Fundamentos de Controle

Universidade Federal de Santa Catarina

Departamento de Engenharia Eletrica

Fundamentos de Controle - EEL7531

Notas de Aula - Parte Linear (Versao 6)

Hamilton Medeiros Silveira, D. Et.

08/2010

Sumario

Prefacio v

1 Modelos e Solucao no Espaco de Estado 11.1 Conceito de Sistema Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Representacao de um Sistema Linear por Equacao Diferencial ou

a Diferenca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Conceito de Variavel de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3.1 Primeiro Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2 Segundo Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.3 Terceiro Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Geracao de Variaveis de Estado a Partir de Equacoes Diferenciaisou a DiferencaUm Caso Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5 Processo em Variaveis de EstadoCaso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.5.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.3 Exemplo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.4 Exemplo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Sistemas Lineares em Variaveis de Estado . . . . . . . . . . . . . 141.7 Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.8 Perturbacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.9 Perturbacao em Variaveis de Estado

Caso Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.9.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.10 Perturbacao em Variaveis de EstadoCaso Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.10.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.10.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

i

ii Sumario

1.11 Processo com Perturbacao em Variaveis de Estado . . . . . . . . 211.11.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.11.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.12 Conexoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.12.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.12.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.12.3 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.13 Solucao Temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.13.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.13.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.14 Determinacao da Equacao de Estado Discreta a Partir da Contnua 321.14.1 Modelo do BOZ-Processo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.14.2 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.14.3 Modelo da Perturbacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.15 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.16 Respostas dos Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 Controlabilidade, Observabilidade e Estabilidade 442.1 Conceito de Controlabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.1.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.1.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.2 Conceito de Observabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452.2.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3 Domnio Frequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.3.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.3.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.4 Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.4.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2.5 Teorema de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.5.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.6 Transformacao de Similaridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.6.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.6.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

2.7 Forma Canonica de Controlabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 542.7.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.7.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

2.8 Forma Canonica de Observabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . 572.8.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 572.8.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.9 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.10 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662.11 Respostas dos Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Sumario iii

3 Controle Modal e Observador de Estado - Estabilizador 1 693.1 Princpio de Controle Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69


3.2 Projeto de Controle Modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.3 Princpio de Observador de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.3.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.3.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.4 Projeto de Observador de Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.4.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.4.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.5 Controle Modal com Observador de Estado - Estabilizador . . . . 783.5.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.5.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.6 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.7 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.8 Respostas dos Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4 Controle Otimo e Filtro de Kalman - Estabilizador 2 904.1 Princpio de Controle Otimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90


4.2 Projeto de Controle Otimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.3 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.3 Princpio do Filtro de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.3.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 944.3.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

4.4 Projeto do Filtro de Kalman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.4.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.4.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.4.3 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.5 Controle Quadratico com Filtro de Kalman - Estabilizador . . . 974.5.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.5.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99


5 Seguimento Robusto 1035.1 O sinal de Referencia e a Perturbacao . . . . . . . . . . . . . . . 103


5.2 Princpio de Seguidor Robusto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

iv Sumario


5.3 Projeto de Seguidor Robusto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.3.1 Caso Contnuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1155.3.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1175.3.3 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118


6 Sntese de Sistemas Descritos por Equacoes de Estado Contnuas1256.1 Amplificador Operacional Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1256.2 Somador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1266.3 Inversor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.4 Integrador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.5 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1306.6 Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1326.7 Respostas dos Exerccios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Referencias Bibliograficas 135

Prefacio

Estas Notas de Aula referem-se a` parte linear da Disciplina -EEL7531- Fun-damentos de Controle, recentemente criada no Departamento de EngenhariaEletrica da Universidade Federal de Santa Catarina com o objetivo de com-plementar os conhecimentos na area de controle, introduzidos pela Disciplina-EEL7063- Sistemas de Controle.

Procurou-se objetivamente dar os conceitos mnimos para o completo en-tendimento do problema de seguimento robusto de processos submetidos a umaperturbacao determinstica.

Estas Notas cobrem simultaneamente tanto os controladores contnuos, quantoos discretos; sendo os processos e controladores descritos pela moderna abor-dagem de variaveis de estado.

v

Captulo 1

Modelos e Solucao noEspaco de Estado

O principal objetivo deste captulo e mostrar como se descreve um sistemadinamico, que esteja na forma de equacoes diferenciais (caso contnuo) ou adiferencas (caso discreto), por variaveis de estado. Dois esquemas serao aborda-dos para este efeito: descricao na Forma Canonica de Controlabilidade (PrimeiroEsquema); e descricao na Forma Canonica de Observabilidade (Segundo Es-quema). Alem destes assuntos, discutiremos, tambem, as conexoes em cascata,paralelo e realimentacao; bem como solucao temporal e discretizacao.

1.1 Conceito de Sistema Linear

Sejam u e y, respectivamente a entrada e a sada do sistema abaixo.

u ySL

Figura 1.1: Sistema Linear (SL).

Sejam u, u1 e u2 sinais de entrada de SL, e y, y1 e y2 as respectivas sadas.O sistema SL e linear se e somente se

1. (Proporcionalidade) a sada ky corresponde a` entrada ku, onde k e umnumero inteiro; e

2. (Superposicao) a sada y1 + y2 corresponde a` entrada u1 + u2.

1

2 Notas de Aula

Estas duas propriedades estao sumarizadas na Figura 1.2.

y1 + y2u1 + u2

y

y1

y2

kyu

u1

u2

ku SL

SL

SL

SL

SL

Figura 1.2: Leis de Proporcionalidade e Superposicao.

1.2 Representacao de um Sistema Linear porEquacao Diferencial ou a Diferenca

1.2.1 Caso Contnuo

Um sistema contnuo de ordem n, onde u(t) e y(t) sao respectivamente a entradae a sada, pode ser descrito pela equacao diferencial

dn

dtny(t) = a1

dn1

dtn1y(t) + + any(t)

+ddn

dtnu(t) + (b1 da1) d

n1

dtn1u(t) + + (bn dan)u(t),

que pode ser reescrita na forma do operador p, onde pn = dn/dtn,

pny(t) = a1pn1y(t) + + any(t)+dpnu(t) + (b1 da1)pn1u(t) + + (bn dan)u(t),

ou em Transformada de Laplace

sny(s) = a1sn1y(s) + + any(s)+dsnu(s) + (b1 da1)sn1u(s) + + (bn dan)u(s).

1.2.2 Caso Discreto

Seja T , o perodo de amostragem.Um sistema discreto ou amostrado no perodo T , pode ser descrito pela seguinte

Modelos e Solucao no Espaco de Estado 3

equacao de diferenca, onde u e y sao respectivamente a entrada e a sada

y((k + n)T ) = a1y((k + n 1)T ) + + any(kT )+du((k + n)T ) + (b1 da1)u((k + n 1)T ) + + (bn dan)u(kT ),

onde se denota por simplicidade

y(k + n) = a1y(k + n 1) + + any(k)+du(k + n) + (b1 da1)u(k + n 1) + + (bn dan)u(k).

Alternativamente, pode-se escrever na forma do operador q, onde qny(k) =y(k + n),

qny(k) = a1qn1y(k) + + any(k)+dqnu(k) + (b1 da1)qn1u(k) + + (bn dan)u(k),

ou em Transformada de Z

zny(z) = a1zn1y(z) + + any(z)+dznu(z) + (b1 da1)zn1u(z) + + (bn dan)u(z).

1.3 Conceito de Variavel de Estado

Vimos que um sistema linear pode ser representado por equacoes diferenciais oua diferenca. Alternativamente, um sistema descrito por equacoes diferenciais deordem n, ou a diferenca, pode ser descrito por um conjunto de n equacoes deprimeira ordem, denominadas de Equacoes de Estado, juntamente com outroconjunto de m equacoes, denominadas de Equacoes de Sada. A`s equacoes deestado, esta associado um vetor, denominado Vetor de Estado. As componentesdeste vetor sao chamadas de Variaveis de Estado. Neste curso, daremos enfasea` descricao de sistemas lineares por variaveis de estado.

Apesar dos processos, em geral, poderem ter m sadas e r entradas, seraoabordados neste curso apenas processos com uma unica sada e com uma unicaentrada, ou seja, neste curso, m e r sempre serao iguais a 1. Sistemas com umaentrada e uma sada sao denominados de monovariaveis ou do tipo SISO (Singleinput - Single Output).

A descricao de um sistema monovariavel de ordem n e descrito por n equacoesdiferenciais ou a diferenca de primeira ordem e uma equacao de sada.

Um sistema contnuo de terceira ordem, com entrada u e sada y, seria assimdescrito:

x1 = f1(x1, x2, x3, u)x2 = f2(x1, x2, x3, u)x3 = f3(x1, x2, x3, u)y = f(x1, x2, x3, u).

4 Notas de Aula

As tres primeiras equacoes sao equacoes diferenciais de primeira ordem erepresentam as Equacoes de Estado. A ultima equacao representa a Equacaode Sada. As variaveis x1, x2 e x3 sao as Variaveis de Estado.

Observe que as equacoes de estado e a equacao de sada sao funcoes dasvariaveis de estado x1, x2 e de x3, e de u, que e a entrada.

O Vetor de Estado para este caso seria:

x =

x1x2x3

.Um sistema discreto de terceira ordem, com entrada u(k) e sada y(k), seria

assim descrito:

x1(k + 1) = f1(x1(k), x2(k), x3(k), u(k))x2(k + 1) = f2(x1(k), x2(k), x3(k), u(k))x3(k + 1) = f3(x1(k), x2(k), x3(k), u(k))

y(k) = f(x1(k), x2(k), x3(k), u(k)).

As tres primeiras equacoes sao equacoes a diferenca de primeira ordem erepresentam as Equacoes de Estado. A ultima equacao representa a Equacaode Sada. As variaveis x1(k), x2(k) e x3(k) sao as Variaveis de Estado.

Observe que as equacoes de estado e a equacao de sada sao funcoes dasvariaveis de estado x1(k), x2(k) e de x3(k), e de u(k), que e a entrada.

O Vetor de Estado para este caso seria:

x(k) =

x1(k)x2(k)x3(k)

.Sistemas lineares eletricos e mecanicos podem ser descritos diretamente em

variaveis de estado. Para ilustrar este fato, daremos dois exemplos: um eletrico;e, outro mecanico.

Geralmente, em sistemas eletricos, escolhe-se como variaveis de estado cor-rente de indutores e tensao de capacitores. Fontes de tensao ou de corrente saoescolhidas como entrada. Qualquer sinal de tensao, corrente ou suas derivadaspode ser a sada. No caso mais geral, qualquer combinacao linear destes sinaispode ser a sada.

Em sistemas mecanicos, escolhe-se como variaveis de estado posicoes e ve-locidades. Forcas ou torques externos sao escolhidos como entrada. Qualquersinal de velocidade, aceleracao ou posicao pode ser a sada. No caso mais geral,qualquer combinacao linear destes sinais pode ser a sada.


+

++

i vr

vlil

R

L

C

ic

vc

Figura 1.3: Circuito R-L-C.

1.3.1 Primeiro Exemplo

Seja o circuito da Figura 1.3:Podemos escrever as seguintes equacoes

i = ic + il

ic = Cdvcdt

vc = vl + vr

vl = Ldildt

vr = Ril.

