5/9/2018 Logaritmo Neperiano - slidepdf.com

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Logaritmo Neperiano

John Napier inventou o logaritmo natural (neperiano ou de base e) escolhendo a palavra"LOGARITMO", pelo significado grego das palavras “LOGOS” e “ARITMOS”, razão

e número, respectivamente.

Em 1614, Napier publicou Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Uma Descriçãodo Maravilhoso Cânon de Logaritmos) onde se descreviam logaritmos, um conjunto detabelas e regras para o uso dos mesmos. Esta publicação veio ajudar os astrónomos,evitando erros de cálculos.

Logaritmo natural

O logaritmo natural é o logaritmo de base e, onde e é um número irracionalaproximadamente igual a 2,718281828459045... (chamado Número de Euler). É,portanto, a função inversa da função exponencial. 

O logaritmo natural é definido para todos os números reais estritamente positivos x, eadmite uma extensão como uma função complexa analítica

Em termos simples, o logaritmo natural é uma função que é o expoente de uma potênciade e, e aparece frequentemente nos processos naturais (o que explica o nome "logaritmonatural"). Esta função torna possível o estudo de fenômenos que evoluem de maneiraexponencial.

Apesar do logaritmo natural ser usualmente chamado de logaritmo neperiano, do nomede seu inventor, o matemático escocês John Napier (ou John Naper), este utilizou a base1/ e e não a base e.

O sistema de logaritmos neperianos possui como base o número irracional e (e =2,718...). Esse sistema também é conhecido como sistema de logaritmos naturais, com acondição x > 0. Ele pode ser expresso por:

logex = ln x

Transformando base e para a base decimal.

Considere o número real positivo x, para tal temos:

Através da relação demonstrada, podemos resolver os problemas propostos envolvendoa base decimal e a base e.

Exemplo 1Sabendo que log 5 = 0,70, determine ln5.

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Resolução:ln x = 2,3 * log x → ln 5 = 2,3 * log 5 → ln 5 = 2,3 * 0,70 → ln 5 = 1,61  

 Exemplo 2 

Sendo ln 0,02 = – 3,9, determine log 0,02.Resolução:Se ln x = 2,3 * log x, então:

Exemplo 3Dados log 2 = 0,30 e log e = 0,43, calcule o valor de x na equação ex  – 8 = 0.Resolução:

Exemplo 4Calcular o valor de y na equação,

Resolução:

Exemplo 5A corrente elétrica que atravessa um circuito é dada por i = 10 * e – 0,02*t, em que i0 é ovalor da corrente no instante t = 0 e i é o valor da corrente decorridos t segundos.Determine em quantos segundos a corrente atinge 2% do seu valor inicial. (dado: ln0,02 = – 4)

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Resolução:

A corrente elétrica leva 200 segundos para atingir 2% do seu valor inicial.

Na matemática , número de Euler (pronuncia-se óilar), assim chamado em homenagemao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes donome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano,constante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência à constante foipublicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John

Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas umasimples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação daconstante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para aseguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):

para r = k = 1, ou seja:

ou ainda, substituindo-se n por

,cujo valor é aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287.