Geometria Diferencial - UEL Portal · (Bola aberta de raio r em um ponto) Uma bola aberta de raio r centrada ... (curva) cont´ınua f : [0,1] → S com f(0) = p e f(1) = q tal que

Geometria DiferencialSuperfıcies no espaco tridimensional

Prof. Ulysses Sodre

Londrina-PR, 20 de Setembro de 2007.

Conteudo

1 Topologia de Rn 3

1.1 Bola aberta em Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Conjuntos abertos em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Propriedades dos conjuntos abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Propriedade de separacao de Hausdorff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Conjunto fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.6 Ponto isolado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.7 Ponto de acumulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.8 Ponto de aderencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.9 Caracterizacao de conjunto fechado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.10 Conjunto conexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.11 Conjunto conexo por caminhos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.12 Conjunto compacto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Funcoes vetoriais de varias variaveis reais 7

2.1 Aplicacao vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Aplicacao linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Aplicacao linear e posto de uma aplicacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 Aplicacoes contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5 Homeomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6 Derivadas direcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Geometria Diferencial - Superfıcies em R3 - Ulysses Sodre - Matematica - UEL - 2007

CONTEUDO 2

2.7 Aplicacao diferenciavel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.8 Matriz jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.9 Regra da cadeia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.10 Teorema da funcao inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 Superfıcies no espaco tridimensional 12

3.1 Superfıcies em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Parametrizacao regular para um conjunto S de R3 . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Curvas coordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.4 Vetores tangentes a uma superfıcie S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.5 Vetor Normal e Plano tangente a uma superfıcie S . . . . . . . . . . . . . . 16

3.6 Parametrizacao de uma superfıcie pelo grafico . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.7 Ponto crıtico, valor crıtico e valor regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.8 Superfıcie regular como imagem inversa de um valor regular . . . . . . . 17

3.9 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.10 Superfıcies regradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.11 Mudanca de parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.12 Superfıcies orientaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.13 Vetor normal a uma superfıcie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.14 Superfıcies de revolucao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.15 Superfıcie tubular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24


Secao 1 Topologia de Rn 3

1 Topologia de Rn

1.1 Bola aberta em Rn

Definicao 1.1. (Bola aberta de raio r em um ponto) Uma bola aberta de raio r centradaem um ponto p ∈ Rn, denotada por Br(p), e o conjunto de todos os pontos x ∈ Rn tal que|x − p| < r. Quando x pertence a esta bola aberta, denotamos tal fato por x ∈ Br(p).

Exemplo 1.1. (Bolas abertas)1. O conjunto {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 < r2

} e uma bola aberta em R2.2. O conjunto {(x, y) ∈ R2 : (x − x0)2 + (y − y0)2 < r2

} e uma bola aberta em R2.

1.2 Conjuntos abertos em R3

Definicao 1.2. (Conjunto aberto) Um conjunto A e aberto em Rn se, para cada pontop ∈ A, existe uma bola aberta Br(p) de raio r centrada em p inteiramente contida em A.

Exemplo 1.2. (Conjuntos abertos)1. O intervalo aberto (a, b) e aberto em R.2. A bola aberta Br(p) e um conjunto aberto em Rn.3. O conjunto {(x, y) ∈ R2 : x > 0} e um conjunto aberto em R2.4. O conjunto {(x, 0) ∈ R2 : x > 0} nao e um conjunto aberto em R2.

1.3 Propriedades dos conjuntos abertos

Proposicao 1.3. (Propriedades dos conjunto abertos em Rn)1. ∅ e Rn sao conjuntos abertos em Rn

2. Se (Ak) e uma colecao de conjuntos abertos em Rn, entao, qualquer reuniao de conjuntosdessa colecao e um conjunto aberto em Rn.

3. Se (Ak) e uma colecao de conjuntos abertos em Rn, entao a intersecao de conjuntosdessa colecao e um conjunto aberto em Rn.

Exercıcio: Sera possıvel demonstrar que1. a intersecao A ∩ B e a reuniao A ∪ B sao conjuntos abertos em R2, desde que

A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0} e B = {(x, y) ∈ R2 : y > 0}.2. a intersecao de todos os conjuntos abertos da forma geral An = {(x, 0) ∈ R2 : x > 1/n}

e um conjunto aberto em R2?3. a reuniao de todos os conjuntos abertos da forma geral An = {(x, 0) ∈ R2 : x > 1/n}

e um conjunto aberto em R2?


1.4 Propriedade de separacao de Hausdorff 4

1.4 Propriedade de separacao de Hausdorff

Proposicao 1.4. (Propriedade da separacao de pontos em Rn) Se p e q sao pontos distintos emRn, existem bolas abertas Br(p) e Bs(q), com r > 0 e s > 0, tal que Br(p) ∩ Bs(q) = ∅.

1.5 Conjunto fechado

Definicao 1.3. (Conjunto aberto) Um conjunto F e fechado em Rn se o seu complementarFc e um conjunto aberto em Rn.

Exercıcio: Apresentar exemplos de conjuntos fechados em Rn.

1.6 Ponto isolado

Definicao 1.4. (Ponto isolado) Um ponto p de um conjunto C em Rn e um ponto isolado,se existe uma bola aberta Br(p) com r > 0 contendo apenas o ponto p.

Exercıcio: Exibir alguns pontos isolados do conjunto C = {(1m,

1n

) : (m,n) ∈ N2}.

1.7 Ponto de acumulacao

Definicao 1.5. (Ponto de acumulacao) Um ponto p e ponto de acumulacao do conjuntoS em Rn se, toda bola Br(p) possui pontos de S que sao diferentes do proprio ponto p.

Exercıcio: Exibir um ponto de acumulacao do conjunto C = {(1m,

1n

) : (m,n) ∈ N2}.

1.8 Ponto de aderencia

Definicao 1.6. (Ponto de aderencia) Um ponto p e ponto de aderencia de um conjunto Sem Rn se toda bola Br(p) possui possui pontos de S.

Exercıcio: Exibir um ponto de aderencia do conjunto C = {(1m,

1n

) : (m,n) ∈ N2}.


1.9 Caracterizacao de conjunto fechado 5

Proposicao 1.5. (Ponto de acumulacao e ponto de aderencia) Se um ponto p e ponto deacumulacao de um conjunto S em Rn, entao p e ponto de aderencia do conjunto S.

Exercıcio: Seja C = {(1m,

1n

) : (m,n) ∈ N2}. Exibir um ponto de aderencia de C que nao e

ponto de acumulacao de C.

1.9 Caracterizacao de conjunto fechado

Proposicao 1.6. (Conjunto fechado atraves de pontos de acumulacao) Um conjunto S em Rn efechado se, e somente se, S contem todos os seus pontos de acumulacao.