Das equacoes acima, podemos escrever

Cdvcdt

= il + i

Ldildt

= vc Rilvr = Ril.

Definindo-se as componentes do vetor de estado por

x1 = vcx2 = il,

e a entrada u e a sada y por

u = iy = vr,

6 Notas de Aula

podemos escrever

dx1dt

= 1Cx2 +

1Cu

dx2dt

=1Lx1 R

Lx2

y = Rx2,

o que permite escrever[x1x2

]=

[0 1/C

1/L R/L] [

x1x2

]+[ 1/C

0

]u

y =[0 R

] [x1x2

].

Definindo-se o vetor de estado por

x =[x1x2

],

podemos escrever finalmente que

x =[0 1/C

1/L R/L]x+

[1/C0

]u

y =[0 R

]x.

1.3.2 Segundo Exemplo

Considere o esquema mecanico da Figura 1.4.

K

B

x

fM

Figura 1.4: Sistema Amortecedor-Massa-Mola.

Pelo Princpio de D Alembert, podemos escrever

f = Mdx2

dt2+B

dx

dt+Kx

f = Mdv

dt+Bv +Kx,


onde v e a velocidade e x e a posicao.Definindo como variaveis de estado a velocidade e a posicao

x1 = vx2 = x,


u = fy = v,

podemos escrever

x1 = BM

x1 KM

x2 +1M

u

x2 = x1y = x1.

Definindo-se o vetor de estado por

x =[x1x2

],

podemos escrever finalmente que

x =[B/M K/M

1 0

]x+

[1/M0

]u

y =[1 0

]x.

1.3.3 Terceiro Exemplo

Considere omotor de corrente contnua da Figura 1.5.O circuito de armadura e regido por

ea = Rmia + Lmia + em,

onde Rm e a resistencia de armadura, Lm e a indutancia de armadura, ia ea corrente de armadura, em e a tensao induzida e ea e a tensao aplicada nosbornes da armadura (entrada do motor).

A tensao induzida de armadura depende da velocidade e e dada por

em = Kew,

onde Ke e uma constante e w e a velocidade angular do eixo do motor.

8 Notas de Aula

e

R

aw

i

J

B

a

m m

me

L

Figura 1.5: Motor de Corrente Contnua.

O torque, TD, produzido pelo motor depende somente da corrente de ar-madura, e e` dado por,

TD = KT ia,

onde KT e uma constante.TD e aplicado a` carga mecanica associada ao motor. Pode-se, entao, escrever

que

TD = Jd

dtw +Bw,

onde J e o momento de inercia e B e o coeficiente de atrito viscoso.Das equacoes acima, podemos escrever

d

dtw = B

Jw +

KTJ

ia

d

dtia = Ke

Lmw Rm

Lmia +

1Lm

ea.

Definindo-se as componentes do vetor de estado por

x1 = wx2 = ia,


u = eay = w,

podemos escrever

x =[ B/J KT /JKe/Lm Rm/Lm

]x+

[0

1/Lm

]u

y =[1 0

]x.


1.4 Geracao de Variaveis de Estado a Partir deEquacoes Diferenciais ou a DiferencaUm Caso Particular

1.4.1 Caso Contnuo

Seja o sistema, onde u e y sao respectivamente a entrada e a sada

y = a1y + a2y + u.

Este sistema pode ser descrito por duas variaveis de estado em dois esque-mas padroes que serao apresentados a seguir:

Primeiro Esquema

Definindo-se

x1 = yx2 = y,

pode-se escrever

x1 = a1x1 + a2x2 + ux2 = x1y = x2,

e em forma matricial,[x1x2

]=

[a1 a21 0

] [x1x2

]+[10

]u

y =[0 1

] [ x1x2

].

O vetor

x =[x1x2

]e chamado de vetor de estado.

Segundo Esquema

Definindo-se

x1 = yx2 = a2y + u,

10 Notas de Aula

pode-se escrever

x1 = y= a1y + a2y + u= a1x1 + x2,

o que permite escrever

x1 = a1x1 + x2x2 = a2x1 + uy = x1,

e em forma matricial,[x1x2

]=

[a1 1a2 0

] [x1x2

]+[01

]u

y =[1 0

] [ x1x2

].

1.4.2 Caso Discreto

Seja o sistema descrito pela seguinte equacao de diferenca, onde u(k) e y(k) saorespectivamente a entrada e a sada

y(k + 2) = a1y(k + 1) + a2y(k) + u(k).

Este sistema pode ser descrito por duas variaveis de estado nos dois esque-mas padroes que sera`o apresentados a seguir:

Primeiro Esquema

Definindo-se

x1(k) = y(k + 1)x2(k) = y(k),

pode-se escrever[x1(k + 1)x2(k + 1)

]=

[a1 a21 0

] [x1(k)x2(k)

]+[10

]u

y =[0 1

] [ x1(k)x2(k)

].

O vetor

x(k) =[x1(k)x2(k)

]e o vetor de estado.


Segundo Esquema

Definindo-se

x1(k) = y(k)x2(k + 1) = a2y(k) + u(k),

pode-se escrever em forma matricial,[x1(k + 1)x2(k + 1)

]=

[a1 1a2 0

] [x1(k)x2(k)

]+[01

]u(k)

y(k) =[1 0

] [ x1(k)x2(k)

].

1.5 Processo em Variaveis de EstadoCaso Geral

1.5.1 Caso Contnuo

Seja um sistema de ordem n, representado pela funcao de transferencia

f(s) =dsn + (b1 da1)sn1 + + (bn dan)

sn a1sn1 an .Este sistema pode ser escrito na forma

f(s) = d+b1s

n1 + b2sn2 + + bnsn a1sn1 an .

A Forma Canonica de Controlabilidade e

x =

a1 a2 an

0

In1...0

x+

10...0

uy =

[b1 b2 bn

]x+ du,

e a Forma Canonica de Observabilidade e

x =

a1a2 In1...an 0 0

x+

b1b2...bn

uy =

[1 0 0 ]x+ du,

onde x e o vetor de estado

x =

x1x2...xn

.

12 Notas de Aula

1.5.2 Caso Discreto

Seja um sistema de ordem n, representado pela funcao de transferencia

f(z) =dzn + (b1 da1)zn1 + + (bn dan)

zn a1zn1 an .

Este sistema pode ser escrito na forma

f(z) = d+b1z

n1 + b2zn2 + + bnzn a1zn1 an .

A Forma Canonica de Controlabilidade e

x(k + 1) =

a1 a2 an

0

In1...0

x(k) +

10...0

u(k)y(k) =

[b1 b2 bn

]x(k) + du(k),

e a Forma Canonica de Observabilidade e

x(k + 1) =

a1a2 In1...an 0 0

x(k) +

b1b2...bn

u(k)y(k) =

[1 0 0 ]x(k) + du(k),

onde x(k) e o vetor de estado

x(k) =

x1(k)x2(k)...

xn(k)

.

1.5.3 Exemplo 1

Encontrar a forma canonica de controlabilidade de

G(s) =5s2

s3 + 2s+ 1.

Solucao:Podemos escrever que:


a1 = 0a2 = 2a3 = 1b1 = 5b2 = 0b3 = 0d = 0.

De

x =

a1 a2 an

0

In1...0

x+

10...0

uy =

[b1 b2 bn

]x+ du,

resulta

x1x2x3

=0 2 11 0 00 1 0

x1x2x3

+100

uy =

[5 0 0

] x1x2x3

.1.5.4 Exemplo 2

Encontrar a forma canonica de observabilidade de

y(k + 2) = 0, 6y(k + 1) 0.2y(k) + 2u(k + 2) + 1, 7u(k + 1) + 1, 2u(k)Solucao:A funcao de transferencia e

f(z) =2z2 + 1, 7z + 1, 2z2 + 0, 6z + 0, 2

De

f(z) =dzn + (b1 da1)zn1 + + (bn dan)

zn a1zn1 an ,

14 Notas de Aula

podemos escrever que:

a1 = 0, 6a2 = 0, 2d = 2

b1 da1 = 1, 7b2 da2 = 1, 2.

Deduz-se que

b1 = 0, 5b2 = 0, 8.

De

x(k + 1) =

a1a2 In1...an 0 0

x(k) +

b1b2...bn

u(k)y(k) =

[1 0 0 ]x(k) + du(k),

resulta a forma canonica de observabilidade

x(k + 1) =[0, 6 10, 2 0

]x(k) +

[0, 50, 8

]u(k)

y(k) =[1 0

]x(k) + 2u(k)

1.6 Sistemas Lineares em Variaveis de Estado

Vimos que ummesmo processo linear pode ser representado de diversas maneirasem variaveis de estado.

Genericamente um sistema contnuo sera representado aqui pelas equacoesde estado e de sada

x = Fx+Guy = Hx+ Ju,

onde x e o vetor de estado

x =

x1x2...xn

,


a matriz F e de dimensao [n n], a matriz G e de dimensao [n 1], a matrizH e de dimensao [1 n] e J e um escalar.

Um sistema amostrado sera representado aqui pelas equacoes de estado e desada

x(k + 1) = x(k) + u(k)y = Hx(k) + Ju(k),

onde x(k) e o vetor de estado

x(k) =

x1(k)x2(k)...

xn(k)

,a matriz e de dimensao [n n], a matriz e de dimensao [n 1], a matrizH e de dimensao [1 n] e J e um escalar.

+

+JG H

F

yxxu

Figura 1.6: Bloco de Sistema Contnuo.

1.7 Blocos

O sistema contnuo


pode ser representado em um diagrama de blocos conforme Figura 1.6.O sistema amostrado

x(k + 1) = x(k) + u(k)y(k) = Hx(k) + Ju(k),

16 Notas de Aula

+++

+

q1 H

Jy(k)x(k)x(k + 1)u(k)

Figura 1.7: Bloco de Sistema Amostrado.

pode ser representado em um diagrama de blocos conforme Figura 1.7.

1.8 Perturbacao

Perturbacao e um sinal nao mensuravel associado a` sada do processo.Dois tipos de perturbacao aparecem em sistemas de controle:

1. estocastica - que e um rudo agregado a` sada do processo. Rudos naosao modelados, porem, conhece-se a media, variancia e outros parametrosdenominados momentos; e

2. determinstica - que pode ser modelada por uma equacao diferencial ou adiferenca do tipo homogenea.

Neste curso, abordaremos apenas o estudo de perturbacoes determinsticas.A Figura 1.8 mostra como aparece uma perturbacao W na sada de um

processo.

PROCESSO

+

+

yyf

W

u

Figura 1.8: Processo com Perturbacao.

Podemos identificar os seguintes sinais:


1. u - sinal de comando;

2. yf - sada do processo sem perturbacao (filtrada). Este sinal e nao men-suravel;

3. W - perturbacao nao mensuravel; e

4. y - sada mensuravel do processo.

1.9 Perturbacao em Variaveis de EstadoCaso Particular

1.9.1 Caso Contnuo

As perturbacoes contnuas sao descritas por equacoes diferenciais autonomas(sem entrada) de ordem n,

pnW (t) = a1pn1W (t) + + anW (t).

