Geometria Diferencial - Uma Introdução Fundamental, 2.ª Ed

GEOMETRIA DIFERENCIAL

UMA INTRODUO FUNDAMENTAL

(Verso provisria da 3 Edio)a

Armando Machado

UNIVERSIDADE DE LISBOAFaculdade de Cincias

Departamento de Matemtica2009

ii

Classificao A.M.S. (1991): 53-01, 57-01

ISBN: 972-8394-08-X

NDICE

Introduo v

Captulo I. Reviso de lgebra Linear e Clculo Diferencial1. 1 Algumas propriedades dos espaos vectoriais de dimenso finita2. 9 Espaos euclidianos e hermitianos3. 24 Os produtos internos de Hilbert-Schmidt4. 31 Orientao de espaos vectoriais reais5. 42 Clculo Diferencial em espaos vectoriais de dimenso finita6. 52 Aplicaes de classe G57. 62 Derivadas parciais8. 66 Teoremas da funo implcita e da funo inversa9. 72 Integral de funes vectoriais de varivel real10. 74 Diferenciabilidade do integral paramtricoExerccios 77

Captulo II. Vectores Tangentes e Variedades1. 89 Vectores tangentes a um conjunto num ponto2. 92 Funes diferenciveis em conjuntos no abertos3. 102 Parties da unidade4. 111 Variedades sem bordo5. 136 Alguns exemplos importantes de variedade6. 143 Variedades com bordo7. 163 Teorema de SardExerccios 176

Captulo III. Fibrados Vectoriais e o Ambiente Euclidiano1. 193 Fibrados vectoriais2. 204 Orientao de fibrados vectoriais reais3. 210 Derivao covariante e segunda forma fundamental4. 227 Aplicao ao estudo elementar das curvas5. 241 Hipersuperfcies. Aplicao linear de Weingarten6. 252 Tensor de curvatura7. 261 Invarincia por isometria. Teorema Egrgio8. 267 Morfismos entre fibrados vectoriais9. 295 Estruturas quase complexas e aplicaes holomorfasExerccios 316

Captulo IV. Equaes Diferenciais Ordinrias em Variedades1. 355 Soluo geral e fluxo de um campo vectorial2. 360 Continuidade da soluo geral3. 364 Propriedades da soluo geral quando o domnio aberto4. 368 Equaes diferenciais dependentes do tempo

iv ndice

5. 371 Equaes diferenciais lineares6. 376 Diferenciabilidade da soluo geral7. 379 Equaes diferenciais em variedades8. 383 Equaes diferenciais totais. Teorema de Frobenius9. 393 Verso geomtrica local do teorema de FrobeniusExerccios 399

Captulo V. Aplicaes Geomtricas das Equaes Diferenciais1. 413 Transporte paralelo2. 416 Consequncias da nulidade do tensor de curvatura3. 419 Geodsicas e aplicao exponencialExerccios 428

Captulo VI. Estruturas Diferenciveis e Variedades Abstractas1. 443 Estruturas diferenciveis e aplicaes suaves2. 457 Variedades abstractas3. 469 A colagem de variedades: O teorema de Whitney4. 481 Variedades quociente5. 489 Subvariedades imersas e teorema de Frobenius global6. 512 Espao vectorial tangenteExerccios 539

ndice de Smbolos 553

ndice Remissivo 559

Bibliografia 565

INTRODUO

Este texto teve a sua origem num curso de Geometria Diferencial dado peloautor aos estudantes do terceiro ano das licenciaturas em Matemtica e Ensinoda Matemtica da Faculdade de Cincias de Lisboa e desenvolve duas versesanteriores, a primeira publicada em 1985 na coleco Textos e Notas do CMAFe a segunda editada conjuntamente em 1991 pela Editora Cosmos e pela[14]Funda . Em quase todos os pontos o texto vaio da Universidade de Lisboabastante mais longe do que tem sido possvel estudar no curso e vrios captulosno foram sequer aflorados neste.

De um modo geral procurou-se realizar um texto ao mesmo tempo intro-dutrio e fundamental que, mantendo-se a um nvel tanto quanto possvel ele-mentar, constitusse uma exposio coerente e razoavelmente completa dosconceitos e tcnicas mais frequentemente utilizados no estudo da geometria dasvariedades diferenciveis. O carcter introdutrio do texto no nos inibiu deapresentar demonstraes detalhadas de todos os resultados expostos, mesmoquando estas so tecnicamente mais sofisticadas. Procurou-se assim garantir queo contedo fosse to auto-suficiente quanto possvel de modo a que o trabalhopudesse tambm servir como texto de referncia. Essa mesma preocupaolevou-nos a incluir o tratamento de vrios pontos que saiem do mbito deGeometria Diferencial, entre os quais se incluem revises de certos pontos delgebra Linear e das noes bsicas do Clculo Diferencial, em ambos os casosno quadro dos espaos vectoriais de dimenso finita e privilegiando osenunciados que no dependem da fixao de uma base, e o exame sistemticodos resultados sobre equaes diferenciais ordinrias, que tivmos necessidadede utilizar, incluindo os resultados globais que envolvem a dependncia dascondies iniciais e de eventuais parmetros. Pressupomos, de qualquer modo,que o leitor, para alm de uma certa destreza matemtica, possui conhecimentosbsicos de Clculo Diferencial e Integral, lgebra Linear e Topologia Geral.

Ao longo da maior parte do trabalho as variedades so estudadas sob o pontode vista concreto, isto , uma variedade ser um subconjunto de um espaovectorial ambiente, de dimenso finita, e o espao vectorial tangente em cadaponto aparece ento como subespao vectorial desse espao vectorial ambiente.Este ponto de vista, seguido tambm, por exemplo, nos livros de Milnor e[19]de Guillemin e Pollack , permite trabalhar desde o incio num quadro[10]geomtrico intuitivo em que se podem estudar rapidamente resultadosinteressantes e no triviais. A introduo precoce das variedades abstractas podeter, na nossa opinio, um carcter desmotivador, ao atrasar o aparecimento dosresultados geomtricos importantes, por implicar a construo prvia de umimponente edifcio abstracto, constitudo na maioria por definies e resultadostriviais, embora essenciais. Se de aceitao pacfica a importncia pedaggica

vi Introduo

de estudar os rudimentos da teoria das variedades concretas antes da introduodas variedades abstractas, j no h unanimidade quanto ao momento em queesta ltima deve ser feita. Neste texto as variedades abstractas so estudadasapenas no ltimo captulo e organizamos o seu estudo de forma a tirar o maiorpartido possvel dos resultados j estudados nos captulos anteriores, incluindoaqueles com carcter global. Esse objectivo, assim como o desejo de diminuir oformalismo inicial, levou-nos a optar por definir a no variedade abstracta o decusta duma classe de equivalncia de cartas globais (com contradomnios, emgeral, no abertos) em vez duma classe de equivalncia de atlas constitudos porcartas locais, como mais habitual. Esta opo teve naturalmente um preo apagar, para podermos dispor da possibilidade de colar estruturas de variedadeem subconjuntos abertos, e, em particular, de fazer a ponte com as variedadesdefinidas por cartas locais, tivmos que estabelecer um resultado no elementar,que se pode considerar essencialmente o teorema do mergulho de Whitney,olhado pelo avesso.

Uma diferena, em relao ao contedo usual de livros com o mbito deste,est na definio e utilizao sistemtica do conceito de fibrado vectorial,conceito que s costuma ser introduzido a um nvel mais avanado. Natural-mente, em consonncia com a opo de trabalhar no quadro das variedadesconcretas, tambm estudamos os fibrados vectoriais enquanto subfibrados vecto-riais de um fibrado vectorial constante. Este estudo parece-nos ser justificadopela simplicidade e naturalidade do mtodos utilizados e pela riqueza das suasaplicaes. Para alm, evidentemente, do fibrado vectorial tangente a uma varie-dade, teremos ocasio de utilizar, por exemplo, o fibrado osculador de umacurva, que ajuda a compreender o significado da tor ou o fibrado vectorialo,normal de uma variedade, importante para a construo de vizinhaas tubulares,assim como os fibrados vectoriais obtidos como imagens recprocas.

Passamos agora a apresentar algumas observa oes mais concretas sobrecontedo de cada captulo.

O primeiro captulo tem como objectivo a reviso de algumas propriedadesbsicas dos espaos vectoriais de dimenso finita, reais e complexos, e dosconceitos e resultados do Clculo Diferencial que so usualmente estudados numcurso de Anlise Real. No que diz respeito lgebra Linear, o objectivoprincipal o de fixar notaes e relembrar enunciados que sero utilizados maistarde; supomos naturalmente que o leitor est habituado a trabalhar com espaosvectoriais, aplicaes lineares, matrizes, etc Para alm disso, sero referidoscom um pouco mais de detalhe alguns pontos que o leitor porventura ainda noencontrou, como as relaes entre espaos vectoriais reais e complexos, atravsda noo de estrutura complexa dum espao vectorial real, os produtos internosde Hilbert-Schmidt nos espaos de aplicaes lineares, a orientao de espaosvectoriais reais ou a possibilidade de representar uma aplicao linear por umamatriz de aplicaes lineares, quando se est em presena de decomposies emsoma directa do domnio e do codomnio. A exposio dos assuntos de lgebraLinear acabou por resultar um pouco longa pelo que ser porventura mais til aoleitor salt-la numa primeira leitura e voltar atrs quando tiver necessidade. Noque diz respeito ao Clculo Diferencial, a palavra aqui utilizada noreviso

Introduo vii

sentido generalizado na medida em que pretendemos trabalhar, no quadro dosespaos vectoriais de dimenso finita, com enunciados que no dependam dafixao de um sistema de coordenadas ( o que se faz usualmente no quadromais geral do Clculo Diferencial em espaos normados de dimenso infinita ver, por exemplo, os livros de Dieudonn e Lang ou o nosso trabalho[6] [13][15]). Muitas demonstraes mais simples so omitidas, esperando-se que oleitor, que esteja habituado a trabalhar apenas no quadro dos espaos cartesianos8, adapte facilmente as que conhece nesse contexto. A opo aqui tomada essencial para se poder trabalhar naturalmente com os espaos de aplicaeslineares e permite olhar de um modo unificado o que se passa no estudo dasvariedades, onde as derivadas das aplicaes lineares esto definidas em espaosvectoriais tangentes que no possuem bases naturalmente fixadas. Supomos dequalquer modo, aqui como no resto do curso, que o leitor possui osconhecimentos elementares de Topologia Geral e de espaos vectoriaisnormados e que conhece, em particular, as propriedades especiais dos espaosvectoriais normados de dimenso finita (cf., por exemplo, ). Apesar de,[15]como referimos, a reviso do Clculo Diferencial se enquadrar no que usualmente estudado no quadro da Anlise Real, no deixamos de referir oconceito de diferenciabilidade no sentido complexo, no caso em que os espaosvectoriais em questo so complexos. Essa referncia limita-se no entanto sgeneralizaes triviais do que se passa no caso real e no abordamos aspropriedades especiais que se estudam no quadro da Anlise Complexa.

