Funções de Transformação de Intensidade Básicas

Digital Image Processing, 2nd ed.Digital Image Processing, 2nd ed.www.imageprocessingbook.com

© 2002 R. C. Gonzalez & R. E. Woods

Funções de Transformação de Intensidade Básicas


Transformações de intensidade e filtragem espacial

O termo domínio do espaço refere-se ao agrupamento de pixels que compõem uma imagem.Os métodos de processamento no domínio espacial são procedimentos que operam diretamente sobre os pixels da imagem.

Duas importantes categorias de métodos de processamento no domínio do espaço:

a) transformações de intensidade b) filtragem espacial



Funções de processamento digital de imagens no domínio espacial podem ser expressas como: g(x,y) = T[f(x,y)],

onde f(x,y) é a imagem de entrada e g(x,y) é a imagem de saída e T é um operador sobre f definido sobre alguma vizinhança de (x,y).




A principal técnica para definir uma vizinhança sobre (x,y) é o uso de uma região quadrada ou retangular centrada em (x,y).

O centro da região é movido por todos os pixels da imagem de entrada f, aplicando o operador T a cada posição (x,y) para produzir g(x,y).




As Funções de Transformação de Intensidade podem ser classificadas como:

pontual - quando o valor de saída na coordenada especificada depende somente do valor de entrada da mesma coordenada;

Local - quando o valor de saída na coordenada especificada depende dos valores de entrada na vizinhança desta coordenada;

Global – quando o valor de saída na coordenada especificada depende dos valores dos pixels de toda a imagem.




a1) Funções de Transformação de Intensidade Pontuais

A forma mais simples de T é quando a vizinhança é 1x1. Neste caso g depende apenas do valor de f na posição (x,y) e é chamado de processamento pontual.

T é dita ser uma função de transformação de níveis de cinza da forma: s = T(r), onde r e s denotam os níveis de cinza de f(x,y) e g(x,y) no ponto (x,y).




4. Image Enhancement in theSpatial Domain

4. Image Enhancement in theSpatial Domain

T é dita ser uma função de transformação de níveis de cinza da forma: s = T(r), onde r e s denotam os níveis de cinza de f(x,y) e g(x,y) no ponto (x,y).

s= T(r) = 1/(1+(m/r)E

E=20

0 se r < m s= T(r) = 1 se r m







Imagens Negativas

O negativo de uma imagem com niveis de cinza no intervalo [0,L-1] é obtida por

s = L-1-r

matlab disponibiliza a função

g = imcomplement(f);

f = imread('Fig0304(a)(breast_digital_Xray).tif');

g = imcomplement(f);







Funções de Transformação de Intensidade BásicasFunções de Transformação de Intensidade Básicas

Transformações log

s = c log(1+r), em quec é uma constante e r >= 0

Objetivo: mapear intervalos estreitos de valores de baixa intensidade em intervalos mais largos de valores de alta intensidade. O oposto ocorre para valores altos nos níveis de entrada.

É usado para expandir valores baixos e comprimir valores altos




Transformação log em matlab:

f = imread(‘Fig0305(a)(DFT_no_log).tif’);

g = im2uint8(mat2gray(log(1+double(f)))));

Imshow(f);

Figure, imshow(g);

Note valores de f e de g e dos resultados intermediários




Transformações exponenciais (correção gamma)

s = c . rᵧ

Sendo c e ᵧ constantes positivas.




Vários dispositivos usados para capturar imagens, imprimir e exibir imagens respondem de acordo com funções exponenciais;

Imagens que não são propriamente corrigidas aparecem muito escuras;

Exemplo: A reposta intensidade-voltagem dos monitores de tubo de raios catódicos é uma função exponencial com expoente variando entre 1.8 e 2.5;



Vista pelo monitor – gamma = 2.5

Correção gamma = 0.4 =1/2.5

Imagem final no monitor





Implementação em matlab

c=1; gm = 0.3;

g = im2uint8(mat2gray((double(f)+eps).^gm));

x = 0:255;

y = c * (x+eps).^gm;

plot (y);





Imagem escura, aplica gamma < 1

-> 0.6, 0.4, 0.3





Imagem clara, gamma > 1

-> 3,4,5




Funções de Transformação baseada em divisões lineares (piecewise-linear)

Vantagem: sua forma pode ser arbitrariamente complexa;

Desvantagem: requer mais entradas dada pelo usuário.





