FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE RONDÔNIA – UNIR

CAMPUS JI-PARANÁ

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA

JOSÉ HENRIQUE TEIXEIRA

AJUSTE DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE PARA EVAPOTRANSPIRAÇÃO

DE REFERÊNCIA EM UMA REGIÃO NO SUDOESTE DA AMAZÔNIA

Ji-Paraná – RO

2019

i

JOSÉ HENRIQUE TEIXEIRA

AJUSTE DE DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE PARA EVAPOTRANSPIRAÇÃO

DE REFERÊNCIA EM UMA REGIÃO NO SUDOESTE DA AMAZÔNIA

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Departamento de Matemática e Estatística, da Fundação Universidade Federal de Rondônia (UNIR) Campus de Ji-Paraná como parte dos requisitos para obtenção do título de Bacharel em Estatística.

Orientadora: Profa. Dra. Roziane Sobreira do Santos

Ji-Paraná – RO

2019

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação

Fundação Universidade Federal de Rondônia

Gerada automaticamente mediante informações fornecidas pelo(a) autor(a)

Teixeira, José Henrique.

Ajuste de distribuição de probabilidade para evapotranspiração dereferencia em uma região no sudoeste da Amazônia / José Henrique Teixeira. -- Ji-Paraná, RO, 2019.

34 f. : il.

1.ETo. 2.Distribuição de probabilidades. 3.Weibull. 4.Penman-Monteith.5.Kolmogorv-Smirnov. I. Santos, Roziane Sobreira do. II. Título.

Orientador(a): Prof.ª Dra. Roziane Sobreira do Santos

Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Estatística) - FundaçãoUniversidade Federal de Rondônia

T266a

CDU 517.982.4

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________CRB 11.853Bibliotecário(a) Alex Almeida

ii

RESUMO

Esse trabalho objetivou ajustar um modelo de distribuição de probabilidade para a evapotranspiração de referência (ETo). Os dados foram obtidos na estação meteorológica de superfície automática de Cacoal, pertencente à rede de estações do Instituto Nacional de Meteorologia (INMET), compreendendo os anos de 2009 a 2018, no estado de Rondônia. Utilizou-se o método de Penman-Monteith (PM) para estimação da ETo. Para a caracterização da ETo foram utilizadas técnicas estatísticas de descrição e ajuste de distribuição de probabilidade. Para identificar um modelo de função densidade de probabilidade que melhor se ajusta a ETo, deve-se considerar a distribuição e variabilidade dos mesmos, neste estudo foi proposto os modelos de distribuição de probabilidade Normal, Log-normal, Gamma e Weibull. As estimações dos parâmetros das distribuições candidatas foram realizadas utilizando o método de máxima verossimilhança. A aderência dos dados a distribuição proposta foi verificada visualmente pelo diagrama QQ-plot e pelo teste de aderência Kolmogorv-Smirnov (KS) ao nível de 0,05 de significância. Os dados da ETo foram ajustados mensalmente para o período de 2009 a 2018. Os resultados mostraram que a distribuição de probabilidade Weibull, ajustou-se a todos os meses analisados e teve os melhores valores de ajuste. A distribuição normal apresentou bons resultados, porém, não se ajustou aos meses de Junho, Julho e Maio. A distribuição Gamma ajustou-se aos meses de Janeiro, Fevereiro, Março, Agosto, Setembro, Novembro e Dezembro. Verificou-se que a distribuição Log-normal não se ajustou a nenhum dos meses de dados da ETo.

Palavras-Chave: ETo; Distribuição de probabilidades; Weibull; Normal; Gamma; Log-

normal; Penman-Monteith; Kolmogorv-Smirnov.

iii

ABSTRACT

This work aimed to adjust a model of probability distribution for reference evapotranspiration (ETo). The data were obtained from the automatic surface meteorological station of Cacoal, belonging to the network of stations of the National Institute of Meteorology (INMET), comprising the years from 2009 to 2018, in the state of Rondônia. The Penman-Monteith (PM) method was used to estimate ETo. For the characterization of the ETo statistical techniques of description and adjustment of probability distribution were used. In this study the Normal, Log-normal, Gamma and Weibull probability distribution models were proposed. The estimations of the parameters of the candidate distributions were performed using the maximum likelihood method. The adherence of the data to the proposed distribution was verified by the QQ-plot diagram and by the Kolmogorov-Smirnov (KS) adhesion tests at the 0.05 level of significance. The ETo data were adjusted on a monthly basis for the period from 2009 to 2018. The results showed that the Weibull probability distribution, adjusted to all analyzed months and had the best fit values. The normal distribution showed good results, but did not adjust to the months of June, July and May. The Gamma distribution was adjusted for the months of January, February, March, August, September, November and December. It was found that the Log-normal distribution did not fit any of the ETo data months.