No segundo captulo inicia-se o estudo das variedades num espao vectorialambiente de dimenso finita. Comea-se por introduzir as noes de conetangente e cone tangente alargado de um subconjunto arbitrrio em cada um dosseus pontos, a segunda das quais na base da defini espao vectorialo detangente que utilizamos. Estas noes, embora muito antigas (foram introduzidasno livro de Bouligand ) no so utilizadas normalmente em textos da natureza[3]deste, mas parecem-nos teis, tanto pelo seu evidente contedo geomtrico comopor nos permitirem trabalhar por vezes com conjuntos que no sabemos a prioriserem variedades. Estudamos em seguida a generalizao da noo de aplicaode classe ao caso em que oG5 domnio no obrigatoriamente um conjuntoaberto, a partir da existncia de prolongamentos locais de classe assimG 5como as derivadas de tais aplicaes, que vo ser aplicaes lineares definidasnos espaos vectoriais tangentes. So estudados os teoremas de parti daounidade, que se aplicam em muitas situaes para passar de resultados denatureza local para outros com carcter global e que so utilizados na prova deque toda a aplicao de classe admite um prolongamento de classe a umG G5 5aberto contendo o domnio, e no s prolongamentos locais de classe . EstesG5teoremas so tambm utilizados para estabelecer resultados de aproximao defunes contnuas por funes de classe G_. Definem-se ento as variedadessem bordo, como sendo os subconjuntos que so localmente difeomorfos aabertos de espaos vectoriais de dimenso finita, e estudam-se, no quadro destas,algumas consequncias importantes do teorema da funo inversa, como osresultados que caracterizam localmente as imerses e as submerses, os que

viii Introduo

permitem construir as variedades como imagens recprocas, mediante condiesde transversalidade convenientes, e, em particular, os que estudam a intersecode duas subvariedades. Para alm dos resultados que permitem construirvariedades como imagens recprocas, estabelecido tambm um resultado quepermite identificar variedades associadas a imagens directas de aplicaessuaves, resultado que aplicado, em particular, na construo das variedades deGrassmann, encaradas como conjuntos de projeces ortogonais sobre subespa-os vectoriais. Generalizam-se em seguida as definies e alguns dos resultadosestudados, de modo a englobar mais geralmente o caso das variedades combordo e, eventualmente, com cantos. O captulo termina com a demonstrao doteorema de Sard, numa verso que no utiliza o conceito de medida, resultadoque essencial em vrias aplicaes geomtricas e que , em particular, utilizadona demonstrao do teorema de Whitney, abordada no ltimo captulo.

O captulo III constitui a parte central do curso. So introduzidos os fibradosvectoriais, como famlias de subespaos vectoriais de um certo espao vectorial(as ) indexadas por um subconjunto de outro espao vectorial (a ),fibras basefamlias para as quais se deve verificar uma condio de suavidade conveniente.Essa condio de suavidade apresentada atravs da exigncia de existncia decampos de referenciais locais e prova-se que, no caso em que o espao vectorialambiente das fibras est munido de um produto interno, ela equivalente suavidade da aplicao que a cada ponto da base associa a projeco ortogonalsobre a respectiva fibra. A derivada desta ltima aplicao permite-nos definir asegunda forma fundamental de um fibrado vectorial, que vai ser uma aplicaobilinear, definida no produto cartesiano do espao vectorial tangente base pelafibra e com valores no complementar ortogonal desta. Esta segunda formafundamental, que caracteriza o modo como as fibras variam de ponto para ponto, utilizada, por um lado, no estudo da geometria do espao total do fibradovectorial, aplicado, por exemplo, na construo de vizinhanas tubulares, e, poroutro lado, na abordagem da teoria clssica das curvas e das hipersuperfciesnum espao euclidiano, abordagem que inclui o exame da curvatura e da torodas primeiras e, no contexto das segundas, o estudo da aplicao linear deWeingarten (operador de forma, na terminologia de O'Neill ), tal como o das[22]curvaturas e direces principais e o dos pontos focais. tambm no quadromais geral dos fibrados vectoriais que estudada a questo da orientabilidadedas variedades. Em relao estreita com o estudo da segunda forma fundamental,aparece-nos a noo de derivada covariante de uma seco de um fibrado vec-torial com as fibras contidas num espao euclidiano, derivada essa que introdu-zida como uma modificao conveniente da derivada usual, de modo a obtervalores na fibra correspondente. As seces paralelas, isto , aquelas cuja deri-vada covariante identicamente nula, so apresentadas como a generalizaonatural das seces constantes. definido o tensor de curvatura de Riemann,cuja no nulidade uma obstruo existncia de seces paralelas de umfibrado vectorial, e estabelecida a frmula de Gauss, que relaciona este tensorde curvatura com a segunda forma fundamental. Prova-se a propriedadefundamental de invarincia por isometria do tensor de curvatura do fibradotangente duma variedade, resultado que aplicado na demonstrao do Teorema

Introduo ix

Egrgio de Gauss. So abordados os morfismos entre fibrados vectoriais e asrespectivas derivadas covariantes e, como aplicao, feito um estudo elementardas estruturas quase complexas numa variedade e das variedades holomorfas.

O captulo IV, na sua maior parte de natureza mais analtica do quegeomtrica, justifica-se pela importncia das suas aplicaes Geometria.Trata-se de estabelecer os resultados fundamentais sobre as solues de umaequao diferencial ordinria com condies iniciais dadas. Inspirando-nos nosmtodos utilizados no livro de Pontriaguine , obtemos resultados globais[23]sobre o modo como as solues dependem da varivel independente, dascondies iniciais e de eventuais parmetros. As equaes diferenciaisparamtricas so aplicadas, em particular, para demonstrar, pelo mtodoutilizado no livro de Dieudonn , o teorema de Frobenius sobre as solues de[6]equaes diferenciais totais, equaes diferenciais em que a varivelindependente real substituda por uma varivel multidimensional. Este ltimoteorema utilizado para obter a chamada verso geomtrica do teorema deFrobenius, sobre as variedades integrais de um subfibrado vectorial do fibradotangente, neste captulo apenas no seu aspecto local.

No quinto captulo examinamos algumas aplicaes geomtricas das equa-es diferenciais ordinrias, estudadas no captulo precedente. O transporte para-lelo, no quadro dos fibrados vectoriais cuja base um intervalo de , aparececomo um corolrio da teoria das equaes diferenciais lineares, sendo aplicadopara mostrar que, quando a base dum fibrado vectorial uma variedade conexa,no pode existir mais que uma seco paralela com um valor dado numa dasfibras. A existncia local de uma tal seco, no caso em que o tensor de curva-tura identicamente nulo, aparece como uma consequncia do teorema de Fro-benius. As geodsicas duma variedade contida num espao euclidiano so apres-entadas do ponto de vista das trajectrias de velocidade paralela, o que conduzao seu estudo no quadro duma equao diferencial sobre o espao total do fibra-do vectorial tangente variedade. Os resultados estudados sobre a dependnciadas solues das equaes diferenciais em relao aos valores iniciais so entoaplicados ao estudo das propriedades da aplicao exponencial.

No ltimo captulo abordamos finalmente o estudo das variedades abstractas,procurando, sempre que possvel, tirar partido do que foi estudado nos captulosanteriores. Comeamos por examinar uma noo um pouco mais geral que a devariedade abstracta, a de estrutura diferencivel, definida como uma classe deequivalncia de cartas globais cujos contradomnios so subconjuntos arbitrriosde espaos vectoriais de dimenso finita. Esta noo uma verso simplificadada que foi introduzida por Aronszajn , sob o nome de espao subcartesiano,[1]e desenvolvida posteriormente por Marshall ; ela abarca ao mesmo tempo as[17]variedades, eventualmente com bordo, e os subconjuntos arbitrrios de espaosvectoriais de dimenso finita. As noes e resultados bsicos, envolvendo asaplicaes suaves e os difeomorfismos, so estudados no quadro geral dasestruturas diferenciveis e as variedades so definidas em seguida comoestruturas diferenciveis localmente difeomorfas a abertos de , ou de sectores8de , ou, equivalentemente, como estruturas diferenciveis cujas cartas tm8como contradomnio variedades concretas. Seguindo a via de Guillemin e

x Introduo

Pollack , o teorema de Sard utilizado para demonstrar a verso do teorema[10]de Whitney que garante que, para uma variedade de dimenso , existe sempre8uma carta global para um subconjunto de um espao vectorial de dimenso#8 ". Seguidamente, utilizando uma ideia atribuida a Spanier e baseando-nosnum lema topolgico que encontrmos no livro de Greub Halperin e Vanstone[9], demonstramos o teorema de existncia e unicidade da colagem de estruturasde variedade dadas sobre os subconjuntos de uma cobertura aberta e verificandouma condio natural de compatibilidade, teorema esse que pode ser consi-derado como o teorema do mergulho de Whitney examinado de outro ponto devista. O resultado que acabamos de referir utilizado para referir o modo defazer a ponte com a definio mais usual de variedade, atravs de atlas consti-tudos por cartas locais. Ele tambm utilizado, mais adiante, no estudo dasvariedades quociente e no exame da verso global da forma geomtrica doteorema de Frobenius.

Uma noo que costuma ser introduzida desde cedo na teoria das variedadesabstractas, e qual ns damos uma importncia claramente inferior no nossotexto a de espao vectorial tangente a uma variedade abstracta num dos seuspontos e o correspondente conceito global de fibrado tangente. Do nosso pontode vista, a importncia que esta noo apresenta nas exposies usuais estligada principalmente necessidade de trabalhar globalmente numa estrutura quefoi definida por cartas locais. A partir do momento em que se optou por definiras estruturas diferenciveis atravs de cartas globais, todas os contextos em queos vectores tangentes s variedades abstractas so utilizados podem seradaptados de modo a utilizar os vectores tangentes ao contradomnio de umacarta global. este o ponto de vista que seguimos quando definimos as imersese as submerses entre variedades abstractas sem passar pela derivada comoaplicao linear entre os espaos vectoriais tangentes abstractos, e, em particular,quando tratamos o problema das variedades quociente e quando nos limitamos aexaminar a verso geomtrica global do teorema de Frobenius no contexto dossubfibrados vectoriais do fibrado vectorial tangente de uma variedade concreta.Neste ltimo caso, apesar de as folhas associadas serem variedades abstractas, osrespectivos espaos tangentes so definidos como subespaos vectoriais doespao vectorial tangente variedade concreta (caso particular da situao maisgeral em que definimos os espaos tangentes a uma aplicao suave, cujodomnio uma variedade abstracta e cujo codomnio uma variedade concreta,como subespaos vectoriais dos espaos vectoriais tangentes a esta ltima). Paraalm das adaptaes que acabamos de referir, o tratamento que apresentamos dassubvariedades imersas e do teorema de Frobenius inspirou-se fortemente no quese encontra no livro de Warner .[26]

Apesar de no atribuirmos aos vectores tangentes a uma variedade abstractao mesmo relevo que estes tm usualmente, no deixamos de nos referir a eles, naltima seco do livro, uma vez que importante que o leitor esteja alertado parao papel que desempenham na literatura. H vrios mtodos diferentes paradefinir os espaos vectoriais tangentes no quadro das variedades abstractas, cadaum com as suas vantagens e desvantagens: Para alguns autores os vectorestangentes num ponto aparecem como classes de equivalncia de caminhos

Introduo xi

passando por esse ponto, para outros como operadores diferenciais, para outrosainda como classes de equivalncia de pares constitudos por uma carta para umaberto de e um vector de Cada um desses mtodos tem as suas vantagens 8 8e desvantagens, entre estas ltimas o facto de aparecerem amide isomorfismoscannicos, nem sempre triviais, onde esperaramos ter igualdades. partida, emvez de tomarmos partido por um desses mtodos, preferimos definir quando que um espao vectorial pode ser considerado como espao tangente, deixandoassim um grau de liberdade ao utilizador que poder, em cada caso, fazer aescolha que se revele mais cmoda e, nalgumas situaes, subordinar a escolhade um espao vectorial tangente a outras feitas anteriormente, de modo aconseguir que certos isomorfismos sejam efectivamente igualdades. Examina-mos em seguida, uma das concretizaes da noo de espao vectorial tangentemais utilizada, aquela para a qual os vectores tangentes so definidos comooperadores diferenciais.

