Funções Logarítmicas O que é um logaritmo de um número?

DefiniçãoO logaritmo de um número positivo b, numa dada base a (a>0 e a ≠1) é o expoentea que é preciso elevar a base para obter esse número.

Simbolicamente: = x , b

Sabemos que existe, e que é um número entre 2 e 3, mas qual o seu valor?Resposta:

John Napier ( 1550 – 1617)ouJonh Nepper

Joost Bürgi um relojoeiro suíço a serviço do Duque de Hesse-Kassel, foi o primeiro a formar uma concepção sobre logaritmos.

O método dos logaritmos de Napier contribuiu para o avanço da ciência, e especialmente a astronomia, fazendo com que cálculos muito difíceis se tornassem possíveis. Anterior à invenção de calculadoras e computadores, era uma ferramenta constantemente usada em observações, navegação e outros ramos da matemática prática. Além de sua imensa utilidade na realização de cálculos práticos, os logaritmos também têm um papel muito importante em matemática teórica.

Outros matemáticos, se envolveram com os logaritmos:

Henry Briggs (1561 – 1630)

Johannes Keppler(1571 – 1630)

LOGOS = razão

ARITHOMOS = números

William Oughtred(1575 – 1660)

No início do século XVII, o escocês John Napier inventou um dispositivo chamado Ossos de Napier que são tabelas de multiplicação gravadas em bastão, o que evitava a memorização da tabuada, e que trouxe grande auxílio ao uso de logaritmos, em execução de operações aritméticas como multiplicações e divisões longas.Hoje, o dispositivo aperfeiçoado é empregado tão frequentemente pelos engenheiros, através da régua de cálculo.

Uma Régua de cálculo é um aparelho mecânico analógico que permite a realização de cálculos por meio de guias graduadas deslizantes.Foi criado pelo padre inglês William Oughtred, em 1638, baseando-se na tábua de logaritmos que foi criada por John Napier, pouco antes, em 1614.Apesar da semelhança com uma régua, a régua de cálculos é um dispositivo que não tem nada a ver com medição de pequenas distâncias ou de traçar rectas. A régua de cálculo é a mãe das calculadoras electrónicas modernas (até mesmo porque os engenheiros que criaram as calculadoras electrónicas provavelmente fizeram isso usando réguas de cálculo), tendo sido largamente usada até a década de 1970 quando então a versão electrónica foi largamente difundida e aceita em função de sua simplicidade e precisão.Quanto a precisão as réguas de cálculo não fornecem valores exactos e sim aproximados que são aceitos como viáveis dentro de certa aplicação. Assim, um cálculo como 1345 x 3442= ? é resolvido em poucos segundos com uma régua de cálculo mas o máximo que será possível dizer do resultado é que ele está bem próximo de 4.650.000 e raramente o valor exacto (4.629.490 neste caso).

Como o matemático Pierre Laplace se referiu à descoberta e aplicação dos Logaritmos.

«Ao diminuírem os cálculos, os logaritmos duplicaram a vida dos

astrónomos …»

Propriedades dos Logaritmos

Consequências da definição

log

log 1log 1

loga

a

a

ka

k

aa

a k

a k

10

Logaritmos especiaisLogaritmo Decimal log logLogaritmo Neperianolog lne

a a

a a

0

Propriedades operatórias dos Logaritmos

log ( ) log log , ,

log log log , ,

log ( ) log , ,

a a a

a a a

pa a

x y x y x y IR

x x y x y IRy

x p x x IR p IR

Mudança de base

loglog , , , \ 1log

Por exemplo:log lnloglog ln

ba

b

a

xx x IR a b IRa

x xxa a

Definição de Função Logarítmica

Chama-se Função Logarítmica a uma função do tipo :

( ) log ( ) ( 0, 1, )

Muito importante:O cálculo do Domínio

af x x a a x IR

2

12

1

( ) log( ) ln( ) log( ) log

( ) loge

f x xg x xh x xp x x

i x x

Propriedades gráficas e analíticas da Função Logarítmica, com base maior que 1

1 2 1 2

1 2 1 2

: ( ) ( ): ( ) ( )

, 1: 1, ; : 0,1

, 0lim lx

Domínio IRContradomínio IRContínua emtodoo seu domínioEstritamentecrescente x x f x f xInjetiva x x f x f xTemum zero em xPositiva Negativa

Temapenasumaassimptota vertical x

0

og log ( )

lim log log (0 )

a a

a ax

x

x

Propriedades gráficas e analíticas da Função Logarítmica com base entre 0 e 1

1 2 1 2

1 2 1 2

: ( ) ( ): ( ) ( )

, 1: 0,1 ; : 1,

, 0limx

Domínio IRContradomínio IRContínuaemtodoo seu domínioEstritamentedecrescente x x f x f xInjetiva x x f x f xTemum zero em xPositiva Negativa

Temapenasuma assimptota vertical x

0

log log ( )

lim log log (0 )

a a

a ax

x

x

Nota:

Podemos sempre passar uma função Logarítmica com base entre 0 e 1, para uma função Logarítmica com base maior do que 1.

Basta fazer:

1 1

log log log( ) log log1 log 1log

a a aa

aaa

x x xf x x xa

a

Equações com Logaritmos

log ( ( )) log ( ( )) ( ) ( )a ap x q x p x q x

Por vezes, teremos que recorrer a outras técnicas de resolução de equações:-Definição de Logaritmo-Lei do anulamento do produto- Fórmula resolvente

Importante:Cálculo do Domínio.As soluções têm que pertencer ao DOMÍNIO.

Inequações com Logaritmos

Se a > 1

log ( ( )) log ( ( )) ( ) ( )log ( ( )) log ( ( )) ( ) ( )

a a

a a

p x q x p x q xp x q x p x q x

Se 0 < a < 1

log ( ( )) log ( ( )) ( ) ( )log ( ( )) log ( ( )) ( ) ( )

a a

a a

p x q x p x q xp x q x p x q x

Por vezes, teremos que recorrer a outras técnicas de resolução de inequações:- Quadros de sinais- resolução de inequações do 2.º grau (recurso ao gráfico)

Importante:Cálculo do Domínio.As soluções têm que pertencer ao DOMÍNIO.No final, intersecta-se o conjunto solução com o conjunto do DOMÍNIO.