GABARITO IME

MATEMÁTICA

DISCURSIVAS 2017/2018

2

DISCURSIVAS – 23/10/17

Questão 01

Seja o número complexo z que satisfaz a relação 2( i)2017z i iz− = + −( )( )3 1 2017. Determine z, sabendo-

-se que | | .z =3

3

Gabarito:

2 3 1

2 3 1

2017 2017

2017 2017

⋅ − = + ⋅ −

⋅ − = + ⋅ −

( ) ( ) ( )

| | | | | | | |

z i i i z

z i i i z

22 2 12017 2017

2017 2017

2017

⋅ − = ⋅ −

− = ⋅ +

− =

| | | |

| | | | | |

| |

z i i z

z i i z i

z i || |

| | | |

z i

z i z i

+− = +

2017

Se z a bi

a bi i a bi i

b a b

b b b b

= + ⇒+ − = + +

+ − = + +

− + = +

| | | |

a ( ) ( )2 2 2 2

2 2

1 1

2 1 2 ++

=

1

0b

Como | |z

a b a

a a

=

+ = ⇒ + =

= ⇒ = ±

33

33

03

3

39

33

2 2 2 2

2

2

Substituindo z = a + 0 · i na equação original, obtemos:2 0 3 1

132

2017 2017

2017

2017

⋅ + − = + ⋅ ⋅ −

−−

=+

( ) ( ) ( )

( )( )

(

a i i i i a

a iia

i

a −−⋅ +

=+

−+

= ⋅

+

−

ii a i

a ia i

ii

a i

)( )

2017

2017 2017

2017

2017

3 12

32

aa ii

+

=

− +2017

1 32

3

GABARITO IME – MATEMÁTICA

I) Se a

i

i

i

i

=

−

+

=−+

=

−

33

333

3

3 3

3 3

12

32017

2017

2212

32

300240

2017

2017

i

i+

=°°

= °

ciscis 60

cis( ))2017 240 2017 240

12

32

= ° − = °

= − −

cis cis

( F)i

II) Se a

i

i

i

i

= −

− −

− +

=+−

=

33

333

3

3 3

3 3

2017

2017 112

32

12

32

6060

2017

2017

+

−

=°

− °

=

i

i

ciscis

cis( 1120 2017 120 12012

32

33

2017° = ⋅ ° = ° = − +

= −

) cis cis

Logo

i

z

4

DISCURSIVAS – 23/10/17

Questão 02Resolva a inequação abaixo, onde x é uma variável real.

2|x3| –6x2 + 3| x | + 2 < 0

Gabarito:

2 · |x|3 – 6 |x|2 + 3 · |x| + 2 < 0Seja t = |x|2 · t3 – 6t2 + 3 · t + 2 < 0por inspeção 2 é raiz

2 2 –6 3 2

2 –2 –1 02 · (t – 2) · (2t2 – 2t –1) < 0

2 ⋅ −( ) ⋅ −+

−

−

<t t t2

1 32

1 32

0

1 32

− 1 32

+ 2

+

–

+

–

tt

t

x x

x x

<− +

< <

<− +

< <

− < < −+

+<

1 32

32

2

1 32

1 32

2

21 3

21 3

2

ou

ou

ou << 2

5

GABARITO IME – MATEMÁTICA

Questão 03

Sabendo que | |x ≤π6

e que x satisfaz a equação abaixo

3 410 8

122

− +−

=cos cos sensen sen cos

x x xx x x( )

Determine os possíveis valores de x.

Gabarito:

3 410 8

122

− +− ⋅

=cos cos sensen sen cos

x x xx x x( )

3 – 4 cos2x – senx · cosx = 5 sen2x – 4 senx · cosx

3 – 4(sen2x + cos2x) – sen2x + 3 senx · cosx = 0

–1 – sen2x + 3 senx · cosx = 0

–(sen2x + cos2x) – sen2x + 3 senx · cosx = 0

–2 sen2x + 3 senx · cosx – cos2x = 0

2 sen2x – 3 senx · cosx + cos2x = 0 (÷ cos2x)

2 tg2x – 3 tgx + 1 = 0

tgx = 1 ⇒ x = 45° (solução não é válida)

tg arctgx x= ⇒ =12

12

6

DISCURSIVAS – 23/10/17

Questão 04Sejam a, b, c e d números reais positivos diferentes de 1. Temos que logad, logbd e logcd são termos consecutivos de uma progressão geométrica e que a, b e c formam uma progressão aritmética em que a < b < c. Sabendo-se que b = blog

ab − a, determine:

a) Os valores de a, b e c;b) As razões das progressões aritmética e geométrica, r e q, respectivamente.

