FUNDAMENTOS DAMATEMÁTICA A

Rio de Janeiro / 2007

TODOS OS DIREITOS RESERVADOS À

UNIVERSIDADE CASTELO BRANCO

VICE-REITORIA DE ENSINO DE GRADUAÇÃO E CORPO DISCENTE

COORDENAÇÃO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

SUMÁRIO

Qudro-síntese do conteúdo programático ................................................................................................................. 04

Contextualização da disciplina ..................................................................................................................................... 05

UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE I I I I I

RELAÇÕES BINÁRIAS

1.1 - Sistema cartesiano ortogonal ............................................................................................................................. 061.2 - Produto cartesiano ................................................................................................................................................ 081.3 - Relação binária ....................................................................................................................................................... 08

UUUUUNIDADENIDADENIDADENIDADENIDADE II II II II II

FUNÇÕES

2.1 - Introdução ............................................................................................................................................................... 112.2 - Definição ............................................................................................................................................................... 112.3 - Gráfico de funções ............................................................................................................................................... 152.4 - Funções crescentes e decrescentes ................................................................................................................. 162.5 - Função constante ................................................................................................................................................. 172.6 - Função afim ........................................................................................................................................................... 172.7 - Função quadrática ................................................................................................................................................ 192.8 - Funções modulares .............................................................................................................................................. 24

Glossário ................................................................................................................................................................. 25

Gabarito .................................................................................................................................................................... 26

Referências Bibliográficas ..................................................................................................................................... 31

Quadro-síntese do conteúdoprogramático

UNIDADES DE PROGRAMA OBJETIVOS

1 - Relações Binárias

2 - Funções

3 - Trigonometria

Possibilitar ao aluno a recordação dos conceitos de parordenado, relação e função.

Estudar as formas de reconhecer quando uma relação é umafunção e aprender a traçar gráficos corretamente.

Estudar as funções trigonométricas e as relações entre elas.

Contextualização da Disciplina

Ao elaborarmos este instrucional, procuramos apresentar a teoria de modo resumido, enfatizando os exercíciose suas resoluções, evitando o excessivo formalismo. Acreditamos ter conseguido um bom desenvolvimentoseqüencial das unidades, mantendo um rigor coerente com o nível para o qual o material é proposto. O objetivoé fazer com que o aluno domine as idéias básicas da disciplina de Fundamentos da Matemática A extremamentenecessárias para o bom desempenho das disciplinas do curso.

5UNIDADE I

RELAÇÕES BINÁRIASRELAÇÕES BINÁRIASRELAÇÕES BINÁRIASRELAÇÕES BINÁRIASRELAÇÕES BINÁRIAS

1.1 – 1.1 – 1.1 – 1.1 – 1.1 – Sistema Cartesiano Ortogonal

Considerando dois elementos a e b podemos, admitir a existência de um terceiro elemento (a,b) que denominamospar ordenado. Dois pares ordenados (a,b) e (c,d) são iguais se, osprimeiros elementos de cada par forem iguais, isto é, a = c, e se os segundos elementos de cada par tambémforem iguais, ou seja, b = d.

Logo: (a,b) = (c,d) ⇔ a = c e b = d.

Com base no que foi apresentado acima, devemos observar que (2,3) ≠ (3,2), embora os conjuntos {2,3} e{3,2} sejam iguais.

Todo o par ordenado pode ser representado por um ponto no plano cartesiano.

O plano cartesiano é um plano α no qual consideramos dois eixos x e y perpendiculares entre si. Seja o pontoO, o ponto de intersecção desses eixos, denominado origem do plano cartesiano.

Temos:

• Plano α → Plano cartesiano;• Eixo x → eixo das abscissas (Ox);• Eixo y → eixo das ordenadas (Oy);• O → origem;• a → abscissa do ponto P;• b → ordenada do ponto P;• (a, b) → coordenadas do ponto P;

À direita da origem temos os números positivos e, à esquerda, números negativos. Acima da origem temosnúmeros positivos e, abaixo, números negativos.

6Exemplos

1) Representar, no plano cartesiano, os seguintes pontos: A(2, 5), B(– 5,1), C(– 3, – 3) e D(2, – 3).

2) Representar, no plano cartesiano, os seguintes pontos: G(3, 0), H(–3, 0), I (0, 3) e J(0, –3).

Cada uma das quatro regiões determinadas pelos eixos x e y são chamadas quadrantes.

71.2 – 1.2 – 1.2 – 1.2 – 1.2 – Produto Cartesiano

1.3 – 1.3 – 1.3 – 1.3 – 1.3 – Relação Binária

Sejam A e B dois conjuntos não vazios. Denominamos produto cartesiano de A por B o conjunto A x B,formado por pares ordenados onde o primeiro elemento de cada par pertence a A e o segundo elemento de cadapar pertence a B.

