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Geometria Analıtica e VetoresNotas de Aula
Petronio Pulino
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PULINUS
Geometria Analıtica e VetoresNotas de Aula
Petronio PulinoDepartamento de Matematica Aplicada
Instituto de Matematica, Estatıstica e Computacao Cientıfica
Universidade Estadual de Campinas
e-mail: [email protected]
www.ime.unicamp.br/∼pulino/GeometriaAnalitica/
Janeiro de 2018
Sumario
1 Matrizes e Sistemas Lineares 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Tipos Especiais de Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.5 Inversa de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.7 Matrizes em Blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.8 Operacoes Elementares. Equivalencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.10 Forma Escalonada. Forma Escada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1.11 Matrizes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.12 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
1.13 Matrizes Congruentes. Lei da Inercia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
1.14 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
1.15 Sistemas de Equacoes Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
1.16 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2 Vetores no Plano e no Espaco 111
2.1 Conceitos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2.2 Operacoes com Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.2.1 O Plano Cartesiano e o Espaco Tridimensional . . . . . . . . . . . . 116
2.2.2 Adicao de Vetores e Multiplicacao por Escalar . . . . . . . . . . . . . 119
2.2.3 Adicao de Ponto com Vetor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.4 Dependencia e Independencia Linear. Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
2.5 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
2.6 Mudanca de Base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
2.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3 Produto Escalar 151
3.1 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.2 Norma Euclidiana. Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.3 Definicao de Angulo e Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.4 Projecao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.5 Base Ortogonal. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.6 Processo de Ortogonalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
i
ii SUMARIO
3.8 Distancia de Ponto a Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4 Produto Vetorial. Produto Misto 201
4.1 Orientacao do Espaco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.3 Produto Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
4.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.5 Produto Misto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
4.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
5 Estudo da Reta no Espaco 229
5.1 Equacao Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
5.2 Posicao Relativa de Reta e Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
5.3 Angulo entre Retas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
5.4 Distancia de Ponto a Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
5.5 Distancia entre Reta e Reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6 Estudo do Plano no Espaco 259
6.1 Equacao Vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.2 Equacao Geral. Vetor Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
6.3 Posicao Relativa de Retas e Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
6.4 Angulo entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.5 Angulo entre Planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.6 Distancia de Ponto a Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
6.7 Distancia entre Reta e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.8 Distancia entre Plano e Plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
6.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
7 Mudanca de Coordenadas 301
7.1 Sistemas de Coordenadas em IE2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
7.1.1 Translacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
7.1.2 Rotacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
7.1.3 Rotacao Composta com uma Translacao . . . . . . . . . . . . . . . . 322
7.2 Sistemas de Coordenadas em IE3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
7.3 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
8 Conicas 341
8.1 Conicas – Forma Reduzida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342
8.1.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
8.1.2 Hiperbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
8.1.3 Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
8.2 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
8.3 Diagonalizacao de Matrizes Simetricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
SUMARIO iii
8.3.1 Autovalores e Autovetores de uma Matriz . . . . . . . . . . . . . . . 366
8.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
8.5 Aplicacao da Rotacao e da Translacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
8.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
8.7 Classificacao das Conicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
8.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417
Referencias Bibliograficas 419
iv SUMARIO
Petronio Pulino Geometria Analıtica e Vetores
3Produto Escalar
Sumario
3.1 Produto Escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.2 Norma Euclidiana. Metrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
3.3 Definicao de Angulo e Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.4 Projecao Ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.5 Base Ortogonal. Coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.6 Processo de Ortogonalizacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.8 Distancia de Ponto a Ponto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
151
152 Geometria Analıtica e Vetores
3.1 Produto Escalar
Na geometria Euclidiana as propriedades que nos possibilitam expressar o comprimento de
vetor e o angulo entre dois vetores sao denominadas de propriedades metricas. No estudo
do espaco de vetores V 3, em Geometria Analıtica, definimos comprimento, ou norma, de
vetores, angulo entre dois vetores e o conceito de ortogonalidade atraves do produto escalar.
Denotamos o produto escalar entre dois vetores ~u e ~v do espaco V 3 da seguinte forma:
~u � ~v ou por 〈 ~u,~v 〉 .
Neste capıtulo apresentamos um estudamos das propriedades geometricas que sao atribuıdas
ao espaco de vetores atraves do produto escalar definido nesse espaco. Mais especificamente,
estabelecemos as propriedades basicas, e suas aplicacoes, dos conceitos de norma, angulo,
ortogonalidade e projecao ortogonal determinadas ao espaco de vetores pelo produto escalar.
Definicao 3.1.1 Considere o espaco de vetores V 3. Uma aplicacao
〈 ·, · 〉 : V 3 × V 3 −→ IR
que satisfaz as seguintes propriedades:
(1) Simetria: 〈 ~u,~v 〉 = 〈~v, ~u 〉 ; ∀ ~u, ~v ∈ V 3
(2) Positividade: 〈 ~u, ~u 〉 ≥ 0 ; ∀ ~u ∈ V 3, com 〈 ~u, ~u 〉 = 0 ⇐⇒ ~u = ~0
(3) Distributividade: 〈 ~u+ ~w,~v 〉 = 〈 ~u,~v 〉 + 〈 ~w,~v 〉 ; ∀ ~u, ~v, ~w ∈ V 3
(4) Homogeneidade: 〈λ~u,~v 〉 = λ〈 ~u,~v 〉 ; ∀ ~u, ~v ∈ V 3 e λ ∈ IR
define um produto escalar no espaco de vetores V 3.
Note que com as propriedades de simetria, distributividade e homogeneidade, tem–se
(5) 〈 ~u,~v + ~w 〉 = 〈 ~u,~v 〉 + 〈 ~u, ~w 〉
(6) 〈 ~u, λ~v 〉 = λ 〈 ~u,~v 〉
para todos ~u, ~v, ~w ∈ V 3 e λ ∈ IR.
Petronio Pulino 153
De fato, com as propriedades de simetria e distributividade, obtemos
〈 ~u,~v + ~w 〉 = 〈~v + ~w, ~u 〉 = 〈~v, ~u 〉 + 〈 ~w, ~u 〉 = 〈 ~u,~v 〉 + 〈 ~u, ~w 〉 ,
e com as propriedades de simetria e homogeneidade, obtemos
〈 ~u, λ~v 〉 = 〈λ~v, ~u 〉 = λ〈~v, ~u 〉 = λ 〈 ~u,~v 〉 ,
para todos ~u, ~v, ~w ∈ V 3 e λ ∈ IR.
Assim, dizemos que o produto escalar, no espaco de vetores V 3, e uma aplicacao bilinear,
isto e, o produto escalar e uma aplicacao linear em cada uma das variaveis. Com o objetivo
de esclarecer vamos apresentar o conceito de transformacao linear.
Definicao 3.1.2 Considere o espaco de vetores V 3 e uma aplicacao de T : V 3 −→ V 3.
Dizemos que T e uma transformacao linear se possui as seguintes propriedades:
(a) T (~u + ~v) = T (~u) + T (~v) para todo ~u , ~v ∈ V 3 .
(b) T (λ~u) = λT (~u) para todo ~u ∈ V 3 e λ ∈ IR .
Das duas propriedades de transformacao linear, obtemos facilmente que
T (a~u + b~v) = a T (~u) + b T (~v)
para todo ~u, ~v ∈ V 3 e a, b ∈ IR.
Exemplo 3.1.1 Considere o espaco de vetores V 3. Definimos a transformacao linear
T : V 3 −→ V 3
~v −→ T (~v) = ~v
que e a transformacao identidade.
Exemplo 3.1.2 Considere o espaco de vetores V 3 e um escalar λ ∈ IR fixo, porem
arbitrario. Definimos a transformacao linear
T : V 3 −→ V 3
~v −→ T (~v) = λ~v
que representa uma contracao para 0 < λ < 1, e uma expansao para λ > 1.
Note que, tanto na contracao quanto na expansao, o vetor T (~v) tem a mesma direcao e
sentido do vetor v, como ilustram as Figuras 3.1 e 3.2.
154 Geometria Analıtica e Vetores
Na Figura 3.1 temos a ilustracao de uma expansao.
Or
λ~v
~v
��
����
��✒
��
���✒
Figura 3.1: Expansao (λ > 1)
Na Figura 3.2 temos a ilustracao de uma contracao.
Or
~v
λ~v
��
����
��✒
��
���✒
Figura 3.2: Contracao (0 < λ < 1)
Exemplo 3.1.3 Considere o espaco de vetores V 3. Definimos a transformacao linear
T : V 3 −→ V 3
~v −→ T (~v) = −~v
que representa uma reflexao em torno da sua origem.
Na Figura 3.3 temos a ilustracao de uma reflexao em torno da origem.
Or
~v
−~v
���
��✒
��
���✠
Figura 3.3: Reflexao em torno da origem
Tendo o conceito de transformacao linear, voltamos ao fato que o produto escalar e uma
aplicacao bilinear, isto e, e uma aplicacao linear em cada uma das variaveis. De fato, das
propriedades de produto escalar, obtemos facilmente que
1. 〈 a~u + b~v, ~w 〉 = a 〈 ~u, ~w 〉 + b 〈~v, ~w 〉
2. 〈 ~w, a~u + b~v 〉 = a 〈 ~w, ~u 〉 + b 〈 ~w,~v 〉
para todo ~u, ~v, ~w ∈ V 3 e a, b ∈ IR.
Petronio Pulino 155
Exemplo 3.1.4 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 .Dado um vetor nao–nulo ~w ∈ V 3 fixo, porem arbitrario, podemos verificar facilmente que
a transformacao T : V 3 −→ IR definida da forma:
T : V 3 −→ IR
~u −→ T (~u) = 〈 ~u, ~w 〉e uma transformacao linear.
De fato, para todo ~u, ~v ∈ V 3 e a, b ∈ IR, tem–se
T (a~u + b~v) = 〈 a~u + b~v, ~w 〉 = a 〈 ~u, ~w 〉 + b 〈~v, ~w 〉 = a T (~u) + b T (~v) ,
o que mostra que T e uma transformacao linear.
Teorema 3.1.1 Considere o espaco de vetores V 3 e os vetores genericos
~u = (x1 , x2 , x3) e ~v = (y1 , y2 , y3) .
A aplicacao
〈 ·, · 〉p : V 3 × V 3 −→ IR
(~u,~v) −→ 〈 ~u,~v 〉p = a x1 y1 + b x2 y2 + c x3 y3
para a , b , c numeros reais positivos, define um produto escalar no espaco de vetores V 3,
denominado produto escalar ponderado.
Demonstracao – A prova e feita, essencialmente, considerando que o conjunto dos numeros
reais IR e munido das seguintes propriedades:
1. Se ab = 0, entao a = 0 ou b = 0.
2. Se a < b e c > 0, entao ac < bc.
3. Se a 6= 0, entao a2 > 0.
4. Se a < b e c < 0, entao ac > bc.
5. Se a < c e b < d, entao a + b < c + d.
6. Se ab > 0, entao a e b sao positivos ou ambos sao negativos.
para todo a, b, c ∈ IR. �
Teorema 3.1.2 Considere o espaco de vetores V 3 e os vetores genericos
~u = (x1 , x2 , x3) e ~v = (y1 , y2 , y3) .
A aplicacao
〈 ·, · 〉 : V 3 × V 3 −→ IR
(~u,~v) −→ 〈 ~u,~v 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
define um produto escalar no espaco de vetores V 3.
Demonstracao – A prova segue do Teorema 3.1.1 para a = b = c = 1. �
156 Geometria Analıtica e Vetores
Exemplo 3.1.5 Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar ponderado
〈 · , · 〉p , definido da seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉p = 2x1 y1 + 4x2 y2 + 6x3 y3
para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3.
Determine o produto escalar entre os vetores:
(a) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1)
(b) ~u = (2,−1, 1) e ~v = (−4, 2,−2)
(c) ~u = (1,−1, 1) e ~v = (2, 3, 1)
Resolucao – Tomando a definicao do produto escalar ponderado dada acima, tem–se
(a) 〈 ~u,~v 〉p = 2× (1× 3) + 4× (−2×−1) + 6× (1× 1) = 6 + 8 + 6 = 20
Os itens (b) e (c) podem ficar a cargo do leitor.
Exemplo 3.1.6 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 ,definido da seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3.
Determine o produto escalar entre os vetores:
(a) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1)
(b) ~u = (2,−1, 1) e ~v = (−4, 2,−2)
(c) ~u = (1,−1, 1) e ~v = (2, 3, 1)
Resolucao – Tomando a definicao do produto escalar dada acima, tem–se
(a) 〈 ~u,~v 〉 = 1× 3 + (−2×−1) + 1× 1 = 3 + 2 + 1 = 6
Os itens (b) e (c) podem ficar a cargo do leitor.
