MODELO MATEMÁTICO PARA A SOLIDIFICAÇÃO EQUIAXIAL … · Um modelo matemático multifásico para prever a formação dos grãos equiaxiais durante a solidificação de ligas binárias

CDD: 620.16

MODELO MATEMÁTICO PARA A SOLIDIFICAÇÃOEQUIAXIAL EM LIGAS BINÁRIAS

MATHEMATICAL MODEL FOR THE SOLIDIFICATIONOF EQUIAXED GRAINS IN BINARY ALLOYS

Francisco Lameiras Júnior1, Marcelo de Aquino Martorano2

1 Colégio e Faculdade ENIAC, Guarulhos, SP e Colégio São José, São Bernardo doCampo, SP

2 Autor para contato: Escola Politécnica da Universidade de São Paulo, Departamentode Engenharia Metalúrgica e de Materiais, São Paulo, SP, Brasil; (11) 3091-6032;e-mail: [email protected]

Recebido para publicação em 06/08/2007Aceito para publicação em 06/09/2007

RESUMO

Um modelo matemático multifásico para prever a formação dos grãosequiaxiais durante a solidificação de ligas binárias está sendo proposto. O modelomatemático é desenvolvido com base no conceito de envelopes envolvendo osgrãos equiaxiais e com base nas equações macroscópicas de conservação deenergia, massa e espécies químicas. O modelo de nucleação utilizado possibilita aprevisão do surgimento de novos núcleos de grãos durante todo o período deresfriamento. As equações diferenciais são obtidas através de uma média volu-métrica das equações de conservação em um volume elementar representativocontendo três “pseudofases”: sólido, líquido interdendrítico e líquido extradendrítico.Inicialmente os resultados do modelo são comparados com resultados apresen-tados na literatura, mostrando uma aderência razoável. Posteriormente, simulaçõessão conduzidas para mostrar que um aumento na taxa de resfriamento resulta emum aumento na quantidade de grãos equiaxiais formados.

Palavras-chave: solidificação equiaxial, modelo multifásico, nucleação Gaussiana.

ABSTRACT

A multiphase mathematical model to predict the formation of equiaxed grainsduring the solidification of binary alloys has been proposed. The mathematicalmodel is based on the concept of grain envelopes and on the macroscopic equationsfor conservation of energy, mass, and chemical species. A nucleation model isadopted to consider the nucleation of new grains during the whole solidification

Publ. UEPG Ci. Exatas Terra, Ci. Agr. Eng., Ponta Grossa, 13 (2): 17-29, ago. 2007

Publ. UEPG Exact Earth Sci., Agr. Sci. Eng., Ponta Grossa, 13 (2): 17-29, ago. 2007

18time. The differential equations are derived by volume averaging the conservationequations within a representative elementary volume that consists of threepseudophases: solid, interdendritic liquid, and extradendritic liquid. First, resultsfrom the model are compared with those available in the literature, showingreasonable agreement. Second, simulations are carried out to show that an increasein the cooling rate increases the number density of equiaxed grains formed in thefinal structure.

Key words: equiaxed solidification, multiphase model, Gaussian nucleation.

1. Introdução

Os modelos matemáticos precursores utilizadosna solidificação datam de mais de 100 anos(CRANK,1984). Estes modelos, chamados de mode-los de dois domínios (KURZ e FISHER,1989), dificil-mente eram aplicados na solidificação dendrítica, poisexigiam que a geometria da interface sólido-líquido fosseconsiderada detalhadamente. Posteriormente, foramintroduzidos os modelos de domínio único, através dosquais foi possível simular a condução de calor utilizan-do uma única equação diferencial para os três domí-nios usualmente considerados: a região sólida, a zonapastosa e a região líquida (CLYNE,1982).

Os modelos de domínio único evoluíram com aintrodução do conceito de envelope. Segundo este con-ceito, associou-se a cada grão no interior da zona pas-tosa um envoltório imaginário chamado de envelope.No caso da solidificação dendrítica, este envelope ape-nas tocava a ponta dos braços primários e secundá-rios de dendrita. Nestes modelos, a fase líquida pode-ria estar presente tanto internamente como externamen-te ao envelope.