No fim de cada captulo apresentada uma lista de exerccios, nalguns casosdestinados a testar a compreenso do texto, noutros apresentando resultados quecomplementam os estudados antes.

Na bibliografia, apresentada no fim do volume, encontram-se, alm dostrabalhos citados no texto, outros livros em que o leitor interessado poder apro-fundar, ou estudar doutro ponto de vista, os assuntos que foram aqui abordados.De entre eles recomendamos especialmente os dois volumes do livro de Spivak[25] [8], o livro de Gray , este ltimo com nfase no estudo, com a ajuda docomputador, das curvas e superfcies em $ e repleto de figuras elucidativas,assim como os livros de Manfredo do Carmo .[4,5]

Gostaramos de terminar com uma palavra de agradecimento a todos aquelesque contriburam para melhorar a verso final do texto. A estudante lia Ferreiracoligiu pacientemente dezenas de erros de dactilografia que figuravam numaverso preliminar posta disposio dos alunos. Os colegas Ceclia Ferreira eLus Trabucho leram cuidadosamente partes do manuscrito e, para alm da loca-lizao de , contriburam com as suas observaesoutros erros de dactilografiapara a melhoria de vrios pontos da exposio. Apraz-nos tambm registar oempenho generoso e competente que este ltimo tem dedicado edio dacoleco em que este trabalho se insere, contribundo assim, de modo decisivo,para a qualidade desta.

CAPTULO IReviso de lgebra Linear e

Clculo Diferencial

1. Algumas propriedades dos espaos vectoriaisde dimenso finita.

I.1.1 No que se segue todos os espaos vectoriais sero reais ou complexos e,quando no nos referirmos ao corpo dos escalares, estar subentendido queeste o corpo dos nmeros reais. claro que todo o espao vectorialcomplexo , de modo trivial, tambm um espao vectorial real (se estdefinido o produto de um complexo por um vector, est tambm definido, emparticular, o produto de um nmero real por um vector). Se um espaovectorial complexo admite uma base, finita ou infinita, , imediatoI B 4 4Nconstatar-se que , enquanto espao vectorial real, admite uma base formadaIpelos vectores e ; em particular, se , enquanto espao vectorialB 3B I4 4complexo, tiver dimenso finita , ento , enquanto espao vectorial real,8 Item dimenso . Quando estivermos numa situa#8 o em que o corpo dosescalares pode ser indistintamente ou , usaremos frequentemente o smbolo para designar esse corpo dos escalares.

I.1.2 O que dissmos atrs pode ser precisado: Se um espao vectorialIcomplexo e B I4 4N uma famlia de vectores de , ento ela linearmenteindependente (respectivamente geradora) se, e s se, a famlia formadapelos vectores e linearmente independente (respectivamente gera-B 3B4 4dora) para a estrutura de espao vectorial real de .I

I.1.3 Se e so espaos vectoriais, reais ou complexos, vamos notar I J PI Jo espao vectorial, real ou complexo respectivamente, cujos elementos so asaplicaes lineares . No caso em que e tm dimenses finitas0 I J I J7 8 PI J 78 B B e , tem dimenso finita . Mais precisamente, se " 7uma base de e uma base de , vai admitir uma baseI C C J PI J" 8formada pelas aplicaes lineares , com e , onde054 " 4 7 " 5 8054 4 5 est definida pela condio de aplicar em e os restantes vectores daB Cbase de em (lembrar que uma aplicao linear fica univocamenteI !determinada se dermos de modo arbitrrio as imagens dos vectores de umabase). De facto, se , tem-se , onde as componen-0 0 0 PI J +!

5454 54

tes esto definidas pela condio de se ter (ambos os+ B + C54 4 54 55

0 !

2 Cap. I. lgebra Linear e Clculo Diferencial

membros so aplicaes lineares que do o mesmo resultado quandoaplicados a cada um dos vectores da base), por outras palavras, cada o+54elemento da linha e da coluna da matriz de nas bases consideradas.5 4 0Note-se que, no caso em que um espao vectorial real e um espaoI Jvectorial complexo, designa naturalmente o espao das aplicaesPI Jlineares de para , quando se considera como espao vectorial real, masI J JPI J tem uma estrutura natural de espao vectorial complexo, subespaodo espao vectorial complexo de todas as aplicaes de para . AsI Jobservaes anteriores sobre bases e dimenses estendem-se a este caso; emparticular, no caso em que tem dimenso e , enquanto espaoI 7 Jvectorial complexo, tem dimenso , , enquanto espao vectorial8 PI Jcomplexo, tem dimenso .78No caso em que e so espaos vectoriais complexos, eles podem serI Jtambm considerados como espaos vectoriais reais mas o significado a dar aPI J no o mesmo nos dois casos. Por esse motivo, e para evitarconfuses, usa-se por vezes as notaes e para osP I J P I J espaos de aplicaes lineares, relativamente s estruturas complexas e reais,respectivamente (costumamos referir os elementos destes espaos como apli-caes lineares complexas aplicaes lineares reais e , respectivamente).Repare-se que um subespao vectorial complexo de .P I J P I J

I.1.4 Mais geralmente, dados espaos vectoriais, reais ou complexos, I I" :e , notamos o espao vectorial, real ou complexoJ PI I J" :respectivamente, cujos elementos so as aplicaes multilineares0 I I J : "" : , isto , as aplicaes que, quando se fixam dasvariveis, so lineares como funo da restante. No caso particular em que osespaos so todos iguais a um mesmo espao , usamos tambmI I I" :a notao , em vez de . por vezes cmodoP I J PI I J: " :admitir o caso particular em que , caso em que consideramos: !P I J P J J! como sinnimo de . Como anteriormente, no caso em1que os espaos vectoriais so reais e um espao vectorial complexo,I J4PI I J" : tem uma estrutura de espao vectorial complexo e, quandotodos os espaos vectoriais so complexos e queremos distinguir a situaoem que os consideramos como tal daquela em que olhamos para eles comoespaos vectoriais reais, usamos o ndice ou para indicar o contexto em que nos colocamos, obtendo-se assim um subespao vectorial complexoP I I J P I I J " : " : de .

I.1.5 Notemos um dos corpos ou e seja um espao vectorial sobre . JTem ento lugar um isomorfismo

1Trata-se de uma conveno que poderia ser facilmente prevista por quem possua umrazovel treino lgico: um conjunto com um nico elemento (a nica aplicaoI !cujo domnio o conjunto vazio) e todas as aplicaes de em so multilineares,I J!pelo que tudo o que temos que fazer identificar cada uma dessas aplicaes de em I J!com a imagem de por essa aplicao.

1. Algumas propriedades dos espaos vectoriais 3

E P J J ,

definido por ; o isomorfismo inverso associa a cada aE 0 0 " C Japlicao linear de em definida por . Mais geralmente, para J + + Ccada , vai ter lugar um isomorfismo: !

E P J J: ,

definido por

E 0 0 " ",

e o isomorfismo inverso associa a cada a aplica-E " : J P J C Jo multilinear de em definida por: J

E" " : " :C+ + + + C.

claro que, no caso em que , o isomorfismo no mais do que a: ! Eaplicao identidade.

I.1.6 Sejam , e espaos vectoriais, reais ou complexos e I I J I I Jw w0uma aplicao bilinear. Para cada , tem ento lugar uma aplicaoB Ilinear , definida por . A aplicao0 0 0s sBI J BB B B w w w

0sI PI Jw , assim definida, linear e podemos ento considerar umaaplicao linear

E"w w PII J PIPI J,

definida por , aplicao linear essa que se constata imediatamenteE 0 0" sser mesmo um isomorfismo.Mais geralmente, dados os espaos vectoriais, reais ou complexos,I I J ! 4 :" : e , vai ter lugar, para cada , um isomorfismo

E4 " : " 4 4" : PI I J PI I PI I J,

definido por

E 0 04 " 4 4" : " 4 4" : B B B B B B B B

I.1.7 Usando os isomorfismos , atrs definidos, verifica-se imediatamente que,E4se os espaos vectoriais tm dimenses finitas e se oI I 7 7" : " :espao vectorial tem dimenso finita , ento temJ 8 PI I J" :dimenso finita .7 7 8" :

I.1.8 Se um espao vectorial de dimenso finita, ento existe em peloI Imenos uma norma e duas normas quaisquer so equivalentes, em particulardefinem a mesma topologia e tm os mesmos conjuntos limitados. Quandoconsiderarmos como espao topolgico estar subentendido que estamos aIconsiderar a topologia associada a qualquer das suas normas. Um conjunto


E I I compacto se, e s se, fechado e limitado. O espao , comqualquer das suas normas, completo e, em consequncia, qualquersubespao vectorial de fechado.I

I.1.9 Se e so espaos vectoriais de dimenso finita, reais ou complexos,I Jtoda a aplicao linear contnua; por outras palavras, se conside-0 I Jrarmos normas em e , existe tal que, para cada ,I J Q ! B Im Bm QmBm Q !0 . Ao menor dos nmeros nestas condies d-se onome de de , notada . Fica assim definida uma norma no espaonorma 0 0m mvectorial .PI J

I.1.10 Mais geralmente, se e so espaos vectoriais de dimensoI I J" :finita, reais ou complexos, toda a aplicao multilinear0 I I J" : contnua, ou seja, se considerarmos normas nestesespaos vectoriais, existe tal que, quaisquer que sejamQ !B I B I" " : :, se tenha

m B B m QmB mmB m0 " : " : .

Ao menor dos nmeros nestas condies d-se o nome de deQ ! norma0 0, notada . Fica assim definida uma norma no espao vectorialm mPI I J" : .

I.1.11 Se so espaos vectoriais, reais ou complexos, de dimensesJ J" :finitas , ento o produto cartesiano tem dimenso7 7 J J" : " :finita e, se considerarmos uma norma em cada um daqueles7 7" :espaos, uma das normas possveis no produto cartesiano a norma domximo, definida por

mB B m mB m" : 4"4:max .

I.1.12 Suponhamos que, para cada , uma aplicao" 4 : I I-4 44w

linear e que uma aplicao linear. Tem ento lugar uma aplica-. J J wo linear

P PI I J PI I J - - ." : " : " :w w w

definida por

P - - . 0 . 0 - -" : " :

ou seja,

P B B B B - - . 0 . 0 - -" : " : " " : : .

No caso particular em que todos os so iguais a uma certa apli--4 44w I Icao linear , usamos tambm a notao- I Iw


P P I J P I J : : : w w- .

em vez de .P - - ." :Repare-se que, quando e so isomorfismos, - - . - - ." : " : P tambm isomorfismo, tendo como isomorfismoP - - ."" " ":inverso.

De certo modo em sentido inverso ao que percorremos atrs, vamos agoraexaminar o mnimo que necessrio acrescentar a um espao vectorialreal para determinarmos um espao vectorial complexo.