1.10 Conjunto conexo

Definicao 1.7. (Conjunto conexo) Um conjunto S de Rn e conexo, se N pode decom-posto na reuniao disjunta de dois conjuntos abertos nao vazios de Rn.

Pelo grafico em anexo, observamos que a intersecao de dois conjuntos conexos naonecessariamente e um conjunto conexo.

1.11 Conjunto conexo por caminhos

Definicao 1.8. (Conjunto conexo por caminhos) Um conjunto S de Rn e conexo porcaminhos se, dados quaisquer dois pontos p e q do conjunto S, existe uma aplicacao(curva) contınua f : [0, 1] → S com f (0) = p e f (1) = q tal que a imagem f ([0, 1]) estainteiramente contida em S.


1.12 Conjunto compacto 6

Exemplo 1.7. (Conjunto conexo por caminhos) O pente e conexo por caminhos.

Observacao 1.1. As definicoes de conjuntos conexos e conexos por caminhos coincidemna reta real R, mas em Rn tais definicoes nao sao equivalentes.

Exercıcios: Demonstrar que1. um conjunto S em R e conexo se, e somente se, S e um intervalo.2. conjuntos conexos por caminhos sempre sao conjuntos conexos.3. existem conjuntos de R2 que sao conexos mas nao sao conexos por caminhos.4. se um conjunto S e conexo e aberto em Rn, entao S e conexo por caminhos.

1.12 Conjunto compacto

Definicao 1.9. (Conjunto limitado) Um conjunto K de Rn e limitado se, existe uma bolaBr(p) contendo inteiramente o conjunto K para todo p ∈ K.

Exercıcio: Apresentar exemplos de conjuntos limitados em Rn.

Definicao 1.10. (Conjunto compacto) Um conjunto K de Rn e compacto se K e limitadoe e fechado em Rn.

Observacao 1.2. Existem varias maneiras equivalentes de definir conjuntos compactos.

Exercıcio: Sobre conjuntos compactos1. Apresentar exemplos de conjuntos compactos em Rn.2. Qual e a importancia de conjuntos compactos em Rn.3. Qual e a ligacao entre conjuntos fechados e conjuntos compactos em Rn.4. Qual e a ligacao entre conjuntos limitados e conjuntos compactos em Rn.


Secao 2 Funcoes vetoriais de varias variaveis reais 7

2 Funcoes vetoriais de varias variaveis reais

2.1 Aplicacao vetorial

Definicao 2.1. (Aplicacao vetorial) Seja V ⊂ Rm. Uma aplicacao f : V → Rn e umaaplicacao vetorial com variaveis reais se, a cada v ∈ V associa um vetor f (v) ∈ Rn. Aqui,Dom( f ) = V e um conjunto de vetores e Im( f ) tambem e um conjunto de vetores.

Exemplo 2.1. (Aplicacoes vetoriais)1. f : R2

→ R3, f (x, y) = (x, y, x2 + y2)2. g : R3

→ R2, g(x, y, z) = (x, y)

2.2 Aplicacao linear

Definicao 2.2. (Aplicacao linear) Uma aplicacao f : Rm→ Rn e linear se, para quaisquer

u, v ∈ Rm e quaisquer escalares a, b ∈ R, se tem que f (a.u + b.v) = a. f (u) + b. f (v).

Exemplo 2.2. (Aplicacoes lineares)1. f : R2

→ R3, f (x, y) = (x, y, x + y)2. f : R3

→ R2, f (x, y, z) = (y, x)3. f : R3

→ R3, f (x, y, z) = (x, 0, 0)4. f : R3

→ R2, f (x, y, z) = (0, 0)

A matriz da aplicacao linear f nas bases canonicas de Rm e Rn e denotada por M = [ f ] eo posto de uma matriz M e o numero de linhas linearmente independentes de M.

2.3 Aplicacao linear e posto de uma aplicacao

Teorema 2.3. (Linearidade e posto) Se f : R3→ R3 e uma aplicacao linear e M = [ f ], entao

1. f e bijetora se, e somente se, posto(M) = 3.2. f aplica R3 sobre um plano de R3 se, e somente se, posto(M) = 2.3. f aplica R3 sobre uma curva de R3 se, e somente se, posto(M) = 1.

Exercıcio: Determinar o posto da aplicacao linear f (x, y, z) = (3x + 2y, 4x − 5y, 6x − 8y).

Teorema 2.4. Se f : R2→ R3 e uma aplicacao linear e M = [ f ], entao

1. f aplica R2 injetivamente sobre um plano de R3 se, e somente se, posto(M) = 2.2. f aplica R2 sobre uma curva de R3 se, e somente se, posto(M) = 1.

Exercıcio: Seja T : R3→ R3 definida por T(x, y, z) = (2x+ y−2z, x+ y− z,−x+ z). Mostrar

que a aplicacao T e linear e que posto(T) = 2, pois T aplica R3 sobre o plano x− y+ z = 0.


2.4 Aplicacoes contınuas 8

2.4 Aplicacoes contınuas

Definicao 2.3. (Aplicacao contınua em um ponto) Seja S ⊂ Rm. A aplicacao f : S → Rn

e contınua em um ponto p ∈ S se, para cada bola aberta Bε( f (p)) na imagem f (S) existeuma bola aberta Br(p) ⊂ S tal que

f (Br(p)) ⊂ f (Bε( f (p))

Definicao 2.4. (Aplicacao contınua em um ponto) A aplicacao f : S ⊂ Rm→ Rn e

contınua em p ∈ S se, dado ε > 0 existe r > 0 tal que se x ∈ Br(p) entao f (x) ∈ Bε( f (p)).

Teorema 2.5. (Continuidade componente a componente) A aplicacao f = ( f1, f2, f3, ..., fm) econtınua em x = p se, e somente se, cada componente fi e contınua em x = p, para todoi = 1, 2, 3, ...,m.

Definicao 2.5. (Continuidade sobre um conjunto) Uma aplicacao f : S ⊂ Rm→ Rn e

contınua sobre o conjunto S se f e contınua em todos os pontos do conjunto S.

Definicao 2.6. (Aplicacao contınua por conjuntos abertos) Uma aplicacao f : S→ T comS ⊂ Rm e T ⊂ Rn e contınua sobre o conjunto S, se para cada conjunto W aberto em T,f −1(W) e um conjunto aberto em S.

Proposicao 2.6. (Propriedades das aplicacoes vetoriais contınuas) Se f e g sao aplicacoes veto-riais contınuas em x = p e α e uma funcao escalar contınua em x = p, entao tambem saocontınuas no ponto x = p as aplicacoes:

1. Valor absoluto | f |2. Adicao f + g

3. Subtracao f − g4. Produto de funcoes α. f

5. Produto escalar f · g6. Produto vetorial f × g

Teorema 2.7. (Continuidade e conexao) Se uma aplicacao f : S → T com S ⊂ Rm e T ⊂ Rn econtınua sobre o conjunto S e A e um conjunto conexo em S, entao f (A) tambem e um conjuntoconexo em T.

