Gran Cursos Walter Sousa - Página 1

Função de 1º grau

1) Definição

Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR

em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0.

Na função f(x) = ax + b, o número a é chamado de coeficiente de x e o número b é chamado

termo constante ou independente..

Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1º grau:

f(x) = 5x - 3, onde a = 5 e b = - 3 f(x) = -2x - 7, onde a = -2 e b = - 7 2) Raiz ou Zero da Função

Valor de x onde o gráfico intercepta o eixo x, das abscissas. Pode ser obtido fazendo-se f(x) = 0.

3) Gráfico

O gráfico de uma função polinomial do 1º grau, y = ax + b, com a 0, é uma reta oblíqua aos eixos OY (ordenadas) e Ox (abscissas).

O gráfico intercepta o eixo das abscissas(x) na raiz da função e o eixo das ordenadas(y) no ponto b (x=0).

Exemplo:

Vamos construir o gráfico da função y = 3x - 1:

Como o gráfico é uma reta, basta obter dois de seus pontos e ligá-los com o auxílio de uma régua:

a) Para x = 0, temos y = 3 · 0 - 1 = -1; portanto, um ponto é (0, -1).

b) Para y = 0, temos 0 = 3x - 1; portanto, 𝑥 =1

3 e outro ponto é

1

3, 0 .

Marcamos os pontos (0, -1) e 1

3, 0 no plano cartesiano e ligamos os dois com uma reta.

x y

0 -1

0

O coeficiente de x, a, é chamado coeficiente angular da reta e, como veremos

adiante, a está ligado à inclinação da reta em relação ao eixo Ox.

Gran Cursos Walter Sousa - Página 2

O termo constante, b, é chamado coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = a · 0 +

b = b. Assim, o coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy.

Função do 2º grau

A função do 2º grau, também denominada função quadrática, é definida pela expressão do tipo:

y = f(x) = ax² + bx + c, onde a, b e c são constantes reais e

Exemplo:

a) y=x²+3x+2 ( a=1; b=3; c=2 )

Gráfico de uma função do 2º grau:

O gráfico de uma função quadrática

é uma parábola

Exemplo:

Construa o gráfico da função y=x²:

[Sol] Como na função do 1º grau, basta atribuir valores reais para x, obtemos seus valores

correspondentes para y.

x y = f(x) = x²

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

3 9

Notem que os pontos: A e A`, B e B`, C e C` são simétricos (estão a mesma distância do eixo de simetria). O ponto V representa o vértice da parábola, é a partir dele que determinamos todos os outros pontos.

Coordenadas do vértice

A coordenada x do vértice da parábola pode ser determinada por .

Exemplo: Determine as coordenada do vértice da parábola y=x²-4x+3

Gran Cursos Walter Sousa - Página 3

Temos: a=1, b=-4 e c=3

Logo, a coordenada x será igual a 2, mas e a coordenada y?

Simples: Vamos substituir o valor obtido da coordenada x e determinar o valor da coordenada y, ou

podemos obtê-la por Y = −∆

4𝑎.

Assim, para determinarmos a coordenada y da parábola y=x²-4x+3, devemos substituir o valor de x por 2.

y = (2)²-4.(2)+3 = 4-8+3=-1

Logo, as coordenadas do vértice serão V=(2,-1)

Raízes (ou zeros) da função do 2º grau

Denominam-se raízes da função do 2º grau os valores de x para os quais ela se anula.

y=f(x)=0

Como determinar a raiz ou zero da função do 2º grau?

Exemplo: determine a raiz da função y=x²+5x+6:

Fazendo y=f(x)=0, temos x²+5x+6=0

Agora basta resolver a equação aplicando a fórmula de Bháskara.

x²+5x+6=0

Acharemos que x = -2 e x` = -3.

Concavidade da parábola

Explicarei esta parte com um simples desenho.

a>0 a<0

Quando a>0, a concavidade da parábola está voltada para cima e quando a<0, a parábola está voltada para baixo

Exemplos:

Gran Cursos Walter Sousa - Página 4

y = f(x) = x² - 4

a = 1 >0

y = f(x) = -x² + 4

a = -1 < 0

[Nota] Quando a concavidade está voltada para cima (a>0), o vértice representa o valor mínimo da função. Quando a concavidade está voltada para baixo (a<0), o vértice representa o valor máximo.

Quando o discriminante é igual a zero

Quando o valor de , o vértice a parábola encontra-se no eixo x. A coordenada y será igual a zero.

Exemplo: y=f(x)=x²+2x+1

x²+2x+1=0

x’=x”=-b/2a=-1

Gran Cursos Walter Sousa - Página 5

As coordenadas do vértice serão V=(-1,0)

Gráfico:

Resumindo:

a>0 a>0 a>0

a<0 a<0 a<0

Gran Cursos Walter Sousa - Página 6

MATEMÁTICA Funções

PROF. WALTER SOUSA

1) (Cespe) Um fabricante vende seu produto por R$ 5,00 a unidade. A receita total da fábrica é igual ao produto da quantidade de unidades produzidas pelo preço de cada unidade. O custo total é igual à soma do custo fixo e dos custos variáveis. Considerando que os custos variáveis são estimados em 40% da receita total e que o custo fixo é de R$ 3.000,00, julgue os seguintes itens.

