18

1 INTRODUÇÃO

A Otimização é um processo de busca para a solução de problema que utiliza

várias técnicas para chegar à solução mais eficaz.

Com o início da Segunda Guerra Mundial, tornou-se essencial o planejamento

de modo eficiente do uso de recursos escassos. A United States Air Force instituiu

em 1947 o programa SCOOP ( Scientific Computation of Optimum Programs)

envolvendo pesquisadores de várias áreas. Deste grupo de trabalho, participou

George B. Dantzig, que se deparou com problemas de alocação de aeronaves para

transporte de suprimentos e formulou o problema geral de programação linear em

1947. Em 1949, Dantzig propôs o “método simplex” como estratégia de resolução

do problema de programação linear. A partir daí, muitos pesquisadores se

envolveram com o assunto, passando a contribuir no desenvolvimento de resultados

teóricos, métodos eficientes de codificação do algoritmo, novos algoritmos,

aplicações, etc.

O algoritmo do método simplex permaneceu até 1978 como única alternativa

para implementação computacional eficiente para resolver problemas de

programação linear. Khachian (1979) apud Porto et al (1997) publicou o algoritmo

de elipsóides como alternativa ao simplex. Posteriormente, surge com Karmarkar

(1984) apud Porto et al (1997), um algoritmo baseado em pontos interiores

anunciando grandes vantagens computacionais para problemas de grande porte em

relação ao simplex. Apesar disto, o simplex é utilizado até os dias de hoje pela

maioria dos pacotes comerciais existentes.

Com o passar do tempo, várias técnicas foram desenvolvidas para escolher a

alternativa ótima, sendo as mais conhecidas: a programação linear, a programação

não-linear, a programação dinâmica, a simulação e a utilização de algoritmo

genético. As três primeiras não têm aplicação muito grande em casos reais de

engenharia, mas são suficientes para garantir a viabilidade. A simulação é a técnica

mais utilizada na prática e proporciona meios para o tratamento detalhado do

comportamento dos sistemas, apesar de não ser otimizante. Os algoritmos genéticos

adaptam conceitos da genética e da evolução para gerar um processo de otimização

em engenharia.

19

Deve-se ao “ Harvard Water Resources Group ” a ação pioneira de introduzir

este tipo de abordagem em planejamento e gestão de recursos hídricos. Os

pesquisadores do programa criaram as bases da análise de sistemas de recursos

hídricos, que consiste em dividir em 5 etapas qualquer problema de planejamento e

operação de sistemas de recursos hídricos. As etapas são: a) definir os objetivos; b)

formular as medidas quantitativas dos objetivos; c) gerar as alternativas de solução;

d) quantificar as alternativas; e) selecionar a alternativa ótima.

A otimização do controle operacional de redes hidráulicas é usualmente

obtida através de programação linear com várias limitações, pois as equações que

descrevem o escoamento não são lineares.

As dificuldades para se otimizar redes hidráulicas não consistem apenas em

transformar equações não-lineares em lineares, pois vários problemas adicionais

devem ser considerados, tais como funções descontínuas que descrevem as condições

de contorno relacionadas ao liga/desliga das bombas e também a ocorrência de

condições limites na operação dos equipamentos (válvulas e bombas).

Na área de recursos hídricos, o desequilíbrio entre oferta e demanda impõe ao

engenheiro soluções cada vez mais elaboradas. À medida que o país cresce, os

problemas relacionados com a água, como o abastecimento das cidades, transferência

de água entre bacias hidrográficas e principalmente a escassez e a dificuldade de

obtenção de recursos de capital para a construção de novas obras, exige que os

sistemas existentes sejam cada vez mais eficientes.

O controle operacional de redes hidráulicas para atender as demandas da

população ao longo do dia é um problema que vem sendo pesquisado há várias

décadas e até hoje as soluções utilizadas nem sempre são otimizadas, resultando em

riscos de falhas no fornecimento de água.

A proposição para esta pesquisa é desenvolver um modelo híbrido, que após

calcular as cargas e as vazões para o regime permanente e para o regime extensivo,

utiliza um algoritmo genético para otimizar o controle operacional de redes

hidráulicas.

O controle operacional de redes hidráulicas envolve várias variáveis que

deverão ser controladas e otimizadas para se obter a maior eficiência na operação,

tais como:

20

a) Nível d’água nos reservatórios

O controle da variação do nível d‟água nos reservatórios é necessário, pois se

o nível da água ultrapassar um valor máximo pré-determinado ocorrerá o

transbordamento, ocasionando desperdício de água e se o nível ficar abaixo de um

valor mínimo pré-determinado poderá ocorrer entrada de ar no sistema prejudicando

a operação subseqüente.

b) Níveis de pressão ao longo da rede

Os níveis de pressão devem ser controlados nas redes hidráulicas

primeiramente por questões de normativas exigindo que as pressões extremas ao

longo da rede não sejam superiores e/ou inferiores a valores pré-determinados em

normas técnicas. Além disto, pressões muito baixas comprometem o fornecimento e

pressões muito altas podem provocar danos nas tubulações e interferem nas ligações

domiciliares e respectivo sistema de distribuição.

c) Número de manobras nas válvulas

O consumo de água pela população ao longo do dia varia bastante, com

horários de menor consumo e horários de maior consumo, ressaltando o horário de

pico.

Para se controlar a vazão de água durante as 24 horas do dia, de modo que se

atenda às necessidades da população e utilizando-se a capacidade de transporte e

reserva, usam-se as válvulas de controle.

É necessário que se especifiquem as válvulas de controle reduzindo-se o

número de manobras e controlando-se os riscos decorrentes dos transitórios

hidráulicos.

21

d) Vazão de produção (ETA)

A vazão na ETA igual à média do consumo de água diário deve ser mantida

constante para se otimizar a qualidade.

e) Instalação de bombas

A instalação de bombeamentos (boosters com ou sem variador de rotação) é

necessária para se manter o abastecimento e o controle das pressões, requerendo a

definição de um esquema operacional pré-programado e auto-ajustável através de

controladores lógicos.

f) Manobras para evitar transitórios hidráulicos.

O transitório hidráulico decorre das manobras na rede e deve ser controlado e,

por tal, as manobras devem ser especificadas para garantir que a tubulação não sofra

riscos de ruptura ou colapso.

22

2 REVISÃO DE LITERATURA

2.1 Técnicas de otimização

Em geral, o modelo de otimização é constituído por uma função objetivo, que

descreve o critério a ser adotado para o sistema, podendo ser de minimização ou

maximização e comporta as “n” variáveis de decisão do problema. Além dela,

existem também as várias funções de restrição, que descrevem o processo a ser

analisado podendo ser restrições de igualdade ou de desigualdade e determinam a

região viável (factível) das variáveis de decisão. Caso as restrições não existam, o

problema de otimização é irrestrito. Além das variáveis já definidas, existem os

parâmetros do modelo. O conjunto de valores das variáveis de decisão que satisfaz as

funções de restrição e os parâmetros é a solução viável. A região viável é o conjunto

formado por todas as soluções viáveis. Dentre as soluções viáveis, aquela que

também satisfaz a função objetivo é a solução ótima. Existe também a otimização

multiobjetivo, que utiliza mais de um critério (função objetivo).

A função objetivo gera um resultado a partir de um conjunto de dados

(parâmetros) de entrada. A função objetivo pode ser uma função matemática, um

experimento, um jogo, etc. O objetivo é modificar o resultado de uma maneira

desejável, buscando-se os valores apropriados para os parâmetros de entrada.

Freqüentemente, a função objetivo é muito complicada de se definir. O

usuário deve decidir quais parâmetros do problema são os mais importantes. O

usuário deve ter em mente que determinar a função objetivo apropriada e decidir

quais parâmetros usar são dois procedimentos intimamente relacionados.

Existem várias classificações para o problema de otimização, dependendo da

natureza da função objetivo e do conjunto de restrições (se existirem). O problema

pode ser classificado em: a) linear x não-linear ; b) determinístico x não

determinístico ; c) estático x dinâmico ; d) contínuo x discreto.

Um problema de programação linear consiste de uma função objetivo, que é

uma função linear das variáveis de decisão e todas as restrições lineares. Problemas

de programação não-linear são representados por expressões não-lineares, que

podem ser parte ou todas as restrições e/ou uma função objetivo não-linear.

23

Problemas determinísticos contêm parâmetros ou coeficientes que possuem valores

perfeitamente determinados e conhecidos, enquanto problemas não determinísticos

contêm parâmetros com incerteza, que são considerados variáveis aleatórias. Nos

problemas estáticos, não aparecem as variáveis tempo e espaço, enquanto que os

problemas dinâmicos envolvem o tempo e/ou o espaço. Nos problemas contínuos as

variáveis podem assumir qualquer valor dentro de um intervalo contínuo de

definição, enquanto que nos problemas discretos, as variáveis pertencem a um

conjunto de valores não contínuo. Na classe dos problemas discretos, estão os

problemas conhecidos como problemas de programação inteira, onde as variáveis

assumem somente valores inteiros. Existe uma subclasse dos problemas de

programação inteira, onde as variáveis são inteiras e só assumem os valores 0 e 1,

que são conhecidos como problemas de programação inteira 0-1.

2.1.1 Programação linear (PL)

A programação linear se volta para a minimização ou maximização de uma

função linear com muitas variáveis sujeitas a restrições que são lineares e de

igualdade. Apresentam-se a seguir dois métodos de PL.

2.1.1.1 Método gráfico

O Método Gráfico é aplicado a problemas com duas variáveis, x1 e x2. As

restrições devem ser lançadas em um gráfico bi-dimensional onde determinam

regiões do plano x1, x2 cujos pontos são chamados viáveis. A interseção destes

pontos determina a região viável, onde estará a solução ótima para o problema. A

solução ótima será um dos vértices do polígono que forma a região viável.

Para se descobrir a solução ótima, utiliza-se o gradiente da função objetivo. O

gradiente é um vetor definido pelas derivadas parciais de primeira ordem das

variáveis de uma função (x1, x2, ..., xn), caso esta as possua, e tem a propriedade de

apontar para a direção e sentido de maior crescimento da função objetivo. Quando o

problema é de minimização, deve-se caminhar no sentido contrário do gradiente.

24

2.1.1.2 Método simplex

O Método Simplex consiste em um algoritmo projetado por George B.

Dantzig, que basicamente toma a região delimitada pelas restrições (região viável) e

analisa o crescimento ou a diminuição da função objetivo dentro dela. Para isto, o

problema deve ser colocado dentro da forma padrão.

Na vida real, os problemas quase sempre têm mais equações ou inequações

que variáveis. No caso do Simplex, as inequações são transformadas em equações

com o acréscimo de outras variáveis, que têm valor zero. Assim, define-se a forma

padrão de um problema de PL. As variáveis zeradas do problema são chamadas de

não-básicas e as demais de básicas.

Com o problema na forma básica, monta-se o Tableau Simplex. Fazendo-se

sucessivos pivotamentos de Gauss e promovendo-se a entrada e a saída das variáveis

no grupo das não-básicas, chega-se à solução ótima.

2.1.2 Programação não-linear

Problemas de programação não-linear são representados por expressões não-

lineares, que podem ser parte ou todas as restrições e/ou uma função objetivo não-

linear.

2.1.2.1 Otimização analítica

Estes métodos procuram determinar soluções ótimas resolvendo sistemas de

equações com o apoio de derivadas. A otimização pode ser reduzida à procura das

raízes destes sistemas. A Otimização Analítica não trabalha bem com parâmetros

discretos e freqüentemente acha uma solução ótima local, além do mais, os

problemas existentes no mundo real são muito complexos e pouco prováveis de

serem resolvidos por estes métodos. Apresentam-se, a seguir, dois métodos.

25

2.1.2.1.1 Método do cálculo diferencial

O cálculo pode ser utilizado para achar o ótimo de várias funções objetivo.

No caso de haver um só parâmetro na função, o ponto ótimo é achado igualando-se a

zero a derivada primeira de uma função objetivo que se queira otimizar e resolvendo

a equação resultante para achar o valor do parâmetro. Se a derivada segunda da

função objetivo for maior que zero, o ponto ótimo é um mínimo e se a derivada

segunda for menor que zero, o ponto ótimo é um máximo. Quando há dois ou mais

parâmetros na função objetivo, para se achar os pontos ótimos, iguala-se o gradiente

da função a zero. Depois, as equações resultantes são resolvidas para se acharem os

valores dos parâmetros. Finalmente, o Laplaciano da função é calculado. As raízes

serão mínimas quando a matriz Hessiana for maior que zero.

2.1.2.1.2 Multiplicadores de Lagrange

No século XVIII, Lagrange apresentou uma técnica para incorporar as

restrições de igualdade na função objetivo. Este método encontra os extremos de uma

função f(x,y,...) com restrições gm(x,y,...)=0, achando os extremos de uma nova

função F(x,y,...,1,2,...) = f(x,y,...) +

M

m 1

λmgm(x,y,...). Então, quando os gradientes

são tomados em termos dos novos parâmetros m, os limites são automaticamente

satisfeitos.

2.1.2.2 Método de busca direta

Os métodos de busca direta a “n” variáveis são constituídos pelos métodos

iterativos. A idéia básica no método iterativo é, a partir de um valor inicial X0,

caminhar sucessivamente através de iterações até o máximo (mínimo) da função f(x),

que se quer otimizar. Nestes métodos, é importante dispor de um critério que indique

se um novo ponto escolhido é melhor que o anterior.

O valor da função objetivo f(xk) pode ser utilizado como critério que, no caso

de minimização, implica f(xk+1

)<f(xk), onde k é a iteração considerada. Na

26

maximização, f(xk+1

)>f(xk).Todos os métodos podem ser colocados no seguinte

algoritmo:

Passo 1 - Teste de Convergência: caso o valor da função computada no passo K+1

não seja significativamente diferente do valor da função no passo anterior, o

algoritmo para e xk é o vetor solução.

Passo 2 - Cálculo da direção da busca: de acordo com um determinado método de

cálculo, calcule a direção xk. Isto equivale a determinar os vetores unitários das

direções de xk, dados e

k, onde e é a direção.

Passo 3 - Cálculo do comprimento do passo: determine qual ponto considerar ao

longo da linha com direção dada pelo passo 2. Trata-se de determinar um incremento

escalar xk tal que f(x

k + x

k *e

k)<f(x

k), no caso de cálculo mínimo, e f(x

k + x

k

*ek)>f(x

k), no caso de máximo.

Passo 4 - Atualização do mínimo: faça xk+1

= xk

+ xk *e

k e volte ao passo 1.

Existem várias técnicas que usam o Método de Busca Direta. Estas técnicas

não garantem que a solução ótima global seja encontrada. A seguir apresentam-se

duas técnicas.

2.1.2.2.1 Método da máxima descida

O Método da Máxima Descida começa em um ponto arbitrário do espaço de

soluções e minimiza ou maximiza ao longo da direção do gradiente, conforme o

problema. Esta abordagem é bastante popular e foi originada com Cauchy em 1847.

O método faz uso de um escalar não negativo que minimiza ou maximiza a função na

direção do gradiente e se reduz gradativamente à medida que o ponto ótimo se

aproxima. Por definição, o novo gradiente formado em cada iteração é ortogonal ao

gradiente anterior. Se o vale ou a crista são estreitos, então o algoritmo salta de um

lado para o outro por várias iterações antes de alcançar o ótimo.

27

2.1.2.2.2 Programação quadrática

A Programação Quadrática é utilizada quando a função objetivo é quadrática

(os parâmetros são representados ao quadrado) e as restrições são lineares. Esta

técnica é baseada nos Multiplicadores de Lagrange e requer derivadas ou

aproximações de derivadas. Existe também a programação quadrática recursiva que

resolve o problema de programação quadrática a cada iteração para encontrar a

direção para o próximo passo.

2.1.3 Programação dinâmica (PD)

Em muitas situações, o problema de otimização em recursos hídricos é dado

por uma seqüência de decisões que evoluem no tempo e no espaço. Exemplo típicos

de evolução no tempo são o escalonamento de obras de um sistema de grande porte

ou a operação de sistemas de reservatórios. O traçado de uma adutora que dispõe de

um conjunto de possibilidades de ligar a captação até o centro consumidor é um

exemplo de sistema que evolui no espaço.

Em problemas de PD, o estado atual do sistema incorpora todas as

informações prévias decorrentes das decisões tomadas no passado. Isto permite

determinar a política ótima futura, independente do que já ocorreu. Esta propriedade

é chamada de Propriedade Markoviana. Qualquer problema que não atenda esta

propriedade, não pode ser resolvido por PD.

Uma PD é composta por: função objetivo, função de transformação

(mudança) de estado, equações de restrição e função recursiva. A função objetivo

que descreve o critério a ser adotado para o sistema podendo ser de minimização ou

maximização e comporta as “n” variáveis de decisão do problema. A função de

transformação (mudança) de estado define a mudança de estado entre dois estágios.

As equações de restrição descrevem o processo a ser analisado e determinam a região

viável das variáveis de decisão. A função recursiva relaciona o ótimo de um estágio a

outro.

A PD tem a seguinte linha de raciocínio: a) divide-se o problema geral em

estágios; b) determina-se o ótimo em cada estágio; c) relaciona-se o ótimo de um

28

estágio a outro através de uma função recursiva; d) percorrem-se todos os estágios

para obter o ótimo global.

Na PD, o ótimo global pode ser obtido nos dois sentidos: partindo-se do

estágio final até o estágio inicial (PD regressiva) ou vice-versa (PD progressiva).

Na PD, as funções objetivo e as restrições podem ser lineares, não-lineares e

até mesmo descontínuas.

Uma das vantagens da PD é que o trabalho computacional cresce de forma

aproximadamente linear com o número de estágios, enquanto que em outras técnicas

o crescimento é, geralmente, geométrico. Outra vantagem da PD é poder ser utilizada

em um grande número de problemas de programação discreta. A desvantagem da PD

é quando surgem situações nas quais o número de possibilidades que devem ser

analisadas a cada estágio é muito grande. Neste caso, a busca do ótimo é bastante

dificultada. A solução exige bastante memória e tempo de processamento do

computador. Sistemas muito complexos exigem técnicas especiais para reduzir a

dimensionalidade do problema.

2.1.4 Algoritmos genéticos (AG)

Os algoritmos genéticos fazem parte dos algoritmos evolucionários e

permitem que uma população composta de vários indivíduos evolua, sob regras de

seleção específicas, para um estado que geralmente maximiza o ajuste da função

objetivo (função de custo). O método foi desenvolvido por John Holland (1975) apud

Haupt; Haupt (1998) durante os anos 60 e 70 e foi popularizado por um dos seus

estudantes, David Goldberg, que resolveu um problema complexo envolvendo

controle de transmissão de gasolina por dutos em sua dissertação de 1989.

Os algoritmos genéticos têm algumas vantagens como poder fazer

otimizações utilizando parâmetros contínuos ou discretos, não requerer informações

de derivadas, pesquisar simultaneamente a partir de um grande número de amostras

do espaço de soluções, poder lidar com um grande número de parâmetros, ser bem

adequado para programação paralela, fornecer uma lista de parâmetros ótimos, ao

invés de uma única solução, permitir a codificação dos parâmetros de modo que a

otimização seja feita com os parâmetros codificados, otimizar parâmetros em espaços

29

de soluções extremamente complexos, podendo evitar um mínimo local e trabalhar

com dados gerados numericamente, dados experimentais ou funções analíticas.

Deve-se destacar que os algoritmos genéticos não são a melhor maneira para

se resolver todo tipo de problema. Por exemplo, em problemas que contenham uma

função analítica convexa bem comportada com poucas variáveis, os métodos

tradicionais de otimização, como os métodos baseados no cálculo diferencial, são

mais eficientes que os algoritmos genéticos. Entretanto, muitos problemas reais não

caem nesta categoria. Em adição, alguns métodos podem encontrar a solução de

maneira mais rápida que os algoritmos genéticos em problemas que não sejam

globalmente complexos, ao menos no caso de se utilizar programação serial.

Os algoritmos genéticos trabalham com uma população de possíveis soluções,

junto com operadores genéticos (seleção, crossover e mutação) para produzir

resultados mais adequados sucessivamente. Cada solução é representada por uma

série de números (cromossomo). Cada cromossomo contém sub-séries ou genes, que

são valores ou componentes que formam ou avaliam a função objetivo do problema.