Teorema 2.8. (Continuidade e compacidade) Se uma aplicacao f : S→ T com S ⊂ Rm e T ⊂ Rn

e contınua sobre o conjunto S e K e um conjunto compacto em S, entao f (K) tambem e umconjunto compacto em T.

Teorema 2.9. (Valores extremos) Se uma aplicacao f : S → R com S ⊂ Rm e contınua sobre oconjunto S e K e um conjunto compacto em S, entao a funcao f assume os seus valores extremos(valor maximo e valor mınimo) sobre o conjunto K.

Teorema 2.10. (Composta de funcoes contınuas) Sejam A,B,C ⊂ R3. Se f : A→ B e contınuae g : B→ C e contınua, entao g ◦ f : A→ C e contınua.

2.5 Homeomorfismo

Teorema 2.11. (Homeomorfismo) Uma aplicacao f : S→ T e homeomorfismo entre os conjuntosS e T se, f e uma aplicacao contınua cuja inversa f −1 : T→ S tambem e uma aplicacao contınua.Quando existe um homeomorfismo f : S→ T, diz-se que S e T sao homeomorfos.


2.6 Derivadas direcionais 9

Exemplo 2.12. (Homeomorfismos) Demonstrar que:1. o intervalo (a, b) e homeomorfo ao intervalo (0, 1).2. o intervalo (0, 1) e homeomorfo ao intervalo (−1, 1).3. o intervalo (−1, 1) e homeomorfo ao intervalo (−π, π).4. o intervalo (−π, π) e homeomorfo a reta real R.5. o conjunto S1 = {(x, y) ∈ R2; x2 + y2 = 1} − {(0, 1)} e homeomorfo a R.6. o conjunto S2 = {(x, y, z) ∈ R3; x2 + y2 + z2 = 1} − {(0, 0, 1)} e homeomorfo a R2.

Proposicao 2.13. (Homeomorfismos) Sejam R,S,T ⊂ R3.1. Se f e um homeomorfismo entre R e S, entao f −1 e um homeomorfismo entre S e R.2. Se f e um homeomorfismo entre R e S e g e um homeomorfismo entre S e T entao g ◦ f e

um homeomorfismo entre R e T.

2.6 Derivadas direcionais

Definicao 2.7. (Derivada direcional) Seja f : V → Rn, V um conjunto aberto de Rm, p ∈ Ve v um vetor nao nulo de Rm. A derivada direcional de f no ponto p na direcao do vetorv e o vetor denotado por Dv f (p), obtido pelo limite

Dv f (p) = limt→0

f (p + tv) − f (p)t

quando este limite existe.

Quando definimos F(t) = f (x0 + tv0), segue que F ′(0) = Dv f (p).

Exercıcio: Construir um grafico indicando a derivada direcional de f em um ponto.

Exemplo 2.14. (Derivada direcional) Para f (x, y) = (x, y, x + y), p = (2, 4) e v = (6, 2):

D(6,2) f (2, 4) = limt→0

f ((2, 4) + t(6, 2)) − f (2, 4)t

= limt→0

f ((2 + 6t, 4 + 2t) − f (2, 4)t

= limt→0

(2 + 6t, 4 + 2t, 6 + 8t) − (2, 4, 6)t

= (6, 2, 8)

Observacao 2.1. Se ek = (0, ..., 1, ..., 0) e um vetor com 1 na componente k e 0 nas outrascomponentes e f = ( f1, f2, ..., fm), entao a derivada direcional de f na direcao do vetor ek,e igual a derivada parcial de f com relacao a xk (k-esima variavel), isto e,

Dek f (x) = (∂ f1

∂xk,∂ f2

∂xk, · · · ,

∂ fm

∂xk)

Exemplo 2.15. Se f (x, y) = (x, y, x + y), p = (a, b) e v = (1, 0):

D(1,0) f (a, b) = limt→0

f ((a, b) + t(1, 0)) − f (a, b)t

= limt→0

f ((a + t, b) − f (a, b)t

= limt→0

(a + t, b, a + b + t) − (a, b, a + b)t

= limt→0

(t, 0, t)t= (1, 0, 1) =

∂ f∂x

(a, b)


2.7 Aplicacao diferenciavel 10

2.7 Aplicacao diferenciavel

Definicao 2.8. (Aplicacao diferenciavel) Seja V um conjunto aberto de Rm. A aplicacaof : V → Rn e diferenciavel em p ∈ V, se existe uma aplicacao linear Lp : Rm

→ Rn queassocia a cada v ∈ Rm um vetor Lp(v) ∈ Rn tal que

f (p + v) = f (p) + Lp(v) + R(p, v)

se lim|v|→0

R(p, v)|v|

= 0. Considerando que Lp e uma aplicacao linear, este limite pode ser

reescrito na forma limt→0

R(p, tv)t

= 0 e segue que Dv f (p) = Lp(v).

Teorema 2.16. (Diferenciabilidade garante existencia de derivadas direcionais) Se a aplicacao fe diferenciavel em x = p, entao f possui derivadas direcionais no ponto p em todas as direcoes.

Exercıcio: Construir uma aplicacao vetorial que possui derivadas direcionais em todasas direcoes em um ponto, mas que nao e uma aplicacao diferenciavel neste ponto.

Teorema 2.17. (Diferenciabilidade implica continuidade) Se f e uma aplicacao vetorial dife-renciavel em p, entao f e contınua em p.

Definicao 2.9. (Diferencial de uma aplicacao) A aplicacao linear Lp e denominada adiferencial de f em p, denotada por uma das formas d f (p) = f ′(p) = D f (p) = Lp.

2.8 Matriz jacobiana

Definicao 2.10. (Matriz jacobiana) Seja f = ( f1, f2, ..., fm) definida e diferenciavel emx = (x1, x2, ..., xn). Definimos matriz jacobiana de f no ponto x, por

J( f ) =∂( f1, f2, ..., fm)∂(x1, x2, ..., xn)

=

∂ f1

∂x1· · ·

∂ f1

∂x j· · ·

∂ f1

∂xn...

. . ....

......

∂ fi

∂x1· · ·

∂ fi

∂x j· · ·

∂ fi

∂xn...

......

. . ....

