3a Série - 1o Trim - MAT I - Lista 01 - Probabilidade.pdf

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3 ª S ÉRIE DO E. M.

P ROBABILIDADE

Prof.: Fábio Luís

C AMPUS T IJUCA II

M ATEMÁTICA – I



3ª SÉRIE – E. M. PROBABILIDADE

PROF.: F ÁBIO LUÍS

P ROBABILIDADE .

Experimento Aleatório

Experimentos que ao serem realizados repetidas vezes emcondições consideradas idênticas, apresentam resultadosdiferentes, não sendo possível portanto a previsão lógica dosresultados são denominados experimentos aleatórios ( oucasuais ).

Espaço Am ost ral

É o conjunto de todos os resultados possíveis de umexperimento aleatório. Indicaremos o espaço amostral por U.

Evento

É qualquer subconjunto do espaço amostral.O conjunto Ø é chamado evento impossível .O conjunto espaço amostral U é também um evento,

chamado de evento certo.Os subconjuntos unitários de U são chamados eventos

elementares ou eventos simples.

Esp aço Am os tral Equip ro vável

O espaço amostral de um experimento aleatório é chamadoequiprovável se todos os seus eventos elementares têm amesma chance de ocorrer

Probabi l idade

Seja U um espaço amostral equiprovável e A um de seuseventos. Denomina-se probabilidade do evento A o númeroP(A) tal que:

)U(n

) A(n) A(P

onde:n(A) = número de elementos do evento A.n(U) = número de elementos do espaço amostral U.Como A é subconjunto de U, decorre que: 0 n(A) n(U)Dividindo todos os membros da desigualdade por n(U),

vem:

)U(n

)U(n

)U(n

) A(n

n(U)

0 1) A(P0

Prob abil idad e de Não Oco rrer Um Evento

Sendo A evento complementar do evento A do espaço

amostral U, temos:

1) A(P) A(P

Prob abil idad e da União de Ev entos

Se A e B são eventos do mesmo espaço amostral, então:

)B A(P)B(P) A(P)B A(P

Pode ocorrer que os eventos A e B do espaço amostralU não tenham elementos comuns. Nesse caso, são chamadosde eventos mutuamente exclusivos. Quando isso ocorre,temos:

0B)P(A } {B A Logo, se A e B são eventos mutuamente exclusivos:

)B(P) A(P)B A(P

Probabi l idade Condic ional

Denomina-se probabilidade de B condicionada a A aprobabilidade de ocorrência do evento B,sabendo que vaiocorrer ou que já ocorreu o evento A. Representando essecaso por P( B | A ), temos:

) A(P

)B A(P) A|B(P

Se A e B são eventos independentes, então:

)B(P) A(P)B A(P

Dist rib uição Bin om ial

Se um determinado experimento aleatório é realizado n vezes consecutivas em idênticas condições, então aprobabilidade de que um certo evento A desse experimentoocorra exatamente p vezes é:

knk) A(P) A(P

p

nP

Exercícios

1. Jogando-se um dado duas vezes, qual a probabilidade deobter a soma dos pontos menor que 6?

a) 5/18 x b) 1/3c) 7/18d) 11/36

2. (PUC) Dois dados são jogados ao mesmo tempo. Aprobabilidade de que a soma dos dois números que aparecemseja maior que 3 é:

a) 5/6

b) 11/12 x c) 13/15d) 31/36

COLÉGIO PEDRO II – UNIDADE ESCOLAR TIJUCA II

PROBABILIDADE – 3a SÉRIE ANO E. M.

