Capítulo 2

FUNÇÕES DE VÁRIASVARIÁVEIS

2.1 Introdução

Como noCálculo de uma variável, neste capítulo estudaremos uma das noções cen-trais da Matemática, o conceito de função. Uma função de várias variáveis reais éuma regra que descreve como uma quantidade é determinada por outras quantida-des, demaneira única. Através das funções de várias variáveis poderemosmodelaruma grande quantidade de fenômenos dos mais diversos ramos da Ciência.

Definição 2.1. Seja A ⊂ Rn, n = 2 ou n = 3. Uma função f definida no subconjunto Acom valores em R é uma regra que associa a cada u ∈ A um único número real f(u).

u é chamada variável independente da função e a notação é:

f : A ⊂ Rn −→ R.

Se n = 3, denotamos a variável independente por u = (x, y, z) e a função por:

w = f(x, y, z).

Se n = 2, denotamos a variável independente por u = (x, y) e a função por:

z = f(x, y).

Exemplo 2.1.

[1] O número de indivíduos Q de uma certa colônia de fungos depende essenci-almente da quantidade N de nutrientes (gr), da quantidade H de água (cm3), datemperaturaT (0C) e da presença de uma certa proteinaL (ml). Experimentalmente

47

48 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

foi obtida a seguinte tabela:

N H T L Q

10 1 10 0.1 1520 3.5 14 0.4 2030 5.6 16 0.8 2222 8 21 0.1 2125 5.1 12 0.8 1510 1.4 30 1.6 1250 7.3 35 0.9 17

Q possivelmente não tem uma formulação matemática explícita, mas é uma funçãobem definida: Q = Q(N,H, T,L)

[2] O volume V de um cilindro é função do raio r de sua base e de sua altura h:

V (r, h) = π r2 h.

Logo, um cilindro de altura h = 10 cm e raio r = 2 cm tem volume: V (2, 10) =40π cm3, aproximadamente, 125.663 cm3

[3] Um tanque para estocagem de oxigênio líquido num hospital deve ter a formade um cilindro circular reto de raio r e de altura l m (m =metros), com um hemis-fério em cada extremidade. O volume do tanque é descrito em função da altura l edo raio r.

r

l

Figura 2.1: O tanque do exemplo [3].

O volume do cilindro é π l r2 m3 e o dos dois hemisférios é 4 π r3

3 m3; logo, o volumetotal é:

V (l, r) = π

(

4 r3

3+ l r2

)

m3.

Por exemplo, se a altura for 8m e o raio r = 1m, o volume é V (8, 1) = 28 π3 m3.

[4] O índice de massa corporal humano (IMC) é expresso por:

IMC(P,A) =P

A2,

onde P é o peso em quilos e A a altura em m. O IMC indica se uma pessoa estáacima ou abaixo do peso ideal, segundo a seguinte tabela da OMS (OrganizaçãoMundial da Saude):

Condição IMC

Abaixo do peso < 18.5Peso normal 18.5 ≤ IMC ≤ 25

Acima do peso 25 ≤ IMC ≤ 30Obeso > 30

2.1. INTRODUÇÃO 49

Por exemplo, uma pessoa que mede 1.65m e pesa 98 quilos, tem IMC(98, 1.65) =35.9; logo segundo a tabela está obeso. Agora uma pessoa que mede 1.80m e pesa75 kg, tem

IMC(98, 1.65) = 23.1;

logo, segundo a tabela tem peso normal.

[5] Da lei gravitacional universal de Newton segue que dada uma partícula demassa m0 na origem de um sistema de coordenadas x y z, o módulo da força Fexercida sobre outra partícula de massa m situada no ponto (x, y, z) é dado poruma função de 5 variáveis independentes:

Figura 2.2: Exemplo [5].

F (m0,m, x, y, z) =g m0 m

x2 + y2 + z2,

onde g é a constante de gravitação universal.