Os algoritmos genéticos começam por definir um cromossomo ou uma série de

parâmetros a serem otimizados. A rotina dos AGs começa gerando uma população

inicial aleatoriamente e calcula a adequação de cada indivíduo da população em

relação à característica que se quer otimizar. Então a rotina seleciona os indivíduos

mais aptos (geralmente os 50% com melhor adequação ou custo) desta população

inicial. A partir daí, o algoritmo seleciona os indivíduos para cruzamento, podendo

escolher entre várias técnicas, tais como: seleção proporcional, seleção aleatória,

seleção aleatória ponderada e seleção por sorteio e cria descendentes através da

aplicação de recombinação (crossover) e/ou mutação para os indivíduos

selecionados. A partir daí, a rotina calcula a adequação destes descendentes e elimina

os menos aptos para inserir os mais aptos na nova geração, formada pelos pais e

pelos descendentes mais aptos selecionados. Se a população convergir, a rotina

termina. Caso contrário, ela repete os passos descritos anteriormente.

A maioria dos problemas de otimização requer constantes ou limites para os

parâmetros (funções de restrição). Os AGs não são capazes de manejar restrições ou

constantes, por isto, faz-se uso de uma função de penalidade. A função de penalidade

evita que indivíduos que geram soluções não factíveis sejam selecionados, assim os

30

AGs se concentrarão nas soluções factíveis ou nas proximidades delas. Cabe ao

usuário definir a função de penalidade de acordo com o problema que ele tiver em

mãos.

2.1.4.1 Representação dos parâmetros

Uma das maneiras de representar os parâmetros do problema é utilizar o

código binário. O algoritmo genético binário trabalha com um número de parâmetros

finito, mas normalmente muito grande. Esta característica torna o AG ideal para

otimizar uma solução que está ligada a parâmetros que só podem assumir um número

finito de valores.

O AG trabalha com codificação binária, mas a função objetivo requer

parâmetros contínuos, por isto, sempre que a função objetivo é avaliada, o

cromossomo deve ser primeiro decodificado.

Outra forma de representar os AGs é o código de Gray. Este código redefine

os números binários de modo que dois números consecutivos (adjacentes) têm uma

distância de Hamming de apenas um. A distância de Hamming é definida como o

número de bits que diferem dois cromossomos. O código de Gray é usado para evitar

variações muito grandes nos valores das variáveis entre as gerações e facilitar a

convergência para uma boa solução, entretanto, este código pode deixar o AG de 10

a 20 % mais lento, dependendo da situação.

Outra maneira de representar os parâmetros do problema é representar os

parâmetros utilizando números reais que fiquem entre os limites estabelecidos. Neste

tipo de representação os parâmetros são contínuos e por isto podem assumir qualquer

valor. Apesar disto, os computadores digitais representam os números com um

número finito de bits e utilizam a sua precisão interna para definir a precisão dos

parâmetros contínuos. Portanto, o AG fica com a precisão limitada ao erro de

arredondamento do computador. Este tipo de representação tem a vantagem de

requerer menos memória do computador para armazenar dados.

31

2.1.4.2 População inicial

O algoritmo genético começa com um grande número de cromossomos, os

quais formam a população inicial. Esta população é representada por uma matriz

preenchida com números entre zero e um, gerados aleatoriamente e arredondados

para o inteiro mais próximo (0 ou 1), onde cada linha representa um cromossomo e

cada coluna do cromossomo representa um bit. Após isto, os parâmetros são

passados para a função objetivo para avaliação. Uma população grande fornece uma

boa amostra do espaço de pesquisa para o AG, mas pode prejudicar bastante a

eficiência dele. Normalmente, apenas uma parcela da população inicial participa da

parte iterativa do AG.

No caso de se representarem os parâmetros com números reais, a população

inicial é representada por uma matriz, onde cada linha é composta por uma série de

parâmetros contínuos. Os elementos da matriz são números entre 0 e 1 gerados

aleatoriamente multiplicados pela diferença entre o maior valor e o menor valor

permitidos no intervalo do parâmetro, sendo este resultado somado ao menor valor

permitido no intervalo do parâmetro.

Quando a população inicial é muito grande para passar pelo processo iterativo

do AG, uma parte da população é descartada. Primeiro, o AG calcula a adequação de

cada indivíduo e os coloca em ordem decrescente (do mais adequado para o menos

adequado), então, os menos adequados são descartados (normalmente 50%) e apenas

os melhores farão parte da população para participar das iterações na rotina do AG.

Na hora da iteração, apenas uma parte destes melhores indivíduos (50%) é

selecionada para fazer parte do grupo de reprodução, a outra metade destes melhores

indivíduos é descartada. Este processo se repete a cada iteração.

Como exemplo, suponhamos que uma população inicial de 80 indivíduos é

considerada muito grande por algum critério, portanto, apenas os 40 melhores

indivíduos são mantidos na população para participar do processo iterativo. Neste

processo, apenas os 20 melhores farão parte do grupo de reprodução, enquanto que

os 20 piores serão descartados. Os 20 melhores irão produzir 20 descendentes e a

população voltará a ter 40 indivíduos. Novamente, apenas os 20 melhores farão parte

do grupo de reprodução da próxima iteração e assim por diante.

32

Uma outra forma de selecionar os cromossomos para reprodução consiste em

definir algum princípio de sobrevivência. Todos os cromossomos que não

alcançarem este princípio de sobrevivência são descartados. Caso todos os

cromossomos sejam descartados, uma nova população inicial é criada para achar

cromossomos que passem no teste. Esta técnica tem como característica, a vantagem

de não necessitar que a população seja classificada, como no caso anterior.

2.1.4.3 Seleção

Na seleção, dois indivíduos são selecionados do grupo de reprodução para

produzir dois novos descendentes. A seleção dos indivíduos continua até que haja

descendentes suficientes para a população voltar ao seu tamanho original. A seleção

dos indivíduos pode ser escolhida entre várias técnicas, tais como:

a) Seleção proporcional

Nesta seleção, o algoritmo classifica os cromossomos de acordo com sua

adequação em ordem decrescente e escolhe os pares de cromossomos para

reprodução de dois em dois do início para o final. Assim, o algoritmo escolhe o

melhor e o segundo melhor, o terceiro melhor e o quarto melhor e assim por diante.

Esta técnica não modela a natureza de forma adequada e não mantém a diversidade

populacional.

b) Seleção aleatória

Esta técnica utiliza um gerador de número aleatório uniforme para selecionar

os cromossomos. Os cromossomos são classificados de acordo com sua adequação e

dois números aleatórios são gerados para escolher dois indivíduos para reprodução.

Nesta técnica, o algoritmo gera uma quantidade de números aleatórios entre 0 e 1

igual ao número de indivíduos do grupo de reprodução. A partir daí, estes números

gerados são multiplicados pelo número de indivíduos do grupo de reprodução e os

resultados são arredondados para o teto dos números inteiros mais próximos

33

correspondentes. Estes resultados finais fornecem números inteiros que

correspondem aos cromossomos selecionados para reprodução, que são pegos de

dois em dois na ordem em que foram gerados.

c) Seleção aleatória ponderada

Esta técnica designa probabilidades para os indivíduos do grupo de

reprodução de acordo com as suas funções objetivo. O cromossomo com o maior

valor da função objetivo tem a maior probabilidade de ser selecionado para

reprodução e vice-versa. Um número aleatório define qual cromossomo é

selecionado. Esta técnica é mais conhecida como seleção por mecanismo de roleta.

Uma maneira de se usar esta técnica é calcular a probabilidade através da

posição do cromossomo no grupo de reprodução. Cada cromossomo do grupo de

reprodução recebe um número inteiro “n”, a partir de 1, para designar sua posição no

grupo, começando do mais apto. Para se calcular a probabilidade “Pn” do

cromossomo, pega-se o número de cromossomos que compõem o grupo de

reprodução “Nrep” acrescido de um e subtrai-se o número (“n”) da posição do

cromossomo no grupo. Este valor é dividido pelo somatório dos números das

posições de todos os cromossomos do grupo de reprodução, conforme eq.(1).

Utilizam-se as probabilidades acumuladas de cada cromossomo para selecioná-los. A

partir daí, gera-se uma quantidade de números aleatórios entre 0 e 1 igual ao número

de indivíduos do grupo de reprodução. Começando-se do início para o final, o

primeiro cromossomo com uma probabilidade acumulada maior que o primeiro

número gerado é escolhido para reprodução e assim por diante até que todos os

números gerados sejam testados. Neste processo, um mesmo cromossomo pode ser

escolhido mais de uma vez. Se por acaso, um cromossomo faz par com ele mesmo,

pode-se ignorar este fato ou pegar um outro cromossomo aleatoriamente. A

aleatoriedade desta técnica está mais de acordo com a natureza.

34

repN

n

rep

n

nN

nP

1

1

(1)

Outra maneira de se usar esta técnica é calcular a probabilidade através da

adequação do cromossomo no grupo de reprodução. Uma adequação normalizada

“An” é calculado para cada cromossomo, subtraindo o maior valor da adequação do

cromossomo descartado “ANrep” do valor de adequação “An” de cada cromossomo do

grupo de reprodução. A probabilidade “Pn” para cada cromossomo é calculada pelo

módulo da divisão da adequação normalizada pelo somatório de todas as adequações

normalizadas “Ap” dos cromossomos do grupo de reprodução. Utilizam-se as

probabilidades acumuladas de cada cromossomo para selecioná-los. A partir daí,

gera-se uma quantidade de números aleatórios entre 0 e 1 igual ao número de

indivíduos do grupo de reprodução. Começando-se do início para o final, o primeiro

cromossomo com uma probabilidade acumulada maior que o primeiro número

gerado é escolhido para reprodução e assim por diante, até que todos os números

gerados sejam testados.

repN

p

p

n

A

A

nP

1

(2)

Figura 1 – Seleção aleatória ponderada

35

d) Seleção por sorteio

Esta técnica imita de perto a competição na natureza. Nesta técnica, o

algoritmo pega um sub-conjunto de cromossomos do grupo de reprodução e o

indivíduo com a melhor adequação neste sub-conjunto se torna um pai. O número de

sorteios é igual ao número de cromossomos existentes no grupo de reprodução. Os

sub-conjuntos têm geralmente dois cromossomos. Os sorteios selecionam o sub-

conjunto de cromossomos do grupo de reprodução aleatoriamente. Na seleção por

sorteio a população não precisa ser classificada como nas outras técnicas.

Cada sistema de seleção resulta em diferentes conjuntos de pais, portanto, os

descendentes também são diferentes. Dependendo do problema, um sistema trabalha

melhor que o outro e cabe ao usuário decidir qual usar.

2.1.4.4 Recombinação

A recombinação (crossover) é a criação de um ou mais descendentes a partir

dos cromossomos (pais) selecionados no processo de seleção. A recombinação é a

primeira maneira do AG explorar o espaço de soluções. A constituição genética da

população é limitada pelos membros em curso da população e ajuda o AG a

convergir. A forma mais comum de recombinação utiliza dois pais para produzir dois

descendentes. Normalmente, a porcentagem de recombinação na população de 50 a

95% por iteração. Os método mais simples para se fazer as recombinações é escolher

um ou mais pontos nos cromossomos pais e fazer o intercâmbio entre as partes de

cada cromossomo.

Uma maneira de se fazer a recombinação é escolher um ponto aleatoriamente

entre o primeiro e o último bit dos cromossomos dos pais. Em primeiro lugar, o

primeiro e o segundo pai passam seus códigos binários à esquerda do ponto

escolhido para o primeiro e o segundo descendentes respectivamente. Depois, o

primeiro pai passa seu código binário à direita do ponto escolhido para o segundo

descendente e o segundo pai passa seu código para o primeiro descendente. Assim,

os descendentes contêm porções dos códigos binários dos dois pais. Como cada par

36

de pais do grupo de reprodução produz dois descendentes, a população de

cromossomos volta ao seu tamanho original.

Pai1 00100110011101

Pai2 01010110000100

Descendente1 00100110000100

Descendente2 01010110011101

Pode-se fazer também a recombinação escolhendo-se aleatoriamente dois

pontos nos cromossomos pais. Os pais trocam os bits entre estes dois pontos de

intercâmbio. Como alternativa, pode-se escolher aleatoriamente uma das três partes

do cromossomo para fazer as trocas de bits.

Pai1 00101011000110

Pai2 01111100001100

Descendente1 00111100000110

Descendente2 01101011001100

Outro esquema de recombinação envolve três pais e dois pontos de

intercâmbio. Com este esquema, forma-se um total de 18 descendentes, embora não

seja necessário gerar todos. O usuário pode escolher quantos descendentes serão

gerados.

Uma outra maneira de se fazer a recombinação é percorrer todos os pontos

dos cromossomos pais e escolher aleatoriamente qual pai irá contribuir com seu

parâmetro para cada posição dos cromossomos descendentes. Para isto, uma máscara

aleatória é gerada. Esta máscara é um vetor aleatório de zeros e uns e tem o mesmo

comprimento dos pais. Quando o bit na máscara é 0, o bit correspondente no

primeiro pai passa para o primeiro descendente e o bit correspondente no segundo

pai passa para o segundo descendente. Quando o bit na máscara é 1, o bit

correspondente no primeiro pai passa para o segundo descendente e o bit

correspondente no segundo pai passa para o primeiro descendente. Este tipo de

recombinação é conhecido como recombinação uniforme.

37

Pai1 00101011000110

Pai2 01111100001100

Máscara 00110110001110

Descendente1 00111101001100

Descendente2 01101010000110

O problema com as recombinações baseadas na escolha de pontos é que

nenhuma informação nova é introduzida. Os parâmetros gerados aleatoriamente na

população inicial são passados para a próxima geração em combinações diferentes.

Esta estratégia funciona bem para representações binárias, mas no caso da

representação com números reais, as informações são apenas trocadas entre os

pontos escolhidos. Para superar este problema, faz-se uso da recombinação

misturada.

A recombinação misturada encontra maneiras de combinar os valores dos

parâmetros dos dois pais para formar um novo parâmetro nos descendentes. Uma

maneira de se fazer isto é escolher aleatoriamente um parâmetro qualquer em cada

par de cromossomos pais para ser o ponto de intercâmbio. Depois, os parâmetros

escolhidos são combinados para formar novos parâmetros que estarão presentes nos

descendentes. Por fim, completa-se a recombinação com o resto do cromossomo.Esta

combinação pode ser feita de várias maneiras, como por exemplo:

Pai1=[Ppai1 Ppai2 ... Ppai ... Ppaifinal]

Pai2=[Pmãe1 Pmãe2 ... Pmãe ... Pmãefinal]

Pnovo1= Ppai+ (Pmãe - Ppai)

Pnovo2= Pmãe - (Pmãe - Ppai)

onde:

Pnovo1= novo parâmetro para o descendente um;

Pnovo2= novo parâmetro para o descendente dois;

Ppai= parâmetro proveniente do pai;

Pmãe= parâmetro proveniente da mãe;

= número entre zero e um gerado aleatoriamente.

38

Descendente1=[Ppai1 Ppai2 ... Pnovo1 ... Pmãefinal]

Descendente2=[Pmãe1 Pmãe2 ... Pnovo2 ... Ppaifinal]

O valor de pode ser o mesmo para todos os parâmetros ou pode-se gerar um

valor de diferente para cada parâmetro. Quando o primeiro parâmetro do

cromossomo é selecionado para ponto de intercâmbio, somente os parâmetros à sua

direita fazem intercâmbio. Quando o último parâmetro do cromossomo é selecionado

para ponto de intercâmbio, somente os parâmetros à sua esquerda fazem intercâmbio.

O número de parâmetros a serem selecionados para a mistura de informações fica a

cargo do usuário, podendo até conter todos os parâmetros dos cromossomos pais.

2.1.4.5 Mutação

As mutações alteram uma pequena porcentagem dos bits dos cromossomos.

As mutações são a segunda maneira do AG explorar o espaço de soluções. As

mutações introduzem características não presentes na população original e evita que

o AG faça a convergência muito rápida. A mutação em um ponto muda de 1 para 0

ou vice-versa. Os pontos de mutação são selecionados aleatoriamente entre os bits da

população. Normalmente, de 1 a 5% dos bits sofrem mutação a cada iteração. As

mutações não ocorrem na última iteração. Para se evitar que os melhores indivíduos

sofram mutações, pode-se usar uma técnica chamada Elitismo. Esta técnica consiste

em nunca substituir os melhores indivíduos da população, mas o elitismo pode gerar

uma rápida convergência. O elitismo não faz a população escapar de um ótimo local.

A maioria das mutações aumenta a adequação do cromossomo. Uma diminuição

ocasional do custo aumenta a diversidade e fortalece a população. As mutações

ajudam a explorar o espaço de soluções, porque elas saem da rota de convergência

para outros territórios.

Para a representação com números reais, multiplica-se a taxa de mutação pelo

número de parâmetros total da população para definir quantos parâmetros sofrerão

mutação. Depois, números aleatórios são gerados para escolher a linha e a coluna dos

parâmetros que sofrerão mutação. Os parâmetros escolhidos são apagados e

39

substituídos por um novo número aleatório gerado entre os limites de variação do

parâmetro.

2.1.4.6 A geração seguinte

Depois que as recombinações e as mutações acontecem, as adequações dos

descendentes e dos cromossomos que sofreram mutação são calculadas. A seguir, o

AG classifica a população segundo as adequações dos indivíduos e seleciona os que

farão parte do grupo de reprodução. Depois que estes indivíduos passam pela

seleção, recombinação, mutação e classificação das suas adequações, a geração

seguinte é formada e assim por diante até a convergência.

2.1.4.7 Convergência

O número de gerações que evoluem depende se uma solução aceitável foi

alcançada ou se um número estabelecido de iterações foi excedido. Após um período

de tempo, todos os cromossomos e suas adequações seriam iguais se não fosse pelas

mutações. São elas que mantêm a diversidade genética da população. Quando a

diversidade genética não varia ou varia muito pouco, o AG deve parar.

A maioria dos AGs presta atenção às estatísticas da população através da

análise da adequação média da população, desvio padrão e melhor adequação.

Qualquer uma destas ou uma combinação delas pode servir como teste de

convergência.

2.2 Análise de bibliografia relevante sobre técnicas de otimização

A análise do regime permanente em redes hidráulicas é um problema de

grande importância na engenharia. As equações hidráulicas básicas que descrevem o

fenômeno não são lineares e podem ser resolvidas iterativamente. Estas equações

básicas, que governam o escoamento do fluido em uma rede hidráulica são a equação

da conservação de massa e a equação da energia.

40

Vários algoritmos foram desenvolvidos para resolver estas equações e apesar

de poderem ser usados no projeto global de uma rede hidráulica, eles são geralmente

formulados para fornecer as vazões e pressões para características de redes

específicas e assim não fornecem informações de projeto diretamente. Como

resultado, vários autores têm empregado várias técnicas de otimização no

desenvolvimento de algoritmos de projeto geral. Em geral o objetivo da maioria das

técnicas de otimização é a minimização dos custos.

A despeito do grande número de algoritmos que tem sido desenvolvidos,

nenhum deles foi totalmente aceito ou tem sido largamente aplicado em execuções

de projetos de redes hidráulicas. Isto é devido, em parte, à grande complexidade das

técnicas requeridas para otimizar as soluções.

Epp; Fowler (1970) desenvolveram um programa de computador para a

solução de redes de água em escoamento permanente. O programa introduziu um

algoritmo para a minimização da largura de banda da matriz dos coeficientes através

da numeração automática dos anéis e utilizou outros algoritmos para definir os anéis

das malhas de forma a reduzir o número de equações a serem resolvidas e estimar as

vazões iniciais.

Epp; Fowler (1970) utilizaram o método de Newton-Raphson aplicado aos

anéis da malha para a resolução do sistema de equações não-lineares. O programa foi

utilizado para uma grande variedade de redes de água e alcançou uma boa

convergência em todas, inclusive em redes nas quais o método de Hardy Cross e o

método de Newton-Raphson aplicado aos nós foram utilizados e não alcançaram a

convergência.

Wood; Charles (1972) propuseram resolver problemas de redes hidráulicas

usando um método linear. Como as equações de energia são não-lineares, eles

propuseram aproximar o valor da perda de carga da seguinte maneira:

hLi= Ki.Qi0a-1

.Qi= Ki‟. Qi

onde:

hLi= perda de carga para um tubo i da malha;

Ki= constante do tubo i;

Qi0= vazão no tubo i no instante de cálculo anterior;

Qi= vazão no tubo i no instante de cálculo atual;

41

a= expoente de perda de carga, empírico normalmente, variando entre

1,8 e 2,0.

Este método tem a vantagem de não necessitar estimar vazões iniciais para

cada tubo, a convergência para os resultados finais é muito rápida e foi assegurada

para todos os casos testados, o método pode ser aplicados para redes malhadas e

ramificadas e o método não exige uma programação complexa.