Prof.: Fábio Luís Turma: _______ _____º turno

Nome: _____________________________________________________ nº _____





3. Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisorespositivos de 60, a probabilidade de que ele seja primo é:

a) 1/2b) 1/3c) 1/4 x d) 1/5

e) 1/6

4. Em uma prova caíram dois problemas, A e B. Sabendoque 200 alunos acertaram A, 90 erraram B, 120 acertaram osdois e 100 acertaram apenas um problema, qual aprobabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso, não tenhaacertado nenhum problema?

a) 1/23 x b) 2/23c) 3/23d) 1/8e) 1/12

5. Num grupo de 60 pessoas, dez são torcedoras doFluminense., cinco são torcedoras do Botafogo e as demaissão torcedoras do Mais Querido do Brasil, o FLAMENGO.Escolhido ao acaso um elemento do grupo, a probabilidade deele ser torcedor do Fluminense ou do Botafogo é:

a) 0,25 x b) 0,30c) 0,35d) 0,40e) 0,50

6. Um casal deseja ter 6 filhos. A probabilidade de esses

filhos serem todos do sexo masculino é:a) 1/64 x b) 1/6c) 15/64d) 1/2e) 5/6

7. Um colégio tem 400 alunos. Destes:

100 estudam Matemática

80 estudam Física

100 estudam Química

20 estudam Matemática. Física e Química

30 estudam Matematica e Física

30 estudam Física e Química

50 estudam somente Química

A probabilidade de um aluno, escolhido ao acaso, estudarMatemática e Química é:

a) 1/10 x b) 1/8c) 2/5d) 3/5

e) 4/5

8. Você faz parte de um grupo de 10 pessoas, para três daquais serão distribuídos prêmios iguais. A probabilidade de quevocê seja um dos premiados é:

a) 1/10b) 1/5c) 3/10

d) 1/3e) 2/5

9. Dois jogadores, A e B, vão lançar um par de dados. Elescombinam que, se a soma dos números dos dados for 5, Aganha, e se essa soma for 8, B é quem ganha. Os dados sãolançados. Sabe-se que A não ganhou. Qual a probabilidade deB ter ganhado?

a) 10/36b) 5/32 x c) 5/36d) 5/35e) não se pode calcular sem saber os números sorteados

10. A probabilidade de um ponto tomado aleatoriamente nointerior de um quadrado, de lado de medida 2 cm, situar-se nointerior de sua circunferência inscrita é:

a) 1/2.b) – 4.c) 2/ d) 2/5.e) /4. x

11. (CESGRANRIO) Três moedas, não-viciadas, são lançadassimultaneamente. A probabilidade de se obter duas caras euma coroa é:

a) 1/8b) 1/4c) 5/16d) 3/8 x e) 1/2

12. Uma urna contém 10 bolas pretas e 8 bolas vermelhas.Retiramos 3 bolas, sem reposição. Qual é a probabilidade deas duas primeiras serem pretas e a terceira vermelha?

a) 5/34 x b) 6/17c) 7/18d) 1/19e) 1/2

13. Uma urna contém 50 bolinhas idênticas, numeradas de 1 a50. Sorteando-se ao acaso uma bolinha, a probabilidade deque o número observado seja múltiplo de 8 é:

a) 3/25 x b) 7/50c) 1/10d) 8/50

e) 3/50

2 cm





14. Num jogo com um dado, o jogador X ganha se tirar, no seulance, um número de pontos maior ou igual ao lance do jogador

Y. A probabilidade de X ganhar é:

a) 1/2b) 2/3c) 7/12 x

d) 13/24e) 19/36

15. Lançando um dado duas vezes, vamos observar os paresordenados de números das faces superiores. A probabilidadede ocorrência do número 5 em pelo menos uma vez é:

a) 11/36 x b) 1/3c) 5/18d) 1/6e) 1/36

16. (UNIFICADO) Uma turma tem 25 alunos, dos quais 40%são meninas. Escolhendo-se, ao acaso, um dentre todos osgrupos de 2 alunos que se pode formar com os alunos dessaturma, a probabilidade de que este seja composto por umamenina e um menino é de:

a) 1/6b) 1/5c) 1/4d) 1/3e) 1/2 x

17. João lança um dado sem que Antônio veja. João diz que onúmero mostrado pelo dado é par. A probabilidade agora de

Antônio acertar é:a) 1/2b) 1/6c) 4/6d) 1/3 x e) 3/36

18. (UNIRIO) Joga-se um dado três vezes consecutivas. Aprobabilidade de surgirem os resultados abaixo, em qualquerordem, é:

a) 1/216b) 1/72

c) 1/36 x d) 1/18e) 1/3

19. Numa comunidade residem 120 pessoas. Uma pesquisasobre os hábitos alimentares dessa comunidade revelou que42 pessoas consomem carnes, 90 consomem verduras e 30consomem carnes e verduras. Escolhendo-se ao acaso umapessoa desta comunidade, a probabilidade de ela ter o hábitode não comer carnes nem verduras é:

a) 75%b) 10,0%c) 12,5%

d) 15% x e) 17,5%

20. Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 9. Sorteiam-se,com reposição, duas bolas. A probabilidade de que o númeroda segunda bola seja estritamente maior que o da primeira é:

a) 72/81b) 1/9c) 36/81 x

d) 30/81e) 45/81

21. Uma urna contém 8 bolas, sendo que 6 delas sãomarcadas com números pares distintos e as demais comnúmeros ímpares distintos. Retirando-se 3 bolas da urna,simultaneamente, a probabilidade de que sejam sorteadas 2com números pares e 1 com número ímpar é:

a) 15/28 x b) 4/9c) 3/14d) 3/16e) 1/6

22. Uma urna contém 5 bolas vermelhas e 4 pretas; dela sãoretiradas 2 bolas, uma após a outra, sem reposição; a primeirabola retirada é de cor preta; a probabilidade de que a segundabola seja vermelha é:

a) 3/5b) 4/5c) 5/8 x d) 1/2e) 3/4

23. Uma moeda é viciada, de tal modo que a probabilidade de

sair cara é duas vezes maior do que a de sair coroa. Aprobabilidade de ocorrer cara no lançamento dessa moeda éigual a:

a) 1/2b) 1/3c) 2/3 x d) 1/4e) 3/4

24. (CESGRANRIO) Sete lâmpadas de néon são dispostasformando um “oito”, como no mostrador de uma calculadora( figura I ), e podem ser acesas independentemente umas dasoutras. Estando todas as sete lâmpadas apagadas, acendem-

se quatro delas ao mesmo tempo, ao acaso. A probabilidadede ser formado o algarismo 4, como aparece na figura II, é:

a) 1/35 x b) 1/2c) 1/3d) 1/5e) 1/28

fig. I fig. II





25. Dados dois conjuntos A e B tais que A 1,2,3,4 e

B 5,6,7,8,9 . Passa-se ao acaso um elemento do conjunto

A para o conjunto B e depois escolhe-se, também ao acaso,um elemento de B. A probabilidade deste elemento ser ímpar é:

a) 5/9b) 2/9

c) 5/12d) 7/12 x e) 7/9

26. (CESGRANRIO) Um juiz de futebol possui três cartões nobolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e o terceiro évermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinadolance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra a um jogador. A probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha ede a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é:

a) 1/2b) 2/5c) 1/5

d) 2/3e) 1/6 x

27. Uma empresa de alimentos imprimiu em suas embalagensum cartão de apostas do seguinte tipo:

Cada cartão de apostas possui 7 figuras de bolas de futebol e 8sinais de “X” distribuídos entre os 15 espaços possíveis, de talforma que a probabilidade de um cliente ganhar o prêmionunca seja igual a zero.

Em determinado cartão existem duas bolas na linha 4 e duasbolas na linha 5. Com esse cartão, determine a probabilidadede o cliente ganhar o prêmio.

28. (PUC) Brad quer mandar uma carta para Ana. Aprobabilidade que Brad mande esta carta é de 8/10. Dez porcento de todas as cartas enviadas são extraviadas pelo correioe a probabilidade de o carteiro entregar a carta é de 90%.

a) Qual a probabilidade de Ana não receber a carta? (35,2%)

b) Dado que Brad mande a carta, qual a probabilidade de Ana

receber a carta? (81%)

29. (UFRJ) Uma caixa contém bombons de nozes e bombonsde passas. O número de bombons de nozes é superior aonúmero de bombons de passas em duas unidades.Se retirarmos, ao acaso, dois bombons dessa caixa, aprobabilidade de que ambos sejam de nozes é 2/7.