[6] A lei de um gás ideal confinado (lei de Gay - Lussac) é P V = k T , onde P éa pressão em N/u3 (N=Newton, u=unidades de medida), V é o volume em u3, Té a temperatura em graus e k > 0 uma constante que depende do gás. Podemosexpressar o volume do gás em função da pressão e da temperatura; a pressão dogás em função do volume e da temperatura ou a temperatura do gás em função dapressão e do volume:

V (P, T ) =k T

P, P (V, T ) =

k T

Ve T (P, V ) =

P V

k.

[7] Quando um poluente é emitido por uma chaminé de h metros de altura, a con-centração do poluente, a x quilômetros da origem da emissão e a y metros do chãopode ser aproximada por:

P (x, y) =a

x2

(

eh(x,y) + ek(x,y))

,

onde h(x, y) = − b

x2

(

y − h)2 e k(x, y) = − b

x2

(

y + h)2.

O poluente P é medido em µg/m (µg=microgramas), onde a e b são constantes quedependem das condições atmosféricas e da taxa de emissão do poluente. Sejam

50 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

a = 200 e b = −0.002. Por exemplo, para uma chaminé de 10m, a contaminação a1 km de distância e a uma altura de 2m é P (1000, 2) = 0.004µg/m.

[8] Lei do fluxo laminar de Poiseuille: Fluxo sanguíneo através de um vaso, comoartérias ou veias. Como as quantidades envolvidas são pequenas, podemos consi-derar que vasos tem formato cilíndrico não elástico.

R

Figura 2.3: Fluxo laminar de Poiseuille.

Denotemos por R o raio e l o comprimento, medidos em cm. Devido a fricção nasparedes do vaso, a velocidade v do sangue é maior ao longo do eixo central do vasoe decresce se a distância d (cm) do eixo à parede cresce e é zero na parede. v é umafunção de quatro variáveis:

v(P,R, l, d) =P (R2 − d2)

4 l η,

onde η é a viscocidade do sangue e P a diferença entre a pressão da entrada e a dasaída do sangue no vaso, medida em dina/cm2. Experimentalmente, para o sanguehumano numa veia: η = 0.0027. Por exemplo, se l = 1.675, R = 0.0075, P = 4×103

e d = 0.004, tem-se:

v(4 × 103, 1.675, 0.004)) = 8.89994 cm/seg.

[9] Médicos dos desportos desenvolveram empiricamente a seguinte fórmula paracalcular a área da superfície de uma pessoa em função de seu peso e sua altura:

S(P,A) = 0.0072P 0.425 A0.725,

onde P é o peso em quilogramas, A é a altura em cm e S é medido em m2. Umapessoa que pesa 50 quilos e mede 160 cm deve ter uma área da superfície corporal:S(50, 160) = 1.5044m2.

[10] Um circuito elétrico simples é constituído de 4 resistores como na figura:

R R R

R

E

1 2 3

4

Figura 2.4: Circuito elétrico.

2.2. DOMÍNIO E IMAGEM 51

A intensidade da corrente I neste circuito é função das resistênciasRi (i = 1, 2, 3, 4)e da tensão da fonte E; logo:

I(R1, R2, R3, R4, E) =E

R1 + R2 + R3 + R4.

[11] A produção P ( valor monetário dos bens produzido no ano) de uma fábricaé determinada pela quantidade de trabalho (expressa em operários/horas traba-lhadas no ano) e pelo capital investido (dinheiro, compra de maquinarias, matériaprima, etc.). A função que modela a produção é chamada de Cobb-Douglas e édada por:

P (L,K) = AKα L1−α,

onde L é a quantidade de trabalho, K é o capital investido, A e α são constan-tes positivas (0 < α < 1). Por exemplo, se o capital investido é de R$ 600.000 esão empregados 1000 operários/hora, a produção é dada pela seguinte função deCobb-Douglas:

P (L,K) = 1.01L3

4 K1

4 ;

então, P (1000, 600.000) = 4998.72. A função de produção de Cobb-Douglas tema seguinte propriedade para todo n ∈ N, P (n L, n K) = An Kα L1−α, isto é, paraacréscimos iguais na quantidade de trabalho e de capital investido obtemos omesmoacréscimo na produção.