I.1.13 Se um espao vectorial real, chamaremos de aI Iestrutura complexauma aplicao linear tal que .N I I N N M.ISe um espao vectorial complexo, tem lugar uma estrutura complexaIN I I N? 3?, definida por , a que daremos o nome de estrutura com-plexa associada ao espao vectorial complexo.

I.1.14 Sejam um espao vectorial real e I N I I uma estrutura complexa deI I. Existe ento sobre uma, e uma s, estrutura de espao vectorialcomplexo, estendendo a estrutura de espao vectorial real e cuja estruturacomplexa associada seja .NDem: A unicidade clara, uma vez que, se e , com ,? I - - + ,3+ , -? +? ,N ?, no pode deixar de ser . Para provarmos aexistncia, definamos a multiplicao de um escalar complexo por um vectorde pela frmula anterior e comecemos por reparar que, no caso em que oIcomplexo real a multiplicao coincide com a multiplicao dada e que, nocaso em que o complexo , vem efectivamente .3 ! " 3 3? N?Resta-nos mostrar que fica efectivamente um espao vectorial complexo, aInica propriedade no trivial a demonstrar sendo a identidade -- ? w-- ? - + ,3 - + , 3 + , + , w w w w w w. Ora, sendo e , com , vem

-- ? -+ ? , N ? ++ ? , N ? ,N + ? , N ?

++ ? +, N ? ,+ N ? ,, N N ?

++ ,, ? +, ,+ N ? -- ?

w w w w w w w

w w w w

w w w w w ,

uma vez que .-- ++ ,, +, ,+ 3w w w w w

I.1.15 Em particular, se um espao vectorial real de dimenso finita , aI 8existncia de uma estrutura complexa N I I 8 implica que par. Comefeito, se a dimenso de , enquanto espao vectorial complexo, ento: Item-se . Repare-se que, reciprocamente, se um espao vectorial8 #: Ireal com dimenso par , ento admite uma estrutura complexa;8 #: Ibasta, com efeito, notar uma base de e definir? ? @ @ I" : " :N I I N? @ como sendo a aplicao linear que verifica e4 4N @ ?4 4.


I.1.16 Se um espao vectorial complexo, com estrutura complexa ,I Npodemos considerar um novo espao vectorial complexo, com o mesmoespao vectorial real associado, a saber o definido pela estrutura complexaN I. A este novo espao vectorial complexo, que ser notado , d-se onome de do primeiro. Dados e espao vectorial conjugado ? I - , oproduto de por , para a estrutura de espao vectorial complexo conjugado- ?vai coincidir com o produto , relativamente estrutura original, do-?complexo conjugado por .- ?

I.1.17 Sejam e espaos vectoriais complexos, com estruturas complexas eI J NN w. Se uma aplicao linear real, ento uma aplicao linear- - I Jcomplexa se, e s se, se tem .N Nw - -Dem: Se uma aplicao linear complexa, ento-

N ? 3 ? 3? N ?w - - - - ,

o que mostra que . Reciprocamente, se ,N N N Nw w- - - -tem-se, para cada e , com , ,? I - - + ,3 + ,

- - - - - - --? +? ,N? + ? , N ? + ? ,N ? - ?w ,

o que mostra que uma aplicao linear complexa.-

I.1.18 Se e so espaos vectoriais complexos, uma I J aplicao antilinear- - I J -? uma aplicao linear real que verifica a condio - ? - ? I- , para cada e . Por outras palavras, uma aplicao linearreal antilinear se, e s se, uma aplicao linear complexa de - I J Ipara (ou, equivalentemente, de para ), o que acontece se, e s se,J I JN Nw - - .

Examinemos agora o modo como as noes usuais de trao e dedeterminante de uma matriz quadrada podem ser apresentadas no quadrodas aplicaes lineares de um espao vectorial de dimenso finita para simesmo.

I.1.19 Lembremos as seguintes propriedades bem conhecidas do trao e dodeterminante das matrizes quadradas:a) Se e so matrizes dos tipos e , respectivamente, entoE F 7 8 8 7

Tr TrE F F E

(sendo e os elementos das matrizes e , ambos os membros so+ , E F34 43iguais a ).!

"37"48

+ ,34 43

b) Se e so matrizes quadradas, entoE F

det det detE F E F.


I.1.20 Sejam um espao vectorial de dimenso , real ou complexo,I 8 e- I I uma aplicao linear. Ficam ento bem definidos dois escalaresTr e , o o de , pela condio de, para cada - - -det trao determinante ebase de , com , se ter Tr Tr eB B I B + B + " 7 4 34 3 34

3- -!

det det + - -34 . Por outras palavras, o trao e o determinante de soos da sua matriz numa base arbitrria de .I 2Dem: Tudo o que temos que ver que, se outra base de , comC C I" 8-C , C + , + , 4 34 3 34 34 34 34

3

! , tem-se e Tr Tr .det detOra, sendo e notando , e as matrizes de elementos ,B - C E F G +4 54 5 34

5

!, -34 54 e , respectivamente, a ltima das quais invertvel, em particular temdeterminante no nulo, podemos escrever

- -

-

B - C - , C

B + B + - C

4 54 5 54 35 3

5 53

4 54 5 54 35 3

5 53

" "" " ,

donde , o que implica queF G G E

det det det detF G G E,

portanto , e que , portantodet detE F F G E G"

Tr Tr Tr Tr .F G E G E G G E" "

I.1.21 Sejam e espaos vectoriais de dimenses e sobre . Tem-seI J 7 8 ento:a) A aplicao Tr linear. PII b) Se e so aplicaes lineares, ento Tr- . . - I J J I Tr . - .Dem: Trata-se de uma consequncia directa das correspondentes proprie-dades do trao das matrizes.

I.1.22 Seja um espao vectorial de dimenso sobre I 8 . Tem-se ento:a) A aplicao homognea de grau , isto , para cadadet PII 8- - - PII + + + e , tem-se .det det8b) Para a aplicao identidade , tem-se .M. I I M. "I Idetc) Se , ento .- . . - . - PII det det detd) Uma aplicao linear um isomorfismo se, e s se,- PIIdet det det ! " - - - e, nesse caso, ."e) Se um isomorfismo e , tem-se, para o0 - I J PIIcorrespondente , .0 - 0 0 - 0 - PJ J " "det det

2Repare-se que, se e so espaos vectoriais distintos, com a mesma dimenso, noI Jdefinimos nem o trao nem o determinante de uma aplicao linear .- I J


Dem: As propriedades a), b) e c) so consequncias directas das correspon-dentes propriedades do determinante das matrizes, tal como o d), se lem-brarmos que uma aplicao linear um isomorfismo se, e s se, a sua matriz invertvel e que, de resulta que . A al-- - - - M. "" "I det detnea e) resulta de que, fixada uma base em , a matriz de nessaB B I" 8 -base coincide com a matriz de na base de .0 - 0 0 0 B B J" " 8

Se um espao vectorial complexo de dimenso e umaI 8 I I-aplicao linear, sabemos que podemos tambm olhar para como umIespao vectorial real de dimenso , mas, em geral, o trao e o#8determinante de no sero os mesmos dos dois pontos de vista (no-primeiro caso eles so nmeros complexos e, no segundo, so nmerosreais). O resultado seguinte explica a relao entre as duas situaes.

I.1.23 Sejam um espao vectorial complexo de dimenso e I 8 - I I umaaplicao linear e usemos as notaes Tr , e Tr , - - - -det detpara indicar se estamos a considerar o trao e o determinante no quadro dosespaos vectoriais complexos ou no dos espaos vectoriais reais. Tem-seento:

Tr Tr , . #d l l- - - -det det #

Dem: Seja uma base de , enquanto espao vectorial complexo eB B I" 8seja , com elementos , a matriz de nesta base, portanto a definida porG -45 -- B - B - + 3, + , 5 45 4 45 45 45 45 45

4

! . Podemos escrever , com , eento, considerando a base de , enquanto espaoB B 3B 3B I" 8 " 8vectorial real, podemos escrever, lembrando que ,- -3B 3 B 5 5

! !! !

-

-

B + B , 3B

3B , B + 3B

5 45 4 45 44 4

5 45 5 45 44 4

de onde deduzimos que

Tr Tr + + # d- #d - -" " "5 5 5

55 55 55

e que a matriz , de tipo , da aplicao linear na base real consi-G #8 #8w -derada pode ser apresentada por blocos do tipo na forma8 8

G E FF E

w .Para calcular o determinante de utilizamos um artifcio que encontrmosGwem com[21]. Para isso reparamos que, sendo a matriz de tipo \ #8 #8diviso em blocos do tipo 8 8


\ M 3M3M M8 88 8 ,onde nota a matriz identidade do tipo cuja matriz conjugada M 88 8,

\ M 3M3M M8 88 8 ,tem-se

\ G \ # E 3F !

! E 3Fw .

Substituindo por e por (ou seja, considerando o caso E M F !8 - M.I),vem tambm

\ M \ # M#8 #8,

e daqui deduzimos que

det det det det

det det det det

\ G \ #E 3F !

! E 3F

\ M \ # M

w #8

#8 #8#8

,

ou seja, , dondedet det\ \ ##8

det det det

det det det

G E 3F !

! E 3FG !! G

G G l Gl

w

#

,

ou seja, .det det l l- - #

2. Espaos euclidianos e hermitianos.

I para designar um dos corpos ou.2.1 No que segue continuaremos a utilizar . No sentido de evitar duplicao de enunciados, tratando simultaneamenteos casos real e complexo, ser cmodo estender trivialmente a algumasnoes que s faziam sentido em . Assim:a priori a) Quando , nota-se o complexo conjugado do complexo . No- - -quadro dos nmeros reais vamos considerar que, para cada , - -sinnimo de , o que compatvel com o facto de, quando identificamos a- uma parte de , ser precisamente o conjunto dos complexos que coincidem com os respectivos conjugados.b) Quando um espao vectorial complexo, definimos em o espaoI I.1.16vectorial conjugado . Quando um espao vectorial real, consideramosI I


que sinnimo de .I Ic) Quando e so espaos vectoriais complexos, chammos aplicaesI Jantilineares s aplicaes lineares reais que verificam a condio- I J- - -? - ? - ? I, para cada e . Em consonncia com o que sedisse em a), quando e so espaos vectoriais reais, vamos considerarI Jque as aplicaes antilineares so simplesmente as aplicaes- I Jlineares.d) Quando e so espaos vectoriais complexos, diremos que uma aplica-I Jo se ela linear na primeira varivel e0 I I J sesquilinearantilinear na segunda. Quando e so espaos vectoriais reais,I Jconsideramos que uma aplicao sesquilinear precisamente0 I I Ja mesma coisa que uma aplicao bilinear. claro que uma aplicaosesquilinear precisamente a mesma coisa que uma aplicaoI I Jbilinear .I I J

I , onde ou . Relembremos que.2.2 Seja um espao vectorial sobre I um sobre uma aplicaproduto interno I o sesquilinear ,I I notada usualmente B C B C, verificando as seguintes condies:

a)b)c)

Quaisquer que sejam , ; Para cada , ; Se , ento .

B C I B C C B

B I B B !

B B ! B !

3

4

(a propriedade b) poder parecer um pouco estranha quando , mas elafaz sentido na medida em que, por a), tem-se B B B B, e portantoB B I). Relembremos ainda que, se est munido de um produtointerno, podemos considerar sobre uma , definida porI norma associada

mBm B B ,tendo ento lugar a , que nos afirma que, quaisquerdesigualdade de Schwarzque sejam ,B C I

lB Cl mBmmCm,

com se, e s se, e so linearmente dependentes.lB Cl mBmmCm B CAos espaos vectoriais de dimenso finita, munidos de um produto interno,d-se o nome de ou , conformeespaos euclidianos espaos hermitianos ou .