Contrast streching pontual- aumenta o intervalo dinâmico dos níveis de cinza da imagem sendo proces-sada. A posição de (r1,s1) e (r2,s2) contro-lam a função de trans-formação T(r),

Para preservar a ordem dos níveis de cinza em geral assumimos r1 r2 e s1 s2,





Slicing gray level - aumenta o brilho em uma região de interesse.





Bit plane slicing (recorte baseado em planos de bits) - decompões a imagem de acordo com os bits do numero que representa os níveis de cinza de um pixel;

Considere que cada pixel da imagem seja representado por 8 bits e a imagem formada por 8 planos de 1 bit. O plano 0 contém todos os bits menos significativos da imagem e o plano 7 contém todos os bits mais significativos.




Decomposição da imagem em bit-planes:

- Permite analisar a importância relativa de cada bit na imagem;

- Ajuda a definir o numero adequado de bits para quantizar uma imagem;

- Útil para compressão de imagens;







Imagem reconstruída usando bit planes 7 e 8





a2) Processamento de HistogramasSão funções de transformação de intensidade baseadas em informações extraídas do histograma de intensidade da imagem. As funções baseadas em histogramas são globais ou locais

Histograma•é uma das ferramentas mais simples e úteis para o PDI;

•é uma função que mostra a frequência com que um nível de cinza aparece na imagem;

•A exibição gráfica do histograma para todos os valores de níveis de cinza K providencia uma descrição global de uma imagem.



imagem escura

imagem clara

imagem com baixo contraste

imagem com alto contraste




Um histograma pode ser visto como uma função de distribuição de frequencia ou como uma função de distribuição de probabilidade

Histograma como função de distribuição de probabilidade é dada por p(rk) = nk / n

De maneira geral dizemos que p(rk) dá uma estimativa da probabilidade de ocorrência do nível de cinza rk na imagem.




Propriedades do Histograma

• as informações espaciais não são representadas;

•um histograma é único para uma determinada imagem, mas o inverso não é verdadeiro;

•a movimentação de objetos em uma imagem não tem qualquer efeito sobre o seu histograma.





Usando o Matlab:

imhist(f); % obtém o histograma da imagem f e exibe de uma forma padrão.

Outras maneira de exibir um histograma:-- grafico de barras : hist_barra (filename);

-- grafico de linhas(stem):hist_stem(filename);

-- grafico funçao (plot): hist_plot(filename).



Equalização de histograma É uma transformação dos níveis de cinza de uma imagem que visa aumentar o intervalo dinâmico melhorando o contraste de imagens adquiridas sob péssimas condições de iluminação. É uma transformação global

É útil para comparar cenas que foram adquiridas com iluminação diferente (normaliza a imagem)

De modo geral o que se procura é obter um mapeamento não linear dos níveis de cinza da imagem de entrada de tal forma que a imagem resultante contenha uma distribuição mais uniforme dos seus níveis de cinza ( um histograma plano)






Equalização de histogramas

Seja r , definida no intervalo [0,L-1], a variável que representa os níveis de cinza na imagem a ser realçada.

Considere que os valores dos pixels são quantidades continuas no intervalo [0,L-1] com 0 representando preto e L-1 representando branco. Um transformação T no intervalo [0,1] é tal que:

s = T(r) , 0 ≤ r ≤ L-1



A função de transformação T para equalizar um histograma deve satisfazer as seguintes condições:

(a) T(r) deve ser estritamente monotonicamente crescente no intervalo 0 r L-1 ; esta condição garante que a saída nunca será menor do que a entrada, o que evita artefatos na imagem processada.

(b) 0 T(r) L-1 para 0 r L-1; esta condição garante que o intervalo de intensidades de saída é o mesmo que o intervalo de intensidades de entrada.

A transformação inversa r=T-1(s) também deve satisfazer as condições (a) e (b) para garantir a recuperação da imagem original








Os níveis de intensidade podem ser vistos como variáveis randômicas no intervalo [0,1];

Um descritor importante de uma variável randômica é FDP;

Seja ps(s) e pr(r) FDP de s e r respectivamente;

Seja pr(r) e T(r) conhecidas, sendo T(r) continua e diferenciável no intervalo de interesse.