2.2 Domínio e Imagem

De forma análoga ao Cálculo de uma variável, os conjuntos Domínio e Imagem deuma função são relevantes para o estudo das funções de várias variáveis.

Definição 2.2. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função.

1. O conjunto de todas as variáveis independentes u ∈ Rn tais que f(u) existe é cha-mado domínio de f e é denotado por Dom(f).

2. O conjunto dos z ∈ R tais que f(u) = z e u ∈ Dom(f) é chamado imagem de f e édenotado por Im(f).

Na prática o domínio de uma função é determinado pelo contexto do problema.

Exemplo 2.2.

[1] O volume V de um cilindro é função do raio r de sua base e de sua altura h.Logo,

V (r, h) = π r2 h.

Como o raio e a altura de um cilindro devem ser positivos, temos que:

Dom(f) = {(r, h) ∈ R2 / r > 0, h > 0} = (0,+∞) × (0,+∞)

e Im(f) = (0,+∞). No caso de não estar considerando a função como volume,teríamos queDom(f) = Im(f) = R2.

52 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

[2] Seja z = f(x, y) =√

1 − x2 − y2. Note que f é definida se, e somente se:

1 − x2 − y2 ≥ 0,

ou seja x2 + y2 ≤ 1; logo:

Dom(f) = {(x, y) ∈ R2/x2 + y2 ≤ 1}.

Por outro lado 0 ≤ z =√

1 − x2 − y2 ≤ 1; logo, Im(f) = [0, 1].

1

1

Figura 2.5: Exemplo [2].

[3] Seja z = f(x, y) =x

x − y. Note que f é definida se o denominador x − y 6= 0;

então, x 6= y e,

Dom(f) = {(x, y) ∈ R2/x 6= y} = R2 − {(x, x)/x ∈ R}.

1

1

Figura 2.6: Exemplo [3].

[4] Seja z = f(x, y) = arcsen(x + y). Note que arcsen(u) é definido se −1 ≤ u ≤ 1;logo,−1 ≤ x+y ≤ 1 o que acontece, se, e somente se, y ≤ 1−x e−1−x ≤ y; então:

Dom(f) = {(x, y) ∈ R2/ − 1 − x ≤ y ≤ 1 − x}.

2.2. DOMÍNIO E IMAGEM 53

1

1

Figura 2.7: Exemplo [4].

[5] z = f(x, y) = ln(y−x). Note que a função logarítmica ln(u) é definida se u > 0;logo, y − x > 0 e f é definida em todo o semi-plano definido por {(x, y) ∈ R2/y >x}.

1

1

Figura 2.8: Exemplo [5].

[6] z = f(x, y) =y

√

x2 + y2 − 1. Note que o quociente é definido se x2 + y2 − 1 > 0;

logo, a função é definida em todo o planomenos a região determinada por x2+y2 ≤1.

1

1

Figura 2.9: Exemplo [6].

[7] w = f(x, y, z) = y√

x2 + y2 + z2 − 1. Note que a raiz quadrada está definidase, e somente se:

x2 + y2 + z2 − 1 ≥ 0;

54 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

logo, a função é definida em todoR3menos a região determinada por x2+y2+z2 <1. De outro modo, todo o espaço menos os vetores de R3 de norma menor que 1.

[8] Da mesma forma que no caso de uma variável, as funções polinomiais de graun, de várias variáveis temDom(f) = Rn e a Im(f) depende do grau do polinômio.Por exemplo. Se f(x, y, z) = x5+y3−3x y z2−x2+x2 y z+z5−1, então, Im(f) = R.Se g(x, y) = x2 + y2 − 2x y, então Im(f) = [0,+∞).

2.3 Gráfico de Funções de Várias Variáveis

Definição 2.3. Seja f : A ⊂ Rn −→ R uma função. O gráfico de f é o seguinte subcon-junto de Rn+1:

G(f) = {(x, f(x)) ∈ Rn+1/x ∈ Dom(f)} ⊂ Rn × R

Se n = 2 e x = (x, y); então:

G(f) = {(x, y, f(x, y))/(x, y) ∈ Dom(f)}.

