GEOMETRIAANALÍTICA

Tema: Elipse

GEOMETRIA ANALÍTICA

A partir da noção de distância entre dois pontos foi possível deduzira equação cartesiana de alguns lugares geométricos, como amediatriz de um segmento de reta e a circunferência. Utilizando,novamente, a noção de distância entre dois pontos, vamos agoraestudar um novo lugar geométrico: a elipse

ELIPSE

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ELIPSE

Exemplo 12O conjunto de pontos a azul representado na figura corresponde a uma elipse de centro no ponto cujos focos são e e cujo eixo maior é .

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Fixada uma unidade de comprimento e um plano, dados dois pontos e pertencentes a esse plano e um número , chama-se elipse ao conjunto de pontos do plano tais que

 

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Definição

• e são os focos da elipse;• o ponto médio do segmento de reta é o centro da elipse;• o eixo maior da elipse.

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Um ponto pertence à elipse se e só se + .

Tem-se + .

Podemos verificar analiticamente que o ponto pertence à elipse,substituindo e por e , respetivamente:

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Dada uma elipse de centro , focos e e eixo maior , a mediatriz de [] interseta a elipse em dois pontos e tais que . Ao valor chama-se eixo menor da elipse.

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Propriedade 5

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Dada uma elipse de centro , focos e , eixo maior e eixo menor • diz-se o semieixo maior da elipse• diz-se o semieixo menor da elipse• diz-se a distância focal.

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Definição

Dada uma elipse de focos e com eixo maior , eixo menor edistância focal tem-se que .

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Propriedade 6

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Fixada uma unidade de comprimento, dado um plano munido de um referencial ortonormado e , uma equação (cartesiana) reduzida da elipse de centro na origem do referencial, focos e com , eixo maior e eixo menor é dada por.

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Propriedade 7

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Exemplo 13Se uma elipse tem centro na origem de um referencial ortonormado,focos no eixo , eixo maior e eixo menor , podemos determinar asua equação cartesiana reduzida: e Então

A equação (cartesiana) reduzida da elipse é O ponto não pertence à elipse, pois

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Em Física, para exemplificar o movimento circular uniforme, muitas vezes são utilizadas as órbitas dos planetas à volta do Sol.No entanto, Kepler (1571-1630), matemático e astrónomo alemão, descobriu e publicou em 1609, na sua obra Astronomia Nova, o queviria a ficar conhecido como a 1.ª Lei de Kepler: os planetas descrevem órbitas elíticas em torno do Sol, encontrando-se este sobreum dos focos.

Um pouco de história