Gabarito:

log log log

log

log

log

log

log

log

b a cd d d

d

b

d

a

d

( ) = ( ) ⋅ ( )

= ⋅

2

2

cc

b a c

b

a

c

b

b c

b b a

b

a b

ab

log log log

log

log

log

log

log log

og

( ) = ⋅

=

=

= −

2

l

== −

= − =+

+= −

+ = − ⇒ =

=

= −

b a

b c a ba c

a cc a

a c c a c a

b a

b b a

bc

ab

l

l

og

og

,2

22 2 3

2

22 22

a a aaa

= −( ) ogl

7

GABARITO IME – MATEMÁTICA

3 2

3 2

3 2 2

32

2

34

2

2

2 2

2

2

a a

a a

a a

aa

aa

aa

aa

aa

=

= ⋅

= ⋅

=

=

( ) og

og og

og

og

l

l l

l

l

ll

l

l

og

og

og

//

,

log log

aa

a

t

a

tt

t

t

2

2

22

1

34

2 2

34

234

2

1

1

23 4

3

−

= =

= ⇒ =

= ⇒ = 442

3 22

2

2

3 2

2

3 42

3 43 2

3 42

3 42

a

b

c

r

q

=

=

= ⋅

=

=

log

log

log

log

/

/

//

/

/

log

8

DISCURSIVAS – 23/10/17

Questão 05Um ônibus escolar transporta n crianças. Sejam A o evento em que dentro do ônibus tenham crianças de ambos os sexos e B o evento em que há no máximo uma menina dentro do ônibus. Determine o valor de n para que os eventos A e B sejam independentes.

Gabarito:

Probabilidade de todos serem meninas: 1

2n

Probabilidade de todos serem meninos: 1

2n

Logo: P(A) = 1n n n

− − = −−

1

2

1

21

1

2 1

Para haver no máximo uma menina no ônibus temos dois casos:

1o: Exatamente uma menina ⇒ 1

2nn definir a menina· ( )

2o: Nenhuma menina ⇒ 1

2n

Logo: P(B) = n + n + 1n n n1

2

1

2

1

2. ·= ( )

Veja que A ∩ B é o caso em que existe exatamente uma menina.Como os eventos são independentes:

P A B P(A) · P(B) n = n

n = n+1

n n n∩( ) = ⇒ −

+( ) ⇒

⇒

−1

21

1

2

1

21

1· · ·

−−+

⇒−

− n

n+1 = 2n

n 11

2 1

Esta equação claramente só possui a solução n = 3, já que o lado direito cresce mais rápido que o esquerdo.

9

GABARITO IME – MATEMÁTICA

Questão 06

Seja a matriz Ak

=−

4

3

2, com k real.

Determine a faixa de valores de k para que exista uma matriz de números reais P tal que as condições abaixo sejam atendidas simultaneamente:

a) ATP + PA = I em que AT é a transposta da matriz A e I é a matriz identidade;b) P seja simétrica;c) p11 > 0, em que p11 é o elemento da linha 1 e coluna 1 de P; ed) |P| > 0, em que |P| é o determinante da matriz P.

Gabarito:

1a Solução

Seja Pa b

b c=

a matriz simétrica do enunciado, temos:

A P PAk a b

b c

a b

b c

k kaT + =−

⋅

+

⋅

−

=

+4

3 2

3

4 2

2( 44 3 2 4

3 2 4 2 3 2

b a k b c

a k b c b c

A P PAT

) ( )

( ) ( )

:

− + + +− + + + − +

+ =Como I

kka b

b c

a k b c

+ =

− + =

− + + + =

4 12 1

3 2 12 2

3 2 4 0 3

3

( )

( )

( ) ( )

(Fazendo )) ( ) :

( ) :

( )− ⋅⋅

− + + ⋅ = −+ =

2 2

2 1

3 8 1

2 8 1

a k b

ka b

Agora multiplicando a primeira por 2k, a segunda por 3 e somando:

2 8 12 3 23 2

2 2 62 62( )

( )( );k k b k b

kk k

k k+ + = − ⇒ =−

+ +≠ − ≠ −e

Substituindo emm

Logo

( ) : c( )( ) ( )( )

:

2 212

312

9 62 2 6

2 212 2 6

2

= + = +−

+ +=

+ ++ +

bk

k kk kk k

cck kk k

=+ ++ +

2 2 214 2 6( )( )

Substituindo em ( ): a (k )b c

a( )( )

3 3 2 4

32 6

2 2 62 42 2

= + +

=− − ++ +

++k k

k kk kkk k

kk k

ak

k k

++ +

=+

+ +

⇒ =+

+ +

422 2 6

3 482 2 6

162 2 6

( )( ) ( )( )

( )( )

Agora commo p ak

k k11 016

2 2 60= >

++ +

>:( )( )

10

DISCURSIVAS – 23/10/17

+

– –16 –6 – –2

+

− < < − > −16 6 2k kou

Além disso, |P| > 0 ac – b2 > 0

⇔+ + +

+ +−

−+ +

>( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )k k k

k kk

k k16 2 21

8 2 63 2

4 2 60

2

2 2

2

2 2

Multiplicando por 8(k + 2)2(k + 6)2, que é positivo:

k3 + 10k2 + 77k + 318 > 0

–6

1

1 0

10

4

77

53

318: (k + 6)(k2 + 4k + 53) > 0

Como k2 + 4k + 53 > 0; ∀k ∈ , devemos ter: k > –6

Fazendo a interseção dos intervalos temos:

k > –2 ou seja k ∈ (–2, + ∞)

2a SoluçãoA P PA

PA PA

c

c

PA c A

P

T

T

+ =

+ =

−

= + > ⇒ ∃

=

−

I

I

PA =

Det

( )

12

12

14

02 1

112

12

12

12

2 3

4

2 12

1c

cA

Pc

c k

k

−

⋅

=−

⋅−

+

−

PP

c ck

c c k

k

P

ck

ck

k

=

− +

− − − +

+

=

−+

+

+

1 4 32

2 2 3 22 12

1 42 12

32

2 122

2 22 12

3 22 12

− −+

− +

+

ck

c k

k

11

GABARITO IME – MATEMÁTICA

A P PA

PA PA

c

c

PA c A

P

T

T

+ =

+ =

−

= + > ⇒ ∃

=

−

I

I

PA =

Det

( )

12

12

14

02 1

112

12

12

12

2 3

4

2 12

1c

cA

Pc

c k

k

−

⋅

=−

⋅−

+

−

PP

c ck

c c k

k

P

ck

ck

k

=

− +

− − − +

+

=

−+

+

+

1 4 32

2 2 3 22 12

1 42 12

32

2 122

2 22 12

3 22 12

− −+

− +

+

ck

c k

kSimétrica ⇒

− − = +

− = +

= −+

2 232

72

2

72 4

c ck

c k

ck

( )

ak

k k

Pc

A

P A k k

11

2

162 2 12

14

0 0 2 12 0

=+

+ +

=+

> ⇒ > ⇒ + > ⇒ >

( )( )

DetDet

Det Det −−

> ⇒ > −

> − ∩ > − ⇒ − + ∞

6

0 2

2 6 2

11a k

k k ( , )

12

DISCURSIVAS – 23/10/17

Questão 07Determine todos os números primos p, q e r tais que 35p + 11pq + qr = pqr.

Gabarito:

35 11 35 11 35 11p pq qr pqr qqrp

qrqrp

qr q+ + = ⇔ + + = ⇔ = − − , como o membro da direita é uma

soma de inteiros e o membro da esquerda é inteira, e como p, q e r são primos, temos quatro casos a considerar:

p = q, p = –q, p = r e p = –r.

1o caso p = qr qr q q r F S= − − ⇔ −( ) −( ) = ⇔ ⇔ =35 11 1 11 46 01

Não há soluções (p, q, r) para p, q e r primos.

2o caso p = –q− = − − ⇔ +( ) −( ) = ⇔ = − −( ) −( ) −r qr q q r S35 11 1 11 24 2 2 13 3 3 17 5 5 52 , , ; , , ; , ,(( ) −( ){ }; , ,11 11 13

3o caso p = rq qr q q r S= − − ⇔ −( ) = ⇔ = ( ) −( ) ( ) −35 11 12 35 19 5 19 5 5 5 17 7 17 73 , , ; , , ; , , ; , 77 7,( ){ }

4o caso p = –r− = − − ⇔ −( ) = ⇔ −( ) − −( ) − −( ){ }q qr q q r S35 11 10 35 17 5 17 3 5 3 5 7 54 , , ; , , ; , ,

Todas as soluções (p, q, r) pertencem ao conjunto S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4.