(1) O custo total, em reais, para a produção de x unidades do produto, é igual a 3.000 + 2x.

(2) O custo variável para produzir 5.000 unidades do produto é superior a R$ 9.000,00.

(3) Se produzir somente 600 unidades do produto, o fabricante terá prejuízo.

(4) Se o fabricante produzir 2.000 unidades do produto, seu lucro será maior que R$ 4.000,00.

(5) Se, em uma promoção for dado um desconto de 20% no preço de venda de cada unidade, então o custo variável por unidade será igual a 50% do valor de venda.

2) (Cespe) Em uma fábrica, que funciona até 8 horas por dia, são produzidas cinco bicicletas em cada hora de atividade. O custo diário, em reais, para a produção de x bicicletas é dado

por .90100)( 2xxxC Nessas condições,

julgue os itens a seguir.

I. Se a fábrica funcionou seis horas por dia, então o custo de produção nesse dia foi de R$ 2.450,00.

II. Se, num determinado dia o custo de produção foi de R$ 1.500,00, então, nesse dia, a fábrica funcionou por quatro horas.

III. Mesmo não funcionando em um determinado dia, haverá um custo de produção, nesse dia, superior a R$ 400,00.

Assinale a opção correta.

a) apenas o item I está certo. b) apenas o item II está certo.

c) apenas o item III está certo. d) apenas os itens I e III estão certos. e) apenas os itens II e III estão certos.

3) (Cespe/BB)

4) (Cespe) Uma empresa de ônibus aluga seus veículos para que grupos de pessoas façam passeios turísticos pela cidade. O valor cobrado de cada pessoa do grupo varia de acordo com a quantidade de pessoas no grupo. Esse valor, em reais, é expresso pela

função 𝑦 = 150 −𝑥

2, em que x é a quantidade

de pessoas do grupo.

Gran Cursos Walter Sousa - Página 7

Com relação a essa situação, julgue o item a

seguir.

(1) Considere que, em determinado dia, ao alugar seus ônibus para um grupo de pessoas, o faturamento da empresa — número de pessoas do grupo multiplicado pelo valor pago por pessoa — foi de R$ 10.000,00. Sabendo-se que cada integrante do grupo pagou mais de R$ 55,00 pelo serviço, é correto afirmar que o grupo era formado por mais de 110 pessoas.

5) (Cespe) Paulo e Roberto têm juntos, R$ 340,00. Paulo comprou ingresso para jogo de

futebol com 5

1 do que possuia. Roberto

gastou 3

2 do que possuia na compra de

ingresso para show de um artista internacional. Efetuadas essas despesas, eles ficaram com quantias iguais. Nesse caso, Roberto tinha, a mais que Paulo,

a) menos de R$ 150,00 b) mais de R$ 150,00 e menos de R$ 160,00 c) mais de R$ 160,00 e menos de R$ 170,00 d) Mais de R$ 170,00

6) (Cespe) No seu quotidiano de trabalho o

policial militar é frequentemente submetido a situações de grande estresse, o que provoca descargas de adrenalina na sua corrente sanguínea. A adrenalina no sangue, em níveis reduzidos, faz com que o individuo fique em estado de alerta, aumentando sua eficiência. Em níveis elevados, no entanto, ela provoca o descontrole emocional, diminuindo a capacidade de raciocínio e, consequentemente, o grau de eficiência do individuo. Considere que o grau de eficiência, g, medido em porcentagem, de um individuo possa ser expresso como função do nível

𝑥, 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, de adrenalina na sua corrente

sanguinea pela função 𝑔 𝑥 = −20𝑥2 + 40𝑥 +80.

Com base nessas informações, julgue os

itens seguintes.

(1) Com nível de adrenalina igual a zero, o grau de eficiência do individuo também é igual a zero.

(2) Quando o nível de adrenalina na corrente sanguinea do individuo é igual a 3, o seu grau de eficiência é igual a 20%.

(3) O grau de eficiência máximo de um individuo é atingido quando o seu nível de adrenalina é igual a 1.

7) (Cespe) No ano em que começou a atuação dos agentes comunitários referidos no texto, o número de processos ajuizados diminuiu consideravelmente na cidade de Ceilândia. Suponha-se que, nesse ano, P(t) e F(t) correspondam, respectivamente, ao número total de processos e ao número desses processos relacionados à justiça da família ajuizados no TJDFT no mês t. Suponha-se

que 60010010)( 2 tttP e que

,30270)( ttF com ,121 t em que 1t

corresponde ao mês de janeiro, 2tcorresponde a fevereiro, e assim por diante.

Com base nessas informações, julgue os itens

seguintes, referentes ao ano inicial de atuação

dos agentes.

(1) O número total de processos ajuizados em agosto – t =8 – foi superior a 696

(2) Nesse ano, maio – t =5 – foi o mês que mais processos foram ajuizados.

(3) Em determinado mês do ano inicial de atuação dos agentes, o número total de processos ajuizados foi igual a 600.

(4) O gráfico a seguir ilustra corretamente o comportamento de P(t) ao longo do tempo

t, para .121 t

(5) Foi superior a 230 o número de processos ajuizados em abril que não envolveram questões familiares.

Gran Cursos Walter Sousa - Página 8

(6) Em exatamente dois dos meses do ano inicial de atuação dos agentes, todos os processos ajuizados estavam relacionados à justiça da família.

(7) O gráfico a seguir representa corretamente o comportamento da função F(t).

8) (Cespe) O preço de venda P de uma unidade de certa mercadoria é função da quantidade Q de unidades produzidas dessa mercadoria. O grafico de P em função de Q é dado por segmentos de reta, como ilustra a figura abaixo.

Com base nas informações apresentadas,

julgue os itens seguintes.

(1) Para até 2.000 unidades produzidas, o preço unitário de venda diminui se a quantidade de unidades produzidas aumenta.

(2) O preço de venda de uma unidade é o mesmo quando são produzidas 1.500 ou 2.500 unidades da mercadoria.

(3) O ganho obtido pela produção e venda de 2000 unidades de mercadoria é o dobro do ganho obtido com a produção e venda de 500 unidades.

(4) Se forem produzidas 1.400 unidades da mercadoria, o preço unitário de venda será igual a 60% de Po.

9) (Cespe) Em três anos, a quantidade de pessoas contaminadas pela dengue triplicou

no Brasil. A julgar pelos registros feitos até o dia 15 de março, o país manterá a tendência de alta para 2007: foram 85.000 notificações, 30% mais que no mesmo período do ano passado. Atualmente, o maior foco está no Mato Grosso do Sul, responsável por quase 50% dos casos.

* até 15 de março

Com relação a essas informações, julgue os

itens.

(1) De janeiro a março de 2006, foram notificados mais de 65.000 casos de dengue no território nacional.

(2) Considere que, em um sistema de

coordenadas cartesianas xOy , no eixo Ox ,

que representa os anos, 2004 corresponda a x = 0; 2005, a x =1 e assim sucessivamente. Considere também que os casos de dengue registrados no Mato Grosso do Sul (MS) possam ser descritos, nesse sistema de coordenadas, pela função de 2o grau

,2 cbxaxy em que a, b e c são

constantes reais. Nessa situação, a previsão é que, em 2007, que corresponde a x = 3, sejam registrados no MS 42.000 casos de dengue.

10) (Cespe/BB) As fundações de estudos

econômicos K e S, utilizando as funções K(t) =

t2 + 7t + 40 e 𝑆 𝑡 = 3𝑒𝑡

2, respectivamente,

fizeram, em 1990, previsões sobre a evolução das reservas monetárias do país X, para os próximos 22 anos. Em ambas, t = -10 corresponde ao ano de 1990, t = -9, ao ano de 1991, e assim sucessivamente, e K(t) e S(t), em bilhões de dólares, representam, segundo cada fundação, as reservas do país X no ano t. A partir das informações acima, julgue os itens a seguir.

(1) Segundo a fundação K, as reservas do país X em 2002 seriam inferiores a 60 bilhões de dólares.

Gran Cursos Walter Sousa - Página 9

(2) As reservas do país X, em 2006, segundo as previsões da fundação S, seriam inferiores a 81 bilhões de dólares.

(3) De acordo com as previsões da fundação S, no período de 1990 a 2010, as reservas do país X atingiriam seu pior resultado em 1990.

(4) Os gráficos das funções K(t) e S(t) são parábolas com concavidades voltadas para cima.

(5) De acordo com a previsão da fundação S, em 1994 o país X gastaria além de sua poupança, fazendo que suas reservas ficassem negativas.

(6) Segundo a fundação K, no período de 1990 a 2010, as reservas do país X atingiriam seu pior resultado em 1992.

(7) As fundações K e S previram resultados idênticos para as reservas monetárias do país X em, pelo menos, duas ocasiões no período de 1990 a 2010.

11) (Cespe/BB) O processo de abandono de áreas anteriormente destinadas a pastagens faz que novas porções da região amazônica sejam desmatadas. Considere que a função f (t) = -0,1t2 + 12t + 75 constitua um modelo para a estimativa, em milhões de hectares, da área da região amazônica desmatada a cada ano, em que t = 0 corresponde ao ano de 2007, t = 1 ao ano de 2008, e assim sucessivamente. A variação nos valores de f (t) sugere que, em algum momento, iniciou-se um processo de reflorestamento. A partir dessas informações, julgue os itens que se seguem.

(1) Estima-se que a área desmatada, em

2019, será superior a 200 milhões de hectares.

(2) De acordo com o modelo, o maior desmatamento ocorrerá após o ano de 2082.

(3) De acordo com essa estimativa, em nenhum momento a área desmatada será inferior a 60 milhões de hectares.

Gabarito

1) C C C E E 2) B 3) C E C C C C 4) E 5) a 6) E C C 7) C C C E C E E 8) C E C C 9) C C

10) C C C E E E E 11) C E E