Para encontrar a solucao de uma equacao diferencial, necessitamos da en-trada e das condicoes ininiciais. Numa equacao diferencial autonoma, a entradae nula; e, portanto, para que a solucao nao seja nula, as condincoes iniciais naopodem ser todas nulas; deve-se ter ao menos uma condicao inicial diferente dezero.

Para encontrar os coeficientes a1, a2, , an, vamos apresentar dois metodos.

Metodo 1: Coeficientes a Determinar.

Seja a perturbacao determinstica

W (t) = sen(wt),

que pode ser modelada por uma equacao diferencial autonoma de segunda or-dem.

Para se determinar a equacao diferencial autonoma, deriva-se sucessivamentea perturbacao em relacao ao tempo e procura-se encontrar uma combinacaolinear entre a perturbacao e suas derivadas temporais. Para isso define-se umaequacao autonoma com coeficientes a determinar.

No exemplo,

W (t) = sen(wt)W (t) = wcos(wt)W (t) = w2sen(wt).

Como a perturbacao W (t) = sen(wt) e regida por uma equacao autonomade segunda ordem do tipo

18 Notas de Aula

p2W (t) = a1pW (t) + a2W (t),

deve-se determinar os parametros a1 e a2.Substituindo-se W (t), W (t) e W (t) em

p2W (t) = a1pW (t) + a2W (t),

vemw2sen(wt) = a1wcos(wt) + a2sen(wt).

Os coeficientes a1 e a2 sao obtidos das relacoes

w2 = a20 = a1.

Logo, a perturbacao sen(wt) satisfaz a equacao

W (t) + w2W (t) = 0.

Metodo 2: Tabela.

A equacao W (t) + w2W (t) = 0 pode ser obtida pela Tabela 1.1 .

Operador Sinalp Ap2 A+Btp3 A+Bt+ Ct2

p+ a Aeat

(p+ a)2 Ateat

p2 + w2 Asen(wt+ )p2 + w2 Acos(wt+ )

(p+ a)2 + w2 Aeatsen(wt+ )(p+ a)2 + w2 Aeatcos(wt+ )

Tabela 1.1: Sinal X Operador Contnuo.

A equacao W (t)+w2W (t) = 0 pode ser descrita em variaveis de estado pelosegundo esquema

xp =[

0 1w2 0

]xp

W =[1 0

]xp.


1.9.2 Caso Discreto

As perturbacoes discretas sao descritas por equacoes a diferencas autonomas(sem entrada) de ordem n,

W (k + n) = a1W (k + n 1) + + anW (k).Para encontrar a solucao de uma equacao a diferencas, necessitamos da entradae das condicoes ininiciais. Numa equacao a diferencas autonoma, a entrada enula; e, portanto, para que a solucao nao seja nula, as condincoes iniciais naopodem ser todas nulas; deve-se ter ao menos uma condicao inicial diferente dezero.

Para encontrar os coeficientes a1, a2, , an, vamos apresentar dois metodos.

Metodo 1: Coeficientes a Determinar.

Seja a perturbacao determinstica

W (t) = A+Bt.

Definido o perodo de amostragem T , a perturbacao nos instantes de amostragempode se obtida pela substituicao de t por kT

W (kT ) = A+B(kT ).

A perturbacao W (kT ) = A + B(kT ) pode ser modelada por uma equacaoa diferencas autonoma de segunda ordem. Para se determinar a equacao adiferencas autonoma, determina-se a perturbacao nos instantes (k + 1)T, (k +2)T e assim sucessivamente, e procura-se encontrar uma combinacao linearcom a perturbacao nos instantes calculados. Para isso define-se uma equacaoautonoma com coeficientes a determinar.

No exemplo,

W (kT ) = CW ((k + 1)T ) = A+B((k + 1)T )

= A+B(kT ) +BTW ((k + 2)T ) = A+B((k + 2)T )

= A+B(kT ) + 2BT.

Como a perturbacaoW (kT ) = A+B(kT ) e regida por uma equacao autonomade segunda ordem do tipo

W ((k + 2)T ) = a1W ((k + 1)T ) + a2W (kT ),

deve-se determinar os parametros a1 e a2.Substituindo-se W ((k + 2)T ), W ((k + 1)T ) e W (kT ) em

W ((k + 2)T ) = a1W ((k + 1)T ) + a2W (kT ),

20 Notas de Aula

vem

(A+B(kT )) + 2BT = a1((A+B(kT )) +BT ) + a2(A+B(kT )).

Os coeficientes a1 e a2 sao obtidos das relacoes

1 = a1 + a22 = a1.

Logo, a perturbacao sen(wt) satisfaz a equacao

W (k + 2) 2W (k + 1) +W (k) = 0.A equacao W (k + 2) 2W (k + 1) +W (k) = 0 pode ser obtida pela Tabela

1.2.

Operador Sinalq 1 A

(q 1)2 A+B(kT )(q 1)3 A+B(kT ) + C(kT )2q eaT Aea(kT )

(q eaT )2 A(kT )ea(kT )q2 2qcos(wT ) + 1 Asen(w(kT ) + )q2 2qcos(wT ) + 1 Acos(w(kT ) + )

q2 2qeaT cos(wT ) + e2aT Aea(kT )sen(w(kT ) + )q2 2qeaT cos(wT ) + e2aT Aea(kT )cos(w(kT ) + )

Tabela 1.2: Sinal X Operador Discreto.

A equacao W (k+2) 2W (k+1)+W (k) = 0 pode ser descrita em variaveisde estado pelo segundo esquema

xp(k + 1) =[

2 11 0

]xp(k)

W (k) =[1 0

]xp(k).

1.10 Perturbacao em Variaveis de EstadoCaso Geral

1.10.1 Caso Contnuo

Seja a perturbacao contnua de ordem n, descrita pela equacao diferencial

pnW (t) = a1pn1W (t) + + anW (t).


A Forma Canonica de Observabilidade e

xp =

a1a2 In1...an 0 0

xpW =

[1 0 0 ]xp.

1.10.2 Caso Discreto

Seja a perturbacao discreta descrita pela seguinte equacao a diferenca,

W (k + n) = a1W (k + n 1) + + anW (k).

A Forma Canonica de Observabilidade e

xp(k + 1) =

a1a2 In1...an 0 0

xp(k)W (k) =

[1 0 0 ]xp(k).

1.11 Processo com Perturbacao em Variaveis deEstado

1.11.1 Caso Contnuo

Considere Figura 1.9, onde a perturbacao esta modelada por um sistema deordem np e o processo e de ordem nf .

Podemos escrever

xf = Ffxf +Gfuyf = Hfxf + Jfuxp = FpxpW = Hpxpy = yf +W,

o que permite escrever a perturbacao e o processo, em forma matricial, numunico sistema de ordem nf + np, descrito por[

xfxp

]=

[Ff 00 Fp

] [xfxp

]+[Gf0

]u

y =[Hf Hp

] [ xfxp

]+ Jfu.

22 Notas de Aula

+

+xf = Ffxf +Gfu

xp = Fpxp

W = Hpxp

y

u

W

yf

yf = Hfxf + Jfu


Dentro da definicao de uma matriz , usaremos a notacao 0 para representaruma matriz ou vetor com todos os elementos iguais a 0. A dimensao e variavele se adequa a sua posicao dentro da matriz. Assim, 0 a` direita de Ff tem nflinhas e np colunas; e, 0 abaixo de Gf tem 1 coluna e np linhas.


Considere a Figura 1.10, onde a perturbacao esta modelada por um sistema deordem np e o processo e de ordem nf .

Podemos escrever que

xf (k + 1) = fxf (k) + fu(k)yf (k) = Hfxf (k) + Jfu(k)

xp(k + 1) = pxp(k)W (k) = Hpxp(k)y(k) = yf (k) +W (k),

o que permite escrever a perturbacao e o processo, em forma matricial, numunico sistema de ordem nf + np, descrito por[

xf (k + 1)xp(k + 1)

]=

[f 00 p

] [xf (k)xp(k)

]+[f0

]u(k)

y(k) =[Hf Hp

] [ xf (k)xp(k)

]+ Jfu(k).


+

+yf (k)

xf (k + 1) = fxf (k) + fu(k)

W (k) = Hpxp(k)

yf (k) = Hfxf (k) + Jfu(k)

W (k)

y(k)

u(k)

xp(k + 1) = pxp(k)


1.12 Conexoes

1.12.1 Caso Contnuo

Conexao em Paralelo

Considere a conexao em paralelo apresentada na Figura 1.11

+

+

yb

yb = Hbxb + Jbu

y

u

ya

ya = Haxa + Jau

xb = Fbxb +Gbu

xa = Faxa +Gau

Figura 1.11: Conexao em Paralelo.

O sistema A, de ordem na, e descrito por

xa = Faxa +Gauya = Haxa + Jau,

24 Notas de Aula

e o sistema B, de ordem nb, e descrito por

xb = Fbxb +Gbuyb = Hbxb + Jbu.


y = ya + yb,

o que permite escrever a conexao em paralelo, em forma matricial, num unicosistema de ordem na + nb, descrito por[

xaxb

]=

[Fa 00 Fb

] [xaxb

]+[GaGb

]u

y =[Ha Hb

] [ xaxb

]+ (Ja + Jb)u.

Conexao em Cascata

Considere a conexao em cascata apresentada na Figura 1.12

xb = Fbxb +Gbyaxa = Faxa +Gau

ya = Haxa + Jau

u yya

y = Hbxb + Jbya

Figura 1.12: Conexao em Cascata.


xa = Faxa +Gauya = Haxa + Jau,

e um sistema B, de ordem nb, descrito por

xb = Fbxb +Gbyay = Hbxb + Jbya.

Podemos escrever a conexao em cascata, em forma matricial, num unicosistema de ordem na + nb, descrito por[

xaxb

]=

[Fa 0

GbHa Fb

] [xaxb

]+[

GaGbJa

]u

y =[JbHa Hb

] [ xaxb

]+ JbJau.


Conexao em Realimentacao

Considere a conexao em realimentacao apresentada na Figura 1.13

+

y

y = Hx+ J

u x = Fx+G

Figura 1.13: Conexao em Realimentacao.

O sistema dinamico, de ordem n, e descrito por

x = Fx+Gy = Hx+ J.


= u y.Assim, a equacao de sada pode ser reescrita

y = Hx+ J(u y)(1 + J)y = Hx+ Ju

y = (1 + J)1Hx+ (1 + J)1Ju.

Para encontrar a equacao de estado precisamos encontrar u y em funcao de xe u

y = (1 + J)1Hx+ (1 + J)1Juu y = u (1 + J)1Hx (1 + J)1Ju

(1 + J)(u y) = (1 + J)uHx Ju(1 + J)(u y) = uHx = Hx+ u

u y = (1 + J)1Hx+ (1 + J)1u,o que permite escrever a conexao em realimentacao, em forma matricial, numunico sistema de ordem n, descrito por

x = [FG(1 + J)1H]x+G(1 + J)1uy = (1 + J)1Hx+ (1 + J)1Ju.

26 Notas de Aula


Conexao em Paralelo

Considere a conexao em paralelo apresentada na Figura 1.14.