Simbolicamente, temos:

A x B = {(x,y) x ∈ A e y ∈ B}

1) Se A = { 2,4,5,7} e B = { 2,3} . Determine A x B e B x A:a) A x B = { (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (5,2), (5,3), (7,2), (7,3) }b) B x A = { (2,2), (2,4), (2,5), (2,7), (3,2), (3,4), (3,5), (3,7)}

Exemplos:

2) Se A = { 2,4,5} . Determine = A x A2A

2A = {(2,2), (2,4), (2,5), (4,2), (4,4), (4,5), (5,2), (5,4), (5,5)}

Observe que:

- Se A e B são conjuntos diferentes, então A x B ≠ B x A;- Se A tem p elementos e B tem q elementos A x B tem p.q elementos;

Dados dois conjuntos A e B não-vazios, chama-se Relação Binária de A em B, a qualquer subconjunto R deA x B.

Exemplos:

1) Dados os conjuntos A = { 2,4,5,7} e B = { 2,3}, verifique se os conjuntos abaixo representam relações de A em B:

a) R = { (2,2), (4,2), (5,3), (7,2)}b) S = { (2,2), (4,2), (7,4)}c) T = {(4,3)}

Soluções:a) R é relação de A em B, pois R ⊂ A x B, todos os elementos de R são elementos de A x B;b) S não é relação de A em B, pois S ⊄ A x B, o elemento (7,4) está em S e não está em A x B;

c) T é relação de A em B, pois T ⊂ A x B.

8

A (3, 2)

B (–1, 4)

C (–3, –1)

D (4, –5)

E (0, 3)

F (–1, 0)

G (4, 0)

H (0, –4)

I (0, 0)

Exercícios de Fixação

2) Se A = {0, 1, 2, 3} e B = {1, 2, 4}, determine os elementos da relação R = {(x,y)∈ AxB x≥y}, o domínio e aimagem, utilizando a diagrama de Venn que aparece a seguir.

Solução:

R = { (1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,2) }D(R) = {1,2,3} e Im(R) = {1,2}

Obs.: O domínio da relação R é formado por todos os valores de x de cada par pertencente a R e a imagem darelação R é formado por todos os valores de y de cada par pertencente a R, ou seja:

Domínio da Relação: D(R) = {x / (x,y) ∈ R}Imagem da Relação: Im(R) = {y / (x,y) ∈ R}

1) Localizar no plano cartesiano os seguintes pontos:

2) Sejam os conjuntos A = {–2, –1, 0, 1} e B = {0, 2}. Determine:

a) A x B

b) B x A

c)

d)

2A2B

9

Exercícios de Auto-Avaliação

3) Se A x B = { (0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (5, 2), (5, 3)}. Determine os conjuntos A e B:

4) Se A ⊂ B e B tem 5 elementos, qual o número máximo de elementos de A x B?

5) Dados os conjuntos :

a) A relação

b) A relação

{ }2/ x ),( xyBAyxR =∈=

{ } { } determine ,4,3,2,1,0 e 2,1,0,1,2 =−−= BA

{ }12/ x ),( +=∈= xyBAyxR

6) Determine o domínio e a imagem de cada relação do 5º exercício:

7) Sejam os conjuntos { } { }.3,2,0 e 2,1,0 == BA Determine a relação R de A em B definida por x < y:

8) O produto cartesiano foi definido com os conjuntos A e B não vazios, se A ou B fossem vazios, como ficaria A x B?

9) Antes de passar para a próxima unidade, veja se você consegue definir o que é uma função e verificar quais relações dos exercícios anteriores (5 e 7), são funções, justificando a sua resposta:

1) Sabendo-se que A x B = {(0,2), (0,4), (0,6), (1,2), (1,4), (1,6)}, determine os conjuntos A e B:

2) Se A = {0,2} e B = (0,2,3}, determine (A ∪ B) x B:

3) Dados A = {0,1,2}, B = {1,2,3} e C = {4,5,6}, determine:

a) (A ∩ B) x C b) (B ∩ C) x A c) (C ∪ A) x (B – A)

4) Um conjunto A tem 5 elementos e um outro conjunto B, tem 4 elementos. Determine o número de elementos de:

a) A x B c) A² b) B x A d) B²

5) Um conjunto A possui (x – 6) elementos; um conjunto B possui (3x + 1) elementos. Calcule x, sabendo-se que A x B tem 124 elementos:

6) Um homem tem cinco camisas e três calças. De quantas maneiras diferentes ele poderá vestir-se, usando, cada vez, uma calça com uma camisa?

7) Dados os conjuntos A = {–2, –1, 0, 1} e B = {–1, 0, 1, 2, 3, 4}, determine as relações abaixo, o seu domínio e a sua imagem:

a) R = {(x,y)∈ A x B y = x + 1} b) S = {(x,y) ∈ A x B x ≥ y} c) T = {(x,y) ∈ A x B x² + y² = 3}

8) Dados A = {x ∈ N x ≤ 10} e a relação R = {(x,y) ∈ A² | x + 2y = 10}, determine o domínio e a imagem da relação:

9) Calcule os valores de x e y de modo que: (5x + 2y, 2x + y) = (12, 5):

10) Localize, no plano cartesiano, os pontos A(0, 0), B(0, 6), C(6, 6), D(9, 10) e E(9, 0). Calcule a área e o perímetro da figura formada pela união dos pontos A, B, C, D, E e A:

10 UNIDADE II

FUNÇÕES FUNÇÕES FUNÇÕES FUNÇÕES FUNÇÕES

2.12.12.12.12.1 – Introdução

2.22.22.22.22.2 – Definição

A noção de função é fundamental em Matemática. As funções estão no nosso dia-a-dia mesmo que nós nãonos apercebamos disso.

