Embed Size (px)
Citation preview
Funções Vetoriais Professora: Thais B. Faria
Funções Vetoriais
Conteúdo Programático
1. Introdução
2. Aplicações 3. Definição 4. Operações com as funções vetoriais 5. Limite e Continuidade 6. Curvas Parametrizadas 7. Derivada 8. Reta Tangente
Funções Vetoriais
Introdução
Função vetorial → domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores
FUNÇÕES COM VALORES VETORIAIS
funções vetoriais de uma variável
Função r(t), onde t é uma variável real
Funções Vetoriais
Aplicações
Movimento de uma partícula no Espaço Podemos associar uma partícula no espaço como sendo um ponto no espaço. Observe que o deslocamento deste ponto em cada instante de tempo t descreverá uma curva. x = x(t), y = y(t) e z = z(t)
(t) = x(t), y(t), z(t))
Exemplo:(t) = t2 , cos t, t3 então x(t) = t2 , y(t) = cos t e z(t) = t3
Funções Vetoriais
Aplicações
Funções Vetoriais
Definição
Função vetorial de uma variável real t é definida num intervalo I, onde para cada t I associamos um vetor do espaço. Notação:
Uma função cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja imagem é um conjunto de vetores é chamada função vetorial.
𝒓 𝑡 = 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , ℎ(𝑡)
𝒓 𝑡 = f t 𝐢 + g t 𝐣 + h t 𝐤
Funções Vetoriais
Vetor posição
Se considerarmos um ponto P(x,y,z) qualquer no espaço, o vetor
É chamado vetor posição do ponto P.
x
y
z
P(x,y,z)
v
𝒓 = x𝐢 + y𝐣 + z𝐤
Funções Vetoriais
Operação com funções vetoriais
𝒓𝟏 𝑡 = 𝑓1 𝑡 , 𝑔1 𝑡 , ℎ1(𝑡)
𝒓𝟐 𝑡 = 𝑓2 𝑡 , 𝑔2 𝑡 , ℎ2(𝑡)
𝒓𝟑 𝑡 = 𝒓1(𝑡) ± 𝒓2(𝑡)
𝒓𝟒 𝑡 = 𝒓1(𝑡) × 𝒓2(𝑡)
𝒓𝟓 𝑡 = 𝑝 𝑡 . 𝒓2(𝑡)
Funções Vetoriais
Operação com funções vetoriais - Exemplos
𝒓𝟏 𝑡 = 𝑡, 𝑡2, 5 𝒓𝟐 𝑡 = 𝑡3, 1
a) 𝒓1 𝑡 + 𝒓2(𝑡)
c) 𝒓1(𝑡) × 𝒓2(𝑡) d) 𝑝 𝑡 . 𝒓1(𝑡)
Dadas as funções vetoriais
E a função real
𝑝 𝑡 = 𝑡2 − 1
Determinar:
b) 2𝒓1 𝑡 − 𝒓2(𝑡)
Funções Vetoriais
Limite : Definição
Desde que os limites das funções componentes existam.
lim𝒕→𝒂
𝒓 𝑡 = lim𝒕→𝒂
𝑓(𝑡) , lim𝒕→𝒂
𝑔(𝑡) , lim𝒕→𝒂
ℎ(𝑡)
Se
𝒓 𝑡 = 𝑓 𝑡 , 𝑔 𝑡 , ℎ(𝑡)
Funções Vetoriais
Limite : Exemplos
Considere a função vetorial: 𝒓 𝑡 = 𝑡2, cos 𝑡 , 𝑡3
Calcule: lim𝑡→0
𝒓(𝑡)
Funções Vetoriais
Limite : Exemplos
Considere a função vetorial: 𝒓 𝑡 = 1 + 𝑡3 , 𝑡𝑒−𝑡,𝑠𝑒𝑛 𝑡
𝑡
Calcule: lim𝑡→0
𝒓(𝑡)
Funções Vetoriais
Limite : Continuidade
Definição: A função vetorial é contínua em t I se, e somente se f(t), g(t) e h(t) são contínuas em t. Segundo o critério de continuidade de uma função, a função será contínua, caso o limite e a função no ponto em estudo existam e sejam iguais, isto é,
lim𝑡→𝑎
𝒓(𝑡) = 𝐫(a)
Funções Vetoriais
Limite : Continuidade - Exemplos
1. Vamos analisar a continuidade da vetorial dada, no ponto indicado.
𝒓 𝑡 = sen t 𝐢 − cos t 𝐣 + 𝐤 t=0
Funções Vetoriais
Limite : Continuidade - Exemplos
2. Vamos analisar a continuidade da vetorial dada, no ponto indicado.
, 0
2 , 0
senti j t
tg t
i j t
Funções Vetoriais
Parametrização de curvas
Um ponto P do vetor r(t) descreverá uma curva C em 3 quando a função vetorial r(t) for contínua para todo t no intervalo I. O conjunto de todos os pontos no espaço para os quais
x = f (t) y = g (t) z = h (t)
é chamado curva espacial Estas equações são denominadas equações paramétricas e t é chamado parâmetro.
Funções Vetoriais
Parametrização de uma Reta
• Reta que passa pelo ponto 𝐴(𝑎1, 𝑎2, 𝑎3) e direção do vetor b.
𝒓 𝑡 = 𝐚 + t.b
𝒓 𝑡 = a1 + tb1 𝐢 + a2 + tb2 𝐣 + a3 + tb3 𝐤
Funções Vetoriais
Parametrização de uma Reta - Exemplos
1) Determinar uma representação paramétrica da reta que passa pelo ponto 𝐴(2,1,−1) na direção do vetor 𝒃 =2,−3,1 .
Funções Vetoriais
Parametrização de uma Reta - Exemplos
2) Determinar uma representação paramétrica da reta que passa por 𝐴(2,0,1) e B(−1, 1 2 , 0) .
Funções Vetoriais
Parametrização de uma circunferência
• Equação vetorial da circunferência de raio a, com centro na origem, no plano xy.
𝒓 𝑡 = a cos t 𝐢 + a sen t 𝐣
Funções Vetoriais
Parametrização de uma circunferência
• Equação vetorial da circunferência de raio a, não centrada na origem, no plano xy.
𝒓 𝑡 = (x0 + a cos t) 𝐢 + (y0 + a sen t) 𝐣
Funções Vetoriais
Parametrização de uma circunferência- Exemplos
1) Obter as equações paramétricas da circunferência 𝑥2 + 𝑦2 − 6𝑥 − 4𝑦 + 4 = 0 no plano z=3.
Funções Vetoriais
Parametrização de uma circunferência- Exemplos
2) A equação vetorial 𝐫 t = 2𝐢 + 3cost 𝐣 + sent 𝐤 representa uma circunferência. Determinar a correspondente equação cartesiana.
Funções Vetoriais
Parametrização de uma hélice circular
𝒓 𝑡 = a cos t 𝐢 + a sen t 𝐣 + at tg𝜃 𝐤
Funções Vetoriais
Parametrização de uma hélice circular - Exemplo
As equações paramétricas
x = 2cost y = 2sent z = 3t
Representam uma curva no espaço chamada hélice circular. A equação vetorial é representada por
𝒓 𝑡 = 2 cos t 𝐢 + 3 sen t 𝐣 + 3𝑡 𝐤
Funções Vetoriais
APS – Seção 13.1
• Leitura da seção • Limite: 3, 5 • Gráficos: 9,10 • Retas: 18. • Hélice: 25