Wood; Rayes (1981) testaram cinco métodos para resolver as equações que

governam as redes hidráulicas para 51 sistemas de redes e 91 situações diferentes.

Três métodos (Método de Ajuste Único do Trecho, Método de Ajuste Simultâneo

dos Trechos e Método Linear) utilizaram as equações de malha (escritas em termos

dos fluxos desconhecidos nos tubos) e dois métodos (Método de Ajuste Único do Nó

e Método de Ajuste Simultâneo dos Nós) utilizaram as equações dos nós (escritas em

termos da carga total em cada nó do sistema de tubos).

Wood; Rayes (1981) concluíram que o Método Linear e o Método de Ajuste

Simultâneo dos Trechos alcançam uma boa convergência com poucas iterações, boa

precisão e podem ser aplicados na resolução das equações das redes hidráulicas se

informações relativamente seguras a respeito da rede são fornecidas. O Método de

Ajuste Único do Trecho, o Método de Ajuste Único do Nó e o Método de Ajuste

Simultâneo dos Nós apresentaram vários problemas significativos de convergência e

os resultados não são confiáveis, apesar de que são grandemente utilizados para

resolver os problemas de redes hidráulicas. Os autores aconselham que se tenha

bastante cuidado ao se utilizar um destes três métodos.

Ormsbee; Wood (1986) propuseram uma técnica alternativa para o problema

do projeto de redes hidráulicas. Eles remodelaram o conjunto básico de equações de

redes hidráulicas realçando um ou mais parâmetros de projeto como variáveis

desconhecidas e especificando condições alternativas, como por exemplo, especificar

a velocidade global de escoamento no caso de se realçar somente um parâmetro de

projeto ou introduzir equações de energia ou continuidade adicionais no caso de se

realçar mais de um parâmetro de projeto.

Ormsbee; Wood (1986) propuseram um algoritmo que utilizou uma expansão

truncada da série de Taylor para linearizar as equações da energia e da continuidade

42

para cada tubo da rede. Este método é uma versão modificada do método linear

proposto por Wood; Charles (1972).

Jowitt; Xu (1990) desenvolveram um algoritmo para a determinação dos

valores das aberturas de válvulas de controle de fluxo para minimizar os vazamentos.

É sabido que os vazamentos em algumas redes de distribuição de água são

responsáveis por quantidades significativos da água colocada para abastecimento.

Para algumas redes urbanas antigas, taxas de até 50% são citadas, sendo que taxas

médias de 25% são típicas. Taxas tão altas de vazamento representam perdas

econômicas de monta.

Sabe-se que os vazamentos de água em uma rede de distribuição de água são

diretamente relacionado à pressão de serviço do sistema. As pesquisas anteriores

para determinação dos valores das aberturas das válvulas para reduzir as pressões na

rede e conseqüentemente os vazamentos, formularam o problema de modo a

minimizar as sobrepressões do sistema sujeitas às constantes operacionais do

sistema. Algumas destas abordagens tentaram resolver o problema sem considerar

diretamente o vazamento dentro do modelo da rede. Mais recentemente,

Germanopoulos; Jowitt (1989) apud Jowitt; Xu (1990) incorporaram componentes de

vazamento dependentes de pressão explicitamente dentro do modelo do sistema. O

artigo pesquisado teve a originalidade de apresentar um algoritmo que estende o

trabalho de Germanopoulos; Jowitt (1989) apud Jowitt; Xu (1990) por procurar

minimizar os vazamentos do sistema diretamente ao invés de simplesmente

minimizar as sobrepressões do sistema. As avaliações dos potenciais benefícios

econômicos foram feitas com comparações dos volumes de vazamento em casos de

sistemas de água controlados e não controlados.

As equações hidráulicas básicas não-lineares da rede, que descrevem as

cargas nos nós e as vazões nos elementos, foram escritas em termos que

explicitamente mostram o vazamento dependente de pressões e em termos que

modelam o efeito das ações das válvulas. Estas equações foram linearizadas pelo

método desenvolvido por Wood; Charles (1972), o que permitiu o desenvolvimento

de um programa linear de mínimo vazamento para resolver o problema de controle

de válvula. O método de linearização desenvolvido por Wood; Charles (1972) é

iterativo. O processo iterativo termina quando a máxima discrepância entre as vazões

43

do instante de cálculo e do instante anterior for menor que um valor de tolerância

especificado. O problema de programação linear foi resolvido utilizando o método

simplex revisado.

Para mostrar o desempenho do método proposto no artigo, Jowitt; Xu (1990)

usaram uma rede de água utilizada por outros autores em outros trabalhos. As

operações das válvulas determinadas pelo algoritmo de otimização desenvolvido no

artigo reduziram os vazamentos na rede principalmente durante a noite, quando o

consumo é menor e as pressões tendem ser maiores. Durante o período de demanda

de pico, a redução dos volumes de vazamento foi marginal. A redução global no

vazamento foi por volta de 20%.

A pesquisa teve como pontos altos utilizar um plano de controle para um

período de 24 horas, que foi desenvolvido para simular o caráter dinâmico de uma

rede real, além disto, as variações dos níveis dos reservatórios foram representadas

indicando a prática usual de encher os reservatórios através de bombeamento durante

a noite por ser mais barato. Um outro aspecto, é que a linearização dos termos que

representam as ações das válvulas usada no artigo é diferente da que foi usada por

Germanopoulos; Jowitt (1989) apud Jowitt; Xu (1990) e isto levou a uma solução

mais eficiente para o problema. No artigo lido, a equação que representa a ação da

válvula incorpora o valor da constante de abertura desta na iteração anterior à

presente. O desempenho relativo dos dois métodos de linearização foram

comparados através da máxima discrepância entre a vazão e o vazamento em

iterações consecutivas e o método proposto pelo artigo leva a uma convergência

melhor. O artigo também levou em conta que a minimização dos vazamentos na rede

não poderia interromper a continuidade do abastecimento aos consumidores. Para

isto, foi incorporado ao programa linear restrições exigindo que as cargas nos nós se

mantivessem acima de valores mínimos especificados.

A pesquisa teve como pontos baixos utilizar a equação de Hazen-Williams

para relacionar as vazões e as perdas de carga. Esta equação não é realmente válida

para os regimes de escoamento existentes e além disto, hoje em dia ela não é muito

utilizada. A pesquisa desenvolvida utilizou uma equação que relaciona o vazamento

com a pressão média de serviço baseada em dados experimentais, o que reduz a

aplicabilidade do algoritmo, pois em outras circunstâncias a equação não representa a

44

realidade. Além disto, a maioria das redes de distribuição de água não tem uma

relação vazamento-pressão calibrada disponível. O algoritmo também não levou em

conta a locação das válvulas.

Perera; Codner (1996) desenvolveram uma metodologia genérica usando

programação dinâmica estocástica (PDE) para determinar as regras de operação em

termos de metas de funcionamento dos reservatórios para sistemas urbanos de

suprimento de água. A PDE foi usada porque além de produzir teoricamente a

solução ótima global, ela considera a distribuição de probabilidade teórica para os

fluxos de água no sistema. A metodologia foi aplicada ao sistema urbano de

suprimento de água de Melbourne na Austrália.

A PDE é usada para determinar a operação ótima de um sistema urbano de

suprimento de água com vários reservatórios. A operação ótima produz volumes de

armazenamento no final de um período para vários estados de afluência e

armazenamento no início do período. Estes volumes de armazenamento no final do

período são analisados para deduzir as curvas de armazenamento alvo. Neste artigo,

as curvas de armazenamento alvo são apresentadas como uma distribuição de

probabilidade para cada armazenamento total do sistema que pode ser descrita pela

média (chamada de curva de armazenamento alvo) e o desvio padrão de volumes de

armazenamento individuais.

As curvas de armazenamento alvo especificam a distribuição espacial dos

volumes de armazenamento de cada reservatório dentro de um sistema de vários

reservatórios. Elas podem ser um conjunto de curvas para um ano ou curvas

diferentes para cada estação do ano. Para ilustrar o conceito de curva de

armazenamento alvo, vamos considerar um sistema com dois reservatórios. Para um

dado armazenamento total do sistema At em um dado período, as curvas de

armazenamento alvo especificam os volumes de armazenamento nos reservatórios 1

e 2 como A1 e A2 respectivamente, onde a soma de A1 e A2 é igual a At. As curvas de

armazenamento alvo são definidas para todo o intervalo de armazenamento total do

sistema, fornecendo os volumes de armazenamento preferenciais de reservatórios

individuais, podendo ser ótimos ou não. Existe uma região factível para as curvas de

armazenamento alvo, que é igual à diferença entre a capacidade máxima de

45

armazenamento total do sistema e a capacidade máxima de armazenamento do

reservatório.

A interpretação das curvas de armazenamento alvo é importante para

entender como a água é armazenada em um sistema com vários reservatórios, quando

a afluência durante um passo da simulação é maior que a demanda ou vice-versa. Por

causa do excesso (falta) de água (diferença entre a afluência e a demanda no sistema

total ou entre a demanda e a afluência), o armazenamento total do sistema aumenta

(diminui) e as curvas de armazenamento alvo determinam onde este excesso (falta)

de água deverá ser armazenado (distribuído). Isto é explicado pela comparação do

gradiente da curva de armazenamento alvo de um reservatório com o da curva de

armazenamento total.

Um programa foi desenvolvido para determinar as curvas de armazenamento

alvo para sistemas urbanos de suprimento de água com qualquer configuração. Para

isto, um programa utilizando a teoria de Programação Linear (PL) foi utilizado para

calcular a distribuição da água no sistema a partir das afluências fornecidas, as

demandas e o armazenamento inicial e final nos reservatórios. Este programa utilizou

uma função objetivo de minimização do custo total sujeita às restrições de

capacidade de transporte de água nos tubos. Depois o programa desenvolvido

utilizou a PDE e proveu a operação ótima para uma versão simplificada do sistema

urbano de água de Melbourne e os resultados foram usados para deduzir as curvas de

armazenamento alvo. A PDE utilizou a maximização da confiabilidade volumétrica,

que é definida como a relação entre o volume total fornecido em um período de

tempo pelo volume total de água demandado no mesmo período, como função

objetivo sujeita às restrições do sistema. Maximizar a confiabilidade volumétrica

reduz os déficits de demanda. Anteriormente, a confiabilidade volumétrica anual

mostrou ser uma função objetiva satisfatória para determinar a operação ótima de

sistemas de abastecimento de água urbanos (Perera (1985); Perera; Codner (1985)

apud Perera; Codner (1996)). Os autores utilizaram dois métodos, a adoção da

correlação cruzada dos fluxos de água e a aproximação corredor, para melhorar a

eficiência computacional.

Como foi dito anteriormente, a operação ótima produz volumes de

armazenamento no final de um período para vários estados de afluência e

46

armazenamento no início do período. Identificar e eliminar os estados infactíveis ou

improváveis, reduz o esforço computacional. Isto é possível quando os fluxos de

água tem uma alta correlação cruzada. Foi estudado que se o fluxo de água está em

um local em um intervalo i, então o fluxo de água nos outros lugares estarão dentro

dos intervalos (i N) com 90% de certeza e N é 25% do número de intervalos do

fluxo de água no local i. Os intervalos do fluxo de água foram definidos baseando-se

no critério de probabilidade igual, considerando cada seqüência histórica do fluxo de

água como uma série independente. Isto se chama adoção da correlação cruzada dos

fluxos de água.

A aproximação corredor foi desenvolvida com base no método de

programação dinâmica diferencial discreta de Heidari et al (1971) apud Perera;

Codner (1996). Se um estado de afluência e de armazenamento é necessário para

otimizar a função objetivo em um estágio, um armazenamento inicial é selecionado

para o estágio anterior. Um corredor é colocado ao redor do volume de

armazenamento inicial e a otimização é realizada com respeito às possíveis

combinações do armazenamento inicial dentro do corredor, considerando todos os

intervalos do fluxo de água no estágio anterior. O volume de armazenamento que

fornece o valor ótimo do estado dentro do corredor é comparado com o volume de

armazenamento inicial. Se eles são diferentes, o novo volume de armazenamento é

considerado como o novo volume de armazenamento inicial e o procedimento é

repetido. Se os volumes de armazenamento são os mesmos, o valor ótimo para este

estado é alcançado e o procedimento é realizado para outros estados do sistema.

A pesquisa teve como pontos altos desenvolver um programa geral, que pode

ser aplicado a qualquer configuração de sistema, além disto, o programa utilizou uma

nova função objetivo e modificou a relação recursiva que é utilizada pela PDE para

os sistemas urbanos de suprimento de água. Outro ponto, é que as curvas de

armazenamento alvo obtidas ficaram logicamente corretas em termos de distribuição

temporal e espacial do fluxo de água no sistema e a demanda do sistema.

A pesquisa teve como pontos baixos usar uma versão simplificada do sistema

urbano de suprimento de água de Melbourne e com isto não obteve o ótimo global

para o sistema verdadeiro, além disto, a aproximação corredor não foi testada com

outras funções objetivo.

47

Dandy; Simpson; Murphy (1996) desenvolveram uma formulação

aperfeiçoada de algoritmo genético para otimização de redes hidráulicas. O AG usa

uma escala de potência variável da função de ajuste. O expoente introduzido na

função de ajuste cresce em magnitude à medida que o computador realiza os cálculos

com o AG. Foi introduzido um operador de mutação de adjacência e foi utilizado o

código Gray para representar o conjunto de variáveis que compõem o projeto de uma

rede hidráulica. Os resultados da nova formulação foram comparados aos da

formulação tradicional para o problema dos túneis de Nova York. Os resultados

mostraram que o novo AG se desempenhou significativamente melhor que o

tradicional. O novo AG levou a uma solução melhor que os métodos tradicionais

anteriormente usados como a programação linear, a programação dinâmica, a

programação não-linear e o método de pesquisa enumerativa.

Reis; Porto; Chaudhry (1997) testaram um algoritmo genético para a locação

de válvulas de controle e suas aberturas em uma rede de abastecimento de água para

obter a máxima redução de vazamento para níveis de reservatório e demandas nodais

dadas. Foi mostrado que as válvulas otimamente locadas em uma rede são muito

mais efetivas em produzir uma redução máxima do vazamento. Reis; Porto;

Chaudhry (1997) simularam vários padrões de demanda e concluíram que o

vazamento em uma rede com válvulas otimamente locadas é praticamente

independente da demanda total. Um estudo do efeito da variação de demandas na

locação ótima das válvulas indicou várias combinações de locações das válvulas para

os diferentes padrões espaciais de demandas nodais e para diferentes demandas

totais.

Savic; Walters (1997) desenvolveram um modelo de computador chamado

GANET que envolve aplicação de AG para o problema de mínimo custo para

projetos de redes de abastecimento de água. Para mostrar a capacidade do GANET,

os autores resolveram três problemas anteriormente publicados e descobriram

inconsistências nas predições do desempenho da rede causadas pelas diferentes

interpretações do método de Hazen-Williams adotado nos estudos anteriores.

Wardlaw; Sharif (1999) exploraram o potencial de formulações alternativas

dos algoritmos genéticos aplicadas a sistemas de reservatórios e a problemas de

horizonte finito determinístico em particular.

48

Os AGs podem ser estabelecidos de muitas maneiras, mas até agora há pouca

informação na literatura a respeito do tipo de formulação mais apropriada para

sistemas de reservatórios. Este artigo se volta para esta oportunidade através da

aplicação de AGs ao bem conhecido problema dos quatro reservatórios Larson

(1968) apud Wardlaw; Sharif (1999). Este problema se tornou um marco para

algoritmos de otimização de sistemas de recursos de água. Este problema dos quatro

reservatórios já foi resolvido por Esat; Hall (1994) apud Wardlaw; Sharif (1999)

através de AG, mas este artigo estendeu o trabalho de Esat; Hall (1994) apud

Wardlaw; Sharif (1999) por considerar várias abordagens diferentes para a

formulação do AG, junto com um intervalo de análise de sensibilidade. O artigo

também considerou o potencial do AG em operações de reservatórios em tempo real

com previsões estocásticas de entrada de água. O AG também foi aplicado ao

problema dos quatro reservatórios com horizonte de tempo estendido, a um problema

com dez reservatórios e ao problema dos quatro reservatórios utilizando

equacionamento não-linear.

No problema dos quatro reservatórios, os fornecimentos de água do sistema

são usados para irrigação e geração hidrelétrica. A geração hidrelétrica é possível

para cada reservatório e todas as descargas passam através das turbinas. A defluência

do reservatório quatro pode ser dividida para ser usada na irrigação. Os benefícios da

irrigação e da geração hidrelétrica são quantificados por funções lineares de

descarga. O objetivo é maximizar os benefícios provenientes do sistema sobre 12

períodos de operação de 2 horas cada. Há afluências somente para o primeiro e

segundo reservatórios e estas são 2 e 3 unidades respectivamente em todos os

períodos. O armazenamento inicial em todos os reservatórios é de 5 unidades. Para

os reservatórios de um a três, o armazenamento deve ficar entre 0 e 10 unidades e

para o quatro entre 0 e 15 unidades. As defluências dos reservatórios através das

turbinas deve ficar entre 0 e 3 unidades para o reservatório um, entre 0 e 4 unidades

para os reservatórios dois e três e entre 0 e 7 unidades para o reservatório quatro. Há

armazenamentos alvos finais para todos os reservatórios. Há 5 unidades para os

reservatórios um a três e sete unidades para o reservatório quatro. Uma função de

penalidade baseada no armazenamento final de cada reservatório foi usada para se

alcançar os armazenamentos alvos finais nos reservatórios. Uma solução utilizando

49

programação linear foi produzida em uma planilha a título de comparação e foi

idêntica à encontrada por Larson (1968) apud Wardlaw; Sharif (1999).

O artigo utilizou três esquemas de representação para os cromossomos: (1)

código binário, (2) código de Gray e (3) código com valor real. No código binário,

inteiros, números reais ou qualquer coisa apropriada ao problema são codificados

pelos bits de um cromossomo. No código de Gray, a representação binária de dois

valores de variáveis adjacentes têm somente um dígito binário diferente. Isto é feito

para evitar variações muito grandes nos valores das variáveis entre as gerações, a fim

de facilitar a convergência para uma boa solução. No código com valor real, os

valores das variáveis são colocados aleatoriamente em cada gene, dentro dos limites

factíveis da variável representada.

O artigo trabalhou com mutação uniforme, que permite que o valor de um

gene seja mudado aleatoriamente dentro de uma faixa de valores próprios factíveis e

com mutação uniforme modificada, que permite a modificação do valor do gene por

uma quantidade especificada, podendo esta ser negativa ou positiva.

O artigo trabalhou com “crossover” em um ponto, onde um ponto de

“crossover” é selecionado aleatoriamente entre dois cromossomos selecionados em

um ponto “c” no comprimento “L” do cromossomo e dois novos são formados por

trocar todos os genes entre as posições “c” e “L”, “crossover” em dois pontos, onde o

material genético é trocado entre duas posições escolhidas aleatoriamente no

comprimento do cromossomo e “crossover” uniforme, onde cada gene do

cromossomo é considerado por vez para realizar o “crossover”.

A seleção dos indivíduos para participarem no processo de reprodução foi

feita através de um esquema chamado seleção por sorteio. Neste esquema, um grupo

de indivíduos é escolhido aleatoriamente da população e o indivíduo com maior

adequação, que neste artigo foi expressa como uma proporção do resultado ótimo

conhecido para o problema dos quatro reservatórios, é selecionado para inclusão na

próxima geração. O procedimento é repetido até que o número apropriado de

indivíduos sejam selecionados para a nova geração. A seleção foi desenvolvida

inicialmente com grupos de dois indivíduos, mas o artigo utilizou grupos maiores por

produzir uma maior diversidade e uma progressão mais suave para a solução.

50

A análise de sensibilidade foi feita para estabelecer conjuntos de parâmetros

apropriados para os três esquemas de representação. Na sensibilidade para o

“crossover” e na sensibilidade para a mutação, o código com valor real teve maior

adequação que os outros dois. A probabilidade de “crossover” variou entre 0,5 e 0,95

e o número de mutações variou entre 0,1 e 10 e a probabilidade entre 0,002 e 0,208.

Para o problema dos quatro reservatórios, foi encontrada uma solução muito

próxima ao ótimo global conhecido para uma população de 100 cromossomos e 500

gerações e para uma população de 200 cromossomos e 500 gerações ou para uma

população de 100 cromossomos e 750 gerações, o ótimo global foi achado.