Vejamos alguns exemplos:

a) A quantidade de combustível consumida por um automóvel é função da distância que ele percorre; b) O valor da conta de luz depende, de uma forma determinada, da quantidade de energia que usamosnaquele período, ou seja, a quantia paga é função da quantidade de energia usada. c) O preço de uma corrida de táxi é função da distância percorrida;

d) A nota de um aluno na prova depende da quantidade de acertos que ele teve.

Na própria Matemática, temos exemplos:

a) A área de um círculo depende do tamanho do raio r, que é dada por A = ð.r2. Podemos dizer que a área é função do raio, ou seja, A = f(r).

b) A área do quadrado depende do tamanho do lado l do quadrado, que é dado por A = l2. Logo, a área do quadrado é função do lado, ou seja, A = f(l).

Muitas vezes, obtém-se uma função através de uma equação. Por exemplo, a relação entre a medida C datemperatura em graus Celsius e a medida F da mesma temperatura, em graus Fahrenheit, é definida como sendo:

5

C

9

32F =− vejamos, )F(fCou )C(fFescrever Podemos ==

Se

Se

)(

9

)32.(5FfC

FC =→−=

ou

Dados dois conjuntos A e B, não vazios, uma função f: A → B é uma correspondência que, a cada elementox∈ A, associa um único elemento y∈ B. O conjunto A (conjunto de partida) é chamado domínio da função f eo conjunto B (conjunto de chegada) é chamado contradomínio da função f. Como indicamos a função por f,temos y = f(x).

:

11Como x é livre para variar no domínio da função, dizemos que x é variável independente, e que y, por estar

dependendo de x, é a variável dependente. O conjunto dos elementos de B que estão associados por f a algumelemento de A, é chamado conjunto imagem de f.

Em símbolos, podemos escrever:

f: A → B ⇔ ∀ x ∈ A, ∃ y ∈ B | (x,y) ∈ f ou f: A → B ⇔ ∀ x ∈ A, ∃ | y ∈ B | y = f(x).

Temos: D(f) = A, CD(f) = B e Im(f) =

{ }f)y,x( By ∈∈

Exemplos:

1) Sejam os conjuntos A = {-1,0,1,2} e B = {1,2,3,4}. Verifique se a relação R de A em B definida por y = x2 + 1 é uma função, justificando a sua resposta:

Solução:

Não é função, porque nem todo elemento de A tem correspondente em B, observe que a imagem de 2 seria o 5,mas o elemento 5 não pertence ao conjunto B.

2) Verifique se a relação de cujo gráfico que aparece abaixo é uma função:B,R emA R ==+

Solução:

Não é função pois existem elementos de A com dois correspondentes em B.

123) Sejam os conjuntos A = {-3,-1,1,3} e B = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Seja a função f: A → B, definida por

y = x2. Determine o conjunto imagem da função:

Solução:

Se y = x2 , temos: y = (-3)2 = 9 y = (-1)2 = 1 y = 12 = 1 y = 32 = 9 Logo, o conjunto imagem é Im = {1,9}.

4) Seja a função .23)(por definida : +−=→ xxfRRf Determine:

a) );0()2( ff +−

b) O elemento x do domínio tal que :10)( −=xf

Soluções:

a) Temos: .220.3)0( e 82)2.(3)2( =+−==+−−=− ff Logo: .1028)0()2( =+=+− ff

b) Queremos determinar o elemento do domínio cuja imagem é – 10. Então: 4. 123 1023 =⇒−=−⇒−=+− xxx

5) O aluguel de um carro, por um período de 30 dias, em uma locadora, é 750 u.m. (unidade monetária), acrescido de uma taxa de 2 u.m. por quilômetro rodado. Sabendo-se que uma pessoa ficou um mês com ocarro alugado. Determine:

a) Uma lei de associação para essa função; b) O valor a ser pago no final do período, se ele rodar 465 km; c) O número de quilômetros que ele rodou, sabendo-se que pagou 1350 u.m.

Soluções:

a) y = 750 + 2 . x, onde x representa o número de quilômetros rodados. b) y = 750 + 2 . 465 ⇒ y = 1680 u.m. c) 750 + 2 . x = 1350 ⇒ 2 . x = 600 ⇒ x = 300 km

Exercícios de Fixação

1) Sejam os conjuntos A = { 0,1,2,3,4} e B = { -1,0,1,2,3,4,5,6,7,8} . Seja a função f: A → B definida por y = 2x – 1. Determine:

a) o diagrama de Venn de f; b) o conjunto imagem de f.

2) Seja a função f: R → R (sendo R o Conjunto dos Números Reais) definida por f(x) = x2 – 3x + 4. Determine:

( )( )

3 c)

31 b)

2 a)

−−

f

f

f

133) Seja a função f: R → R (sendo R o Conjunto dos Números Reais) definida por .5

32)(

−= xxf Qual é o

elemento do domínio que tem 4

3− como imagem?