Keywords: ETo ; Distribution of probabilities; Weibull; Normal; Gamma; Log-normal;

Penman-Monteith; Kolmogorv-Smirnov.

iv

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

Figura 1. Efeitos da variação marginal dos parâmetros de posição e escala sobre X~N

(μ,σ) ........................................................................................................................... 14

Figura 2. Exemplos de Funções Densidades de Probabilidade Log-Normal ............ 15

Figura 3. Exemplos de Funções Densidades de Probabilidade Gamma .................. 17

Figura 4. Exemplos de Funções Densidades de Probabilidade Weibull ................... 18

Figura 5. Gráfico de barras da precipitação total mensal em mm no período 2009 a

2018 .......................................................................................................................... 21

Figura 6. Box-plot da ETo por mês no período de 2008 a 2018 ............................... 23

Figura 7. Histograma da ETo e curvas de densidade teórica (Normal, Weibull,

Gamma, Lognormal) por mês. ................................................................................... 25

Figura 8. Ajustamento das funções de densidades da ETo, com base no diagrama de

QQ-plot. ..................................................................................................................... 26

v

LISTA DE QUADROS E TABELAS

Tabela 1. Estatísticas descritivas mensal da evapotranspiração de referência (ETo)

em mm d-1, no período de 2009 a 2018. ................................................................... 22

Tabela 2. Teste de Kolmogorov-Smirnov para aderência das distribuições

estatísticas aos dados ............................................................................................... 27

Tabela 3. Valores dos parâmetros por mês das distribuições que se ajustaram aos

dados de ETo em mm d-1 .......................................................................................... 28

vi

LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

Embrapa Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária

ET Evapotranspiração

ETo Evapotranspiração de referência

FAO Organização para a Alimentação e Agricultura das Nações Unidas

INMET Instituto Nacional de Meteorologia

Kc Coeficiente de cultura

KS Kolmogorov-Sminorv

mm dia-1 Milímetro por dia

PM Penman Monteith

vii

LISTA DE EQUAÇÕES

1 Método de Penman-Monteith

2 Constante psicrométrica

3 Pressão atmosférica

4 Declividade da curva de pressão do vapor

5 Coeficiente es do método PM

6 Coeficiente ea do método PM

7 Função de densidade de probabilidade Normal ou Gaussiana

8 Função de densidade de probabilidade Log-normal

9 Função de densidade de probabilidade Gamma

10 Função de densidade de probabilidade Weibull

11 Estatística de teste Kolmogorv-Smirnov (KS)

12 Função de máxima verossimilhança

viii

SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO .................................................................................................... 9

2. OBJETIVOS ..................................................................................................... 10

2.1. OBJETIVO GERAL ..................................................................................... 10

2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS ...................................................................... 10

3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................................................ 11

3.1. EVAPOTRANSPIRAÇÃO ........................................................................... 11

3.2. MODELOS PROBABILÍSTICOS ................................................................ 12

3.2.1. DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSSIANA ................................... 13

3.2.2. DISTRIBUIÇÃO LOG NORMAL ....................................................... 14

3.2.3. DISTRIBUIÇÃO GAMMA ................................................................. 16

3.2.4. DISTRIBUIÇÃO WEIBULL ............................................................... 17

3.3. ADERÊNCIA DOS DADOS ........................................................................ 18

3.3.1. TESTE DE KOLMOGOV-SMIRNOV (KS) ........................................ 18

3.4. ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS ............................................................ 19

4. MATERIAIS E MÉTODOS ................................................................................ 19

5. RESULTADOS E DISCUSÕES ........................................................................ 20

6. CONCLUSÃO ................................................................................................... 29

7. REFERÊNCIAS ................................................................................................ 29

9

1. INTRODUÇÃO

A evapotranspiração (ET) é definida como um processo combinado de

transferência de água para a atmosfera por evaporação da água do solo e por

transpiração das plantas por meio dos estômatos (ALLEN et al., 1998, ALLEN et al.,

2006).

Evapotranspiração (ET) é uma parte importante do ciclo hidrológico. Não se

relaciona apenas com o equilíbrio hídrico e a transformação dos recursos hídricos,

mas também com o balanço energético da superfície terrestre (XU et al., 2006;

ZHANG et al., 2011). Estudos mostram que em torno de 60-65% da precipitação

retorna à atmosfera através de ET (BAUMGARTNER E REICHEL 1975; OKI e KANAE

2006; MIRALLES et al., 2011)

O procedimento para estimar as taxas ET envolve duas etapas: como primeiro

passo, o cálculo da evapotranspiração de referência (ETo) que é realizado usando

dados climáticos regularmente registrados e no segundo passo a ETo é multiplicado

pelo coeficiente de cultura (Kc) que inclui as diferenças entre a cultura de estudo e a

cultura de referência.

Allen et al. (1998) define a ETo como taxa de evapotranspiração de uma

cultura de referência hipotética com uma altura fixa de 0,12 m, uma resistência de

superfície fixa de 70 sm-1 e um albedo de 0,23, semelhante à evapotranspiração de

uma superfície extensa de grama verde de altura uniforme, crescendo ativamente,

bem irrigada e cobrindo completamente o solo.

A Organização para a Alimentação e Agricultura das Nações Unidas (FAO),

definiu o conceito de evapotranspiração de referência (ETo) e padronizou a equação

de Penman Monteith (PM) no boletim 56 (ALLEN et al., 1998; ALLEN et al., 2006). A

partir desse boletim, quando há disponibilidade de dados a equação de Penman-

Monteith é recomendada como o melhor método para calcular a ETo (ALLEN et al.,

1998, DROOGERS e ALLEN, 2002).

O conhecimento da evapotranspiração é essencial para o gerenciamento

eficiente de recursos hídricos, produção agrícola e avaliação ambiental. Continua a

ser ainda mais importante no planejamento e gestão de recursos hídricos. O

planejamento da irrigação deve basear-se na abordagem probabilística e, para isso,

10

é necessário conhecer os valores de ETo nos diferentes níveis de probabilidade.

Portanto, é essencial conhecer a distribuição de probabilidade da ETo. Além disso, a

análise de probabilidade pode ser usada para prever a ocorrência de eventos futuros

a partir dos registros disponíveis (BHAGAT et al., 2014).