G(f) é, em geral, uma superfície em R3. Por exemplo, o gráfico da função :

f(x, y) =

{

1 se x, y ∈ Q

0 se x, y /∈ Q,

não é uma superfície.

Se n = 3, x = (x, y, z) e G(f) é uma "hipersuperfície"em R4. Para n = 2, a projeçãodo gráfico de f sobre o plano xy é exatamenteDom(f).

Figura 2.10: Esboço do gráfico de uma função , ponto a ponto.

2.3. GRÁFICO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 55

Figura 2.11: Gráfico de uma função.

2.3.1 Conjuntos de nível

Definição 2.4. O conjunto de nível de f com valor c ∈ R é definido por:

{x ∈ Dom(f)/f(x) = c}

Em particular:

Se n = 2, o conjunto de nível c é dito curva de nível c de f :

Cc = {(x, y) ∈ Dom(f)/f(x, y) = c}

Se n = 3, o conjunto de nível c é dito superfície de nível c de f :

Sc = {(x, y, z) ∈ Dom(f)/f(x, y, z) = c}

As curvas de nível são obtidas pelas projeções no plano xy, das curvas obtidas pelainterseção do plano z = c com a superfície G(f). No caso n = 3, G(f) ⊂ R4;portanto, somente poderemos exibir esboços de suas seções.

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

Figura 2.12: Curvas de nível e o gráfico, respectivamente.

56 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Se z = T (x, y) é a temperatura em cada ponto de uma região do plano, as curvasde nível correspondem a pontos de igual temperatura. Neste caso, as curvas sãochamadas isotermas.

Figura 2.13: Curvas Isotermais.

Se z = P (x, y) é o potencial elétrico em cada ponto (x, y) de uma região do plano,as curvas de nível correspondem a pontos de igual potencial elétrico. Neste caso,as curvas são chamadas equipotenciais.

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

x

y

Figura 2.14: Curvas Equipotenciais.

Outra aplicação é o esboço de gráficos de função de duas variáveis:

A construção do esboço doG(f) é feita assim:

Uma vez dado o valor da "altura"z = c obtemos uma curva plana; elevando cadacurva, sem esticá-la ou incliná-la obtemos o contorno aparente de G(f); auxiliadopelas seções (como no caso das quádricas), podemos esboçar G(f) de forma bas-tante fiel.

Note que curvas de nível muito espaçadas, significa que o gráfico cresce lenta-mente; duas curvas de nível muito próximas significa que o gráfico cresce abrupta-mente.

2.3. GRÁFICO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 57

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

Figura 2.15:

Figura 2.16:

Exemplo 2.3.

[1] Se T (x, y) = x + y2 − 1 representa a temperatura em cada ponto de uma regiãodo plano, as curvas de nível ou isotermas são T (x, y) = c, isto é:

x + y2 − 1 = c, c ∈ R.

Temos uma família de parábolas:

c x + y2 − 1 = c

0 x + y2 = 1

1 x + y2 = 2

-1 x + y2 = 0

2 x + y2 = 3

-2 x + y2 = −1

58 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

Figura 2.17: Esboco das curvas de nível de T = T (x, y).

[2] Esboce o gráfico de z = f(x, y) = x2 − y2. Note queDom(f) = R2.

Interseções de G(f) com os eixos coordenados: somente a origem.

Simetrias: a equação:z = x2 − y2

não se altera se substituimos x e y por −x e −y; logo, tem simetria em relação aosplanos yz e xz.

Curvas de nível:

Fazendo z = c, temos: x2 − y2 = c. Se c < 0, temos x2 − y2 = c, que são hipérbolesque intersectam o eixo dos y; Se c = 0, temos y = ±x, que são duas retas passandopela origem; Se c > 0, temos x2 − y2 = c, que são hipérboles que intersectam o eixodos x.

Traços:

No plano xy: um par de retas que se intersectam na origem.No plano yz: a parábola: y2 + z = 0.No plano xz: a parábola: x2 − z = 0. Logo z = f(x, y) = x2 − y2 é um parabolóidehiperbólico.

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Figura 2.18: Curvas de nível e gráfico, respectivamente.