Petronio Pulino 157
Teorema 3.1.3 (Desigualdade de Cauchy–Schwarz) Considere o espaco de vetores V 3
munido do produto escalar 〈 · , · 〉 . Entao, para todos ~u , ~v ∈ V 3 tem–se
〈 ~u,~v 〉2 ≤ 〈 ~u, ~u 〉 〈~v,~v 〉 .
Alem disso, a igualdade e valida se, e somente se, os vetores ~u e ~v sao linearmente
dependentes.
Demonstracao – Inicialmente vamos considerar que os vetores ~u e ~v sao linearmente
independentes, isto e,
~u + λ~v 6= ~0 para todo λ ∈ IR .
Desse modo, tem–se
〈 ~u + λ~v, ~u + λ~v 〉 = 〈 ~u, ~u 〉 + 〈 ~u, λ~v 〉 + 〈λ~v, ~u 〉 + λ2 〈~v,~v 〉
= 〈 ~u, ~u 〉 + 2λ 〈 ~u,~v 〉 + λ2 〈~v,~v 〉 > 0
e uma inequacao de segundo grau na variavel λ.
Assim, a equacao do segundo grau na variavel λ
〈 ~u, ~u 〉 + 2λ 〈 ~u,~v 〉 + λ2 〈~v,~v 〉 = 0 (3.1)
nao possui raızes reais. Note que a equacao do segundo grau dada em (3.1) pode ser escrita
da seguinte forma:
aλ2 + bλ + c = 0 ,
onde a = 〈~v,~v 〉 > 0, b = 2 〈 ~u,~v 〉 e c = 〈 ~u, ~u 〉 > 0. Na figura abaixo ilustramos o
grafico da funcao quadratica ϕ(λ) = aλ2 + bλ + c para λ ∈ IR.
✲
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0
.
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................................................
λ
ϕ
158 Geometria Analıtica e Vetores
Portanto, devemos ter
4 〈 ~u,~v 〉2 − 4 〈 ~u, ~u 〉 〈~v,~v 〉 < 0 ⇐⇒ 〈 ~u,~v 〉2 < 〈 ~u, ~u 〉 〈~v,~v 〉 ,
provando a validade da desigualdade para vetores linearmente independentes.
No caso em que os vetores ~u e ~v sao linearmente dependentes, existe um unico escalar λ
de modo que
~u + λ~v = ~0 .
Desse modo, a funcao quadratica ϕ tem λ como sua unica raiz, como ilustra a figura abaixo.
✲
✻
0
.
................................................
.............................................
..........................................
.......................................
...................................
................................
.............................
..........................
.......................
...................
................................... ................ .............. .............. ................
...................................
...................
.......................
..........................
.............................
................................
...................................
.......................................
..........................................
.............................................
................................................
λ
λ
ϕ
Assim, tem–se
4 〈 ~u,~v 〉2 − 4 〈 ~u, ~u 〉 〈~v,~v 〉 = 0 ⇐⇒ 〈 ~u,~v 〉2 = 〈 ~u, ~u 〉 〈~v,~v 〉 ,
o que mostra a validade da igualdade para vetores linearmente dependentes, completando a
demonstracao. �
Petronio Pulino 159
Exemplo 3.1.7 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 ,definido da seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3.
Verifique a desigualdade de Cauchy–Schwarz para os seguintes vetores:
(a) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1)
(b) ~u = (2,−1, 1) e ~v = (4,−2, 2)
Resolucao – Vamos verificar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para os vetores
~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1) .
Para isso, necessitamos dos seguintes calculos:
〈 ~u,~v 〉 = 6 , 〈 ~u, ~u 〉 = 6 e 〈~v,~v 〉 = 11 .
Assim, tem–se
62 < 6× 11 .
O item (b) pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 3.1.8 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar ponderado
〈 · , · 〉p , definido da seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉p = 2x1 y1 + 4x2 y2 + 6x3 y3
para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3.
Verifique a desigualdade de Cauchy–Schwarz para os seguintes vetores:
(a) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1)
(b) ~u = (2,−1, 1) e ~v = (4,−2, 2)
Resolucao – Vamos verificar a desigualdade de Cauchy–Schwarz para os vetores
~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1) .
Para isso, necessitamos dos seguintes calculos:
〈 ~u,~v 〉p = 20 , 〈 ~u, ~u 〉p = 24 e 〈~v,~v 〉p = 28 .
Assim, tem–se
202 < 24× 28 .
O item (b) pode ficar a cargo do leitor.
160 Geometria Analıtica e Vetores
3.2 Norma Euclidiana. Metrica
Definicao 3.2.1 (Norma) Considere o espaco de vetores V 3. Uma aplicacao
‖ · ‖ : V 3 −→ IR
~u −→ ‖ ~u ‖
que satisfaz as seguintes propriedades:
(a) Positividade:
‖ ~u ‖ ≥ 0 para todo ~u ∈ V 3, com ‖ ~u ‖ = 0 ⇐⇒ ~u = ~0
(b) Homogeneidade:
‖λ~u ‖ = |λ | ‖ ~u ‖ para todo ~u ∈ V 3 , λ ∈ IR
(c) Desigualdade Triangular:
‖ ~u + ~v ‖ ≤ ‖ ~u ‖ + ‖~v ‖ para todo ~u , ~v ∈ V 3
define uma norma no espaco de vetores V 3.
Definicao 3.2.2 (Distancia) Considere o espaco de vetores V 3. Uma aplicacao
d(·, ·) : V 3 × V 3 −→ IR
(~u,~v) −→ d(~u,~v)
que satisfaz as seguintes propriedades:
(a) Positividade:
d(~u,~v) ≥ 0 para todo ~u, ~v ∈ V 3, com d(~u,~v) = 0 ⇐⇒ ~u = ~v
(b) Simetria:
d(~u,~v) = d(~v, ~u) para todo ~u, ~v ∈ V 3
(c) Desigualdade Triangular:
d(~u,~v) ≤ d(~u, ~w) + d(~v, ~w) para todo ~u, ~v, ~w ∈ V 3
define uma metrica, ou uma distancia, no espaco de vetores V 3.
Petronio Pulino 161
Teorema 3.2.1 (Norma Euclidiana) Considere o espaco de vetores V 3 munido com o
produto escalar 〈 · , · 〉 . A aplicacao
‖ · ‖ : V 3 −→ IR
~u −→ ‖ ~u ‖ =√
〈 ~u, ~u 〉
define uma norma no espaco de vetores V 3.
Demonstracao – As propriedades (a) e (b) seguem das propriedades de positividade e
homogeneidade do produto escalar.
Para provar que a aplicacao ‖ · ‖ satisfaz a propriedade da desigualdade triangular, vamos
utilizar a desigualdade de Cauchy–Schwarz escrita da forma:
〈 ~u,~v 〉2 ≤ 〈 ~u, ~u 〉 〈~v,~v 〉 ⇐⇒ | 〈 ~u,~v 〉 | ≤ ‖ ~u ‖ ‖~v ‖ para todo ~u , ~v ∈ V 3 .
Com algumas manipulacoes algebricas, obtemos
‖ ~u + ~v ‖2 = 〈 ~u + ~v, ~u + ~v 〉 = 〈 ~u, ~u 〉 + 〈 ~u,~v 〉 + 〈~v, ~u 〉 + 〈~v,~v 〉 .
Fazendo uso da propriedade de simetria do produto escalar, tem–se
‖ ~u + ~v ‖2 = 〈 ~u, ~u 〉 + 2 〈 ~u,~v 〉 + 〈~v,~v 〉 = ‖ ~u ‖2 + 2 〈 ~u,~v 〉 + ‖~v ‖2 .
Tomando o modulo do segundo termo do membro da direita da equacao acima, obtemos
‖ ~u + ~v ‖2 ≤ ‖ ~u ‖2 + 2 | 〈 ~u,~v 〉 | + ‖~v ‖2 .
Utilizando a desigualdade de Cauchy–Schwarz, obtemos
‖ ~u+ ~v ‖2 ≤ ‖ ~u ‖2 + 2 ‖ ~u ‖ ‖~v ‖ + ‖~v ‖2 = ( ‖ ~u ‖ + ‖~v ‖ )2 .
Portanto
‖ ~u+ ~v ‖2 ≤ ( ‖ ~u ‖ + ‖~v ‖ )2 =⇒ ‖ ~u+ ~v ‖ ≤ ‖ ~u ‖ + ‖~v ‖
provando a desigualdade triangular, o que completa a demonstracao. �
162 Geometria Analıtica e Vetores
Exemplo 3.2.1 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 ,definido da seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, e a norma ‖ · ‖ proveniente desse
produto escalar, isto e,
‖ ~x ‖ =√
〈 ~x, ~x 〉 para todo ~x ∈ V 3 .
Determine a norma dos seguintes vetores:
(a) ~u = (1,−2, 1)
(b) ~v = (−4, 2,−2)
(c) ~w = (1,−1, 1)
Resolucao – Tomando a definicao da norma dada acima, tem–se
(a) ‖ ~u ‖ =√
〈 ~u, ~u 〉 =√6
Os itens (b) e (c) podem ficar a cargo do leitor.
Exemplo 3.2.2 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar ponderado
〈 · , · 〉p , definido da seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉p = 2x1 y1 + 4x2 y2 + 6x3 y3
para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, e a norma ‖ · ‖ proveniente desse
produto escalar, isto e,
‖ ~x ‖ =√
〈 ~x, ~x 〉p para todo ~x ∈ V 3 .
Determine a norma dos seguintes vetores:
(a) ~u = (1,−2, 1)
(b) ~v = (−4, 2,−2)
(c) ~w = (1,−1, 1)
Resolucao – Tomando a definicao da norma dada acima, tem–se
(a) ‖ ~u ‖ =√
〈 ~u, ~u 〉p =√24 = 2
√6
Os itens (b) e (c) podem ficar a cargo do leitor.
Petronio Pulino 163
Definicao 3.2.3 Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 e da
norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Dizemos que o vetor ~u ∈ V 3 e um vetor
unitario se, e somente se, ‖ ~u ‖ = 1.
Definicao 3.2.4 Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 e da
norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar, e o vetor ~u ∈ V 3 nao–nulo. O vetor unitario
~n ∈ V 3 definido da forma:
~n =~u
‖ ~u ‖
e denominado versor do vetor ~u.
Exemplo 3.2.3 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 ,definido da seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, e a norma ‖ · ‖ proveniente desse
produto escalar, isto e,
‖ ~x ‖ =√
〈 ~x, ~x 〉 para todo ~x ∈ V 3 .
Determine o versor dos seguintes vetores:
(a) ~u = (1,−2, 1)
(b) ~v = (−4, 2,−2)
(c) ~w = (1,−1, 1)
Resolucao – Os exemplos devem ser resolvidos cuidadosamente junto com a classe.
Exemplo 3.2.4 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar ponderado
〈 · , · 〉p , definido da seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉p = 2x1 y1 + 3x2 y2 + 5x3 y3
para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, e a norma ‖ · ‖ proveniente desse
produto escalar, isto e,
‖ ~x ‖ =√
〈 ~x, ~x 〉p para todo ~x ∈ V 3 .
Determine o versor dos seguintes vetores:
(a) ~u = (1,−2, 1)
(b) ~v = (−4, 2,−2)
(c) ~w = (1,−1, 1)
Resolucao – Os exemplos devem ser resolvidos cuidadosamente junto com a classe.
164 Geometria Analıtica e Vetores
Teorema 3.2.2 (Distancia Euclidiana) Considere o espaco de vetores V 3 munido com
o produto escalar 〈 · , · 〉 e com a norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. A aplicacao
d(·, ·) : V 3 × V 3 −→ IR
(~u,~v) −→ d(~u,~v) = ‖ ~u − ~v ‖
define uma metrica no espaco de vetores V 3.
Demonstracao – A prova pode ficar a cargo do leitor. �
Apresentamos a seguir uma interpretacao geometrica para a distancia Euclidiana. Considere
o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 , definido da seguinte forma:
〈 ~u,~v 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
para todo ~u = (x1 , x2 , x3) , ~v = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, e da norma ‖ · ‖ proveniente desse
produto escalar, isto e,
‖ ~u ‖ =√
〈 ~u, ~u 〉 =√
(x1)2 + (x2)2 + (x3)2 para todo ~u ∈ V 3 .