I.2.3 O exemplo mais simples de espao vectorial sobre com produto interno o espao cartesiano , com o , definido por8 produto interno cannico

+ + , , + , + ," 8 " 8 " " 8 8.

3No caso em que , esta propriedade diz-nos que a aplicao bilinear simtrica. 4 claro que a recproca tambm verdadeira. Mais geralmente, a bilinearidade real doproduto interno implica que se tem , sempre que ou .B C ! B ! C !

2. Espaos euclidianos e hermitianos 11

este o produto interno que consideraremos sempre em , salvo aviso em8contrrio. Repare-se que a norma associada a este produto interno estdefinida por

m+ + m l+ l l+ l" 8 " 8# # .I , ento existe sempre.2.4 Se um espao vectorial de dimenso sobre I 8

um produto interno sobre . Mais precisamente, dada uma base I A A" 8de pode definir-se um produto interno associado a esta base pondo, paraIB + A + A C , A , A" " 8 8 " " 8 8 e ,

B C + , + ," " 8 8.

O produto interno cannico sobre no mais do que o associado base8cannica de .8

I.2.5 Seja um espao vectorial complexo de dimenso finita, munido de umIproduto interno . Sabemos que pode ser tambm olhado como espao Ivectorial real mas evidente que, nesse contexto, no vai ser um produto interno (trata-se de uma aplicao com valores em e no em ). No entanto fcil constatar-se que se pode definir em , considerado comoIespao vectorial real, um produto interno, que notaremos , pondo

B C dB C 5

(reparar que um nmero complexo e o seu conjugado tm a mesma partereal). Dizemos que o ao produto produto interno real associadointerno complexo . Repare-se que as normas associadas ao produto interno complexo e ao produto interno real associado coincidem.

I.2.6 Seja um espao vectorial complexo, munido de um produto internoIcomplexo N e do produto interno real associado . Se a estruturacomplexa associada de , ento, quaisquer que sejam , tem-seI ? @ I

N ? N @ 3? 3@ 3 3 ? @ ? @ ,

em particular tambm .N ? N @ ? @ I.2.7 Seja, reciprocamente, um espao vectorial real, munido de um produtoI

interno I I. D iz-se que uma estrutura complexa N compatvelcom o produto interno se se tem , quaisquer queN ? N @ ? @ sejam (diz-se ento tambm que o produto interno real um? @ produto interno hermitiano do espao vectorial complexo definido por ).NQuando isso acontecer, existe um, e um s, produto interno complexo do espao vectorial complexo definido por , cujo produto interno realNassociado seja , nomeadamente o definido por

5Notamos, para cada complexo , e a parte real e o coeficiente da parteD dD eDimaginria de .D


? @ ? @ ? N @ 3 .

Dem: Comecemos por mostrar a unicidade. Para isso, reparamos que, se I um produto interno complexo de cujo produto interno realassociado seja , ento, sendo , com , vem ? @ + ,3 + , + ? @ e

? N @ ? 3@ 3? @ , +3 ,

e portanto , donde . Defina-, ? N @ ? @ ? @ ? N @ 3 mos agora pela frmula anterior. Para terminar a demonstrao basta? @verificarmos que obtemos assim um produto interno complexo em , vistoIque ento imediato que o produto interno real associado . imediato que a aplicao bilinear real e, uma vez que se tem? @ ? @

N ? @ N N ? N @ ? N @ ,

podemos escrever

N ? @ N ? @ N ? N @ 3

? N @ ? @ 3 3 ? @

e

? N @ ? N @ ? N N @ 3

? N @ ? @ 3 3 ? @

,

o que mostra que ela linear complexa na primeira varivel e antilinear nasegunda, e portanto temos uma aplicao sesquilinear. A igualdadeN ? @ ? N @ @ ? ? @ implica tambm que se tem , emparticular real, e portanto igual a , o que implica, em? ? ? ? particular, que temos um produto interno complexo.

I.2.8 Seja um espao vectorial real munido de um produto interno I e deuma estrutura complexa compatvel . Para cada , tem-seN I I ? Iento .? N ? !Dem: Tem-se

? N ? N ? N N ? N ?? ? N ? .

I.2.9 Se um espao vectorial de dimenso finita sobre , munido de umI produto interno, tem lugar um isomorfismo , definido por) I PI

)CB B C.

Dem: imediato que, para cada , tem lugar uma aplicao linear de C I Iem , definida por , o que mostra que se pode definir uma B B Caplicao pela igualdade do enunciado. trivial constatar) I PI que a aplicao antilinear, isto , uma aplicao linear ,) I PI


pelo que, uma vez que e tm a mesma dimenso, para vermosI PI que ela um isomorfismo basta vermos que o seu ncleo . Ora, se!) )C ! ! CC C C C !, tem-se, em particular, , donde .

I.2.10 Seja um espao vectorial de dimenso finita sobre , munido de umI produto interno. Diz-se que dois vectores so se se temB C I ortogonaisB C ! J I. Se um subespao vectorial, chama-se complementarortogonal de o conjunto dos vectores tais que , paraJ J B I B C !todo o .C J

I e.2.11 Seja um espao hermitiano, com o produto interno complexo I seja o produto interno real associado. Se so vectores ortogonais, relativamente ao produto interno com-B C Iplexo, ento e so tambm ortogonais, relativamente ao produto internoB Creal, mas a recproca j no vlida: Por exemplo, se , tem-seB !3B B 3B B ! 3B B ! e .No entanto, no caso em que um subespao vectorial complexo, oJ Icomplementar ortogonal , relativamente a , coincide com o comple-J mentar ortogonal relativamente a . Dem: claro que, se pertence ao complementar ortogonal de ,B Jrelativamente a , ento tambm pertence ao complementar ortogonal Bde , relativamente a . Suponhamos, reciprocamente, que pertence aoJ Bcomplementar ortogonal de , relativamente a . Para cada , vemJ C Jtambm , pelo que podemos escrever3C J

dB C B C !

eB C d3B C dB 3C B 3C !

,,

donde .B C !

I.2.12 Sejam um espao vectorial de dimenso sobre , munido de umI 8 produto interno e um subespao vectorial de dimenso . Tem-seJ I 7ento:a) um subespao vectorial de dimenso ;J 8 7b) ;J J c) Tem lugar a soma directa ;I J Jd) e .! I I ! Dem: Comecemos por reparar que tem lugar uma aplicao linear sobrejec-tiva de sobre , que a cada aplicao linear PI PJ I 0 associa a restrio (para ver que toda a aplicao linear de em0 J J J pode ser prolongada numa aplicao linear de em , basta considerarIuma base de , prolong-la numa base de e atender a que uma aplicaoJ Ilinear fica definida se dermos, de modo arbitrrio, as imagens dos elementosduma base). Por composio desta aplicao linear com o isomorfismo) I PI , somos conduzidos a uma aplicao linear sobrejectiva) )s sI PJ CB B C J, definida ainda por . Por definio, o

ncleo da aplicao linear pelo que, uma vez que e tm) s I PJ


dimenses e , respectivamente, conclumos que um subespao8 7 Jvectorial de dimenso (de ou de , o mesmo). Aplicando de novo8 7 I Ia mesma concluso, vemos que um subespao vectorial deJ dimenso ; uma vez que se tem evidentemente8 8 7 7J J J J B J J , podemos concluir que . Se , tem-seB B ! B ! J J, donde . Conclumos daqui que e formam somadirecta pelo que, uma vez que a soma das suas dimenses igual dimenso8 I I J J ! I de , tem-se . imediato que e o facto de se ter I ! , por exemplo, uma consequncia daquele facto e do que vimosem b).

I.2.13 Nas condies anteriores nota-se a aplicao linear de sobre 1J I Jassociada soma directa referida. Tem-se portanto que, para cada ,B Ipode-se escrever, de maneira nica , com e , eB B B B J B Jw ww w ww ento , por outras palavras, o nico vector de tal que1 1J JwB B B JB B J I J1 1J J

. Diz-se que a de sobre .projeco ortogonalRepare-se que, tendo em conta a alnea b) do resultado precedente, aprojeco ortogonal de sobre igual a , isto , a .1 1J ww JB B J B B B claro que se tem se, e s se, , assim como se, eB J B B B J1J s se, .1J B !Tendo em conta , vemos que, se um espao hermitiano e I.2.11 I J Ium subespao vectorial complexo, ento a projeco ortogonal no1Jdepende de se considerar o produto interno complexo ou o produto internoreal associado.

I.2.14 Seja um espao vectorial de dimenso sobre , munido de umI 8 produto interno. Diz-se que um sistema de vectores 7 A A" 7ortogonal se se tem , para cada . Um sistema ortogonal deA A ! 4 54 5vectores no nulos sempre linearmente independente e, no caso em que7 8 I I, uma base de (uma de ), tendo-se, para cadabase ortogonalB I,

B ABA

A A "4"

84

4 44.

Dem: Suponhamos que um sistema ortogonal de vectores noA A" 7nulos e que se tinha . Para cada , podamos ento escrever! + A ! 54 4

! + A A + A A + A A " "4 4

4 4 5 4 4 5 5 5 5 ,

donde , o que mostra que o sistema linearmente independente. No+ !5caso em que , temos portanto uma base de pelo que, para cada7 8 IB I B + A 5, podemos escrever . Tem-se ento, para cada ,! 4 4


B A + A A + A A 5 4 4 5 5 5 54

" ,donde .+ 5 BA A A

5

5 5

I.2.15 Nas condies anteriores, um sistema de vectores 7 A A ./I" 7diz-se se for ortogonal e constitudo por vectores de norma ,ortonormado "por outras palavras, se se tiver , quaisquer que sejam ,A A 4 54 5 45$onde o . A um sistema ortonormado de vectores$45 smbolo de Kronecker6que constitua uma base tambm se d o nome de de .base ortonormada IRepare-se que, a partir de um sistema ortogonal de vectores no nulosC C A A" 7 " 7, pode sempre obter-se um sistema ortonormado ,pondo simplesmente .A 4

CmC m

4

4

Quando uma base ortonormada, a frmula obtida atrs diz-nosA A" 8que, para cada , tem-seB I

B BA A"4"

8

4 4.

Uma das vantagens das bases ortonormadas a de elas permitirem umacaracterizao simples do produto interno de dois vectores a partir dassuas componentes.

I.2.16 Seja A A I B C I" 8 uma base ortonormada de . Dados , comB + A + A C , A , A" " 8 8 " " 8 8 e , tem-se

B C + , + ," " 8 8.

Dem: Vem

B C + A , A

+ , A A + ,

" "4

4 4 5 5

5

+ A , A "" " 45

4 4 5 5

45

4 5 4 5 4 4

4

.

I.2.17 Em particular, vemos que, se um espao vectorial com uma baseIA" A8, ento o produto interno construdo a partir dela em vai ser oI.2.4nico para o qual aquela base ortonormada.