+

+xb(k + 1) = bxb(k) + bu(k)

yb(k) = Hbxb(k) + Jbu(k)

ya(k) = Haxa(k) + Jau(k)y(k)

u(k)

yb(k)

ya(k)

xa(k + 1) = axa(k) + au(k)

Figura 1.14: Conexao em Paralelo.


xa(k + 1) = axa(k) + au(k)ya(k) = Haxa(k) + Jau(k),

e um sistema B, de ordem nb, e descrito por

xb(k + 1) = bxb(k) + bu(k)yb(k) = Hbxb(k) + Jbu(k).


y(k) = ya(k) + yb(k),

o que permite escrever a conexao em paralelo, em forma matricial, num unicosistema de ordem na + nb, descrito por[

xa(k + 1)xb(k + 1)

]=

[a 00 b

] [xa(k)xb(k)

]+[ab

]u(k)

y(k) =[Ha Hb

] [ xa(k)xb(k)

]+ (Ja + Jb)u(k).

Conexao em Cascata

Considere a conexao em cascata apresentada na Figura 1.15.


u(k)

y(k) = Hbxb(k) + Jbya(k)ya(k) = Haxa(k) + Jau(k)

xb(k + 1) = bxb(k) + bya(k)xa(k + 1) = axa(k) + au(k)

y(k)ya(k)

Figura 1.15: Conexao em Cascata.


xa(k + 1) = axa(k) + au(k)ya(k) = Haxa(k) + Jau(k),

e o B, de ordem nb, e descrito por

xb(k + 1) = bxb(k) + bya(k)

y(k) = Hbxb(k) + Jbya(k).

Podemos escrever a conexao em cascata, em forma matricial, num unicosistema de ordem na + nb, descrito por[

xa(k + 1)xb(k + 1)

]=

[a 0bHa b

] [xa(k)xb(k)

]+[

abJa

]u(k)

y(k) =[JbHa Hb

] [ xa(k)xb(k)

]+ JbJau(k).

Conexao em Realimentacao

Considere a conexao em realimentacao apresentada na Figura 1.16.O sistema dinamico, de ordem n, descrito por

x(k + 1) = x(k) + (k)y(k) = Hx(k) + J(k).


(k) = u(k) y(k).

Assim, de maneira similar ao caso contnuo, podemos escrever a conexao emrealimentacao, em forma matricial, num unico sistema de ordem n, descrito por

x(k + 1) = [ (1 + J)1H]x(k) + (1 + J)1u(k)y(k) = (1 + J)1Hx(k) + (1 + J)1Ju(k).

28 Notas de Aula

+

y(k) = Hx(k) + J(k)

(k) y(k)u(k) x(k + 1) = x(k) + (k)

Figura 1.16: Conexao em Realimentacao.

1.12.3 Exemplo

Seja o sistema da Figura 1.17 onde a funcao de transferencia do controlador e

PROCESSOCONTROLADOR+

+yf yu

W

Figura 1.17: Exemplo de Conexoes.

C(s) =0, 8s,

a funcao de transferencia do processo e

P (s) =2

s2 + 6s+ 8,

e a perturbacao e

W (t) = 1.

Encontrar:a) A forma canonica de controlabilidade do controlador;b) A forma canonica de controlabilidade do processo;c) A descricao em variaveis de estado da perturbacao;d) A conexao em cascata do controlador-processo; ee) A descricao em variaveis de estado do controlador-processo-perturbacao.

Solucao:


a) Da funcao de transferencia de C(s) podemos tirar que

a1 = 0d = 0b1 = 0, 8.

A forma canonica de controlabilidade do controlador e

xa = u = 0, 8xa.

b) Da funcao de transferencia de P (s) podemos tirar que

a1 = 6a2 = 8d = 0b1 = 0b2 = 2.

A forma canonica de controlabilidade do processo e

xb =[6 81 0

]xb +

[10

]u

yf =[0 2

]xa.

c) O sinal W (t) satisfaz

dW

dt= 0.

Assim,

a1 = 0.

A perturbacao e entao modelada por

xp = 0W = xp.

d)Do controlador

30 Notas de Aula

Fa = 0Ga = 1Ha = 0, 8Ja = 0.

Do processo

Fb =[6 81 0

]Gb =

[10

]Hb =

[0 2

]Jb = 0.

Podemos escrever

GbHa =[10

]0, 8 =

[0, 80

]GbJa =

[10

]0 =

[00

]JaHb = 0JbJa = 0.

Assim

[xaxb

]=

[Fa 0

GbHa Fb

] [xaxb

]+[

GaGbJa

]

yf =[JbHa Hb

] [ xaxb

]+ JbJa, (1.1)

gera

xf =

0 0 00, 8 6 80 1 0

xf +100

yf =

[0 0 2

]xf .

e) podemos escrever que


Ff =

0 0 00, 8 6 80 1 0

Gf =

100

Hf =

[0 0 2

]Jf = 0Fp = 0Hp = 1.

Entao

[xfxp

]=

[Ff 00 Fp

] [xfxp

]+[Gf0

]

y =[Hf Hp

] [ xfxp

]+ Jf,

gera

[xfxp

]=

0 0 0 00, 8 6 8 00 1 0 00 0 0 0

[ xfxp]+

1000

y =

[0 0 2 1

] [ xfxp

].

1.13 Solucao Temporal

1.13.1 Caso Contnuo

Seja o sistema de ordem n,

x = Fx+Guy = Hx+ Ju.

A solucao e dada pelas equacoes

x(t) = eF(tt0)x(t0) + tt0

eF(t)Gu()d

y(t) = H[eF(tt0)x(t0) + tt0

eF(t)Gu()d ] + Ju(t).

32 Notas de Aula

A matriz eFt e definida pela serie

eFt = I+11!Ft+

12!F2t2 +

13!F3t3 + ,

e tem a seguinte propriedade

eF(t1+t2) = eFt1eFt2 .


Seja o sistema de ordem n,

x(k + 1) = x(k) + u(k)y(k) = Hx(k) + Ju(k).

A solucao e dada pelas equacoes

x(k) = (kk0)x(k0) +(k1)j=k0

(kj1)u(j)

y(k) = H[(kk0)x(k0) +(k1)j=k0

(kj1)u(j)] + Ju(k).

1.14 Determinacao da Equacao de Estado Disc-reta a Partir da Contnua

Considere a Figura 1.18, que apresenta um processo controlado por um contro-lador analogico.

PROCESSOCONTROLADORr y

W

+

+

ysu

+

Figura 1.18: Controle Analogico.

Considere a seguinte Figura 1.19, onde o controlador analogico foi sub-stitudo por um computador digital.

As seguintes consideracoes podem ser feitas:


PROCESSOCD CDACADr+

u ys

+

+

W

y

Figura 1.19: Controle Digital.

CALCULAR

CAD

LER

CDA

ENVIAR PARA OPROCESSO :

T

(k)

u(k)

u(k)

Figura 1.20: Calculo de u(k).

PROCESSOBOZCD

CDACAD

TT

T

y

W

+

+

ysu

+

r

T

Figura 1.21: Modelo do Computador.

34 Notas de Aula

PROCESSO

CD

BOZ

ys

y

+ +

+

r W

TT

TT

Figura 1.22: Processo&BOZ.

1. computadores digitais trabalham internamente com numeros binarios. Por-tanto, pela Figura 1.19, vemos que computadores digitais usados em con-trole deverao ter um Conversor Analogico Digital (CAD) para receber osinal analogico do erro, , e um Conversor Digital Analogico para enviarao processo o sinal de comando calculado, u;

2. computadores digitais trabalham com programas. Ver Figura 1.20. Por-tanto, o computador digital usado para substituir um controlador analogicorecebe o sinal de erro toda vez que, no programa que calcula o sinal decomando u, a instrucao de acionar o CAD e executada. Este programa erodado num perodo T , que define o perodo de amostragem.

3. como o programa que calcula u roda no perodo T , o sinal de comando eatualizado de T em T segundos. Este sinal e enviado ao processo atravesdo CDA. Assim, o sinal de comando u permanece constante (sustentado)enquanto nao e atualizado, ou seja, u() = u(kT ) para kT < (k+1)T .Desta forma, tudo se passa como se o sinal de contrlole fosse calculado peri-odicamente de T em T segundos, e este resultado entrasse num Bloqueadorde Ordem Zero (BOZ).

Cumpre observar que o programa que calcula u leva algum tempo paraser rodado: tempo de conversao do CAD; tempo de calculo propriamentedito; e tempo de conversao do CDA. O perodo de amostragem T deve,entao, ser maior que a soma destes tres tempos, tu. Na pratica, o perodode amostragem, T , e muitas vezes maior que tu, ou seja, tu


CDA, por uma chave em cascata com um BOZ.A Figura 1.21 pode ser redesenhada conforme a Figura 1.22. Desta figura

vemos que:

1. o processo visto pelo computador e, na realidade, o processo associado aum BOZ, onde as entradas e a sada sao amostradas. Portanto, o sistemacomposto de processo e BOZ pode ser descrito por equacoes a diferenca,no domnio tempo; ou Transformada Z, no domnio frequencia;

2. como o conjunto formado pelo processo e pelo BOZ pode ser descrito poruma equacao a diferenca, tambem podemos representa-lo por equacoes deestado;

3. o programa que calcula u e um algortimo que reflete uma equacao adiferenca. Portanto, podemos tambem escrever este programa a partir deequacoes de estado;

4. tanto o sinal de referencia r, como a perturbacao sao sinais apenas amostra-dos, nao estando associados a BOZs.

Em virtude destas observacoes, vamos ver, em seguida, como se calcula aequacoes de estado discretas a partir das equacoes de estado contnuas.

1.14.1 Modelo do BOZ-Processo

Seja o sistema contnuo de ordem n,


A solucao x(t) e dada por

x(t) = eF(tt0)x(t0) + tt0

eF(t)Gu()d

Se T e o perodo de amostragem, podemos definir que

t = (k + 1)Tt0 = kT.

Assim, vem que

x((k + 1)T ) = eFTx(kT ) + (k+1)TkT

eF((k+1)T)Gu()d.

Mas, vimos que u() = u(kT ) para kT < (k + 1)T . Assim,

x((k + 1)T ) = eFTx(kT ) +

( (k+1)TkT

eF((k+1)T)d

)Gu(kT ).

36 Notas de Aula

Fazendo uma mudanca de variaveis dentro da integral = (k + 1)T ,podemos escrever que d = d; que = 0 quando = (k + 1)T ; e que = Tquando = kT . Assim, (k+1)T

kT

eF((k+1)T)d = 0T

eFd

= T0

eFd.

Podemos, entao, escrever que

x(k + 1) = eFTx(k) +

( T0

eFd

)Gu(kT ).

Assim, identificamos

= eFT

=

( T0

eFd

)G.


= I+12!FT +

13!F2T 2 +

= I+ FT = TG.

O modelo discreto do BOZ-Processo e

x(k + 1) = x(k) + u(k)y(k) = Hx(k) + Ju(k).

1.14.2 Exemplo

Seja o sistema contnuo

x =

6 8 0, 81 0 00 0 0

x+001

uy =

[0 2 0

]x.

Achar o modelo discreto BOZ&Sistema, considerando um perodo de amostragemde 0, 1 segundos.

Solucao:


Podemos escrever

F =

6 8 0, 81 0 00 0 0

G =

001

H =

[0 2 0

]J = 0,

eT = 0, 1.