Desse modo, distancia Euclidiana entre os vetores ~u, ~v ∈ V 3, isto e,
d(~u,~v) = ‖ ~u − ~v ‖ =√
(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + (x3 − y3)2
definida pela norma Euclidiana, representa a distancia entre as extremidades dos vetores
~u =−−→OB e ~v =
−→OA, isto e, o comprimento do segmento AB, como ilustra a Figura 3.4.
r✁✁✁✁✁✁✁✁✁✁✁✁✕
✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✯
~u
~v
❅❅❅
❅❅❅❘
~u −~v
O
rA
rB
Figura 3.4: Distancia Euclidiana entre os vetores ~u, ~v ∈ V 3
E importante recordar que o vetor diferenca entre os vetores
~u = (x1 , x2 , x3) e ~v = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3 ,
e expresso da seguinte forma:
~u − ~v = (x1 − y1 , x2 − y2 , x3 − y3) .
Alem disso, nao podemos esquecer que a distancia Euclidiana depende o produto escalar
definido no espaco de vetores, como veremos nos exemplos a seguir.
Petronio Pulino 165
Exemplo 3.2.5 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 ,definido da seguinte forma:
〈 ~u,~v 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
para todo ~u = (x1 , x2 , x3) , ~v = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, e a norma ‖ · ‖ proveniente desse
produto escalar, isto e,
‖ ~u ‖ =√
〈 ~u, ~u 〉 =√
(x1)2 + (x2)2 + (x3)2 para todo ~u ∈ V 3 .
Determine a distancia Euclidiana entre os vetores:
(a) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1)
(b) ~u = (2,−1, 1) e ~v = (−4, 2,−2)
(c) ~u = (1,−1, 1) e ~v = (2, 3, 1)
Resolucao – Os exemplos devem ser resolvidos cuidadosamente junto com a classe.
Exemplo 3.2.6 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar ponderado
〈 · , · 〉p , definido da seguinte forma:
〈 ~u,~v 〉p = 2x1 y1 + 3x2 y2 + 5x3 y3
para todo ~u = (x1 , x2 , x3) , ~v = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, e a norma ‖ · ‖ proveniente desse
produto escalar, isto e,
‖ ~u ‖ =√
〈 ~u, ~u 〉p =√
2(x1)2 + 3(x2)2 + 4(x3)2 para todo ~u ∈ V 3 .
Determine a distancia Euclidiana entre os vetores:
(a) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1)
(b) ~u = (2,−1, 1) e ~v = (−4, 2,−2)
(c) ~u = (1,−1, 1) e ~v = (2, 3, 1)
Resolucao – Os exemplos devem ser resolvidos cuidadosamente junto com a classe.
166 Geometria Analıtica e Vetores
3.3 Definicao de Angulo e Ortogonalidade
Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 e com a norma ‖ · ‖proveniente desse produto escalar. Podemos mostrar que, para quaisquer vetores nao–nulos
~u, ~v ∈ V 3 o quociente〈 ~u,~v 〉
‖ ~u ‖ ‖~v ‖ ∈ [−1, 1] .
De fato, pela desigualdade de Cauchy–Schwarz, sabemos que
〈 ~u,~v 〉2 ≤ 〈 ~u, ~u 〉 〈~v,~v 〉 ⇐⇒ | 〈 ~u,~v 〉 | ≤ ‖ ~u ‖ ‖~v ‖ ⇐⇒ | 〈 ~u,~v 〉 |‖ ~u ‖ ‖~v ‖ ≤ 1 .
Desse modo, existe um numero real θ ∈ [0, 2π] tal que
〈 ~u,~v 〉‖ ~u ‖ ‖~v ‖ = cos(θ) .
Alem disso, existe um unico valor θ ∈ [0, π] satisfazendo a igualdade. Assim, podemos ter
a nocao de angulo entre dois vetores de espaco V 3 , que sera compatıvel com a definicao de
ortogonalidade que apresentamos a seguir.
Definicao 3.3.1 (Angulo) Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar
〈 · , · 〉 e com a norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. A medida do angulo entre
dois vetores nao–nulos ~u, ~v ∈ V 3 e definido como sendo o valor θ ∈ [0, π] que satisfaz a
equacao
cos(θ) =〈 ~u,~v 〉
‖ ~u ‖ ‖~v ‖ ⇐⇒ 〈 ~u,~v 〉 = ‖ ~u ‖ ‖~v ‖ cos(θ) . (3.2)
E importante observar que estamos considerando o menor angulo entre os vetores, como
ilustra a Figura 3.5.
q✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✯
✁✁✁✁✁✁✁✁✁✁✕
~u
~v
θ
...................
..................
.................
.................
....................................
O
Figura 3.5: Angulo entre dois vetores
E importante ressaltar que o conceito de angulo entre dois vetores depende do produto
escalar definido no espaco de vetores. Assim, o produto escalar define uma geometria no
espaco de vetores, como veremos nos exemplos a seguir.
Petronio Pulino 167
Exemplo 3.3.1 Considere o espaco de vetores V 2 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 ,definido da seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2
para todo ~x = (x1 , x2) , ~y = (y1 , y2) ∈ V 2, e da norma ‖ · ‖ proveniente desse produto
escalar. Determine a medida em graus do angulo entre os vetores ~u ,~v ∈ V 3 dados por:
~u = (2, 0) e ~v = (1, 1) .
Resolucao – Considerando a equacao (3.2), tem–se
cos(θ) =〈 ~u,~v 〉
‖ ~u ‖ ‖~v ‖ =2
2×√2
=
√2
2⇐⇒ θ = 45o ,
como ilustra a Figura 3.6.
✲
✻
0r ✲���✒
~u
~v
θ
.
.................
..................
..................
.................
Figura 3.6: Angulo entre dois vetores ~u, ~v ∈ V 2
Exemplo 3.3.2 Considere o espaco de vetores V 2 munido com o produto escalar ponderado
〈 · , · 〉p , definido da seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉p = 2x1 y1 + 3x2 y2
para todo ~x = (x1 , x2) , ~y = (y1 , y2) ∈ V 2, e da norma ‖ · ‖ proveniente desse produto
escalar. Determine a medida em graus do angulo entre os vetores ~u ,~v ∈ V 3 dados por:
~u = (2, 0) e ~v = (1, 1) .
Resolucao – Considerando a equacao (3.2), tem–se
cos(θ) =〈 ~u,~v 〉p‖ ~u ‖ ‖~v ‖ =
4
(2×√2)×
√5
=
√10
5⇐⇒ θ ≈ 50.7685o .
Vamos comparar os resultados obtidos nos exemplos 3.3.1 e 3.3.2, nos quais consideramos os
mesmos vetores, entretanto os espacos de vetores V 3 estao munidos com produtos escalares
diferentes. No exemplo 3.3.2 o angulo entre os vetores ~u, ~v e maior que o angulo obtido no
exemplo 3.3.1. No exemplo 3.3.2 e como estar olhando o espaco de vetores V 3 com uma
lupa, como consequencia do produto escalar ponderado definido no espaco.
168 Geometria Analıtica e Vetores
Definicao 3.3.2 (Ortogonalidade) Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto
escalar 〈 · , · 〉 . Dizemos que os vetores ~u, ~v ∈ V 3 sao ortogonais se, e somente se,
〈 ~u,~v 〉 = 0 ,
e denotamos por ~u ⊥ ~v.
Podemos observar facilmente que
〈 ~u,~v 〉 = 0 ⇐⇒ cos(θ) = 0 ⇐⇒ θ =π
2para 0 ≤ θ ≤ π ,
mostrando a compatibilidade entre os conceitos de angulo e de ortogonalidade.
Teorema 3.3.1 Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 .Temos as seguintes propriedades:
1. ~0 ⊥ ~v para todo ~v ∈ V 3
2. ~u ⊥ ~v implica ~v ⊥ ~u
3. Se ~v ⊥ ~u para todo ~u ∈ V 3, entao ~v = ~0
4. Se ~v ⊥ ~w e ~u ⊥ ~w, entao (~v + ~u) ⊥ ~w
5. Se ~v ⊥ ~u, entao λ~v ⊥ ~u para todo λ ∈ IR
Demonstracao – 1. Considerando um vetor nao–nulo ~u ∈ V 3 fixo, porem arbitrario.
Podemos escrever o vetor nulo como ~0 = ~u − ~u. Assim, utilizando o vetor nulo escrito
dessa forma, e a linearidade do produto escalar, obtemos
〈~0, ~v 〉 = 〈 ~u − ~u,~v 〉 = 〈 ~u,~v 〉 − 〈 ~u,~v 〉 = 0 para todo ~v ∈ V 3 ,
provando que ~0 ⊥ ~v para todo ~v ∈ V 3.
2. Considere ~u ⊥ ~v, isto e, 〈 ~u,~v 〉 = 0. Utilizando a simetria do produto escalar, segue
que 〈~v, ~u 〉 = 0. Assim, provamos ~v ⊥ ~u. O item 3. segue imediato do item 1.
4. Considere que ~v ⊥ ~w e ~u ⊥ ~w, isto e,
〈~v, ~w 〉 = 0 e 〈 ~u, ~w 〉 = 0 .
Somando ambos os termos, e usando a linearidade do produto escalar, obtemos
〈~v, ~w 〉 + 〈 ~u, ~w 〉 = 0 ⇐⇒ 〈~v + ~u, ~w 〉 = 0 ⇐⇒ ~v + ~u ⊥ ~w .
5. Considere que ~v ⊥ ~u, isto e, 〈~v, ~u 〉 = 0. Assim, usando a homogeneidade do produto
escalar, obtemos
λ〈~v, ~u 〉 = 0 ⇐⇒ 〈λ~v, ~u 〉 = 0 ⇐⇒ λ~v ⊥ ~u para todo λ ∈ IR ,
o que completa a demonstracao. �
Petronio Pulino 169
Exemplo 3.3.3 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 ,definido da seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, e da norma ‖ · ‖ proveniente desse
produto escalar. Determine a medida em graus do angulo entre os vetores:
(a) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1)
(b) ~u = (2,−1, 1) e ~v = (−4, 2,−2)
(c) ~u = (1,−1, 1) e ~v = (2, 3, 1)
Exemplo 3.3.4 Considere o espaco de vetores V 2 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 ,definido da seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2
para todo ~x = (x1 , x2) , ~y = (y1 , y2) ∈ V 2, e da norma ‖ · ‖ proveniente desse produto
escalar. Determine a medida em graus do angulo entre os vetores:
(a) ~u = (1,−2) e ~v = (−1, 1)
(b) ~u = (1, 1) e ~v = (2,−2)
(c) ~u = (1, 1) e ~v = (0, 1)
Exemplo 3.3.5 Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar ponderado
〈 · , · 〉p , definido da seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉p = 2x1 y1 + 4x2 y2 + 6x3 y3
para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, e da norma ‖ · ‖ proveniente desse
produto escalar. Determine a medida em graus do angulo entre os vetores:
(a) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1)
(b) ~u = (2,−1, 1) e ~v = (−4, 2,−2)
(c) ~u = (1,−1, 1) e ~v = (2, 3, 1)
Exemplo 3.3.6 Considere o espaco de vetores V 2 munido com o produto escalar ponderado
〈 · , · 〉p , definido da seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉p = 2x1 y1 + 4x2 y2
para todo ~x = (x1 , x2) , ~y = (y1 , y2) ∈ V 2, e da norma ‖ · ‖ proveniente desse produto
escalar. Determine a medida em graus do angulo entre os vetores:
(a) ~u = (1,−2) e ~v = (−1, 1)
(b) ~u = (1, 1) e ~v = (2,−2)
(c) ~u = (1, 1) e ~v = (0, 1)
170 Geometria Analıtica e Vetores
Definicao 3.3.3 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 .Dizemos que o conjunto de vetores nao–nulos β = { ~u1, ~u2, ~u3 } ⊂ V 3 e um conjunto
ortogonal se, e somente se, 〈 ~ui, ~uj 〉 = 0 para i 6= j, i, j = 1, 2, 3.
Definicao 3.3.4 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 eda norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Dizemos que o conjunto de vetores
β = { ~u1, ~u2, ~u3 } ⊂ V 3 e um conjunto ortonormal se, e somente se,
〈 ~ui, ~uj 〉 = 0 para i 6= j, i, j = 1, 2, 3, e ‖ ~ui ‖ = 1 para i = 1, 2, 3 .
Teorema 3.3.2 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 e danorma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Seja β = { ~u1, ~u2, ~u3 } ⊂ V 3 um conjunto
ortogonal (ortonormal). Entao, β e um conjunto linearmente independente em V 3.
