Funções de Distribuição de Probabilidade.pdf

FUNES DE DISTRIBUIO DE PROBABILIDADE

Rafael Carneiro da Costa

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR - UFCFACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAO, ATURIA E CONTABILIDADE

DEPARTAMENTO DE ECONOMIA APLICADA - DEA

Outubro 2013

Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 1 / 33

VARIVEL ALEATRIA

Denition (1)Em termos simples, uma varivel aleatria uma funo conjunto cujovalor um nmero real determinado pelo resultado de um experimento. Aextenso de uma v.a. o conjunto de todos os valores que ele podeassumir. Em termos de teoria da medida, uma v.a. X uma funo quemapeia S em R e satisfaz a condio que 8 conjunto de Borel B 2 , aimagem inversa X1(B) 2 F , onde:

X1(B) = fs : s 2 S e X (s) 2 Bg

Note que na trplice (S ,F ,P), o espao amostral S agoracorresponde linha real R e a algebra F , agora correspondenteao campo de Borel .

Correspondente medida de probabilidade P(.), possvel deniruma funo conjunto, chamada PX (.), que mapeia o campo de BorelF no intervalo unitrio fechado [0, 1].


VARIVEL ALEATRIA

Denition (1)Em termos simples, uma varivel aleatria uma funo conjunto cujovalor um nmero real determinado pelo resultado de um experimento. Aextenso de uma v.a. o conjunto de todos os valores que ele podeassumir. Em termos de teoria da medida, uma v.a. X uma funo quemapeia S em R e satisfaz a condio que 8 conjunto de Borel B 2 , aimagem inversa X1(B) 2 F , onde:

X1(B) = fs : s 2 S e X (s) 2 Bg

Note que na trplice (S ,F ,P), o espao amostral S agoracorresponde linha real R e a algebra F , agora correspondenteao campo de Borel .Correspondente medida de probabilidade P(.), possvel deniruma funo conjunto, chamada PX (.), que mapeia o campo de BorelF no intervalo unitrio fechado [0, 1].Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 2 / 33

FUNO DE DISTRIBUIO

Denition (2)

A funo F (x) tal que F (x) = P(X x) 8x 2 R chamada funo dedistribuio (ou densidade) acumulada, ou FDA.

F (x) d a probabilidade que uma v.a. assume valores menores ouiguais a um valor especco.

Note que a v.a. X em conjunto com a FDA transforma a trplice(S ,F ,P) em (R,,F ).


FUNO DE DISTRIBUIO

Theorem (1)

P(a < X b) = F (b) F (a).

Proof.Sejam I1 = (, a] e I2 = (a, b]. Ento I1 e I2 so disjuntos e por issoP(I1) + P(I2) = P(I1[ I2). Mas P(I1[ I2) = F (b) e P(I1) = F (a). Porisso, P(a < X b) = P(I2) = F (b) F (a).

Theorem (2)

8x 2 R,F (x) contnua direita de x.

Theorem (3)

Se F (x) contnuo em x 2 R, ento P(X = x) = 0.


DISTRIBUIES DISCRETAS

Uma v.a. X tem uma distribuio discreta se ela pode tomar apenasum nmero nito ou innito contvel de diferentes valores x1, x2, ...xn.

Denition (3)

Para uma v.a discreta X , seja f (x) = PX (X = x). A funo f (x) chamada a funo probabilidade ou FP.

A relao entre uma FDA e uma FP simples: porqueF (x) = P(X x), tem-se que F (X ) =

Xxf (x). Note que toda FP

envolve um ou mais parmetros que sero denotados por . O espaodos parmetros denotado por .


DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO BERNOULLI

Considere um experimento que tem apenas dois resultados possveis:um sucesso ou uma falha.

O espao amostral ser S = fsucesso, falhag.Tome P(sucesso) = p, que implica que P(falha) = 1 p.Dena a v.a X tal que X (sucesso) = 1 e X (falha) = 0.

Isto pode ser representado na forma

f (x ; p) = px (1 p)1x , para x = 0, 1 e 0 p 1.Esta distribuio conhecida como a distribuio de Bernoulli.




O espao amostral ser S = fsucesso, falhag.