a) Determine o número total de bombons. (22)

b) Se retirarmos, ao acaso, dois bombons da caixa, determinea probabilidade de que sejam de sabores distintos. (40/77)

30. (UERJ) Com o intuito de separar o lixo para fins dereciclagem, uma instituição colocou em suas dependênciascinco lixeiras, de acordo com o tipo de resíduo a que sedestinam: vidro, plástico, metal, papel e lixo orgânico.Sem olhar para as lixeiras, João joga em uma delas umaembalagem plástica e, ao mesmo tempo, em outra, umagarrafa de vidro. A probabilidade de que ele tenha usado corretamente pelomenos uma lixeira é igual a:

a) 25%b) 30%c) 35% x d) 40%

31. (ENEM) As 23 ex-alunas de uma turma que completou oEnsino Médio há 10 anos se encontraram em uma reuniãocomemorativa. Várias delas haviam se casado e tido filhos. Adistribuição das mulheres, de acordo com a quantidade defilhos, é mostrada no gráfico a seguir.Um prêmio foi sorteado entre todos os filhos dessas ex-alunas.

A probabilidade de que a criança premiada tenha sido um(a)filho(a) único(a) é:

a) 1/3.b) 1/4.c) 7/15.d) 7/23.e) 7/25. x





32. (ENEM) A queima de cana aumenta a concentração dedióxido de carbono e de material particulado na atmosfera,causa alteração do clima e contribui para o aumento dedoenças respiratórias. A tabela adiante apresenta númerosrelativos a pacientes internados em um hospital no período daqueima da cana.

Escolhendo-se aleatoriamente um paciente internado nessehospital por problemas respiratórios causados pelasqueimadas, a probabilidade de que ele seja uma criança é iguala:

a) 0,26, o que sugere a necessidade de implementação demedidas que reforcem a atenção ao idoso internado comproblemas respiratórios.

b) 0,50, o que comprova ser de grau médio a gravidade dosproblemas respiratórios que atingem a população nas regiõesdas queimadas.c) 0,63, o que mostra que nenhum aspecto relativo à saúdeinfantil pode ser negligenciado.d) 0,67, o que indica a necessidade de campanhas deconscientização que objetivem a eliminação das queimadas.e) 0,75, o que sugere a necessidade de que, em áreasatingidas pelos efeitos das queimadas, o atendimentohospitalar no setor de pediatria seja reforçado.

33. (ENEM) Um time de futebol amador ganhou uma taça aovencer um campeonato. Os jogadores decidiram que o prêmioseria guardado na casa de um deles. Todos quiseram guardar

a taça em suas casas. Na discussão para se decidir com quemficaria o troféu, travou-se o seguinte diálogo:

Pedro, camisa 6: – Tive uma ideia. Nós somos 11 jogadores enossas camisas estão numeradas de 2 a 12. Tenho dois dadoscom as faces numeradas de 1 a 6. Se eu jogar os dois dados, asoma dos números das faces que ficarem para cima podevariar de 2 (1 + 1) até 12 (6 + 6). Vamos jogar os dados, equem tiver a camisa com o número do resultado vai guardar ataça.

Tadeu, camisa 2: – Não sei não... Pedro sempre foi muitoesperto... Acho que ele está levando alguma vantagem nessa

proposta...

Ricardo, camisa 12: – Pensando bem... Você pode estarcerto, pois, conhecendo o Pedro, é capaz que ele tenha maischances de ganhar que nós dois juntos...

Desse diálogo conclui-se que:

a) Tadeu e Ricardo estavam equivocados, pois a probabilidadede ganhar a guarda da taça era a mesma para todos.b) Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, juntos,tinham mais chances de ganhar a guarda da taça do quePedro.c) Tadeu tinha razão e Ricardo estava equivocado, pois, juntos,tinham a mesma chance que Pedro de ganhar a guarda dataça.d) Tadeu e Ricardo tinham razão, pois os dois juntos tinhammenos chances de ganhar a guarda da taça do que Pedro. x e) não é possível saber qual dos jogadores tinha razão, por setratar de um resultado probabilístico, que dependeexclusivamente da sorte.