∂ fm

∂x1· · ·

∂ fm

∂x j· · ·

∂ fm

∂xn

Exemplo 2.18. A matriz jacobiana da aplicacao f (u, v,w) = (u + 2v + 3w, 4u − 5v − 6w) e

J( f ) =(1 2 34 −5 −6

)Proposicao 2.19. (Propriedades das aplicacoes vetoriais diferenciaveis) Se f e g sao aplicacoesdiferenciaveis em p e α e uma funcao escalar diferenciavel em p, entao sao diferenciaveis no pontop as aplicacoes:


2.9 Regra da cadeia 11

1. Valor absoluto | f |2. Adicao f + g

3. Subtracao f − g4. Produto de funcoes α. f

5. Produto escalar f · g6. Produto vetorial f × g

Teorema 2.20. (Diferenciabilidade versus derivadas parciais) Uma aplicacao vetorial f e con-tinuamente diferenciavel em x = p se, e so se, as suas derivadas parciais sao continuas emx = p.

2.9 Regra da cadeia

Teorema 2.21. (Derivada da composta) Sejam A,B,C ⊂ R3. Se f : A → B e uma aplicacaovetorial diferenciavel em p e g : B → C e uma aplicacao vetorial diferenciavel em f (p), entao aaplicacao composta g ◦ f : A→ C e uma aplicacao vetorial diferenciavel em x = p e alem disso

D(g ◦ f )(p) = D(g( f (p)) ·D( f (p))

Exemplo 2.22. (Regra da cadeia) Para f (x, y) = (x+ y, x− y, x2+ y2), x = 1+ t2 e y = sin(t):

d fdt=

d fdx

dxdt+

d fdy

dydt= 2t(1, 1, 2(1 + t2)) + cos(t)(1,−1, 2 sin(t))

= (2t + cos(t), 2t − cos(t), 4t + 4t3 + sin(2t))

2.10 Teorema da funcao inversa

Teorema 2.23. (Teorema da funcao inversa) Se f : V ⊂ R3→ R3 e J( f )(p) , 0, entao existe

uma vizinhanca aberta S(p) ⊂ V tal que1. f restrita a vizinhanca aberta S(p) e injetiva;2. f (S(p)) e um conjunto aberto, e,3. a funcao inversa f −1 e diferenciavel em f (S(p)).

Exercıcio: Exibir um exemplo de uma funcao f = f (x, y, z) para a qual possamos aplicaro Teorema da funcao inversa.

Teorema 2.24. Uma aplicacao linear f : R2→ R3 e bijetiva sobre um plano de R3 se, e somente

se, posto([ f ]) = 2.

Teorema 2.25. (Teorema da funcao implıcita) Se f : R2× R → R e diferenciavel tal que

f (x0, y0, z0) = 0 e fz(x0, y0, z0) , 0), entao existe z = z(x, y) definida sobre um conjuntoS(x0, y0, z0) tal que f (x, y, z(x, y)) = 0 para todo par (x, y) ∈ Sπ(x0, y0) e alem disso

zx = −fx

fz, zy = −

fy

fz

Exercıcio: Exibir um exemplo de uma funcao f = f (x, y, z) para a qual possamos aplicaro Teorema da funcao implıcita.


Secao 3 Superfıcies no espaco tridimensional 12

3 Superfıcies no espaco tridimensional

3.1 Superfıcies em R3

Uma superfıcie(1) e um objeto geometrico bi-dimensional estendido no espaco comalgumas condicoes de suavidade. Existem varios modos de usar a Matematica paraexpressar quantitativamente este fato sobre superfıcies bi-dimensionais em R3.

No espaco euclidiano tri-dimensional R3, a escolha de um ponto arbitrario implica aexistencia de tres graus de liberdade, pois um ponto e determinado por tres coordenadas.Para reduzir a extensao dessa liberdade, nos podemos relacionar as tres coordenadas deum ponto arbitrario por uma equacao:

F(x, y, z) = 0 (3.1)

Assim, a escolha de duas coordenadas determina a terceira coordenada de um ponto.Isto significa que nos podemos definir uma superfıcie por meio de uma equacao emalgum sistema de coordenadas (que pode ser um sistema de coordenadas caretsianas).Ja usamos este metodo de definir superfıcies quando estudamos uma curva como aintersecao de duas superfıcies definidas por f (x, y, z) = 0 e g(x, y, z) = 0.

Outro modo de definir uma superfıcie e o metodo parametrico. Da mesma maneira que noestudo de curvas, as superfıcies podem ser parametrizadas por dois parametros, aquidenotados por u e v, atraves de uma aplicacao:

f (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) = x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k (3.2)

que e a expressao do raio-vetor de cada ponto de uma superfıcie em um sistema decoordenadas cartesianas em funcao dos parametros u e v.

Em geral, so uma parte de uma superfıcie e representada na forma parametrica, assim,considerando o par ordenado (u, v) ∈ R2, nos podemos assumir que o ponto (u, v) sedesloca sobre algum domınio(2) U ⊂ R2. Vamos denotar por W = f (U) a imagem de Upela aplicacao 3.2. Assim, W e denominado o domınio mapeado(3), U e o mapa ou a cartae a funcao 3.2 e a carta que mapeia U sobre D.

A classe de suavidade (isto e, a classe de diferenciabilidade) da superfıcie D e determi-nada pela classe de suavidade da funcao f (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v), que equivale aclasse de suavidade das funcoes componentes x = x(u, v), y = y(u, v) e z = z(u, v).

Na sequencia, nos consideraremos somente as superfıcies para as quais estas funcoessao pelo menos continuamente diferenciaveis.

Diferenciando as componentes de f = f (u, v), nos podemos tomar as suas derivadas na

1Parte deste material foi adaptada do trabalho do Sharipov, que esta disponıvel na Internet.2Um domınio e um conjunto aberto e conexo3Tambem conhecido como imagem ou traco da superfıcie


3.2 Parametrizacao regular para um conjunto S de R3 13

matriz de Jacobi (matriz jacobiana):

J f =∂(x, y, z)∂(u, v)

=

xu xv

yu yv

zu zv

(3.3)

3.2 Parametrizacao regular para um conjunto S de R3

Definicao 3.1. Uma parametrizacao regular para um conjunto S ⊂ R3 e uma aplicacao:(S1) f : U→ S continuamente diferenciavel, onde U e um aberto de R2,(S2) f e um homeomorfismo,(S3) a matriz jacobiana tem posto igual a 2.

Quando um conjunto S de R3 possui uma parametrizacao regular, este conjunto S recebeo nome de superfıcie regular.

Intuitivamente, uma superfıcie S e um conjunto de pontos de R3, sendo que cada pontode S pode ser confundido com um plano tangente a S tracado neste ponto.

Observacao 3.1. Afirmar que uma superfıcie S possui uma parametrizacao regular tem omesmo significado que exibir:

1. Um domınio U ⊂ R2,2. Uma aplicacao bijetiva f : U→ S,3. A inversa f −1 : S → U dada por tres aplicacoes continuamente diferenciaveis

regulares em todos os pontos do domınio S.