Demonstracao – Para mostrar que β e um conjunto linearmente independente, basta
mostrar que a equacao
c1~u1 + c2~u2 + c3~u2 = ~0
e satisfeita somente para c1 = c2 = c3 = 0. Fazendo o produto escalar de ambos os
membros da equacao acima por cada um dos vetores do conjunto β,
〈 c1~u1 + c2~u2 + c3~u3, ~ui 〉 = 〈~0, ~ui 〉 ,
e utilizando as propriedades de produto escalar, tem–se
c1〈 ~u1, ~ui 〉 + c2〈 ~u2, ~ui 〉 + c3〈 ~u3, ~ui 〉 = 0 .
Utilizando a hipotese que β e um conjunto ortogonal, obtemos
ci〈 ~ui, ~ui 〉 = 0 ⇐⇒ ci = 0 para i = 1, 2, 3 ,
uma vez que 〈 ~ui, ~ui 〉 6= 0, o que completa a demonstracao. �
Exemplo 3.3.7 Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 definidoda seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, e da norma ‖ · ‖ proveniente desse
produto escalar. Podemos verificar facilmente que o conjunto β = { ~u1, ~u2, ~u3 }, onde
~u1 = (4, 1,−2) , ~u2 = (1, 2, 3) e ~u3 = (1,−2, 1) ,
e um conjunto ortogonal no espaco de vetores V 3 com relacao a produto escalar definido.
Petronio Pulino 171
Teorema 3.3.3 (Teorema de Pitagoras) Considere o espaco de vetores V 3 munido do
produto escalar 〈 · , · 〉 e da norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Entao, os vetores
~u , ~v ∈ V 3 sao ortogonais se, e somente se,
‖ ~u + ~v ‖2 = ‖ ~u ‖2 + ‖~v ‖2 .
Demonstracao – Fazendo uso da definicao de norma Euclidiana e das propriedades de
produto escalar, obtemos
‖ ~u + ~v ‖2 = 〈 ~u + ~v, ~u + ~v 〉 = 〈 ~u, ~u 〉 + 2 〈 ~u,~v 〉 + 〈~v,~v 〉 .
Portanto,
‖ ~u + ~v ‖2 = ‖ ~u ‖2 + ‖~v ‖2 ⇐⇒ 〈 ~u,~v 〉 = 0 ⇐⇒ ~u ⊥ ~v ,
o que completa a demonstracao. �
Teorema 3.3.4 (Lei do Paralelogramo) Considere o espaco de vetores V 3 munido do
produto escalar 〈 · , · 〉 e da norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Entao, para todo
~u, ~v ∈ V 3 tem–se
‖ ~u + ~v ‖2 + ‖ ~u − ~v ‖2 = 2 ‖ ~u ‖2 + 2 ‖~v ‖2 .
Demonstracao – A prova pode ficar a cargo do leitor. �
Proposicao 3.3.1 (Lei dos Cossenos) Considere o espaco de vetores V 3 munido com
o produto escalar 〈 · , · 〉 e da norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar, e os vetores
~u, ~v ∈ V 3 nao–nulos. Se θ e o angulo entre os vetores ~u e ~v, entao
‖ ~u ± ~v ‖2 = ‖ ~u ‖2 + ‖~v ‖2 ± 2 ‖ ~u ‖ ‖~v ‖ cos(θ) .
Demonstracao – Com algumas manipulacoes algebricas obtemos
‖ ~u ± ~v ‖2 = 〈 ~u + ~v, ~u + ~v 〉 = 〈 ~u, ~u 〉 ± 2 〈 ~u,~v 〉 + 〈~v,~v 〉 .
Da definicao de angulo entre os vetores ~u e ~v, equacao (3.2), tem–se
〈 ~u,~v 〉 = ‖ ~u ‖ ‖~v ‖ cos(θ) ,
que substituindo na equacao acima, obtemos
‖ ~u ± ~v ‖2 = ‖ ~u ‖2 + ‖~v ‖2 ± 2 ‖ ~u ‖ ‖~v ‖ cos(θ) ,
o que completa a demonstracao. �
172 Geometria Analıtica e Vetores
3.4 Projecao Ortogonal
Definicao 3.4.1 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 eda norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar, e os vetores ~u , ~v ∈ V 3 nao–nulos. A
projecao ortogonal do vetor ~u na direcao do vetor ~v, que vamos indicar pelo vetor ~u1, e
definida da seguinte forma:
~u1 =−−→proj~v(~u) =
〈 ~u,~v 〉〈~v,~v 〉 ~v , (3.3)
onde o parametro λ∗ =〈 ~u,~v 〉〈~v,~v 〉 e o coeficiente da projecao ortogonal.
De fato, a projecao ortogonal do vetor ~u na direcao do vetor ~v, e um vetor λ∗~v de modo
que ~u = λ∗~v + ~w onde o vetor ~w e ortogonal ao vetor ~v, como ilustra a Figura 3.7.
Desse modo, tem–se
~w = ( ~u − λ∗~v ) ⊥ ~v ⇐⇒ 〈 ( ~u − λ∗~v ), ~v 〉 = 0 .
Portanto, da equacao acima, obtemos
〈 ( ~u − λ∗~v ), ~v 〉 = 0 ⇐⇒ λ∗ =〈 ~u,~v 〉〈~v,~v 〉 .
r ✲����
�����✒~u
~v
✻
~w
✲λ∗~vO
Figura 3.7: Projecao Ortogonal
Exemplo 3.4.1 Considere o espaco de vetores V 2 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 ,definido da seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2
para todo ~x = (x1 , x2) , ~y = (y1 , y2) ∈ V 2, e da norma ‖ · ‖ proveniente desse produto
escalar. Determine a projecao ortogonal do vetor ~u ∈ V 2 na direcao do vetor ~v ∈ V 2,
dados por:
~u = (1, 3) e ~v = (3, 1) .
Resolucao – Considerando a definicao 3.4.1, sabemos que a projecao ortogonal do vetor
~u ∈ V 2 na direcao do vetor ~v ∈ V 2, nao–nulo, e o vetor ~u1 ∈ V 2 dado por:
~u1 =−−→proj~v(~u) =
〈 ~u,~v 〉〈~v,~v 〉 ~v =
6
10(3, 1) =
(
9
5,3
5
)
.
Petronio Pulino 173
Exemplo 3.4.2 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 ,definido da seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, e da norma ‖ · ‖ proveniente desse
produto escalar. Determine a projecao ortogonal do vetor ~u na direcao do vetor ~v:
(a) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1)
(b) ~u = (2,−1, 1) e ~v = (−4, 2,−2)
(c) ~u = (2, 3, 7) e ~v = (1, 1, 1)
Resolucao – Da definicao 3.4.1 sabemos que a projecao ortogonal do vetor ~u ∈ V 3 sobre
o vetor ~v ∈ V 3, nao–nulo, e o vetor dado por:
~u1 =−−→proj~v(~u) =
〈 ~u,~v 〉〈~v,~v 〉 ~v ,
(a) ~u1 =〈 ~u,~v 〉〈~v,~v 〉 ~v =
6
11(3,−1, 1)
A resolucao dos itens (b) e (c) deve ser feita junto com a classe.
Exemplo 3.4.3 Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar ponderado
〈 ·, · 〉p, definido da seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉p = 2x1 y1 + 3x2 y2 + 5x3 y3
para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, e da norma ‖ · ‖ proveniente desse
produto escalar. Determine a projecao ortogonal do vetor ~u na direcao do vetor ~v:
(a) ~u = (1,−2, 1) e ~v = (3,−1, 1)
(b) ~u = (2,−1, 1) e ~v = (−4, 2,−2)
(c) ~u = (2, 3, 7) e ~v = (1, 1, 1)
Resolucao – Da definicao 3.4.1 sabemos que a projecao ortogonal do vetor ~u ∈ V 3 sobre
o vetor ~v ∈ V 3, nao–nulo, com relacao ao produto escalar ponderado, e o vetor dado por:
~u1 =−−→proj~v(~u) =
〈 ~u,~v 〉p〈~v,~v 〉p
~v ,
(a) ~u1 =〈 ~u,~v 〉p〈~v,~v 〉p
~v =17
14(3,−1, 1)
A resolucao dos itens (b) e (c) deve ser feita junto com a classe. E sempre importante
ressaltar que a geometria do espaco de vetores V 3 depende do produto escalar definido
nesse espaco, como mostram os resultados dos dois exemplos anteriores.
174 Geometria Analıtica e Vetores
Problema de Minimizacao
Teorema 3.4.1 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 eda norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar, os vetores ~u , ~v ∈ V 3 nao–nulos e o vetor
~u1 = λ∗ ~v ∈ V 3 a projecao ortogonal do vetor ~u na direcao do vetor ~v, isto e,
~w = ~u − λ∗ ~v ⊥ ~v com λ∗ =〈 ~u,~v 〉〈~v,~v 〉 . (3.4)
Considere a funcao auxiliar ϕ : IR −→ IR definida da seguinte forma:
ϕ(λ) = ‖ ~u − λ~v ‖2 . (3.5)
Entao, λ∗ e um ponto de mınimo global da funcao ϕ, isto e,
ϕ(λ∗) ≤ ϕ(λ) para λ ∈ IR . (3.6)
Demonstracao – Vamos escrever a funcao ϕ da seguinte forma:
ϕ(λ) = ‖ ~u − λ~v ‖2 = 〈 ~u − λ~v, ~u − λ~v 〉 .
Com algumas manipulacoes algebricas, obtemos
ϕ(λ) = 〈 ~u, ~u 〉 − 2λ 〈 ~u,~v 〉 + λ2 〈~v,~v 〉 .
Fazendo ϕ′(λ) = 0, obtemos o ponto crıtico λ∗ da forma:
−2 〈 ~u,~v 〉 + 2λ 〈~v,~v 〉 = 0 ⇐⇒ λ∗ =〈 ~u,~v 〉〈~v,~v 〉 . (3.7)
Analisando o sinal da segunda derivada da funcao auxiliar ϕ, ϕ′′(λ) = 2 〈~v,~v 〉 > 0 para
todo λ ∈ IR, mostramos que o ponto crıtico λ∗ e um ponto de mınimo global para a funcao
auxiliar ϕ, como ilustra a Figura 3.8. �
✲
✻
0
.
................................................
.............................................
..........................................
.......................................
...................................
................................
.............................
..........................
.......................
...................
................................... ................ .............. .............. ................
...................................
...................
.......................
..........................
.............................
................................
...................................
.......................................
..........................................
.............................................
................................................
λ∗
λ
ϕ
Figura 3.8: Grafico e ponto de mınimo da funcao auxiliar ϕ.
E importante observar, que utilizando a definicao de distancia Euclidiana entre dois vetores,
Teorema 3.2.2, podemos interpretar a minimizacao da funcao auxiliar ϕ como sendo a
minimizacao da distancia entre a extremidade do vetor ~u e a extremidade de qualquer vetor
λ~v que estao na direcao do vetor ~v.
Petronio Pulino 175
3.5 Base Ortogonal. Coordenadas
Definicao 3.5.1 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 eda norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Dizemos que β = { ~u1, ~u2, ~u3 } ⊂ V 3 e
uma base ortogonal (ortonormal) se β e um conjunto ortogonal (ortonormal) em V 3.
Teorema 3.5.1 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 eda norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Seja β = { ~u1, ~u2, ~u3 } ⊂ V 3 uma base
base ortogonal para V 3. Entao, todo vetor ~u ∈ V 3 e escrito de modo unico da forma:
~u = c1~u1 + c2~u2 + c3~u3 com ci =〈 ~u, ~ui 〉〈 ~ui, ~ui 〉
, (3.8)
onde c1, c2, c3 sao as coordenadas do vetor ~u com relacao a base ortogonal β. No caso em
que β e uma base ortonormal para V 3 as coordenadas do vetor ~u sao dadas por:
ci = 〈 ~u, ~ui 〉 para i = 1, 2, 3 .
Demonstracao – Pelo Teorema 2.4.1 sabemos que todo vetor ~u ∈ V 3 pode ser escrito de
modo unico como uma combinacao linear dos vetores da base ortogonal β = { ~u1, ~u2, ~u3 },isto e,
~u = c1~u1 + c2~u2 + c3~u3 .