Concluiu-se que a codificação com valores reais, incorporando a seleção por sorteio,

elitismo (técnica que assegura que o melhor indivíduo de uma população não é

perdido entre gerações e desta forma uma adequação melhor e maior é mantida em

todas as representações), “crossover” uniforme e mutação uniforme modificada

produz os melhores resultados. Uma probabilidade de “crossover” de 0,70 é

apropriada para este problema e a probabilidade de mutação deve ser baseada em

uma mutação por cromossomo. Neste problema, a mutação uniforme modificada foi

usada com todos os esquemas de “crossover” e o “crossover” uniforme foi usado

com todos os esquemas de mutação.

Para o problema dos quatro reservatórios modificado, uma relação de carga

não-linear foi introduzida em cada reservatório e a função objetivo foi modificada

em função disto. Para este problema, o código computacional utilizado no problema

dos quatro reservatórios não foi modificado com exceção da função de avaliação. O

problema foi resolvido também com Programação Dinâmica Diferencial Discreta

(PDDD) e os resultados encontrados foram os mesmos, mas o AG foi três vezes mais

rápido que a PDDD e alcançou a maior adequação com uma população de 100

cromossomos e 460 gerações

Para o problema dos dez reservatórios o objetivo era maximizar a produção

hidrelétrica e havia reservatórios em série e em paralelo. O problema foi equacionado

da mesma forma que o problema dos quatro reservatórios com valores próprios. O

problema foi resolvido utilizando o mesmo código computacional do problema dos

quatro reservatórios. Uma solução utilizando programação linear foi também

produzida em uma planilha a título de comparação. Os resultados foram similares,

51

mas o AG foi oito vezes mais lento que a PL e utilizou uma população de 500

cromossomos e 2500 gerações, entretanto, o tempo de execução do AG não seria

influenciado pela introdução de constantes ou funções objetivo não-lineares. Este

problema já havia sido resolvido por Murray; Yakowitz (1979) apud Wardlaw;

Sharif (1999) utilizando Programação Dinâmica Diferencial e o resultado encontrado

pelo AG foi bem próximo ao destes autores.

O problema dos quatro reservatórios foi resolvido com horizonte de tempo

estendido para até 96 períodos utilizando AG e PDDD. Os resultados foram

similares. O AG utilizou populações de 100 e 200 cromossomos. Os resultados

mostraram que uma população maior produz uma adequação global maior, embora o

número de gerações requerido para uma população maior foi muito similar ao

requerido com uma população menor. A deterioração da adequação para horizontes

de tempo mais longos é insignificante. O número de gerações utilizado em cada

análise (12, 24, 36, 48, 60, 72, 84 e 96) foi aquele requerido pelo AG para convergir

para um estado no qual a mudança na adequação após 100 gerações é menor que

0,025%.

O artigo teve como pontos altos o fato de ter aplicado o AG para resolver

vários tipos de problema envolvendo sistemas de reservatórios como variação no

número de reservatórios, equacionamento linear e não-linear e horizonte de tempo

estendido e comparar com outras soluções clássicas utilizando programação

dinâmica e linear. O artigo também considerou o potencial do AG em operação de

reservatório em tempo real com previsão estocástica de entrada de água. Além disto,

os autores concluíram que o AG é facilmente aplicado a problemas não-lineares e a

sistemas complexos e produz resultados aceitáveis para problemas com horizonte de

tempo estendido.

O artigo teve como ponto baixo não utilizar o AG em um sistema real de

reservatórios. O artigo não fez uma aplicação prática do AG.

Morshed; Kaluarachchi (2000) desenvolveram três métodos potenciais para

realçar o algoritmo genético. Estes três métodos são o fitness reduction method

(FRM) para lidar com as restrições, o search bound sampling method (SBSM) para

amostrar os limites de pesquisa com uma maior probabilidade e o optimal resource

allocation guideline (ORAG) para alocar recursos computacionais. Foi observado

52

que estes métodos realçaram o algoritmo genético usado para resolver um problema

de manuseio de água subterrânea tirado de McKinney; Lin (1994) apud Morshed;

Kaluarachchi (2000). Foram tiradas quatro conclusões: (1) O AG com o FRM mostra

pouca sensibilidade ao coeficiente de penalidade quando este tem um grande

intervalo de variação e o FRM parece realçar a eficiência do AG no manejo das

restrições. (2) O AG com o SBSM mostra pouca sensibilidade ao coeficiente de

extensão (do intervalo de pesquisa) quando este tem um grande intervalo de variação

e o SBSM parece realçar a precisão do AG em amostrar os limites de pesquisa

adequadamente. Em particular, o SBSM parece realçar o AG na solução de

problemas com custos fixos. (3) O AG com o ORAG parece prover alguma garantia

de convergência e o ORAG parece realçar a confiabilidade do AG para um dado

recurso computacional. (4) O AG com o FRM e o SBSM mostra pouca sensibilidade

ao tamanho do cromossomo, ao custo, à probabilidade de crossover, à probabilidade

de mutação e ao valor inicial usado pelo gerador de números aleatórios uniformes.

Em particular, a precisão do AG é marginalmente aumentada do quase-ótimo ao

ótimo global através do ajuste de qualquer um destes parâmetros e aí parece haver

pouca necessidade de se aventurar em uma análise de larga escala para alcançar este

aumento de precisão.

Simpson; Dandy; Murphy (1994) utilizaram um algoritmo genético para

otimização de redes de distribuição de água. O AG utilizado tinha três operadores a

saber: reprodução, crossover e mutação. Utilizou-se o código binário para representar

as variáveis de decisão desconhecidas. Os resultados foram comparados com as

técnicas de enumeração completa e programação não-linear. As técnicas de

otimização foram aplicadas a uma rede de distribuição de água de um estudo de caso

tirado de Gessler (1985) apud Simpson; Dandy; Murphy (1994). Os custos das redes

calculados pelas técnicas de otimização utilizadas são em dólares americanos.

A rede de distribuição utilizada tinha algumas características tais como:

seleção dos diâmetros de cinco novos tubos a serem acrescentados na rede, três tubos

existentes podem ser limpos, duplicados ou mantidos do mesmo jeito, três padrões de

demanda de vazão (incluindo dois casos de carga para incêndio) e as cargas de

pressão mínimas associadas a estas demandas para cada nó da rede devem ser

satisfeitas e existem dois reservatórios. Apesar de no problema original existirem

53

apenas seis alternativas para o tamanho dos diâmetros dos tubos, os autores

adicionaram mais dois diâmetros maiores que os existentes para constituir oito

alternativas para cada variável de decisão para a formulação do AG. Estas oito

alternativas foram utilizadas nas outras duas técnicas de otimização.

A enumeração completa é uma aproximação para a otimização das redes de

distribuição de água. A técnica simula toda combinação possível de tamanhos

discretos de diâmetros de tubos. Seleciona-se a rede com o custo menor que satisfaça

as restrições de pressão. Este método acha o ótimo global, mas para problemas com

redes grandes esta técnica seria impraticável mesmo no computador mais rápido. A

enumeração completa aplicada à rede do estudo de caso fez aproximadamente

11.940.000 análises hidráulicas e o computador levou mais de 82 horas para realizar

as análises. O computador encontrou duas alternativas de redes com o mínimo custo

cujos valores são de 1.750.300 dólares para ambas. Gessler (1985) apud Simpson;

Dandy; Murphy (1994) utilizou apenas seis tamanhos diferentes de diâmetro e

encontrou uma rede com custo mínimo de 1.833.700 dólares.

Os autores utilizaram um pacote de otimização não-linear chamado GINO,

que utiliza um método de gradiente reduzido generalizado para resolver problemas

de otimização não-linear e assumiram que tamanhos contínuos de diâmetros estavam

disponíveis para todos os tubos. A otimização não-linear foi a técnica de otimização

aplicada à rede do estudo de caso mais rápida em alcançar o menor valor de custo

para rede. O computador levou apenas 6,8 minutos para alcançar um valor de

1.760.000 dólares. Precisa-se ajustar uma função de custo para os tubos devido aos

valores discretos dos diâmetros e isto pode levar a algumas imprecisões. O projetista

teria também que arredondar para cima ou para baixo os valores contínuos dos

diâmetros encontrados na solução para os valores discretos mais próximos. Rodadas

adicionais do computador são requeridas para assegurar que a solução dos valores

arredondados realmente satisfaça as restrições de pressão. Depois que os autores

utilizaram os valores dos diâmetros arredondados, eles chegaram ao valor de

1.750.300 dólares para a rede. Para sistemas maiores, o processo de arredondamento

se torna um segundo problema de otimização.

Os autores utilizaram um cromossomo de 24 bits para representar cada

indivíduo da população. Cada uma das variáveis de decisão, que eram oito tubos

54

tirados da rede do estudo de caso, era representada por uma sub-série binária de três

bits, sendo que cada sub-série representava oito possíveis alternativas (tabeladas

pelos autores) para cada variável de decisão. A função objetivo tinha que achar a

configuração de rede com o mínimo custo. A função de adequabilidade para cada

indivíduo era calculada como o inverso do custo total da rede. A população variou

entre 20 e 150 indivíduos. A nova geração de indivíduos foi gerada pelo esquema de

seleção aleatória ponderada. A probabilidade do crossover foi de 70%. A

probabilidade de mutação foi de 1%. A função de penalidade para cada rede testada

levou em conta a não satisfação do limite de pressão mínimo no pior nó da rede. Foi

desenvolvido um programa de computador em PASCAL do AG com três operadores

acoplado com um programa de cálculo de rede que utiliza o método de Newton-

Raphson. Foram realizadas dez rodadas do AG usando diferentes números aleatórios

gerados como ponto de partida. Foi permitido um máximo de 50.000 avaliações de

função (0,298% das 16.777.216 combinações possíveis) para cada rodada. Os autores

descobriram que o AG foi particularmente efetivo em achar as soluções de ótimo

global ou ótimo próximo. O AG requereu somente um número relativamente

pequeno de avaliações para achar a solução ótima. O computador levou 45 minutos

para realizar 50.000 avaliações para cada uma das 10 rodadas do AG. Este tempo é

comparativamente longo. Entretanto, o AG foi ainda efetivo em achar o ótimo global

para 15.000 avaliações para cada rodada. Uma dificuldade com a técnica do AG é

saber quantas avaliações serão suficientes. Pode-se também encontrar dificuldades se

uma variável contínua precisa ser representada com um código binário,

especialmente se for valores numéricos grandes.

Os autores concluíram que a enumeração completa só é aplicável a redes de

distribuição com poucos tubos. A otimização não-linear é uma técnica efetiva

quando aplicada a pequenas expansões de rede como no estudo de caso analisado

neste artigo, mas o problema de arredondamento dos valores contínuos dos diâmetros

encontrados na solução para os valores discretos mais próximos deve ser

considerado. A programação não-linear gera somente uma solução. O AG gera várias

soluções alternativas próximas do ótimo e uma destas soluções pode realmente ser

preferida à solução ótima baseada em outras medidas não quantificáveis. Este é o

maior benefício do AG.

55

Um dos pontos altos do artigo é o fato de que os autores não só ampliaram o

estudo de caso ao adicionarem dois novos diâmetros como conseguiram uma solução

ótima melhor que a original. Outro ponto alto foi que os autores compararam o AG,

que é uma técnica relativamente nova a outras duas técnicas e conseguiram chegar às

mesmas soluções ótimas. Um ponto baixo da pesquisa é utilizar a equação de

Hazen-Williams para relacionar as vazões e as perdas de carga. Esta equação não é

realmente válida para os regimes de escoamento existentes e além disto, hoje em dia

ela não é muito utilizada. Outro ponto baixo da pesquisa é que não foi avaliada uma

rede maior e/ou uma outra rede, assim não é possível saber se o AG seria tão

eficiente em outras configurações de rede.

56

3 Método

3.1 Método matricial para cálculo de rede de distribuição de água

Neste trabalho será apresentado o método matricial para o cálculo de redes de

distribuição de água. Trata-se de um método que permite o cálculo de vazões e da

distribuição da pressão em uma rede, tanto em regime permanente quanto transitório.

Este método leva grande vantagem sobre o método de Cross pelo fato deste

último não permitir o cálculo das situações transitórias que ocorrem, por exemplo,

durante a abertura e fechamento de uma válvula, partida e parada de uma bomba,

rompimento de uma tubulação, etc.

Serão adotadas as seguintes hipóteses simplificadoras:

1. Fluido incompressível;

2. Escoamento turbulento e isotérmico;

3. Tubo rígido;

4. O coeficiente “f” para o cálculo da perda de carga em regime transitório será o

mesmo do regime permanente para uma mesma vazão;

3.1.1 Formulação matemática para o regime permanente

Figura 2 – Esquema de uma rede de distribuição

57

A fig. 2 anterior é um esquema de uma rede de distribuição constituída de 4

(quatro) nós e 6 (seis) trechos, onde as setas indicam os sentidos positivos dos

escoamentos.

Define-se matriz de conexão, constituída de elementos +1, -1 e 0, do

seguinte modo: cada trecho da rede corresponde a uma linha da matriz e cada nó da

rede corresponde a uma coluna da matriz. Um elemento Cij da matriz de conexão

poderá ter os seguintes valores:

Cij = 0 Se o trecho i não tem conexão com o nó j;

Cij = -1 Se o trecho i tem conexão com o nó j e o escoamento do trecho chega ao

Nó;

Cij = 1 Se o trecho i tem conexão com o nó j e o escoamento do trecho emana

do nó;

Para o exemplo de rede indicado anteriormente a matriz de conexão é:

(1) (2) (3) (4) nó

(1) -1 0 0 0

(2) 1 -1 0 0

(3) 1 0 -1 0 = [C]

(4) 0 1 -1 0

(5) 0 1 0 -1

(6) 0 0 1 -1

trecho

Na fig. 2, nota-se que o trecho 1 está conectado somente a um nó e não a dois

nós como os demais trechos. Este trecho na realidade não existe na rede, ele é

fictício. A criação deste trecho fictício é necessária para se montar a matriz de

conexão de forma correta. Pode-se notar que a primeira linha da matriz de conexão é

diferente das demais, pois enquanto as demais linhas são compostas por três

58

diferentes algarismos, a saber, (1), (-1) e (0), a primeira linha da matriz é composta

apenas por dois algarismos, a saber, (1) ou (-1) e (0).

A matriz M (definida mais adiante), que é criada a partir da matriz de

conexão e outras duas matrizes, deverá ser invertida. Caso não se introduza esta

primeira linha na matriz de conexão, o valor do determinante de M se iguala a zero,

tornando a inversão de M impossível.

Na realidade, este trecho fictício, que é conectado a apenas um nó, não

precisa ser definido como o primeiro trecho da rede. Ele poderia ser definido em

qualquer lugar, mas devido às características internas do programa que foi

desenvolvido neste trabalho, torna-se necessário que este trecho fictício seja definido

como o primeiro trecho da rede, caso contrário, o programa não funcionará.

O método baseia-se em três equações escritas em forma matricial. A eq.(3)

relaciona a diferença de carga piezométrica de um trecho com as cargas

piezométricas nos nós extremos do referido trecho:

g

PC

g

P

(3)

A eq.(4) do método é a da continuidade escrita em forma matricial para os

nós:

0 es

T QQC (4)

A eq.(5) é a da quantidade de movimento em forma de diferenças finitas

(matricial):

avv F

DHg

DgH

L

ZL

Dg

DP

t

vvL

D

44444

222202

(5)

A força de atrito viscoso Fav é dada matricialmente por:

59

4

8 2

52

00'

D

gD

QQfLgFav

(6)

Pela substituição de{Fav}, dado pela eq.(6), na eq.(5) e levando-se em conta

que v = Q/(D2/4), a eq.(5) transforma-se em:

gD

QQfLHHZ

g

P

L

gD

t

QQv 52

00'20 8

4

(7)

O fator de atrito f pode ser calculado pela fórmula de Swamee (matricial):

8

1

166

9,0

8250062,5

71,3ln5,9

64

RRD

K

Rf (8)

Resolve-se a eq.(7) para Q, obtendo-se:

cv PHHZg

PQQ

0 (9)

onde:

L

tgD

4

2

(10)

gD

QQfLPc 52

00'8

(11)

Substituindo-se a matriz coluna {P/(g)} da eq.(3) na eq.(9) e substituindo-

se o resultado na eq.(4), chega-se a:

60

0**0

escv

TTT QPHHZCg

PCCQC

(12)

Resolvendo-se a eq.(12) para{P/(g)}, chega-se a:

escv

T QMQPHHZCMg

P 101

(13)

onde M é uma matriz quadrada, definida como:

CCM T ** (14)

A matriz [] é uma matriz diagonal tendo os valores de (dos trechos) em

sua diagonal e zeros nas demais posições.

A solução numérica do problema pode ser obtida pela resolução das eqs.(13),

(3) e (9) em um computador digital. Os dados de entrada para esta análise são: a

topologia da rede, as dimensões geométricas, as propriedades hidráulicas, as

condições iniciais do problema e as variáveis de controle.

É necessário observar que apesar do equacionamento anterior prever a

presença de bombas e de válvulas na rede durante o cálculo do regime permanente, o

programa calcula o regime permanente da rede como se houvesse apenas tubos e

vazões de entrada e saída nos nós, podendo ou não haver reservatório(s) com

nível(eis) constante(s). Este procedimento foi adotado para se ter uma idéia de como

seria o funcionamento ideal da rede, como se ela estivesse sendo projetada. As

bombas e válvulas podem ou não (depende do usuário) ser consideradas durante o

cálculo do regime extensivo, que será definido a seguir.

Os cálculos numéricos podem ser convenientemente divididos em dois

grupos. O primeiro grupo é composto pelas operações matemáticas realizadas uma

única vez no início do programa. A matriz de conexão, a sua transposta, a matriz

diagonal , as diferenças de cota entre os nós que limitam os trechos, a formação da

matriz M definida na eq.(14) e sua inversa, o intervalo de tempo, que obedece a

condição de Courant, assim como o cálculo de todos os termos independentes da

61

vazão, presentes nas eqs.(13) e (9), fazem parte do primeiro grupo. O segundo grupo

consiste de operações iterativas realizadas após cada incremento de tempo. O cálculo

das perdas de carga nos trechos, de altura manométrica da bomba, assim como o

cálculo dos termos dependentes da vazão nas eqs.(13) e (9) fazem parte do segundo

grupo.

Uma observação importante é que não será necessário realizar os cálculos

numéricos do primeiro grupo novamente, quando se for calcular os regimes

extensivo e transitório. Os cálculos numéricos deste grupo servem para todos os

regimes e só precisam ser realizados uma vez.

Para se iniciar o cálculo é conveniente a adoção de vazões nos trechos que

satisfaçam a equação de continuidade em cada nó para diminuir o número de

iterações.

3.1.1.1 Diagrama de blocos do regime permanente

Figura 3 – Diagrama de blocos para o regime permanente

62

3.1.2 Formulação matemática para o regime extensivo

O anexo 1 apresenta o desenvolvimento matemático completo para o regime

extensivo.

Após o cálculo do regime permanente, inicia-se o cálculo do regime

extensivo podendo-se considerar ou não as operações dos dispositivos da rede

(válvulas e bombas) e a presença ou não de reservatórios. Para se calcular o regime

extensivo, divide-se o dia em períodos. O número de períodos do dia é definido pelo

próprio usuário e pode variar de 1 a 24, considerando-se cada período igual a 1 hora.

O cálculo do regime extensivo utiliza o mesmo equacionamento do regime

permanente, pois o final de cada período corresponde ao regime permanente daquele

instante com suas próprias características.

O que diferencia o regime extensivo do permanente é o fato de que agora, as

vazões de entrada e saída da rede podem variar de um período para o outro, pode

haver bombas e/ou válvulas na rede e os reservatórios variam os níveis d‟água. As

características das bombas e das válvulas, os valores das vazões de entrada e saída da

rede para cada período e o nível máximo e mínimo da lâmina d‟água dos

reservatórios são dados de entrada. A variação da lâmina d‟água é calculada pela

equação da continuidade:

se QtQtAH (15)

No regime extensivo, para se calcular cargas piezométricas nos nós da rede,

adiciona-se a eq.(15) multiplicada por 1M

à eq.(13):

esQ1M0QcPvHHZTC1MAH1Mg

P

(16)

Após isto, a solução numérica do problema é obtida utilizando-se as eqs.(3) e

(9).

63

3.1.2.1 Diagrama de blocos do regime extensivo

Figura 4 – Diagrama de blocos para o regime extensivo

3.1.3 Formulação matemática para o regime transitório

O anexo 1 apresenta o desenvolvimento matemático completo para o regime

transitório.