I.2.18 Seja um espao vectorial de(Existncia de bases ortonormadas) Idimenso sobre , munido de um produto interno. Cada sistema8

6Recordemos que o , por definio, igual a , se , e igualsmbolo de Kronecker $45 " 4 5a , se .! 4 5


ortonormado de vectores de pode ento ser prolongado numa baseIortonormada de , em particular, existe uma base ortonormada de .I IDem: Faamos a demonstrao da existncia de uma base ortonormada paraI 8 I 8 ! por induo na dimenso de . Se , o resultado trivial, visto quea famlia vazia de vectores uma base ortonormada. Suponhamos o resultadoverdadeiro para os espaos vectoriais de dimenso e vejamos o que8acontece no caso em que tem dimenso . Seja um vector no nuloI 8 " Bde e seja o subespao vectorial, de dimenso , gerado por . OI J B " Bvector um vector de norma de , e portanto uma baseA " J" BmBmortonormada deste subespao. Pela hiptese de induo podemos consideraruma base ortonormada do complementar ortogonal , que A A J# 8" um espao vectorial de dimenso , e ento imediato que 8 A A A" # 8" um sistema ortonormado de vectores de e portanto uma base8 " Iortonormada deste espao. Mais geralmente, se for um sistemaC C" 7ortonormado de vectores de , podemos considerar o subespao vectorial I Jde dimenso gerado por este sistema e imediato que, juntando a estes7vectores os vectores duma base ortonormada do complementar8 7ortogonal , obtemos um sistema ortonormado de com vectores, logoJ I 8uma base ortonormada deste espao.

I.2.19 Seja um espao hermitiano, com o produto interno complexo I eseja um sistema ortogonal de vectores de (respectivamente umA A I" 7sistema ortonormado). Ento o sistema de vectores A A 3A 3A" 7 " 7 ortogonal (respectivamente ortonormado), relativamente ao produto internoreal associado . Relembremos que, quando o primeiro sistema uma base de , enquanto espao vectorial complexo, o segundo uma base de ,I Ienquanto espao vectorial real.Dem: Para cada , tem-se4 5

! A A A A A 3A 34 5 4 5 4 5 ,

donde e ; daqui deduzimos, lembrando ,A A ! A 3A !4 5 4 5 I.2.6que se tem tambm . Por outro lado, para cada3A 3A A A !4 5 4 5 4, tem-se

A A A 3A 3 A A 4 4 4 4 4 4 ,

donde , o que acaba de provar que temos um sistemaA 3A !4 4 ortogonal de vectores de , relativamente ao produto interno real associado.INo caso em que o sistema de partida mesmo ortonormado, esta mesmafrmula mostra que, por ser , tambm e daquiA A " A A "4 4 4 4 deduzimos que se tem tambm .3A 3A A A "4 4 4 4

O resultado que se segue estabelece um processo muito til decaracterizar a projeco ortogonal sobre um subespao , quando seJdispe de uma base ortonormada para esse subespao, ou, maisgeralmente, de uma base ortogonal. claro que, tendo em conta o que


vimos em , o resultado em questo poder ser tambm utilizadoI.2.13quando possuirmos uma base ortogonal para , em vez de uma baseJortogonal para .J

I.2.20 Sejam um espao vectorial de dimenso finita, munido de produtoIinterno, e um subespao vectorial, munido de uma base ortogonalJ IA A B I" 7. Para cada , tem-se ento

1J 44"

74

4 4B A

BA

A A "

em particular, no caso em que a base mesmo ortonormada,

1J 4 44"

7

B BA A" .Dem: Uma vez que pertence evidentemente a , tudo o queC A J! BA A A 444 4temos que mostrar que pertence a . Ora, para cada , tem-seB C J 5

"B CA BA A A BA A A

BA A A !BA

A A

5 5 4 5

4"

74

4 4

5 5 55

5 5

e daqui segue-se que, para cada , com ,D J D , A! 5 5 "B C D , B CA !

5"

7

5 5 ,

o que termina a demonstrao.

I.2.21 Sejam e espaos vectoriais de dimenso finita, munidos de produtosI Jinternos, e uma aplicao linear. Tem ento lugar uma aplicao- I Jlinear , dita de , tal que, para cada , o- - - J I C J Cadjuntanico elemento de que verifica a condioI

B C B C- - ,

para todo o .B IDem: Para cada , tem lugar uma aplicao linear , definidaC J I 0 Cpor , pelo que a existncia e unicidade de um elemento0 -CB B C-C I, verificando a igualdade do enunciado, fica garantida por ,I.2.9tendo-se nas notaes desse resultado, . O facto de ser- ) 0 - " CC uma aplicao linear uma consequncia de que a aplicao de emJPI C 0 ), que a associa , antilinear, tal como .C "


I.2.22 Sejam e espaos hermitianos, com produtos internos notados I J , e- I J uma aplicao linear. Tem-se ento que a aplicao linear adjunta- - - J I de coincide com a adjunta de relativamente aos produtosinternos reais associados . Dem: Basta atender a que a igualdade implica tri-B C B C- - vialmente a igualdade .B C B C- -

I.2.23 Nas condies de , tem lugar uma aplicao antilinear de I.2.21 PI Jem , que a cada associa .PJ I - -Dem: Dados , tem-se- . PI J

B C C B C B C

B C B C B B C B C

- . - .

- . - . - .

,

o que implica que . Do mesmo modo, se C C C- . - . - PI J + e ,

B + C +B C + B C + B C + B C- - - - - ,

o que implica que .+ C + C- -

I.2.24 Sejam , e espaos vectoriais de dimenso finita, munidos deI J Kproduto interno, e e duas aplicaes lineares. Tem-se- . I J J Kento:

a)b)c)

; ; .

M. M.

- -

. - - .

I I

Dem: Quaisquer que sejam e , vemB I C J

C B B C B C C B- - - - ,

o que mostra que . Quaisquer que sejam e , B B B I D K- - tem-se

B D B D B D- . - . . - ,

pelo que . A afirmao feita em c) trivial. D D. - - .

I.2.25 Se um espao vectorial de dimenso finita, munido de produtoIinterno, diz-se que uma aplicao linear , se se tem- I I autoadjunta- - , isto , se se tem

B C B C- - ,

quaisquer que sejam (no caso em que B C I , tambm se d o nomede es lineares autoadjuntas)simtricas s aplica . O subconjunto dePII, cujos elementos so as aplicaes lineares autoadjuntas um


subespao vectorial real que notaremos .7 P II++Analogamente, chamamos s aplicaantiautoadjuntas es lineares - I Itais que , quaisquer que- - , isto , tais que B C B C- -sejam , e notamos o subespao vectorial real deB C I P II++PII constitudo pelas aplicaes lineares antiautoadjuntas.

I.2.26 Sejam um espao vectorial de dimenso finita, munido de produtoIinterno e J I J I um subespao vectorial. Sendo a incluso e+J1 + 1J JJ

I J I J a projeco ortogonal de sobre , tem-se , e portantotambm . Em consequncia, quando se encara como aplicao1 + 1J J Jlinear , uma aplicao linear autoadjunta.I I 1JDem: Para provar que a adjunta de , o que temos1 +J JI J J Ique mostrar que, quaisquer que sejam e , tem-se B J C I B C +JB C B C B C1 1J J, isto , , igualdade que equivalente aB C C !1J . Ora, isto acontece efectivamente, uma vez que se temB J C C J e, por definio de projeco ortogonal, . O facto de1J se ter tambm agora uma consequncia da alnea a) de e o1 +J J I.2.24facto de , como aplicao linear , ser autoadjunta resulta da alnea1J I Ib) do mesmo resultado, uma vez que se pode considerar que temos acomposta , e portanto+ 1J J

+ 1 1 + + 1J J J J

J J .

Repare-se que o resultado anterior sublinha o cuidado necessrio, aoreferir a adjunta de uma aplicao linear, de ter bem presente qual oespao de chegada que se est a considerar: Para a mesma aplicao linear1 +J J, de domnio , a sua adjunta , quando o espao de chegada consi-Iderado , e a prpria aplicao linear , quando o espao de chegadaJ 1Jconsiderado .IA noo de aplicao linear adjunta talvez mais claramente entendida seexaminarmos o que acontece respectiva matriz, desde que, e isso fundamental, esta seja tomada relativamente a bases ortonormadas dosespaos euclidianos em questo:

I.2.27 Sejam e espaos vectoriais de dimenso finita, munidos de produtoI Jinterno, uma base ortonormada de e uma baseA A I D D" 7 " 8ortonormada de . Se , tem-se ento que a matriz da aplicaoJ PI J-linear naquelas bases a matriz transconjugada da matriz de - - PJ Inas mesmas bases. Em particular, no caso em que , uma aplicao linear simtrica se, e s se, a sua matriz numa base- PIIortonormada simtrica.Dem: A matriz da aplicao linear a matriz cujo elemento , da linha - + 554

7Repare-se que, quando um espao vectorial hermitiano, apenas podemos garantirIque um subespao vectorial real. A razo est no facto de a aplicaoP II++- - ser antilinear, e no linear complexa.


e coluna , est definido por4

-A + D4 54 55"

8" ,tendo-se portanto, uma vez que a base ortonormada,D D" 8

+ A D 54 4 5- .

Do mesmo modo se v que o elemento da linha e coluna da matriz de 4 5 -

, D A D A A D +45 5 4 5 4 4 5 54- - - ,

donde o resultado.

I.2.28 Sejam um espao vectorial de dimenso (Corolrio) I 8, munido deproduto interno, e uma aplicao linear com adjunta .- - I I I ITem-se ento

Tr Tr , . - - - - det det

Dem: Fixando uma base ortonormada de , sabemos que a matrizB B I" 8de naquela base a transposta da conjugada da matriz de na mesma- -base, pelo que basta repararmos que uma matriz e a sua transposta tm omesmo trao e o mesmo determinante e que o trao e o determinante damatriz cujos elementos so os conjugados dos duma matriz dada so respec-tivamente iguais aos conjugados do trao e do determinante desta.

I.2.29 Sejam e espaos vectoriais de dimenso finita, munidos de produtoI Jinterno. Diz-se que uma aplicao linear se se tem- I J ortogonal

B C B C- - ,

quaisquer que sejam . Uma tal aplicao linear verifica entoB C Itrivialmente a condio , qualquer que seja , emm Bm mBm B I-particular sempre uma aplicao linear injectiva. D-se o nome deisometria linear a um isomorfismo ortogonal, isto , a uma aplicao linearortogonal , que seja um isomorfismo de sobre . No caso em- I J I Jque mais comum chamar aplicaes lineares s aplicaes unitriaslineares ortogonais.

I.2.30 Sejam e espaos vectoriais de dimenso finita, munidos de produtoI Jinterno, uma base ortonormada de e uma aplicaoA A I I J" 7 -linear. So ento equivalentes as condies seguintes: uma aplicao linear ortogonal;a) - , qualquer que seja ;b) m Bm mBm B I- ;c) - - I M. um sistema ortonormado de vectores de .d) - -A A J" 7Alm disso, no caso em que , a aplicao linear complexa - I J


ortogonal, relativamente aos produtos internos complexos, se, e s se, ortogonal relativamente aos produtos internos reais associados.Dem: Vamos comear por verificar que cada uma das condies c) e d) equivalente condio a). trivial que a condio a) implica a condio d) eo facto de ela implicar c) vem de que podemos ento escrever, quaisquer quesejam ,B C I

B C B C B C- - - - ,

o que implica que . Supondo que se verifica c), tem-se, do- - C Cmesmo modo,

B C B C B C- - - - ,

o que no mais do que a condio a). Supondo que se verifica d), tem-se,para , e , portantoB C I B + A C , A! !