Obs.: Se considerarmos como primos somente os números positivos de dois divisores positivos o conjunto solução será S = ( ) ( ){ }19 5 19 17 7 17, , ; , ,

13

GABARITO IME – MATEMÁTICA

Questão 08Considere a elipse abaixo, onde DD’ é uma corda passando pelo seu centro, MM’ uma corda focal e o eixo maior da elipse é 2a. Prove que:

DD’2 = MM’ . 2a

DM

C F

D’ M’

θ θ

Gabarito:

1a Solução:

Sem perda de generalidade considere a elipse centrada na origem e F o foco de coordenadas (C, O).Como DD '

s ruu passa pela origem, DD '

s ruu: y = mx.

MM 's ruuu

// DD 's ruu

e F ∈ MM 's ruuu

⇒ MM 's ruuu

: y = mx – mc.

Elipse: xa

yb

2

2

2

21+ =

Para achar D e D’ faremos DD 's ruu

interseção com a elipse.xa

m xb

xa b

a m bDD

a ba m b

m2

2

2 2

22

2 2

2 2 2

22 2

2 2 221

41+ = ⇒ =

+⇒ ( ) =

++( )' ·

Para achar M e M’ faremos MM 's ruuu

interseção com a elipse:xa

m x m cx m cb

b a m x m ca x a m c a b

2

2

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

21

2

+− +

= ⇒

⇒ +( ) − + − = 00.

14

DISCURSIVAS – 23/10/17

Veja que xm e xm’ são raízes dessa equação.

Agora: MM x x y y x x mx mx

m x x

M M M M M M M M

M M

'

·

' ' ' '

'

= −( ) + −( ) = −( ) + −( ) =

= + −

2 2 2 2

2 1

Porém, numa equação de 2o grau a diferença das raízes é a∆

∆ = − +( ) −( )= − + −

4 4

4

4 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2

4 2 4 2 2 2 2 2 4

m c a b a m a m c a b

m c a b a m c a b

·

· aa m c a b m

a b m c a m b am b

4 4 2 4 2 2

2 2 2 2 2 2 24 42 2

+( )= − + +

=·

1 244 34422 4 2 1b m· +( )

Assim, MM mab ma m b

aba m b

m' ··

· ,= ++

+=

++( )2

2 2

2 2 2

2

2 2 221

2 1 21 donde: MM’ · 2a = DD’2.

2a Solução:

Sabe-se que os comprimentos dos raios focais são dados pelas expressões

FMpe

FMpe

pba

eca

=+

=−

= =1 1

2

cos'

cos, sen

θ θe do o parâmetro e a excentriicidade,

assim eMM FM FMp

eab

a caMM' '

cos cos'= + =

−=

−=

21

22

42 2

2

2 2θ θaa b

a c

2 2

2 2 21

− cos. ( )

Sem a equação

θ

perda de generalidade, se da eelipse comfor , e ( , ),

temos que :

ε =xa

yb

a b c D x y

x

2

2

2

22 2 2

0 0

0

1+ = = + =

= CCDxa

yb

CDa

x y CD eCD

⋅ + =⋅

++ =−

cos ,( cos (

,)

θθ

02

02 2

2 202

202

2 21 assim

CCD

a

b

CDb

CDa b

a a

⋅

+

= ⇔

−

= ⇔ =

− −

cos

cos cos

)θ

θ θ

2

2

22

22 2

2 2

2

2

2

1

11

bba b

a c

CDDD

DDa b

a c

2 2

2 2

2 2 2

22 2

2 2 224

( ) =−

= =−

cos cos.

',

cos.

θ θ

θComo (( )

' '

2

22Das equações (1) e (2) vemos que DD MM a= ⋅

15

GABARITO IME – MATEMÁTICA

Questão 09Considere um triângulo ABC onde BC = a, AB = c, AC = b, c > b. O círculo inscrito a esse triângulo tangencia BC em D e DE é um diâmetro desse círculo. A reta que tangencia o círculo e que passa por E intercepta AB em P e AC em Q. A reta AE intercepta BC no ponto R. Determine os segmentos de reta EQ e DR em função dos lados do triângulo: a, b e c.

Gabarito:

A

E’

PEQ

C H

H’

r

r

D R B

Seja H o pé da altura de ABC, e AH = ha .