34. (ENEM) A tabela a seguir indica a posição relativa dequatro times de futebol na classificação geral de um torneio,em dois anos consecutivos. O símbolo significa que o timeindicado na linha ficou, no ano de 2004, à frente do indicado nacoluna. O símbolo * significa que o time indicado na linha ficou,no ano de 2005, à frente do indicado na coluna. A probabilidade de que um desses quatro times, escolhido aoacaso, tenha obtido a mesma classificação no torneio, em 2004

e 2005, é igual a:

a) 0,00. x b) 0,25.c) 0,50.d) 0,75.e) 1,00.

QUESTÕES RESOLVIDAS:

35. (UERJ 2014) Em uma sala, encontram-se dez halteres,

distribuídos em cinco pares de cores diferentes. Os halteres demesma massa são da mesma cor. Seu armazenamento édenominado “perfeito” quando os halteres de mesma cor sãocolocados juntos.Nas figuras abaixo, podem-se observar dois exemplos dearmazenamento perfeito.

Arrumando-se ao acaso os dez halteres, a probabilidade deque eles formem um armazenamento perfeito equivale a:

a)1

5040 b)

1

945 c)

1

252 d)

1

120

SOLUÇÃO:Um armazenamento perfeito pode ser feito de 5P 5! modos.

Além disso, os halteres podem ser armazenados de

(2, 2, 2, 2, 2)10

10!P

2! 2! 2! 2! 2!

maneiras. Portanto, a

probabilidade pedida é dada por

5! 2 2 2 2 2 1

.10! 10 9 8 7 6 945

2! 2! 2! 2! 2!





36. (PUC-RJ 2013) Se a = 2n + 1 com 1, 2, 3, 4 ,n então

a probabilidade de o número a ser par éa) 1b) 0,2c) 0,5d) 0,8e) 0

SOLUÇÃO:Dado que n {1, 2, 3, 4}, segue que a é ímpar para todo n.

Portanto, como “ a par” é um evento impossível, segue que aprobabilidade de a ser par é zero.

37. (PUC-RJ 2013) Em uma caixa, existem 10 bolasvermelhas numeradas de 1 a 10 e também 10 bolas verdesnumeradas de 1 a 10.

a) Ivonete retira uma bola da caixa. Qual a probabilidade deque a bola retirada seja uma de número 3?

b) Marcos retira duas bolas da caixa. Qual a probabilidade deele obter 2 bolas com o mesmo número?

c) Joana retira uma bola da caixa. Qual a probabilidade de quea bola retirada seja uma verde com um número par?

SOLUÇÃO:a) Como existem duas bolas com o número 3, segue que a

probabilidade pedida é igual a2 1

.20 10

b) 1ª Solução: Supondo que as retiradas são feitassucessivamente e sem reposição, vem que, após a retirada

da primeira bola, a probabilidade de que a segunda tenha o

mesmo número da primeira é igual a1

.19

2ª Solução: Supondo que as bolas são retiradassimultaneamente da caixa, temos que Marcos pode retirar 2

bolas de20

1902

maneiras. Além disso, como os casos

favoráveis são (1,1),(2, 2), , (10,10), segue que a

probabilidade pedida é dada por10 1

.190 19

c) Sabendo que existem 5 bolas verdes com números pares,temos que a probabilidade de retirar uma bola verde com um

número par é igual a5 1

.20 4

38. (IME 2013) Um menino, na cidade do Rio de Janeiro,lança uma moeda. Ele andará 1 m para leste se o resultado forcara ou 1 m para oeste se o resultado for coroa. Aprobabilidade deste menino estar a 5 m de distância de suaposição inicial, após 9 lançamentos da moeda, é

a)6

9

2 b)

6

35

2 c) 2

9! d)

9

35

2 e)

9

9!

2

SOLUÇÃO:Vamos considerar x o número de caminhos para leste e y onúmero de caminhos para oeste.Para que o menino fique 5 m da sua posição inicial: x – y = 5ou y – x = 5.Vamos admitir o caso que x – y = 5 e resolver o sistema:

x y 9.

x y 5

Portanto, x = 7 e y = 2, se considerássemos y –x = 5, teríamosx = 2 e y = 7.