4) Seja a função f: R → R (sendo R o Conjunto dos Números Reais) assim definida:

+

−=

,122

,12)(

x

xxf

se

se

1

1

≥

<

x

x

Calcule:

5) Para estudar a capacidade de aprendizagem dos animais, um grupo de alunos de Psicologia fez uma experiênciana qual um rato branco era colocado, repetidamente, em um labirinto. Os estudantesnotaram que o tempo (em minutos) requerido para o rato percorrer o labirinto, na n-ésima tentativa, era de

aproximadamente .n

123 )n(t +=

Pede-se: a) O domínio da função;

b) O tempo que o rato gastou para percorrer o labirinto na 3ª tentativa; c) Em que tentativa o rato gastou 4 minutos para percorrer o labirinto.

6) Uma fábrica produz p(t) = (t² + 2t) pares de sapatos após t horas do início de suas atividadesdiárias. Se a fábrica começa a funcionar às 8 horas da manhã, responda:a) Quantos pares de sapatos são produzidos até às 10h da manhã?b) Quantos pares de sapatos são produzidos até às 11h da manhã?c) Quantos pares de sapatos são produzidos entre 10 e 11h?

7) O perímetro de um retângulo de largura x e comprimento y é 36 cm. Encontre a função que dá a área do retângulo em função da largura x:

8) Freqüentemente se diz: considere uma função f dada por f(x), o que significa “uma expressão contendo x”, semmenção ao domínio da função. Neste caso, supõe-se que tal domínio é formado por todos osvalores de x para os quais a expressão pode ser calculada. Em esta observação, determine o domínio dasseguintes funções:

a) x

xf−

=1

1)(

b)25

2)(

2 −+=

x

xxf

c) 34)( 2 +−= xxxf

d) 3 63)( −= xxf

e) 123)( +−= xxf

f)23

2

+=

xy

f (0); f (-1) e f (1)

14 2.32.32.32.32.3 – Gráfico de Funções

Podemos descrever uma função por meio de um gráfico, no plano cartesiano. Gráfico é um conjunto de pontoscujas abscissas são elementos do seu domínio e cujas ordenadas são os correspondentes elementos de suaimagem.

Exemplos:

a) D , )( Rxxf == b)

Devemos recordar que para uma relação ser uma função, todo elemento pertencente ao seu domínio devecorresponder a um único elemento no seu contradomínio. Logo, observe que se você traçar uma reta perpendicularao eixo das abscissas ela deverá interceptar o gráfico no máximo em um ponto.

Observe que a relação ao lado definida de +R em Rdefinida por x = y² não é função, pois temos elementosdo domínio com dois correspondentes no contra-domínio.

152.42.42.42.42.4 – Funções Crescentes e Decrescentes

Uma função f(x) é crescente quando, à medida que x aumenta, f(x) também aumenta.Podemos escrever:

).(, com ),()( 212121 fDxxxfxfxx ∈>⇒>

Uma função f(x) é decrescente quando, à medida que x aumenta, f(x) diminui. Podemos escrever:

).(, com ),()( 212121 fDxxxfxfxx ∈<⇒>

Exemplo: Considere a função

≥+−<<−

−≤−

= 2 se ,82

21 se ,

1 se ,

)( 2

xx

xx

xx

xf representada no gráfico a seguir:

Determine os valores de x para os quais:

.0)( e)

;0)( d)

(raízes); 0)( c)

e;decrescent é )( b)

crescente; é )( a)

<>=

xf

xf

xf

xf

xf

Soluções:

a) 0 < x < 2; b) x < 0 ou x > 2; c) 0 e 4; d) x < 4; e) x > 4.

16 2.52.52.52.52.5 – Função Constante

Uma função RRf →: recebe o nome de função constante quando para todo Rx ∈ associa sempre o mesmo

elemento .

Exemplo: Construir o gráfico da função 2;

2.62.62.62.62.6 – Função Afim

Uma função RRf →: recebe o nome de função afim quando para todo Rx ∈ associa sempre o elemento

(

, com Rba ∈, e .0≠a O gráfico da função afim é uma reta (provado em Geometria Analítica).

Obs. Quando b = 0 a função também é chamada função linear. Portanto, podemos afirmar que a função linearé um caso particular da função afim.

O coeficiente a é chamado coeficiente angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano; é atangente do ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas.

O coeficiente linear b é chamado coeficiente linear; é o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas.

O conjunto Imagem de uma função afim é o conjunto dos números reais; observe que para todo y real, existeum x também real, tal que: f(x) = y.

Exemplos:Construir o gráfico das seguintes funções:a) f(x) = 2x a) f(x) = − 2x

Im(f) = {2}

17c) f(x) = 2x + 1 d) f(x) =– 2x + 1

Observe que nos exemplos (a) e (b) os coeficientes lineares são iguais a zero, logo, a reta corta o eixo y noponto (0,0), origem do sistema cartesiano. Já nos exemplos (c) e (d) os coeficientes lineares são iguais a 1,portanto os gráficos cortam o eixo das ordenadas no ponto (0,1).

