Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software · PDF file7.1 ABCD é um trapézio ... 20.2 Recorre à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que te permite

ESCOLA SECUNDÁRIA ALCAIDES DE FARIA FICHA DE TRABALHO - MATEMÁTICA 11º ANO ANO LECTIVO 2011/2012

1 - Duas povoações A e B , distanciadas 8 km uma da outra, estão a igual distância de

uma fonte de abastecimento de água, localizada em F.

Pretende-se construir uma canalização ligando a fonte às duas povoações, como se

indica na figura abaixo. A canalização é formada por três canos: um que vai da fonte F

até um ponto P e dois que partem de P , um para A e outro para B. O ponto P está a

igual distância de A e de B.

Tem-se ainda que:

- o ponto M, ponto médio de AB ,

dista 4 km de F

- x é a amplitude do ângulo PAM

4,0

x

1.1 Tomando para unidade o quilómetro, mostra que o comprimento total da

canalização é dado por:

x

xxg

cos

sen484

( Sugestão: começa por mostrar que tgxFPx

PA 44 e cos

4 )

1.2 Calcula g (0) e interpreta o resultado obtido, referindo a forma da canalização e

consequente comprimento.

2 - Na figura

- o triângulo BCABABC isósceles é

- 1;2 ;rectângulo um é DEDGDEFG

- x designa a amplitude do ângulo BAC

Mostra que a área do triângulo ABC é dada, em função de x, por

2,0

12

x

tgxtgxxf (Nota : reparar que BÊF = BÂC)

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3 - A figura abaixo representa um canteiro de forma circular com 5m de raio.

O canteiro tem uma zona rectangular, que se destina á plantação de flores, e uma zona

relvada, assinalada a sombreado na figura.

Os vértices A, B , C e D do rectângulo pertencem

à circunferência que limita o canteiro.

Na figura estão também assinalados:

- dois diâmetros da circunferência, HFEG e , que

contém os pontos médios dos lados do rectângulo

- o centro O da circunferência

- o ângulo BOF, de amplitude x

2,0

x

Mostra que a área (em metros quadrados da zona relvada é dada, em função de x, por:

xxxg sencos10025

4 - Na figura junta são dados uma circunferência de centro O e raio 1, um diâmetro

AB e uma corda CD, perpendicular a esse diâmetro.

Designando por 0,2

o ângulo AÔC=AÔD,

determina:

4.1 O perímetro do triângulo BCD, em função de ;

4.2 Mostra que a área do triângulo [BCD] é dada, em função de α,

por senα(1+cosα) e calcula o seu valor para α = π/3

5 - A D. Joana, pessoa de gostos requintados, encomendou numa confeitaria

biscoitos com a forma de losango cujo perímetro é 8 cm.

Prova que a área do losango é dada , em função de x, por

xxxA cossen8


6 - Considera um triângulo ABCD em que:

- x é a amplitude do ângulo BCA e

2,0

x

- 2BC

- BH é a altura relativa a B

- 1AH

Mostra que a área do triângulo é dada , em função de x, por

xxxxA cossen2sen

7 - Considera a função xxxxff cossensenpor definida ,:

7.1 ABCD é um trapézio isósceles; os lados BC e AD são paralelos.

Tem-se que :

- 1 CDBCAB

- 1AD

-

2,

3

é amplitude do ângulo ABC

Mostra que ,para cada , a área do trapézio é igual a f .