Fazendo o produto escalar do vetor ~u por cada um dos vetores ~ui da base ortogonal, tem–se
〈 ~u, ~ui 〉 = 〈 c1~u1 + c2~u2 + c3~u3, ~ui 〉 = c1〈 ~u1, ~ui 〉 + c2〈 ~u2, ~ui 〉 + c3〈 ~u3, ~ui 〉 = ci〈 ~ui, ~ui 〉
uma vez que 〈 ~uj, ~ui 〉 = 0 para i 6= j, i, j = 1, 2, 3. Assim, obtemos
ci =〈 ~u, ~ui 〉〈 ~ui, ~ui 〉
para i = 1, 2, 3 .
Considerando que a base β seja ortonormal, obtemos
ci = 〈 ~u, ~ui 〉 para i = 1, 2, 3 ,
uma vez que 〈 ~ui, ~ui 〉 = 1 para i = 1, 2, 3, o que completa a demonstracao. �
E importante lembrar que a matriz de coordenadas do vetor ~u com relacao a base ordenada
β e escrita da seguinte forma:
[~u]β =
c1c2c3
. (3.9)
176 Geometria Analıtica e Vetores
Teorema 3.5.2 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 e danorma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Seja β = { ~u1, ~u2, ~u3 } uma base ortonormal
para V 3, e os vetor ~u, ~v ∈ V 3 escritos em relacao a base ortonormal β da forma:
~u = b1~u1 + b2~u2 + b3~u3 e ~v = c1~u1 + c2~u2 + c3~u3 ,
onde as coordenadas dos vetores ~u e ~v com relacao a base ortonormal β sao dados por:
bi = 〈 ~u, ~ui 〉 e ci = 〈~v, ~ui 〉 para i = 1, 2, 3 .
Entao, o produto escalar entre os vetores ~u e ~v e escrito de modo unico da forma:
〈 ~u,~v 〉 = b1 c1 + b2 c2 + b3 c3 .
Demonstracao – Fazendo o produto escalar entre os vetores ~u e ~v, obtemos
〈 ~u,~v 〉 = 〈3
∑
i=1
bi~ui,
3∑
j=1
cj~uj 〉
=3
∑
i=1
3∑
j=1
bi cj 〈 ~ui, ~uj 〉
=3
∑
i=1
bi ci
= b1 c1 + b2 c2 + b3 c3 ,
uma vez que β = { ~u1, ~u2, ~u3 } e uma base ortonormal, o que completa a demonstracao. �
E importante ressaltar que considerando as matrizes de coordenadas dos vetores ~u e ~v, com
relacao a base ortonormal β, que sao escritas da seguinte forma:
[~u]β =
b1b2b3
e [~v]β =
c1c2c3
, (3.10)
podemos escrever o produto escalar entre os vetores ~u e ~v, de acordo com o Teorema 3.5.2,
da seguinte forma:〈 ~u,~v 〉 = b1 c1 + b2 c2 + b3 c3
= [~u]tβ [~v]β
=[
b1 b2 b3]
c1c2c3
.
(3.11)
Petronio Pulino 177
Exemplo 3.5.1 Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 definidoda seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, e da norma ‖ · ‖ proveniente desse
produto escalar. Podemos verificar facilmente que a base canonica β = {~e1, ~e2, ~e3 }, onde
~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1) ,
e uma base ortonormal para V 3.
Exemplo 3.5.2 Considere o espaco de vetores V 2 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 definidoda seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2
para todo ~x = (x1 , x2) , ~y = (y1 , y2) ∈ V 2, e da norma ‖ · ‖ proveniente desse produto
escalar. Podemos verificar facilmente que a base canonica β = {~e1, ~e2 }, onde
~e1 = (1, 0) e ~e2 = (0, 1) ,
e uma base ortonormal para V 2.
Exemplo 3.5.3 Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 definidoda seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, e da norma ‖ · ‖ proveniente desse
produto escalar. Podemos verificar facilmente que a base β = { ~u1, ~u2, ~u3 }, onde
~u1 = (1, 0,−1) , ~u2 = (0, 1, 0) e ~u3 = (1, 0, 1) ,
e uma base ortogonal para V 3.
Exemplo 3.5.4 Considere o espaco de vetores V 2 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 definidoda seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2
para todo ~x = (x1 , x2) , ~y = (y1 , y2) ∈ V 2, e da norma ‖ · ‖ proveniente desse produto
escalar. Podemos verificar facilmente que a base β = { ~u1, ~u2 }, onde
~u1 =
√2
2(1, 1) e ~u2 =
√2
2(1,−1) ,
e uma base ortonormal para V 2.
178 Geometria Analıtica e Vetores
Exemplo 3.5.5 Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 definidoda seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, e da norma ‖ · ‖ proveniente desse
produto escalar. Determine as coordenadas dos seguintes vetores:
(a) ~u = (3,−2,−1)
(b) ~v = (−1, 2,−2)
(c) ~w = (2, 1, 1)
com relacao a base ortogonal β = { ~u1, ~u2, ~u3 }, onde
~u1 = (1, 0,−1) , ~u2 = (0, 1, 0) e ~u3 = (1, 0, 1) .
Resolucao – Tomando a definicao de produto escalar e a base ortogonal dados acima,
sabemos que
(a) ~u = c1 ~u1 + c2 ~u2 + c3 ~u3, onde
c1 =〈 ~u, ~u1 〉〈 ~u1, ~u1 〉
= 2 , c2 =〈 ~u, ~u2 〉〈 ~u2, ~u2 〉
= −2 e c3 =〈 ~u, ~u3 〉〈 ~u3, ~u3 〉
= 1 .
Assim, tem–se
~u = (3,−2,−1) = 2× (1, 0,−1) − 2× (0, 1, 0) + 1× (1, 0, 1) .
Os itens (b) e (c) podem ficar a cargo do leitor.
Exemplo 3.5.6 Considere o espaco de vetores V 2 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 definidoda seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2
para todo ~x = (x1 , x2) , ~y = (y1 , y2) ∈ V 2, e da norma ‖ · ‖ proveniente desse produto
escalar. Determine as coordenadas dos seguintes vetores:
(a) ~u = (3,−1)
(b) ~v = (−1, 2)
(c) ~w = (2, 3)
com relacao a base ortogonal β = { ~u1, ~u2 }, onde
~u1 = (1, 1) e ~u2 = (1,−1) .
Resolucao – Os exemplos devem ser resolvidos cuidadosamente junto com a classe.
Petronio Pulino 179
3.6 Processo de Ortogonalizacao
O Processo de Ortogonalizacao tem por objetivo obter a partir de uma base ordenada
β = {~v1, ~v2, ~v3 } para o espaco de vetores V 3, munido do produto escalar 〈 · , · 〉 , da norma
‖ · ‖ proveniente desse produto escalar, uma base ortogonal γ = { ~q1, ~q2, ~q3 } com relacao
ao produto escalar definido no espaco V 3. O processo de ortogonalizacao e um processo
construtivo, e de facil programacao. A seguir apresentamos a construcao da base ortogonal.
Para isso, inicialmente escolhemos o vetor ~q1 = ~v1. Em seguida construımos o vetor ~q2 da
seguinte forma:
~q2 = ~v2 − a1 ~q1 ⊥ ~q1 ⇐⇒ 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 .
Tomando a condicao acima, obtemos
〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ 〈~v2, ~q1 〉 − a1 〈 ~q1, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ a1 =〈~v2, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉
.
Assim, o vetor ~q2 e dado por:
~q2 = ~v2 − a1 ~q1 com a1 =〈~v2, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉
. (3.12)
Em seguida construımos o vetor ~q3 da seguinte forma:
~q3 = ~v3 − b1 ~q1 − b2 ~q2 ⊥ ~q1 ⇐⇒ 〈 ~q3, ~q1 〉 = 0
~q3 = ~v3 − b1 ~q1 − b2 ~q2 ⊥ ~q2 ⇐⇒ 〈 ~q3, ~q2 〉 = 0
Tomando as condicoes acima, obtemos
〈~v3, ~q1 〉 − b1 〈 ~q1, ~q1 〉 − b2 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ b1 =〈~v3, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉
〈~v3, ~q2 〉 − b1 〈 ~q1, ~q2 〉 − b2 〈 ~q2, ~q2 〉 = 0 ⇐⇒ b2 =〈~v3, ~q2 〉〈 ~q2, ~q2 〉
uma vez que 〈 ~q1, ~q2 〉 = 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0.
Desse modo, o vetor ~q3 e dado por:
~q3 = ~v3 − b1 ~q1 − b2 ~q2 com b1 =〈~v3, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉
e b2 =〈~v3, ~q2 〉〈 ~q2, ~q2 〉
. (3.13)
Finalmente, para obter uma base ortonormal γ∗, basta dividir cada vetor da base ortogonal
γ pela respectiva norma, isto e,
γ∗ =
{
~q1
‖ ~q1 ‖,
~q2
‖ ~q2 ‖,
~q3
‖ ~q3 ‖
}
.
O Processo de Ortogonalizacao e estudado de forma mais detalhada na disciplina de Algebra
Linear, denominadoProcesso de ortogonalizacao de Gram–Schmidt. Para os objetivos
da disciplina de Geometria Analıtica e suficiente o que foi apresentado de forma resumida.
180 Geometria Analıtica e Vetores
Interpretacao Geometrica de Gram–Schmidt
Nessa secao apresentamos a interpretacao geometrica para o Processo de Ortogonalizacao de
Gram–Schmidt, que tem por objetivo obter a partir de uma base ordenada β = {~v1, ~v2, ~v3 },para o espaco de vetores V 3, uma base ortogonal γ = { ~q1, ~q2, ~q3 } com relacao ao produto
escalar definido no espaco. O processo de ortogonalizacao e um processo construtivo que
esta baseado em projecoes ortogonais.
Como foi visto, inicialmente escolhemos o vetor q1 = v1. Em seguida construımos o vetor
~q2 da seguinte forma:
~q2 = ~v2 − a1 ~q1 ⊥ ~q1 com a1 =〈~v2, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉
. (3.14)
Note que o vetor ~w1 expresso da forma:
~w1 = a1 ~q1 com a1 =〈~v2, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉
(3.15)
e a projecao ortogonal do vetor ~v2 na direcao do vetor ~q1, isto e, e a projecao ortogonal
do vetor ~v2 sobre a reta r que passa pela origem e e gerada pelo vetor ~q1, cuja equacao
vetorial e dada por:
r : X = O + λ ~q1 para λ ∈ IR . (3.16)
Na Figura 3.9 ilustramos a situacao descrita acima.
r ✲��
����
���✒~v2
~q1
✻
~q2 = ~v2 − a1q1
✲~w1 = a1~q1O
r
��
����
��
����
π1
Figura 3.9: Construcao do vetor ~q2
Petronio Pulino 181
Geometricamente temos que o vetor ~q2, dado pela equacao (3.14), e a projecao ortogonal do
vetor ~v2 sobre o plano π1 que passa pela origem e e perpendicular a reta r.
Finalmente, construımos o vetor ~q3 da seguinte forma:
~q3 = ~v3 − b1 ~q1 − b2 ~q2 com b1 =〈~v3, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉
e b2 =〈~v3, ~q2 〉〈 ~q2, ~q2 〉
. (3.17)
O vetor ~w2 expresso da forma:
~w2 = b1 ~q1 + b2 ~q2 com b1 =〈~v3, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉
e b2 =〈~v3, ~q2 〉〈 ~q2, ~q2 〉
(3.18)
e a projecao ortogonal do vetor ~v3 sobre o plano π2 que passa pela origem e e gerado pelos
vetores ortogonais { ~q1 , ~q2 }, cuja equacao vetorial e dada por:
π2 : X = O + λ1 ~q1 + λ2 ~q2 para λ1, λ2 ∈ IR . (3.19)
Na Figura 3.10 ilustramos a situacao descrita acima.
r��
����
��✒~v3
✻
~q3
✲~w2
��
�������
���
���
���π2
O
s
Figura 3.10: Construcao do vetor ~q3
Do ponto de vista geometrico temos que o vetor ~q3, dado pela equacao (3.17), e a projecao
ortogonal do vetor ~v3 sobre a reta s que passa pela origem e e perpendicular ao plano π2.
Vamos apresentar um estudo mais detalhado para a interpretacao geometrica do processo de
Gram–Schmidt por ocasiao do estudo de reta e de plano no espaco, onde novamente vamos
abordar o tema sobre projecoes ortogonais.
182 Geometria Analıtica e Vetores
Para exemplificar o processo de ortogonalizacao de Gram–Schmidt, vamos considerar o
espaco de vetores V 3 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 definido da seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, da norma ‖ · ‖ proveniente desse
produto escalar, e da base ordenada β = {~v1, ~v2, ~v3 } onde
~v1 = (1, 0, 1) , ~v2 = (0, 1, 1) e ~v3 = (1, 1, 0) .