Debnath et al. (2015) apresentam em seu estudo, que estimativas precisas da

ETo é a base para a resolução de uma variedade de problemas, tais como o cálculo

da demanda de água da cultura, o planejamento da irrigação, a computação do

balanço hídrico, a avaliação das mudanças no uso da terra, etc.

Diante do exposto, o ajuste de uma função a densidade de probabilidade,

pode oferecer indicações mais precisas sobre a ETo e consequentemente a ET, desde

que se conheça a densidade de probabilidade que melhor descreve seu

comportamento. Dessa forma, objetivou-se verificar o ajuste de distribuições de

probabilidades contínuas a um conjunto de dados de evapotranspiração de referência

diária e fornecer subsídios que auxilie profissionais e outros pesquisadores que

utilizem os conceitos de ET.

2. OBJETIVOS

2.1. OBJETIVO GERAL

Ajustar um modelo de distribuição de probabilidade mensal para a

evapotranspiração de referência (ETo).

2.2. OBJETIVOS ESPECÍFICOS

a) Estimar a evapotranspiração de referência (ETo), através da equação de

Penman-Monteith;

b) Escolher as distribuições de probabilidade aspirantes, com base nas

características da variável e em estudos anteriores;

c) Estimar os parâmetros das distribuições;

d) Aplicar os testes de aderência e identificar as distribuições que melhor se

ajustam a ETo.

11

3. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

3.1. EVAPOTRANSPIRAÇÃO

A evapotranspiração de referência (ETo) expressa a demanda evaporativa da

atmosfera independente da cobertura vegetal do local, sendo afetada somente por

fatores climáticos (ALLEN et al., 1998)

Há uma multiplicidade de métodos para a medição e estimativa de ETo, que

podem ser métodos diretos ou indiretos. A medição direta da ETo, usando lisímetro

ou a abordagem do equilíbrio da água é um processo caro e demorado (ADAMALA et

al., 2014). Portando, com base nas características de localização (altitude e latitude)

e parâmetros meteorológicos, muitos métodos indiretos foram desenvolvidos para

estimativa ETo.

ALLEN et al. (1998) sugerem que quando o conjunto de dados climáticos

necessários estão disponíveis em uma localidade, a ETo é frequentemente calculada

usando o método de combinação Penman-Monteith (PM). Este método é

recomendado como o único método padrão pela Organização das Nações Unidas

para Agricultura e Alimentação (FAO) para a estimativa da ETo, caso todos os dados

necessários estiverem disponíveis.

Os autores Uliana et al. (2017) ressaltam que o método de Penman-Monteith

(PM) é recomendado, pois estudos científicos provaram seu desempenho satisfatório

quando comparados a medidas lisimétricas.

Este modelo é assumido como o padrão para a definição e estimativa da ETo,

o método de PM-FAO requer parâmetros meteorológicos de Radiação, Temperatura,

Umidade do Ar e Velocidade do Vento, conforme a equação:

VV

eeVVT

GRn

ET

as

media

o34.01

273

900408.0

(1)

Em que,

ETo = Evapotranspiração de referência [mm dia-1];

∆ = Declividade da curva de pressão do vapor [kPa °C-1];

12

Rn = Saldo de Radiação à superfície da cultura [MJ m-2 dia-1];

G = Densidade do fluxo de calor do solo [MJ m-2 dia-1];

= Constante psicrométrica [kPa °C-1];

VV = Velocidade do vento [m s-1];

Tmédia = Temperatura média diária do ar [°C];

(es – ea) = Déficit de pressão do vapor de saturação [kPa].

O coeficiente “ “ é calculado empregando-se a expressão:

= 0,665 10-3

Patm (2)

Em que "Patm" é a pressão atmosférica local (kPa) que, por sua vez, pode ser

calculada com base na altitude do local (z):

Patm = 101,3 (293-0,0065 z

293)

5,26 (3)

Onde, "z" é a altitude do local (m).

O valor de “∆” é calculado pela seguinte expressão:

∆= 4098⌈0,6108 𝑒𝑥𝑝(

17,27 𝑇𝑚é𝑑𝑖𝑎𝑇𝑚é𝑑𝑖𝑎+237,3

)⌉

(𝑇𝑚é𝑑𝑖𝑎+237,3)2 (4)

A diferença entre “es” e “ea”. Esses valores podem ser calculados utilizando-

se as seguintes expressões:

𝑒𝑠 = 0,6108 𝑒𝑥𝑝 [17,27 𝑇𝑚é𝑑𝑖𝑎

𝑇𝑚é𝑑𝑖𝑎+237,3] (5)

𝑒𝑎 =𝑒𝑠 𝑈𝑅

100 (6)

Em que “UR” é a Umidade relativa média do ar em (%)

Mediante a quantidade de informações necessárias para estimar a

evapotranspiração de referência (ETo), através do método Penman-Monteith, o uso

de ferramentas estatísticas torna-se indispensável para entendermos o

comportamento e a variabilidade da ETo.

3.2. MODELOS PROBABILÍSTICOS

Segundo Assis et al. (2014), o estudo das distribuições de variáveis aleatórias

é importante para compreensão dos fenômenos meteorológicos, através da qual

pode-se determinar seus padrões de ocorrência e permitir uma previsibilidade

13

razoável do comportamento climático de uma região. Da Silva et al. (2015) destaca

que conhecer a distribuição de frequências da ETo em um local facilita a predição

hidrológica adequada no dimensionamento de sistemas de irrigação e drenagem.