Tome P(sucesso) = p, que implica que P(falha) = 1 p.Dena a v.a X tal que X (sucesso) = 1 e X (falha) = 0.






O espao amostral ser S = fsucesso, falhag.Tome P(sucesso) = p, que implica que P(falha) = 1 p.

Dena a v.a X tal que X (sucesso) = 1 e X (falha) = 0.








f (x ; p) = px (1 p)1x , para x = 0, 1 e 0 p 1.

Esta distribuio conhecida como a distribuio de Bernoulli.


DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO BINOMIAL

Seja p a probabilidade de um sucesso em um dado experimento eq = 1 p a probabilidade de uma falha.

Assuma que:

1 a probabilidade de um sucesso a mesma para cada experimento; e2 os experimentos so independentes.

Seja X o nmero de sucessos em n tais experimentos. Ento

f (x ; ) = B(x ; n, p) = (nx)pxqnx =

n!x !(n x)!p

xqnx

x = 0, 1, ..., n 0 p 1 q = 1 p



Seja p a probabilidade de um sucesso em um dado experimento eq = 1 p a probabilidade de uma falha.Assuma que:



f (x ; ) = B(x ; n, p) = (nx)pxqnx =

n!x !(n x)!p

xqnx

x = 0, 1, ..., n 0 p 1 q = 1 p




1 a probabilidade de um sucesso a mesma para cada experimento; e

2 os experimentos so independentes.


f (x ; ) = B(x ; n, p) = (nx)pxqnx =

n!x !(n x)!p

xqnx

x = 0, 1, ..., n 0 p 1 q = 1 p






f (x ; ) = B(x ; n, p) = (nx)pxqnx =

n!x !(n x)!p

xqnx

x = 0, 1, ..., n 0 p 1 q = 1 p


DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO DE POISSON

Considere a distribuio binomial.

Seja n! e p ! 0, mas de tal forma que np = > 0 8n, p.Portanto, a probabilidade de sucesso muito pequena e o nmero deexperimentos grande.

Neste caso, obtem-se a distribuio de Poisson:

f (x ;) =ex

x !x = 0, 1, 2, ... > 0




Seja n! e p ! 0, mas de tal forma que np = > 0 8n, p.

Portanto, a probabilidade de sucesso muito pequena e o nmero deexperimentos grande.


f (x ;) =ex

x !x = 0, 1, 2, ... > 0




Seja n! e p ! 0, mas de tal forma que np = > 0 8n, p.Portanto, a probabilidade de sucesso muito pequena e o nmero deexperimentos grande.


f (x ;) =ex

x !x = 0, 1, 2, ... > 0


DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO GEOMTRICA

Considere tentativas sucessivas e independentes de um mesmoexperimento aleatrio.

Cada tentativa admite sucesso com probabilidade p e fracasso comprobabilidade q = 1 p.Seja X o nmero de tentativas necessrias ao aparecimento doprimeiro sucesso. Logo, X assume os valores:

X = 1, que denota (S) e P(X = 1) = p

X = 2, que denota (FS) e P(X = 2) = P(F \ S) = qpX = 3, que denota (FFS) e P(X = 3) = P(F \ F \ S) = q2pX = 4, que denota (FFFS) e P(X = 4) = q3p




Cada tentativa admite sucesso com probabilidade p e fracasso comprobabilidade q = 1 p.

Seja X o nmero de tentativas necessrias ao aparecimento doprimeiro sucesso. Logo, X assume os valores:








X = 2, que denota (FS) e P(X = 2) = P(F \ S) = qp

X = 3, que denota (FFS) e P(X = 3) = P(F \ F \ S) = q2pX = 4, que denota (FFFS) e P(X = 4) = q3p






X = 2, que denota (FS) e P(X = 2) = P(F \ S) = qpX = 3, que denota (FFS) e P(X = 3) = P(F \ F \ S) = q2p

X = 4, que denota (FFFS) e P(X = 4) = q3p



Generalizando,

X = x , que denota (

xz }| {FFF ...FS) com

P(X = x) = qx1p

A v.a. X tem ento distribuio geomtrica.


DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO DE PASCAL

Em um experimento binomial, seja X o nmero de experimentos paraobter exatamente k sucessos.

Para haver exatamente k sucessos, deve haver k 1 sucessos emX 1 experimentos e o prximo resultado deve ser um sucesso.Portanto,

f (x ; k, p) = (x1k1)pkqxk

x = k, k + 1, k + 2, ...




Para haver exatamente k sucessos, deve haver k 1 sucessos emX 1 experimentos e o prximo resultado deve ser um sucesso.

Portanto,


x = k, k + 1, k + 2, ...




Para haver exatamente k sucessos, deve haver k 1 sucessos emX 1 experimentos e o prximo resultado deve ser um sucesso.Portanto,


x = k, k + 1, k + 2, ...


DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO HIPERGEOMTRICA

Considere uma populao com N elementos, dos quais r tm umadeterminada caracterstica (a retirada de um desses elementoscorresponde ao sucesso).

Retire dessa populao, sem reposio, uma amostra de tamanho n.

Seja X o nmero de sucessos na amostra (sada do elemento com acaracterstica). Qual a P(X = k)?

Pode-se tirar (Nn ) amostras sem reposio.

Os sucessos na amostra podem ocorrer de (nk) maneiras e fracassos de(Nrnk ) modos.Logo,

P(X = k) =(rk)(

Nrnk )(Nn )

, 0 k n e k r

A v.a X tem ento distribuio hipergeomtrica.







Os sucessos na amostra podem ocorrer de (nk) maneiras e fracassos de(Nrnk ) modos.

Logo,

P(X = k) =(rk)(

Nrnk )(Nn )

, 0 k n e k r








Os sucessos na amostra podem ocorrer de (nk) maneiras e fracassos de(Nrnk ) modos.Logo,

P(X = k) =(rk)(

Nrnk )(Nn )

, 0 k n e k r



DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO POLINOMIAL

Divida o espao amostral do experimento em k partiesA1,A2, ...,Ak .

Seja P(Ai ) = pi a probabilidade de sucesso.

Considere n tentativas independentes do mesmo experimento, onde os

pi so constantes eki=1pi = 1.

Seja Xi o nmero de ocorrncias de Ai , i = 1, ..., k eki=1Xi = n.

Ento,

P(X1 = n1,X2 = n2, ...,Xk = nk ) =n!

n1!n2!...nk !pn11 p

n22 ...p

nkk

comki=1ni = n.


DISTRIBUIES CONTNUAS

Diferente das v.a.s discretas que tomam apenas valores especcos,uma v.a. contnua pode tomar qualquer valor em um intervalo real.

Denition (4)

Para uma v.a. X , se existe uma funo no-negativa f (x) denida sobre areta real, tal que, para qualquer intervalo B,

P(X 2 B) =ZBf (x)dx

ento X tem uma distribuio contnua e f (x) chamada a funodensidade de probabilidade ou FDP.


DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO UNIFORME SOBRE UM INTERVALO

Uma v.a. X em que a FDP f (x ; a, b) uma constante positiva c nointervalo a X b chamada a distribuio uniforme sobre umintervalo.

Para f (x ; a, b) ser uma FDP,R ba f (x ; a, b)dx = 1 =

R ba cdx = c(b a)

Por isso, f (x ; a, b) = 1/(b a) uniformemente em a x b.Sua FDA uma linha reta dada por

F (x ; a, b) =R xa f (x ; a, b)dx =

x ab a , para a x b.



Uma v.a. X em que a FDP f (x ; a, b) uma constante positiva c nointervalo a X b chamada a distribuio uniforme sobre umintervalo.Para f (x ; a, b) ser uma FDP,R b

a f (x ; a, b)dx = 1 =R ba cdx = c(b a)


F (x ; a, b) =R xa f (x ; a, b)dx =






Por isso, f (x ; a, b) = 1/(b a) uniformemente em a x b.

Sua FDA uma linha reta dada por

F (x ; a, b) =R xa f (x ; a, b)dx =







F (x ; a, b) =R xa f (x ; a, b)dx =



DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO NORMAL

A distribuio mais utilizada na estatstica e econometria a normal,cuja FDP

f (x ; , ) =1

p2

exp(x )2

22

, < x <

A distribuio escrita como X N(, 2). e 2 so geralmentedesconhecidos.A distribuio normal N(, 2) simtrica em torno de e distribuda com a forma de sino.O caso especial da distribuio normal para = 0 e = 1 conhecido como normal padro e sua FDP independente deparmetros:

f (x) =1p2ex2 , < x <




f (x ; , ) =1

p2

exp(x )2

22

, < x <

A distribuio escrita como X N(, 2). e 2 so geralmentedesconhecidos.