44 4 5 5

5

B C + A , A

+ , A A + , A A

+ A , A B C

- - - -

- -

" "" " " "

4

4 4 5 5

5

45 45

4 5 4 5 4 5 4 5

4

4 4 5 5

5

,

o que mostra que uma aplicao linear ortogonal. Reparemos agora que,-no caso em que , a caracterizao em c) implica, tendo em conta I.2.22, que ortogonal, relativamente aos produtos internos complexos, se,-e s se, ortogonal relativamente aos produtos internos reais associados. Poresse motivo, para demonstrar a equivalncia entre a) e b), que nos falta,podemos examinar apenas o que se passa no caso em que . Ora, a condio a) implica evidentemente b) e, supondo que se verifica b), partimosda identidade

B C B C B B B C C B C C

B B #B C C C,

que implica que

B C mB Cm mBm mCm "

## # # ,

para deduzir que

B C m B Cm m Bm m Cm "

#

m B Cm m Bm m Cm "

#

- - - - - -

- - -

# # #

# # #


????? mB Cm mBm mCm B C"

## # # ,

o que prova a).

I.2.31 Por exemplo, se um espao euclidiano e I N I I uma estruturacomplexa, ento uma estrutura complexa compatvel se, e s se, umaNaplicao linear ortogonal (e portanto uma isometria linear), o que equivalente a ser antiautoadjunta.NDem: O facto de ser compatvel se, e s se, uma aplicao linear ortogo-Nnal simplesmente a definio. Por outro lado, a identidade N N M.Igarante que um isomorfismo, com , e, pelo resultado prece-N N N"dente, uma aplicao linear ortogonal se, e s se, , ou seja, se, eN N N "s se, .N N

Vimos em que todo o espao vectorial real de dimenso par admiteI.1.15uma estrutura complexa. Como exemplo de aplicao do que estabele-cemos atrs, vemos agora que, quando o espao euclidiano, podemosafirmar um pouco mais.

I.2.32 Seja um espao euclidiano de dimenso par . Existe ento sobreI 8 #:I N uma estrutura complexa compatvel . Mais precisamente, dada uma baseortonormada de , que notamos I ?" ? @ @: " :, podemos tomar paraN N ? @ N @ ? N a aplicao linear definida por e ( aplica aquela4 4 4 4base ortonormada numa base ortonormada).

A noo de aplicao linear ortogonal admite uma generalizao em que,em vez das normas serem conservadas, elas vm multiplicadas por umacerta constante.

I.2.33 Sejam e espaos vectoriais, reais ou complexos, de dimenso finita,I Jmunidos de produto interno, uma base ortonormada de eA A I" 7- I J - ! uma aplicao linear. Se , so ento equivalentes as condi-es seguintes:a) , quaisquer que sejam ; B C - B C B C I- - #b) , qualquer que seja ;m Bm -mBm B I-c) ;- - # I - M.d) um sistema ortogonal de vectores de de norma .- -A A J -" 7Se , elas so equivalentes a e se , elas so ainda- ! ! - !-equivalentes ao facto de ser uma aplicao linear ortogonal e implicam,"--em particular, que uma aplicao linear injectiva.-Dizemos que uma , com - aplicao linear conforme coeficiente de confor-malidade , se se verificam as condies anteriores. Dizemos simplesmente-que uma se conforme para algum- -aplicao linear conforme


coeficiente de conformalidade .- !Dem: fcil de ver que, se , cada uma das condies a) a d) equiva-- !lente a (reparar que a) pode-se escrever, de modo equivalente, na- !forma e implica trivialmente b)). Se , as condiesB C ! - !- -a) a d) so respectivamente equivalentes aa ) w " "- - B C B C- -b ) w "-m Bm mBm-c ) (w " "- - I- - M.d ) um sistema ortonormado de vectores de ,w " "- -" 7- -A A Ja primeira das quais corresponde a afirmar que uma aplicao linear"--ortogonal e cada uma das outras reduz-se condio correspondente emI.2.30, para a aplicao linear ."--

I.2.34 (Notas) a) Uma aplicao linear ortogonal precisamente a- I Jmesma coisa que uma aplicao linear conforme com coeficiente deconformalidade ."b) No caso em que e so espaos vectoriais complexos, a condio c)I Jmostra que a aplicao linear complexa conforme, com- I Jcoeficiente de conformalidade se, e s se, o quando se olha para e - I Jcomo espaos vectoriais reais, com os produtos internos reais associados.c) No caso em que tem dimenso , a condio d) mostra que toda aI "aplicao linear conforme.- I J

O resultado que se segue d-nos uma caracterizao, muitas vezes til,das aplicaes lineares que so projeces ortogonais sobre subespaos.

I.2.35 Sejam um espao vectorial de dimenso finita, munido de produtoIinterno, e uma aplicao linear. Tem-se ento que a projeco- - I Iortogonal sobre algum subespao de se, e s se, e e,J I - - - - -nesse caso, um tal nico e igual a .J I-Dem: Comecemos por supor que a projeco ortogonal de sobre o- Isubespao . J vimos em que autoadjunta e, uma vez que,J I I.2.26 -para cada , e que, para cada , , vemos que? I ? J ? J ? ?- -- - - - - - -I J ? I ? ? e que, para cada , , isto , .Suponhamos, reciprocamente, que tal que e- - - PII - - - - - J I ? I ? J. Seja e tomemos arbitrrio. Tem-se e,para cada , podemos escrever , para algum , pelo que@ J @ A A I-

? ? @ ? A ? A

? A ? A ? A ? A !

- - - -

- - - - - ,

o que mostra que , e portanto a projeco ortogonal de? ? J ?- -? J sobre .


3. Os produtos internos de Hilbert-Schmidt.

I.3.1 Suponhamos que, para cada , um espao vectorial de" 4 : I4dimenso , munido de produto interno. No produto cartesiano84I I 8 8" : " :, que um espao vectorial de dimenso , temento lugar um produto interno definido por

B B C C B C B C " : " : " " : : .

Por exemplo, se cada fosse igual a ou , com o produto interno usualI4 ( ), obtnhamos o produto cartesiano , com o produto interno+ , +, :usual.

Repare-se que a norma sobre , associada a este produtoI I" :interno, , em geral, a norma do mximo, definida em .no I.1.11

I.3.2 Sejam e espaos vectoriais, reais ou complexos, de dimenses e ,I J 7 8respectivamente, munidos de produto interno. Existe ento sobre o espaovectorial , de dimenso , um, e um s, produto interno, talPI J 8 7que, qualquer que seja a base ortonormada de , se tenha, paraA A I" 7- . PI J,

A A - . - ."4"

7

4 4 .

Alm disso, considerando tambm o produto interno correspondente sobrePJ I PI J, tem-se. para ,- .

- . - . .

Alternativamente, fixadas bases ortonormadas de e A A I D D" 7 " 8de , onde e tm matrizes de elementos e , definidas portanto porJ + ,- . 54 54- .A + D A , D4 54 5 4 54 5

5 5

! ! e , tem-se + ,- . "

54

54 54.8

Dem: Fixemos uma base ortonormada de e definamos, paraA A I" 7- . PI J,

8Por outras palavras, identificando as aplicaes lineares, com as respectivas matrizes eestas com elementos de , de uma das maneiras naturais, ao produto interno de78PI J fica a corresponder o produto interno cannico de (cf. ).78 I.2.3

3. Os produtos internos de Hilbert-Schmidt 25

A A - . - ."4"

7

4 4 .

Se nos lembrarmos que uma aplicao linear, que se anula nos elementos deuma certa base, nula, constatamos facilmente que fica assim definido umproduto interno no espao vectorial . Para justificar a primeiraPI Jafirmao do enunciado, tudo o que teramos que ver que este produtointerno no depende da base ortonormada que fixmos em . ParaIverificarmos isso vamos utilizar um processo que nos permite, ao mesmotempo, demonstrar a segunda afirmao do enunciado, assim como a frmulaque envolve as matrizes de e em bases ortonormadas arbitrrias.- .Consideremos ento uma base ortonormada de , assim como oD D J" 8produto interno em definido a partir desta base ortonormada. SePJ Iverificarmos que se tem , a independncia da escolha das - . - . bases ortonormadas ficar demonstrada (o primeiro membro da igualdadeno depende da base fixada em e o segundo no depende da base fixadaIem , pelo que nenhum deles pode depender de nenhuma das escolhas). Ora,Jconsiderando as matrizes de e nas duas bases ortonormadas- .consideradas, vem

A A

+ D , D

+ , D D + ,

- . - ."" " " " "

4

4 4

4 5 5

54 5 5 4 5

455 45

54 5 4 5 5 54 54

w

w w

w

w w

e, do mesmo modo, tendo em conta ,I.2.27

+ , - . - .

54

54 54" .I.3.3 Ao produto interno sobre que definimos atrs costuma-se dar oPI J

nome de . Repare-se que a norma deproduto interno de Hilbert-SchmidtPI J associada a este produto interno no , em geral, a mesma que adefinida em , a partir das normas de e associadas aos respectivosI.1.9 I Jprodutos internos.

Reparemos que, se fixarmos uma base ortonormada de A A I" 7ficamos com um isomorfismo de sobre (PI J J J 7factores), que a cada associa , isomorfismo que vai- - - A A " 7ser uma isometria linear, quando se considera em o produtoPI J interno de Hilbert-Schmidt e em o produto interno referidoJ Jem .I.3.1


I.3.4 Sejam , e trs espaos euclidianos ou hermitianos, ,I J K PI J-. 0 PJ K PIK e . Tem-se ento

- . 0 . - 0 . 0 - .

Dem: Fixemos uma base ortonormada de . Tem-se entoA A I" 7

A A

A A

. - 0 . - 0

- . 0 - . 0

""

4

4 4

4

4 4 .

o que demonstra a primeira igualdade. Quanto segunda, ela vai ser umaconsequncia da primeira e da ltima concluso de , visto que podemosI.3.2escrever

. - 0 . - 0 - . 0

. - 0 . 0 - . 0 -

I.3.5 Sejam um espao(O caso em que real e complexo) a)I J Ivectorial real de dimenso , munido de um produto interno real 7 J e um espao vectorial complexo de dimenso finita, munido de um produtointerno complexo e notemos tambm o produto interno real associado de . Tem-se ento que o produto interno de Hilbert-Schmidt deJPI J, enquanto espao vectorial real, associado aos produtos internos PI J, o associado a um produto interno de , enquanto espaovectorial complexo, nomeadamente o definido por

A A - . - . "4"

7

4 4 ,

onde uma base ortonormada arbitrria de .A A I" 7b) Sejam e espaos vectoriais complexos, munidos de produtosI Jinternos, que notaremos , e consideremos o produto interno complexo sobre referido em a), correspondente a considerar como espaoP I J Ivectorial real com o produto interno real associado . Tem-se ento que o produto interno complexo induzido por este em oP I J P I J dobro do produto interno de Hilbert-Schmidt complexo de .P I Jc) No quadro descrito em a), valem as adaptaes naturais de , nomeada-I.3.4mente: Se um espao euclidiano, e so espaos hermitianos,c1) I J K- . 0 PI J P J K PIK, e , ento

- . 0 . - 0 .

Se , so espaos euclidianos, um espao hermitiano,c2) I J K- . 0 PI J PJ K PIK, e , ento


. - 0 . 0 - .