Em 6 iteracoes, a matriz e

=

1 0 00 1 00 0 1

+ 12!FT +

13!F2T 2 +

14!F3T 3 +

15!F4T 4 +

16!F5T 5

=

0, 7421 0, 3286 0, 03290, 0411 0, 9885 0, 00120 0 1

.As matrizes e sao

= I+ FT =

0, 5219 0, 5936 0, 05940, 0742 0, 9671 0, 00330 0 1

= TG =

0, 00330, 00010, 1000

.O BOZ&Sistema sera

x(k + 1) =

0, 5219 0, 5936 0, 05940, 0742 0, 9671 0, 00330 0 1

x(k) +0, 00330, 00010, 1000

u(k)y(k) =

[0 2 0

]x(k).

1.14.3 Modelo da Perturbacao

Dois metodos podem se usados:

38 Notas de Aula

Primeiro Metodo

O primeiro metodo e o metodo dos coeficientes a determinar, que ja foi visto.Conhecendo-se W (t), determina-se W (kT ). Procura-se achar uma equacao adiferenca homogenea. Em seguida usa-se a Forma Canonica de Observabilidadediscreta.

Segundo Metodo

O segundo metodo tambem ja foi visto. E` o metodo que usa tabela.

Terceiro Metodo

Suponhamos que W (t) e dada pelo sistema contnuo de ordem n,

x = FxW = Hx.

Calcula-se por

= I+12!FT +

13!F2T 2 +

= I+ FT.

O modelo discreto da perturbacao e

x(k + 1) = x(k)W (k) = Hx(k).

1.15 Exerccios

1. Achar o modelo em variaveis de estado na forma canonica de controlabilidadede:

a)s+ 1

s2 + 5s+ 2

b)3z2 + 4z + 8z2 + 5z + 1

c)dy2

dt= 2

dy

dt+ 8y + 2

du2

dt2+ 3u

d)

dy

dt= 2y + 4u


e)

y(k + 3) = 0, 5y(k + 2) + 0, 8y(k) + 2u(k + 2) + 5u(k + 1) + 0.7u(k)

f)

41 + s1 + 10s

.

2. Achar o modelo em variaveis de estado na forma canonica de observabil-idade dos sistemas do Exerccio 1.

3. Seja o sistema da Figura 1.23. A funcao de transferencia do controladore

C(s) =2s

e a funcao de transferencia do processo e

G(s) =0, 4

s2 + 0, 125s+ 0, 3

CONTROLADOR PROCESSO

y

r+

u

Figura 1.23: Exerccio 3.

a) Modele C(s) em variaveis de estado na forma canonica de controlabilidade;b) Modele G(s) em variaveis de estado na forma canonica de observabilidade;c) Com os resultados de a) e b), modele a malha direta em variaveis de

estado;ed) Modele o sistema realimentado.4. Discretizar o sistema abaixo, em cascata com um Bloqueador de Ordem

Zero, considerando um perodo de amostragem T = 0.1 segundos.

d

dtx =

1 2 10 2 31 0 4

x+ 21

0

uy =

[1 0 1

]x.

5. Achar o modelo em variaveis de estado das seguintes perturbacoes:

40 Notas de Aula

a) W = 5sen(12t);b) W = 8 cos(5t);c) W = 3t2;d) W = 4t+ 5; ee) Determinar pelo metodo dos coeficientes a determinar o modelo discreto

de W = 3t2 para T = 0, 05 segundos;f) Determinar pelo metodo dos coeficientes a determinar o modelo discreto

de W = 4t+ 5 para T = 0, 05 segundos.


1.16 Respostas dos Exerccios

1.a)

x =[5 21 0

]x+

[10

]u

y =[1 1

]x.

b)

x(k + 1) =[5 11 0

]x(k) +

[10

]u(k)

y(k) =[11 5]x(k) + 3u(k).

c)

x =[2 81 0

]x+

[10

]u

y =[4 19

]x+ 2u.

d)

x = 2x+ uy = 4x.

e)

x(k + 1) =

0, 5 0 0, 81 0 00 1 0

x(k) +100

u(k)y(k) =

[2 5 0, 7

]x(k).

f)

x = 0, 1x+ uy = 0, 36x+ 0, 4u.

2.a)

x =[5 12 0

]x+

[11

]u

y =[1 0

]x.

b)

x(k + 1) =[5 11 0

]x(k) +

[115

]u(k)

y(k) =[1 0

]x(k) + 3u(k).

42 Notas de Aula

c)

x =[2 18 0

]x+

[419

]u

y =[1 0

]x+ 2u.

d)

x = 2x+ 4uy = x.

e)

x(k + 1) =

0.5 1 00 0 10, 8 0 0

x(k) + 250, 7

u(k)y(k) =

[1 0 0

]x(k).

f)

x = 0, 1x+ 0, 36uy = x+ 0, 4u.

3.a)

x = u = 2x.

b)

x =[0, 125 10, 3 0

]x+

[00, 4

]u

y =[1 0

]x.

c)

x =

0 0 00 0, 125 10, 8 0, 3 0

x+100

y =

[0 1 0

]x.

d)

x =

0 1 00 0, 125 10, 8 0, 3 0

x+100

ry =

[0 1 0

]x.


4.

x(k + 1) =

1, 113 0, 233 0, 1670, 019 1, 223 0, 4060, 129 0, 013 1, 500

x(k) +0, 2220, 1120, 012

u(k)y(k) =

[1 0 1

]x(k).

5.a)

x =[

0 1144 0

]x

W =[1 0

]x.

b)

x =[

0 125 0

]x

W =[1 0

]x.

c)

x =

0 1 00 0 10 0 0

xW =

[1 0 0

]x.

d)

x =[0 10 0

]x

W =[1 0

]x.

e)

x(k + 1) =

3 1 03 0 11 0 0

x(k)W (k) =

[1 0 0

]x(k).

f)

x(k + 1) =[2 11 0

]x(k)

W (k) =[1 0

]x(k).

Captulo 2

Controlabilidade,Observabilidade eEstabilidade

O principal objetivo deste captulo e definir Controlabilidade, Observabilidadee Estabilidade, e suas decorrencias diretas. Estes tres conceitos fundamentamo projeto de estabilizadores que e parte integrante de seguidores robustos.

2.1 Conceito de Controlabilidade

O conceito de controlabilidade e fundamental para o projeto de estabilizadoresusando realimentacao de estado. Um sistema instavel, porem controlavel, podeser estabilizado e, em consequencia, esta se torna uma condicao necessaria quepermite projetar com seguranca controladores para sistemas.

2.1.1 Caso Contnuo

Definicao de Controlabilidade : Sejam xi e xf pontos do espaco de estadoarbitrariamente escolhidos.

O sistema contnuo, de ordem n,

x = Fx+Gu,

e controlavel se e somente se existe um sinal de controle u(t), definido no in-tervalo [t0, t0 + ], que transfira o estado do ponto xi = x(t0) (estado inicial)para o ponto xf = x(t0 + ) (estado final), onde t0 e sao um numeros reaise 0. Pode-se demonstrar que esta definicao e equivalente ao Criterio deControlabilidade, apresentado em seguida.

Criterio de Controlabilidade: O sistema contnuo, de ordem n,

x = Fx+Gu,

44

Controlabilidade, Observabilidade e Estabilidade 45

e controlavel se e somente se a matriz de controlabilidade,

Cx =[G FG F(n1)G ] ,

e nao singular.

2.1.2 Caso Discreto

Definicao de Controlabilidade: Sejam xi e xf pontos do espaco de estadoarbitrariamente escolhidos.

O sistema discreto, de ordem n,

x(k + 1) = x(k) + u(k),

e controlavel se e somente se existe um sinal de controle u(k), definido em[k0, k0 +m], que transfira o estado do ponto xi = x(k0) (estado inicial) para oponto xf = x(k0 +m) (estado final), onde k0 e m sao inteiros e m n.

Criterio de Controlabilidade: O sistema discreto, de ordem n,

x(k + 1) = x(k) + u(k),

e controlavel se e somente se a matriz de controlabilidade,

Cx =[ (n1) ] ,

e nao singular.

2.2 Conceito de Observabilidade

Para se realizar esquemas de seguimento robusto, e necessario a utilizacao decontrole por realimentacao de estado. Quando o estado nao e mensuravel, e im-possvel a implementacao deste tipo de controle. Porem, e possvel obter umaestimativa do vetor x, usando apenas os sinais de entrada, u, e de sada, y, quesao sempre mensuraveis. O esquema que estima o estado a partir da entrada eda sada e denominado de Observador de Estado. O conceito de observabilidadee importante para a construcao de observadores de estado. Esquemas de con-trole por realimentacao de estado podem ser implementados usando o estadoestimado, x, ao inves do estado real, x.

2.2.1 Caso Contnuo

Definicao de Observabilidade: O sistema contnuo, de ordem n,


46 Notas de Aula

e observavel se e somente se existe um numero real tal que o estado x(0) doespaco de estado possa ser determinado de u(t) e y(t) para 0 t .

Criterio de Observabilidade: O sistema contnuo, de ordem n,


e observavel se e somente se a matriz de observabilidade

Ox =

HHF...

HF(n1)

,e nao singular.

2.2.2 Caso Discreto

Definicao de Observabilidade: O sistema discreto, de ordem n,

x(k + 1) = x(k) + u(k)y(k) = Hx(k) + Ju(k),

e observavel se e somente se existe existe um numero inteiro m tal que o estadox(0) do espaco de estado possa ser determinado de u(k) e y(k) para 0 k m.

Criterio de Observabilidade: O sistema discreto, de ordem n,

x(k + 1) = x(k) + u(k)y(k) = Hx(k) + Ju(k),

e observavel se e somente se a matriz de observabilidade

Ox =

HH...

H(n1)

,e nao singular.

2.3 Domnio Frequencia

Antes de apresentarmos o assunto, vamos recordar tres propriedade de determi-nantes e o conceito de matriz adjunta.

Teorema: Sejam A, B e C matrizes quadradas, onde C e nao singular.Entao

det(AB) = det(A) det(B)det(C) det(C1) = 1

det(A) = det(AT ).


Definicao: Seja A uma matriz quadrada nao singular de dimensao n.A matriz,

=

11 12 1n21 22 2n...

......

n1 n2 nn

,e a matriz de cofatores de A. O cofator ij de A e definido por

ij = (1)i+j det(Mij),onde a matriz menorMij de A , de dimensao n1, e a matriz A sem a i-esimalinha e sem a j-esima coluna.

A matriz adjunta de A e a transposta de sua matriz de cofatores

adj(A) = T =

11 21 n112 22 n2...

......

1n 2n nn

.Teorema: Seja A uma matriz quadrada nao singular de dimensao n. Entao

A1 =adj(A)det(A)

.

2.3.1 Caso Contnuo

Seja o sistema contnuo, de ordem n,


A Transformada de Laplace deste sistema e

sx(s) = Fx(s) +Gu(s)y(s) = Hx(s) + Ju(s).


(sI F)x(s) = Gu(s)x(s) = (sI F)1Gu(s)y(s) = H(sI F)1Gu(s) + Ju(s)

= [H(sI F)1G+ J ]u(s).A funcao de transferencia e

f(s) = H(sI F)1G+ J.

48 Notas de Aula


f(s) = H(sI F)1G+ J=

Hadj(sI F)Gdet (sI F) + J

=Hadj(sI F)G+ det (sI F)J

det (sI F) .