Após obterem-se os valores para as vazões nos tubos e as pressões nos nós de

uma rede de distribuição de água qualquer para um período qualquer do regime

extensivo, calculam-se os coeficientes Ces para os nós que têm demanda de água e, a

seguir, monta-se uma matriz diagonal [Ces] tendo os valores de Ces em sua diagonal e

zeros nas demais posições com a seguinte equação:

64

eses QCg

P

(17)

No regime transitório, as pressões nos nós e as vazões nos tubos variam

quando ocorre alguma manobra na rede, por isto as vazões de entrada e saída dos nós

da rede Qes neste regime serão calculadas usando a hipótese de foronomia com a

seguinte equação:

g

PCQ es

eses

* (18)

Obs: os valores dos coeficientes Ces usados na eq.(18) são os mesmos do regime

permanente, pois assumiu-se que a variação destes valores é muito pequena. Além

disto, os valores de Ces são pequenos também.

No regime transitório, para se calcular cargas piezométricas nos nós da rede,

utiliza-se a eq.(19), desenvolvida a partir da eq.(13):

g

esPesC

1M0QcP*vH

*HZTC1MA*H1M

*

g

P (19)

Para se calcular a diferença de carga piezométrica em cada um dos trechos da

rede no regime transitório, multiplica-se a matriz de conexão [C] pelos valores das

cargas piezométricas nos nós calculadas na eq.(19) através da eq.(20):

**

g

PC

g

P

(20)

No regime transitório, para se calcular vazões nos tubos da rede, utilizam-se

as diferenças de cargas piezométricas calculadas na eq.(20):

65

cP

*vH

*HZ*

g

P0Q*Q (21)

3.1.3.1 Diagrama de blocos do regime transitório

Figura 5 – Diagrama de blocos para o regime transitório

3.2 Definições gerais para aplicação do algoritmo genético

3.2.1 Parâmetros

A aplicação do algoritmo genético utilizado começa com o usuário definindo

parâmetros como tamanho da população (deve ser par), número de variáveis (igual

ao número de intervalos de tempo vezes o número de válvulas), o intervalo das

variáveis, tamanho do gene (todos os genes têm o mesmo tamanho), tamanho do

cromossomo (igual ao número de variáveis vezes o tamanho do gene), o número de

66

gerações (cada geração tem o número de indivíduos da população), a probabilidade

de recombinação (crossover), a probabilidade de mutação, se vai haver elitismo (s/n)

e o fator de escala (se for igual a zero, a escala de adequação não é aplicada).

3.2.1.1 Variáveis

O número de variáveis é definido pelo usuário como sendo igual ao número

de intervalos de tempo vezes o número de válvulas por causa dos procedimentos

internos do AG. Isto é necessário, para que o AG possa gerar o número de variáveis

adequado ao problema a ser resolvido em cada ocasião. Na realidade, as variáveis

geradas pelo AG correspondem aos coeficientes de perda de carga (kv) das válvulas

para cada período de cálculo do regime extensivo. O cromossomo que representará

cada indivíduo da população será uma série de bits. Cada indivíduo será composto

por uma ou mais válvulas, onde cada coeficiente de perda de carga (kv) da válvula

será representada por uma sub-série (gene) de bits. Cada gene representará o

coeficiente (kv) da válvula para um período de cálculo.

Como já foi dito, o número de períodos do dia para se calcular o regime

extensivo poderá variar de 1 a 24, considerando cada período igual a 1 hora. Para

exemplificar, considera-se que uma rede de distribuição contenha uma válvula e que

esta válvula operará 24 vezes durante o dia, portanto, o cromossomo terá 24 genes.

1 2 24

Figura 6 – Esquema do cromossomo representando os coeficientes (kv) das válvulas

3.2.1.2 Definindo o intervalo das variáveis

O usuário deve definir os limites superior e inferior para as variáveis.

Diferentes problemas terão limites diferentes. Como neste trabalho as variáveis são

os coeficientes de perda de carga (kv) das válvulas, o usuário deverá colocar como

limites superior e inferior os coeficientes de perda de carga para a válvula fechada e

67

aberta, respectivamente. Logicamente, estes limites variarão conforme o tipo de

válvula utilizado.

3.2.2 Função objetivo

Pela análise bibliográfica feita, verificou-se que na maioria das aplicações dos

algoritmos genéticos em redes de distribuição de água, os autores utilizam como

função objetivo a minimização de algum custo.

Neste trabalho, decidiu-se utilizar como função objetivo a minimização da

soma das potências hidráulicas dissipadas na rede como um todo de todos os

períodos de cálculo do regime extensivo. Esta função objetivo é representada pela

seguinte equação:

ji

tp

j

nt

i

ji HgQP 1 1

min min (22)

3.2.3 Restrições

As restrições impostas serão os limites de carga piezométrica máxima e

mínima admissíveis na rede(nos nós) e os limites máximo e mínimo da lâmina

d´água nos reservatórios.

3.2.4 Função de penalidade

O anexo 1 apresenta o desenvolvimento matemático completo para se

calcular a função de penalidade.

Como foi dito anteriormente, a função objetivo deve minimizar a soma das

potências hidráulicas dissipadas na rede como um todo de todos os períodos de

cálculo. Além disto, as restrições impostas (já explicadas) devem ser respeitadas.

Caso as restrições não sejam respeitadas, aplicam-se penalizações à função objetivo.

As penalidades são aplicadas através de funções de penalidade. Neste

trabalho, a penalidade é calculada pela seguinte função:

68

1pf se máxHpHpHp min (23)

min

min2

HpHp

HpHpHpf

máx

máx

p

se minHpHp (24)

min

min2

HpHp

HpHpHpf

máx

máx

p

se máxHpHp (25)

Na prática, esta penalização será aplicada pela incorporação do valor de “fp”

na função objetivo. Assim, a eq.(22) fica da seguinte forma:

ji

tp

j

nt

i

jip HgQfP 1 1

min min (26)

3.2.5 População inicial

A população inicial é criada através da geração aleatória de séries de zeros e

uns. “Randomize” é um procedimento do Pascal que gera números aleatórios. Se o

intervalo de variação para os números gerados não é especificado, o programa gera

números aleatórios decimais entre 0 e 1. “Random” é uma função que retorna um

número aleatório. Se “Random”>0.5, então o número “1” é colocado na série, caso

contrário, o número “0” é inserido na série.

3.2.6 Decodificando as variáveis

O AG utilizado gera as variáveis do problema através de números binários.

Como os coeficientes de perda de carga (kv) das válvulas são números reais, é

necessário fazer a transformação dos números binários em números reais. Esta

transformação é feita em duas etapas. Primeiro, o AG chama uma rotina para

transformar os genes escritos na forma binária em inteiros na base 10. Após esta

transformação, O AG chama uma outra rotina para transformar os genes escritos na

forma de inteiros na base 10 em reais. Esta transformação é feita através da seguinte

equação:

69

min

minmax

12rz

rrr

cl

(27)

3.2.7 Classificação por adequação

3.2.7.1 Cálculo da adequação

Após as variáveis terem sido decodificadas, o AG chama uma outra rotina

que calcula a adequação de cada um dos indivíduos da população. A adequação de

cada indivíduo é calculada através da função objetivo, já definida anteriormente. As

adequações são sempre maiores ou iguais a zero.

3.2.7.2 Encontrando o indivíduo mais apto

Após o cálculo das adequações dos indivíduos, o AG chama uma rotina para

calcular a adequação média da população, a soma das adequações dos indivíduos

desta população e encontrar o indivíduo mais apto. Esta mesma rotina chama uma

nova rotina para aplicar o elitismo, caso o usuário tenha requerido.

3.2.7.2.1 Elitismo

Como já foi dito, o elitismo é uma técnica que assegura que o melhor

indivíduo de uma população não seja perdido entre gerações e desta forma uma

adequação melhor e maior é mantida em todas as representações, embora o elitismo

possa gerar uma rápida convergência e isto faz com que o AG falhe em achar o

ótimo global.

O elitismo neste AG funciona por substituir um indivíduo da nova população

escolhido aleatoriamente pelo membro de elite da população anterior se o indivíduo

com a máxima adequação da nova população tiver uma adequação inferior a do

indivíduo com melhor adequação (membro de elite) da população anterior.

70

O elitismo guarda uma cópia do indivíduo mais apto para evitar que ele seja

perdido durante a recombinação (crossover) ou mutação.

3.2.8 Resultados

Após a classificação por adequação, o AG chama uma rotina para imprimir

resultados. Esta rotina imprime valores referentes ao indivíduo mais apto de cada

geração, ou seja, os coeficientes de perda de carga (kv) de cada válvula instalada na

rede de distribuição de água para cada período de cálculo, a geração na qual estes

valores foram gerados e o valor da função objetivo (soma das potências hidráulicas

dissipadas na rede como um todo de todos os períodos de cálculo do regime

extensivo) da respectiva geração. Todos estes valores são impressos para todos os

indivíduos mais aptos de todas as gerações.

3.2.9 Escala de adequação linear

A escala de adequação linear é utilizada para evitar uma rápida convergência

da função objetivo, o que poderia provocar uma convergência errônea ou para um

ótimo local. A escala de adequação linear serve também para manter um grau de

pressão de seleção nos estágios finais.

A escala de adequação linear neste AG funciona por fazer a adequação dos

indivíduos da população girar nas imediações da adequação média desta população.

Isto permite que uma proporção aproximadamente constante de cópias dos melhores

indivíduos seja selecionada comparada com os indivíduos médios. Os valores típicos

do fator de escala variam no intervalo de 1 a 2. Quando o fator de escala é igual a 2,

significa que aproximadamente duas vezes o número de melhores indivíduos

passarão para a geração seguinte do que passarão os indivíduos médios. Para se

conseguir isto, a adequação de cada indivíduo da população terá que passar por um

escalonamento logo antes da seleção. Este escalonamento deve ser dinâmico. As

adequações precisarão ser mais próximas durante os estágios iniciais e mais

separadas durante as gerações posteriores. O escalonamento requerido é conseguido

através da transformação linear mostrada na eq.(30) a seguir:

71

ave

avem

ff

fca

max

1 (28)

avefab 1 (29)

baff i

s

i (30)

Esta transformação pode produzir adequações escaladas com valores

negativos para alguns indivíduos da população. Quando isto ocorre, o AG iguala a

zero os valores das adequações destes indivíduos. Como já foi dito, quando o fator de

escala é igual a zero, a escala de adequação não é aplicada.

O escalonamento é aplicado logo antes da seleção. Como os resultados são

impressos antes de se realizar o escalonamento, a adequação impressa (função

objetivo) é a verdadeira adequação, não a adequação escalonada.

3.2.10 Seleção

O AG usa a seleção aleatória ponderada com seleção através da analogia de

um mecanismo de roleta. Um número aleatório entre 0 e 1 é gerado e multiplicado

pela soma das adequações de todos os indivíduos da população. Após isto, as

adequações de cada indivíduo são somadas, uma a uma, até que esta soma seja igual

ou maior ao produto anterior. O último indivíduo a ser adicionado é então o

indivíduo selecionado para reprodução. Este mecanismo de seleção é aplicado duas

vezes para selecionar um par de indivíduos para reprodução. O processo de seleção

continua até o número de indivíduos selecionados seja igual ao tamanho da

população. É por isto que a população deve conter um número par de indivíduos,

caso contrário, sobraria um indivíduo e o AG não funcionaria corretamente.

3.2.11 Recombinação (crossover)

O AG começa gerando um número aleatório entre 0 e 1. Se este número é

menor ou igual à probabilidade de recombinação (definida pelo usuário), então a

72

recombinação ocorre nos cromossomos pais selecionados no processo de seleção

para produzir os cromossomos descendentes. Estes descendentes serão a nova

população temporária. Se o número gerado for maior que a probabilidade de

recombinação, os descendentes são clones dos seus respectivos pais.

O AG faz a recombinação por escolher um ponto aleatoriamente entre o

primeiro e o último bit dos cromossomos pais. Para escolher este ponto, o AG subtrai

1 do tamanho do cromossomo (definido pelo usuário), multiplica este resultado por

um número entre 0 e 1 gerado aleatoriamente, soma 1 a este resultado e arredonda

este resultado para o inteiro mais próximo.

3.2.12 Mutação

Após a recombinação, o AG chama uma rotina para percorrer a nova

população temporária inteira, passando por todos os bits de cada cromossomo da

população e gerando um número aleatório entre 0 e 1. Se este número é menor ou

igual à probabilidade de mutação (definida pelo usuário), então o valor do bit é

trocado de 1 para 0 e vice-versa.

3.2.13 Substituição

Após a mutação, o AG substitui a velha população pela nova população. Para

isto, o AG substitui todos os bits, um por um, de todos os indivíduos da velha

população pelos bits dos novos descendentes gerados.

3.2.14 Convergência

Todas as descrições anteriores se referem aos indivíduos de uma única

geração. Após o AG realizar todas as operações genéticas já descritas anteriormente,

o AG passa para a geração seguinte e realiza novamente as mesmas operações, com

exceção da criação da população inicial, visto não ser mais necessário, pois a nova

população foi criada a partir da recombinação e mutação.

73

O AG irá parar após um certo números de gerações definidas pelo usuário. Se

uma solução aceitável não foi alcançada, existem várias alternativas. Pode-se

aumentar o número de gerações ou aumentar a população inicial ou alterar a taxa de

mutação ou alterar a taxa de recombinação ou alterar o tamanho do gene. Estas

alternativas podem ser utilizadas individualmente ou duas de cada vez e assim por

diante.

3.2.15 Diagrama de blocos do algoritmo genético

Figura 7 – Diagrama de blocos para o algoritmo genético

3.3 Modelo Híbrido

O modelo híbrido consiste na conexão do algoritmo genético com o programa

de cálculo hidráulico. A conexão é feita através de um programa principal e três

74

unidades. O programa principal conecta estas três unidades na ordem correta. A

primeira unidade a ser chamada contém a rotina do algoritmo genético, a segunda

unidade contém a rotina para o cálculo hidráulico e a terceira unidade calcula a

função objetivo.

O modelo híbrido fornece ao usuário três opções de cálculo. A primeira opção

permite calcular apenas o regime permanente, a segunda opção permite calcular o

regime permanente junto com o regime extensivo considerando-se a variação dos

níveis d‟água dos reservatórios presentes na rede e podendo-se considerar ou não a

presença de “boosters” na rede sem se considerar as válvulas e a terceira opção

permite calcular a segunda opção, acrescida dos efeitos de válvulas instaladas na rede

onde se procura otimizar as operações da rede pela utilização do AG. O usuário

escolhe a opção de cálculo através da entrada de dados no arquivo de entrada.

Quando a terceira opção é escolhida, o programa principal começa chamando

o algoritmo genético, que gera uma população inicial (valores dos coeficientes de

perda de carga (kv) das válvulas) aleatoriamente. Os valores de kv de cada indivíduo

são fornecidos à unidade de cálculo hidráulico. Esta, primeiro calcula o regime

permanente da rede como se houvesse apenas tubos e vazões de entrada e saída nos

nós, podendo ou não haver reservatórios. Após o cálculo do regime permanente,

inicia-se o cálculo do regime extensivo, considerando as operações dos dispositivos

da rede (válvulas e bombas) e fornecendo os valores das pressões em cada nó e nos

reservatórios, das vazões e das perdas de carga para cada tubo da rede para cada

período de cálculo. Com os valores das pressões, as restrições são avaliadas. Com os

valores das vazões e das perdas de carga, a função objetivo é avaliada. Caso as

restrições não sejam atendidas, calcula-se o valor da função de penalidade e a função

objetivo é penalizada. Após isto, retorna-se ao algoritmo genético para chamar os

operadores genéticos já descritos. Este procedimento é repetido para todos os

indivíduos de todas as gerações.

O modelo híbrido fornece três arquivos de saída. O primeiro mostra os

valores das variáveis hidráulicas para o regime permanente. O segundo pode mostrar

dois tipos de valores. Caso o usuário opte pela segunda opção de cálculo já descrita,

mostram-se os valores das variáveis hidráulicas para cada período do dia, calculados

sem se considerar as válvulas. Caso o usuário opte pela terceira opção de cálculo,

75

mostram-se os valores das variáveis hidráulicas para cada período do dia para o

indivíduo mais apto da última geração, calculado a partir dos coeficientes de perda

de carga das válvulas fornecidos pelo AG. O terceiro mostra os valores dos

coeficientes de perda de carga (kv) de cada válvula instalada na rede de distribuição

de água para cada período de cálculo, a geração na qual estes valores foram gerados

e o valor da função objetivo de cada geração, como já descrito antes.

O programa imprime o indivíduo mais apto da última geração, pois esta é a

geração que teoricamente contém o melhor indivíduo de todos os indivíduos gerados

em todas as gerações.

3.3 Diagrama de blocos do modelo híbrido

Figura 8 – Diagrama de blocos para o modelo híbrido

76

4 Resultados

A título de exemplo, utilizou-se a rede esquematizada a seguir para mostrar os

resultados obtidos pelo programa através da terceira opção de cálculo.

Utilizou-se o programa para calcular a rede a seguir considerando-se os

efeitos da variação do nível do reservatório, acrescidos dos efeitos de válvulas

instaladas na rede, onde se procura otimizar as operações da rede pela utilização do

AG. A rede possui duas válvulas tipo gaveta nos tubos 3 e 6 e um “booster” no tubo

2, como ilustra o esquema a seguir.

Utilizou-se para a rede a seguir uma população de dez (10) indivíduos, trinta

(30) gerações, uma porcentagem de crossover de 95%, uma porcentagem de mutação

de 2%, um fator de escala de 1.2 e o elitismo foi aplicado. Estes valores são

fornecidos diretamente ao programa principal. A rede foi calculada para 5 períodos

de uma hora.

Figura 9 – Esquema da rede de distribuição calculada

77

A seguir, mostra-se o arquivo com os dados de entrada e os arquivos de saída

gerados pelo programa desenvolvido.