Os primeiros modelos de envelope, que foramdesenvolvidos para a solidificação equiaxial, conside-ravam que envelopes perfeitamente esféricos envolvi-am os grãos equiaxiais. No caso da solidificação euté-tica equiaxial, os envelopes eram assumidos totalmen-te sólidos, o que facilitou o equacionamento matemáti-co do problema (RAPPAZ et al.,1986). Posteriormen-te, modelos de envelope para a solidificação equiaxialdendrítica foram desenvolvidos nos quais foi conside-rada a existência de líquido internamente aos envelo-pes. Foi necessário, então, calcular a fração de líqui-do, ou de sólido, presente no interior destes envelo-

pes. Rappaz e Thévoz (1987) propuseram um modeloaproximado para o calculo desta fração através de umbalanço de soluto que envolveu o fluxo para fora doenvelope dendrítico em direção ao líquido externo. Noentanto, o líquido externo ao envelope ou foi assumidosemi-infinito, ou foi considerado sempre possuir a con-centração inicial.

Wang e Beckermann (1993a) propuseram ummodelo multifásico para a solidificação equiaxial defi-nindo três “pseudofases”, a saber: o sólido; o líquidointerdendrítico, localizado internamente ao envelope; eo líquido extradendrítico, localizado externamente. Es-tes autores (WANG e BECKERMANN,1993a) cal-cularam a evolução da concentração de soluto no lí-quido externo ao envelope, permitindo que o fluxo desoluto trocado com este envelope fosse calculado maisprecisamente. Entretanto, neste modelo, assumiu-se quetodos os grãos apareciam instantaneamente no líquidono momento em que o seu super-resfriamento ultra-passava um valor crítico para a nucleação. Este mode-lo foi denominado de modelo de nucleação instantâ-nea. Segundo este modelo, para uma determinada den-sidade de número de substratos para a nucleação he-terogênea, sempre surgirá o mesmo número de núcle-os independentemente das condições de resfriamento.Portanto, este modelo não é capaz de prever, por exem-plo, o efeito da taxa de resfriamento ou do teor desoluto no tamanho final de grão equiaxial.

Modelos de nucleação mais precisos do que ode nucleação instantânea foram elaborados por diver-sos autores. Oldfield (1966) propôs que a densidadedo número de células eutéticas nucleadas era propor-cional ao quadrado do super-resfriamento em relaçãoà temperatura do eutético. Thévoz et al. (1989) elabo-raram um modelo para nucleação considerando uma


19densidade de distribuição de super-resfriamentos paraa nucleação dada por uma Gaussiana. Recentemente,Greer et al. (2002) propuseram que o super-resfria-mento para o crescimento livre de um grão já nucleadodepende do tamanho do substrato sobre o qual estegrão nucleou. Em algumas situações, a densidade dedistribuição de tamanhos de substrato foi observadaser log-normal ou mesmo obedecer a uma equaçãoexponencial. Desta forma, a distribuição de super-res-friamentos para que estes núcleos pudessem crescer etornarem-se grãos também obedecia a uma equaçãoexponencial ou log-normal.

Apesar da existência de vários modelos, nota-se que não há um modelo multifásico capaz de prevero efeito da taxa de resfriamento na quantidade final degrãos equiaxiais, considerando também a interaçãoentre os campos de soluto ao redor destes grãos. Opresente trabalho visa preencher esta lacuna atravésda proposta de um modelo multifásico para a evolu-ção dos grãos equiaxiais durante a solidificação. Estemodelo é inovador, pois utiliza uma distribuição desuper-resfriamentos críticos para a nucleação e consi-dera a interação média entre os campos de soluto aoredor dos grãos equiaxiais. No próximo item, o mode-lo matemático proposto será descrito, enquanto nosItens 3 e 4, os resultados serão apresentados e discu-tidos, finalizando-se com algumas conclusões.

2. Metodologia

O modelo matemático desenvolvido no presen-te trabalho foi baseado no modelo proposto por Wange Beckermann (1993a). A principal modificação intro-duzida foi a utilização do modelo de nucleação Gaus-siana, em lugar do modelo de nucleação instantâneaadotado por estes autores. Utilizou-se a técnica da mé-dia volumétrica (NI e BECKERMANN,1991) para adefinição das equações macroscópicas de conserva-ção de massa, energia e espécies químicas para cadafase presente no interior de um volume elementar re-presentativo.

O modelo de nucleação Gaussiana foi introduzi-do no conjunto de equações definido por Wang eBeckermann (1993a), e a introdução desse modeloimplicou na necessidade de se definir equações espe-

cíficas para o cálculo da evolução de aspectos geomé-tricos dos chamados envelopes de grãos. Como exem-plo, pode-se citar a evolução do raio médio do enve-lope e da concentração de área interfacial entre o en-velope e o líquido externo.