Ve-se claramente que o polinomio caracterstico e

det (sI F),e que a equacao caracterstica e

det (sI F) = 0.Algumas propriedades, relativas a polinomios caractersticos, sao impor-

tantes.Teorema: Se A e B sao matrizes quadradas, entao

det(sI

[A C0 B

])= det(sIA) det(sI B)

det(sI

[A 0C B

])= det(sIA) det(sI B)

Teorema:

det

sIa1 a2 an

0

In1...0

= sn a1sn1 an

det

sI

a1a2 In1...an 0 0

= sn a1sn1 an.

Teorema: Se T e nao singular e A = T1FT, entao

det (sIA) = det (sI F).

2.3.2 Caso Discreto

Seja o sistema discreto, de ordem n,

x(k + 1) = x(k) + u(k)y(k) = Hx(k) + Ju(k).


A Transformada Z deste sistema e

zx(z) = x(z) + u(z)y(z) = Hx(z) + Ju(z).

A funcao de transferencia e

f(z) = H(zI)1+ J.


f(z) =Hadj(zI)+ det (zI)J

det(zI) .

O polinomio caracterstico e

det (zI),

e que a equacao caracterstica e

det (zI) = 0.

Algumas propriedades, relativas a polinomios caractersticos, sao impor-tantes.

Teorema: Se A e B sao matrizes quadradas, entao

det(zI

[A C0 B

])= det(zIA) det(zIB)

det(zI

[A 0C B

])= det(zIA) det(zIB)

Teorema:

det

zIa1 a2 an

0

In1...0

= zn a1zn1 an

det

zI

a1a2 In1...an 0 0

= zn a1zn1 an.

Teorema: Se T e nao singular e A = T1FT, entao

det (zIA) = det (zI F).

50 Notas de Aula

2.4 Estabilidade

2.4.1 Caso Contnuo

Definicao de Estabilidade: O sistema, de ordem n,


e estavel se para toda entrada limitada, a sada e limitada.Criterio de Estabilidade: A condicao para que o sistema, de ordem n,


seja estavel e que todas as razes da equacao caracterstica,

det (sI F) = 0,tenham parte real negativa.

Teorema de Estabilidade: Seja o sistema, de ordem n,

x = Fx.

Se todas as razes da equacao caracterstica,

det (sI F) = 0,tiverem parte real negativa, entao

limtx(t) = 0,

para toda condicao inicial x(0).

2.4.2 Caso Discreto

Definicao de Estabilidade: O sistema, de ordem n,

x(k + 1) = x(k) + u(k)y(k) = Hx(k) + Ju(k),

e estavel se para toda entrada limitada, a sada e limitada.Criterio de Estabilidade: A condicao para que o sistema, de ordem n,

x(k + 1) = x(k) + u(k)y(k) = Hx(k) + Ju(k),

seja estavel e que todas as razes da equacao caracterstica,

det (zI) = 0,


estejam dentro do crculo unitario.Teorema de Estabilidade: Seja o sistema, de ordem n,

x(k + 1) = x(k).

Se todas as razes da equacao caracterstica,

det (zI) = 0,

estiverem dentro do crculo unitario, entao

limk

x(k) = 0,

para toda condicao inicial x(0).

2.5 Teorema de Kalman

Este teorema relaciona controlabilidade e observabilidade com funcao de trans-ferencia.

2.5.1 Caso Contnuo

Teorema: Seja

f(s) =Hadj(sI F)G+ det (sI F)J

det (sI F) =N(s)D(s)

a funcao de transferencia do sistema


O sistema

x = Fx+Guy = Hx+ Ju

e controlavel e observavel se e somente se os polinomios N(s) e D(s) nao temrazes comuns.

2.5.2 Caso Discreto

Teorema: Seja

f(z) =Hadj(zI)+ det (zI)J

det(zI) =N(z)D(z)

52 Notas de Aula

a funcao de transferencia do sistema

x(k + 1) = x(k) + u(k)y(k) = Hx(k) + Ju(k).

O sistema

x(k + 1) = x(k) + u(k)y(k) = Hx(k) + Ju(k)

e controlavel e observavel se e somente se os polinomios N(z) e D(z) nao temrazes comuns.

Uma implicacao pratica importante deste teorema e que a Forma Canonicade Controlabilidade e a Forma Canonica de Observabilidade, obtidas a partir deuma funcao de transferencia, sao equacoes de estado controlaveis e observaveis.

2.6 Transformacao de Similaridade

2.6.1 Caso Contnuo

Considere o sistema contnuo, de ordem n,


e uma matriz n n, nao singular T. Se definirmos

x = Tz,

entao podemos escrever

T1x = T1Fx+T1Guz = T1FTz+T1Guy = HTz+ Ju,

o que permite escrever

z = Az+Buy = Cz+ Ju,

onde

A = T1FTB = T1GC = HT.


Teorema:

Cx = TCzOz = OxT.

Prova: Observe que[T1FT]i = T1FiT,

onde i e um numero inteiro. Assim,

Cx =[G FG F(n1)G ]

= TT1[G FTT1G F(n1)TT1G ]

= T[T1G T1FTT1G T1F(n1)TT1G ]

= T[B T1FTB T1F(n1)TB ]

= T[B T1FTB (T1FT)(n1)B ]

= T[B AB A(n1)B ]

= TCzDe maneira similar, pode-se provar a outra parte do teorema.

2.6.2 Caso Discreto

Considere o sistema discreto, de ordem n,

x(k + 1) = x(k) + u(k)y(k) = Hx(k) + Ju(k),

e uma matriz n n, nao singular T. Se definirmosx(k) = Tz(k),

entao podemos escrever

z(k + 1) = Az(k) +Bu(k)y(k) = Cz(k) + Ju(k),

onde

A = T1FTB = T1GC = HT.

Teorema:

Cx = TCzOz = OxT.

54 Notas de Aula

2.7 Forma Canonica de Controlabilidade

Todo sistema controlavel, seja discreto ou contnuo, pode ser posto na formacanonica de controlabilidade. Dois metodos serao apresentados.

2.7.1 Caso Contnuo

Seja o sistema, de ordem n,


controlavel. Existe uma matriz, n n, nao singular T, tal que

x = Tz,

e


onde

A = T1FT =

a1 a2 an

0

In1...0

,e

B = T1G =

10...0

.Dois metodos serao usados para a determinacao de T:Primeiro Metodo:

1. de F e G, calcular a matriz de controlabilidade

Cx =[G FG F(n1)G ] ;

2. determinar a ultima linha, rn de sua inversa

Cx1 =

r1r2...rn

;


3. a inversa de T e

T1 =

rnF(n1)

rnF(n2)...rn

.Segundo Metodo:

1. calcular o polinomio caracterstico associado a` F

det (sI F) = sn a1sn1 an;

2. calcular

A =

a1 a2 an

0

In1...0

,e

B =

10...0

;3. de A e B, calcular a matriz de controlabilidade

Cz =[B AB A(n1)B ] ;

4. de F e G, calcular a matriz de controlabilidade

Cx =[G FG F(n1)G ] ;

5. a inversa de T eT1 = CzCx1.

2.7.2 Caso Discreto

Seja o sistema, de ordem n,

x(k + 1) = x(k) + u(k)y(k) = Hx(k) + Ju(k),

controlavel. Existe uma matriz, n n, nao singular T, tal que

x(k) = Tz(k),

56 Notas de Aula

e


onde

A = T1FT =

a1 a2 an

0

In1...0

,e

B = T1G =

10...0

.Dois metodos serao usados para a determinacao de T:Primeiro Metodo:

1. de e , calcular a matriz de controlabilidade

Cx =[ (n1) ] ;

2. determinar a ultima linha, rn de sua inversa

Cx1 =

r1r2...rn

;3. a inversa de T e

T1 =

rn(n1)

rn(n2)...rn

.Segundo Metodo:

1. calcular o polinomio caracterstico associado a`

det (zI ) = zn a1zn1 an;

2. calcular

A =

a1 a2 an

0

In1...0

,


e

B =

10...0

;3. de A e B, calcular a matriz de controlabilidade

Cz =[B AB A(n1)B ] ;

4. de e , calcular a matriz de controlabilidade

Cx =[ (n1) ] ;

5. a inversa de T eT1 = CzCx1.

2.8 Forma Canonica de Observabilidade

Todo sistema observavel, seja discreto ou contnuo, pode ser posto na formacanonica de observabilidade. Dois metodos serao apresentados.

2.8.1 Caso Contnuo

Seja o sistema observavel, de ordem n,


Existe uma matriz, n n, nao singular T, tal quex = Tz,

e


onde

A = T1FT =

a1a2 In1...an 0 0

,e

C = HT =[1 0 0 ] .

Dois metodos serao usados para a determinacao de T:Primeiro Metodo:

58 Notas de Aula

1. de F e H, calcular a matriz de observabilidade

Ox =

HHF...

HF(n1)

;2. determinar a ultima coluna, rn, de sua inversa

Ox1 =[r1 r2 rn

];

3. a matriz T e

T =[F(n1)rn F(n2)rn rn

].

Segundo Metodo:

1. calcular o polinomio caracterstico associado a` F

det (sI F) = sn a1sn1 an;

2. calcular

A =

a1a2 In1...an 0 0

,e

C =[1 0 0 ] ;

3. de A e C, calcular a matriz de observabilidade

Oz =

CCA...

CA(n1)

;4. de F e H, calcular a matriz de observabilidade

Ox =

HHF...

HF(n1)

;5. a matriz T e

T = Ox1Oz.


2.8.2 Caso Discreto

Seja o sistema observavel, de ordem n,

x(k + 1) = x(k) + u(k)y(k) = Hx(k) + Ju(k).

Existe uma matriz, n n, nao singular T, tal que

x(k) = Tz(k),

e


onde

A = T1FT =

a1a2 In1...an 0 0

,e

C = HT =[1 0 0 ] .

Dois metodos serao usados para a determinacao de T:Primeiro Metodo:

1. de e H, calcular a matriz de observabilidade

Ox =

HH...

H(n1)

;

2. determinar a ultima coluna, rn, de sua inversa

Ox1 =[r1 r2 rn

];

3. a matriz T e

T =[(n1)rn (n2)rn rn

].

Segundo Metodo:

1. calcular o polinomio caracterstico associado a`

det (zI ) = zn a1zn1 an;

60 Notas de Aula

2. calcular

A =

a1a2 In1...an 0 0

,e

C =[1 0 0 ] ;

3. de A e C, calcular a matriz de observabilidade

Oz =

CCA...

CA(n1)

;4. de e H, calcular a matriz de observabilidade

Ox =

HH...

H(n1)

;5. a matriz T e

T = Ox1Oz.

2.9 Exemplo

Seja o sistema

x =

6 8 0, 81 0 00 0 0

x+001

uy =

[0 2 0

]x.

Encontrar:a) Verificar se o sistema e controlavel;b) Encontrar a forma canonica de controlabilidade pelo primeiro metodo;c) Verificar se o sistema e observavel;d) Encontrar a forma canonica de observabilidade pelo primeiro metodo;e) Achar o polinomio caracterstico diretamente e pelas propriedades;f) Encontrar a forma canonica de observabilidade pelo segundo metodo;g) Achar a funcao de transferencia.