7.2 Determina

2

f e interpreta geométricamente o resultado obtido, caracterizando o

quadrilátero que se obtém para 2


8 –

8.1

8.2


10- Na figura está representado a sombreado um polígono [ABEG]. Tem-se que :

[ABFG] é um quadrado de lado 2 FD é um arco de circunferência de

centro B; o ponto E move-se ao longo desse arco; em consequência o ponto C desloca-se sobre o segmento [BD], de tal forma que se tem sempre [EC] perpendicular a [BD].

x designa a amplitude, em radianos, do ângulo DBE ( xЄ[0,π/2]

10.1 Mostra que a área do polígono [ABEG] é dada, em função de x, por A(x) = 2 (1 + senx + cosx) Sugestão : pode ser útil considerar o trapézio [ACEG] 10.2 Determina A(0) e A( π/2). Interpreta geometricamente cada um dos resultados. 10.3 Recorre à calculadora para determinar graficamente as soluções da equação que te permite resolver o seguinte problema: Quais são os valores de x para os quais a área do polígono [ABEG] é 4,3? Apresenta todos os elementos recolhidos na utilização da calculadora. Apresenta os valores pedidos na forma de dízima, arredondada às décimas. 11 – Na figura está representado um quadrado [ABCD], de lado 1. O ponto E desloca-se sobre o lado [AB], e o ponto F desloca-se sobre o lado [AD], de

tal forma que se tem sempre AE AF .

Para cada posição do ponto , seja x a amplitude do ângulo BEC ,4 2

x

.

Mostra que o peímetro do quadrilátero [CEAF] é dado, em função de x, por

2 2

2f xtgx senx


12 – Considera um triângulo rectângulo [ABC], cujos catetos são [AB] e [BC].

Admite que se tem 1AB e que x designa a amplitude do âmgulo BAC.

12.1 Mostra que o perímetro do triângulo [ABC] é dado por

1 cos

, x 0,cos 2

senx xf x

x

12.2 Seja 3

0, tal que cos2 2 5

.

Determina o valor de f(α). 13 – Nafigura está representadoum triângulo [ABC]. Tem-se que:

x designa a amplitude do ângulo BAC a amplitude do ânguloBCA é igual ao

dobro da amplitude do ângulo BAC

a altura BD é igual a 10

Seja 275 25tg x

g xtgx

13.1 Mostra que a área do triângulo [ABC] é dada por g(x), para qualquer 0,4

x

.

13.2 Considera o triãngulo [ABC] quando x = π/4. Clssifica-o quanto aos lados e quanto aos ângulos.


14 – Na figura

[ABCD] é um quadrado de lado 1. [AHB], [BGC], [CFD], e [DEA]

são triângulos rectângulos iguais x designa a amplitude do ângulo HBA

14.1 Mostra que a área da superfície sombreada é dada, em função de x, por

1 2 cos 0,4

f x senx x x

14.2 Calcula f(π/4) e interpreta geometricamente o valor obtido. 15 – Um ponto C desloca-se sobre uma semi-circunfrência de diâmetro [AB] e centro O. Considera que o comprimento do segmento [AC], em função da amplitude x do ângulo AOC, é dada por:

2 0,2

xd x sen x

15.1 Indica o valor de x para o qual ( )d x AB . Justifica que a semi-circunferência tem

raio 1.

15.2 Justifica que, quando 0,x , o triângulo [ABC] é rectângulo em C.

Mostra que 2cos2

xBC .

15.3 Verifica que a área do triângulo [ABC] é 2 cos2 2

x xsen .

16 - Seja [ABC] um triângulo isósceles em que BA BC .

Seja α a amplitude do ângulo ABC. Mostra que a área do triângulo [ABC] é dada por

2

0,2

BCsen


17 – Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se:

A base da pirâmide tem centro F e lado 2 G é o ponto médio da aresta [BC] X designa a amplitude do ângulo FGE

Mostra que a área total da pirâmide é dada, em função de x, por:

4cos 4

A(x) = x 0,cos 2

x

x

18 – Considera, num referencial o.n. Oxyz, um cilindro de revolução como o representado na figura.

A base inferior do cilindro tem centro na origem O do referencial e está contida no plano xOy.

[BC] é um diâmetro da base inferior, contido no eixo Oy

O ponto A pertence à circunferência que limita a base inferior e tem coordenadas (4 , 3, 0).

A recta r passa no ponto B e é paralela ao eixo Oz O ponto D pertence à recta r e à circunferência que

limita a base superior do cilindro.