2.1. Modelo de envelope para a solidificaçãoequiaxial

No interior de um volume elementar representa-tivo foram definidos envelopes ao redor dos grãosequiaxiais, conforme mostra a Figura 1. No presentetrabalho o formato destes envelopes foi assumido es-férico. Analogamente a Wang e Beckermann (1993a),as equações macroscópicas de conservação utilizadasforam obtidas integrando-se as equações microscópi-cas de conservação de massa, energia e espécies quí-micas, no interior das três pseudofases definidas nosistema. Estas pseudofases são: o sólido (s); o líquidointerdendrítico (d) e o líquido extradendrítico (l). As-sumiu-se que a pseudofase sólida faz contato apenascom o líquido interdendrítico, quando este está pre-sente no interior do envelope. Caso contrário, ou seja,na ausência deste líquido, o sólido apresenta umainterface de contato esférica com o líquido extra-dendrítico.

Figura 1 - Desenho esquemático do volume elementar repre-sentativo (REV) contendo alguns envelopes den-dríticos envolvendo grãos equiaxiais em cres-cimento (WANG;BECKERMANN,1993b). A fasesólida (s), o líquido interdendrítico (d), localizadono interior dos envelopes, e o líquido extraden-drítico (l), localizado externamente, também estãomostrados.


202.2. Equações macroscópicas de

conservaçãoAs equações microscópicas de conservação fo-

ram integradas no interior de cada uma das três pseudo-fases existentes no interior de um volume elementarrepresentativo (REV) (Figura 1), proporcionando umconjunto de equações macroscópicas de conservação.Segundo essa técnica, denominada de média volumé-trica (“volume averaging”), as integrais de volume dasderivadas no tempo e no espaço são transformadasem derivadas da integral de volume da variável de cam-po. Detalhes sobre essa técnica podem ser encontra-dos no trabalho de Ni e Backermann (1991) ouGanesan e Poirier (1990).

A aplicação da técnica acima às equações mi-croscópicas de conservação de massa, espécies quí-micas e energia resultou nas equações de conservaçãomacroscópicas utilizadas no presente trabalho. Entre-tanto, as seguintes hipóteses foram ainda utilizadas paraa obtenção do conjunto final de equações:

a) O sistema estudado foi assumido solidificarcom a formação apenas de grãos equiaxiais (grãoscolunares não foram considerados);

b) A temperatura é uniforme no sistema (sistemaisotérmico), ou seja, não há gradientes de temperaturano seu interior, porém esta temperatura varia com otempo;

c) A média volumétrica de qualquer variável decampo é uniforme no interior do sistema;

d) A composição média do sistema é constante,ou seja, não há troca de massa e soluto com o meioexterno;

e) A composição do líquido interdendrítico (fased) é uniforme;

f) Não há convecção no líquido;g) A fase sólida não se movimenta;h) A difusão de soluto no sólido é desprezível;i) Existe equilíbrio termodinâmico local na

interface sólido-líquido;j) O calor específico e a densidade são constan-

tes e têm o mesmo valor para as três pseudoases;k) Novos núcleos formam-se apenas no líquido

extradendrítico e podem surgir continuamente durantetoda a solidificação;

l) No máximo um núcleo de sólido pode-se for-mar sobre uma partícula de inoculante.

Algumas das hipóteses descritas acima são con-sideradas em grande parte dos trabalhos relacionadosà solidificação equiaxial existentes na literatura(RAPPAZ,1989;WANG e BECKERMANN, 1993a).Assim, a adoção dessas hipóteses permite a compara-ção entre os resultados do presente trabalho e resulta-dos publicados na literatura. É importante ressaltar querestrições como a de propriedades termofísicas cons-tantes poderiam ser facilmente eliminadas caso neces-sário.

Estas hipóteses definem um modelo matemáticoque pode ser usado para simular diversas situaçõespráticas, pois a estrutura de grãos de peças e outrosprodutos fundidos é geralmente composta parcialmenteou completamente de grãos equiaxiais. A hipótese desistema isotérmico (hipótese b) pode parecer muitorestritiva, porque os gradientes de temperatura estãosempre presentes nos processos de solidificação. Po-rém, sempre é possível definir um volume de controlede tamanho reduzido e com temperatura aproximada-mente uniforme no interior de um sistema maior con-tendo gradientes de temperatura. Desde que este vo-lume de tamanho reduzido contenha uma quantidaderazoável de grãos equiaxiais, o modelo proposto nopresente trabalho poderia ser utilizado para simular asolidificação no volume e prever o tamanho de grão noseu interior.

Através da utilização da técnica das médiasvolumétricas e considerando-se as hipóteses simpli-ficadoras descritas, as seguintes equações macros-cópicas de conservação foram obtidas (WANG eBECKERMANN, 1993a):


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onde Tliq é a temperatura liquidus do líquido extra-dendrítico de composição Cl e T é a temperatura ins-tantânea do sistema. Nos modelos de solidificaçãoequiaxial propostos na literatura, utilizou-se a tempe-ratura liquidus calculada para a concentração inicial de

O aparecimento de novos núcleos com o au-mento do super-resfriamento foi simulado utilizando-se uma distribuição de super-resfriamentos críticos paranucleação que obedece a uma distribuição Gaussianacomo a adotada por Thévoz, Desbiolles e Rappaz(1989). Neste caso, a função densidade de distribuiçãode super-resfriamentos para nucleação, ∆T, foi cal-culada como

onde n é a densidade de número de núcleos ou grãosno sistema; n0 é a máxima densidade possível denúmero de núcleos ou grãos (assumida igual à den-sidade de número de substratos devido à hipótese l);∆Tn é o super-resfriamento médio para nucleação e∆Tσ é o desvio padrão da distribuição. Dessa forma,a função de distribuição acumulada (ou função repar-tição) é obtida a partir da integração da equação [7].

A equação proposta por Thévoz et al. (1989)difere da equação [7], porque a fração de líquidoextradendrítico, εl, não está presente ao lado direitoda equação. Apesar desta diferença não alterar signi-ficativamente os resultados, pois εl ≈ 1 durante pratica-mente todo o período de nucleação, a Eq. [7] repre-senta com maior precisão o sistema físico, porque osurgimento de novos núcleos ocorre apenas no líquidoextradendrítico, que é onde existe super-resfriamento.

2.3.2 Crescimento dos grãos equiaxiaisComo assumido em outros modelos de solidifi-

cação equiaxial (WANG e BECKERMANN, 1993a,1993b), quando o grão equiaxial é dendrítico a velo-cidade de crescimento do envelope é considerada igualà da ponta dos braços dendríticos, dada por (LIPTONet al., 1984)

soluto no líquido (THÉVOZ, DESBIOLLES eRAPPAZ, 1989), C0, ou seja, Tliq=Tf+mLC0. Nopresente trabalho, entretanto, no cálculo do super-resfriamento utilizou-se a temperatura liquidus do líquidoextradendrítico, ou seja, calculada com base na con-centração Cl com o auxílio da seguinte equação

onde εs, εl e εd representam as frações volumétricasde cada fase; ρ, cP e Lf são a densidade, o calor espe-cífico e o calor latente de fusão, respectivamente; T é atemperatura; t é o tempo; Cd é a concentração do líqui-do interdendrítico; Cl é a concentração do líquido ex-tradendrítico; V é a velocidade de crescimento do en-velope envolvendo o grão equiaxial; Se é a concentra-ção de área de interface entre o envelope e o líquidoextradendrítico; k é o coeficiente de partição de soluto;Dl é o coeficiente de difusão de soluto no líquido; δe é aespessura efetiva de difusão de soluto ao redor dos en-velopes dendríticos; R é a taxa de resfriamento no sis-tema antes do início da solidificação. O princípio deconservação de massa para a fase líquido interdendríti-co está implícito na relação constitutiva εs + εl + εd = 1.

Entre as hipóteses apresentadas anteriormente,considerou-se que o líquido interdendrítico possui umaconcentração homogênea de soluto (hipótese e) e queeste líquido está em equilíbrio termodinâmico com osólido (hipótese i). Conseqüentemente, considerandoque a linha liquidus do diagrama de fase seja uma reta,pode-se calcular a concentração do líquido inter-dendrítico através da equação Cd =(T - Tf)/ml, ondeTf é a temperatura de fusão do metal puro e ml é ainclinação da linha liquidus do diagrama de fases.