Vamos obter uma base ortogonal γ = { ~q1, ~q2, ~q3 }, com relacao ao produto escalar definido
no espaco V 3, a partir da base ordenada β dada acima. Para isso, inicialmente escolhemos
o vetor ~q1 = ~v1 = (1, 0, 1).
Em seguida construımos o vetor ~q2 da seguinte forma:
~q2 = ~v2 − a1 ~q1 ⊥ ~q1 ⇐⇒ 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 .
Tomando a condicao acima, obtemos
〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ 〈~v2, ~q1 〉 − a1 〈 ~q1, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ a1 =〈~v2, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉
=1
2.
Assim, o vetor ~q2 e dado por:
~q2 = ~v2 − a1 ~q1 = (0, 1, 1) − 1
2(1, 0, 1) =
1
2(−1, 2, 1) .
Em seguida construımos o vetor ~q3 da seguinte forma:
~q3 = ~v3 − b1 ~q1 − b2 ~q2 ⊥ ~q1 ⇐⇒ 〈 ~q3, ~q1 〉 = 0
~q3 = ~v3 − b1 ~q1 − b2 ~q2 ⊥ ~q2 ⇐⇒ 〈 ~q3, ~q2 〉 = 0
Tomando as condicoes acima, obtemos
〈~v3, ~q1 〉 − b1 〈 ~q1, ~q1 〉 − b2 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ b1 =〈~v3, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉
=1
2
〈~v3, ~q2 〉 − b1 〈 ~q1, ~q2 〉 − b2 〈 ~q2, ~q2 〉 = 0 ⇐⇒ b2 =〈~v3, ~q2 〉〈 ~q2, ~q2 〉
=1
3
uma vez que 〈 ~q1, ~q2 〉 = 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0.
Desse modo, o vetor ~q3 e dado por:
~q3 = ~v3 − b1 ~q1 − b2 ~q2 = (1, 1, 0) − 1
2(1, 0, 1) − 1
6(−1, 2, 1) =
1
3(2, 2,−2) .
Portanto, a base ortogonal γ e dada por:
γ =
{
(1, 0, 1) ,1
2(−1, 2, 1) ,
1
3(2, 2,−2)
}
.
Petronio Pulino 183
Exemplo 3.6.1 Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 definidoda seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, da norma ‖ · ‖ proveniente desse
produto escalar, e o conjunto de vetores β = {~v1, ~v2, ~v3 } ⊂ V 3, onde
~v1 = (1,−3, 1) e ~v2 = (2, 1, 1).
Determine um vetor ~v3 de modo que o conjunto β seja uma base ortogonal com relacao ao
produto escalar definido no espaco V 3.
Resolucao – Podemos verificar facilmente que os vetores ~v1 e ~v2 sao ortogonais em V 3.
Desse modo, considerando o processo de ortogonalizacao de Gram–Schmidt, escolhemos um
vetor ~w ∈ V 3 de modo que o conjunto {~v1, ~v2, ~w } ⊂ V 3 seja uma base para V 3. Por
exemplo, podemos escolher o vetor ~w = (0, 0, 1) . Em seguida, construımos o vetor ~v3 da
seguinte forma:
~v3 = ~w − b1 ~v1 − b2 ~v2 ⊥ ~v1 ⇐⇒ 〈~v3, ~v1 〉 = 0
~v3 = ~w − b1 ~q1 − b2 ~v2 ⊥ ~v2 ⇐⇒ 〈~v3, ~v2 〉 = 0
Tomando as condicoes acima, obtemos
〈 ~w,~v1 〉 − b1 〈~v1, ~v1 〉 − b2 〈~v2, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ b1 =〈 ~w,~v1 〉〈~v1, ~v1 〉
=1
11
〈 ~w,~v2 〉 − b1 〈~v1, ~v2 〉 − b2 〈~v2, ~v2 〉 = 0 ⇐⇒ b2 =〈 ~w,~v2 〉〈~v2, ~v2 〉
=1
6
uma vez que 〈~v1, ~v2 〉 = 〈~v2, ~v1 〉 = 0.
Desse modo, o vetor ~v3 e dado por:
~v3 = ~w − b1 ~v1 − b2 ~v2
= (0, 0, 1) − 1
11(1,−3, 1) − 1
6(2, 1, 1)
=1
66(−28, 7, 49)
E importante ressaltar que o vetor ~v3 depende da escolha do vetor ~w em particular. Assim,
existem infinitos vetores ~v3 de modo que β seja uma base ortogonal.
184 Geometria Analıtica e Vetores
Exemplo 3.6.2 Considere o espaco de vetores V 2 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 definidoda seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2
para todo ~x = (x1 , x2) , ~y = (y1 , y2) ∈ V 2, da norma ‖ · ‖ proveniente desse produto
escalar, e da base ordenada β = { ~v1 = (2, 1) , ~v2 = (1, 1) }. Determine a partir da base
ordenada β uma base ordenada ortonormal γ∗ com relacao ao produto escalar definido no
espaco V 2.
Resolucao – Inicialmente escolhemos o vetor ~q1 = ~v1 = (2, 1). Em seguida, construımos
o vetor ~q2 da seguinte forma:
~q2 = ~v2 − a1 ~q1 ⊥ ~q1 ⇐⇒ 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 .
Tomando a condicao acima, tem–se
〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ 〈~v2, ~q1 〉 − a1 〈 ~q1, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ a1 =〈~v2, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉
=3
5.
Assim, o vetor ~q2 e dado por:
~q2 = ~v2 − a1 ~q1 = (1, 1) − 3
5(2, 1) =
3
5(−1, 2) .
Desse modo, obtemos a base ortogonal γ e dada por:
γ =
{
(2, 1) ,3
5(−1, 2)
}
.
Para determinar a base ortonormal γ∗ basta dividir cada vetor da base ortogonal γ pela
respectiva norma. Portanto, obtemos
γ∗ =
{√5
5(2, 1) ,
√5
5(−1, 2)
}
.
Exemplo 3.6.3 Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 definidoda seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, da norma ‖ · ‖ proveniente desse
produto escalar, e o conjunto de vetores β = {~v1, ~v2, ~v3 } ⊂ V 3, onde
~v1 = (a, 1, b) , ~v2 = (1, c, 3) e ~v3 = (1,−c, 1).
Determine os valores dos parametros a, b, c ∈ IR de modo que o conjunto β seja uma
base ortogonal com relacao ao produto escalar definido no espaco V 3.
Resolucao – Os exemplos devem ser resolvidos cuidadosamente junto com a classe.
Petronio Pulino 185
Exemplo 3.6.4 Considere o espaco de vetores V 2 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 definidoda seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2
para todo ~x = (x1 , x2) , ~y = (y1 , y2) ∈ V 2, da norma ‖ · ‖ proveniente desse produto
escalar, e da base ordenada β = { ~v1 = (1, 1) , ~v2 = (2, 1) }. Determine a partir da base
ordenada β uma base ordenada ortonormal γ∗ com relacao ao produto escalar definido no
espaco V 2.
Resolucao – Inicialmente escolhemos o vetor ~q1 = ~v1 = (1, 1). Em seguida, construımos
o vetor ~q2 da seguinte forma:
~q2 = ~v2 − a1 ~q1 ⊥ ~q1 ⇐⇒ 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 .
Tomando a condicao acima, tem–se
〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ 〈~v2, ~q1 〉 − a1 〈 ~q1, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ a1 =〈~v2, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉
=3
2.
Assim, o vetor ~q2 e dado por:
~q2 = ~v2 − a1 ~q1 = (2, 1) − 3
2(1, 1) =
3
2(1,−1) .
Desse modo, obtemos a base ortogonal γ e dada por:
γ =
{
(1, 1) ,3
2(1,−1)
}
.
Para determinar a base ortonormal γ∗ basta dividir cada vetor da base ortogonal γ pela
respectiva norma. Portanto, obtemos
γ∗ =
{√2
2(1, 1) ,
√2
2(1,−1)
}
.
Exemplo 3.6.5 Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar 〈 · , · 〉 definidoda seguinte forma:
〈 ~x, ~y 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
para todo ~x = (x1 , x2 , x3) , ~y = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3, da norma ‖ · ‖ proveniente desse
produto escalar, e da base ordenada β = {~v1, ~v2, ~v3 } onde
~v1 = (1, 1, 1) , ~v2 = (1, 0, 1) e ~v3 = (1, 1, 0) .
Determine a partir da base ordenada β uma base ordenada ortonormal γ∗ com relacao ao
produto escalar definido no espaco V 3.
Resolucao – Inicialmente, vamos obter uma base ortogonal γ = { ~q1, ~q2, ~q3 }, com relacao
ao produto escalar definido no espaco V 3, a partir da base ordenada β dada acima.
186 Geometria Analıtica e Vetores
Para isso, inicialmente escolhemos o vetor ~q1 = ~v1 = (1, 1, 1). Em seguida construımos o
vetor ~q2 da seguinte forma:
~q2 = ~v2 − a1 ~q1 ⊥ ~q1 ⇐⇒ 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 .
Tomando a condicao acima, obtemos
〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ 〈~v2, ~q1 〉 − a1 〈 ~q1, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ a1 =〈~v2, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉
=2
3.
Assim, o vetor ~q2 e dado por:
~q2 = ~v2 − a1 ~q1 = (1, 0, 1) − 2
3(1, 1, 1) =
2
3(1,−2, 1) .
Em seguida construımos o vetor ~q3 da seguinte forma:
~q3 = ~v3 − b1 ~q1 − b2 ~q2 ⊥ ~q1 ⇐⇒ 〈 ~q3, ~q1 〉 = 0
~q3 = ~v3 − b1 ~q1 − b2 ~q2 ⊥ ~q2 ⇐⇒ 〈 ~q3, ~q2 〉 = 0
Tomando as condicoes acima, obtemos
〈~v3, ~q1 〉 − b1 〈 ~q1, ~q1 〉 − b2 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0 ⇐⇒ b1 =〈~v3, ~q1 〉〈 ~q1, ~q1 〉
=2
3
〈~v3, ~q2 〉 − b1 〈 ~q1, ~q2 〉 − b2 〈 ~q2, ~q2 〉 = 0 ⇐⇒ b2 =〈~v3, ~q2 〉〈 ~q2, ~q2 〉
= −1
4
uma vez que 〈 ~q1, ~q2 〉 = 〈 ~q2, ~q1 〉 = 0.
Desse modo, o vetor ~q3 e dado por:
~q3 = ~v3 − b1 ~q1 − b2 ~q2 = (1, 1, 0) − 2
3(1, 1, 1) +
1
6(1,−2, 1) =
1
6(3, 0,−3) .
Portanto, a base ortogonal γ e dada por:
γ =
{
(1, 1, 1) ,2
3(1,−2, 1) ,
1
6(3, 0,−3)
}
.
Para determinar a base ortonormal γ∗ basta dividir cada vetor da base ortogonal γ pela
respectiva norma. Portanto, obtemos
γ∗ =
{√3
3(1, 1, 1) ,
√5
5(1,−2, 1) ,
√2
6(3, 0,−3)
}
.
Petronio Pulino 187
3.7 Exercıcios
Em todos os Exercıcios, considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar
〈 · , · 〉 , definido da seguinte forma:
〈 ~u,~v 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
e com a norma proveniente desse produto escalar, denominadaNorma Euclidiana, definida
da seguinte forma:
‖ ~u ‖ =√
〈 ~u, ~u 〉 =√
(x1)2 + (x2)2 + (x3)2
para todo ~u = (x1 , x2 , x3) , ~v = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3.
Exercıcio 3.7.1 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 .Determine o conjunto de todos os vetores do espaco V 3 que sao paralelos ao vetor
~u = (1, 1, 1) .
Exercıcio 3.7.2 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 .Descreva o conjunto de todos os vetores do espaco V 3 que sao ortogonais ao vetor
~u = (1, 0,−1) .
Exercıcio 3.7.3 Qual o significado geometrico dos conjuntos encontrados nos item (a)?
Exercıcio 3.7.4 Qual o significado geometrico dos conjuntos encontrados nos item (b)?
Exercıcio 3.7.5 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 .Decompor o vetor ~w = (−1,−3,−2) como soma de dois vetores, isto e, ~w = ~u+ ~v, onde o
vetor ~u e paralelo ao vetor ~v1 = (0, 1, 3) e o vetor ~v e ortogonal ao vetor ~v1 = (0, 1, 3).
Sugestao: o vetor ~u pode ser escolhido como sendo a projecao ortogonal do vetor ~w na
direcao do vetor ~v1 = (0, 1, 3).