Designando por α a amplitude do ângulo BOD, mostra que o volume do cilindro é dado por

V( ) = 125 tg x 0,2

19 – Na figura está representada uma circunferência de centro no ponto O e raio 3.Õs diâmetros [EF] e [GH] são perpendiculares. Considera que o ponto B se desloca sobre o arco FG. Os pontos A, C e D acompanham o movimento do ponto B de tal forma que:

As cordas [AB] e [CD] permanecem paralelas a [EF] [AD] e [BC] são sempre diâmetros da circunferência.

Os pontos I e J também acompanham o mesmo movimento de tal forma que são sempre os pontos de intersecção de [GH] com [AB] e [CD], respectivamente.


Para cada posição de B, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo FOB

( x 0, )2

19.1 Mostra que a área da região sombreada é dada, em função de x, por

A(x)= 18 cosx senx x Sugestão: usa a decomposição sugerida na figura

19.2 Recorre à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que te permite resolver o seguinte problema: Qual é o valor de x para o qual a área da região sombreada é igual a metade da área do círculo? Apresenta todos os elementos recolhidos na calculadora. Apresenta o resultado na forma de dízima, arredondado às centésimas. 20 – Na figura estão representadas uma semi-recta AB e uma circunferência de centroO e raio 1( os pontos O, A e b são colineares; o ponto A pertence à circunferência). Considera que um ponto P se desloca ao longo da semo-recta AB, nunca coincidindo com o ponto A. Os pontos R e s acompanham o movimento do ponto P, de tal forma que as rectas PR e PS são sempre tangentes à circunferência, nos pontos R e s, respectivamente.~

Seja α amplitude, em radianos, do âmgulo SOR 0,

20.1 Mostra que a área do quadrilátero [ORPS] é dada, em função de α, por

f2

tg

20.2 Recorre à calculadora para determinar graficamente a solução da equação que te permite resolver o seguinte problema: Qual é o valor de α para o qual a área do quadrilátero [ORPS] é igual à área da região sombreada.? Apresenta todos os elementos recolhidos na calculadora. Apresenta o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas


21 - .


22- 23 – Na figura está reprsentado um lago artificila de forma rectangular. Pretende-se construir uma ponte, ligando duas margens do lago, entre os pontos P1 e P2 como mostra a figura. A ponte tem um ponto de apoio A, situado a 12m de uma das margens e a 16m da outra. Seja x a amplitude do ângulo P2P1B. 23.1 Mostra que o comprimento da ponte , em metros, é dado por

16 12cos

fcos

senx xx

senx x

23.2 Considerando que a localização de P1 e de P2 pode variar, determina o

comprimento da ponte para o qual se tem 1 2 BP BP .

Apresenta o resultado em metros, arredondado às décimas.


24 – A fig 1 representa um depósito de forma cilídrica, que contém um certo volume de um combustível. Figura 1 Figura 2

Admite que a função V, de domínio 0, 2 , definida por:

V 80x x senx ,

dá o volume, em metros cúbicos, de combustível existente no depósito, em função da amplitude x, em radianos, do arco ABC 8 que, como se sabe,é igual à amplitude do ângulo ao centro correspondente, assinalado na figura 2. 24.1 Qual é a capacidade total do depósito, em metros cúbicos? Apresenta o resultado aredondado às unidades. 24.2 Recorre à calculadora oara determinar graficamente a solução da equação que te permite resolver o seguinte problema: Qual terá de ser a amplitude, em radianos, do arco ABC, para que existam 300 m3 de combustível no depósito? Apresenta todos os elementos recolhidos na calculadora. Apresenta o resultado na forma de dízima, arredondado às décimas 24.3 Determina, em metros cúbicos, o volume do combustível existente no depósito, no momento em que a sua altura é um quarto da altura máxima. Apresenta o resultado arredondado às unidades. Professoras: Paula Ribeiro e Cláudia Barreiro


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