O uso de análises estatísticas nas variáveis aleatórias meteorológicas

observadas ao longo do tempo, servem como forma de se compreender os fenômenos

atmosféricos, determinando seus padrões de ocorrência e propiciando uma adequada

previsibilidade do comportamento do tempo e clima de uma região, é uma ferramenta

de grande valor no planejamento e na gestão de inúmeras atividades agrícolas,

agropecuárias, sociais, de turismo e humanas em geral (ASSIS et al., 2013). Por

exemplo, uma das alternativas para racionalizar o uso dos recursos hídricos em

projetos agrícolas é estimar a perda de água da cultura a partir da estimativa da ETo

(NETO et al., 2005).

O ajuste de distribuição é um procedimento de seleção de uma distribuição

estatística que melhor se adapta a um conjunto de dados gerado por alguns processos

aleatórios. A distribuição de probabilidade é uma ferramenta importante para lidar com

a incerteza e a seleção incorreta da distribuição levará a um resultado errôneo

(KHUDRI e SADIA, 2013).

Segundo Prela-Pantano et al. (2010), calcular a probabilidade de ocorrência

de valores estimados de evapotranspiração é um importante instrumento na tomada

de decisões relacionadas às atividades agropecuárias.

Para o estudo da ETo, as distribuições de probabilidade mais utilizadas

apresentadas na literatura são: Normal, Log-normal, Weibull e Gamma (WILKS, 2006;

JERSZURKI et al., 2012; ASSIS et al., 2014; SANTOS et al., 2014; BHAGAT et al.,

2014; DENSKI e BACK, 2015; JERSZURKI, SOUZA e EVANGELISTA, 2015; DA

SILVA et al., 2015; ULIANA et al., 2017; SOUZA, JERSZURKI e GOMES, 2018).

3.2.1. DISTRIBUIÇÃO NORMAL OU GAUSSIANA

Bussab e Morettin (2010) destacam que a distribuição de densidade de

probabilidade normal ou gaussiana é um dos modelos mais importantes para

representar variáveis aleatórias contínuas, servem como modelo de distribuição para

muitos problemas reais, sua importância na análise matemática resulta de fato muitas

14

técnicas estatísticas, como análise de variância e regressão, além de alguns testes

de hipóteses, que assumem ou exigem a normalidade dos dados.

A distribuição Normal é um modelo com dois parâmetros, cuja função

densidade da distribuição é expressa por:

𝑓(𝑥) =

1

√2𝜋𝜎 𝑒𝑥𝑝 [−

1

2(

𝑥 − 𝜇

𝜎)

2

] 𝑝𝑎𝑟𝑎 − ∞ < 𝑥 < ∞ (7)

Onde,

x= São os valores de ETo, com −∞ < 𝑥 < ∞;

μ= Média dos dados de ETo, com −∞ < 𝜇 < ∞;

σ= Desvio padrão dos dados de ETo, com σ > 0.

Portanto, a média (μ) de uma variável Normal X é igual ao parâmetro de

posição, em torno do qual os valores de X se dispersam simetricamente. O grau com

que a variável X se dispersa em torno de μ, é dado pelo parâmetro de escala, que é

igual ao desvio padrão σ (NAGHETTINI e PINTO, 2007), uma variável aleatória X

normal é denotada por X~N (μ, σ). A Figura 1 exemplifica os efeitos das variações

marginais dos parâmetros de posição e escala da distribuição Normal

Figura 1. Efeitos da variação marginal dos parâmetros de posição e escala sobre X~N (μ,σ) Fonte: Elaboração do autor no software R

3.2.2. DISTRIBUIÇÃO LOG NORMAL

A distribuição log-normal é aplicável a variáveis aleatórias que assumem

valores positivos. Uma abordagem para lidar com dados dispersos é submetê-los a

uma transformação que produz uma distribuição aproximadamente gaussiana. A

aplicação de uma transformação logarítmica, de dados são realizadas para tornar a

15

distribuição de valores mais simétrica e a simetria resultante pode permitir o uso de

técnicas estatísticas que necessitam da pressuposição de normalidade.

A distribuição Log-normal é assimétrica e inclinada positivamente. Em

algumas ocasiões, uma transformação produtiva de simetria pode fazer análises

exploratórias mais reveladoras (FORBES et al., 2011; WILKS, 2006).

A função densidade de uma variável log-normal, X e dada por:

𝑓(𝑥) = {

1

𝑥𝜎𝑦√2𝜋𝑒𝑥𝑝 [−

1

2(

𝑙𝑜𝑔 𝑥 − 𝜇𝑦

𝜎𝑦)

2

] , 𝑠𝑒 𝑥 > 0

0, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 0

(8)

Onde,

x = São os valores da variável ETo, com 𝑥 > 0;

μ𝑦= Média dos logaritmos de x, com −∞ < 𝜇𝑦 < ∞;

σ𝑦= Desvio padrão dos logaritmos de x, com σ𝑦 > 0.

A Figura 2 exemplifica a variação da forma da densidade Log-Normal para

alguns valores específicos de μ𝑦 e σ𝑦.

Figura 2. Exemplos de Funções Densidades de Probabilidade Log-Normal Fonte: Elaboração do autor no software R

16

3.2.3. DISTRIBUIÇÃO GAMMA

A função densidade de probabilidade Gamma pode assumir uma variedade

de formatos dependendo do valor do parâmetro de forma, por exemplo para valores

muito grandes do parâmetro de forma (maiores que 50 a 100), a distribuição Gamma

se aproxima da distribuição normal (WILKS, 2006).

