7/28/2019 Gabarito Prova 2 de Clculo I - Engenharia Industrial Madeireira - UFPR

1/4

Universidade Federal do ParanEngenharia Industrial MadeireiraClculo Diferencial e Integral IProf. Guilherme Augusto Pianezzer Gabarito Segunda Prova

QuestesQuesto 1. Sendo . Defina:

Taxa de variao mdia de em relao a para variando de

Taxa de variao instantnea de em relao a no ponto

O incremento da varivel independente x e da varivel dependente y e )

O diferencial da varivel independente x e da varivel dependente y (dx e dy)

Questo 2. Sendo

Mostre, utilizando a definio de derivada, que

Pela definio de derivada, temos que

Que para a funo dada por

Como , pode-se reagrupar os valores acima para obter:

Onde os limites que aparecem so os limites fundamentais conhecidos. Logo, .

Sendo

7/28/2019 Gabarito Prova 2 de Clculo I - Engenharia Industrial Madeireira - UFPR

2/4

( )

Use as regras de derivao para encontrar

Encontra-se utilizando as regras de derivao:

1. Regra de derivada para a soma de duas funes.2. Regra de derivada para o produto de duas funes.3. Regra da cadeia para a funo composta.

Obtm-se:

Ao substituir ,

Questo 3. Um estudo elaborado pela Associao Nacional de Agncias Imobilirias estima que o nmero denovas construes na regio sudeste, (em milhes), nos prximos cinco anos, est relacionado com a taxade financiamento, (por cento ao ano) pela equao

Qual a taxa de variao no tempo do nmero de novas construes quando a taxa de financiamento de 11% eaumenta razo de 1,5% ao ano?

Sabendo que

Pede-se

Como

Ao derivar ambos os lados em relao a (Usando a regra da cadeia), obtm-se:

(1)

O que nos mostra que para encontrarmos precisamos saber sobre e sobre . Sabendo que esto relacionados pela equao dada, pode-se encontrar para

Ao substituir na equao (1), chega-se que milhes de novas construes por ano.

7/28/2019 Gabarito Prova 2 de Clculo I - Engenharia Industrial Madeireira - UFPR

3/4

Questo 4. O consumo mdio de energia de uma geladeira comum, produzido pelas indstrias York, aproximadamente

Onde em quilowatts-hora (kWh) por ano, onde medido em anos corresponde ao ano

de 1972).

Qual foi o consumo mdio de energia de uma geladeira no incio de 1972?

Mostre que o consumo mdio de energia de uma geladeira York decrescente ao longo do tempo.

Para mostrar que esta funo decrescente, deve-se mostrar que

Para todo Para esta funo,

Como a funo exponencial positiva para todos os pontos de seu domnio, conclu-se que a funo menorque zero para todos os pontos do domnio e que, por consequncia, a funo decrescente para qualquertempo.

Todas as geladeiras produzidas a partir de 1 de Janeiro de 1990 devem ter um consumo mximo padro deenergia de , definido pela Lei Nacional de Manuteno de Aparelhos. Mostre que uma geladeiraYork satisfaz essa exigncia.

Mostrou-se que em o consumo de energia de uma geladeira York era de . Mostrou-setambm que a funo que mede este consumo de energia decrescente. Logo conclu-se que no haver nenhummomento, a partir de , em que esta funo assumir um valor maior que o mximo padro.

Outra maneira de responder esta questo procurando os pontos crticos. Ao fazer isso, nota-se que para estafuno nao h pontos crticos (A derivada da funo nunca zera, ela sempre negativa!). Sendo assim, sabe-se queos pontos de mximo e de mnimo ocorrem nos extremos da funo (Nos pontos ou e basta mostrarque o mximo entre esses dois pontos no supera o consumo mximo padro de energia.

Questo 5. O percentual de homens com 65 anos ou mais de idade na fora de trabalho entre e2000 de aproximadamente

Mostre que o percentual de homens com 65 anos ou mais de idade na fora de trabalho era mnimo, no perodoconsiderado, em meados de setembro de 1991.

Os pontos mnimos locais da funo so tais que

Como

Ao buscar os pontos cuja derivada primeira so nulas, obtm-se , que o nico ponto crtico da funo.Para mostrar que esse ponto mnimo, utiliza-se a derivada segunda:

7/28/2019 Gabarito Prova 2 de Clculo I - Engenharia Industrial Madeireira - UFPR

4/4

Que positivo para todos os pontos, inclusive para o ponto mostrando que este ponto crtico um ponto

de mnimo.

Como representa o incio de Ento representa o incio de Para mostrar que representa meados de setembro usa-se a seguinte proporo:

assim como

Este valor de mostra que o mnimo acontece em j que para essa converso o ms 0.

Qual era esse percentual?

Para obter esse percentual, sabendo o ms: