Gabarito 1a Prova de Mecânica dos Fluidos II – PME 2330 09/04/2012

Nome:______________________________________ No. USP_____________________

1ª Questão (3,0 pontos): Em um escoamento plano, não viscoso e incompressível, , onde é uma constante dimensional.

a) (0,5 pto.) Determinar sabendo que . b) (0,5 pto.) Determinar o tensor taxa de deformação. c) (0,5 pto.) Determinar as linhas de corrente do escoamento e fazer um desenho no plano para . d) (0,5 pto.) É válida a equação de Bernoulli numa linha de corrente? Por quê? e) (0,5 pto.) Se for válida a equação de Bernoulli, a constante de Bernoulli é a mesma para todo o

escoamento? Por quê? f) (0,5 pto.) Se for possível, determinar o campo de pressão desprezando forças de volume e sabendo que

.

Solução:

a) Da equação de continuidade: Axu

yv

yv

xu −=

∂∂−=

∂∂⇒=

∂∂+

∂∂ 0

Integrando: ( ) ( )xfyAyxv +−=, Da condição de contorno: ( ) ( ) 000, =⇒= xfxv Resulta finalmente: ( ) yAyxv −=,

b) O tensor taxa de deformação resulta: 0;; =−== yxyyxx AA εεε

c) Da equação de linha de corrente: Cxyxdx

ydy

xy

dxdy

lc

lnlnln =+⇒−=⇒−=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

Resulta finalmente: xC

y = , onde C é uma constante dimensional. As linhas de corrente resultam

hipérboles. d) A equação de Bernoulli é válida ao longo de uma linha de corrente. e) Como 0=ζ , a constante é válida para todas as linhas de corrente.

f) O campo de pressões resulta: ( ) cteyxAp =++ 222

21 ρ

Da condição de contorno, resulta ( ) ( )22200 2

1, yxApyxpctep +−=−⇒= ρ

( ) xAyxu =, A

( )yxv , ( ) 00, =xv

0>A

( ) 00,0 pp =

2ª. Questão (3.5 ptos). Vamos admitir, numa primeira aproximação, que a trajetória de uma “bola” de futebol com rotação possa ser determinada pela solução do escoamento potencial ao redor de um cilindro girando com 0,22m de diâmetro e 0,25m de comprimento no sentido perpendicular ao plano do escoamento. Admita que a trajetória da “bola” é um arco de circunferência com raio de curvatura R0 . Esse raio de curvatura é obtido considerando que a força de sustentação devido a rotação seja igual à força centrípeta, isto éFsustentação =

Fcentrípeda = m

V

2

R0er . Isto posto, considere o caso indicado na figura abaixo, no qual ocorre a cobrança

de uma falta. A falta é cobrada a uma distância de 43,3m do gol e a barreira está localizada a uma distância de 9,15m da bola e tem uma largura L igual a 3m (vide figura). Admita que a velocidade da bola após a cobrança seja igual a 180km/h e que o modulo desta velocidade mantenha-se constante. Admita que no momento da cobrança da falta o ângulo α = 300 e a velocidade angular ω = 20rad / s (sentido anti-horário). Considere que a massa da bola é de 450g, a massa específica do ar ρ =1,2kg /m3 e o gol tem 7m de largura. Pede-se:

a) (1,0 pto.) Calcule a força (direção e sentido) exercida na bola devido a rotação. b) (0,5 pto.) Qual o raio de curvatura R0 da trajetória da “bola” devido a rotação dela?

c) (0,5 pto.) Determine as coordenadas do centro de curvatura ( xcentro , ycentro ), em relação à origem (ponto de

cobrança da falta). d) (1,0 pto.) Determine a quantos metros a bola passa da barreira e determine x no instante que a bola atravessa a

linha de fundo (y=43,3m). Ocorre o gol ou não? Dica: equação da trajetória é a da circunferência cuja equação é

x − xcentro( )2 + y − ycentro( )2 = R02 .

e) (0,5 pto.) Determine os pontos de estagnação no cilindro e esboce as linhas de corrente num referencial fixo em relação à “bola”.

3ª. Questão (3.5 pontos). Um fluido não viscoso, num escoamento incompressível e irrotacional, passa ao

redor de uma parede na qual existe um sumidouro de intensidade localizado na origem, como

mostrado na figura. No infinito o escoamento é paralelo com velocidade uniforme e pressão estática da corrente livre .

a) (0,5 pto.) Fazer um desenho mostrando linhas de corrente representativas do escoamento. b) (0,5 pto.) Determinar as velocidades. c) (0,5 pto.) Determinar o campo de pressão. d) (1,0 pto.) Encontrar a distribuição de pressão adimensional !! = ! ! !!!

!/!!!!!!! ao longo da parede como

função de !∗ = !!!!/!. e) (1,0 pto.) Fazer um gráfico da distribuição de pressão adimensional do item anterior.

Dicas: 1) Notar que para um ponto na parede na posição resultam e , enquanto para um

ponto na parede na posição resultam e . 2) Notar que resulta um ponto de estagnação.

!

Solução: a) As linhas de corrente correspondem a um semi-corpo de Rankine, com um ponto de estagnação à direita

do sumidouro. b) A função corrente resulta: θθψ msenrU −= ∞ !!!

As velocidades resultam: rm

cosUr

vr −=∂∂= ∞ θθψ1 ; θψ

θ senUr

v ∞−=∂∂−=

c) Quadrado do módulo da velocidade: θθθ22

2222 senU

rmcosUvvV r ∞∞ +⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −=+=

2

222 2

rm

rcosUmUV +−= ∞∞

θ

Por Bernoulli:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−⇒+=+

∞∞∞

∞∞∞∞∞ 22

22

2

2222 12

211

21

21

21

rUm

rcos

Um

UUV

UppVpUpθρρρρ

d) Adimensionalizando a distribuição de pressão, resulta:

( ) ⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛ −=−=

∞

∞2**

2

12

21,

rrcos

U

pprcp

θ

ρθ , onde

mUrr ∞=* .

Para a posição da parede, resulta: ( ) 2*** 12

xxxcp −= , onde

mUx

x ∞=* .

Vemos que 021 =⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

pc e que ( ) 11 =pc (ponto de estagnação).

e) A distribuição resulta:

π2Qm =

∞U∞p

0<x xr −≡ πθ =0>x xr ≡ 0=θ

∞= Umx

Formulário:

Equação de continuidade:

Tensor taxa de deformação:

Equação da linha de corrente: ; Vorticidade componente :

Equação de Bernoulli:

ψ uniforme =U∞r senθ , ψ sumidouro = −mθ ,

Função linha de corrente de um cilindro de raio ! girando imerso num escoamento uniforme:

rra

senrUgirandocilindro ln2

1 2

2

πΓθψ −⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∞

∫ ⋅=C

ldV

Γ ; Teorema de Kutta-Joukowski: Γρ ∞−= UbL ; Bernoulli:

Equação da circunferência de raio ! e centro em xcentro, ycentro( ) : x − xcentro( )2 + y − ycentro( )2 = R02

Força centrípeta: Fcentrípeda = m

V

2

R0er

!3#

!2,5#

!2#

!1,5#

!1#

!0,5#

0#

0,5#

1#

!3# !2,5# !2# !1,5# !1# !0,5# 0# 0,5# 1# 1,5# 2# 2,5# 3#

( )zA

y

A

xA

AVt

zyx

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇=∇+∂∂

.;0. ρρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂+

∂∂=

∂∂=

∂∂=

xv

yu

yv

xu

yxyyxx 21;; εεε

uv

dxdy

lc

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ z

yu

xv

∂∂−

∂∂=ζ

cteVp =+ 2

21 ρ

rv

rvr ∂

∂−=∂∂= ψθψ

θ;1

cteVp =+ 2

21 ρ