Geodésia Física - UNESP v2005

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  • GEODSIA FSICA: NOTAS DE AULA

    POR

    Jos Milton Arana

    Departamento de Cartografia Faculdade de Cincias e Tecnologia

    Unesp Campus de Presidente Prudente

    OUTUBRO / 2005

  • ii

  • iii

    SUMRIO CAPA . . . . . . . . . . . i

    CONTRA CAPA . . . . . . . . . ii

    SUMRIO . . . . . . . . . . iii

    1 GEODSIA FSICA . . . . . . . . 1 1.1 Introduo . . . . . . . . . 1

    1.2 Coordenadas geodsicas . . . . . . . 2

    1.3 Geodsia Fsica . . . . . . . . 4

    1.3.1 Campo da gravidade . . . . . . . 4

    1.3.2 Componentes da fora de atrao . . . . . 6

    2 POTENCIAL DE ATRAO . . . . . . . 10 2.1 Potencial gravvico . . . . . . . . 14

    2.2 Campo da gravidade normal . . . . . . 16

    2.3 Potencial anmalo . . . . . . . . 17

    2.4 Funes harmnicas . . . . . . . 21

    2.4.1 Equao de Laplace em coordenadas retangulares . . . 21

    2.4.2 Equao de Laplace em coordenadas esfricas . . . 22

    2.4.3 Polinmio de Legendre . . . . . . . 23

    2.4.4 Harmnicos esfricos . . . . . . . 25

    2.4.5 Geopotencial em harmnicos esfricos . . . . 26

    2.5 Operadores . . . . . . . . . 31

    2.6 Campos vetoriais . . . . . . . . 31

    2.7 Geide e desvio da vertical . . . . . . 32

    2.8 Campo da gravidade terrestre . . . . . . 33

    2.9 Gepes e vertical . . . . . . . . 35

    3 EQUAO FUNDAMENTAL DA GEODSIA FSICA . . . 38 3.1 Potencial perturbador . . . . . . . 38

    3.2 Anomalia da gravidade . . . . . . . 40

    3.3 Distrbio da gravidade . . . . . . . 41

    3.4 Equao fundamental da Geodsia Fsica . . . . 41

    3.5 Potencial perturbador, anomalias e ondulaes expressos em sries

    de harmnicos esfricos . . . . . . . 43

  • iv

    4 PROBLEMA DE CONTORNO . . . . . . . 48 4.1 Determinao gravimtrica das ondulaes do geide e do

    desvio da vertical . . . . . . . . 49

    4.2 Integral de Stokes . . . . . . . . 50

    4.3 Co-geide . . . . . . . . . 52

    4.4 Restries na aplicao da integral de Stokes . . . . 52

    4.5 Frmula de Vening-Meinesz . . . . . . 53

    4.6 Aplicao da Frmula de Stokes . . . . . . 54

    4.6.1 Determinao de N pelo mtodo das zonas . . . . 54

    4.6.2 Determinao de N pelo mtodo dos quadrados . . . 55

    5 REDUES GRAVIMTRICAS . . . . . . 58 5.1 Anomalia free-air . . . . . . . . 59

    5.2 Anomalia de Bouguer . . . . . . . 59

    5.3 Redues isostticas . . . . . . . 61

    5.3.1 Sistema de Prat-Hayford . . . . . . 62

    5.3.2 Sistema de Airy-Heiskanen . . . . . . 62

    5.4 Efeito indireto . . . . . . . . 63

    6 ALTITUDE . . . . . . . . . 64 6.1 Nmeros geopotenciais . . . . . . . 65

    6.2 Altitudes cientficas . . . . . . . . 66

    6.2.1 Altitude ortomtrica . . . . . . . 67

    6.2.2 Altitude de Helmert . . . . . . . 67

    6.2.3 Altitude de Vignal . . . . . . . 68

    6.2.4 Altitude normal . . . . . . . . 69

    6.2.5 Altitude dinmica . . . . . . . 69

    6.3 Influncia da atrao luni-solar no valor da gravidade . . . 70

    7 MTODOS PARA DETERMINAO DO GEIDE . . . 71 7.1 N a partir da anomalia da gravidade . . . . . 72

    7.2 N a partir do desvio astro-geodsico . . . . . 73

    7.3 N a partir de modelos do geopotencial . . . . . 75

    7.3.1 Modelo OSU91A . . . . . . . 77

    7.3.2 Modelo EGM96 . . . . . . . . 77

    7.4 N a partir do GPS/nivelamento . . . . . . 78

  • v

    7.5 Determinao de N a partir do GPS/nivelamento associados aos

    modelos do geopotencial . . . . . . . 80

    8 BIBLIOGRAFIA . . . . . . . . . 83

  • NOTAS DE AULAS Geodsia Fsica

    1. INTRODUO Rotineiramente a Geodsia Fsica preocupa-se com o estudo da gravidade e

    suas aplicaes geodsicas, pois o geodesista sempre est envolvido com trs

    superfcies:

    - superfcie fsica da Terra a superfcie onde so efetuadas as operaes geodsicas;

    - superfcie de referncia a superfcie do modelo geomtrico adotado - onde so efetuado os clculos geodsicos (usualmente o elipside de revoluo);

    - geide uma superfcie eqipotencial do campo da gravidade, em uma primeira aproximao aquela que mais se aproxima ao nvel mdio dos mares no

    perturbado.

