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Universidade Federal do Paran Engenharia Industrial Madeireira
Geometria Analtica Prof. Guilherme Augusto Pianezzer Gabarito
Primeira Prova
Questes Questo 1. Dados | | | | , calcular | |, sabendo que o
ngulo entre 180.
Temos que,
| | ( ) ( ) | | | | | || |
Questo 2. Dado o tringulo de vrtices ( ) ( ) e ( ) determine o
vetor projeo do vrtice sobre o lado .
Temos que
| |
| |
Onde ( ), ( ), , | | . Logo,
( ) (
)
Questo 3. Encontre um vetor ortogonal ao plano determinado pelos
pontos ( ), ( ), ( ) e calcule a rea do tringulo
Um dos vetores que ortogonal ao plano determinado por um
conjunto de pontos no colineares o vetor produto vetorial entre
o vetor e o vetor Sendo ( ) e ( ), o resultado pode ser obtido
atravs de:
|
|
Uma das propriedades deste vetor que seu mdulo representa a rea
do paralelogramo. Portanto, a rea do tringulo pode ser
obtido por:
| |
Questo 4. A partir de um ponto ( ) e de seu vetor diretor ( ).
Deduza:
A equao vetorial da reta
A reta pode ser caracterizada como um conjunto de pontos ( ),
onde qualquer destes pontos da reta satisfaz a seguinte
equao:
Que a equao vetorial da reta.
A equao paramtrica da reta
Para as componentes dadas, pode-se escrever:
Ou, em termos de componentes
-
( ) ( ) ( )
Ou ainda,
{
Que a equao paramtrica da reta.
A equao simtrica da reta
Eliminando o parmetro de cada uma das equaes, segue-se que
Que representa a equao simtrica da reta.
Questo 5. Para o caso a seguir:
Determine a equao paramtrica da reta passando por ( ) na direo
do vetor ( ).
Neste caso,
{
Determine a equao paramtrica da reta passando por ( ) na direo
do vetor ( )
Neste caso,
{
Determine o ngulo entre a reta e a reta .
O ngulo entre as retas o ngulo entre seus vetores diretores.
Entretanto, como as duas retas possuem o mesmo vetor diretor o
ngulo entre as retas zero.
Determine se a reta e se interceptam. Em caso afirmativo,
descreva qual o ponto.
Sendo assim, ambas as retas so paralelas e no caso de interseco
todos os pontos se interceptam.
Para mostrar isso, faz-se:
{
{
Que um sistema possvel, mas indeterminado, indicando que o
conjunto soluo uma reta. Logo, ambas as retas so iguais e se
interceptam em todos os pontos.
Questo 6. A partir de um ponto ( ) pertencente a um plano e ( )
um vetor normal ao plano. Deduza a equao geral do plano.
A caracterstica que um plano tem que qualquer ponto ( ) dele,
quando a partir dele gera-se um vetor este vetor
sempre ortogonal ao vetor normal. Escrito de outra maneira:
Se faz parte do plano. Desenvolvendo esta equao, como ( )
temos
( ) ( ) ( )
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Reagrupando os termos obtemos:
Questo 7. Determine a equao geral do plano perpendicular
reta
{
E que contenha o ponto ( )
Para encontrar a equao do plano necessrio ter conhecimento sobre
o vetor normal (ortogonal ao plano) e um ponto do
plano. Como ( ) um ponto do plano e ( ) um vetor normal chegamos
que:
a equao geral do plano.
Representa todos os planos com vetor normal paralelo ao vetor
diretor da reta dada.
Representa o plano procurado.
Questo 8. Seja um observador localizado no ponto A observando
diretamente para um objeto localizado no ponto B. Seu ngulo de viso
de , conforme a Figura 1.
Figura 1: Ilustrao Questo 8
Descreva um teste que poder ser utilizado para decidir se o
ponto C qualquer est dentro da viso do observador.
Sendo um ponto qualquer devemos tirar concluses sobre o ngulo
feito pelo vetor e o vetor . Logo, devemos verificar se
. Onde o ngulo de viso e o ngulo que o objeto se encontra em
relao ao vetor , calculado por:
(
| || |)
Sendo ( ), ( ) e o ngulo de viso de 60 para cada lado, determine
se o ponto C(3,4,2) est dentro da viso do
observador.
No teste descrito, ( ) ( ) | | | | Portanto,
(
) (
) (
)
Que est dentro da viso do observador.
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Considerando que a maior distncia que o observador consegue
observar 2 u.d., determine se o observador das condies
acima consegue visualizar o ponto C.
Neste caso deve-se avaliar se | | .
Como | | , ento o observador ainda sim consegue observar o
ponto