Observe, também, que nos exemplos (a) e (c) os coeficientes angulares são positivos (o ângulo varia entre 0 e90°), logo elas são crescentes. Nos exemplos (b) e (d) os coeficientes angulares são negativos (o ângulo variaentre 90° e 180°), logo elas são decrescentes.

Exercícios de Fixação

xxf

xf

xxf

xxf

xf

)( e)

3x2 )( d)

4 )( c)

23 )( b)

4 )( a)

=+=

−=+−=

−=1) Construir o gráfico das funções, determinando o conjunto imagem:

2) A função linear em que o valor do coeficiente angular é igual a 1, recebe o nome de função identidade. Qual o ângulo formado pela função identidade com o eixo das abscissas?

3) Resolver analiticamente e graficamente o sistema de equações:

+−=

+=

3

4

3

2

3

xy

xy

4) Determinar os valores de K para que a função 5)63()( +−= xKxf seja crescente:

185) Determinar a função cujo gráfico é dado abaixo:

6) Determinar a função afim que passa pelo ponto (–3, 1) e forma um ângulo de 45° com o eixo das abscissas:

2.7 – 2.7 – 2.7 – 2.7 – 2.7 – Função Quadrática

Uma função RRf →: recebe o nome de função quadrática quando, para todo ,Rx ∈ associa sempre o

elemento

(

, com Rcba ∈,, e .0≠a O gráfico da função quadrática é uma parábola (provado

em Geometria Analítica).

Exemplos:

a) 2)( xxf =

x y (x,y)

-2 4 (-2,4)

-1 1 (-1, 1)

0 0 (0, 0)

1 1 (1, 1)

2 4 (2, 4)

b) 2)( xxf −=

x y (x,y)

-2 -4 (-2, -4)

-1 -1 (-1, -1)

0 0 (0, 0)

1 -1 (1, -1)

2 -4 (2, -4)

192.7.12.7.12.7.12.7.12.7.1 – Concavidade

Se a > 0 a parábola tem a concavidade “voltada para cima” e se a < 0, a concavidade “voltada para baixo”.Nos dois exemplos anteriores temos: no item (a) o a é positivo e no item (b) o a é negativo.

2.7.22.7.22.7.22.7.22.7.2 – Raízes e Zeros

Os zeros de uma função são os valores de x para os quais 0)( =xf , isto é, são as raízes da equação f(x) = 0.

Logo, se ,a2

bx 0cbxax 0)x(f 2 ∆±−=⇒=++⇒= onde ∆ é chamado discriminante. Portanto, os zeros

das funções são as soluções da equação do 2º grau . 0 2 =++ cbxax

Temos três situações a considerar, em relação ao discriminante:

a) Se função da gráfico o logo ,diferentes e reais raízes duas teráequação a 0∆ ,> irá cortar o eixo das

abscissas em dois pontos distintos;

b) Se cortar irá função da gráfico o logo iguais, e reais raízes duas teráequação a 0∆ ,= o eixo das abscissas

em apenas um ponto;

c) Se eixo ocortar irá não função da gráfico o logo , reais raízes teránão equação a ,0∆ < das abscissas.

O vértice da parábola é o ponto de máximo ou de mínimo da parábola. Se a concavidade da parábola está“voltada para cima”, o vértice é um ponto mínimo e se a concavidade da parábola está “voltada para baixo”, ovértice é um ponto máximo.

As coordenadas do vértice da parábola são dadas por

.4

,2

∆−−aa

b

Demonstração:

Vamos chamar de Vx a abscissa do vértice da parábola, relativo a função . 2 cbxaxf(x) ++=

Vamos analisar três situações, .0∆ e 0∆ 0∆ <=> , Vamos considerar, nos três casos, o a > 0; a demonstração

é feita da mesma forma, se a < 0.

a)

0∆ >

2.7.3 2.7.3 2.7.3 2.7.3 2.7.3 – Vértice da Parábola

Nesse caso, o vértice é o ponto médio dos zeros da função. Temos:

⇒

∆−−+∆+−

=+=⇒

∆−−=

∆+−=⇒

∆±−=2

222

xx x

2x

2x

2x 21

V

2

1a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

ba

b

22

1x

2

2

222

xV −=−=−

=⇒

20

2.7.4 – 2.7.4 – 2.7.4 – 2.7.4 – 2.7.4 – Intersecção com o Eixo das Ordenadas

Um ponto está localizado no eixo das ordenadas quando o valor da abscissa é zero. Logo, se

).,c0( ponto noy

eixo o corta parábola a representa que curva a Logo, .c)0(fc0.b0.a)0(f cbxaxf(x) 22 =⇒++=⇒++=

Como o vértice da parábola é o ponto de máximo ou de mínimo, temos: Se a > 0, a concavidade está voltada para cima logo, o vértice é um ponto mínimo e o conjunto imagem será

dado por: vértice.do ordenada a é onde }, / { )Im( VV yyyRyf ≥∈=

2.7.5 – 2.7.5 – 2.7.5 – 2.7.5 – 2.7.5 – Imagem

0∆ =b)

c)

∆

Nesse caso, é fácil perceber que o vértice é a raiz da função. Como

∆

, temos:

Neste caso, a função não tem zeros reais. Sejam dois pontos simétricos P

e P’, com abscissas K xeK x VV +− e, considerando que Vx é a média

aritmética das abscissas desses dois pontos, temos:

( ) ( )KfKf −=+ VV xx . Substituindo na função , 2 cbxaxf(x) ++=temos:

( ) ( ) ( ) ( ) cKbKacKbKa ++++=+−+− V2

VV2

V xxxx .