Solucao:


a) Do sistema podemos escrever que

F =

6 8 0, 81 0 00 0 0

G =

001

H =

[0 2 0

].

Mas

F2 =

6 8 0, 81 0 00 0 0

6 8 0, 81 0 00 0 0

=28 48 4, 86 8 0, 80 0 0

FG =

6 8 0, 81 0 00 0 0

001

=0, 800

F2G =

28 48 4, 86 8 0, 80 0 0

001

=4, 80, 8

0

.Assim,

Cx =[G FG F2G

]=

0 0, 8 4, 80 0 0, 81 0 0

e

det(Cx) = 0, 64 6= 0.Portanto, o sistema e controlavel.b) Primeiro passo: Vimos que

Cx =0 0, 8 4, 80 0 0, 81 0 0

.Segundo passo:

C1x = 0 0 11, 25 7, 5 0

0 1, 25 0

= r1r2r3

.Terceiro passo:

62 Notas de Aula

r3 =[0 1, 25 0

]r3F =

[1, 25 0 0

]r3F2 =

[7, 5 10 1]A matriz T1 e

T1 =

r3F2r3Fr3

=7, 5 10 11, 25 0 0

0 1, 25 0

e

T =

0 0, 8 00 0 0, 81 6 8

.Finalmente podemos escrever que

A = T1FT =

7, 5 10 11, 25 0 00 1, 25 0

6 8 0, 81 0 00 0 0

0 0, 8 00 0 0, 81 6 8

=

6 8 01 0 00 1 0

B = T1G =

7, 5 10 11, 25 0 00 1, 25 0

001

=

100

C = HT =[0 2 0

] 0 0, 8 00 0 0, 81 6 8

=

[0 0 1, 6

].

c) Podemos escrever que

H =[0 2 0

]HF =

[2 0 0

]


HF2=[12 16 1, 6] .

Assim,

Ox = HHFHF2

= 0 2 02 0 012 16 1, 6

e

det(Ox) = 6, 4 6= 0.Assim, o sistema e observavel.

d) Primeiro passo:

Ox = 0 2 02 0 012 16 1, 6

Segundo passo:

O1x =[r1 r2 r3

]=

0 0, 5 00, 5 0 05 3, 75 0, 625

Terceiro passo:

r3 =

000, 625

T =

[F2r3 Fr3 r3

]=

3 0, 5 00, 5 0 00 0 0, 625

T1=

0 2 02 12 00 0 1, 6

.Podemos finalmente escrever

A = T1FT =

6 1 08 0 10 0 0

B = T1G =

001, 6

C = HT =

[1 0 0

].

64 Notas de Aula

e) Pelo metodo direto

sI F =s 0 00 s 00 0 s

6 8 0, 81 0 00 0 0

=

s+ 6 8 0, 81 s 00 0 s

.Assim,

det(sI F) =s3 + 6s2 + 8s.Pelas propriedades

F =[A C0 B

]=

6 8 0, 81 0 00 0 0

.Assim, por inspecao

A =[6 81 0

]B =0

C =[0, 80

]Entao

det(sI F) = det(sIA) det(sIB)= det(sI

[6 81 0

])s

= s3 + 6s2 + 8s.

f) Primeiro passo:

det(sI F) =s3 + 6s2 + 8s+ 0Segundo passo:

A =

6 1 08 0 10 0 0

C =

[1 0 0

]


Terceiro passo:

Oz = CCACA2

= 1 0 06 1 028 6 1

Quarto passo:

Ox = HHFHF2

= 0 2 02 0 012 16 1, 6

Quinto passo:

O1x = 0 0, 5 00, 5 0 05 3, 75 0, 625

Quinto passo:

T = Ox1Oz =3 0, 5 00, 5 0 00 0 0, 625

.g)

f(s) =Hadj(sI F)Gdet (sI F) .

Mas,

det(sI F) = s3 + 6s2 + 8s= s(s2 + 6s+ 8)

adj(sI F) =11 12 1321 22 2331 32 33

T

=

11 21 3112 22 3213 23 33

e

66 Notas de Aula

Hadj(sI F)G = [0 2 0]11 21 3112 22 3213 23 33

001

= 232

sI F =s+ 6 8 0, 81 s 0

0 0 s

Mas,

ij = (1)i+j det(Mij)e

32 = (1)3+2 det(M32)= det(M32)= det(

[s+ 6 0, 81 0

]) = 0, 8

Hadj(sI F)G =232 = 1, 6e finalmente

f(s) =1, 6

s(s2 + 6s+ 8).

2.10 Exerccios

1. Seja o sistema

x(k + 1) =

1 2 10 2 31 0 4

x(k) + 01

0

u(k)y(k) =

[1 0 1

]x(k).

a) Determinar a funcao de transferencia;b) Verificar se o sistema e estavel;c) Verificar se o sistema e controlavel;


d) Determinar a Forma Canonica de Controlabilidade pelo primeirometodo;e) Determinar a Forma Canonica de Controlabilidade pelo segundometodo;f) Determinar a funcao de transferencia a partir da Forma Canonica de

Controlabilidade.2. Seja o sistema

x =

1 2 10 2 31 0 4

x+ 01

0

uy =

[1 0 1

]x.

a) Verificar se o sistema e observavel;b) Determinar a Forma Canonica de Observabilidade pelo primeiro metodo;c) Determinar a Forma Canonica de Observabilidade pelo segundometodo;d) Determinar a funcao de transferencia a partir da Forma Canonica de

Observabilidade.

68 Notas de Aula

2.11 Respostas dos Exerccios

1.a)

f(z) =2z 6

z3 7z2 + 13z 12 .

b) sistema instavel, pois tem um polo igual a 4, 819 que esta fora do crculounitario.

c) sistema controlavel, pois det(Cx) = 4 6= 0.d)

x(k + 1) =

7 13 121 0 00 1 0

x(k) + 10

0

u(k)y(k) =

[0 2 6 ]x(k).

e) resposta igual a do item d).f) resposta igual a do item a).

2.a) sistema observavel, pois det(Ox) = 18 6= 0.b)

x =

7 1 013 0 112 0 0

x+ 026

uy =

[1 0 0

]x.

c) resposta igual a do item b).d)

f(s) =2s 6

s3 7s2 + 13s 12 .

Captulo 3

Controle Modal eObservador de Estado -Estabilizador 1

O principal objetivo deste captulo e definir o conceito de observador de estadoe de controle modal, como pre-requisitos de projeto de estabilizadores.

3.1 Princpio de Controle Modal

O objetivo de Controle Modal e encontrar um esquema de realimentacao quefaca o estado do sistema a ser controlado convergir para zero em regime per-manente, mesmo que o sistema em malha aberta seja instavel. A realimentacaoe feita atraves do vetor de estado, e todos os polos do sistema realimentadosao arbitrariamente especificados ou escolhidos. Esta estrategia de controle soe possvel ser implementada se o sistema a ser controlado for controlavel. Da aimportancia do conceito de controlabilidade.

3.1.1 Caso Contnuo

Seja o sistema controlavel contnuo, de ordem n,

x = Fx+Gu.

Podemos definir um controlador da seguinte forma

u = Kx,

onde o vetor K, de dimensao [1 n], e convenientemente calculado. Assim,podemos escrever que

x = (FGK)x.

69

70 Notas de Aula

Escolhendo-se K de tal forma que as razes da equacao caracterstica,

det (sI [FGK]) = 0,

tenham parte real negativa, garante-se que

limtx(t) = 0,

assegurando que, em regime permanente, x converge para zero.

3.1.2 Caso Discreto

Seja o sistema controlavel discreto, de ordem n,

x(k + 1) = x(k) + u(k).

Podemos definir um controlador da seguinte forma

u(k) = Kx(k),

onde o vetor K, de dimensao [1 n], e convenientemente calculado. Podemosescrever que

x(k + 1) = ( K)x(k).Escolhendo-se K de tal forma que as razes da equacao caracterstica,

det (zI [ K]) = 0,

estejam dentro do crculo unitario, garante-se que

limk

x(k) = 0,

assegurando que, em regime permanente, a sequuencia x(k) converge para zero.

3.2 Projeto de Controle Modal

A concepcao de projeto e totalmente diferente da do controle classico. Aqui,escolhem-se todas as razes desejadas para o polinomio caracterstico, ou seja,escolhe-se o polinomio caracterstico desejado para o sistema realimentado; e, apartir deste, calcula-se a matriz K.

3.2.1 Caso Contnuo

Vamos descrever o metodo nos seguintes passos:Primeiro Passo:

Dado o sistema contnuo controlavel de ordem n,

x = Fx+Gu,

Controle Modal e Observador de Estado - Estabilizador 1 71

podemos calcular uma transformacao de similaridade T, tal que

x = Tz,

ez = Az+Bu,

onde

A = T1FT =

a1 a2 an

0

In1...0

e

B = T1G

=

10...0

.Segundo Passo:

Vamos especificar, no semiplano esquerdo, a localizacao desejada para os po-los em malha fechada, denotados por 1, , n. A seguir, vamos calcular opolinomio caracterstico desejado para o sistema em malha fechada

sn 1s(n1) n = (s 1)(s 2) (s n).Terceiro Passo:

Podemos, agora, determinar o controlador para o sistema na forma canonica decontrolabilidade, definindo a matriz Kz por

Kz =[a1 1 a2 2 an n

],

e o controlador poru = Kzz.

Observe que

(ABKz) =

1 2 n

0

In1...0

.Podemos escrever que

z = (ABKz)z

=

1 2 n

0

In1...0

z,

72 Notas de Aula

o que comprova que foi estabelecido o polinomio caracterstico especificado, pois

det

sI 1 2 n

0

In1...0

= sn 1sn1 n.

Quarto Passo:A matriz K e dada por

K = KzT1.

Com a definicao acima e o sistema transformado, podemos voltar ao sistemaoriginal

Tz = T(ABKz)z= T(ABKz)T1Tz= (TAT1)Tz (TB)(KzT1)Tz,

e que

x = FxGKx= Fx+Gu.

3.2.2 Caso Discreto


Dado o sistema controlavel discreto de ordem n,

x(k + 1) = x(k) + u(k),


x(k) = Tz(k),

ez(k + 1) = Az(k) +Bu(k),

onde

A = T1T =

a1 a2 an

0

In1...0

e

B = T1

=

10...0

.


Segundo Passo:Vamos especificar, dentro do crculo unitario, a localizacao desejada para ospolos em malha fechada, denotados por 1, , n. A seguir, vamos calcular opolinomio caracterstico desejado para o sistema em malha fechada

zn 1z(n1) n = (z 1)(z 2) (z n).Terceiro Passo:

Podemos, agora, determinar o controlador para o sistema na forma canonica decontrolabilidade, definindo a matriz Kz por

Kz =[a1 1 a2 2 an n

],

e o controlador poru(k) = Kzz(k).

Observe que

(ABKz) =

1 2 n

0

In1...0

.Podemos escrever que

z(k + 1) = (ABKz)z(k)

=

1 2 n

0

In1...0

z(k),o que comprova que foi estabelecido o polinomio caracterstico especificado, pois

det

zI 1 2 n

0

In1...0

= zn 1zn1 n.

Quarto Passo:A matriz K e dada por

K = KzT1.

Com a definicao acima e o sistema transformado, podemos voltar ao sistemaoriginal

Tz(k + 1) = T(ABKz)z(k)= T(ABKz)T1Tz(k)= (TAT1)Tz(k) (TB)(KzT1)Tz(k),

74 Notas de Aula

e que

x(k + 1) = x(k) Kx(k)= x(k) + u(k).

3.3 Princpio de Observador de Estado

Vimos que para se implementar o esquema de controle modal, e necessario se teracesso ao vetor de estado. A necessidade de observador de estado surgiu da im-possibilidade de se medir os estados do sistema a ser controlado, em decorrenciade custo muito elevado ou de impossibilidade tecnica.

Com sempre e possvel medir a entrada e a sada do sistema a ser controlado,pode-se estabelecer um esquema que permita indiretamente estimar (observar)as suas variaveis de estado, desde que o mesmo seja observavel. Da a im-portancia do conceito de observabilidade. Com o estado observado, pode-seimplementar um controle modal como se o estado do sistema a ser controladofosse diretamente medido. Observadores de estado podem ser pensados comomedidores do vetor de estado atraves dos sinais de entrada e de sada.

3.3.1 Caso Contnuo

Seja o sistema contnuo observavel, de ordem n,


Podemos definir um observador da seguinte forma

x = (F LH)x+Gu+ L(y Ju),

onde o vetor L, de dimensao [n 1], e convenientemente calculado.Definindo o vetor erro de estado, x, por

x = x x,

podemos escreverx = (F LH)x.

Escolhendo-se L de tal forma que as razes da equacao caracterstica,

(sI [F LH]) = 0,

tenham parte real negativa, garante-se que

limt x(t) = 0,

assegurando que em regime permanente x e x.


3.3.2 Caso Discreto

Seja o sistema discreto, de ordem n,

x(k + 1) = x(k) + u(k)y(k) = Hx(k) + Ju(k),

observavel. Podemos definir um observador da seguinte forma

x(k + 1) = ( LH)x(k) + u(k) + L(y(k) Ju(k)),

onde o vetor L, de dimensao [n 1], e convenientemente calculado.Definindo o vetor erro de estado, x(k), por

x(k) = x(k) x(k),

podemos escreverx(k + 1) = ( LH)x(k).

Escolhendo-se L de tal forma que as razes da equacao caracterstica,

(zI [ LH]) = 0,

estejam dentro do crculo unitario, garante-se que

limk

x(k) = 0,

assegurando que em regime permanente x(k) e x(k).

3.4 Projeto de Observador de Estado

Quando o processo a ser controlado e observavel, e possvel arbitrariamenteescolher o polinomio caracterstico associado ao observador.

3.4.1 Caso Contnuo


Dado o sistema contnuo observavel, de ordem n,



x = Tz,

76 Notas de Aula

e


onde

A = T1FT =

a1a2 In1...an 0 0

,B = T1G,

eC = HT =

[1 0 0 ] .

Segundo Passo:Vamos especificar, no semiplano esquerdo, a localizacao desejada para os polosdo estimador, denotados por 1, , n. A seguir, vamos calcular o polinomiocaracterstico desejado

sn (n1)1 n = (s 1)(s 2) (s n).Terceiro Passo:

Podemos, agora, determinar o observador para o sistema na forma canonica deobservabilidade, definindo o vetor Lz por

Lz =

a1 1a2 2

...an n

,e o observador por

z = (A LzC)z+Bu+ Lz(y Ju).Observe que

(A LzC) =

12 In1...n 0 0

.Definindo o vetor erro de estado, z, por

z = z z,podemos escrever

z =

12 In1...n 0 0

z,


o que comprova que foi estabelecido o polinomio caracterstico especificado

det

sI

12 In1...n 0 0

= sn 1sn1 n.

Quarto Passo:Vamos retornar agora ao sistema original. Podemos escrever que

T z = T(A LzC)z+TBu+TLz(y Ju).Assim,

T z = T(A LzC)T1Tz+TBu+TLz(y Ju)= (TAT1 TLzCT1)Tz+Gu+TLz(y Ju)= (FTLzH)Tz+Gu+TLz(y Ju).

Definindo-se

x = Tz,L = TLz,

podemos escrever o obsevador

x = (F LH)x+Gu+ L(y Ju).

3.4.2 Caso Discreto


Dado o sistema discreto observavel, de ordem n,

x(k + 1) = x(k) + u(k)y(k) = Hx(k) + Ju(k),


x(k) = Tzk),

e

zk + 1) = Az(k) +Bu(k)y(k) = Cz(k) + Ju(k),

onde

A = T1T =

a1a2 In1...an 0 0

,B = T1,

78 Notas de Aula

eC = HT =

[1 0 0 ] .

Segundo Passo:Vamos especificar, dentro do crculo unitario, a localizacao desejada para ospolos do estimador, denotados por 1, , n. A seguir, vamos calcular opolinomio caracterstico desejado

zn (n1)1 n = (z 1)(z 1) (z n).Terceiro Passo:

Podemos, agora, determinar o observador para o sistema na forma canonica deobservabilidade, definindo o vetor Lz por

Lz =

a1 1a2 2

...an n

,e o observador por

z(k + 1) = (A LzC)z(k) +Bu(k) + Lz(y(k) Ju(k)).Quarto Passo:

Vamos retornar agora ao sistema original. Podemos escrever que

Tz(k + 1) = T(A LzC)z(k) +TBu(k) +TLz(y(k) Ju(k)).Assim,

Tz(k + 1) = T(A LzC)T1Tz(k) +TBu(k) +TLz(y Ju(k))= (TAT1 TLzCT1)Tz(k) + u(k) +TLz(y(k) Ju(k))= (TLzH)Tz(k) + u(k) +TLz(y(k) Ju(k)).

Definindo-se

x(k) = Tz(k),L = TLz,

podemos escrever o obsevador

x(k + 1) = ( LH)x(k) + u(k) + L(y(k) Ju(k)).

3.5 Controle Modal com Observador de Estado- Estabilizador

Quando o estado nao e mensuravel, torna-se necessario realizar um controlemodal com estados observados. Mostraremos que este esquema pode ser re-alizado para todo sistema controlavel e observavel. Este esquema define umestabilizador.


3.5.1 Caso Contnuo

Dado o sistema contnuo controlavel e observavel, de ordem n,


podemos projetar o observador

x = (F LH)x+Gu+ L(y Ju),e definir como lei de controle

u = Kx.Definindo o erro de estado por

x = x x,podemos escrever que[

xx

]=[FGK GK

0 F LH] [

xx

].

Consequentemente,

det(sI

[FGK GK

0 F LH])

= det(sI [FGK]) det(sI [F LH]),

o que prova que os polos do sistema combinado sao os mesmos da uniao dos polosespecificados para o observador e com os polos especificados para o controlador.

Se os polos do observador e os polos do controlador tiverem parte real neg-ativa, entao pelo Teorema da Estabilidade

limt x(t) = 0

limtx(t) = 0

limt y(t) = 0.

Para processos com transferencia direta (J 6= 0)x = Fx+Guy = Hx+ Ju,

o estabilizador pode ser agora definido como

x = (F LHGK+ LJK)x+ Lyu = Kx.

80 Notas de Aula

x = Fx +Gu

y = Hx + Ju

x = [F LHGK + LJK]x + Ly

yu

u = Kx

Figura 3.1: Estabilizador para processos com transferencia direta.

A Figura 3.1 mostra este tipo de estabilizador.Para processos sem transferencia direta

x = Fx+Guy = Hx,

o estabilizador fica definido como

x = (F LHGK)x+ Lyu = Kx.

A Figura 3.2 mostra este tipo de estabilizador.

y

y = Hx

x = [F LHGK]x + Ly x = Fx +Guu = Kx

u

Figura 3.2: Estabilizador para processos sem transferencia direta.

3.5.2 Caso Discreto

Dado o sistema discreto controlavel e observavel, de ordem n,

x(k + 1) = x(k) + u(k)y = Hx(k) + Ju(k),


podemos projetar o observador

x(k + 1) = ( LH)x(k) + u(k) + L(y(k) Ju(k)),e definir como lei de controle

u(k) = Kx(k).Definindo o erro de estado por

x(k) = x(k) x(k),podemos escrever que[

x(k + 1)x(k + 1)

]=[ K K

0 LH] [

x(k)x(k)

].

Consequentemente,

det(zI

[ K K

0 LH])

= det(zI [ K])det(zI [ LH]),

o que prova que os polos do sistema combinado sao os mesmos da uniao dos polosespecificados para o observador e com os polos especificados para o controlador.

Se os polos do observador e os polos do controlador tiverem parte real neg-ativa, entao pelo Teorema da Estabilidade

limt x(k) = 0

limtx(k) = 0

limt y(k) = 0.

Para processos com transferencia direta (J 6= 0)x(k + 1) = x(k) + u(k)

y(k) = Hx(k) + Ju(k),

o estabilizador pode ser agora definido como

x(k + 1) = ( LH K+ LJK)x(k) + Ly(k)u(k) = Kx(k).

A Figura 3.3 mostra este tipo de estabilizador.Para processos sem transferencia direta

x(k + 1) = x(k) + u(k)y(k) = Hx(k),

82 Notas de Aula

u(k)

x(k + 1) = x(k) + u(k)x(k + 1) = [ LH K + LJK]x(k) + Ly(k)u(k) = Kx(k) y(k) = Hx(k) + Ju(k)

y(k)

Figura 3.3: Estabilizador para processos com transferencia direta.

o estabilizador fica definido como

x(k + 1) = ( LH K)x(k) + Ly(k)u(k) = Kx(k).

A Figura 3.4 mostra este tipo de estabilizador.

x(k + 1) = x(k) + u(k)

y(k) = Hx(k)u(k) = Kx(k)

u(k) y(k)

x(k + 1) = [ LH K]x(k) + Ly(k)

Figura 3.4: Estabilizador para processos sem transferencia direta.

3.6 Exemplo

Seja o sistema

x =

1 2 01 2 02 1 3

x+200

uy =

[1 0 1

]x.

a) Encontrar um controle modal de tal forma que os polos do sistema reali-mentado estejam posicionados em 0, 5 , 0, 5 , e 0, 5;


b) Encontrar um observador de estado de tal forma que os polos do sistemaque descreve o erro de estado sejam 1 , 1 , e 1;

c) Encontrar o estabilizador.Solucao:a) Do sistema podemos escrever que

F =

1 2 01 2 02 1 3

G =

200

H =

[1 0 1

].

Primeiro Passo: Encontrar T e A.

Cx =[G FG F2G

]=

2 2 20 2 20 4 14

e

det(Cx) = 72 6= 0.Portanto, o sistema e controlavel.Mas,

C1x =0, 5 0, 5 00 0, 3889 0, 05560 0, 1111 0, 0556

= r1r2r3

.e

r3 =[0 0, 1111 0, 0556

].

A matriz T1 e

T1 =

r3F2r3Fr3

=0, 5 0, 5 0, 50 0, 1667 0, 16670 0, 1111 0, 0556

e

T =

2 2 120 2 60 4 6

.Finalmente podemos escrever que

84 Notas de Aula

A=T1FT =

2 3 01 0 00 1 0

=a1 a2 a31 0 00 1 0

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