2.3. Modelos microscópicos2.3.1. Modelo de nucleaçãoNo modelo de nucleação empregado, con-

siderou-se que os núcleos poderiam surgir no líquidoextradendrítico em diferentes temperaturas, durantetodo o seu período de resfriamento. Este modelo édiferente daquele utilizado por Wang e Beckermann(1993a), denominado de nucleação instantânea, ondese assumiu que todos os núcleos surgiam a uma mesmatemperatura. No presente trabalho, a nucleação de no-vos grãos depende do super-resfriamento no líquidoextradendrítico, definido como


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onde Ω é a supersaturação adimensional de soluto;Iv _1(Ω) é o inverso da função de Ivantsov (KURZ eFISHER,1989) e Γ é o coeficiente de Gibbs-Thomson.A supersaturação Ω, que representa a força motriz parao crescimento do envelope dendrítico, é definida por

Quando o grão equiaxial é uma esfera sólida (não édendrítico), ou seja, não há líquido interdendrítico nointerior de seu envelope, a equação [8] não pode serutilizada para calcular a sua velocidade de crescimento.Neste caso, a velocidade será obtida diretamente dataxa de variação da fração de sólido com o tempoatravés de

Nos trabalhos de Martorano, Beckermann e Gandin(2003), e Wang e Beckermann (1994), a velocidadede crescimento de cada envelope foi sempre calculadaatravés da Eq. [10], mesmo quando este era totalmentesólido, não representando precisamente este tipo decrescimento.

2.3.3. Evolução da concentração de áreainterfacial de envelope

A concentração de área de interface entre oenvelope que envolve os grãos equiaxiais e o líquidoextradendrítico, Se, é um parâmetro de grande impor-tância para o presente modelo. Esta concentração con-trola o aumento da fração volumétrica de envelope,εg, e a troca de soluto com o líquido extradendrítico.No caso da densidade de número de grãos (ou en-velopes), n, permanecer constante (modelo de nuclea-ção instantânea), existe uma relação simples entre Se,εg, e n. No entanto, quando novos núcleos aparecemconstantemente durante o resfriamento, existem envelo-pes de diversos tamanhos e a sua densidade de númeroaumenta com o tempo. Conseqüentemente, foi necessá-rio desenvolver um modelo para prever a evolução deSe com o tempo.

Assumindo que todos os envelopes possuem amesma velocidade de crescimento no instante t, ocálculo da evolução da concentração de área interfacialde envelope com o tempo pode ser feito através dasequações abaixo

onde Se_est e Re_est representam a concentração de áreaestendida de envelope e o raio estendido médio dosenvelopes. Estes valores estendidos são aqueles queos envelopes apresentariam caso não houvesse sobre-posição durante o crescimento. Entretanto, a sobre-posição afeta consideravelmente a concentração deárea verdadeira, Se, a partir de um estágio intermediá-rio da solidificação até o seu final, quando Se deve sernulo. No presente trabalho foi assumido que os enve-lopes estão posicionados aleatoriamente no interior dovolume do sistema. Dessa forma, a correção de Avramifoi utilizada para considerar a sobreposição dos enve-lopes equiaxiais (BRADLEY,1993; CHARBON eRAPPAZ,1992), resultando em

No início da solidificação εl → 1, portanto a correçãoé desprezível, mas no seu estágio final, εl → 0 e,portanto Se → 0, como esperado.

3. Resultados e discussão3.1. Verificação do modelo propostoOs resultados do modelo proposto no presente

trabalho foram comparados com os resultados obtidospor Wang e Beckermann (1993b). O modelo imple-mentado foi baseado no modelo proposto por estesautores, que assumiram que a nucleação ocorreria emum único instante, ou seja, todos os núcleos apareceriaminstantaneamente no momento em que um dado super-resfriamento crítico fosse atingido. Além disso, este mo-delo considera que todos os núcleos surgem a uma


23temperatura imediatamente abaixo da temperaturaliquidus, isto é, considera que o super-resfriamentopara nucleação é igual a zero. Essas limitações forameliminadas no presente modelo com a utilização de umadistribuição de super-resfriamentos críticos para a nu-cleação, definida pela Eq [7].

As propriedades da liga Al-5%Si utilizadas paraas simulações estão apresentadas na Tabela 1. Reali-zaram-se três simulações, cada uma considerando umadensidade de número de partículas de inoculante (n0)diferente: n0=2,39.1011m-3, n0=2,39.108m-3 en0=2,39.105m-3. As demais condições de simulaçãoestão apresentadas na Tabela 2.