Exercıcio 3.7.6 Considere os pontos A , B , C do espaco Euclideano IE3 dados por:
A = (3,−2, 8) , B = (0, 0, 2) e C = (2, 3, 2) .
(a) Usando os conceitos de vetores mostre que o triangulo ABC e um triangulo retangulo.
(b) Determine o ponto H no lado AC, do triangulo ABC, para o qual os segmentos AC
e HB sao ortogonais.
(c) Determine a area do triangulo ABC.
Sugestao: o vetor−−→AH e a projecao ortogonal do vetor
−→AB na direcao do vetor
−→AC.
188 Geometria Analıtica e Vetores
Exercıcio 3.7.7 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 .Determine um vetor ~u ∈ V 3 que seja ortogonal aos vetores
~v1 = (2, 3,−1) e ~v2 = (2,−4, 6)
tal que ‖ ~u ‖ = 3√3.
Exercıcio 3.7.8 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 .Sejam γ∗ = { ~q1, ~q2, ~q3 } uma base ordenada ortonormal para o espaco de vetores V 3, ~u
e ~v vetores quaisquer de V 3 cujas matrizes de coordenadas em relacao a base ortonormal
γ∗ sao dadas por:
[~u]γ =
a1
b1
c1
e [~v]γ =
a2
b2
c2
.
(a) Mostre que qualquer vetor ~w ∈ V 3 pode ser escrito da forma:
~w = 〈 ~w, ~q1 〉 ~q1 + 〈 ~w, ~q2 〉 ~q2 + 〈 ~w, ~q3 〉 ~q3 ,
apresentando uma interpretacao geometrica.
(b) Mostre que o produto escalar entre os vetores ~u e ~v pode ser escrito da forma:
〈 ~u,~v 〉 = a1a2 + b1b2 + c1c2 .
Exercıcio 3.7.9 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 .Dados os vetores ~u = (1, 1, 0) e ~v = (0, 1, 1), determine o vetor ~w ∈ V 3 de modo
que ‖ ~w ‖ = 1 e 〈 ~u, ~w 〉 = 〈~v, ~w 〉 = 0. De uma interpretacao geometrica.
Exercıcio 3.7.10 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 eda norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Mostre que, para ~u , ~v ∈ V 3,
‖ ~u ‖ = ‖~v ‖ ⇐⇒ 〈 ~u + ~v, ~u − ~v 〉 = 0 ,
Exercıcio 3.7.11 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 eda norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Mostre que, para ~u, ~v ∈ V 3 nao–nulos,
〈 ~u,~v 〉 = 0 ⇐⇒ ‖ ~u + α~v ‖ ≥ ‖ ~u ‖ para todo α ∈ IR .
Exercıcio 3.7.12 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 .Determine os valores do parametro α ∈ IR, se possıvel, de modo que os vetores
~u = (1, 2, α) e ~v = (α,−1, α)
sejam ortogonais, isto e, 〈 ~u,~v 〉 = 0.
Petronio Pulino 189
Exercıcio 3.7.13 Considere o espaco de vetores V 3 munido do produto escalar 〈 ·, · 〉 e da
norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar, e os vetores dados por:
~u1 = (1, 0,−1) , ~u2 = (1,−1, 1) e ~u3 = (−1, 1, 0) .
(a) Mostre que β = { ~u1, ~u2, ~u3 } e uma base para V 3, isto e,
(i) Mostre que todo vetor ~u = (a, b, c) ∈ V 3 pode ser escrito como uma combinacao
linear dos elementos de β.
(ii) Mostre que β e linearmente independente.
(b) Determine uma base ortogonal γ = {~q1, ~q2, ~q3 } a partir da base β.
(c) Determine as coordenadas do vetor ~w = (1,−3, 2) com relacao a base ortogonal γ.
190 Geometria Analıtica e Vetores
3.8 Distancia de Ponto a Ponto
Definicao 3.8.1 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 eda norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Sejam O um ponto do espaco IE3 e
γ∗ = { ~q1, ~q2, ~q3 } uma base ordenada ortonormal para o espaco de vetores V 3. Definimos
por Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3), ou por Σ = (O, γ∗), o Sistema Ortogonal de Coordenadas
para o espaco IE3, onde o ponto O ∈ IE3 e a origem do sistema ortogonal de coordenadas.
0r
��
��
��
��
��✠
✲
✻
��
��✠~q1
✲~q2
✻~q3
Figura 3.11: Sistema de coordenadas para o espaco tridimensional IE3.
Considere agora os pontos A, B, C ∈ IE3 definidos da seguinte forma:
A = O + ~q1 , B = O + ~q2 e C = O + ~q3 , (3.20)
que e o mesmo conceito de adicao de ponto com vetor estudado na secao 2.2.3.
Cada uma das retas suporte dos segmentos OA, OB e OC sao denominadas de eixos
coordenados, respectivamente, eixo das abscissas (OX ), eixo das ordenadas (OY ) e
eixo das cotas (OZ ), como ilustra a Figura 3.11.
De modo analogo, temos os planos coordenadas, denominados plano OXY (determinado
pelos pontos O, A, B), plano OXZ (determinado pelos pontos O, A, C) e plano OYZ
(determinado pelos pontos O, B, C).
Cada um dos planos coordenados dividem separadamente o espaco IE3 em dois semiespacos,
por exemplo, o plano coordenado OXY divide o espaco em dois semiespacos: um semiespaco
situado na direcao positiva do eixo OZ e outro na direcao negativa do eixo OZ .
Petronio Pulino 191
Os tres planos coordenados dividem conjuntamente o espaco IE3 em oito partes, os quais
denominamos de octantes coordenados. Os octantes coordenados sao enumerados da
seguinte forma:Octante eixo OX eixo OY eixo OZ
I positivo positivo positivo
II negativo positivo positivo
III negativo negativo positivo
IV positivo negativo positivo
V positivo positivo negativo
VI negativo positivo negativo
VII negativo negativo negativo
VIII positivo negativo negativo
Considerando o sistema ortogonal de coordenadas Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3), dado um ponto
P ∈ IE3 podemos representar o vetor−→OP da seguinte forma:
−→OP = x ~q1 + y ~q2 + z ~q3 , (3.21)
onde a terna ordenada (x, y, z) e denominada coordenadas cartesianas do ponto P ,
determinada de maneira unica pelo sistema ortogonal de coordenadas Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3) e
pelo ponto P ∈ IE3, uma vez que sabemos da existencia de uma bijecao entre o espaco IE3
e o produto cartesiano IR3 = IR× IR× IR, como estudado na secao 2.2.1. Assim, podemos
identificar o ponto P da seguinte forma P = (x, y, z), como ilustra a Figura 3.12.
0��
��
��
��
��✠
✲
✻
��
��✠~q1
✲~q2
✻~q3
✁✁✁✁✁✁✁✁✁✕rP = (x, y, z)
−→OP
Figura 3.12: Identificacao dos pontos no espaco tridimensional IE3.
192 Geometria Analıtica e Vetores
E importante ressaltar que, as coordenadas do ponto P ∈ IE3 relativamente ao sistema
de coordenadas Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3) sao as mesmas coordenadas do vetor−→OP ∈ V 3 com
relacao a base ortonormal γ∗ = { ~q1, ~q2, ~q3 }, isto e, a matriz de coordenadas do vetor−→OP
com relacao a base ortonormal γ∗ e dada por:
[−→OP ]γ∗ =
x
y
z
, (3.22)
como mostra a equacao (3.21).
Definicao 3.8.2 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 eda norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Sejam γ∗ = { ~q1, ~q2, ~q3 } uma base
ordenada ortonormal para o espaco de vetores V 3 e Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3) um sistema
ortogonal de coordenadas para o espaco IE3. Dados os pontos A, B ∈ IE3,
A = (x1, y1, z1) e B = (x2, y2, z2) ,
definimos a distancia entre os pontos A e B da seguinte forma:
d(A,B) = ‖−→AB ‖ =√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2 . (3.23)
r✁✁✁✁✁✁✁✁✁✁✁✁✕
✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✟✯
−−→OB
−→OA
❅❅❅
❅❅❅❘
−→AB
O
rA
rB
Figura 3.13: Distancia de ponto a ponto no espaco IE3
E importante ressaltar que, como o espaco de vetores V 3 esta munido com base ortonormal
γ∗, isto e, Σ = (O, γ∗) e um sistema ortogonal de coordenadas para o espaco IE3, sabemos
que os vetores−→OA e
−−→OB sao escrito de modo unico da seguinte forma:
−→OA = x1 ~q1 + y1 ~q2 + z1 ~q3 e
−−→OB = x2 ~q1 + y2 ~q2 + z2 ~q3 . (3.24)
Assim, o vetor−→AB =
−−→OB − −→
OA e representado da seguinte forma:
−→AB = (x2 − x1) ~q1 + (y2 − y1) ~q2 + (z2 − z1) ~q3 , (3.25)
e a distancia entre os pontos A e B ficada definida como no equacao (3.23), uma vez que
d(A,B) = ‖−→AB ‖.
Petronio Pulino 193
Exemplo 3.8.1 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 ,definido da seguinte forma:
〈 ~u,~v 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
e com a norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar, definida da seguinte forma:
‖ ~u ‖ =√
〈 ~u, ~u 〉 =√
(x1)2 + (x2)2 + (x3)2
para todo ~u = (x1 , x2 , x3) , ~v = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3.
Sejam β = {~e1, ~e2, ~e3 }, onde ~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1), a
base canonica para o espaco de vetores V 3 e Σ = (O, ~e1, ~e2, ~e3) o sistema ortogonal de
coordenadas para o espaco IE3, com O = (0, 0, 0) a origem para esse sistema ortogonal de
coordenadas. Determine a distancia entre os pontos A, B ∈ IE3 dados por:
A = (1, 2, 3) e B = (4, 6, 8) .
Resolucao – A distancia entre os pontos A e B e definida pela equacao (3.23), onde o
vetor−→AB ∈ V 3 e dado por:
−→AB = 3~e1 + 4~e2 + 5~e3 ,
assim, obtemos
d(A,B) = ‖−→AB ‖ =√9 + 16 + 25 =
√50 = 5
√2 .
Exemplo 3.8.2 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 e danorma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Sejam γ∗ = { ~q1, ~q2, ~q3 } uma base ordenada
ortonormal para o espaco de vetores V 3 e Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3) um sistema ortogonal de
coordenadas para o espaco IE3. Dados os pontos A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) ∈ IE3,
prove que o ponto medio do segmento AB, denotado pelo ponto M , e expresso da forma:
M =
(
x1 + x2
2,y1 + y2
2, ,
z1 + z2
2
)
(3.26)
Resolucao – Considerando a ilustracao da Figura 3.14, note que podemos escrever o ponto
medio M do segmento AB da seguinte forma:
M = A +1
2
−→AB
para obter suas coordenadas de acordo com a equacao (3.26).
Ar
Mr
Br
Figura 3.14: Ponto medio do segmento AB
194 Geometria Analıtica e Vetores
Exemplo 3.8.3 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 ,definido da seguinte forma:
〈 ~u,~v 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
e com a norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar, definida da seguinte forma:
‖ ~u ‖ =√
〈 ~u, ~u 〉 =√
(x1)2 + (x2)2 + (x3)2
para todo ~u = (x1 , x2 , x3) , ~v = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3.
Sejam β = {~e1, ~e2, ~e3 }, onde ~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1), a
base canonica para o espaco de vetores V 3 e Σ = (O, ~e1, ~e2, ~e3) o sistema ortogonal de
coordenadas para o espaco IE3, com O = (0, 0, 0) a origem para esse sistema ortogonal de
coordenadas. Considerando os pontos A, B, C ∈ IE3 dados por:
A = (1, 1, 0) , B = (0, 1, 1) e C = (1, 0, 1) ,
mostre que o triangulo ABC e um triangulo equilatero.
Resolucao – Considere os vetores−→AB,
−→AC,
−−→BC ∈ V 3. Basta mostrar que
d(A,B) = d(A,C) = d(B,C) ,
sabendo que
d(A,B) = ‖−→AB ‖ , d(A,C) = ‖−→AC ‖ e d(B,C) = ‖−−→BC ‖ ,
de acordo com a Definicao 3.8.2.
Exemplo 3.8.4 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 e danorma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Sejam γ∗ = { ~q1, ~q2, ~q3 } uma base ordenada
ortonormal para o espaco de vetores V 3 e Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3) um sistema ortogonal de
coordenadas para o espaco IE3. Dado o ponto C = (a, b, c) ∈ IE3 e o escalar positivo
r ∈ IR, determine o lugar geometrico dos pontos no espaco IE3 cuja distancia ao ponto C
seja igual a r.