Exemplo 3.1. (Parametrizacoes e superfıcies)

1. O paraboloide S = {(x, y, z) ∈ R3 : z =12

(x2 + y2)}, pode ser parametrizado pela

aplicacao f : R2→ R3 de classe C∞ definida por f (u, v) = (u + v,u − v,u2 + v2).

2. A esfera S = {(x, y, z) ∈ R3 : x2+ y2+ z2 = 1}, pode ser parametrizada pela aplicacaof : R2

→ R3 definida por f (u, v) = (cos(u) sin(v), sin(u) sin(v), cos(v)).3. Um cilindro e uma superfıcie gerada por uma reta r (gerada pelo vetor unitario w)

que se move paralelamente sobre uma curva C : g = g(u). Uma parametrizacaopara o cilindro e f : R2

→ R3 definida por f (u, v) = g(u) + v w.4. O hemisferio norte de uma esfera de raio unitario pode ser parametrizado pela

aplicacao f : R2→ R3 definida por f (u, v) = (u, v,

√

1 − u2 − v2).5. O hemisferio norte de uma esfera de raio unitario pode ser parametrizado pela

aplicacao f : R2→ R3 definida por f (u, v) = (cos(u) sin(v), sin(u) sin(v), cos(v)).

6. O hemisferio norte de um elipsoide possui uma parametrizacao regular definidapor f : R2

→ R3 definida por f (u, v) = (a cos(u) sin(v), b sin(u) sin(v), c cos(v)).


3.2 Parametrizacao regular para um conjunto S de R3 14

Quando uma aplicacao parametrizada e regular, a matriz jacobiana J f =∂(x, y, z)∂(u, v)

possui

tres determinantes menores de ordem 2, que sao:∣∣∣∣∣xu xv

yu yv

∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣yu yv

zu zv

∣∣∣∣∣ ∣∣∣∣∣zu zv

xu xv

∣∣∣∣∣ (3.4)

sendo que pelo menos um deles e nao nulo.

Renomeando as variaveis x, y e z, sempre podemos fazer com que o primeiro determi-nante seja nao nulo, isto e: ∣∣∣∣∣xu xv

yu yv

∣∣∣∣∣ , 0. (3.5)

Aqui, tomamos as duas componentes da parametrizacao f (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))como aplicacoes e escrevemos as mesmas como segue:

x = x(u, v) (3.6)y = y(u, v) (3.7)

Em funcao de 3.5, as aplicacoes acima possuem inversas locais. Restringindo estasduas aplicacoes a alguma vizinhanca proxima de um ponto escolhido arbitrariamente,podemos construir duas funcoes continuamente diferenciaveis

u = u(x, y) (3.8)v = v(x, y) (3.9)

que sao as inversas das aplicacoes 3.6 e 3.7, fato conhecido como uma versao do Teoremada Funcao Implıcita.

Substituindo u = u(x, y) e v = v(x, y) nos argumentos da funcao z = z(u, v) na aplicacaof (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), obtemos a funcao f (x, y) = z(u(x, y), v(x, y)) tal que, cadaparte regular de uma superfıcie pode ser localmente (isto e, em alguma vizinhancado ponto sob referencia) representada como o grafico de uma funcao continuamentediferenciavel de duas variaveis z = f (x, y).

Definicao 3.1. (Superfıcies simples) Uma superfıcie simples e aquela que nao possuiautointersecoes.

Observacao sobre singularidade: A condicao de regularidade, que posto(Jp) = 2, podegerar a existencia de pontos singulares sobre uma superfıcie. Como exemplo:

S1 : f (u, v) = (u3, v3,u2 + v2) (3.10)S2 : g(u, v) = (u3, v3,u4 + v4) (3.11)

sao superfıcies definidas por funcoes suaves, mas observamos que:1. Nos dois casos, a condicao de regularidade falha em (u, v) = (0, 0).2. A superfıcie S1 possui uma singularidade na origem.3. A superfıcie S2 nao possui singularidade na origem.


3.3 Curvas coordenadas 15

3.3 Curvas coordenadas

Usando uma parametrizacao regular de S definida por f : U → S, podemos estudarcoordenadas curvilıneas sobre a superfıcie e vetores tangentes a superfıcie.

Figura 101 (Sharipov) Figura 102 (Sharipov)

As condicoes u = constante e v = constante determinam duas famılias de linhas coorde-nadas sobre o plano de parametros u e v, formando uma malha coordenada em U. Aaplicacao f (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) aplica esta malha (Figura 101) sobre uma outramalha coordenada que esta sobre a superfıcie S (Figura 102).

Definicao 3.2. (Plano tangente e reta normal) Se f : R2→ R3 e uma parametrizacao

regular de classe C1 para uma superfıcie simples S e as funcoes reais u = u(t) e v = v(t)parametrizacoes de uma curva regular g = g(t) apoiada no plano R2, entao

1. f (t) = f (u(t), v(t)) define uma curva apoiada sobre a superfıcie S.2. f ′(t) define o vetor tangente a curva em f (t) desde que f ′(t) , 0.

3.4 Vetores tangentes a uma superfıcie S

Consideremos os vetores fu e fv tangentes as curvas da malha coordenada, em cadaponto da superfıcie S.

Se a aplicacao vetorial f (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) que define a parametrizacao estaexpandida na base canonica do sistema de coordenadas cartesianas, podemos exibir osvetores tangentes a superfıcie S: fu e fv atraves dos vetores da base {i, j, k}:

fu(u, v) =∂∂u

[x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k] (3.12)

fv(u, v) =∂∂v

[x(u, v) i + y(u, v) j + z(u, v) k] (3.13)

Teorema 1. Os vetores tangentes fu e fv sao linearmente independentes em cada ponto de umasuperfıcie. Portanto, eles geram um plano que e um campo de vetores tangentes em S.


3.5 Vetor Normal e Plano tangente a uma superfıcie S 16

Demonstracao. Vamos considerar os vetores-colunas compostos pelas coordenadas carte-sianas dos vetores tangentes fu e fv:

fu =

xu

yu

zu

fv =

xv

yv

zv

(3.14)

Os vetores-colunas acima coincidem com as colunas da matriz jacobiana 3.3. Usando acondicao de regularidade (posto(J f ) = 2), segue que as colunas da matriz jacobiana J fsao linearmente independentes, o que demonstra o teorema. �

3.5 Vetor Normal e Plano tangente a uma superfıcie S

Os vetores fu e fv calculados em algum ponto de uma superfıcie S geram o plano tangentea superfıcie S neste ponto e todo vetor tangente a S neste ponto pertence a este planotangente e pode ser ser escrito como combinacao linear dos vetores fu e fv.