Tabela 1 - Propriedades da liga Al-5%Si utilizadas nas simu-lações, onde Teut é a temperatura do eutético e osoutros símbolos foram apresentados no texto .

Tabela 2 - Condições de simulação para a comparação com omodelo de Wang e Beckermann (1993b), onde T0 éa temperatura inicial, C0 é a concentração média desoluto no sistema e ∆t é o passo de tempo empre-gado na solução numérica.

A Figura 2(a) mostra as curvas de resfriamentoobtidas através do modelo proposto no presente tra-balho e aquelas apresentadas por Wang e Beckermann(1993b). Observa-se que, de modo geral, os resultadosdos dois modelos estão bem próximos, porém nota-seuma discrepância durante a recalescência para as simu-lações B e C. Essa diferença entre os resultados dosdois modelos deve-se a uma correção utilizada nopresente trabalho, que não foi considerada no modelode Wang e Beckermann (1993b), referente à sobrepo-sição dos grãos (Eq. [13]). Wang e Beckermann(1993b) utilizaram a concentração estendida, Se_est, sema correção de Avrami.

Em uma segunda verificação, o presente modelofoi adaptado para também não considerar a correção

Figura 2 - Curvas de resfriamento obtidas através do presentemodelo e apresentadas por Wang e Beckermann(1993b) para três densidades de número de par-tículas inoculantes, n0. Duas situações são apre-sentadas: (a) com e (b) sem a correção de Avrami.Tempo Adimensional = cp. R .t/Lf; TemperaturaAdimensional = (T0-T)/(T0-Teut).


24da sobreposição dos grãos, ou seja, a correção deAvrami (BRADLEY,1993). Quando a correção não érealizada, a discrepância observada na Figura 2(a)desaparece como mostra a Figura 2(b). Assim, verifica-se que os resultados apresentados pelo presente mo-delo estão em pleno acordo com os resultados obtidospor Wang e Beckermann (1993b).

3.2. Análise paramétricaAlgumas variáveis de processamento funda-

mentais para a solidificação equiaxial da liga Al-Si foramselecionadas para uma análise paramétrica do modelomatemático construído. Essas variáveis são: a densidadede número de partículas de inoculante (n0), a taxa deresfriamento (R), o teor médio de soluto (C0), o super-resfriamento médio para nucleação (∆Tn) e o desviopadrão da distribuição de super-resfriamentos (∆Tσ).Inicialmente, definiu-se uma determinada condição desimulação, apresentada na Tabela 3, como sendo a con-dição de referência. Posteriormente, o efeito da altera-ção de apenas uma das variáveis mencionadas anterior-mente foi analisado. Esta análise está apresentada nospróximos subitens.

Tabela 3 - Condições utilizadas na simulação de referênciada solidificação equiaxial da liga Al-Si.

3.2.1. Efeito da quantidade de inoculanteA densidade de número de partículas inoculantes,

n0, representa a máxima densidade final de número degrãos possível, porque foi assumido que no máximoum núcleo de sólido pode-se formar sobre uma par-tícula de inoculante (hipótese l).

A Figura 3 mostra as curvas de resfriamentocalculadas para as duas densidades de partículas ino-culantes selecionadas: n0 = 102 m-3 e n0 = 1011 m-3

. Osoutros parâmetros de entrada foram mantidos iguaisaos da simulação de referência (Tabela 3).

Figura 3 - Curvas de resfriamento para duas densidades denúmero de partículas de inoculante, n0.

Percebe-se através da Figura 3 que, para n0 =102 m-3, a recalescência tem início em aproximadamente20 segundos e à temperatura de 891 K. Entretanto,para uma quantidade bem superior de partículas deinoculante, isto é, para n0 = 1011 m-3, a recalescênciaocorre em um tempo inferior a 3 segundos e em umatemperatura maior, de aproximadamente 908 K.Portanto, os resultados exibidos no presente trabalhomostram que quanto maior a quantidade de inoculantemaior será a temperatura em que o fenômeno darecalescência tem início. Esses resultados estão deacordo com os resultados calculados por Rappaz eThévoz (1987) e com resultados experimentais deanálise térmica.

