pontos D(10, 800) e E(40, 800), indicando que há dois valores possíveis para o comprimento

que correspondem a uma cerca com 800 m2 de área. Calculemos a largura em cada caso, utilizando

a expressão acima marcada com(*):

Se c=10 , l=100−2×10⇔l=80Se c=40 , l=100−2×40⇔l=20

(Nota: Conhecendo c e A também se pode calcular l a partir da expressão A=c× l).

Portanto, para a cerca ter 800 m2 de área, as suas dimensões podem ser 10m de comprimento e 80 m de largura ou então 40 m de comprimento e 20 m de largura.

Resolução Analítica: Substituindo A por 800 na expressão da função obtém-se:800=−2c2+100c⇔

⇔2c2−100 c+800=0⇔⇔c2−50c+400=0⇔

⇔c=50±√502−4×1×4002×1

⇔

⇔c=50±√2500−16002

⇔

⇔c=50±√9002

⇔

⇔c=50±302

⇔

⇔c=40∨ c=10

Portanto, há dois valores possíveis para o comprimento que correspondem a uma cerca com 800

m2 de área. Calculemos a largura em cada caso, utilizando a expressão acima marcada com(*):

Se c=10 , l=100−2×10⇔l=80Se c=40 , l=100−2×40⇔l=20

(Nota: Conhecendo c e A também se pode calcular l a partir da expressão A=c× l).

Logo, para a cerca ter 800m2 de área, as suas dimensões podem ser 10m de comprimento e 80 m de largura ou então 40 m de comprimento e 20 m de largura.

6) Resolução Gráfica: Determinando o máximo da função concluímos que a cerca de área máxima é

aquela cujo comprimento é de 25 m (abcissa do ponto F). A sua área será de 1250 m2 (ordenada do

ponto F). (ver Fig. 5)

Nesse caso a sua largura será de l=100−2×25⇔l=50 m.

Resolução Analítica: Conhecendo os zeros da parábola, sabemos que a abcissa do vértice da parábola é igual à média dos zeros:

cV=0+50

2=25

Para determinar a ordenada do vértice, utiliza-se a expressão analítica da função atribuindo a c o valor 25:

AV=−2×252+100×25=−1250+2500=1250

Portanto, a cerca de área máxima é aquela cujo comprimento é de 25 m e a sua área é de 1250 m2.

Nesse caso a sua largura será de l=100−2×25⇔l=50 m.

7) Como vimos antes, a cerca de área máxima tem 1250m2 de área.

São necessárias 19 estacas:

produto quantidade necessária quantidade Total necessária custo unitário custo total

semente 50 g/m2 1250*50=62500 g= 62.5 Kg 7.35 €/Kg 62,5*7,35= 459.38 €adubo 40 g/m2 1250*40=50000 g= 50 Kg 1.30 €/Kg 50*1,30= 65 €rede 100 m 12.00 €/m 100*12= 1200 €estacas 19 9.00 € 19*9= 171 €mão-de-obra 2*8= 16 h 10 €/h 16*10= 160 €

Custo Total 2055.38 €