Unindo a versatilidade na forma da distribuição Gamma, o coeficiente de

assimetria da variável é positivo, aliados ao fato da variável aleatória não ser definida

para valores negativos torna a distribuição Gamma uma candidata atraente para

representação de dados hidrológicos e hidrometeorológicos (NAGHETTINI e PINTO,

2007; WILKS, 2006).

A variável aleatória contínua X, assumindo valores positivos, tem função

densidade de distribuição Gamma com parâmetros α > 0 e β > 0 pela equação:

𝑓(𝑥; 𝛼, 𝛽) = {

1

𝛤(𝛼)𝛽𝛼 𝑥𝛼−1𝑒−𝑥/𝛽 , 𝑥 > 0

0, 𝑥 < 0

(9)

Onde,

x = São os valores da variável ETo, com 𝑥 > 0

α = Parâmetro de forma; com 𝛼 > 0;

β = Parâmetro de escala, com 𝛽 > 0.

𝛤(𝛼) = Função gamma

A Figura 3 exemplifica a variação da forma da densidade Gamma para alguns

valores específicos de α e β.

17

Figura 3. Exemplos de Funções Densidades de Probabilidade Gamma FONTE: Elaboração do autor no software R

3.2.4. DISTRIBUIÇÃO WEIBULL

A distribuição Weibull pode ser utilizada para eventos extremos,

principalmente em estudos hidrológicos (DUAN et al., 1998). Também em comum com

a distribuição gamma, o parâmetro de escala atua de maneira similar para esticar ou

comprimir a forma básica ao longo do eixo x, para um determinado valor de α.

A função densidade de probabilidade da distribuição Weibull é dada por:

𝑓(𝑥) = (

𝛼

𝛽) (

𝑥

𝛽)

𝛼−1

𝑒𝑥𝑝 [− (𝑥

𝛽)

𝛼

] , 𝑥, 𝛼, 𝛽 > 0 (10)

Onde,

x = São os valores da variável ETo, com 𝑥 ≥ 0;

α = Parâmetro de forma, com 𝛼 > 0;

β = Parâmetro de escala, com 𝛽 > 0;

A Figura 4 apresenta o gráfico de função densidade de probabilidade para

diferentes valores de α e β. Observa-se que a distribuição Weibull pode representar

tanto dados simétricos como assimétricos à direita.

18

Figura 4. Exemplos de Funções Densidades de Probabilidade Weibull Fonte: Elaboração do autor no software R

3.3. ADERÊNCIA DOS DADOS

3.3.1. TESTE DE KOLMOGOV-SMIRNOV (KS)

Em conjunto com a inspeção visual será empregado o teste estatístico para

indicar se os dados provêm ou não da distribuição em análise. O teste estabelece as

seguintes hipóteses:

H0: Os dados da amostra veem da distribuição especificada

H1: Os dados da amostra não veem da distribuição especificada

O teste estatístico de Kolmogorov-Sminorv (KS) é amplamente utilizado na

literatura para verificar o ajuste de distribuições empíricas (HOLLANDER et al. 2013;

FISCHER et al., 2012; CORDER e FOREMAN, 2009; SU et al. 2009).

O teste KS é baseado na distância entre a função distribuição acumulada

empírica (Fn(x)) dos dados e a função distribuição acumulada teórica (F(x)) de cada

distribuição candidata (CORDER e FOREMAN, 2009; SU et al. 2009; SCHÖNWIESE,

2006). A estatística de teste é o limite superior entre a diferença em valor absoluto

entre F(x) e Fn(x), conforme equação a seguir:

𝐷𝑛 = 𝑚𝑎𝑥𝑥∈𝑅

|𝐹𝑛(𝑥) − 𝐹(𝑥)| (11)

19

3.4. ESTIMAÇÃO DOS PARÂMETROS

As estimações dos parâmetros das distribuições candidatas foram realizadas

utilizando o método de máxima verossimilhança. Fischer et al. (2012) destacam que

este método apresenta os melhores resultados, com menor variância das estimativas.

Martins et al. (2011) afirmam que este método é indicado para estimar parâmetros das

principais distribuições de probabilidade em estudos hidrológicos.

A máxima verossimilhança é um dos procedimentos mais usados para a

obtenção de estimadores. Considerando uma população e um variável aleatória X,

relacionada a essa população, com função densidade de probabilidade 𝑓(𝑥, 𝜃), onde

θ é o parâmetro desconhecido. Então, a partir de uma amostra aleatória simples de

X, e tamanho n, X1, …, Xn e sejam x1, ..., xn os valores observados (HOLLANDER et

al. 2013).A função de verossimilhança L é definida por:

𝐿(𝜃; 𝑥1, … , 𝑥𝑛) = 𝑓(𝑥1; 𝜃) × … × 𝑓(𝑥𝑛; 𝜃) = ∏ 𝑓(𝑥𝑖; 𝜃)

𝑛

𝑖=1

(12)

O estimador de máxima verossimilhança pode ser encontrado seguindo os

passos:

Encontrar a função de verossimilhança;

Aplicar o logaritmo;

Fazer a derivada em relação ao parâmetro θ;

Igualar o resultado a zero;

E por fim verificar que este estimador é ponto de máximo.

4. MATERIAIS E MÉTODOS

Foram utilizados dados da estação meteorológica de superfície automática de

Cacoal, localizada na latitude -11,45º sul e longitude -61,43º oeste, a 184 metros de

altitude, pertencente à rede de estações do Instituto Nacional de Meteorologia

(INMET), no estado de Rondônia. Os dados foram analisados em base mensal,

referentes ao período de 2009 a 2018.