Desenvolvendo e simplificando, obtemos:

a

b

aK

bKbKaK

2 x

4

2 x 2x4 VVV −=⇒−=⇒=− .

Observe que o que foi mostrado no item (c), pode ser generalizado para os demais itens.

Sendo .)( função na dosubstituin ,4

y queprovar podemos ,2

x 2VV cbxaxxf

aa

b ++=∆−=−=

Temos:

⇒+−=+−=+

−+

−=

−⇒++=2

222

2

222

4

42

24

.

2.

2.

2 )(

a

acababc

a

b

a

bac

a

bb

a

ba

a

bfcbxaxxf

Simplificando por a, temos:

aa

acb

a

acb

a

bf

44

4

4

4

2

22 ∆−=−−=+−=

− .

Logo, as coordenadas do vértice são .4

,2

∆−−aa

b

21

2.7.6 – 2.7.6 – 2.7.6 – 2.7.6 – 2.7.6 – Eixo de Simetria

Se a < 0, a concavidade está voltada para baixo, logo o vértice é um ponto máximo e o conjunto imagem será

dado por: vértice.do ordenada a é onde }, / { )Im( VV yyyRyf ≤∈=

O gráfico da função quadrática admite um eixo de simetria e esse eixo de simetria é uma reta perpendicular aoeixo das abscissas que passa pelo vértice; logo, todos os pontos desse eixo de simetria obedecem à equação

02

=+a

bx .

Exemplos:

1) Seja a função ,56)( 2 +−= xxxf a) analisar a sua concavidade; b) os zeros ou raízes; c) a coordenada do ponto de intersecção com o eixo das ordenadas; d) as coordenadas do vértice; e) um esboço do gráfico; f) o conjunto imagem. Soluções:

a) Como o valor de a é positivo, a concavidade está voltada para cima b) Fazendo 1 e 5 :obtemos ,056 21

2 ===+− xxxx c) (0,5)

d) V(3, – 4) e)

f) }4 / { )Im( −≥∈= yRyf

2) Determinar uma função quadrática :1)2( e 0)1( ,3)0( que tal −=== ffff

Solução:

Seja cbxaxxf ++= 2)( , então:

4 e 122

3

224241241)2(

300)1(

33)0(

−==⇒

−=+−=+

⇒

−=+⇒−=+⇒−=++⇒−=−=+⇒=++⇒=

=⇒=ba

ba

ba

babacbaf

bacbaf

cf

Portanto, se: .34)( : temos,3 e 4 , 1 2 +−==−== xxxfcba

pede-se:

0=

.2

x2

0x VV a

b

a

b −=⇒±−=

223) Mostre que, na equação do 2º grau ,02 =++ cbxax , xe xraízes de 21 temos para a soma das

raízes ; x x S 21 a

b−=+=

Solução:

a) : temos, x xque taissão xe xraízes as Se 2121 =

No caso para

a

b

a

b

a

b

a

b

a

ba

b

a

b −=−=+⇒−+−=+⇒

−=

−=⇒

±−=2

2xx

22x x

2x

2x

2

0x 2121

2

1

b) : temos, x xque taissão xe xraízes as Se 2121 ≠

No caso para :logo 0, temos, x x 21 >∆≠

4) Resolva a inequação :0562 <+− xxConsiderando .1 xe 5 xraízes e 0,16 e 01 ,56)( 21

2 ==>=∆>=+−= axxxf Então, como queremos

os valores de x para os quais a função é menor que zero, temos }51 / { <<∈= xRxS .

Exercícios de Fixação

1) Construir o gráfico das seguintes funções:

xxxf

xxxf

xxf

xxf

4)( d)

44)( c)

1)( b)

1)( a)

2

2

2

2

+−=

+−=

+−=

−=

2) Dada a função 98)( 2 ++−= xxxf , pede-se:

a) analisar a sua concavidade; b) as coordenadas dos pontos de intersecção com o eixo das abscissas; c) as coordenadas do ponto de intersecção com o eixo das ordenadas; d) as coordenadas do vértice; e) um esboço do gráfico; f) o conjunto imagem; g) os valores de x para os quais a função é crescente.

233) Seja a função mxmxmxf +++−= ).32().1()( 2 determine os valores de m de modo que a função

tenha duas raízes reais e diferentes:

4) Mostre que, na equação do 2º grau ,02 =++ cbxax , xe xraízes de 21 temos para o produto da

raízes, a

c== 21 x. x P

5) (PUC/CAMP – SP) Considerando todos os números reais x, y de soma igual a 8, determine aqueles cujoproduto é máximo.