Na realidade, para maiores quantidades de ino-culante, observou-se que a fração volumétrica de sólidocomeça a crescer significativamente em um instante detempo menor, influenciando diretamente a curva deresfriamento através da liberação do calor latente. AEq. [1] mostra que o calor latente liberado é diretamenteproporcional à taxa de variação de fração de sólidocom o tempo, ∂εs/∂t. A Figura 4 mostra a evolução dafração de sólido para as duas densidades de númerode grãos utilizadas.


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Figura 4 - Evolução da fração volumétrica de sólido com otempo para duas densidades de número de par-tículas de inoculante, n0.

Observa-se que a fração de sólido começa acrescer exatamente no mesmo instante em que se ob-serva o início da recalescência na Figura 3, confirman-do, dessa forma, a influência direta da fração volumétricade sólido sobre a temperatura, e consequentemente,justificando os efeitos da quantidade de inoculante so-bre a curva de resfriamento.

3.2.2. Efeito da taxa de resfriamentoA Figura 5 mostra as curvas de resfriamento obti-

das para as taxas de resfriamento de 0,01 e 10 K/s.Percebe-se claramente que, para a maior taxa de res-friamento (Figura 5b), a temperatura diminui mais ra-pidamente e a recalescência é atingida após um super-resfriamento maior. Deve-se notar que, conforme atemperatura decresce a partir do valor inicial, ocorrecontinuamente o aparecimento de novos grãos atravésda nucleação. Entretanto, no início da recalescência,após o ponto de mínimo na curva de resfriamento, atemperatura começa a aumentar eliminando o super-resfriamento existente e, portanto, parando o proces-so de nucleação. Logo, a densidade de número degrãos existentes no instante da mínima temperatura antesda recalescência será a densidade final e estará direta-mente relacionada ao tamanho final de grão. Assim,como a temperatura mínima será menor em maiorestaxas de resfriamento, uma maior quantidade de nú-

Figura 5 - Curvas de resfriamento para diferentes taxas deresfriamento R: (a) 0,01 K/s e (b) 10 K/s.

A Figura 6 mostra como a densidade de númerode grãos no líquido extradendrítico varia com o tempodurante a simulação da solidificação. Na Figura 6(a),onde a taxa de resfriamento é de 0,01 K/s, a densidadede número de grãos atinge um limite máximo de 6 x105 m-3. Entretanto, para uma taxa de resfriamento de10 K/s (Figura 6(b)), observa-se uma maior densidadefinal de número de grãos, n ≈ 107 m 3, que é pra-ticamente o valor máximo possível (n0). Desta forma,na taxa de resfriamento de 10 K/s, todos os substratospara nucleação heterogênea foram ativados e con-tribuíram para a nucleação dos grãos.

cleos será formada, resultando em uma maior densi-dade final de número de grãos e em um menor tama-nho de grão.


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3.2.3. Influência do teor de solutoObserva-se experimentalmente que um aumento

na concentração média de soluto (C0) em ligas bináriaspromove um refinamento da estrutura, ou seja, umadiminuição no tamanho de grão final médio (TG). Essainfluência do teor de soluto normalmente é medida pelofator de restrição de crescimento, GRF (“GrowthRestriction Factor”), o qual está diretamente relacionadocom C0 através da relação GRF = (k – 1)mlC0

(JOHNSSON, 1994). Para a obtenção de resultadosque comprovem esse efeito, foram feitas simulaçõespara dois teores médios de soluto diferentes: C0 = 0,5%e C0 = 6%. As demais condições foram mantidas iguaisàs da simulação de referência.

A Figura 7 exibe a evolução da densidade denúmero de grãos em função do tempo para as duasconcentrações mencionadas acima. Percebe-se que,para uma concentração de 6,0 %, a densidade final de

Figura 6 - Densidade de número de grãos em função do tem-po para diferentes taxas de resfriamento R: (a) 0,01K/s e (b) 10 K/s.

3.2.4. Influência do tipo de inoculanteAlgumas simulações foram realizadas para se

examinar o efeito do tipo de inoculante na solidificaçãoequiaxial. O tipo de inoculante é definido através dasua distribuição de super-resfriamentos para nucleação,fornecida pela Eq. [7], que apresenta dois parâmetrosimportantes: o super-resfriamento médio para nu-cleação, ∆Tn, e o desvio-padrão da distribuição, ∆Tσ.Estes parâmetros foram alterados separadamente,enquanto todas as outras condições foram mantidasiguais às da condição de referência (Tabela 3). Naanálise do super-resfriamento médio, foram adotados∆Tn = 1 K e ∆Tn = 9 K. A Figura 8 mostra as curvasde resfriamento obtidas para os dois casos. Percebe-se que, para um maior valor de ∆Tn, a temperaturaonde ocorre o início da recalescência é menor. Obser-va-se ainda que valores maiores de ∆Tn retardam oinício da nucleação e diminuem a densidade final denúcleos, como mostra a Figura 9.