Dem: fcil constatar, tal como na definio do produto interno dea)Hilbert-Schmidt no caso em que temos o mesmo corpo de escalares, que,fixada a base ortonormada de , a expresso do enunciadoA A I" 7define efectivamente um produto interno complexo sobre , cujoPI Jproduto interno real associado est definido por

A A - . - . "4"

7

4 4 ,

sendo portanto o de Hilbert-Schmidt. Basta ento repararmos que o facto deeste produto interno complexo no depender da base ortonormada escolhidaresulta de que isso acontece com o produto interno real associado.b) Basta atender a que, sendo uma base ortonormada complexaA A" 7de , relativamente ao produto interno , podemos considerar a baseI ortonormada real de , relativamente ao produtoA A 3A 3A I" 7 " 7interno real associado, tendo-se portanto, para ,- . P I J

A A 3A 3A

A A 3 A 3 A

# A A

- . - . - .

- . - .

- .

" "" "

"

4" 4"

7 7

4 4 4 4

4" 4"

7 7

4 4 4 4

4"

7

4 4 .

c) Trata-se de uma consequncia das frmulas em , se repararmos que,I.3.4pela relao entre um produto interno complexo e o produto interno realassociado, estabelecida em , podemos escrever, no primeiro caso,I.2.7

3 3

3 3

3

- . 0 - . 0 - . 0

- . 0 - . 0

. - 0 . - 0 . - 0

e, no segundo caso,

3 3

3 3

. - 0 . - 0 . - 0

. 0 - . 0 - . 0 -

.

Estudmos atrs a caracterizao da adjunta de uma aplicao linear e doproduto interno de duas aplicaes lineares em termos das respectivasmatrizes em bases ortonormadas. Por vezes interessa examinar umasituao anloga, em que as matrizes relativas a bases so substitudas pormatrizes associadas a somas directas. Comeamos, para isso, porexaminar o que so essas matrizes.


I.3.6 Sejam e espaos vectoriais e fixemos subespaos vectoriaisI JI" I I J J J7 " 8, de , e , de , tais que tenham lugar as decomposi-es em soma directa e . SeI I I J J J" 7 " 8- - I J uma aplicao linear, vamos chamar de , relativamentematrizs somas directas consideradas, famlia de aplicaes lineares , -34 "38

"47

com definida por , onde so as- - 1 - 134 4 3 34 3w w3 3I I J J J4projeces associadas segunda soma directa. A matriz frequentementenotada

- - -- - -

- - -

"" "# "7

#" ## #7

8" 8# 87

ou ainda, se quisermos tornar visualmente mais claro quais as somas directasconsideradas,

I I I

JJJ

" # 7

"

#

8

"" "# "7

#" ## #7

8" 8# 87

- - -- - -

- - -

.

I.3.7 Nas condies anteriores, dada uma matriz arbitrria de aplicaes lineares-34 4 3 I J " 3 8 " 4 7, com e , vai existir uma, e uma s,aplicao linear cuja matriz seja aquela, nomeadamente a definida- I Jpor , onde so as projeces associadas pri-- - 1 1 I I!

"38"47

34 4 4 4

meira soma directa. O espao vectorial fica assim isomorfo aoPI Jproduto cartesiano dos espaos vectoriais , com ePI J " 4 74 3" 3 8, pelo isomorfismo que a cada associa a respectiva matriz de-aplicaes lineares.Dem: Se uma aplicao linear tal que , tem-se,- 1 - - I J w3 I 344para cada B I

- 1 - 1 - 1 - 1B B B B" " ""38

w w3 3 4 34 4

"38 "38"47 "47

,

donde . Reciprocamente, definindo por esta- - 1 - PI J!"38"47

34 4

igualdade, tem-se, para cada , , com ,B I B B B J4 34 34 3"38

- - -!para cada , pelo que .3 B B- 1 -34 w3

I.3.8 Consideremos espaos vectoriais e subespaos(Functorialidade) IJ Kvectoriais I" I I J J J K K K7 " 8 " :, de , , de , e , de , tais que


tenham lugar as somas directas

I I I J J J K K K" 7 " 8 " :, , .

Tem-se ento:a) A matriz da aplicao linear M. I II

M. ! !! M. ! ! ! M.

I

I

I

"

#

8

.

b) Se e tm matrizes- . I J J K

- - - . . .- - - . . .

- - - . . .

"" "# "7 "" "# "8

#" ## #7 #" ## #8

8" 8# 87 :" :# :8

e ,

respectivamente, ento tem matriz. - I K

3 3 33 3 3

3 3 3

"" "# "7

#" ## #7

:" :# :7

,

onde .3 . -35 34 45"48

! 9Dem: A demonstrao de a) trivial e, quanto a b), atendemos a que, paracada , tem-seB I5

. - . 1 - . -

1 . - . -

B B B

B B

" "" " " ""48 "48

w4 45

"3: "48 "3: "48

ww3 45 34 45 ,

com , para cada , donde .. - 3 . -34 45 3 35 34 45"48

B K 3 B B!I.3.9 No quadro de um espao vectorial , munido de produto interno, sabemosI

que as bases ortonormadas jogam um papel especialmente relevante. Domesmo modo, nesse quadro, de entre as decomposies em soma directaI I I" 7 vo ser especialmente importantes aquelas em somadirecta ortogonal, isto , aquelas em que, para cada , e ,3 4 B I B I3 4wtem-se . Repare-se que, como se verifica facilmente, dizer que aB B !wdecomposio em soma directa ortogonal equivale aI I I" 7

9Reparar na analogia com a matriz identidade e com a frmula usual para o produto dematrizes.


dizer que as projeces associadas soma directa coincidem com13 3 I Ias projeces ortogonais de sobre as parcelas .I I3

I.3.10 Sejam e espaos vectoriais de dimenso finita, munidos de produtoI Jinterno e de decomposies em soma directa ortogonal eI I I" 7J J J PI J" 8. Sejam , com matrizes- .

- - - . . .- - - . . .

- - - . . .

"" "# "7 "" "# "7

#" ## #7 #" ## #7

8" 8# 87 8" 8# 87

.

Tem-se ento:a) A aplicao linear tem matriz- J I

- - -- - -

- - -

"" #" 8"

"# ## 8#

"7 #7 87

,

por outras palavras, tem-se . - - 43 34b) Tem-se, para os produtos internos de Hilbert-Schmidt,

- . - .""38"47

34 34 .

Dem: Sejam e as projeces ortogonais e1 14 4 3w3 I I J J+ +4 4 3

w3 I I J J e as incluses. Tem-se ento

- 1 - 1 - + + - 1 1 - + - w w w 43 4 4 4 34J 3 4 3 3

3,

o que prova a). Quanto a b), comecemos por notar que, se , entoC C Jwtem-se , uma vez que , C C C C C C C w w w w w

"383 3 3

3

! ! !1 1 13w

1 1 1w w w w w w3 33w wC 3 3 C C ! e, para , . Daqui resulta, tendo em conta adefinio dos produtos internos de Hilbert-Schmidt, que, para ! " PI J, tem-se

! " 1 ! 1 ""3

w w3 3 .

Uma vez que, fixada uma base ortonormada em cada , a unio dessasI4bases vai ser uma base ortonormada de , conclumos queI

- . - . 1 - 1 .

- .

" " """47 "47 "38

I I I Iw w3 3

34 34

4 4 4 4

"38"47

.


Por vezes ser-nos- til sabermos calcular determinantes e traos de apli-caes lineares em termos das suas matrizes relativas a umadecomposio em soma directa. Para simplificar examinamos apenas oque se passa quando com as somas directas de duas parcelas. Osresultados gerais podem facilmente ser deduzidos destes por induo nonmero de parcelas.

I.3.11 Sejam um espao vectorial de dimenso e dois subespaosI 8 I I" #vectoriais tais que tenha lugar a soma directa I I" I I I#. Seja -uma aplicao linear com matriz

- -- -"" "##" ## ,relativa decomposio considerada. Tem-se ento:a) Tr Tr Tr . - - -"" ##b) Se ou , ento .- - - - -#" "# "" ## ! ! det det detDem: Sendo e as dimenses de e , respectivamente, fixemos uma: ; I I" #base de cujos primeiros elementos estejam em e os ltimos I : I ;"elementos em . A matriz de nesta base pode ser dividida em blocos,I E# -

E E EE E "" "##" ## ,

onde a matriz da aplicao linear nas bases consideradas. OE34 34-resultado ento uma consequncia de que, para uma matriz assimEdividida, tem-se trivialmente Tr Tr Tr e de que bemE E E "" ##conhecido que, com a hiptese de se ter ou , tem-seE ! E !#" "#tambm (det det detE E E "" ## O leitor que no conhecesse esseresultado prov-lo-ia facilmente reparando que, na soma correspondente aodeterminante de , s podem ser no nulas as parcelas correspondentes aEpermutaes que apliquem cada um dos dois subconjuntos e5 " :: " 8 em si mesmo).

4. Orientao de espaos vectoriais reais.

I.4.1 Seja um espao vectorial de dimenso e sejam eI 8 ? ?real " 8@ @ I" 8 duas bases de . Podemos ento considerar a matriz de mudanada primeira base para a segunda, que a matriz com linhas e colunas,8 8cujo elemento , da linha e coluna , est definido por+ 4 545

@ + ?5 45 44"

8" .


Trata-se de uma matriz invertvel, cuja matriz inversa a matriz da mudanada segunda base para a primeira. Diz-se que as duas bases tm a mesmaorientao se a matriz de mudana da primeira base para a segunda temdeterminante positivo; caso contrrio, isto , se esse determinante negativo,diz-se que as duas bases .tm orientaes opostas 10A razo por que esta noo s apresentada no quadro dos espaos vectoriaisreais est em que, no caso de termos um espao vectorial complexo, a matrizde mudana de base ter elementos complexos pelo que o seu determinanteser em geral um nmero complexo, no fazendo portanto sentido pedir queele seja positivo ou negativo. No esquecer, no entanto, que um espaovectorial complexo de dimenso pode ser olhado como espao vectorialI 8real, de dimenso , e, desse ponto de vista, j faz sentido falar de duas#8bases reais de terem ou no a mesma orientao.I

I.4.2 A relao tm a mesma orientao uma relao de equivalncia no con-junto das bases de . Alm disso, se as bases e H8 " 8 " 8I I ? ? @ @tm orientaes opostas e as bases e tm orientaes@ @ A A" 8 " 8opostas, ento as bases e tm a mesma orientao.? ? A A" 8 " 8Dem: A reflexividade vem de que o determinante da matriz identidade igual a . A simetria uma consequncia do facto de o determinante da"matriz inversa ser o inverso do determinante da matriz de partida, tendo, emparticular, o mesmo sinal que este. Quanto transitividade e ltimaafirmao do enunciado, basta atendermos a que a matriz de mudana dabase para a base o produto da matriz de mudana da? ? A A" 8 " 8base para a base pela matriz de mudana da base? ? @ @" 8 " 8@ @ A A" 8 " 8 para a base , tendo portanto determinante igual aoproduto dos determinantes daquelas.

I.4.3 A propriedade suplementar referida no enunciado precedente implica que oconjunto das base de tem, no mximo, duas classes de equivalnciaH8I Ipara a relao de equivalncia em questo, visto que, se duas bases noforem equivalentes, qualquer base que no seja equivalente a uma delas equivalente outra.De facto, se , tem mesmo duas classes de equivalncia: ParaI ! IH8o ver, basta reparar

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Geometria Diferencial - Uma Introdução Fundamental, 2.ª Ed