4.1 Arquivo de entrada ‘nava.dat’

Entre com o numero de tubos,de nos,de vazoes de entrada/saida e de reservatorios

respectivamente e salte uma linha:

7 5 4 1

Entre com o numero do trecho, o no inicial, o no final(o primeiro trecho nao tem no

final),o diametro(m),o comprimento(m), a vazao inicial(adotada)(m3/s) e a

rugosidade(m) respectivamente para cada trecho e salte uma linha:

1 1 0.3 1 0 0.00003

2 1 2 0.3 650 0 0.00003

3 2 3 0.25 700 0 0.00003

4 2 4 0.2 550 0 0.00003

5 3 4 0.175 650 0 0.00003

6 3 5 0.15 500 0 0.00003

7 4 5 0.2 400 0 0.00003

Entre com a viscosidade cinematica(m2/s) e a massa especifica(kg/m3) do fluido

respectivamente e salte uma linha:

0.000001 1000

Entre com o valor da pressao maxima(m) e da pressao minima admissiveis na rede e

salte uma linha:

50 15

Entre com o numero do no e a vazao de entrada/saida(m3/s) respectivamente para

cada no para o regime permanente e salte uma linha:

1 -0.1

3 0.03

4 0.02

5 0.05

Comecando pelo reservatorio pulmao,entre com o numero do reservatorio,o no do

reservatorio, o nivel(m),a area(m2),o nivel maximo e o nivel minimo admissiveis

respectivamente para cada reservatorio e salte uma linha:

1 1 30 1000 30.5 29.5

78

Entre com o numero do no e a cota do no(m) respectivamente para cada no e salte

uma linha:

1 660

2 650

3 649

4 642

5 647

Deseja calcular o periodo extensivo (s/n)? (salte uma linha apos a resposta)

s

Entre com o numero de valvulas da rede e salte uma linha:

2

Entre com o numero do tubo que contem a valvula e o coeficiente de perda de carga

para a valvula fechada(kf) respectivamente e salte uma linha:

3 98

6 98

Entre com o numero de bombas da rede e com o numero de intervalos de tempo que

as bombas trabalharao(1 a 24) e salte uma linha:

1 2

Na mesma linha,entre com o numero dos intervalos de tempo nos quais as bombas

trabalharao e salte uma linha:

3 5

Entre com o numero do tubo que contem a bomba,a carga de shut-off(m),a carga(m)

e a vazao(m3/s) para o rendimento maximo da bomba e uma carga qualquer(m) com

a correspondente vazao(m3/s) respectivamente e salte uma linha:

2 16 9 0.11111 13 0.066667

Entre com o numero de intervalos de tempo (1 a 24) para se calcular o periodo

extensivo e salte uma linha:

5

79

Na primeira linha,entre com o numero dos nos de entrada e saida. A partir da

segunda linha,entre com as vazoes de entrada e saida(m3/s) para cada periodo e

salte uma linha:

1 3 4 5

-0.1 0.03 0.02 0.05

-0.1 0.05 0.04 0.03

-0.1 0.04 0.02 0.06

-0.1 0.02 0.03 0.02

-0.1 0.09 0.05 -0.04

Escreva o nome do arquivo de saida para o periodo extensivo e salte uma linha:

navaext.out

4.2 Arquivo de saída ‘nava.out’

A matriz de conexao e:

-1 0 0 0 0

1 -1 0 0 0

0 1 -1 0 0

0 1 0 -1 0

0 0 1 -1 0

0 0 1 0 -1

0 0 0 1 -1

trecho no no carga piez. carga piez. vazao perda de

inicial final no inicial(m) no final(m) (m3/s) carga(m)

1 1 690.00000

2 1 2 690.00000 686.75898 0.10000 3.24102

3 2 3 686.75898 683.63306 0.05827 3.12592

4 2 4 686.75898 682.79536 0.04173 3.96363

5 3 4 683.63306 682.79536 0.01151 0.83771

6 3 5 683.63306 680.90971 0.01676 2.72335

7 4 5 682.79536 680.90971 0.03324 1.88565

trecho no no pressao no pressao no cota no cota no

inicial final inicial(m) final(m) inicial(m) final(m)

1 1 30.00000 660.00000

2 1 2 30.00000 36.75898 660.00000 650.00000

3 2 3 36.75898 34.63306 650.00000 649.00000

4 2 4 36.75898 40.79536 650.00000 642.00000

5 3 4 34.63306 40.79536 649.00000 642.00000

6 3 5 34.63306 33.90971 649.00000 647.00000

80

7 4 5 40.79536 33.90971 642.00000 647.00000

no vazao

entrada/saida(m3/s)

1 -0.10000

3 0.03000

4 0.02000

5 0.05000

numero de iteracoes:= 155

4.3 Arquivo de saída ‘navaext.out’

Periodo 1

trecho no no carga piez. carga piez. vazao perda de

inicial final no inicial(m) no final(m) (m3/s) carga(m)

1 1 690.00000

2 1 2 690.00000 686.75898 0.10000 3.24102

3 2 3 686.75898 683.01298 0.05603 2.90504

4 2 4 686.75898 682.38739 0.04397 4.37194

5 3 4 683.01298 682.38739 0.00980 0.62457

6 3 5 683.01298 680.44581 0.01623 2.56762

7 4 5 682.38739 680.44581 0.03377 1.94137

trecho no no pressao no pressao no cota no cota no

inicial final inicial(m) final(m) inicial(m) final(m)

1 1 30.00000 660.00000

2 1 2 30.00000 36.75898 660.00000 650.00000

3 2 3 36.75898 34.01298 650.00000 649.00000

4 2 4 36.75898 40.38739 650.00000 642.00000

5 3 4 34.01298 40.38739 649.00000 642.00000

6 3 5 34.01298 33.44581 649.00000 647.00000

7 4 5 40.38739 33.44581 642.00000 647.00000

no vazao

entrada/saida(m3/s)

1 -0.10000

3 0.03000

4 0.02000

5 0.05000

numero de iteracoes:= 153

81

Periodo 2

trecho no no carga piez. carga piez. vazao perda de

inicial final no inicial(m) no final(m) (m3/s) carga(m)

1 1 689.96514

2 1 2 689.96514 685.39495 0.12000 4.57019

3 2 3 685.39495 680.37911 0.06965 4.36614

4 2 4 685.39495 679.75328 0.05035 5.64204

5 3 4 680.37911 679.75328 0.00980 0.62477

6 3 5 680.37911 679.00537 0.00984 1.02392

7 4 5 679.75328 679.00537 0.02016 0.74771

trecho no no pressao no pressao no cota no cota no

inicial final inicial(m) final(m) inicial(m) final(m)

1 1 29.96514 660.00000

2 1 2 29.96514 35.39495 660.00000 650.00000

3 2 3 35.39495 31.37911 650.00000 649.00000

4 2 4 35.39495 37.75328 650.00000 642.00000

5 3 4 31.37911 37.75328 649.00000 642.00000

6 3 5 31.37911 32.00537 649.00000 647.00000

7 4 5 37.75328 32.00537 642.00000 647.00000

no vazao

entrada/saida(m3/s)

1 -0.10000

3 0.05000

4 0.04000

5 0.03000

numero de iteracoes:= 90

Periodo 3

trecho no no carga piez. carga piez. vazao perda de

inicial final no inicial(m) no final(m) (m3/s) carga(m)

1 1 689.96514

2 1 2 689.96514 693.40279 0.12000 4.57019

3 2 3 693.40279 688.47496 0.06900 4.29014

4 2 4 693.40279 687.62357 0.05100 5.77962

5 3 4 688.47496 687.62357 0.01162 0.85038

6 3 5 688.47496 684.62419 0.01738 2.91488

7 4 5 687.62357 684.62419 0.04262 2.99922

82

trecho no no pressao no pressao no cota no cota no

inicial final inicial(m) final(m) inicial(m) final(m)

1 1 29.96514 660.00000

2 1 2 29.96514 43.40279 660.00000 650.00000

3 2 3 43.40279 39.47496 650.00000 649.00000

4 2 4 43.40279 45.62357 650.00000 642.00000

5 3 4 39.47496 45.62357 649.00000 642.00000

6 3 5 39.47496 37.62419 649.00000 647.00000

7 4 5 45.62357 37.62419 642.00000 647.00000

no vazao

entrada/saida(m3/s)

1 -0.10000

3 0.04000

4 0.02000

5 0.06000

numero de iteracoes:= 88

Periodo 4

trecho no no carga piez. carga piez. vazao perda de

inicial final no inicial(m) no final(m) (m3/s) carga(m)

1 1 690.05228

2 1 2 690.05228 688.38956 0.07000 1.66273

3 2 3 688.38956 686.48874 0.03708 1.34904

4 2 4 688.38956 685.84276 0.03292 2.54643

5 3 4 686.48874 685.84276 0.01000 0.64701

6 3 5 686.48874 685.51109 0.00708 0.56285

7 4 5 685.84276 685.51109 0.01292 0.33188

trecho no no pressao no pressao no cota no cota no

inicial final inicial(m) final(m) inicial(m) final(m)

1 1 30.05228 660.00000

2 1 2 30.05228 38.38956 660.00000 650.00000

3 2 3 38.38956 37.48874 650.00000 649.00000

4 2 4 38.38956 43.84276 650.00000 642.00000

5 3 4 37.48874 43.84276 649.00000 642.00000

6 3 5 37.48874 38.51109 649.00000 647.00000

7 4 5 43.84276 38.51109 642.00000 647.00000

no vazao

entrada/saida(m3/s)

83

1 -0.10000

3 0.02000

4 0.03000

5 0.02000

numero de iteracoes:= 134

Periodo 5

trecho no no carga piez. carga piez. vazao perda de

inicial final no inicial(m) no final(m) (m3/s) carga(m)

1 1 690.00000

2 1 2 690.00000 696.90891 0.10000 3.24102

3 2 3 696.90891 689.59665 0.05298 2.61612

4 2 4 696.90891 691.94810 0.04702 4.96062

5 3 4 689.59665 691.94810 -0.02022 -2.35046

6 3 5 689.59665 692.91665 -0.01680 -2.73743

7 4 5 691.94810 692.91665 -0.02320 -0.96822

trecho no no pressao no pressao no cota no cota no

inicial final inicial(m) final(m) inicial(m) final(m)

1 1 30.00000 660.00000

2 1 2 30.00000 46.90891 660.00000 650.00000

3 2 3 46.90891 40.59665 650.00000 649.00000

4 2 4 46.90891 49.94810 650.00000 642.00000

5 3 4 40.59665 49.94810 649.00000 642.00000

6 3 5 40.59665 45.91665 649.00000 647.00000

7 4 5 49.94810 45.91665 642.00000 647.00000

no vazao

entrada/saida(m3/s)

1 -0.10000

3 0.09000

4 0.05000

5 -0.04000

numero de iteracoes:= 104

potencia dissipada em todos os periodos calculados:= 42775.32719 W

84

4.4 Arquivo de saída ‘lgados.res’

k1 k2 k3 k4 k5 geracao potencia

dissipada (W)

valv1 82.1935 18.9677 94.8387 22.1290 91.6774

valv2 72.7097 85.3548 98.0000 50.5806 91.6774 1 46428.41438

valv1 82.1935 18.9677 94.8387 22.1290 91.6774

valv2 72.7097 85.3548 98.0000 50.5806 91.6774 2 46428.41438

valv1 82.1935 18.9677 44.2581 22.1290 91.6774

valv2 22.1290 85.3548 98.0000 50.5806 91.6774 3 45599.74063

valv1 15.8065 94.8387 44.2581 22.1290 91.6774

valv2 22.1290 85.3548 98.0000 53.7419 91.6774 4 45108.98646

valv1 15.8065 94.8387 44.2581 22.1290 91.6774

valv2 22.1290 85.3548 98.0000 53.7419 91.6774 5 45108.98646

valv1 15.8065 94.8387 44.2581 22.1290 91.6774

valv2 22.1290 85.3548 98.0000 53.7419 91.6774 6 45108.98646

valv1 15.8065 94.8387 44.2581 18.9677 91.6774

valv2 22.1290 85.3548 9.4839 82.1935 22.1290 7 44847.69816

valv1 12.6452 31.6129 44.2581 18.9677 91.6774

valv2 22.1290 85.3548 9.4839 82.1935 22.1290 8 43693.65657

valv1 12.6452 31.6129 44.2581 18.9677 91.6774

valv2 22.1290 85.3548 9.4839 82.1935 22.1290 9 43693.65657

valv1 12.6452 31.6129 44.2581 18.9677 91.6774

valv2 22.1290 85.3548 9.4839 82.1935 22.1290 10 43693.65657

valv1 12.6452 31.6129 44.2581 18.9677 91.6774

valv2 22.1290 85.3548 9.4839 82.1935 22.1290 11 43693.65657

valv1 12.6452 31.6129 44.2581 18.9677 91.6774

valv2 22.1290 85.3548 9.4839 82.1935 22.1290 12 43693.65657

valv1 12.6452 31.6129 44.2581 18.9677 91.6774

valv2 22.1290 85.3548 9.4839 82.1935 22.1290 13 43693.65657

valv1 12.6452 31.6129 44.2581 18.9677 91.6774

valv2 22.1290 85.3548 9.4839 82.1935 22.1290 14 43693.65657

valv1 18.9677 44.2581 18.9677 18.9677 91.6774

valv2 22.1290 85.3548 9.4839 82.1935 22.1290 15 43571.51716

85

valv1 18.9677 37.9355 18.9677 18.9677 91.6774

valv2 22.1290 85.3548 9.4839 82.1935 22.1290 16 43469.70071

valv1 18.9677 37.9355 18.9677 18.9677 91.6774

valv2 9.4839 22.1290 6.3226 63.2258 12.6452 17 43415.37616

valv1 18.9677 37.9355 18.9677 18.9677 91.6774

valv2 9.4839 22.1290 6.3226 63.2258 12.6452 18 43415.37616

valv1 18.9677 37.9355 18.9677 18.9677 91.6774

valv2 9.4839 22.1290 6.3226 63.2258 12.6452 19 43415.37616

valv1 18.9677 37.9355 18.9677 18.9677 91.6774

valv2 9.4839 22.1290 6.3226 63.2258 12.6452 20 43415.37616

valv1 18.9677 44.2581 9.4839 18.9677 79.0323

valv2 22.1290 22.1290 6.3226 63.2258 12.6452 21 43301.66975

valv1 18.9677 44.2581 6.3226 18.9677 79.0323

valv2 0.0000 22.1290 6.3226 63.2258 12.6452 22 43252.74021

valv1 18.9677 44.2581 6.3226 18.9677 79.0323

valv2 0.0000 22.1290 6.3226 63.2258 12.6452 23 43252.74021

valv1 18.9677 31.6129 6.3226 18.9677 79.0323

valv2 0.0000 22.1290 6.3226 63.2258 0.0000 24 43088.77502

valv1 18.9677 31.6129 6.3226 18.9677 79.0323

valv2 0.0000 22.1290 6.3226 63.2258 0.0000 25 43088.77502

valv1 18.9677 31.6129 6.3226 18.9677 79.0323

valv2 0.0000 22.1290 6.3226 63.2258 0.0000 26 43088.77502

valv1 18.9677 31.6129 6.3226 18.9677 79.0323

valv2 0.0000 22.1290 6.3226 63.2258 0.0000 27 43088.77502

valv1 18.9677 6.3226 6.3226 18.9677 79.0323

valv2 0.0000 22.1290 18.9677 50.5806 12.6452 28 42805.22884

valv1 12.6452 6.3226 6.3226 18.9677 79.0323

valv2 0.0000 22.1290 18.9677 50.5806 12.6452 29 42775.32719

valv1 12.6452 6.3226 6.3226 18.9677 79.0323

valv2 0.0000 22.1290 18.9677 50.5806 12.6452 30 42775.32719

86

Pode-se observar que a potência dissipada impressas nos arquivos de saída

„navaext.out‟ e „lgados.res‟ é a mesma, ou seja, 42775.32719 W.

Outra observação é que neste exemplo rodado, usou-se apenas trinta

gerações, o que é um número baixo de gerações. Este número baixo de gerações foi

usado apenas para dar um exemplo da capacidade de cálculo do programa.

4.5 Rede 1

A seguir, utilizou-se a rede de distribuição de água da cidade de Itororó-BA

(Porto, 2001) esquematizada a seguir para fazer testes mais abrangentes com o

modelo híbrido. A rede possui um “booster” instalado no tubo 2 e quatro válvulas

tipo gaveta nos tubos 7, 8, 13 e 16. As válvulas foram instaladas nestes tubos pois os

nós 6, 16 e 12 podem apresentar problemas de sobrepressão durante os cálculos.

Foi utilizada uma população de vinte (20) indivíduos, que foi testada para

cem (100) e duzentas (200) gerações. Para cada um dos dois grupos de gerações,

variou-se a porcentagem de crossover em 60%, 80% e 95% e a porcentagem de

mutação em 0.5%, 1% e 2% respectivamente, resultando em seis gráficos. Foi

utilizado um fator de escala de 1.5 e o elitismo não foi aplicado Os gráficos estão

representados a seguir.

É necessário observar que a rede continuou sendo calculada para 5 períodos e

que a rugosidade absoluta para todos os tubos é 0,15mm (aço galvanizado).

87

Figura 10 – Esquema da rede de distribuição de Itororó-BA

Tabela 1 – Dados da rede da cidade de Itororó-BA regime permanente (Porto, 2001)

Nó Demanda

(l/s)

Cota do nó

(m) Trecho

Comprimento

(m)

Diâmetro

(m)

1 -62,5 230,7 1 10 0,3

2 5,05 220,50 2 324 0,3

3 1,91 215,60 3 124 0,25

4 3,81 210,40 4 184 0,25

5 1,40 210,50 5 254 0,15

6 4,35 209,50 6 225 0,1

7 3,51 213,20 7 177 0,1

8 3,44 218,50 8 168 0,1

9 2,48 230,70 9 152 0,125

88

Tabela 1 – Dados da rede da cidade de Itororó-BA regime permanente (Porto, 2001)

(continuação)

10 3,06 211,50 10 166 0,125

11 1,85 213,50 11 263 0,125

12 2,86 205,50 12 133 0,1

13 6,11 208,80 13 321 0,1

14 5,09 215,50 14 105 0,125

15 4,06 212,60 15 169 0,15

16 8,05 207,50 16 103 0,15

17 4,26 219,40 17 206 0,15

18 1,21 220,50 18 202 0,15

19 134 0,15

20 227 0,2

21 167 0,2

89

Tabela 2 – Demandas usadas no cálculo do regime extensivo em Itororó-BA

Nó Demanda 1

(l/s)

Demanda 2

(l/s)

Demanda 3

(l/s)

Demanda 4

(l/s)

Demanda 5

(l/s)

1 -62,50 -62,50 -62,50 -62,50 -62,50

2 5,05 3,05 2,80 6,63 9,58

3 1,91 4,91 4,44 5,71 7,61

4 3,81 2,00 1,81 3,47 4,23

5 1,40 2,80 1,90 -7,73 4,87

6 4,35 4,35 3,05 3,52 4,35

7 3,51 5,01 6,51 7,98 8,73

8 3,44 4,44 0,44 9,33 3,43

9 2,48 0,48 3,48 3,56 2,35

10 3,06 2,06 2,06 4,74 1,22

11 1,85 1,90 4,91 -2,17 0,64

12 2,86 9,86 7,83 1,74 3,38

13 6,11 3,11 2,11 1,95 5,65

14 5,09 4,09 2,49 2,34 2,34

15 4,06 -5,60 4,60 -3,23 3,87

16 8,05 6,05 7,33 2,33 4,73

17 4,26 6,26 1,26 3,76 5,23

18 1,21 5,21 3,21 2,34 4,87

90

Figura 11 – Potência X 100 gerações, crossover:60% e mutação:0.5%, sem elitismo

Figura 12 – Potência X 100 gerações, crossover:80% e mutação:1%, sem elitismo

6200

6210

6220

6230

6240

6250

6260

6270

6280

6290

6300

6310

6320

6330

6340

6350

6360

6370

6380

6390

6400

6410

6420

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:20

crossover:60%

mutação:0,5%

6200

6210

6220

6230

6240

6250

6260

6270

6280

6290

6300

6310

6320

6330

6340

6350

6360

6370

6380

6390

6400

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:20

crossover:80%

mutação:1%

91

Figura 13 – Potência X 100 gerações, crossover:95% e mutação:2%, sem elitismo

Pelas três figuras anteriores, percebe-se que a função objetivo tende a

convergir nos três casos, mas percebe-se também, que o valor dela oscila durante

todo o cálculo, nunca chegando a um valor fixo para o número de gerações

utilizadas. Nota-se que na fig.11 a função objetivo tende a convergir com maior

rapidez e a potência dissipada final teve o menor valor das três figuras, sendo de

6206,127W para as taxas de crossover e mutação utilizadas. Não se sabe se este valor

é o ótimo global devido às oscilações dos valores da função objetivo. A fig.13

apresentou o maior valor de potência dissipada final, sendo de 6235,704W para as

taxas de crossover e mutação utilizadas.

6200

6210

6220

6230

6240

6250

6260

6270

6280

6290

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:20

crossover:95%

mutação:2%

92

Figura 14 – Potência X 200 gerações, crossover:60% e mutação:0.5%, sem elitismo

Figura 15 – Potência X 200 gerações, crossover:80% e mutação:1%, sem elitismo

6200

6210

6220

6230

6240

6250

6260

6270

6280

6290

6300

6310

6320

6330

6340

6350

6360

6370

6380

6390

6400

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:20

crossover:60%

mutação:0,5%

6200

6210

6220

6230

6240

6250

6260

6270

6280

6290

6300

6310

6320

6330

6340

6350

6360

6370

6380

6390

6400

6410

6420

6430

6440

6450

6460

6470

6480

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:20

crossover:80%

mutação:1%

93

Figura 16 – Potência X 200 gerações, crossover:95% e mutação:2%, sem elitismo

Pelas três figuras anteriores, percebe-se que a função objetivo tende a

convergir nos três casos, embora o valor dela oscile durante todo o cálculo, nunca

chegando a um valor fixo para o número de gerações utilizadas. Nota-se que na

fig.15 a função objetivo tende a convergir com maior rapidez, mas a potência

dissipada final teve o segundo menor valor das três figuras, sendo de 6205,767W

para as taxas de crossover e mutação utilizadas. A fig.14 mostra o menor valor de

potência dissipada final obtida, sendo de 6204,599W. Não se sabe se este valor é o

ótimo global devido às oscilações dos valores da função objetivo. A fig.16

apresentou o maior valor de potência dissipada final, sendo de 6218,947W para as

taxas de crossover e mutação utilizadas. Na prática, o fato de a potência dissipada

final na fig.14 ser de 6204,599W e na fig.15 ser de 6205,767W é irrelevante.

Decidiu-se fazer os cálculos usando-se duzentas gerações, para ver se a

função objetivo não iria oscilar tanto quanto quando se usou cem gerações, o que não

aconteceu. Além do mais, cem gerações é um número baixo quando se quer otimizar

uma função objetivo utilizando AG para um problema de rede.