A partir dos dados disponíveis da estação meteorológica de Cacoal, a

estimativa da ETo diária foi obtida através do modelo PM-FAO apresentado por Allen

e seus colaboradores no Boletim da FAO No 56 (ALLEN et al., 1998) conforme a

20

Equação (1). Foi seguido o roteiro da Embrapa para o cálculo da evapotranspiração

de referência pelo método de PM-FAO (CONCEIÇÃO, 2006).

Devido ao número de parâmetros meteorológicos (radiação solar, velocidade

do vento, umidade relativa e a temperatura do ar) necessários para estimação da ETo

por meio do método PM-FAO, foi encontrado durante o processo de estimação da ETo

a ausência ou falha dos valores referentes aos parâmetros meteorológicos, portanto,

o mês foi considerado completo caso, o número de ausência/falha dos dados fossem

menor ou igual a 5 dias no mês. Logo, os meses que apresentaram 5 dias ou mais de

valores ausentes, o mês foi descartado da análise.

Para a caracterização da ETo foram utilizadas técnicas estatísticas de

descrição e ajuste de distribuição de probabilidade. Para identificar a função

densidade de probabilidade que melhor se ajusta a ETo, considerou-se a distribuição

e variabilidade dos mesmos, foi proposto os seguintes modelos probabilísticos:

Normal (Gaussiana), Lognormal, Gamma e Weibull.

A estimação dos parâmetros das distribuições candidatas foi realizada

utilizando o método de máxima verossimilhança (HOLLANDER et al., 2013; FISCHER

et al., 2012).

A aderência dos dados as distribuições propostas, foi verificado visualmente

pelo diagrama QQ-plot (quantil-quantil) e pelo teste estatístico de Kolmogorov-

Smirnov (KS) ao nível de 5% de significância para indicar se os dados provêm ou não

da distribuição em análise. Para escolha do melhor ajuste das distribuições candidatas

aos dados, foi observado o p-valor do teste.

Inicialmente as tabulações e o arranjo dos dados foram feitos em planilha

eletrônica, e as análises e gráficos realizados no software livre R (R TEAM CORE,

2018). Para o ajuste das distribuições aos dados de ETo utilizou-se o pacote

“fitdistrplus” (DELIGNETTE-MULLER et al., 2015).

5. RESULTADOS E DISCUSÕES

A estimação da evapotranspiração de referência (ETo), foi obtida através do

método de PM-FAO, a partir dos dados da estação meteorológica de superfície

automática de Cacoal, além da estimação da ETo, foi realizado uma breve análise

gráfica com os dados de precipitação com o objetivo de definir os meses chuvosos e

21

secos na região e comparar a precipitação com as taxas de evapotranspiração,

posteriormente foi realizado a caracterização mensal da variável ETo, durante o

período de 2009 a 2018. A Figura 5 apresenta a distribuição de precipitação mensal

em mm.

Figura 5. Gráfico de barras da precipitação total mensal em mm no período 2009 a 2018 Fonte: Elaboração do autor no software R

Pela Figura 5 é possível identificar que a estação chuvosa é bem definida,

entre os meses de dezembro e março com maior volume de precipitação, e a estação

seca entre junho e agosto com menor volume de precipitação. Furlan (2009)

apresenta em seus estudos que os meses de Junho, Julho e Agosto são os mais

secos, Maio e Setembro como meses de transição e os meses de Dezembro a Março

como chuvosos.

A descrição estatística dos dados da ETo está resumida na (Tabela 1), onde

é enunciado os meses, número de observações (Obs), média, variância, desvio

padrão, mediana, mínimo, máximo, curtose e assimetria.

22

Tabela 1. Estatísticas descritivas mensal da evapotranspiração de referência (ETo) em mm d-1, no período de 2009 a 2018.

Meses *Obs Média Variância Desvio Padrão

Mediana Mínimo Máximo Curtose Assimetria

Jan 274 4,64 1,41 1,19 4,70 1,70 7,41 -0,58 -0,17

Fev 274 4,44 1,47 1,21 4,50 1,30 7,55 -0,35 -0,13

Mar 303 4,58 1,18 1,09 4,65 1,78 7,16 -0,41 -0,24

Abr 269 4,62 0,93 0,97 4,75 1,84 6,67 -0,22 -0,42

Mai 248 4,18 0,74 0,86 4,33 1,01 5,78 1,08 -0,92

Jun 210 4,30 0,36 0,60 4,44 2,12 5,20 1,57 -1,28

Jul 279 4,71 0,37 0,61 4,82 1,87 6,10 2,80 -1,20

Ago 216 5,37 0,32 0,57 5,45 2,91 6,79 1,76 -0,72

Set 236 5,61 0,73 0,85 5,64 1,47 7,70 2,05 -0,85

Out 217 5,43 1,44 1,20 5,62 2,10 7,43 0,04 -0,76

Nov 267 5,10 1,67 1,29 5,19 1,81 7,78 -0,63 -0,24

Dez 248 4,81 1,68 1,29 4,94 1,35 7,87 -0,46 -0,28

*Obs= número de observações por dia no período 2009 a 2018

Fonte: Elaboração do autor no software R

A Tabela 1 apresenta o número de observações diárias (Obs), da ETo por

mês durante o período de 2009 a 2018. Os meses de Junho, Agosto e Outubro são

os meses em que ocorreram o maior número de ausências/falhas nos dados das

variáveis climáticas necessários para estimar a ETo. O total de dias em que foi

possível estimar ETo para esses meses foi de 210, 216 e 217 dias, respectivamente.