6) (CESGRANRIO – RJ) – Um dia na praia, às 10 horas, a temperatura era de 36°C e, às 14 horas,atingiu a máxima de 39,2°C. Supondo que, nesse dia a temperatura f( t) em graus era em função dotempo t medido em horas, dada por ,20 8 quando ,)( 2 ≤≤++= tcbtattf então, pode-se afirmar que:

(a) b = 0 (b) a = b (c) b < 0 (d) a.b < 0 (e) a > 0

7) (PUC CAMP – SP) Uma bola é largada do alto de um prédio e cai em direção ao solo. Sua altura h, emrelação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão 625-25th 2 += .Após quantossegundos do lançamento a bola atingirá o solo?

(a) 2,5 (b) 5 (c) 7 (d) 10 (e) 25

8) Resolver as inequações em R:

02510 e)

0153 d)

065 c)

0102 b)

023 a)

2

2

2

2

2

≥+−

≥+−

>−+−

<++

≥+−

xx

xx

xx

xx

xx

2.82.82.82.82.8 – Funções Modulares

Para cada valor x real podemos associar um único valor

x

.

Uma função RRf →: recebe o nome de função modular quando para todo Rx ∈ associa sempre o elemento.

Utilizando a definição de módulo, temos:

<−≥

=0 se,

0 se ,

xx

xxx

A imagem da função é Im = +R

24Glossário

Abscissa - Numa reta, a distância de um ponto a outro, tomado como origem; coordenada de um ponto sobreuma reta. Em um sistema cartesiano, coordenada referente ao eixo do x.

Cartesiano - Doutrina de René Descartes, filósofo, matemático e físico francês (1596-1650), e de seus seguidores,caracterizada pelo racionalismo, pela consideração do problema do método como garantia da obtenção daverdade e pelo dualismo metafísico. Em Matemática, eixos cartesianos, são retas ortogonais, cuja intersecção éa origem.

Coeficiente - Parte numérica em um produto de fatores numéricos e literais.

Domínio - Em uma função, conjunto dos valores que a variável independente pode tomar.

Contradomínio - Em uma função, conjunto dos valores que a variável dependente pode tomar.

Ordenada - Coordenada cartesiana correspondente a um dos eixos.

Ortogonal - Que forma ângulos retos.

Parábola - Lugar geométrico plano dos pontos eqüidistantes de um ponto fixo e de uma reta fixa de um plano.

Paridade - Propriedade de ser par ou ímpar. Uma função pode ser par, ímpar ou nenhuma delas. Ela é parquando f (x) = f (-x) e ímpar quando f (x) = - f (-x).

Perímetro - Medida do contorno de uma figura.

25Gabarito

Respostas dos Exercícios de Fixação

Unidade I - 1.1 a 1.3

1)

2) a) A x B = {(–2,0), (–2,2), (–1, 0), (–1, 2), (0,0),.(0,2),(1,0), (1,2)}

b) B x A = {(0, –2), (0, –1), (0,0), (0,1), (2, –2), (2, –1), (2,0), (2,1)}

c)A² = {(–2,–2), (–2,–1), (–2,0), (–2,1), (–1,–2), (–1,–1), (–1,0), (–1,1), (0,–2), (0,–1), (0,0), (0,1), (1, –2), (1,–1), (1,0), (1,1)}

d) B² = {(0, 0), (0, 2), (2, 0), (2, 2)}

3) Observe que em cada par (x, y), x ∈ A e y

∈

B, logo: A = {0, 1, 5} e B = {2, 3}

4) O A também pode ter 5 elementos, logo A x B pode ter até 25 elementos (5 x 5 = 25);

5) a) y = x² b) y = 2x +1 X = -2 ⇒ (-2)² = 4 x= -2 ⇒ y= 2. (-2) + 1= -3 ∉ Β X = -1 ⇒ (-1)² = 1 x= -1 ⇒ y= 2. (−1) + 1 = −1 ∉ Β X = 0 ⇒ (0)² = 0 x= 0 ⇒ y= 2. 0 + 1 = 1 X = 1 ⇒ (1)² = 1 x= 1⇒ y= 2. 1 + 1 = 3 X = 2 ⇒ (2)² = 4 x= 2 ⇒ y= 2. 2 + 1= 5 ∉ Β R = {(–2, 4), (–1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4)} R= {(0,1), (1,3)}

6) Observando que o domínio é formado pelos valores de x tais que (x, y)

∈

R e a imagem pelos valores y, taisque (x, y)

∈

R, temos:

a) D(R) = {–2, –1, 0, 1, 2} e Im(R) = {0, 1, 4}b) D(R) = {0, 1} e Im(R) = {1, 3}

267)

R = {(0, 2), (0, 3), (1, 2), (1, 3), (2, 3)}

8) ∅

9) Só é função a relação do exercício Nº 5 – item a, pois, o item b do nº 5 não é função, pois temos elementos de A que não tem correspondente em B.

O nº 7 não é função pois temos elementos de A associados a mais de um correspondente em B.