Por áreas temos: S=P e S com⋅ =⋅

⋅ =+ +

r

a hP

a b ca

2 2

Logo: r haa= =

SP

eS2

Pela semelhança ∆ABC ≅ ∆AQP temos:

a b cQP QA AP

AHAH

= = ='(I)

Como AH’ = ha – 2r e AHAH

',=

−=

−=

−h rh

Sa

SP

Sa

P aP

a

a

22 2

2substituindo em (I):

QPP

PQA

P

PAP

P

P=

−( )=

−( )=

−( )a a b a c a

16

DISCURSIVAS – 23/10/17

Sendo E’ o ponto de tangência temos:

AE’ = (P – a) e PE = PE’ = AE’ – AP = (P – a) – c a a cP

P

P P

P

−( )=

−( ) −( )

Logo QE = QP – EP = a p a

p

p a p c

p

p a p b

p

−( )−

−( ) −( )=

−( ) −( )

Pela semelhança ∆AEP ≅ ∆ARB:

AP PERB

RBPE

AP

P P

Pcc a c

pc

c a

P

P c= ⇔ =⋅

=−( ) −( )

⋅−( )

= −

Temos também: BD = P – b e DR = DB – RB = P – b – (P – c) = c – b

17

GABARITO IME – MATEMÁTICA

Questão 10Seja um cubo regular, onde os centros de suas faces são vértices de um octaedro. Por sua vez, os centros das faces deste octaedro formado são vértices de outro cubo. Obtendo consecutivamente octaedros e cubos infinitamente, determine a razão da soma do volume de todos os poliedros inscritos pelo volume do cubo inicial.

Gabarito: A B

C

FE

H

O2

O5O6

O4

O1

D

P

QG

a

O3

M

I - Cálculo do volume do 1o cubo inscritoSeja: P - centro da face O1O2O6 do octaedro; Q - centro da face O2O6O3 do octaedro;

P e Q são baricentros das suas respectivas faces ⇒ O P PM

O Q QM1

3

2

2

=

=onde M é ponto médio e O2O6

Seja PQ a aresta do 1o cubo inscrito

⇒ = ⇒ = ⇒ =PQO O

MP

MO

PQa

PQ a1 3 1

13 3

⇒ a aresta do 1o cubo inscrito é a Va

c3 271

3

⇒ = onde Vcj é o volume do vigésimo cubo inscrito.

II - Observe que o volume de cada octaedro inscrito é aj−1

3

6, onde aj – 1 é a aresta do cubo circunscrito a

esse octaedro ⇒

a

O1

O3

x

x

P

Q

M

2x

2x

18

DISCURSIVAS – 23/10/17

V a Va

Va

Va

Va

O O O oj

j

oj

1 2 3

33

23

13

3

636

36

36

61

= = = ⇒ ⇒ =

⇒ = ⋅

−;

( );

( )...

( )

333 j−

3

Já o volume de cada cubo inscrito é (aj)3 onde aa

Va

j j c= ⇒ =

⇒

3 31

3

⇒ =

⇒ =

⇒ =

V

aV

aV

ac c c jj2 33 3 32

3

3

3 3

...

III - Soma do volume de todos os poliedros inscritos, inclusive do 1o octaedro:

Va aj

j jjtotal

volume dos cubos

=

+ ⋅

=

∞

=

∞

∑ ∑316 31

3

01 24 34

3

volume dos octaedros1 24 34

aa a

jj

3

31

3 3

3

127

1 127

26=

∞

∑ = ⋅−

=

jj

a a

Va a a a a

V

=

∞

∑ ⋅ =

= + =+

=

0

3

3

3

3 3 3 3 3

61

3952

26952

2 552

1152

.

total

totaal

cuboV

a

a= =

1152 11

52

3

3

19

GABARITO IME – MATEMÁTICA

Comentário:

Tradicionalmente, a prova de matemática do IME apresenta elevado grau de dificuldade, fazendo com que os alunos se deparem com um vestibular cada vez mais trabalhoso.

Destacamos as questões 1, 6 e 7 como sendo as mais difíceis. Apesar destas, questões como bastante acessíveis as de número 2 e 10.

Parabenizamos a banca pela prova, que uma vez mais privilegia e seleciona os melhores alunos do Brasil.

Professores:

Álvaro de JesusAnderson Izidoro

Bruno PedraElisama

Êurope GoritoGenilson

Jordan PivaMarcelo XavierRafael Sabino

Sandro Davison

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DISCURSIVAS – 23/10/17