Assim, os números de observações mensais variam devido as ausências/falhas nos

dados meteorológicos para estimar a ETo.

A mediana, assimetria e Curtose (Tabela 1), são úteis para verificar se os

dados têm características de uma distribuição normal. A mediana dos meses próximas

as suas respectivas médias, indica que os valores da ETo estão próximos do centro

da distribuição. Os valores de assimetria próximos de 0 e curtose próximos de 3

também são características de uma distribuição normal. A curtose indica o grau de

“achatamento” de uma distribuição e a assimetria remete ao grau de simetria da

distribuição da ETo. Quando a curva é simétrica (igual a 0), a média, mediana e a

moda coincidem, num mesmo ponto.

Os valores médios mensais da ETo (Tabela 1) apresentaram variações ao

longo dos meses, sendo Agosto, Setembro e Outubro os meses em que a

evapotranspiração foi maior. Os maiores valores obtidos para as médias da ETo foi

5,37 mm d-1 em Agosto, 5,61 mm d-1 em Setembro e 5,43 mm d-1 em Outubro. As

23

menores médias da ETo, ocorre nos meses de Maio e Junho, com valores de 4,18

mm d-1 e 4,30 mm d-1, respectivamente. Para o restante dos meses, os valores médios

estão dentro do intervalo de 4,30 mm d-1 a 5,37 mm d-1. Nota-se também que o valor

mínimo da ETo foi de 1,01 mm d-1 no mês de Maio e o máximo foi de 7,87 mm d-1 em

Dezembro.

A variância e o desvios padrão são medidas utilizadas para medir a dispersão

dos dados em torno de sua média. Os resultados para variância e desvio padrão estão

abaixo de 1,67mm d-1 e 1,29mm d-1, respectivamente. Quanto menor são esses

valores mais próximos os valores de ETo estão da média. Nota-se que os meses de

seca (Junho a Agosto) apresentam os menores valores de variância e desvio padrão

(Tabela 1).

Para analisar melhor o comportamento da ETo mensal durante o período de

2009 e 2018 foi elaborado um diagrama de box-plot (Figura 6). O box-plot dá uma

ideia da posição, dispersão, assimetria, caudas e dados discrepantes dos dados

(MORETTIN e BUSSAB, 2010).

Figura 6. Box-plot da ETo por mês no período de 2008 a 2018 Fonte: Elaboração do autor no software R

24

A linha no centro do retângulo na Figura 6 indica o valor de posição que é

dado pela mediana, além disso a posição da mediana dentro retângulo, informar sobre

a simetria da distribuição dos valores de ETo, onde, uma distribuição simétrica teria a

mediana no centro do retângulo (NAGHETTINI e PINTO, 2007). Logo, nota-se que os

meses chuvosos parecem ser mais simétricos em relação aos meses seco.

E em relação a dispersão da ETo, pelo diagrama de Box-plox (Figura 6)

observa-se que os meses de secas apresentam uma variabilidade menor, porém, é

possível identificar alguns pontos discrepantes (Outliers), sendo um indicativo para

uma possível falta de ajuste da distribuição Normal nos meses de seca. Como todos

os valores estão próximos devido à baixa variabilidade, a média é muito afetada por

qualquer valor que seja muito diferente dos demais no conjunto de dados da ETo.

Quando se tem esses valores extremos, deve-se evitar usar a média (LEVINE et al.,

1999).

A escolha das distribuições de probabilidade candidatas para o estudo do

conjunto de dados da ETo, foi fundamentada através das estatísticas de descrição,

gráficos empíricos e recomendações literárias. Para verificar o ajuste de distribuição

que melhor se adequa aos dados da ETo por mês, foi elaborado o Histograma e QQ-

Plot (Figura 7 e Figura 8). As distribuições de probabilidade proposta foram os

seguintes modelos: Normal (Gaussiana), Weibull, Gamma e Lognormal.

25

Figura 7. Histograma da ETo e curvas de densidade teórica (Normal, Weibull, Gamma, Lognormal) por mês. Fonte: Elaboração do autor no software R

26

Figura 8. Ajustamento das funções de densidades da ETo, com base no diagrama de QQ-plot. FONTE: Elaboração do autor no software R

27

Na Figura 7 é apresentado a forma geral da distribuição da ETo por mês

através dos gráficos de histograma e as linhas de densidade teórica das distribuições

propostas para o ajuste. Verificou-se que as funções de distribuição de probabilidade

Weibull e Normal, visualmente, são as que melhor se ajustam a forma geral da

distribuição da ETo por mês.

Os gráficos de QQ-plot (Figura 8) é uma ferramenta gráfica para avaliar se um

conjunto de dados veio de alguma distribuição teórica. Pode-se notar, assim como

nos histogramas (Figura 7) as distribuições Weibull e Normal parecem ser as que

melhor se ajustam aos dados da ETo, pois os pontos estão mais próximos da reta.

Também é possível notar que a distribuição Log-normal não aparenta ajuste a nenhum

dos meses, pois contém muitos pontos fora no começo e fim da reta em todos os

meses observados.

Embora os gráficos de Histograma e QQ-plot possam identificar a forma geral

da distribuição e permite visualizar se a suposição de ajuste é plausível, não é possível

inferir em relação aos dados da ETo, pois ambos os gráficos são baseados na

observação do pesquisador e torna-se algo subjetivo. Dessa forma, para avaliar e

quantificar o ajustamento das distribuições de probabilidade em cada mês, foi aplicado

o teste de Kolmogorov-Smirnov (KS) utilizando α = 5% de significância para a

aceitação do teste (Tabela 2).