Consideremos uma curva parametrizada g = g(t) inteiramente contida na superfıcie(ver Figura 101 e Figura 102), definida por duas funcoes de um parametro t:

u = u(t), v = v(t) (3.15)

Substituindo u = u(t) e v = v(t) em f (u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), obtemos o raio-vetor de um ponto da curva na base canonica do sistema de coordenadas cartesianasf (t) = f (u(t), v(t)).

Derivando f = f (t) com respeito a variavel t, obtemos o vetor velocidade da partıculaf ′(t) que e tangente a curva f = f (t) em funcao das duas funcoes 3.15 acima:

f ′(t) =d fdt= fu

dudt+ fv

dvdt= u′(t) fu + v′(t) fv (3.16)

Esta relacao garante que o vetor tangente f ′(t) e uma combinacao linear dos vetores fu

e fv que geram o plano tangente.

Se uma curva g = g(t) esta apoiada na superfıcie, o vetor tangente g′(t) esta apoiado noplano tangente a esta superfıcie e as derivadas u′(t) e v′(t), sao as componentes do vetorf ′(t) gerado pelos vetores tangentes fu e fv.

Definicao 3.3. (Vetor normal, plano tangente e reta normal) Seja f : R2→ R3 uma

parametrizacao regular continuamente diferenciavel para uma superfıcie simples S euma parametrizacao para uma curva regular g = (u(t), v(t) apoiada sobre o plano R2.Definimos:

1. um vetor normal a S no ponto p, atraves de N(p) = fu × fv.2. a reta normal a S no ponto p, por r(t) = p + t N(p), (t ∈ R).3. o plano tangente a S no ponto p, por g(u, v) = p + a fu + b fv, ( b ∈ R).


3.6 Parametrizacao de uma superfıcie pelo grafico 17

3.6 Parametrizacao de uma superfıcie pelo grafico

Proposicao 3.2. (Parametrizacao pelo grafico) Se f : U → R e uma aplicacao diferenciaveldefinida sobre um conjunto aberto U ⊂ R2, entao o grafico de f , e uma aplicacao diferenciavelg : U→ R3 definida por g(x, y) = (x, y, f (x, y)) representando uma superfıcie regular em R3.

3.7 Ponto crıtico, valor crıtico e valor regular

Definicao 3.4. (Ponto crıtico, valor crıtico e valor regular.) Seja f : U ⊂ R2→ R3 uma

aplicacao diferenciavel.1. Diz-se que p ∈ U e um ponto crıtico de f se a matriz jacobiana e identicamente

nula em p, isto e, (J f )(p) ≡ θ. (Neste caso (J f )p nao e sobrejetiva.)2. O ponto f (p) e denominado valor crıtico de f .3. Se f (p) nao e valor crıtico, entao f (p) e um valor regular.

A partir das definicoes acima, a ∈ f (U) e um valor regular de f se, e somente se,grad( f ) = ( fx, fy, fz) , θ em qualquer ponto da imagem inversa e

f −1(a) = {(x, y, z) ∈ U : f (x, y, z) = a}

3.8 Superfıcie regular como imagem inversa de um valor regular

Proposicao 3.3. (Superfıcie como imagem inversa de um valor regular) Se f : U ⊂ R3→ R e

uma aplicacao diferenciavel definida sobre um conjunto aberto U de R3 e a ∈ f (U) e um valorregular de f , entao f −1(a) e uma superfıcie regular em R3.

Demonstracao. Seja p = (x0, y0, z0) ∈ f −1(a) onde a e um valor regular em f (U). Assim, epossıvel assumir que fz(p) , 0. Definindo F : U ⊂ R3

→ R3 por

F(x, y, z) = (x, y, f (x, y, z))

e tomando F(p) = F(x0, y0, z0) = (u, v,w), segue que

Fp =

1 0 fx

0 1 fy

0 0 fx

(p) = fz(p) , 0

e pelo Teorema da funcao inversa, segue a existencia de uma vizinhanca V = Vp e de umavizinhanca W =W f (p) tal que F : V →W e uma aplicacao inversıvel e assim F−1 : W → Ve uma aplicacao diferenciavel.

Para (u, v,w) ∈W) segue que F−1(u, v,w) = (u, v, g(u, v,w)) e temos em particular que

z = g(u, v, a) = h(x, y)


3.8 Superfıcie regular como imagem inversa de um valor regular 18

e diferenciavel definida sobre a projecao de V sobre o plano z = 0 e como

F( f −1{a} ∩ V) =W ∩ {(u, v,w) : w = a}

entao o grafico de h e f −1(a) ∩V e pela proposicao anterior f −1(a) ∩V e uma vizinhancacoordenada de p e p ∈ f −1(a) pode ser coberta por uma vizinhanca coordenada e podemosgarantir que f −1(a) e uma superfıcie regular. �

Exemplo 3.4. (Superfıcie regular) Mostraremos que e regular a superfıcie elipsoidaldefinida por

S :x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1

Seja S = {(x, y, z) ∈ R3 : f (x, y, z) = 0}, onde f : R3→ R e definida por

f (x, y, z) =x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 − 1

Se mostrarmos que 0 e um valor regular para f : R3→ R teremos mostrado que S = f −1(0)

e uma superfıcie regular.

Realmente,

fx =2xa2 , fy =

2yb2 , fz =

2zc2

e como fx(0, 0, 0) = fy(0, 0, 0) = fz(0, 0, 0) = 0 e (0, 0, 0) < f −1(0) segue que 0 e um valorregular para f .

Exercıcio: Exibir parametrizacoes para o Helicoide e para o Toro.

Exercıcios: Mostrar que cada uma das superfıcies abaixo e regular.1. (Hiperboloide de 2 folhas) S : x2 + y2

− z2 + 1.2. (Paraboloide) S : z = x2 + y2

3. (Cilindro) S : x2 + y2 = a2, z ∈ R4. (Plano) S : ax + by + cz + d = 05. (Paraboloide hiperbolico) S : z = axy

Proposicao 3.5. Se S ⊂ R3 e uma superfıcie regular e p ∈ S, entao, existe uma vizinhanca Vp

em S tal que Vp e o grafico de uma aplicacao diferenciavel de uma das tres formas seguintes:

z = f (x, y), y = g(x, z), x = h(x, z)

Demonstracao. Seja F : U ⊂ R2→ S ⊂ R3 uma parametrizacao de S em p e tomemos

F(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), (u, v) ∈ U

Como (JF)(p) = 2, pelo menos um dos determinantes jacobianos:

∂(x, y)∂(u, v)

,∂(x, z)∂(u, v)

,∂(y, z)∂(u, v)


3.8 Superfıcie regular como imagem inversa de um valor regular 19

deve ser diferente de zero no ponto q = F−1(p)

Se∂(x, y)∂(u, v)

(q) , 0 e a composta π ◦ F : U ⊂ R2→ R2 onde a projecao e definida por

π(x, y, z) = (x, y) Assim (π ◦ F)(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) e alem disso∂(x, y)∂(u, v)

(q) , 0.