2.3. GRÁFICO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 59

[3] Esboce o gráfico de z = f(x, y) = x + y2. Note queDom(f) = R2.

Interseções de G(f) com os eixos coordenados: somente a origem.

Simetrias: a equação:

z = x + y2

não se altera se substituimos y por −y; logo, tem simetria em relação ao plano xz.

Curvas de nível:

Fazendo z = c, temos y2 = c − x, que é uma família de parábolas com foco no eixodos y, para todo c ∈ R.

Traços:

No plano yz é a parábola: y2 − z = 0. No plano xz é a reta: x − z = 0. Logo z =f(x, y) = x + y2 é um cilindro parabólico.

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

Figura 2.19: Curvas de nível e gráfico, respectivamente.

[4] Esboce o gráfico de z = f(x, y) = ln(x2 + y2). Note queDom(f) = R2 −{(0, 0)}.

Interseções com os eixos coordenados: (0,±1, 0), (±1, 0, 0).

Simetrias: a equação:

z = ln(x2 + y2)

não se altera se substituimos x e y por −x e −y; logo, tem simetria em relação aosplanos yz e xz.

Curvas de nível.

Fazendo z = c, temos: x2 +y2 = ec, para todo c ∈ R. As curvas de nível são círculoscentrados na origem de raios ec/2; se c → −∞, o raio tende para zero e se c → +∞,o raio cresce. A superfície tem o aspecto de um funil.

60 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

Figura 2.20: Curvas de nível e gráfico, respectivamente.

[5] Esboce o gráfico de z = f(x, y) = sen(x).

Note que Dom(f) = R2. Como na equação falta a variável y, o gráfico de f é umcilindro de diretriz z = sen(x) no plano xz e geratriz paralela ao eixo dos y.

-2 -1 0 1 2-2

-1

0

1

2

Figura 2.21: Curvas de nível e gráfico, respectivamente.

[6] Esboce as superfícies de nível do gráfico de w = f(x, y, z) = x− y + z + 2. NotequeDom(f) = R3.

Superfícies de nível:

Fazendo w = c, temos: x − y + z = c − 2, que representa uma família de planosparalelos de normal (1,−1, 1), para qualquer c.

2.3. GRÁFICO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 61

Figura 2.22: Superfícies de nível.

[7] Esboce as superfícies de nível do gráfico de w = f(x, y, z) = z − x2 − y2.

Note queDom(f) = R3.

Superfícies de nível:

Fazendo w = c, temos: z = x2 + y2 + c, que para cada c é a equação de um parabo-lóide circular com eixo no eixo dos z.

Figura 2.23: Superfícies de nível.

[8] Esboce as superfícies de nível do gráfico de w = f(x, y, z) = x2 − y2 + z2.

Superfícies de nível: Fazendo w = c temos: x2 − y2 + z2 = c. Se c < 0, é umhiperbolóide de duas folhas: x2 − y2 + z2 = c.

62 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Figura 2.24: Hiperbolóide de duas folhas.

Se c = 0, é um cone circular: x2 − y2 + z2 = 0.

Figura 2.25: Cone circular.

Se c > 0, é um hiperbolóide de uma folha: x2 − y2 + z2 = c; etc.

Figura 2.26: Hiperbolóide de uma folha.

Em alguns casos é mais conveniente esboçar as curvas nível do que o gráfico dafunção.

2.3. GRÁFICO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 63

[9] Considere a função de Cobb-Douglas:

P (L,K) = 1.01L3

4 K1

4 .

As curvas de nível de P para diversas produções são esboçadas, indicando as pos-sibilidades de L eK para cada produção.

0 50 100 150 2000

50

100

150

200

Figura 2.27: Curvas de nível da função de Cobb-Douglas.

[10] Sabemos que o índice de massa corporal é dado por:

IMC(P,A) =P

A2.

As curvas de nível de ICM indicam as possibilidades de:

10 ≤ P ≤ 200 e 0.5 ≤ A ≤ 2.5.

25 50 75 100 125 150 175 2000.5

1

1.5

2

2.5

Figura 2.28: Curvas de nível da função da massa corporal.