Figura 7 - Evolução da densidade de número de grãos com otempo para dois teores médios de soluto, C0.

número de grãos praticamente atinge o valor máximopossível, ou seja, n0 = 107 m-3, equivalente a um tama-nho de grão final de ≈ 4 mm. Entretanto, para umaconcentração inicial de 0,5 %, a densidade final atingeum valor menor, próximo de 1,5.106 m-3, representandoum tamanho de grão de ≈ 7 mm. Como é observadoexperimentalmente, o modelo mostra que o aumentoda concentração de soluto causa um aumento da den-sidade final de grãos e, portanto, uma diminuição dotamanho de grão final.


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Figura 8 - Curvas de resfriamento para dois valores de super-resfriamento médio para nucleação, ∆Tn .

Figura 9 - Densidade de número de grãos em função do tem-po para dois valores de super-resfriamento médiopara nucleação, ∆Tn .

Outra simulação foi realizada com a intenção deanalisar os efeitos do desvio padrão (∆Tσ) da dis-tribuição de super-resfriamentos críticos. Foram con-siderados ∆Tσ = 0,001 K e ∆Tσ = 5,0 K. Os resul-tados estão apresentados na Figura 10. Observa-seque praticamente não há mudança na curva de resfria-mento, inclusive na recalescência. Dessa forma, conclui-se que o parâmetro ∆Tσ não exerce influência signifi-cativa sobre a curva de resfriamento para a faixa devalores examinados.

Figura 10 - Curvas de resfriamento para dois valores de des-vio padrão da densidade de distribuição de super-resfriamentos críticos para a nucleação, ∆Tσ .

A Figura 11 mostra a evolução da densidade denúmero de grãos com o tempo. Nota-se que, para ∆Tσ= 0,001 K, praticamente todos os núcleos são ativadosno mesmo instante, aproximando-se das condições domodelo instantâneo de nucleação.

Figura 11 - Evolução da densidade de número de núcleosem função do tempo para dois valores de desviopadrão ∆Tσ da distribuição Gaussiana de super-resfriamentos para nucleação.


28Conclusões

Um modelo matemático para a previsão da for-mação de grãos equiaxiais durante a solidificação deligas binárias está sendo proposto. O modelo utiliza oconceito de envelope dendrítico e assume, como umade suas principais hipóteses, que o sistema apresentatemperatura uniforme, porém variável no tempo. Des-ta forma, o modelo poderia representar a solidificaçãode um volume de controle de tamanho reduzido, defi-nido no interior de uma região com gradientes de tem-peratura.

Inicialmente, o modelo foi utilizado para simulara solidificação nas condições impostas por Wang eBeckermann (1993), mostrando uma excelente ade-rência às curvas de resfriamento calculadas por estesautores quando o efeito da sobreposição dos grãos(correção de Avrami) não era considerado. Posterior-mente, foi realizada uma análise paramétrica do mode-lo implementado. Esta análise mostrou que a densida-de final do número de grãos equiaxias aumenta com:(a) o aumento do número de substratos para a nuclea-ção heterogênea (n0); (b) o aumento da taxa de res-friamento (R); (c) o aumento no teor médio de soluto(C0) e (d) a diminuição do super-resfriamento médiopara a nucleação (DTn). Observa-se também que umacréscimo na densidade de número de substratos au-menta os valores de temperatura nas quais ocorre arecalescência. Finalmente notou-se que o desvio pa-drão da densidade de distribuição de super-resfria-mentos para a nucleação (∆Tσ) possui um efeito des-prezível nas curvas de resfriamento para as faixas es-tudadas.

AgradecimentosOs autores agradecem à Fundação de Amparo

à Pesquisa do Estado de São Paulo, FAPESP, peloapoio através do Projeto Jovem Pesquisador (Processono. 03/08576-7).

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MODELO MATEMÁTICO PARA A SOLIDIFICAÇÃO EQUIAXIAL … · Um modelo matemático multifásico para prever a formação dos grãos equiaxiais durante a solidificação de ligas binárias