GEOMETRIA ANALÍTICA

“Penso, logo existo”

René Descartes (1596 - 1650)

Pai da Geometria Analítica

Figura 1

Prof. Luiz Gustavo da Silva

O Plano Cartesiano

Figura 2

Eixos

• X eixo das abscissas• Y eixo das ordenadas• Z eixo das cotas (3ª dimensão)

OBS: No momento vamos trabalhar somente com duas dimensões (x,y).

Sinais dos Quadrantes

• 1º Quadrante: x > 0 e y > 0• 2º Quadrante: x < 0 e y > 0• 3º Quadrante: x < 0 e y < 0• 4º Quadrante: x > 0 e y < 0

Distância entre dois pontos

Figura 3

Razão de Secção

Figura 4

Ponto Médio

Figura 5

2,

3CbaCba yyyxxx

G

2,

2BABA yyxx

P

Baricentro de um triângulo

Figura 6

3,

3CBACBA yyyxxx

G

Condições de Alinhamento de 3 pontos

0

1

1

1

CC

BB

AA

yx

yx

yx

3 pontos alinhados horizontalmente

Gráfico 1

3 pontos alinhados verticalmenteGráfico 2

3 pontos numa reta não-paralela aos eixos

Gráfico 3

Se 0

1

1

1

CC

BB

AA

yx

yx

yx

Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo!

Gráfico 4

Área de um Triângulo

Figura 7

2

1

1

1

CC

BB

AA

yx

yx

yx

Área

Mediatriz

Figura 8

O coeficiente angular da mediatriz é igual ao inverso negativo do coeficiente angular da reta que contém o segmento AB.

ABcontémqueretamediatriz mm

___

1

Simetria

A simetria é uma característica que pode ser observada em algumas formas geométricas, equações matemáticas ou outros objetos

Figura 9

Figura 10

Figura 11 Figura 12

Figura 13

Figura 14

Figura 15 Figura 16

Figura 17

Figura 18

Equações da Reta

Equação Geral da Reta

0

1

1

1

BB

AA

yx

yx

yx

ax+by+c=0

Equação Segmentária da Reta

1q

y

p

x

q = 3

p = 1

Gráfico 5

Equações Paramétricas da Reta

Se y = f(x), temos:

x = f(t)

e

y = g(t)

Rt

Exemplo

Se ax + by + c = 0 ,

Vamos parametrizá-la!

Escolhendo x = t ,

Teremos,

at + by + c = 0

by + c = -at

by = -at – c

Portanto,

y = (-a/b)t – c/a

Equação Reduzida da Reta

y = mx + q

Onde,

m= -a/b

q (o mesmo da equação segmentária) = -c/b

Coeficiente angular da reta

x

y

xx

yy

b

atgm

AB

AB

)(

)(

Equação de uma reta r

(conhecidos o coeficiente angular e um ponto P de r)

)(

)(

P

P

xx

yym

Pra que servem essas Equações?

• Usadas na Química;

• Usadas na Física (Sxt no MU, vxt no MUV, etc....)

• Usadas em diversas disciplinas das mais variadas engenharias;

• Usadas em qualquer tipo de problema onde há um constante crescimento ou decrescimento;

• E muito mais!

Representação gráfica de Retas

Basta plotarmos 2 pontos no plano cartesiano!

É aconselhável usarmos a equação Reduzida para isso!

Assim,

Teremos y = f(x) , que é uma função do 1º grau.

E sabemos que toda função do 1º grau gera uma reta!

Coordenadas do ponto de intersecção entre duas ou mais retas

Nada mais é do que o ponto comum entre elas!

Basta pegarmos a equação de cada reta e fazermos um sisteminha entre elas!

Posições relativas entre retas

• Duas ou mais retas são paralelas, se e somente se, tiverem coeficientes angulares iguais!

• Duas ou mais retas são concorrentes, se e somente se, tiverem coeficientes angulares diferentes!

• Duas retas são perpendiculares quando o produto entre seus coeficientes angulares for ( - 1 )! Você pode dizer também que o coeficiente angular de uma reta é o inverso negativo do coeficiente angular da outra reta!

Ângulo entre duas Retas

sr

sr

sr

sr

mm

mmarctg

mm

mmtg

11

Distância entre um Ponto e uma reta

²²,

ba

cbyaxd PP

rP

Bissetrizes de duas retas

Figura 19

EXERCÍCIOS...

Figura 20

Referências Bibliográficas• Figura 1:

http://sumateologica.files.wordpress.com/2010/09/frans_hals_portreit_rene_descartes.jpg• Figura 2: http://www.brasilescola.com/upload/e/1(25).jpg• Figuras 3, 4 e 5: http://www.google.com/images• Figura 6: http://www.somatematica.com.br/emedio/retas/Image36.gif• Gráficos 1,2,3 e 4: Software Graphmatica• Figura 7: http://www.mundoeducacao.com.br/upload/conteudo/AREA%20TRI1.JPG• Figura 8: http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/constfundamentais/mediatriz01.gif• Figuras 9,10,11, 12 e 13: http://www.google.com/images• Figura 14: http://2.bp.blogspot.com/_vNhEHA-Xo0U/• Figuras 15 e 16: http://parafernaliaartesanal.blogspot.com/• Figura 17: http://www.google.com/images• Figura 18: http://seraksei.blogspot.com/2009/02/simetria.html• Figura 19: http://alfaconnection.net/images/GAN020117a.gif• Figura 20: www.dialogocomosfilosofos.com.br/category/metodo/

• VIVEIRO, Tânia, CORRÊA, Marlene. Minimanual Compacto de Matemática. 1. ed. São Paulo, 1999.