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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSOCAMPUS DE SINOP
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Funções Logarítmicas
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
CÁLCULO I
Funções Logarítmicas
1.Função logarítmica natural
2.Propriedades das funções logarítmicas
3.Resolução de equações exponenciais e logarítmicas
4.Aplicações
3
Função logaritmo natural
A função logaritmo natural, representada porln x, se define como
ln x = b se e somente se eb = x.
ln x se lê como “ele-ene de x” ou como “log natural de x”.
1. Função logaritmo natural
4
Esta definição implica que a função logaritmonatural e a função exponencial natural são inversasuma da outra. Assim, toda equação logarítmica podeescrever-se em uma forma exponencial, e vice-versa.
Forma logarítmica ln 1 = 0 ln e = 1 ln 2 ≈ 0,693
Forma exponencial e0 = 1 e1 = e e0,693 ≈ 2
1. Função logaritmo natural
5
Como as funções f(x) = ex e g(x) = ln x sãoinversas uma da outra, seus gráficos são reflexões um do outro em relação à reta y = x. A figura acimailustra esta propriedade reflexiva.
1. Função logaritmo natural
6
Note que o domínio da função logaritmo natural é o conjunto dos números reais positivos – ln x não édefinida para zero nem para números negativos.
1. Função logaritmo natural
7
1. Função logaritmo natural
Domínio: (0, ∞) ln x → ∞ quando x → ∞
Imagem: (-∞, ∞) ln x → -∞ quando x → 0+
Intercepto: (1, 0) Contínua
Sempre crescente Um a um
8
Exemplo 1: Esboce os gráficos das seguintes funções
1. Função logaritmo natural
1,0990,9160,6930,4050-0,693ln (x+1)
21,510,50-0,5X
( ) ln( 1)f x x= +
Domínio: x + 1 > 0 ⇒ x > -1
9
Exemplo 1: Esboce os gráficos das seguintes funções
1. Função logaritmo natural
2,1971,8331,3860,8110-1,3862ln (x-2)
54,543,532,5x
( ) 2ln( 2)f x x= −
Domínio: x - 2 > 0 ⇒ x > 2
10
Propriedades inversas dos logaritmos e dos expoentes
1. ln ex = x2. eln x = x
2. Propriedades das funções logarítmicas
Exemplo 2: Simplifique as expressões seguintes
2 2
ln3 ln ln3
ln Como ln , decorre que ln 2Como , decorre que 3
x
x x x
e e x ee e x e x
= =
= =
11
Propriedades dos logaritmos
2. Propriedades das funções logarítmicas
ln( ) ln ln
ln ln ln
ln lnn
xy x y
x x yy
x n x
= +
⎛ ⎞= −⎜ ⎟
⎝ ⎠=
12
Exemplo 3: Aplique as propriedades dos logaritmos para escrever cada expressão como uma soma, diferença ou múltiplo de logaritmos. (Suponha x > 0 e y > 0).
2. Propriedades das funções logarítmicas
( ) ( )1
2 2 22
22 3 2 3
3
2 3
10. ln ln10 ln99
1. ln 1 ln 1 ln 12
. ln ln( ) ln5 ln ln ln55
. ln ln ln6 ln (ln6 ln )6
ln ln6 ln 2ln ln6 3ln
a
b x x x
xyc xy x y
xd x y x yy
x y x y
⎛ ⎞ = −⎜ ⎟⎝ ⎠
+ = + = +
= − = + −
⎛ ⎞= − = − + =⎜ ⎟
⎝ ⎠= − − = − −
13
Exemplo 4: Aplique as propriedades dos logaritmos para escrever cada expressão como o logaritmo de uma grandeza única. (Suponha x > 0 e y > 0)
2. Propriedades das funções logarítmicas
2 2
3
2
3
. ln 2ln ln ln ln( )
. ln( 1) ln( 2) 3ln ln[( 1)( 2)] ln
3 2 ln
a x y x y xy
b x x xx x x
x xx
+ = + =
+ + + −
= + + −
+ +=
14
Exemplo 5: Resolva as equações seguintes
3. Resolução de equações exponenciais e logarítmicas
5ln ln5
ln5
x
x
ee
x
=
==
0,1
0,1
0,1
0,1
10 3 143 4
43
4ln ln3
40,1 ln3410ln3
t
t
t
t
ee
e
e
t
t
+ =
=
=
=
=
=
15
Exemplo 6: Resolva as equações seguintes
3. Resolução de equações exponenciais e logarítmicas
ln 5
5
ln 5x
xe ex e
=
=
=2
2
2
2
ln 2
2 2
3 2ln 72ln 4ln 2
x
xx
x
e ex ex e
+ =
=
=
=
== ±
16
Exemplo 7: Uma pessoa deposita P reais em uma conta cuja taxa anual de juro é r, composto continuamente. Em quanto tempo a quantia depositada duplicará?
O montante na conta após t anos é
Assim, o montante terá duplicado quando A = 2P. Para achar o “tempo de duplicação”, devemos resolver estaequação em relação a t.
4. Aplicações
rtA Pe=
17
4. Aplicações
2
rtA Pe
P
=
P=
2ln ln2
ln21ln2
rt
rt
rt
ee
ert
tr
=
==
=