    Usualmente, devemos conhecer o geide, pois entre outras, a altitude

    ortomtrica (que possui interesse s obras de engenharia) definida como

    distncia, contada ao longo da linha vertical, do geide ao ponto de interesse. A

    altitude ortomtrica pode ser obtida com o nivelamento geomtrico associado

    gravimetria, ou com rastreio de satlites artificiais onde so conhecidas as

    ondulaes do geide N (ondulao do geide ou altura geoidal definida como a distncia, contada ao longo da normal, do elipside de referncia ao geoide).

    Entende-se por superfcie eqipotencial, quela que em todos os seus pontos

    possui o mesmo potencial; a superfcie eqipotencial do campo da gravidade possui

    a propriedade de em todos seus pontos ser perpendicular direo da vertical.

    normal vertical gepe Superfcie Fsica H altitude ortomtrica altitude geomtrica h

    . geide N ondulao do geide elipside Figura 01- Superfcies de referncias

  • 2

    1.2 Coordenadas Geodsicas Um ponto da superfcie terrestre definida univocamente com trs

    coordenadas: a latitude, a longitude e a altitude geomtrica.

    Latitude geodsica () definida como o ngulo que a normal ao elipside, passante pelo ponto, forma com sua projeo equatorial. (Variam de 0o 90o e

    convencionalmente positivas as pertencentes ao hemisfrio norte).

    Longitude geodsica () o ngulo diedro formado pelo meridiano geodsico de Greenwich (origem) e o meridiano passante pelo ponto P. (Variam de 0o 360o,

    positivamente por leste, ou ainda de 0o +180o por leste e 0o -180o por oeste). Altitude geomtrica (h) definida como a distncia, contada ao longo da normal,

    do elipside de referncia ao ponto. Assim, a posio de um ponto P da superfcie

    terrestre, pode ser definida sem ambigidade pelas trs coordenadas: latitude,

    longitude e altitude geomtrica.

    Azimute geodsico definido como o ngulo que o meridiano passante pelo ponto

    forma com uma direo, usualmente contada a partir do norte por leste.

    Com auxlio da Figura 01, tem-se:

    h = N + H . . . . 1.01

    A Equao 1.01 relaciona a separao entre as trs superfcies: do modelo,

    do geide e de referncia.

    Figura 02 - Desvio da Vertical

    a

    w

    vertical normal

    PN

    HN Q

    Q HS

    i

  • 3

    Desvio da Vertical (i) o ngulo formado pela normal (ao elipside) e pela

    vertical (perpendicular ao geope passante pelo ponto).

    O desvio da vertical (i) pode ser decomposto em:

    - componente meridiana ( ); e - componente primeiro vertical ().

    A componente meridiana do desvio da vertical pode ser determinada por:

    = a . . . . . . . . 1.02

    = (a - ) cos . . . . . . . 1.03

    = ( Aa A) cotg . . . . . . . 1.04

    Das Equaes 1.03 e 1.04, tem-se:

    (a - ) cos = ( Aa A) cotg

    ou

    A = Aa - (a - ) sen . . . . . . 1.05

    Estas equaes permitem transformar grandezas Astronmicas em

    Geodsicas e vice-versa, conhecidas as componentes do desvio da vertical. A

    Equao 1.05 conhecida como Equao de Laplace (simplificada), possibilita a

    transformao de Azimute Astronmico em Geodsico, sem o conhecimento do

    desvio da vertical.

    As componentes do desvio da vertical tambm podem ser determinadas a

    partir da anomalia da gravidade, a qual tambm permite a determinao da

    ondulao do geide. Estes problemas so casos particulares da Geodsia Fsica,

    que faz parte de um mais geral Problema de Contorno da Geodsia Fsica, que

    implica na determinao gravimtrica da superfcie terrestre.

  • 4

    1.3 Geodsia Fsica A rea da Geodsia que se conhece sob a denominao de Geodsia fsica

    preocupa-se com o estudo da gravidade e suas aplicaes geodsicas. A partir das

    identidades de Green pode-se chegar s equaes integrais que relacionam a

    Superfcie Fsica do planeta com o potencial da gravidade e sua derivada normal.

    Os instrumentos usados pelos geodesistas esto sujeitos diversas foras

    fsicas. A interpretao correta das medidas efetuadas necessita do conhecimento

    destas foras. A fora mais comum a Fora da Gravidade da Terra. Para se

    estudar a geometria da Terra, o geodesista necessita do entendimento do Campo da

    Gravidade Terrestre, para este entendimento a Teoria de Newton suficiente.

    As determinaes relativas da gravidade, notadamente simplificada com a

    utilizao de gravmetros, permitem chegar s anomalias da gravidade e a partir

    destas possvel o clculo das componentes do desvio da vertical (utilizam-se das

    frmulas de Vening-Meinesz) e das ondulaes do gede (utilizando-se da Integral

    de Stokes), estes so considerados casos particulares do Problema de Contorno da

    Geodsia Fsica