Portanto, temos duas opções:

1. uma sequência com 7 lestes e 2 oestes2. um sequência com 7 oestes e 2 lestes

O espaço amostral tem 2.2.2.2.2.2.2.2.2 = 29 elementos,portanto a probabilidade pedida será dada por : P =

7,299 9 6

2.P 2.4.9 9.

2 2 2

39. (UERJ 2013) Em uma escola, 20% dos alunos de umaturma marcaram a opção correta de uma questão de múltiplaescolha que possui quatro alternativas de resposta. Os demaismarcaram uma das quatro opções ao acaso.Verificando-se as respostas de dois alunos quaisquer dessaturma, a probabilidade de que exatamente um tenha marcado aopção correta equivale a:

a) 0,48 b) 0,40 c) 0,36 d) 0,25

SOLUÇÃO: A probabilidade de acertar a questão marcando uma alternativa

ao acaso é1

,4

e a de errar é1 3

1 .4 4

Tomando as respostas de dois alunos quaisquer da turma,temos os seguintes casos favoráveis:

i. um aluno está entre os 20% que marcaram a opção correta eo outro está entre os 80% que marcaram a resposta erradaao acaso;

ii. os dois alunos estão entre os 80% que marcaram a respostaao acaso, tendo um deles acertado a questão e o outroerrado.

Logo, a probabilidade de (i) ocorrer é

3 30,2 0,8 0,8 0,2 0,24,

4 4

enquanto que a probabilidade de (ii) ocorrer é

1 3 3 10,8 0,8 0,8 0,8 0,24.

4 4 4 4

Portanto, a probabilidade pedida é igual 0,24 0,24 0,48.





40. (PUC-RJ 2013) Jogamos uma moeda comum e um dadocomum. A probabilidade de sair um número par e a face coroa é:

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,25 d) 0,33 e) 0,5

SOLUÇÃO:

A probabilidade de sair um número par é 3 16 2

e a

probabilidade de sair face coroa é1

.2

Portanto, como os

eventos são independentes, a probabilidade pedida é dada por

1 1 10,25.

2 2 4

41. (ENEM 2013) Uma loja acompanhou o número decompradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este

gráfico:

A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A eoutro brinde entre os compradores do produto B.

Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feitosuas compras em fevereiro de 2012?

a)1

20 b)

3

242 c)

5

22 d)

6

25 e)

7

15

SOLUÇÃO:Nos três meses considerados o número de compradores do

produto A foi 10 30 60 100, e o número decompradores do produto B, 20 20 80 120. Logo, como

no mês de fevereiro 30 pessoas compraram o produto A, e

20 pessoas compraram o produto B, segue-se que a

probabilidade pedida é igual a30 20 1

.100 120 20

42. (ENEM 2013) Uma fábrica de parafusos possui duasmáquinas, I e II, para a produção de certo tipo de parafuso.

Em setembro, a máquina I produziu 54

100 do total de parafusos

produzidos pela fábrica. Dos parafusos produzidos por essa

máquina,25

1000 eram defeituosos.

Por sua vez,38

1000 dos parafusos produzidos no mesmo mês

pela máquina II eram defeituosos.O desempenho conjunto das duas máquinas é classificadoconforme o quadro, em que P indica a probabilidade de umparafuso escolhido ao acaso ser defeituoso.

20 P 100 Excelente

2 4P

100 100 Bom

4 6P

100 100 Regular

6 8P

100 100 Ruim

8P 1

100 Péssimo

O desempenho conjunto dessas máquinas, em setembro, podeser classificado como

a) excelente.b) bom.c) regular.d) ruim.e) péssimo.

SOLUÇÃO: A probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso serdefeituoso é dada por

P P(A e defeituoso) P(B e defeituoso)

54 25 38541

100 1000 1000100

3,098.

100

Daí, como2 3,098 4

,100 100 100

segue-se que o desempenho

conjunto dessas máquinas pode ser classificado como Bom.

ANOTAÇÕES:

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