Aplicando o Teorema da funcao inversa, podemos garantir que existem vizinhancas V1

de q e V2 de (π ◦ F)(q) tal que V1 e V2 sao difeomeorfos pela aplicacao π ◦ F, assim, peloTeorema da funcao inversa

(π ◦ F)−1(V2) = V1

e como F e um homeomorfismo, segue que

(π ◦ F)−1(x, y) = (u(x, y), v(x, y))

garantindo queF(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

Desse modo

F(x, y) = (x(u(x, y), v(x, y)), y(u(x, y), v(x, y)), z(u(x, y), v(x, y)))

o que significa queF(x, y) = (x, y, z(x, y))

e a parametrizacao pelo grafico da superfıcie z = z(x, y). �

Exemplo 3.6. Seja a superfıcie S parametrizada por x = u + v, y = u − v e z = u2 + v2

sendo (u, v) ∈ R2.

Como∂(x, y)∂(u, v)

=

∣∣∣∣∣1 11 −1

∣∣∣∣∣ , 0

entao existe z = z(x, y) cujo grafico representa a superfıcie S.

Como (dudv

)=∂(x, y)∂(u, v)

(dxdy

)entao podemos escrever z = 1

2 (x2 + y2) que representa a superfıcie S.

Exercıcio: Usando a Proposicao (3.5), mostrar que o cone de uma folha, definido para(x, y) ∈ R2 por

z =√

x2 + y2

nao e uma superfıcie regular.

Exercıcio: Qual e o domınio de definicao do cone como superfıcie regular?

Exercıcio: Mostrar que o cone de duas folhas z2 = x2 + y2 nao e uma Superfıcie Regular.


3.9 Exercıcios 20

Proposicao 3.7. Seja p ∈ S e F : U ⊂ R2→ R3 sendo p ∈ F(U), satisfazendo as condicoes S1 e

S2 da definicao (3.1). Se F for injetiva, entao F−1 e contınua.

Demonstracao. Seja F(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)), com (u, v) ∈ U e q = F−1(p) ∈ U.

Suponhamos que∂(x, y)∂(u, v)

(q) , 0 e que π : R3→ R2 e definida por π(x, y, z) = (x, y).

Pelo Teorema da funcao inversa, existem V = V(q) e W = W((π ◦ F)(q)) tal que π ◦ F :V →W e um difeomeorfismo sobre W.

Como F e injetiva, entaoF−1|F(V) = (π ◦ F)−1

◦ π|F(V)

e como (π ◦ F)−1 e π sao contınuas, segue que F−1 e contınua sobre F(U), isto e, F−1 econtınua sobre o conjunto F(U). �

Exercıcio: Seja P = {(x, y, z) ∈ R3 : x = y} um plano e F : U ⊂ R2→ R3 definida por

F(u, v) = (u + v,u + v,uv)

onde U = {(u, v) ∈ R2 : u > v}.

Observamos que F(U) ⊂ P, mas temos a pergunta: F e uma parametrizacao para o planoP? A resposta e NAO, pois F nao e injetiva e pela Proposicao (3.7) segue que F−1 nao econtınua, assim F sao satisfaz a condicao S2, isto e, F nao e um homeomorfismo.

3.9 Exercıcios

1. Mostrar que o cilindro C = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 = 1} e uma Superfıcie Regular eencontrar parametrizacoes cujas vizinhancas coordenadas cobrem este cilindro.

2. O conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0 e x2 + y2≤ 1} e uma Superfıcie Regular?

3. O conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : z = 0 e x2 + y2 < 1} e uma superfıcie regular?4. Exibir outra demonstracao da Proposicao (1) para h(x, y, z) = f (x, y) − z.5. Seja f (x, y, z) = z2. Provar que 0 nao e um valor regular de f mas f −1(0) e uma

superfıcie regular.6. Seja f (x, y, z) = (x + y + z − 1)2.

(a) Localizar os pontos crıticos e os valores crıticos de f .(b) Para quais valores de c, o conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : f (x, y, z) = c} e uma

Superfıcie Regular.7. Realizar uma analise semelhante a do ıtem anterior para f (x, y, z) = xyz2.8. Seja F = F(u, v) com esta na definicao de Superfıcie Regular. Verificar que JFq :

R2→ R3 e injetiva se, e somente se, (Fu × Fv)(q) , 0.

9. Construir uma parametrizacao f = f (u, v) para o elipsoide S :x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1 edescrever as curvas coordenadas para u = Constante sobre o elipsoide.


3.9 Exercıcios 21

10. Sera que e regular a superfıcie S obtida pela anexacao de dois cilindros circularesretos, representada graficamente por

11. Consideremos a esfera S2 : x2 + y2 + z2 = 1 e a projecao estereografica definidapor π : S2

− {(0, 0, 1)} → R2 que associa a cada ponto P que esta na intersecao entreS2− {(0, 0, 1)} e o plano z = 0 com a reta que liga o polo norte (0, 0, 1) ao ponto P.

(a) Mostrar que π−1 : R2→ S2 e definida por

π−1(u, v) =(2u, 2v,u2 + v2)

u2 + v2 + 1

(b) Mostrar que e possıvel cobrir a esfera S2 com a projecao estereografica, usandoapenas duas parametrizacoes.

(c) Seja V um conjunto aberto do plano z = 0. Mostrar que o conjunto {(x, y, z) ∈R3 : (x, y) ∈ V e z = 0} e uma Superfıcie Regular.

12. Mostrar que S = {(x, y, z) ∈ R3 : z = x2− y2} e uma Superfıcie Regular e analisar as

duas parametrizacoes abaixo para saber que partes de S sao cobertas por F1 e F2.(a) F1(u, v) = (u + v,u − v, 4uv), (u, v) ∈ R2

(b) F2(u, v) = (u cosh(v),u sinh(v),u2), (u, v) ∈ R2


3.10 Superfıcies regradas 22

13. Construir uma parametrizacao f = f (u, v) para z2−x2−y2 = 1 e descrever as curvas

coordenadas para u = Constante sobre o elipsoide.14. Mostrar que 4x3

− 2xy + z = 0 representa uma Superfıcie Regular em R3.

3.10 Superfıcies regradas

Definicao 3.5. (Superfıcie regrada) Uma superfıcie regrada S e uma superfıcie que emcada ponto p ∈ S existe um segmento de reta contido em S passando por p.

Observacao: Uma forma de obter superfıcies regradas e tomar uma parametrizacao daforma f (u, v) = g(u) + v h(u), onde g e h sao curvas diferenciaveis.

Exemplo 3.8. (Superfıcies regradas)1. A funcao f (u, v) = (cos(u), sin(u), 1) + v(0, 0, 1) define uma superfıcie regrada.2. O helicoide definido por f (u, v) = g(u) + vh(u) onde g(u) = (a cos(u), a sin(u),u) e

h(u) = (− cos(u),− sin(u), 0), e uma superfıcie regrada.

Exercıcio: Mostrar que a funcao f (u, v) = (u, v,uv) parametriza a superfıcie z = xy.

3.11 Mudanca de parametros

Se f : U → S e f : U → S sao parametrizacoes para uma superfıcie S, entao existe umaaplicacao h : ( f )−1(W)→ f −1(W) tal que f = f ◦ h e um difeomorfismo.

Exercıcio: Mostrar que f (u, v) = (cos(u), sin(u), v) com 0 < u < 2π e −∞ < v < ∞ e

g(x, y) = (x√

x2 + y2,

y√x2 + y2

,√

x2 + y2) onde (x, y) ∈ R2− {(0, 0)}, sao parametrizacoes

para o cilindro circular reto x2 + y2 = 1 em R3. Mostrar que existe um difeomorfismo htal que g = f ◦ h. Dica: Voce deve obter h(x, y) = (arctan(y/x),

√x2 + y2).

Exercıcio: Construir um difeomorfismo entre as superfıcies S : x2 + y2 + z2 = a2 e

E :x2

a2 +y2

b2 +z2

c2 = 1, sendo a < b < c.

Exercıcio: Mostrar que o paraboloide z = x2 + y2 e difeomorfo ao plano z = 0.


3.12 Superfıcies orientaveis 23

3.12 Superfıcies orientaveis

Uma superfıcie S e orientavel, se existem duas parametrizacoes f = f (u, v) e g = g(u, v)e existe um conjunto aberto W tal que se p ∈ W ∩ S e p ∈ f (u, v) ∩ g(u, v), entao odifeomeorfismo h existente entre f −1(W) e g−1(W) tem jacobiano positivo em p.

Exercıcio: Mostrar que o paraboloide de revolucao z = x2 + y2 e orientavel.

Observacao: Toda superfıcie que pode ser coberta por uma parametrizacao e umasuperfıcie orientavel.

Exercıcio: Mostrar que a esfera x2 + y2 + z2 = a2 e orientavel.

Exercıcio: Estudar a Faixa de Mobius com respeito a sua orientabilidade.

3.13 Vetor normal a uma superfıcie

Definicao 3.6 (Vetor normal a uma superfıcie). Se S e uma superfıcie e p ∈ S, o vetornormal unitario a superfıcie S no ponto p ∈ S e definido por

N(u, v) =fu × fv

| fu × fv|

onde f = f (u, v) e uma parametrizacao para S e a reta normal a superfıcie S passandopelo ponto p ∈ S e dada para cada t ∈ R, por

r(t) = p + t N

Definicao 3.7 (Campo diferenciavel). Um campo diferenciavel de vetores normais emU ⊂ S e uma aplicacao diferenciavel N : U → R3 que associa a cada p ∈ U um vetornormal Np.

Definicao 3.8 (Diferenciabilidade em um ponto da superfıcie). Seja f : V ⊂ S → Rdefinida em um aberto V de S.

f e diferenciavel em p ∈ V se existe uma parametrizacao φ : U ⊂ R2→ S ∩ V tal que

f ◦ φ e uma aplicacao diferenciavel sobre φ−1(p).


3.14 Superfıcies de revolucao 24

Definicao 3.9 (Diferenciabilidade entre superfıcies). Diz-se que f : S1→ S2 e uma

aplicacao diferenciavel, se existem duas parametrizacoes φ : U ⊂ R2→ S1 e ψ : V ⊂

R2→ S2 tal que h = ψ−1

◦ f ◦ φ : U ⊂ R2→ V ⊂ R2 e diferenciavel.

S1 f−−−−→ S2

φ

x xψU ⊂ R2 h

−−−−→ V ⊂ R2

3.14 Superfıcies de revolucao

Seja z = f (y) uma curva. Para rodar esta curva em torno do eixo OZ, basta tomary =√

X2 + Y2 e z = Z para obter Z = f (√

X2 + Y2).

Exemplo 3.9. (Superfıcie de revolucao) Obtemos a superfıcie de revolucao gerada por

1. z = y2 em torno do eixo OZ, tomamos y =√

X2 + Y2 e z = Z para obter Z = X2+Y2.2. x = 1

y em torno do eixo OY, tomamos x =√

X2 + Z2 e y = Y para obter X2+Z2 = 1Y2 .

3. y = e−x2, (x > 0) em torno do eixo OY, tomamos x =

√

X2 + Z2 e y = Y para obterY = exp(−(X2 + Z2)).

3.15 Superfıcie tubular

Seja g : I → R3 uma curva regular com curvatura nao nula, que esteja parametrizadapelo comprimento de arco. Uma superfıcie tubular pode ser parametrizada por

f (s, v) = g(s) +m (cos(v) N(s) + sin(v) B(s))

onde m e uma constante nao nula, N = N(s) e o vetor normal e B = B(s) e o vetorbinormal a curva g = g(s).

Exercıcio: Mostrar que a parametrizacao f (s, v) = g(s) + m (cos(v) N(s) + sin(v) B(s))define uma superfıcie tubular regular e cujo vetor normal a superfıcie e definido porN(s, v) = − cos(v) N(s) + sin(v) B(s)).

Exercıcio: Seja a superfıcie parametrizada por f (u, v) = (g(u) cos(v), g(u) sin(v), h(u)).Mostrar que passam pelo eixo OZ as normais a superfıcie, onde g = g(u) e h = h(u)sao funcoes nao nulas.

Exercıcio: Mostrar que z = x2 + y2 e uma superfıcie fechada em R3.

Exercıcio: Se abc , 0, mostrar que cada equacao x2 + y2 + z2 = 2ax, x2 + y2 + z2 = 2by ex2+ y2+z2 = 2cz define uma superfıcie regular e que estas tres superfıcies se interceptamortogonalmente.

Exercıcio: Mostrar que nao existe uma curva contınua contida inteiramente na superfıciez2 = 1 + x2 + y2 ligando os pontos (0, 0, 1) e (0, 0,−1).


Documents

Geometria Diferencial - UEL Portal · (Bola aberta de raio r em um ponto) Uma bola aberta de raio r centrada ... (curva) cont´ınua f : [0,1] → S com f(0) = p e f(1) = q tal que