Unidade II – 2.1 e 2.2

1) a)

2) a) f (-2) = (-2)² - 3 . (-2) + 4 == 4 + 6 + = 14

b) f

=++ 419

1

4

465

9

1 =+

c) f ( ) ( ) 43.3332

+−= =

= 3 - 33 + 4 = 337 −

3) 4

3

5

32 −=−x ⇒ 8x – 12 = -15 ⇒ 8x = -15 + 12 ⇒ 8x = - 3 ⇒ 8

3−=x

4) 2301)1()1()0( 3)1( e 0)1( ,1)0( =++−=+−+⇒==−−= ffffff

5)a) D = {1, 2, 3, ..., n}

b) Na 3ª tentativa, n = 3 ⇒ t(3) = 3 + 3

12⇒ t(3) = 3 + 4 = 7 minutos.

c) n = ?

3 +n

12= 4 ⇒ 3n + 12 = 4n ⇒ n = 12,

Logo, 12ª na tentativa o rato gastou 4 minutos.

b) Im = {–1, 1, 3, 5, 7}

27

+− ;3

2ou

6) a) Às 10 horas, se passaram 2 horas, logo p(2) = 8.

b) Às 11 horas, se passaram 3 horas, logo p(3) = 15.

c) Entre 10 e 11 horas, 15 – 8 = 7 pares.

7)

Unidade II – 2.3 a 2.6

1) a) Im={ -4} b) Im = R c)Im = R’

d) Im = R e) Im = R

Yx x

y

2x + 2y = 36 como: Ax = x . y

x + y = 18 temos: Ax= x. (18 – x)

logo: y = 18 – x Ax = 18x – x²

xxxf 18)( 2 +−=

{ }{ }

{ }

−>∈=

−>⇒>+

≤∈=≤⇒≥+

==

±≠∈=≠∈=

3

2x/Rx D

:logo 3

2 x0 23x f)

4x/Rx D

4x 0123x -

temosnegativo, número depar índice com raiz existe não Reais, nos Como, e)

R D d)

R D c)

5x/Rx D b)

1x/Rx D temosnulo,ser pode nãor denominado o Como a) 8)

ou (- ; 4]

+− ;3

2ou

ou R – {-5,5}ou R – {1}

282) Como o coeficiente angular é igual a 1, o ângulo é de 45°, pois tg 45° = 1.

3) Analiticamente, temos:

1x 5x5 4x29x3 3

4x

3

23x

3

4x

3

2y e 3xy Se −=⇒−=⇒+−=+⇒+−=+⇒+−=+=

2 31 3 e 1 Se =⇒+−=⇒+=−= yyxyx O ponto de intersecção das duas funções é (–1, 2).

Graficamente, temos:

4) ,2K 06K3 Logo, .0a se crescente é 5x)6K3()x(f >⇒>−>+−=

( )( )

.13 :Logo

321221.2,1

110.1,0

; 5)

+−=−=⇒−=+⇒−=+⇒−=+⇒−

=⇒=+⇒

+=

xy

aababa

bba

baxy

6) .145 a igual éangular ecoeficient o abscissas, das eixo o com 45 de ângulo um forma Se =°° tg

Então: bxy += . Como o ponto (–3,1) pertence a função, temos:

1

Unidade II – 2.7

1) a) b)

c) d)

lembrando que f(x) = ax + b.

292) a) Como a < 0, concavidade voltada para baixo.

b) Os pontos de intersecção com o eixo das abscissas (eixo x) são aqueles pontos onde a ordenada é zero

( y = 0).

Então, temos:- x² + 8x + 9 = 0ou x² - 8x- 9 = 0

a = 1b = -8c = -9

Temos:

x =

a

b

2

∆±−

Logo:

x=2

108±

Pontos: (9, 0) e (–1, 0)

c) O ponto de intersecção com o eixo das ordenadas (eixo y) é o ponto onde a abscissas é zero (x = 0).Então, temos:

f (0) = 0² + 8 . 0 + 9 = 9 ⇒ (0, 9)

d) As coordenadas do vértice são dadas por

∆−−aa

b

4,

2 ,

logo:

xv= 4

2

8 = e yv = 25

4

100 −=−; ⇒ V(4, - 25)

e)

f) { }25/Im ≤∈= yRy

g) 4<x

∆= b² - 4

a

c

∆ = (-8)² - 4.1.(-9)

∆ = 64 + 36

∆ = 100

x’ = 92

18

2

108 ==+

x’’ = 12

2

2

108 −=−=−

30Referências Bibliográficas

IEZZI, Gelson e outros.Coleção Fundamentos da Matemática Elementar. São Paulo: Editora Atual, 1985.Volumes 1, 2 e 3.LIMA, Elon Lages e outros. A Matemática do Ensino Médio. Rio de Janeiro: SBM, 1996. Volume 1.BOULOS, Paulo. Pré-Cálculo. São Paulo: MAKRON Books, 1999.GIOVANNI, José Ruy e BONJORNO, José Roberto. Matemática 1: conjuntos, funções, progressões.São Paulo: FTD, 1992._______. Matemática 2: trigonometria, matrizes, análise combinatória, geometria. São Paulo: FTD, 1992.MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO E DO DESPORTO. Parâmetros Curriculares nacionais – Matemática, 1998.