A distribuio normal N(, 2) simtrica em torno de e distribuda com a forma de sino.O caso especial da distribuio normal para = 0 e = 1 conhecido como normal padro e sua FDP independente deparmetros:

f (x) =1p2ex2 , < x <




f (x ; , ) =1

p2

exp(x )2

22

, < x <

A distribuio escrita como X N(, 2). e 2 so geralmentedesconhecidos.A distribuio normal N(, 2) simtrica em torno de e distribuda com a forma de sino.

O caso especial da distribuio normal para = 0 e = 1 conhecido como normal padro e sua FDP independente deparmetros:

f (x) =1p2ex2 , < x <




f (x ; , ) =1

p2

exp(x )2

22

, < x <

A distribuio escrita como X N(, 2). e 2 so geralmentedesconhecidos.A distribuio normal N(, 2) simtrica em torno de e distribuda com a forma de sino.O caso especial da distribuio normal para = 0 e = 1 conhecido como normal padro e sua FDP independente deparmetros:

f (x) =1p2ex2 , < x <



Note que:

1 O ponto de mximo de f (x) o ponto .2 Os pontos de inexo da funo so: X = e X = + .



Note que:

1 O ponto de mximo de f (x) o ponto .

2 Os pontos de inexo da funo so: X = e X = + .



Note que:

1 O ponto de mximo de f (x) o ponto .2 Os pontos de inexo da funo so: X = e X = + .


DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO EXPONENCIAL

f (x) =1ex , x > 0 e > 0

F (x) = 1 e x


DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO GAMA

Considere a funo gama

() =R 0 y

1eydy para > 0

A distribuio gama ento ter a FDP

f (x ; , ) =1

()x1e(x/)

para x > 0 e , > 0.

Note que se = 1, o caso gama reduz-se ao caso exponencial.


DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO QUI-QUADRADA

Considere o caso especial da distribuio gama quando = n2 e = 2.

Assim, obtem-se a distribuio 2 com n graus de liberdade cuja FDP

f (x) =1

2n/2(n/2)xn/21ex/2,

para x > 0.


TRANSFORMAES DE VRIAS VARIVEIS

Denition (5)

Uma funo g(x) sobre S para R chamada uma funo mensurvel seo conjunto fx : g(x) yg 2 F8y 2 R.

Portanto, uma funo g(x) sendo mensurvel implica que pode-seexpressar a probabilidade do evento fg(x) yg em termos daprobabilidade em F correspondente a X .

Theorem (4)

Seja FX (x) a FDA da v.a. X e seja Y = g(X ) mensurvel, diferencivel emontono. Ento a FDA de Y dada por:

FY (y) = FX [g(y)1], se g(X) montona crescente.

FY (y) = 1 FX [g(y)1], se g(X) montona decrescente.



Proof.[Prova do 1o Caso]

FY (y) = P(Y y) = P [g(X ) y ]P [g(X ) y ] = P [X g1(y)], pela monotonicidade crescente.

Por isso, FY (y) = P [g(X ) y ] = P [X g1(y)] = FX [g(y)1].

Theorem (5)

Tome as suposies do Teorema (4). Em adio, seja fX (x) a FDP de X edxdy 6= 0. Ento a FDP de Y = g(X ) dada por:

fY (y) = fX [g(y)1], quando X discreto.

fY (y) = fX [g(y)1]

dxdy , quando X contnuo.



Proof.[Prova do 1o Caso]

fY (y) = P(Y = y) = P [g(X ) = y ] = P [X = g1(y)] = fX [g(y)1]

Proof.[Prova do 2o Caso] Pelo Teorema (4),

FY (y) = FX [g(y)1]

Isto ,

FY (y) =Z g (x )1

fX (x)dx

Diferenciando com respeito a y e usando a regra da cadeia,

fY (y) = fX [g(y)1]g 0(y)1

Mas g 0(y)1 = dxdy . Porque fY (y) deve ser no-negativo, usa-se o valorabsoluto da derivada.


CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESA INTEGRAL DE STIELTJES

At agora, utilizou-se a integral de Riemann no conexto de v.a.scontnuas.

Para melhor entendimento, considere o intervalo [a, b]8a, b tal quea < b; e uma funo g(x) limitada em [a, b].Subdivida [a, b] em um nmero de intervalos ao inserir pontos xi ,como segue:

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b]

Cada subdiviso uma partio, e o maior dos intervalos(xi = xi xi1) a norma da partio, denotado por kxk.Seja wi qualquer ponto em [xi1, xi ].Constri-se ento a soma de Riemann:

g(wi )xi = g(wi )(xi xi1)



At agora, utilizou-se a integral de Riemann no conexto de v.a.scontnuas.Para melhor entendimento, considere o intervalo [a, b]8a, b tal quea < b; e uma funo g(x) limitada em [a, b].

Subdivida [a, b] em um nmero de intervalos ao inserir pontos xi ,como segue:

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b]





At agora, utilizou-se a integral de Riemann no conexto de v.a.scontnuas.Para melhor entendimento, considere o intervalo [a, b]8a, b tal quea < b; e uma funo g(x) limitada em [a, b].Subdivida [a, b] em um nmero de intervalos ao inserir pontos xi ,como segue:

a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b]






a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b]

Cada subdiviso uma partio, e o maior dos intervalos(xi = xi xi1) a norma da partio, denotado por kxk.

Seja wi qualquer ponto em [xi1, xi ].Constri-se ento a soma de Riemann:





a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b]

Cada subdiviso uma partio, e o maior dos intervalos(xi = xi xi1) a norma da partio, denotado por kxk.Seja wi qualquer ponto em [xi1, xi ].

Constri-se ento a soma de Riemann:





a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b]





Se o limite das somas quando a norma tende a zero existe, obtm-sea integral de Riemann de g(x):R b

a g(x)dx = limkxk!0 g(wi )xi

Agora, substitua xi por F (x) = F (xi ) F (xi1), onde F (x) qualquer funo.Logo a integral anloga R b

a g(x)dF = limkF (x )k!0 g(wi )[F (xi ) F (xi1)]

Esta a integral de Stietjes.No contexto da teoria da probabilidade, F (x) seria a FDA.A vantagem desta integral com FDA que ela bem denida noscasos da v.a.s contnuas e discretas.





Agora, substitua xi por F (x) = F (xi ) F (xi1), onde F (x) qualquer funo.

Logo a integral anloga R ba g(x)dF = limkF (x )k!0

g(wi )[F (xi ) F (xi1)]








Esta a integral de Stietjes.

No contexto da teoria da probabilidade, F (x) seria a FDA.A vantagem desta integral com FDA que ela bem denida noscasos da v.a.s contnuas e discretas.







Esta a integral de Stietjes.No contexto da teoria da probabilidade, F (x) seria a FDA.

A vantagem desta integral com FDA que ela bem denida noscasos da v.a.s contnuas e discretas.







Esta a integral de Stietjes.No contexto da teoria da probabilidade, F (x) seria a FDA.A vantagem desta integral com FDA que ela bem denida noscasos da v.a.s contnuas e discretas.Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 27 / 33

CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESEXPECTATIVA MATEMTICA

Denition (6)

Seja X uma v.a. sobre (S ,F ,P) com f (x) como FP ou FDP, e seja umafuno g(x). Se a integral de Stieltjes

R + g(x)dF existe, ela chama a

expectattiva matemtica de g(X ) e denotada por E [g(X )]. No casodiscreto, E [g(X )] = i g(xi )f (xi ); e no caso contnuo,E [g(X )] =

R + g(x)f (x)dx .


CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESMDIA DE UMA DISTRIBUIO

No caso de g(X ) = X , a expectativa de X uma medida de locaocentral chamada mdia de uma distribuio, denotada comoE (X ) = .

Theorem (6)

i) Se c uma constante, E (c) = c.ii) Se c uma constante, E [cg(X )] = cE [g(X )].iii) E [u(X ) + v(X )] = E [u(X )] + E [v(X )]iv) E (x ) = 0, onde = E (X ).


CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESMOMENTOS DE UMA DISTRIBUIO

A mdia de uma distribuio a expectativa da varivel aleatria X .Eleve X potncia m = 2, 3, ... e compute

E (Xm) =R x

mdF

Se a integral existe, ela chama-se o m-simo momento em tornoda origem e denotado por 0m .Momentos tambm podem ser obtidos em torno da mdia e estes sochamados momentos centrais (denotado por m).

m = E [(X )m ] =R (x )mdF




E (Xm) =R x

mdF

Se a integral existe, ela chama-se o m-simo momento em tornoda origem e denotado por 0m .

Momentos tambm podem ser obtidos em torno da mdia e estes sochamados momentos centrais (denotado por m).

m = E [(X )m ] =R (x )mdF




E (Xm) =R x

mdF

Se a integral existe, ela chama-se o m-simo momento em tornoda origem e denotado por 0m .Momentos tambm podem ser obtidos em torno da mdia e estes sochamados momentos centrais (denotado por m).

m = E [(X )m ] =R (x )mdF


CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESVARIANCIA E DESVIO-PADRO

O momento central de uma distribuio para m = 2 fE [(X )2]g chamado a varincia de uma distribuio [denotado por 2 ouVar(X )].

A raiz quadrada positiva chamada desvio-padro [denotado por ].Portanto,

2 = E [(X )2] = Var(X ) = R (x )2dF2 uma medida de disperso de uma distribuio que pode serreescrita como

2 = E [(X )2] = E (X 2 2X + 2)= E (X 2) 2E (X ) + E (2)= 02 2



O momento central de uma distribuio para m = 2 fE [(X )2]g chamado a varincia de uma distribuio [denotado por 2 ouVar(X )].A raiz quadrada positiva chamada desvio-padro [denotado por ].Portanto,

2 = E [(X )2] = Var(X ) = R (x )2dF

2 uma medida de disperso de uma distribuio que pode serreescrita como

2 = E [(X )2] = E (X 2 2X + 2)= E (X 2) 2E (X ) + E (2)= 02 2



O momento central de uma distribuio para m = 2 fE [(X )2]g chamado a varincia de uma distribuio [denotado por 2 ouVar(X )].A raiz quadrada positiva chamada desvio-padro [denotado por ].Portanto,

2 = E [(X )2] = Var(X ) = R (x )2dF2 uma medida de disperso de uma distribuio que pode serreescrita como

2 = E [(X )2] = E (X 2 2X + 2)= E (X 2) 2E (X ) + E (2)= 02 2



Theorem (7)

Se E (X ) = e Var(X ) = 2, e a e b so constantes, entoVar(a+ bX ) = b22.

Proof.[prova] Seja Y = a+ bX . Ento E (Y ) = a+ bE (X ) = a+ b. Por isso,Y E (X ) = b(X ). Logo,Var(Y ) = E [Y E (Y )]2 = E [b2(X )2] = b22.


CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESMODA, MEDIANA, QUARTIS SUPERIORES E INFERIORES E PERCENTIS

Moda so os pontos para que f (x) mximo, isto , o valor de Xmais frequentemente observado.

Mediana o ponto em que qualquer um dos lados corresponde a50% da distribuio.

Substituindo 1/2 por 1/4, tem-se os quartis, onde as 2 primeirasreas so inferiores e as 2 ltimas so superiores.

Para probabilidade p, os valores de x para a rea direita sochamados o p-simos percentis superiores.


CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESMODA, MEDIANA, QUARTIS SUPERIORES E INFERIORES E PERCENTIS

Moda so os pontos para que f (x) mximo, isto , o valor de Xmais frequentemente observado.

Mediana o ponto em que qualquer um dos lados corresponde a50% da distribuio.

Substituindo 1/2 por 1/4, tem-se os quartis, onde as 2 primeirasreas so inferiores e as 2 ltimas so superiores.

Para probabilidade p, os valores de x para a rea direita sochamados o p-simos percentis superiores.


FUNES DE DISTRIBUIO DE PROBABILIDADEVARIVEL ALEATRIAFUNO DE DISTRIBUIODISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIES CONTNUASTRANSFORMAES DE VRIAS VARIVEISCARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIES

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