Resolucao – Considere um ponto generico P = (x, y, z) ∈ IE3 satisfazendo a condicao,
d(C,P ) = r ⇐⇒ ( d(C,P ) )2 = r2 .
Sabemos que d(C,P ) = ‖−→CP ‖, onde o vetor−→CP e escrito da forma:
−→CP = (x − a) ~q1 + (y − b) ~q2 + (z − c) ~q3 ,
obtemos
( ‖−→CP ‖ )2 = r2 ⇐⇒ (x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2 ,
que e a equacao de uma superfıcie esferica de centro no ponto C = (a, b, c) e raio igual a
r, com relacao ao sistema ortogonal de coordenadas Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3).
Petronio Pulino 195
Exemplo 3.8.5 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 ,definido da seguinte forma:
〈 ~u,~v 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
e com a norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar, definida da seguinte forma:
‖ ~u ‖ =√
〈 ~u, ~u 〉 =√
(x1)2 + (x2)2 + (x3)2
para todo ~u = (x1 , x2 , x3) , ~v = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3.
Sejam β = {~e1, ~e2, ~e3 }, onde ~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1), a
base canonica para o espaco de vetores V 3 e Σ = (O, ~e1, ~e2, ~e3) o sistema ortogonal de
coordenadas para o espaco IE3, com O = (0, 0, 0) a origem para esse sistema ortogonal de
coordenadas. Mostre que os pontos A, B, C ∈ IE3 dados por:
A = (1, 1, 1) , B = (2, 3, 4) e C = (4, 5,−6) ,
sao os vertices de um triangulo retangulo.
Resolucao – A resolucao pode ficar a cargo do leitor.
Exemplo 3.8.6 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 e danorma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Sejam γ∗ = { ~q1, ~q2, ~q3 } uma base ordenada
ortonormal para o espaco de vetores V 3 e Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3) um sistema ortogonal de
coordenadas para o espaco IE3. Dado o ponto P = (a, b, c) ∈ IE3.
(a) Determine a projecao ortogonal do ponto P sobre cada um dos eixos coordenados.
(a) Determine a projecao ortogonal do ponto P sobre cada um dos planos coordenados.
Resolucao – Vamos denotar por Px, Py, Pz ∈ IE3 as projecoes ortogonais do ponto P
sobre os eixos coordenados OX , OY , OZ , respectivamente. Recordamos que a projecao Px
e obtida pela interseccao da reta perpendicular ao eixo OX passando pelo ponto P . De
modo analogo, obtemos as projecoes Py e Pz.
Desse modo, conhecendo as coordenadas do ponto P = (a, b, c), podemos representar suas
projecoes ortogonais sobre os eixos coordenados da seguinte forma:
Px = O + a ~q1 , Py = O + b ~q2 e Pz = O + c ~q3 , (3.27)
como ilustra a Figura 3.15.
E importante ressaltar que as coordenadas do ponto P = (a, b, c) ∈ IE3, relativamente ao
sistema de coordenas ortogonais Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3), sao os comprimentos dos segmentos
OPx , OPy e OPz, respectivamente. Assim, as coordenadas do ponto P sao dadas por:
a = OPx , b = OPy e c = OPz , (3.28)
uma vez que γ∗ = { ~q1, ~q2, ~q3 } e uma base ortonormal para o espaco de vetores V 3.
196 Geometria Analıtica e Vetores
Vamos denotar por Pxy, Pxz, Pyz ∈ IE3 as projecoes ortogonais do ponto P sobre os planos
coordenados OXY , OXZ , OYZ , respectivamente. Desse modo, obtemos
Pxy = O + a ~q1 + b ~q2 , Pxz = O + a ~q1 + c ~q3 e Pyz = O + b ~q2 + c ~q3 ,
como ilustra a Figura 3.15. De modo analogo, obtemos a projecao ortogonal do ponto P
nos outros dois planos coordenados.
0�
��
��
��
��
�✠
✲
✻
��
��✠~q1
✲~q2
✻~q3
rP = (a, b, c)
r
Pxy
r
r
r
Py
Px
Pz
Figura 3.15: Projecoes do ponto P no plano coordenado OXY e nos eixos coordenados
Exemplo 3.8.7 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 ,definido da seguinte forma:
〈 ~u,~v 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
e com a norma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar, definida da seguinte forma:
‖ ~u ‖ =√
〈 ~u, ~u 〉 =√
(x1)2 + (x2)2 + (x3)2
para todo ~u = (x1 , x2 , x3) , ~v = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3.
Sejam β = {~e1, ~e2, ~e3 }, onde ~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1), a
base canonica para o espaco de vetores V 3 e Σ = (O, ~e1, ~e2, ~e3) o sistema ortogonal de
coordenadas para o espaco IE3, com O = (0, 0, 0) a origem para esse sistema ortogonal de
coordenadas. Determine as respectivas projecoes ortogonais do ponto P = (2,−1, 3) ∈ IE3
sobre os eixos coordenados, denotadas por Px, Py, Pz ∈ IE3, e sobre os planos coordenados,
denotadas por Pxy, Pxz, Pyz ∈ IE3.
Resolucao – A resolucao pode ficar a cargo do leitor.
Petronio Pulino 197
Exemplo 3.8.8 Considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar 〈 · , · 〉 e danorma ‖ · ‖ proveniente desse produto escalar. Sejam γ∗ = { ~q1, ~q2, ~q3 } uma base ordenada
ortonormal para o espaco de vetores V 3 e Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3) um sistema ortogonal de
coordenadas para o espaco IE3. Dados os pontos A = (x1, y1, z1), B = (x2, y2, z2) ∈ IE3,
Determine as coordenadas do ponto P que divide o segmento AB numa razao λ, isto e,
d(A,P )
d(A,B)= λ ⇐⇒ ‖−→AP ‖
‖−→AB ‖= λ para 0 ≤ λ ≤ 1 , (3.29)
como ilustra a Figura 3.16.
Resolucao – Considerando a equacao (3.29) e a ilustracao da Figura 3.16, note que podemos
escrever um ponto P pertencente ao segmento AB da seguinte forma:
P = A + λ−→AB ⇐⇒ −→
AP = λ−→AB para 0 ≤ λ ≤ 1, (3.30)
Por simplicidade, vamos escrever o ponto P = (x, y, z), com relacao ao sistema ortogonal
de coordenadas Σ = (O, ~q1, ~q2, ~q3). Desse modo, podemos escrever a equacao (3.30) da
seguinte forma:
(x− x1) ~q1 + (y − y1) ~q2 + (z − z1) ~q3 = λ(x2 − x1) ~q1 + λ(y2 − y1) ~q2 + λ(z2 − z1) ~q3
A equacao acima pode ser escrita da seguinte forma:
( x~q1 + y~q2 + z~q3 ) = ((1− λ)x1 + λx2)~q1 + ((1− λ)y1 + λy2)~q2 + ((1− λ)z1 + λz2)~q3
Pela igualdade de vetores, obtemos
x = (1− λ)x1 + λx2 , y = (1− λ)y1 + λy2 e z = (1− λ)z1 + λz2 ,
para 0 ≤ λ ≤ 1. Note que para λ =1
2obtemos as coordenadas do ponto medio.
Ar
Pr
Br
Figura 3.16: O ponto P divide o segmento AB numa razao λ
198 Geometria Analıtica e Vetores
3.9 Exercıcios
Em todos os Exercıcios, considere o espaco de vetores V 3 munido com o produto escalar
〈 · , · 〉 , definido da seguinte forma:
〈 ~u,~v 〉 = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
e com a norma proveniente desse produto escalar, denominadaNorma Euclidiana, definida
da seguinte forma:
‖ ~u ‖ =√
〈 ~u, ~u 〉 =√
(x1)2 + (x2)2 + (x3)2
para todo ~u = (x1 , x2 , x3) , ~v = (y1 , y2 , y3) ∈ V 3.
Considere tambem o espaco de vetores V 3 munido com a base canonica β = {~e1, ~e2, ~e3 },onde ~e1 = (1, 0, 0) , ~e2 = (0, 1, 0) e ~e3 = (0, 0, 1). Definimos por Σ = (O, ~e1, ~e2, ~e3)
o sistema ortogonal de coordenadas para o espaco IE3, com O = (0, 0, 0) a origem para
esse sistema ortogonal de coordenadas.
Exercıcio 3.9.1 Determine as coordenadas do ponto medio M do segmento AB, onde os
pontos A, B ∈ IE3 sao dados por: A = (1,−2, 3) e B = (−2, 3, 4).
Exercıcio 3.9.2 Determine as coordenadas do ponto P que divide o segmento AB numa
razao de tres quartos, onde os pontos A, B ∈ IE3 sao dados por:
A = (1,−2, 3) e B = (−2, 3, 4) .
Exercıcio 3.9.3 Determine as coordenadas do ponto P ′ simetrico ao ponto P = (2,−4,−6)
com relacao ao ponto M = (1,−1, 1). Faca inicialmente uma representacao grafica para
auxiliar na resolucao do exercıcio.
Exercıcio 3.9.4 Determine o vetor ~v ∈ V 3 de modo que P = Q + ~v, onde os pontos
P, Q ∈∈ IE3 sao dados por: P = (3,−2, 1) e Q = (3,−4, 6). Faca inicialmente uma
representacao grafica para auxiliar na resolucao do exercıcio.
Exercıcio 3.9.5 Determine o escalar λ ∈ IR de modo que P = Q + λ~v, onde os pontos
P, Q ∈∈ IE3 e o vetor ~v ∈ V 3 sao dados por:
P = (1,−10, 14) , Q = (3,−4, 6) e ~v = (−1,−3, 4) .
Faca inicialmente uma representacao grafica para auxiliar na resolucao do exercıcio.
Exercıcio 3.9.6 Dados os ponto A, B, C, D ∈ IE3 os vertices de um cubo, onde
A = (−a,−a,−a) , B = (a,−a,−a) , C = (−a, a,−a) e D = (a, a, a) .
Determine as coordenadas dos outros vertices. Faca uma representacao grafica para auxiliar
na resolucao do exercıcio.
Petronio Pulino 199
Exercıcio 3.9.7 Dados os pontos A, B, D ∈ IE3 os vertices de um paralelogramo ABCD,
onde
A = (1, 1, 1) , B = (2, 0, 2) e D = (3, 2, 0) .
Determine as coordenadas do vertice C, oposto ao vertice A. Faca uma representacao
grafica para auxiliar na resolucao do exercıcio.
Exercıcio 3.9.8 Dados os pontos A, B, C ∈ IE3 os vertices de um paralelogramo ABCD,
onde
A = (3,−4, 7) , B = (−5, 3,−2) e C = (1, 2,−3) .
Determine as coordenadas do vertice D, oposto ao vertice B. Faca uma representacao
grafica para auxiliar na resolucao do exercıcio.
Exercıcio 3.9.9 Determinar os pontos P no eixo coordenado OX cuja distancia ao ponto
A = (1,−2, 4) seja igual a 6.
Exercıcio 3.9.10 Determinar o lugar geometrico dos pontos P , no plano coordenado OXY ,
cuja distancia ao ponto A = (1,−2, 4) seja igual a 6.
Exercıcio 3.9.11 Determinar o lugar geometrico dos pontos P , no plano coordenado OXZ ,
cuja distancia ao ponto A = (1,−2, 4) seja igual a 6.
Exercıcio 3.9.12 Determinar o lugar geometrico dos pontos P , no plano coordenado OYZ ,
cuja distancia ao ponto A = (1,−2, 4) seja igual a 6.
Exercıcio 3.9.13 Qual interpretacao geometrica poderıamos propor para os Exercıcios 3.9.10,
3.9.11 e 3.9.12.
Exercıcio 3.9.14 O segmento AB esta dividido em quatro partes iguais pelos pontos C, D, E,
onde os pontos A e B sao dados por:
A = (2, 1, 4) e B = (4, 3, 2) .
Determine as coordenadas dos pontos C, D, E ∈ IE3. Faca uma representacao grafica para
auxiliar na resolucao do exercıcio.
Exercıcio 3.9.15 Determine a interseccao da superfıcie esferica de centro C = (1,−2, 4)
e raio r = 6 com os planos coordenados OXY , OXZ e OYZ .
200 Geometria Analıtica e Vetores
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Edicao, McGraw–Hill (1987).
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Algebra Linear , Terceira Edicao, Editora Harbra Ltda (1986).
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Ensino Medio, Volume 1, Nona Edicao, Colecao do Professor de Matematica, Sociedade
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