De forma análoga ao caso de uma variável, nem toda superfície em R3 é o gráficode uma função de duas variáveis. A condição necessária e suficiente para que umasuperfície em R3 seja o gráfico de uma função z = f(x, y) é que toda reta paralelaao eixo dos z intersecte a superfície em um único ponto. A esfera x2 + y2 + z2 = 1não pode ser gráfico de uma função de duas variáveis, mas os hemisférios da esferasão gráficos das funções:

z = f1(x, y) =√

1 − x2 − y2 e z = f2(x, y) = −√

1 − x2 − y2.

64 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

Em geral, toda equação de tres variáveis que represente uma superfície é uma su-perfície de nível de alguma função de tres variáveis. As superfícies quádricas sãosuperfícies de algum nível de funções de três variáveis.

Exemplo 2.4.

[1] Seja x2 + y2 + z2 = 1; então: x2 + y2 + z2 = 1 é superfície de nível c = 0 para

f(x, y, z) = x2 + y2 + z2 − 1,

x2 + y2 + z2 = 1 é superfície de nível c = 1 para

g(x, y, z) = x2 + y2 + z2

e x2 + y2 + z2 = 1 é superfície de nível c = 30 para h(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 29.

[2] Seja z = f(x, y), considere h(x, y, z) = z − f(x, y); então, G(f) é uma superfíciede nivel zero de h.

2.4 Exercícios

1. Determine o volume em função de h e r.

(a) Um depósito de grãos tem formato de um cilindro circular reto de alturah e raio r, com teto cônico.

(b) Um depósito de gás tem formato de um cilindro circular reto de altura h eraio r, com teto uma semi-esfera.

2. Se f(x, y) = x5 − y5 − 4x2 y3 − 3x3 y2 + x y2 + x2 − y2 − x + y + 1, calcule:

(a) f(0, 0)

(b) f(1, 1)

(c) f(x, x)

(d) f(y,−y)

(e) f(x2,√

x y)

(f) f(1, h)

(g) f(h, 0)

(h)f(x + h, y) − f(x, y)

h

(i)f(x, y + h) − f(x, y)

h

3. Se f(x, y, z) = (x y z)2, calcule:

(a) f(0, 0, 0)

(b) f(1, 1, π)

(c) f(x, x, x)

(d) f(y, z, z)

(e) f(x2,√

x y z, z3 y)

(f)f(x + h, y, z) − f(x, y, z)

h

(g)f(x, y + h, z) − f(x, y, z)

h

(h)f(x, y, z + h) − f(x, y, z)

h

(i)f(x + h, y + h, z + h) − f(x, y, z)

h

2.4. EXERCÍCIOS 65

4. DetermineDom(f) se:

(a) f(x, y) =

√

x − y

x + y

(b) f(x, y) =x2 − y2

x − y

(c) f(x, y) =x + y

x y

(d) f(x, y) = 16 − x2 − y2

(e) f(x, y) = |x|e y

x

(f) f(x, y) =√

|x| − |y|

(g) f(x, y) =x − y

sen(x) − sen(y)

(h) f(x, y) =√

y − x +√

1 − y

(i) f(x, y, z) = x y z − x4 + x5 − z7

(j) f(x, y, z) = sen(x2 − y2 + z2)

(k) f(x, y, x) =y

z x

(l) f(x, y, z) = x2 sec(y) + z

(m) f(x, y, z) = ln(x2 + y2 + z2 − 1)

(n) f(x, y, z) =√

1 − x2 − y2 − z2

(o) f(x, y, z) = ex2+y2+z2

(p) f(x, y, z) = 3√

1 − x2 − y2 − z2.

