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Função Função ExponencialExponencial
Prof. Gledson GuimarãesProf. Gledson Guimarães
DefiniçãoDefinição Chamamos de Chamamos de
funções funções exponenciaisexponenciais aquelas nas aquelas nas quais temos a quais temos a variável variável aparecendo aparecendo em expoente.em expoente.
A função A função f:IRf:IRIRIR++ definida definida por por f(x)=af(x)=axx, com , com a a IR IR++ e e aa11, é , é chamada chamada função função exponencial de exponencial de base base aa. .
Domínio e Domínio e ContradomínioContradomínio
O O domíniodomínio dessa função dessa função é o conjunto IR (reais) e é o conjunto IR (reais) e o o contradomíniocontradomínio é é IRIR++ (reais positivos, maiores (reais positivos, maiores que zero).que zero).
GRÁFICO CARTESIANO GRÁFICO CARTESIANO DA EXPONENCIALDA EXPONENCIAL
Temos 2 casos a considerar:Temos 2 casos a considerar:
quando a>1;quando a>1;
Exemplo: Exemplo: y=2y=2xx (nesse caso, a=2, logo (nesse caso, a=2, logo a>1)a>1)
quando 0<a<1quando 0<a<1..
Exemplo: Exemplo: y=(1/2)y=(1/2)xx (nesse caso, a=1/2, (nesse caso, a=1/2, logo 0<a<1)logo 0<a<1)
Função crescenteFunção crescente y=2y=2xx
Função Função decrescentedecrescente
y=(1/2)y=(1/2)xx
Características GráficasCaracterísticas Gráficas o gráfico o gráfico nuncanunca intercepta o intercepta o
eixoeixo horizontalhorizontal; ; a função não a função não tem raízestem raízes;;
o gráfico o gráfico cortacorta o o eixo verticaleixo vertical no no ponto (0,1)ponto (0,1);;
os valores de y sãoos valores de y são sempre sempre positivos,positivos, portanto o conjunto portanto o conjunto imagem é Im=IR+.imagem é Im=IR+.
EQUAÇÕES EQUAÇÕES EXPONENCIAISEXPONENCIAIS
Para resolver equações exponenciais, Para resolver equações exponenciais, devemos realizar dois passos devemos realizar dois passos importantes:importantes:
1º) redução dos dois membros da 1º) redução dos dois membros da equação a potências de mesma equação a potências de mesma base;base;
2º) aplicação da propriedade2º) aplicação da propriedade:: )01( a e a nm aa nm
Exemplos de Exemplos de equaçõesequações
33xx =81 (x=4) =81 (x=4) 99xx = 1 = 1 223x-13x-1 = 32 = 322x2x
332x2x–6.3–6.3xx–27=0–27=0
ResoluçõesResoluções33xx =81 =81
81=381=344 logo 3 logo 3xx = 3 = 344
x=4x=4S = {4}S = {4}
ResoluçõesResoluções99xx = 1 = 1
99xx = 1 = 1 9 9xx = 9 = 900 ; ; logo x=0.logo x=0.
S = {0}S = {0}
ResoluçõesResoluções 223x-13x-1 = 32 = 322x2x
223x-13x-1 = 32 = 322x2x 223x-13x-1 = (2 = (255))2x 2x
223x-13x-1 = 2 = 210x10x 3x-1=10x3x-1=10xx=-1/7 S = {-x=-1/7 S = {-
1/7 }1/7 }
ResoluçõesResoluções 332x2x–6.3–6.3xx–27=0–27=0332x2x–6.3–6.3xx–27=0 –27=0 (3(3xx))22-6.3-6.3xx–27=0 –27=0 Fazendo 3Fazendo 3xx=y, =y, y2-6y–27=0y2-6y–27=0 aplicando Bhaskara encontramosaplicando Bhaskara encontramos
y’= -3 e y’’= 9y’= -3 e y’’= 9 Para achar o x, devemos voltar os Para achar o x, devemos voltar os
valores para a equação auxiliar 3x = y:valores para a equação auxiliar 3x = y:y’= -3 y’= -3 3x’ = -3 3x’ = -3 não existe x’, não existe x’,
pois potência de base positiva é pois potência de base positiva é positivapositiva
y’’= 9 y’’= 9 3x’’ = 9 3x’’ = 9 3x’’ = 32 3x’’ = 32 x’’=2 x’’=2
Inequações Inequações ExponenciaisExponenciais
A resolução de inequações A resolução de inequações exponenciais tem dois passos exponenciais tem dois passos importantes:importantes:
1º) redução dos dois membros 1º) redução dos dois membros da inequação a potências de da inequação a potências de mesma base;mesma base;
2º) aplicação da propriedade:2º) aplicação da propriedade:
Inequações Inequações ExponenciaisExponenciais
a>1 a>1 aamm > a > ann m>n m>n(as desigualdades têm mesmo (as desigualdades têm mesmo
sentido)sentido)
0<a<10<a<1 aamm > a > ann m<n m<n(as desigualdades têm sentidos ≠)(as desigualdades têm sentidos ≠)
ExemploExemplo
negativos)(reais IRS Portanto
x
:obtemos 1, que maior é (4) base a Como
Porém,
daí, e -
:sejaou ,
:temos4 porlados os ambos ndoMultiplica4
escrita ser pode inequação A
:Resolução
-
x
xx
xxx
xxx
xxx
xxx
044
.4414
14114.11114).1641(
114.164.44
.4
114.44
4
4
11444)1
0
0
11