6200

6210

6220

6230

6240

6250

6260

6270

6280

6290

6300

6310

6320

6330

6340

6350

6360

6370

6380

6390

6400

6410

6420

6430

6440

6450

6460

6470

6480

6490

6500

6510

6520

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:20

crossover:95%

mutação:2%

94

A seguir, os cálculos foram refeitos aplicando o elitismo. Os gráficos estão

representados a seguir.

Figura 17 – Potência X 100 gerações, crossover:60% e mutação:0.5%, com elitismo

Figura 18 – Potência X 100 gerações, crossover:80% e mutação:1%, com elitismo

6200

6210

6220

6230

6240

6250

6260

6270

6280

6290

6300

6310

6320

6330

6340

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:20

crossover:60%

mutação:0,5%

6200

6210

6220

6230

6240

6250

6260

6270

6280

6290

6300

6310

6320

6330

6340

6350

6360

6370

6380

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:20

crossover:80%

mutação:1%

95

Figura 19 – Potência X 100 gerações, crossover:95% e mutação:2%, com elitismo

Pelas três figuras anteriores, percebe-se que a função objetivo convergiu nos

três casos e o valor dela não oscilou em momento algum durante o cálculo. Nota-se

que na fig.19 a função objetivo convergiu com maior rapidez, mas a potência

dissipada final teve o maior valor das três figuras, sendo 6204,769W para as taxas de

crossover e mutação utilizadas. A fig.18 mostra o menor valor de potência dissipada

final obtida, sendo de 6204,409W. A fig.17 indica o valor de 6204,464W para a

potência dissipada final. Em termos práticos, as diferenças entre os valores das

potências dissipadas finais nestes três casos é irrelevante.

6200

6210

6220

6230

6240

6250

6260

6270

6280

6290

6300

6310

6320

6330

6340

6350

6360

6370

6380

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:20

crossover:95%

mutação:2%

96

Figura 20 – Potência X 200 gerações, crossover:60% e mutação:0.5%, com elitismo

Figura 21 – Potência X 200 gerações, crossover:80% e mutação:1%, com elitismo

6200

6210

6220

6230

6240

6250

6260

6270

6280

6290

6300

6310

6320

6330

6340

6350

6360

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:20

crossover:60%

mutação:0,5%

6200

6210

6220

6230

6240

6250

6260

6270

6280

6290

6300

6310

6320

6330

6340

6350

6360

6370

6380

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:20

crossover:80%

mutação:1%

97

Figura 22 – Potência X 200 gerações, crossover:95% e mutação:2%, com elitismo

Pelas três figuras anteriores, percebe-se que a função objetivo convergiu nos

três casos e o valor dela não oscilou em momento algum durante o cálculo. Nota-se

que na fig.22 a função objetivo convergiu com maior rapidez e a potência dissipada

final teve o menor valor das três figuras, sendo 6203,495W para as taxas de

crossover e mutação utilizadas. A fig.20 apresenta o maior valor de potência

dissipada final obtida, sendo de 6204,866W. A fig.21 mostra o valor de 6204,081W

para a potência dissipada final obtida. Pelos resultados obtidos, pode-se concluir que

o ótimo global deve ser um valor entre 6203W e 6204W.

Embora se tenha alcançado a convergência da função objetivo nos três casos

representados nas figuras onde se utilizou cem gerações durante o cálculo, decidiu-se

fazer os cálculos usando duzentas gerações também, pois cem gerações é um número

baixo quando se quer otimizar uma função objetivo utilizando AG. Outro motivo de

se fazer os cálculos utilizando duzentas gerações foi verificar o comportamento da

função objetivo e como se pôde observar, a função objetivo apresenta melhores

valores do que quando se utilizou cem gerações.

6200

6210

6220

6230

6240

6250

6260

6270

6280

6290

6300

6310

6320

6330

6340

6350

6360

6370

6380

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:20

crossover:95%

mutação:2%

98

Pode-se observar que o melhor valor obtido para a função objetivo,quando

são analisadas todas as figuras anteriores, foi o valor da fig.22, que foi de

6203,495W. Este valor foi obtido quando se utilizou duzentas (200) gerações com

taxa de crossover de 95%, taxa de mutação de 2% e elitismo.

Outra observação importante é que esta mesma rede foi calculada utilizando a

segunda opção de cálculo. Isto foi feito para se obter o valor da potência dissipada

final na rede sem a presença de válvulas, sendo este igual a 6202,545W. Este valor é

bem próximo ao valor obtido na fig.22, ou seja, 6203,495W. Isto significa, que

quando esta rede foi calculada utilizando a terceira opção de cálculo, o AG obteve

um arranjo de abertura de válvulas que corresponde à uma potência dissipada quase

igual à potência dissipada na rede quando não se utilizam válvulas.

Vale observar que a potência dissipada final na rede sem a presença de

válvulas, não necessariamente é a potência mínima dissipada pela rede. Tudo

depende do arranjo de “boosters” e válvulas utilizado para o cálculo do regime

extensivo.

Outra observação é que quando o elitismo foi utilizado, a função objetivo

apresentou o maior valor na primeira geração. Após isto, o valor da função objetivo

sempre diminuiu até alcançar a convergência, independente de se utilizar cem (100)

ou duzentas (200) gerações para os cálculos. Quando o elitismo não foi utilizado, a

função objetivo não apresentou o maior valor na primeira geração. A função objetivo

atingiu valores consideravelmente maiores nas gerações posteriores, independente de

se utilizar cem (100) ou duzentas (200) gerações para os cálculos. Isto ocorreu

devido às oscilações dos valores da função objetivo durante os cálculos, como já

comentado.

4.6 Rede 2

A seguir, utilizou-se a rede de distribuição de água da cidade de Campo Bom-

RS (Albuquerque, 1980) esquematizada a seguir para fazer testes adicionais com o

modelo híbrido. A rede possui dois “boosters” instalados no tubo 18 e 36 e duas

válvulas gaveta nos tubos 2 e 36. As válvulas foram instaladas nestes tubos pois os

nós 3, 22 e 23 podem apresentar problemas de sobrepressão durante os cálculos. Os

99

“boosters” foram instalados nestes tubos pois os nós 19, 20, 21, 28 e 33 podem

apresentar problemas de subpressão durante os cálculos.

Foi utilizada uma população de dez (10) indivíduos, que foi testada para cem

(100) e duzentas (200) gerações. Para cada um dos dois grupos de gerações, variou-

se a porcentagem de crossover em 60%, 80% e 95% e a porcentagem de mutação em

0.5%, 1% e 2% respectivamente, resultando em seis gráficos. Foi utilizado um fator

de escala de 1.5 e o elitismo não foi aplicado Os gráficos estão representados a

seguir.

É necessário observar que a rede continuou sendo calculada para 5 períodos e

que a rugosidade absoluta para todos os tubos é 0,1mm (cimento amianto).

Figura 23 – Esquema da rede de distribuição de Campo Bom-RS

100

Tabela 3 – Dados da rede da cidade de Campo Bom-RS regime permanente

(Albuquerque, 1980)

Nó Demanda

(l/s)

Cota do nó

(m) Trecho

Comprimento

(m)

Diâmetro

(m)

1 -272,50 15 1 1 0,5

2 27,55 15 2 220 0,5

3 3,03 10 3 280 0,5

4 4,83 20 4 420 0,4

5 2,48 18 5 140 0,35

6 5,87 25 6 280 0,35

7 7,67 35 7 450 0,35

8 38,05 35 8 190 0,3

9 - 25 9 450 0,15

10 8,52 20 10 300 0,1

11 - 15 11 400 0,1

12 4,52 15 12 490 0,4

13 - 15 13 360 0,4

14 7,25 20 14 830 0,4

15 5,46 20 15 550 0,4

16 10,62 25 16 540 0,4

17 9,61 25 17 420 0,35

18 45,50 34 18 180 0,35

19 6,12 27 19 10 0,3

20 - 25 20 400 0,1

21 8,51 25 21 280 0,1

22 13,02 25 22 280 0,1

23 - 25 23 510 0,1

24 10,24 30 24 90 0,1

25 9,00 27 25 180 0,1

26 - 30 26 670 0,1

27 - 34 27 200 0,1

28 2,19 35 28 200 0,1

101

Tabela 3 – Dados da rede da cidade de Campo Bom-RS regime permanente

(Albuquerque, 1980) (continuação)

29 - 30 29 490 0,1

30 - 15 30 430 0,1

31 22,66 15 31 1430 0,2

32 10,24 20 32 320 0,4

33 9,56 20 33 90 0,4

34 - 17 34 110 0,4

35 420 0,4

36 360 0,4

37 290 0,1

38 230 0,1

39 140 0,1

102

Tabela 4 – Demandas usadas no cálculo do regime extensivo em Campo Bom-RS

Nó Demanda 1

(l/s)

Demanda 2

(l/s)

Demanda 3

(l/s)

Demanda 4

(l/s)

Demanda 5

(l/s)

1 -272,50 -272,50 -272,50 -272,50 -272,50

2 27,55 27,55 28,87 27,55 21,58

3 3,03 3,03 -9,53 3,03 13,45

4 4,83 4,83 -21,83 4,83 -4,83

5 2,48 2,48 15,48 2,48 2,48

6 5,87 13,70 5,87 5,87 9,58

7 7,67 9,67 9,67 7,67 6,34

8 38,05 48,05 38,05 38,05 27,33

10 8,52 8,52 8,52 8,52 3,52

12 4,52 4,52 4,52 4,52 4,52

14 7,25 27,25 -27,25 7,25 1,05

15 5,46 5,46 -18,46 5,46 5,46

16 10,62 20,62 14,62 10,62 10,62

17 9,61 7,09 19,10 9,61 2,34

18 45,50 20,00 57,50 45,50 39,50

19 6,12 15,72 6,12 6,12 7,63

21 8,51 13,51 8,51 8,51 8,51

22 12,02 20,34 20,02 13,02 13,02

24 10,24 7,24 10,24 10,24 10,24

25 9,00 9,00 9,00 9,00 5,61

28 2,19 18,87 21,42 2,19 -2,19

31 22,66 22,66 38,66 22,66 22,66

32 10,24 -11,24 -13,40 10,24 10,24

33 9,56 9,56 41,56 9,56 10,56

103

Figura 24 – Potência X 100 gerações, crossover:60% e mutação:0.5%, sem elitismo

Figura 25 – Potência X 100 gerações, crossover:80% e mutação:1%, sem elitismo

81650

81750

81850

81950

82050

82150

82250

82350

82450

82550

82650

82750

82850

82950

83050

83150

83250

83350

83450

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:10

crossover:60%

mutação:0.5%

81650

81750

81850

81950

82050

82150

82250

82350

82450

82550

82650

82750

82850

82950

83050

83150

83250

83350

83450

83550

83650

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:10

crossover:80%

mutação:1%

104

Figura 26 – Potência X 100 gerações, crossover:95% e mutação:2%, sem elitismo

Pelas três figuras anteriores, percebe-se que a função objetivo tende a

convergir nos três casos, mas percebe-se também, que o valor dela oscila durante

todo o cálculo, nunca chegando a um valor fixo para o número de gerações

utilizadas. Nota-se que na fig.25 a função objetivo tende a convergir com maior

rapidez e a potência dissipada final foi de 81681,405W para as taxas de crossover e

mutação utilizadas. A fig. 26 apresentou o menor valor de potência dissipada final,

sendo de 81678,547W para as taxas de crossover e mutação utilizadas. Não se sabe

se este valor é o ótimo global devido às oscilações dos valores da função objetivo. A

fig.24 apresentou o maior valor de potência dissipada final, sendo de 81775,749W

para as taxas de crossover e mutação utilizadas.

81650

81750

81850

81950

82050

82150

82250

82350

82450

82550

82650

82750

82850

82950

83050

83150

83250

83350

83450

83550

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:10

crossover:95%

mutação:2%

105

Figura 27 – Potência X 200 gerações, crossover:60% e mutação:0.5%, sem elitismo

Figura 28 – Potência X 200 gerações, crossover:80% e mutação:1%, sem elitismo

81650

81700

81750

81800

81850

81900

81950

82000

82050

82100

82150

82200

82250

82300

82350

82400

82450

82500

82550

82600

82650

82700

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200gerações

po

ten

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potencia dissipada (W)

população:10

crossover:60%

mutação:0.5%

81650

81750

81850

81950

82050

82150

82250

82350

82450

82550

82650

82750

82850

82950

83050

83150

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:10

crossover:80%

mutação:1%

106

Figura 29 – Potência X 200 gerações, crossover:95% e mutação:2%, sem elitismo

Pelas três figuras anteriores, percebe-se que a função objetivo tende a

convergir nos três casos, mas percebe-se também, que o valor dela oscila durante

todo o cálculo, nunca chegando a um valor fixo para o número de gerações

utilizadas. Nota-se que na fig.27 a função objetivo tende a convergir com maior

rapidez e a potência dissipada final teve o menor valor das três figuras, sendo de

81667,981W para as taxas de crossover e mutação utilizadas. Não se sabe se este

valor é o ótimo global devido às oscilações dos valores da função objetivo. A fig.29

apresentou o maior valor de potência dissipada final, sendo de 81690,574W para as

taxas de crossover e mutação utilizadas.

Decidiu-se fazer os cálculos usando duzentas gerações, para ver se a função

objetivo não iria oscilar tanto quanto quando se usou cem gerações, o que não

aconteceu. Além do mais, cem gerações é um número baixo quando se quer otimizar

uma função objetivo utilizando AG para um problema de rede.

A seguir, os cálculos foram refeitos aplicando o elitismo. Os gráficos estão

representados a seguir.

81650

81750

81850

81950

82050

82150

82250

82350

82450

82550

82650

82750

82850

82950

83050

83150

83250

83350

83450

83550

83650

83750

83850

83950

84050

84150

84250

84350

84450

84550

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:10

crossover:95%

mutação:2%

107

Figura 30 – Potência X 100 gerações, crossover:60% e mutação:0.5%, com elitismo

Figura 31 – Potência X 100 gerações, crossover:80% e mutação:1%, com elitismo

81900

81910

81920

81930

81940

81950

81960

81970

81980

81990

82000

82010

82020

82030

82040

82050

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:10

crossover:60%

mutação:0.5%

81650

81670

81690

81710

81730

81750

81770

81790

81810

81830

81850

81870

81890

81910

81930

81950

81970

81990

82010

82030

82050

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:10

crossover:80%

mutação:1%

108

Figura 32 – Potência X 100 gerações, crossover:95% e mutação:2%, com elitismo

Pelas três figuras anteriores, percebe-se que a função objetivo convergiu nos

três casos e o valor dela não oscilou em momento algum durante o cálculo. Nota-se

que na fig.32 a função objetivo convergiu com maior rapidez e a potência dissipada

final teve o menor valor das três figuras, sendo 81664,210W para as taxas de

crossover e mutação utilizadas. A fig.30 obteve o maior valor de potência dissipada

final, sendo de 81904,656W. A fig.31 obteve o valor de 81664,574W para a potência

dissipada final. Em termos práticos, as diferenças entre os valores das potências

dissipadas finais na fig.31 (81664,574) e na fig. 32 (81664,210) é irrelevante.

81650

81670

81690

81710

81730

81750

81770

81790

81810

81830

81850

81870

81890

81910

81930

81950

81970

81990

82010

82030

82050

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:10

crossover:95%

mutação:2%

109

Figura 33 – Potência X 200 gerações, crossover:60% e mutação:0.5%, com elitismo

Figura 34 – Potência X 200 gerações, crossover:80% e mutação:1%, com elitismo

81650

81670

81690

81710

81730

81750

81770

81790

81810

81830

81850

81870

81890

81910

81930

81950

81970

81990

82010

82030

82050

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:10

crossover:60%

mutação:0.5%

81650

81670

81690

81710

81730

81750

81770

81790

81810

81830

81850

81870

81890

81910

81930

81950

81970

81990

82010

82030

82050

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:10

crossover:80%

mutação:1%

110

Figura 35 – Potência X 200 gerações, crossover:95% e mutação:2%, com elitismo

Pelas três figuras anteriores, percebe-se que a função objetivo convergiu nos

três casos e o valor dela não oscilou em momento algum durante o cálculo. Nota-se

que na fig.35 a função objetivo convergiu com maior rapidez e a potência dissipada

final teve o menor valor das três figuras, sendo 81660,832W para as taxas de

crossover e mutação utilizadas. A fig.34 obteve o maior valor de potência dissipada

final, sendo de 81678,520W. A fig.33 obteve o valor de 81669,049W para a potência

dissipada final. Pelos resultados obtidos, pode-se concluir que o ótimo global deve

ser um valor entre 81660W e 81661W.

Embora se tenha alcançado a convergência da função objetivo nas três figuras

onde se utilizou cem gerações durante o cálculo, decidiu-se fazer os cálculos usando

duzentas gerações também, pois cem gerações é um número baixo quando se quer

otimizar uma função objetivo utilizando AG. Outro motivo de se fazer os cálculos

utilizando duzentas gerações foi verificar o comportamento da função objetivo e

como se pôde observar, a função objetivo obteve melhores valores do que quando se

utilizou cem gerações.

81650

81670

81690

81710

81730

81750

81770

81790

81810

81830

81850

81870

81890

81910

81930

81950

81970

81990

82010

82030

82050

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

gerações

po

tên

cia

dis

sip

ad

a (

W)

potência dissipada (W)

população:10

crossover:95%

mutação:2%

111

Pode-se observar que o melhor valor obtido para a função objetivo em relação

a todas as figuras anteriores, foi o valor da fig.35, que foi de 81660,832W. Este valor

foi obtido quando se utilizou duzentas (200) gerações com taxa de crossover de 95%,

taxa de mutação de 2% e elitismo.

A seguir, mostra-se a tabela 5 com os valores dos coeficientes de perda de

carga (kv) das válvulas instaladas na rede, que proporcionaram o valor obtido para a

função objetivo na fig. 35 (81660,832W), o melhor de todos.

Tabela 5 – Valores de kv para o melhor valor da função objetivo obtido

período 1 período 2 período 3 período 4 período 5

válvula 1 91.6774 0.0000 6.3226 0.0000 47.4194

válvula 2 85.3548 94.8387 94.8387 12.6452 0.0000

Outra observação importante é que esta mesma rede foi calculada utilizando a

segunda opção de cálculo. Isto foi feito para se obter o valor da potência dissipada

final na rede sem a presença de válvulas, sendo este igual a 81766,137W. Este valor

é maior que o valor obtido na fig.35, ou seja, 81660,832W. Isto ocorreu porque pelo

arranjo de “boosters” e válvulas utilizado na rede para o cálculo do regime extensivo,

o AG obteve um conjunto de abertura de válvulas que obteve uma potência dissipada

menor que a potência dissipada na rede quando não se utiliza válvulas.

Outra observação é que quando o elitismo foi utilizado, a função objetivo teve

o maior valor na primeira geração. Após isto, o valor da função objetivo sempre

diminuiu até alcançar a convergência, independente de se utilizar cem (100) ou

duzentas (200) gerações para os cálculos. Quando o elitismo não foi utilizado, a

função objetivo não teve o maior valor na primeira geração. A função objetivo

atingiu valores consideravelmente maiores nas gerações posteriores, independente de

se utilizar cem (100) ou duzentas (200) gerações para os cálculos. Isto ocorreu

devido às oscilações dos valores da função objetivo durante os cálculos, como já

comentado.

112

5 Discussão

Como já foi dito, o modelo híbrido desenvolvido fornece três opções de

cálculo. A seguir, cada opção de cálculo será analisada separadamente.

5.1 Primeira opção de cálculo

A primeira opção de cálculo serve para se projetar a rede ou para verificar

como seria o funcionamento ideal da rede, caso esta já exista. Como já foi dito, o

programa calcula o regime permanente da rede como se houvesse apenas tubos e

vazões de entrada e saída nos nós, podendo ou não haver reservatório(s) com

nível(eis) constante(s).

5.1.1 Principais dificuldades encontradas na implementação do método

Durante a elaboração do programa para o cálculo do regime permanente,

foram enfrentadas várias dificuldades. O método utilizado foi baseada no artigo de

Nahavandi, Catanzaro (1973). Neste artigo, os autores não entraram em detalhes a

respeito de vários aspectos, como por exemplo:

a) Os autores não mencionaram o fato da matriz de conexão ter um tubo fictício e

não mostraram um esquema da matriz de conexão. Eles apenas explicaram como a

matriz de conexão é montada e colocaram um esquema confuso da rede que eles

utilizaram como exemplo.

b) Os autores também não explicaram o procedimento a ser tomado quando houver

um reservatório conectado a um trecho com extremidade livre, nem quando houver

um reservatório ligado a outro reservatório por vários trechos em linha. Apesar de

estes exemplos citados serem simples, o método apresentada não consegue resolvê-

los.