Dado um intervalo dr em pr(r) e ds em ps(s) mapeado por T(r), temos que:

ps(s) ds = pr(r) dr;

ps(s) = pr(r) dr/ds;

Uma função de transformação muito usada é a função de distribuição acumulativa

r

r dwwprTs0

)()(




Para encontrar ps(s):

ds/dr = dT(r)/dr ( regra de Leibniz – a derivada de uma integral limitada com respeito ao seu limite superior é igual é igual à integração avaliada neste limite);

ds/dr =

ds/dr = (L-1)pr(r)

r

r dwwpdr

dL

0

)()1(




Sabendo que

ps(s) = pr(r) dr/ds e ds/dr = (L-1)pr(r)

Então

ps(s) = pr(r). 1/(L-1) pr(r);

ps(s) = 1/(L-1) para 0 ≤ s ≤ L-1

ps(s) é um FDP uniforme independente da forma de pr(r)




Inlcuir exemplo numerico





Equalização de Histograma para o caso discreto

Dada uma imagem contendo M x N pixels, assumindo valores discretos k = 0,1,2,...,L-1: pr(rk) = nk / MN

sk = T(rk) = Pr(rj) para j=0,1,2,...,k

T(rk) é a função de distribuição de probabilidade acumulativa

ps(s) não será uniforme em função dos arredondamentos necessários para se obter os valores discretos para sk





k

j

jrkk rpLrTs0

)()1()(

k

j

jnMN

L

0

)1(

A imagem processada é obtida mapeando cada pixel da imagem de entrada com intensidade rk

no pixel correspondente com nível sk na imagem de saída.




Exemplo: L = 8, imagem 64x64, MN = 4096

rk nk Pr(rk) T(rk) sk

0 790 0.19 7*0.19=1.33 1

1 1023 0.25 7*0.44=3.08 3

2 850 0.21 7*0.65=4.55 5

3 656 0.16 5.67 6

4 329 0.08 6.23 6

5 245 0.06 6.65 7

6 122 0.03 6.86 7

7 81 0.02 7.00 7










Em matlab:

imhist(f); %mostra o histograma de f

histeq(f); %equaliza a imagem f

equaliza(filename);



Processamento local de histograma: realce local

•útil para realçar detalhes de áreas pequenas•é obtido aplicando a equalização de histograma para uma vizinhança de cada pixel da imagem. Somente o valor do pixel centrado na vizinhança é modificado. O centro da região é então movida para o pixel adjacente e o procedimento é repetido.








uso de estatística de histograma para realçar imagens

Seja r uma variável randômica correspondendo uma intensidade luminosa no intervalo [0,L-1]

Seja p(ri) a componente do histograma normalizado para ri.




nth momento de r é dado por:

Um momento importante é n=2 (variancia)

,)(

,)()(

1

0

.

1

0)(

L

i

ii

L

i

ii

nn

rprm

rpr mr

1

0

2

2)()(

L

i

ii rpr mr




Exemplo:

L = 4, imagem 5x5 0 0 1 1 2

1 2 3 0 1

3 3 2 2 0

2 3 1 0 0

1 1 3 2 2

p(ro) = 6/25 = 0.24 p(r1) = 7/25 = 0.28p(r2) = 7/25 = 0.28 p(r3) = 5/25 = 0.20

3

0

. )(i

ii rprm

m = (0)0.24+(1)0.28+(2)0.28+(3)0.20 = 1.44




Uso de média e variância para melhorar imagens:

K0 valor positivo, menor que 1

K1 e k2 valores positivos maiores que 1 para melhorar áreas claras

K1 e k2 valores positivos menores que 1 para melhorar áreas escuras

),(

AND se ),(.),(

21

yxf

kkmkmyxfEyxg

GSxyGGoSxy





Imagem original, imagem equalizada e imagem processada estatisticamente (E=4; k0=0.4, k1 = 0.02, k2=0.4 e uma

vizinhança 3x3).




Exercícios:

Faça uma função em matlab para melhorar uma dada imagem usando estatística de histogramas. A função deve receber como parâmetros : o arquivo da imagem, k0,k1,k2 e E

Documents

Funções de Transformação de Intensidade Básicas