Tabela 2. Teste de Kolmogorov-Smirnov para aderência das distribuições estatísticas aos dados

** Não houve ajuste de distribuição. Fonte: Elaboração do autor no software R

1 - Distribuição p-valor 2 - Distribuição p-valor 3 - Distribuição p-valor 4 - Distribuição p-valor

Jan Weibull 0,902 Normal 0,637 Gamma 0,117 ** **

Fev Weibull 0,982 Normal 0,785 Gamma 0,06 ** **

Mar Weibull 0,989 Normal 0,776 Gamma 0,137 ** **

Abr Weibull 0,925 Normal 0,279 ** ** ** **

Mai Weibull 0,199 ** ** ** ** ** **

Jun Weibull 0,101 ** ** ** ** ** **

Jul Weibull 0,431 ** ** ** ** ** **

Ago Weibull 0,514 Normal 0,279 Gamma 0,09 ** **

Set Weibull 0,994 Normal 0,554 Gamma 0,107 ** **

Out Weibull 0,545 Normal 0,104 ** ** ** **

Nov Weibull 0,824 Normal 0,676 Gamma 0,103 ** **

Dez Weibull 0,893 Normal 0,73 Gamma 0,069 ** **

MesesTeste de Kolmogov-Smirnov

28

A regra de decisão do teste é se o p-valor > 0,05 não rejeita H0. Logo, quando

o p-valor > 0,05 significa que há evidências de que a distribuição se ajusta aos dados

de ETo por mês ao nível de 5% de significância. A Tabela 2 apresenta em ordem as

distribuições que melhor se ajustaram ao determinado mês, para ordenar levou-se em

conta o p-valor, quanto maior o p-valor melhor o ajuste da distribuição.

Portanto a distribuição estatística Weibull é a que melhor se ajusta aos dados

de ETo, sendo a única distribuição que se ajustou em todos os meses. A distribuição

normal não se ajustou aos meses de Maio, Junho e Julho. A distribuição Gamma não

se ajustou aos meses de Abril, Maio, Junho, Julho e Outubro. E verificou-se que não

foi possível ajustar a distribuição Log-Normal em nenhum dos meses.

Na Tabela 3 é apresentado os valores estimados dos parâmetros das

distribuições de probabilidade que se ajustou aos dados de ETo por mês. Os

parâmetros das distribuições foram estimados pelo método de máxima

verossimilhança.

Tabela 3. Valores dos parâmetros por mês das distribuições que se ajustaram aos dados de ETo em mm d-1

** Não houve ajuste de distribuição. Fonte: Elaboração do autor no software R

Dentre as distribuições que se ajustaram aos dados de ETo mensal, a

distribuição Gamma foi a que apresentou os menores valores de ajuste. Todavia, a

α β μ σ α β

Jan 4,48 5,09 4,64 1,19 13,67 2,95

Fev 4,15 4,88 4,44 1,21 11,78 2,66

Mar 4,86 5,00 4,58 1,09 15,87 3,46

Abr 5,67 5,00 4,62 0,97 ** **

Mai 6,09 4,51 ** ** ** **

Jun 9,91 4,54 ** ** ** **

Jul 9,70 4,95 ** ** ** **

Ago 10,97 5,62 5,37 0,57 82,99 15,45

Set 7,94 5,96 5,61 0,85 36,45 6,50

Out 5,69 5,89 5,43 1,20 ** **

Nov 4,59 5,59 5,10 1,29 13,87 2,72

Dez 4,31 5,29 4,81 1,29 11,85 2,46

MesesWeibull Normal Gamma

29

distribuição Gamma ajustou-se em todos os meses chuvosos e aos meses de Agosto,

Setembro e Novembro.

Verificou-se que a distribuição Log-normal não se ajustou a nenhum dos

meses de dados da ETo. Logo, a distribuição Log-normal não é uma boa candidata

para representar os dados de ETo mensal na região analisada.

Através das estimativas dos parâmetros para cada distribuição ajustada da

ETo por mês (Tabela 3), é possível calcular a característica de uma dada amostra,

com este cálculo é possível resumir informações sobre a população desconhecida.

Além disso, a análise de probabilidade pode ser usada para prever a ocorrência de

eventos futuros a partir dos registros disponíveis.

6. CONCLUSÃO

Pelos gráficos de Histograma, QQ-plot e o teste de Kolomorov-Smirnov (KS)

ao nível de 5% de significância, a função de densidade de probabilidade Weibull é a

distribuição candidata com os melhores resultados de ajuste aos dados de ETo por

mês. A distribuição Weibull ajustou-se a todos os meses analisados e teve os

melhores valores de ajuste.

Para a distribuição normal, foi verificado que os melhores valores do ajuste

ocorreram principalmente nos meses chuvosos (Dezembro a Março). E verificou-se

pelo teste de KS que a distribuição normal não se ajustou aos meses de Junho, Julho

e Maio, sendo dois deles meses de seca (Junho e Julho) e um mês de transição

(Maio), assim a distribuição Normal não é uma boa candidata para representar os

dados de ETo nos meses de Junho, Julho e Maio.

A distribuição Gamma, ajustou-se em todos os meses chuvosos e aos meses

de Agosto, Setembro e Novembro. E a distribuição Log-normal não se ajustou a

nenhum dos meses de dados da ETo.

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