113

5.2 Segunda opção de cálculo

A segunda opção de cálculo permite calcular o regime permanente junto com

o regime extensivo considerando-se a variação dos níveis d‟água dos reservatórios

presentes na rede (caso existam) e podendo-se considerar ou não a presença de

“boosters” na rede sem se considerar as válvulas. A segunda opção fornece ao

usuário o valor da potência dissipada na rede como um todo para os períodos

calculados (1 a 24) do regime extensivo. Este valor de potência dissipada serve como

base de comparação para o usuário quando este for utilizar a terceira opção de

cálculo.

5.2.1 Principais dificuldades encontradas na implementação do método

Ainda com referência ao artigo de Nahavandi, Catanzaro (1973), os autores

não entraram em detalhes a respeito dos seguintes aspectos:

a) Os autores não explicaram quais os procedimentos que devem ser tomados e como

é a entrada de dados quando houver válvulas, reservatórios ou “boosters” na rede.

Tudo precisou ser desenvolvido.

b) Os autores dizem que o método pode ser utilizado para se calcular as vazões nos

tubos e as pressões nos nós para o regime transitório, mas os autores também não

entraram em detalhes a respeito dos procedimentos a serem utilizados pelo regime

transitório. Na verdade, eles falaram muito pouco a respeito do cálculo transitório.

Além disto, os autores não falaram a respeito do regime extensivo.

c) A princípio, tentou-se aplicar válvulas, boosters e variações das vazões de

entrada/saída durante o cálculo do regime permanente, mas depois de várias

tentativas, chegou-se à conclusão de que só é possível fazer isto no regime transitório

e/ou no regime extensivo, pois como já foi dito, o método utilizado não considera a

variação do nível d‟água dos reservatórios durante o cálculo do regime permanente.

Isto resultou em problemas, tais como:

114

c.1) Quando, por exemplo, se varia a vazão de entrada em um nó que contém um

reservatório, e a equação de continuidade global da rede não é mais satisfeita, o nível

do reservatório permanece constante durante todo o cálculo.

c.2) Quando se coloca uma válvula na saída de um reservatório, mesmo

considerando a válvula completamente fechada, no final do cálculo, a vazão que sai

do reservatório é a mesma que sairia caso a válvula estivesse totalmente aberta e o

nível deste não varia. O método simplesmente ignora o fato da válvula estar fechada.

c.3) Se um booster é colocado na saída de um reservatório, mesmo quando a vazão

que o booster bombeia é maior ou menor do que a vazão que abastece o reservatório,

a lâmina d‟água no reservatório permanece constante.

5.3 Terceira opção de cálculo

A terceira opção de cálculo permite calcular a segunda opção acrescida dos

efeitos de válvulas instaladas na rede onde se procura otimizar as operações da rede

pela utilização do AG.

Antes do usuário utilizar a terceira opção, sugere-se que seja calculado o

regime permanente e o extensivo utilizando a segunda opção para se avaliar a

situação da rede.

A terceira opção de cálculo pode ser utilizada de duas formas:

a) Se a rede estiver sendo projetada, após o usuário obter os resultados através da

segunda opção, ele poderá avaliar os reservatórios e os nós que estão com problema

de pressão (acima ou abaixo do permitido) e assim decidir em quais tubos poderão

ser instaladas válvulas e/ou “boosters”. Caso seja necessário instalar apenas

“boosters”, a terceira opção de cálculo não será necessária, basta usar a segunda.

b) Se a rede já existir e houver válvulas instaladas, o usuário calcula o regime

permanente e o extensivo através da segunda opção sem considerar as válvulas

115

(como se na realidade elas estivessem totalmente abertas) e após isto, o usuário

identifica os pontos da rede que estão com problema (se existirem) e propõe

mudanças como permitir que a variação do(s) nível(eis) do(s) reservatório(s) seja

maior que a permitida na atualidade, instalar mais válvulas em outros tubos, retirar

válvulas já instaladas em tubos, mudar alguma válvula de um tubo para outro,

instalar e/ou retirar “boosters”, etc. Após estas mudanças, o usuário reavalia a rede

novamente e decide qual opção de cálculo será utilizada.

Deve-se esclarecer que a terceira opção de cálculo (modelo híbrido) deverá

ser utilizada em redes de abastecimento que apresentem problemas operacionais e

que precisem ser resolvidos com a instalação de válvulas ou que tenham válvulas

instaladas. Se a rede não apresentar problemas, não será necessário utilizar a

otimização proposta neste trabalho.

Outro esclarecimento é que, a princípio, apenas um tipo de válvula poderá ser

utilizado na rede (ou gaveta, ou borboleta1, etc) devido a problemas internos do

programa. Futuramente pretende-se expandir a capacidade do programa para vários

tipos de válvulas poderem ser utilizadas na rede.

5.4 Modificações feitas no método

No método original de Nahavandi, Catanzaro (1973), o usuário do programa

de computador desenvolvido neste projeto tinha que montar a matriz de conexão no

arquivo de entrada de dados. Descobriu-se uma maneira do próprio programa de

computador montar a matriz de conexão. Isto facilitou muito a entrada de dados do

programa. Por exemplo, para uma rede com duzentos tubos e cento e cinqüenta nós,

seria necessário digitar duzentas linhas com cento e cinqüenta colunas cada uma, ou

seja, o usuário teria que digitar trinta mil números. Agora, o programa de

computador cria esta matriz em poucos segundos.

Outra modificação feita é que o usuário não precisa mais entrar com o

intervalo de tempo para calcular os valores de (já explicados antes). Quando o

usuário entrava com o intervalo de tempo, muitas vezes este valor proposto não

1 Esta válvula deve ser operada com cuidado p/ se evitar a ruptura da tubulação devido ao transitório

116

obedecia a condição de Courant e por causa disto, o programa apresentava erros

durante os cálculos e não terminava de calcular a rede. Agora, o programa de

computador calcula o intervalo de tempo obedecendo a condição de Courant e não

apresenta mais problemas de cálculo por causa do valor do intervalo de tempo.

Desenvolveu-se também uma maneira de se calcular as pressões nos nós da

rede, de modo que estas fiquem entre os limites mínimo e máximo admitidos por

norma no caso de se estar projetando uma rede. Caso a rede já exista, é possível

verificar se estes limites estão sendo obedecidos. Para isto, o programa de

computador segue o seguinte procedimento:

a) Entra-se com valores das pressões máxima e mínima admissíveis na rede no

arquivo de entrada.

b) O programa de computador calcula a rede como se houvesse apenas tubos e

vazões de entrada e saída nos nós.

c) Depois de calculada a rede, o programa de computador verifica qual o nó que tem

o maior valor de pressão. Caso a pressão deste nó seja negativa, o programa pega o

valor da pressão máxima admissível na rede e a soma ao módulo do valor da pressão

do nó. Caso contrário, o programa pega o valor da pressão máxima admissível na

rede e subtrai dela o valor da pressão do nó. Após isto, o programa pega este valor

calculado e o soma a todos os nós da rede.

Este procedimento garante que a pressão máxima admissível na rede seja

respeitada, mas não garante que a pressão mínima será respeitada. Para isto, cabe ao

usuário analisar o arquivo de saída. O usuário verifica as pressões em todos os nós da

rede. Caso haja algum nó que tenha uma pressão menor que a admissível por norma,

o usuário poderá executar dois procedimentos:

a) Se a rede estiver sendo projetada, o usuário poderá modificar alguns dados do

arquivo de entrada tais como a rugosidade dos tubos, o diâmetro ou o comprimento.

117

b) Se a rede já existir, o usuário terá condições de dizer aos operadores da rede onde

estão ocorrendo os problemas e propor soluções como instalação de boosters, troca

de tubos, etc.

O procedimento descrito anteriormente serve também para se calcular ou

verificar as cotas piezométricas dos reservatórios:

a) Se a rede estiver sendo projetada, após o programa calculá-la, o usuário verifica o

arquivo de saída e espera-se que ele escolha o nó de maior cota para se colocar o

reservatório pulmão, atribuindo a este a correspondente pressão neste nó, calculada

pelo programa. Se houver mais de um reservatório na rede, escolhe-se previamente

os nós onde estes reservatórios estarão localizados e atribui-se a eles as

correspondentes pressões nestes nós, calculadas pelo programa.

b) Se a rede já existir, após o programa calculá-la, o usuário verifica o arquivo de

saída. Caso as cotas piezométricas dos reservatórios, calculadas pelo programa, não

coincidam com as cotas existentes, cabe ao usuário analisar as possíveis causas para

isto estar acontecendo e sugerir as possíveis modificações viáveis.

A programação e a entrada de dados, para contemplar a existência de

válvulas, reservatórios ou “boosters” na rede, foi desenvolvida pelo autor.

Toda a formulação matemática para o cálculo do regime transitório e do

regime extensivo também foi desenvolvida pelo autor.

Na programação do regime transitório e do regime extensivo, a variação das

vazões de entrada/saída nos nós foi considerada primeiro. Para se calcular a variação

do nível d‟água nos reservatórios, considerou-se que esta seria igual à diferença entre

a pressão no nó do reservatório do instante de cálculo atual e a pressão no nó do

reservatório do instante de cálculo anterior multiplicada pela área da base do

reservatório e dividida pelo intervalo de tempo (definido pela condição de Courant).

Esta maneira de calcular a variação do nível d‟água do reservatório não funcionou,

pois os resultados forneciam valores cada vez maiores a cada intervalo de tempo que

acabavam por exceder a memória de cálculo do computador. Após várias tentativas

118

frustradas, resolveu-se tentar calcular a variação do nível d‟água do reservatório

utilizando apenas a equação da continuidade como já mostrado anteriormente. Esta

nova maneira para se calcular a variação do nível d‟água do reservatório foi testada e

funcionou a contento.

119

6 Conclusões

O objetivo da pesquisa foi desenvolver um modelo híbrido, que após calcular

as cargas e as vazões para o regime permanente e para o regime extensivo, utiliza um

algoritmo genético para otimizar o controle operacional de redes hidráulicas.

A partir dos resultados alcançados com o programa de computador

desenvolvido, chegou-se às seguintes conclusões:

Foi ampliada a aplicabilidade do método criado por Nahavandi, Catanzaro

(1973), pois foi desenvolvido os métodos para se calcular os períodos extensivo e

transitório.

Foi desenvolvida a técnica para se calcular a rede quando houver válvulas,

reservatórios ou boosters presentes e para se calcular a variação do nível d‟água nos

reservatórios.

A entrada de dados foi facilitada, pois no artigo de Nahavandi, Catanzaro

(1973), o usuário tinha que montar a matriz de conexão no arquivo de entrada de

dados e agora o próprio programa de computador monta a matriz de conexão. Além

disto, o programa calcula o intervalo de tempo obedecendo a condição de Courant e

não apresenta mais problemas de cálculo por causa do valor do intervalo de tempo.

Foi desenvolvida uma maneira de se calcular as pressões nos nós da rede, de

modo que estas fiquem entre os limites mínimo e máximo admitidos por norma.

A parte do modelo híbrido que se refere ao cálculo hidráulico está

funcionando a contento, pois os valores obtidos pelo modelo para as duas redes

utilizadas como exemplo neste projeto estão próximos dos valores originais obtidos

da literatura pesquisada.

Concluiu-se que a potência dissipada final na rede sem a presença de

válvulas, não necessariamente é a potência mínima dissipada pela rede, como se

120

pensou a princípio. Tudo depende do arranjo de “boosters” e válvulas utilizado para

o cálculo do regime extensivo.

Para as duas redes calculadas neste projeto, o menor valor de potência

dissipada foi obtido quando se utilizou duzentas (200) gerações com taxa de

crossover de 95%, taxa de mutação de 2% e elitismo.

Pelos resultados obtidos, conclui-se que o elitismo foi necessário para

conseguir uma convergência segura do valor da função objetivo, pois quando não se

usou o elitismo, o valor da função objetivo tendeu a convergir, mas oscilou durante

todo o cálculo, nunca chegando a um valor fixo.

A otimização proposta neste trabalho serve para ser utilizada em redes de

abastecimento que apresentem problemas operacionais e que precisem ser resolvidos

com a instalação de válvulas ou que tenham válvulas instaladas.

A parte do modelo híbrido que se refere ao algoritmo genético está

funcionando a contento, pois os valores da função objetivo obtidos pelo modelo

convergiram em todos os cálculos nos quais o elitismo foi utilizado.

O modelo computacional hidrodinâmico desenvolvido neste projeto serve

para três propósitos: dimensionar uma rede que estiver sendo projetada, verificar o

funcionamento de uma rede existente diagnosticando os problemas que estão

ocorrendo e otimizar o funcionamento de uma rede, quando consorciado com o

algoritmo genético.

6.1 Recomendações

Recomenda-se que se façam testes adicionais com o modelo híbrido

desenvolvido, tanto na parte de cálculo hidráulico (calcular outras redes com

problemas diferentes) como na parte de algoritmo genético (calcular as redes

utilizadas como exemplo neste projeto com maior número de gerações, utilizar outras

121

técnicas de recombinação e seleção e utilizar um algoritmo genético que trabalhe

com números reais ao invés de números binários para se comparar os resultados

obtidos).

Recomenda-se expandir a capacidade do programa para que vários tipos de

válvulas possam ser utilizadas na rede.

Recomenda-se que se estude um método para tratar as matrizes utilizadas

pelo modelo desenvolvido, pois o tempo de processamento aumentou

significativamente quando se calculou a segunda rede utilizada como exemplo neste

projeto. Além do mais, os métodos existentes não puderam ser aplicados nas

matrizes que compõem a parte de cálculo hidráulico do modelo híbrido

desenvolvido.

122

Anexo 1

A.1 Desenvolvimento matemático para o regime extensivo

O método baseia-se em três equações escritas em forma matricial. A eq.(3)

relaciona a diferença de carga piezométrica de um trecho com as cargas

piezométricas nos nós extremos do referido trecho:

g

PC

g

P (3)

A eq.(31) do método é a da continuidade escrita em forma matricial para os

nós:

sQeQesQQTC

(31)

Pela eq.(15), já mostrada anteriormente, nota-se que:

sQeQ

t

AH

(15)

A eq.(5) é a da quantidade de movimento em forma de diferenças finitas

(matricial):

avF

4

2DvHg

4

2DgH

L

ZL

4

2Dg

4

2DP

t

0vvL

4

2D (5)

A força de atrito viscoso Fav é dada matricialmente por:

4

2D

g5D2

0Q0Q'fL8

gavF (6)

123

Pela substituição de{Fav}, dado pela eq.(6), na eq.(5) e levando-se em conta

que v = Q/(D2/4), a eq.(5) transforma-se em:

g5D2

0Q0Q'fL8

vHHZg

P

L

g

4

2D

t

0QQ

(7)

O fator de atrito f pode ser calculado pela fórmula de Swamee (matricial):

8

116

6

R

2500

9,0R

62,5

D71,3

Kln5,9

8

R

64f

(8)

Resolve-se a eq.(7) para Q, obtendo-se:

cPvHHZg

P0QQ (9)

onde:

L4

tg2D (10)

g5D2

0Q0Q'fL8

cP

(11)

Substituindo-se a matriz coluna {P/(g)} da eq.(3) na eq.(9) e substituindo-

se o resultado na eq.(31), chega-se a:

sQeQesQcPvHHZTCg

PC**TC0QTC

(32)

124

Resolvendo-se a eq.(32) para{P/(g)}, chega-se a:

esQ1M0QcPvHHZTC1MsQeQ1M

g

P

(33)

onde M é uma matriz quadrada, definida como:

C**TCM

(14)

Na eq.(15), multiplica-se sQeQ por t e substitui-se AH na eq.(33)

obtendo-se a eq.(16), já mostrada anteriormente:

esQ1M0QcPvHHZTC1MAH1Mg

P

(16)

A solução numérica do problema pode ser obtida pela resolução das eqs.(16),

(3) e (9) em um computador digital.

125

A.2 Desenvolvimento matemático para o regime transitório

O método baseia-se em três equações escritas em forma matricial. A eq.(20)

relaciona a diferença de carga piezométrica de um trecho com as cargas

piezométricas nos nós extremos do referido trecho:

*

g

PC

*

g

P

(20)

A eq.(34) do método é a da continuidade escrita em forma matricial para os

nós:

*s*

e*

es*T QQQQC (34)

A variação da lâmina d‟água é calculada pela equação da continuidade:

*sQ

*eQ

t

A*H

(35)

A eq.(36) é a da quantidade de movimento em forma de diferenças finitas

(matricial):

avF

4

2D*vHg

4

2D*gHL

ZL

4

2Dg

4

2D*Pt

0v*vL

4

2D (36)

A força de atrito viscoso Fav é dada matricialmente por:

4

2D

g5D2

0Q0Q'fL8

gavF (6)

126

Pela substituição de{Fav}, dado pela eq.(6), na eq.(36) e levando-se em conta

que v* = Q*/(D2/4), a eq.(36) transforma-se em:

g5D2

0Q0Q'fL8*vH

*HZ*

g

P

L

g

4

2D

t

0Q*Q

(37)

O fator de atrito f pode ser calculado pela fórmula de Swamee (matricial):

8

116

6

R

2500

9,0R

62,5

D71,3

Kln5,9

8

R

64f

(8)

Resolve-se a eq.(37) para Q*, obtendo-se a eq.(21), :

cP

*vH

*HZ*

g

P0Q*Q (21)

onde:

L4

tg2D (10)

g5D2

0Q0Q'fL8

cP

(11)

Substituindo-se a matriz coluna {P/(g)}* da eq.(20) na eq.(21) e

substituindo-se o resultado na eq.(34), chega-se a:

*sQ*

eQ*

esQcP*vH

*HZTC

*

g

PC**TC0QTC

(38)

127

Resolvendo-se a eq.(38) para{P/(g)}*, chega-se a:

*esQ1M0QcP*vH

*HZTC1M*sQ

*eQ

1M

*

g

P

(39)

onde M é uma matriz quadrada, definida como:

C**TCM

(14)

Na eq.(35), multiplica-se *sQ*

eQ por t e substitui-se A*H na

eq.(39) obtendo-se a eq.(40):

*esQ1M0QcP*vH

*HZTC1MA*H1M

*

g

P

(40)

Após os coeficientes esC terem sidos calculados através da eq.(17), calcula-

se *esQ através da eq.(18) e substitui-se na eq.(40), obtendo-se a eq.(19), todas estas

equações já foram definidas anteriormente:

g

esPesC

1M0QcP*vH

*HZTC1MA*H1M

*

g

P (19)

A solução numérica do problema pode ser obtida pela resolução das eqs.(19), (20) e

(21) em um computador digital.

128

A.3 Desenvolvimento matemático para o cálculo da função de penalidade

Figura 36 – Função de penalidade X valor da carga piezométrica em um nó qualquer

Decidiu-se que medHp será igual a:

2

HpHpHp minmax

med

(41)

Pela fig.36, nota-se quando a carga piezométrica no nó tem um valor entre

maxHp e minHp , o valor da função de penalidade (fp) tem valor igual a 1 e é definido

pela eq.(23), já definida anteriormente:

1pf se máxHpHpHp min (23)

Pela fig.36, nota-se que quando a carga piezométrica no nó tem um valor

menor que minHp , a função de penalidade (fp) tem valor maior que 1 e a seguinte

relação pode ser descrita:

129

HpHp

fp

HpHp medmed

min

1 (42)

Substituindo-se o valor de medHp da eq.(41) na eq.(42) e resolvendo-se a

eq.(42) para fp, chega-se a eq.(24), já definida anteriormente:

min

min2

HpHp

HpHpHpf

máx

máx

p

se minHpHp (24)

Pela fig.36, nota-se que quando a carga piezométrica no nó tem um valor

maior que maxHp , a função de penalidade (fp) tem valor maior que 1 e a seguinte

relação pode ser descrita:

medmed HpHp

fp

HpHp

max

1 (43)

Substituindo-se o valor de medHp da eq.(41) na eq.(43) e resolvendo-se a

eq.(43) para fp, chega-se a eq.(25), já definida anteriormente:

min

min2

HpHp

HpHpHpf

máx

máx

p

se máxHpHp (25)

130

Lista de referências

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Abastecimento de Água. 1980. 121p. Dissertação (Mestrado) – Instituto de

Pesquisas Hidráulicas, Universidade Federal do Rio Grande do Sul. Porto Alegre,

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COLEY, D.A. An Introdution to Genetic Algorithms for Scientists and Engineers.

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