Resistência dos Materiais– Diagramas de Força Cortante e Momento Fletor: método das funções de singularidade –

1. Conceito :

O uso de funções de singularidade torna possível a representação da força cortante V e do momento fletor M por simples expressões matemáticas.

A aplicação por meio de funções de singularidade é sempre possível; entretanto, é usada preferencialmente quando a viga apresenta descontinuidades na força cortante e no momento fletor.

2. Função de singularidade :

Uma função de singularidade expressa por <x – a>n é desenvolvida de duas maneiras:

a) Se x < a, a função é ignorada, ou seja, passa a valer zero. Em outras palavras, isso ocorre quando tivermos x – a < 0;

b) Se x ≥ a, a função se transforma em (x – a)n, resolvendo-a normalmente. Em outras palavras, isso ocorre quando tivermos x – a ≥ 0.

Um caso particular ocorre quando tivermos uma função de singularidade com grau zero:

<x – a>0 1, quando x ≥ a0, quando x < a

Uma função de singularidade obedece aos mesmos critérios de integração e derivação das demais funções conhecidas.

∫<x – a>ndx = <x – a> n+1 + C d<x – a>n = n<x – a>n – 1

n + 1 dx

3. Procedimentos para calcular V(x) e M(x) :

a) Calculando a força cortante V(x)A seguinte adoção deve ser considerada para qualquer viga em estudo:

yx

V

A ilustração acima indica que sempre devemos considerar como positivo a força cortante V direcionada para baixo, isso desde que adotemos a origem de nosso sistema na extremidade mais à esquerda da viga. Ou seja, para cada corte que fizermos na seção da viga, haverá uma força cortante V resultante direcionada para baixo.

Sendo assim, começamos a criar a nossa força cortante V em função de x:

V(x) = ± a(x) ± b(x) ± c(x) ± d(x) ± ...

Onde o sinal de positivo ou negativo obedece às seguintes condições:+ : quando o respectivo carregamento da viga estiver direcionado para cima;– : quando o respectivo carregamento da viga estiver direcionado para baixo.

A função de singularidade sempre estará presente para cada carregamento da viga. Os elementos da expressão <x – a>n terão os seguintes significados: x : comprimento total da viga em estudo;

a : distância da origem ao ponto de aplicação do carregamento; n : grau da função.

Quando o carregamento for concentrado, isto é, aplicado em um único ponto, o valor de a é obtido diretamente. Já quando o carregamento for distribuído, isto é, aplicado em vários pontos consecutivos ao longo da viga, o valor de a deve ser obtido a partir do ponto onde passa o centróide da figura que representa o carregamento.

Vale lembrar que a presença de um momento ao longo da viga pode ser ignorada quando vamos expressar a equação da força cortante da viga. Ou seja, só serão levados em consideração os carregamentos, sejam eles concentrados (em um único ponto) ou distribuídos (em mais de um ponto consecutivo).

a) Calculando o momento fletor M(x)A seguinte adoção deve ser considerada para qualquer viga em estudo:

yx

M

A ilustração acima indica que sempre devemos considerar como positivo o momento fletor M direcionado no sentido anti-horário, isso desde que adotemos a origem de nosso sistema na extremidade mais à esquerda da viga. Ou seja, para cada corte que fizermos na seção da viga, haverá um momento fletor resultante M de sentido anti-horário.

Sendo assim, começamos a criar o nosso momento fletor M em função de x:

M(x) = ± a(x) ± b(x) ± c(x) ± d(x) ± ...

Onde o sinal de positivo ou negativo obedece às seguintes condições:+ : quando o respectivo carregamento da viga sofrer um momento no sentido

horário em relação a um ponto na extremidade direita da viga;– : quando o respectivo carregamento da viga sofrer um momento no sentido

anti-horário em relação a um ponto na extremidade direita da viga.

4. Uso da função de singularidade:

A função de singularidade pode aparecer nas seguintes situações:

Carga concentrada P:

Para a força cortante, faremos: ± P.<x – a>0, onde a é a distância da extremidade esquerda da viga ao ponto de aplicação da carga P;

Para o momento fletor, faremos: ± P.<x – a>1, onde a é a distância da extremidade esquerda da viga ao ponto de aplicação da carga P.

Carga distribuída w em forma de retângulo:

Para a força cortante, faremos: ± w<x – a>1;

Para o momento fletor, faremos: ± w.<x – a>.<x – a>, ou simplesmente: ± w.<x – a>². 2 2

Momento M:

Só será usada para o momento fletor, onde faremos: ± m<x – a>0.

5. Diagramas de força cortante e momento fletor :

Para construir o diagrama de fora cortante, seguimos os seguintes passos:

1°: Fazer a equação da força cortante V(x), lembrando-se das reações dos apoios;2°: Construir um gráfico de V versus x, conforme a origem na extremidade esquerda da viga;3°: Calcular a força cortante V para cada início e fim dos intervalos de distribuição de carregamento da viga, marcando-os e unindo-os corretamente no gráfico.

Para construir o diagrama de momento fletor, seguimos os seguintes passos:

1°: Fazer a equação do momento fletor M(x), lembrando-se das reações dos apoios;2°: Construir um gráfico de M versus x, conforme a origem na extremidade esquerda da viga. No eixo vertical, colocaremos o momento M no sentido crescente de cima para baixo;3°: Calcular o momento fletor M para cada início e fim dos intervalos de distribuição de carregamento da viga, marcando-os e unindo-os corretamente no gráfico.

6. Observações :

A equação da força cortante V(x) pode ser obtida a partir da equação do momento fletor M(x), pois:V(x) = d M(x)

dx O ponto de maior momento fletor ocorre quando temos:

V(x) = 0, e sempre deve ser especificado, bem como a distância x da viga em que ocorre.

A presença de um momento implica uma descontinuidade (degrau) no gráfico de M(x). Logo, quando a viga apresentar um momento em um certo ponto a, devemos calcular o

momento da viga para o ponto a em questão sem a componente do momento e em seguida acrescentá-lo em tal ponto no gráfico, fazendo assim a descontinuidade.

Do mesmo modo, uma força concentrada também implica numa descontinuidade (degrau) no gráfico de V(x). Assim, quando a viga apresentar uma força concentrada em um certo ponto a, devemos calcular a força cortante da viga para o ponto a em questão sem a componente da força concentrada e em seguida acrescentá-la em tal ponto no gráfico, fazendo assim a descontinuidade.

Quando a viga estiver engastada em uma das extremidades, implicará na existência de um momento reativo. Logo, se for engastada na extremidade esquerda, na nossa origem, o gráfico de M(x) já começa um degrau. Caso estiver engastada na extremidade direita, o gráfico de M(x) termina com um degrau. Contudo, a equação geral de M(x) sempre deve satisfazer que o momento total da viga seja para x = 0 e para x = x.

Cargas concentradas implicam nas seguintes condições:- Força cortante: constante.- Momento fletor: reta.

Cargas distribuídas (tipo retangular) implicam nas seguintes condições:- Força cortante: reta.- Momento fletor: curva.

Quando o carregamento distribuído da viga não se apresentar como o mostrado

Devemos criar uma continuidade do carregamento até que este chegue à extremidade direita da viga, criando também um carregamento equivalente (de sentido contrário) na porção inferior da viga de modo a compensar tal adição de carga criada.