5. EsboceDom(f) no plano de cada função do exercício [4].

6. Seja x ∈ Rn. Uma função f(x) é dita homogênea de grau n ∈ Z se para todot > 0, f(tx) = tn f(x). Verifique que as seguintes funções são homogêneas edetermine o grau:

(a) f(x, y) = 3x2 + 5x y + y2

(b) f(x, y) =2

x2 + y2

(c) f(x, y) =√

x2 + y2 sen(y

x), x 6= 0

(d) f(x, y, z) =x

y3+

y

z3+

z

x3

(e) f(x, y, z) =1

x + y + z

(f) f(x, y, z) = x2 e−y

z

66 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS

7. Esboce as curvas de nível de f , para os seguintes c:

(a) f(x, y) =√

100 − x2 − y2, c = 0, 8, 10.

(b) f(x, y) =√

x2 + y2, c = 0, 1, 2, 3, 4

(c) f(x, y) = 4x2 + 9 y2, c = 0, 2, 4, 6

(d) f(x, y) = 3x − 7y, c = 0, ±1, ±2

(e) f(x, y) = x2 + xy, c = 0, ±1, ±2, ±3

(f) f(x, y) =x2

y2 + 1, c = 0, ±1, ±2, ±3

(g) f(x, y) = (x − y)2, c = 0, ±1, ±2, ±3

(h) f(x, y) = ln(x2 + y2 − 1), c = 0, ±1

(i) f(x, y) =x

x2 + y2 + 1, c = ±1, ±2

(j) f(x, y) = ex2+y2

, c = 1, 2

8. Esboce as superfícies de nível de f , para os seguintes c:

(a) f(x, y, z) = −x2 − y2 − z2, c = 0, ±1, ±2

(b) f(x, y, z) = 4x2 + y2 + 9z2, c = 0, ±12 , ±1

(c) f(x, y, z) = x2 + y2 + z, c = 0, ±1, ±2

(d) f(x, y, z) = x − y2 + z2, c = 0, ±1, ±2

(e) f(x, y, z) = x y z, c = 0, ±1, ±2

(f) f(x, y, z) = e−(x2+y2+z2), c = 0, ±1, ±2

9. Esboce o gráfico das seguintes funções, utilizando as curvas de nível de f :

(a) f(x, y) = x − y − 2

(b) f(x, y) = x2 + 4 y2

(c) f(x, y) = x y

(d) f(x, y) = 2x2 − 3 y2

(e) f(x, y) = |y|(f) f(x, y) =

√

16 − x2 − y2

(g) f(x, y) =√

9x2 + 4 y2

(h) f(x, y) = e−(x2+y2)

(i) f(x, y) = 1 −√

x2 + y2

(j) z = 1 + y2 − x2

(k) z = x2

(l) z =√

1 + x2 + y2

(m) z = y3

(n) z = sen(x)

(o) z = ey

10. Função de DuBois-DuBois: Em Medicina, às vezes, se utiliza a seguinte fun-ção para determinar a superfície corporal de uma pessoa:

S(P, h) = 0.0072P 0.425 h0.725,

que estabelece uma relação entre a área da superfície S (m2) de uma pessoa,o seu peso P (Kg) e sua altura h (cm).

2.4. EXERCÍCIOS 67

(a) Se uma criança pesa 15 kg e mede 87 cm, qual é sua superfície corporal?

(b) Esboce as curvas de nível da função S.

(c) Esboce o gráfico de S.

11. De forma análoga ao que ocorre no Cálculo de uma variável, dadas f e gfunções definidas em A ⊂ Rn, definimos:

(

f + g)

(u) = f(u) + g(u).(

f g)

(u) = f(u) g(u);

em particular,(

λ f)

(u) = λ f(u), para todo λ ∈ R.

(f

g

)

(u) =f(u)

g(u),

se g(u) 6= 0.

(a) Calcule: f + g, f g, ef

g, se:

i. f(x, y) = x3 − x y2 − x2 y − y3 + x2 + y2 e g(x, y) = x2 y + x y2 − x3.

ii. f(x, y) = x y2 − x4 y3 e g(x, y) =√

x2 + y2 + x y

(b) Calcule: f + g, f g, ef

g, se

i. f(x, y, z) = x y z − x2 z2 e g(x, y, z) = x y z − y2 z2.

ii. f(x, y, z) =√

x y + z − x2 − y2 e g(x, y, z) = x5 − y2 z2.

68 CAPÍTULO 2. FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS