Uma breve historia da Geometria Diferencial (até … · Uma breve historia da Geometria Diferencial (até meados do século XIX) Ryuichi Fukuoka - DMA - UEM 29 de novembro de

Uma breve historia da Geometria Diferencial(ate meados do seculo XIX)

Ryuichi Fukuoka - DMA - UEM

29 de novembro de 2006

Ryuichi Fukuoka - DMA - UEM Uma breve historia da Geometria Diferencial (ate meados do seculo XIX)

Os postulados de Euclides (≈ 300 a.C.)



1- Dois pontos distintos determinam uma reta.




2- A partir de qualquer ponto de uma reta dada, e possıvel marcarum segmento de comprimento arbitrario.





3- E possıvel descrever um cırculo com centro arbitrario e raioarbitrario.






4- Todos os angulos retos sao iguais.







5- Dado uma reta r e um ponto p 6∈ r , existe no maximo uma retaparalela a r passando por p.








Pergunta natural: Sera que o quinto postulado e realmenteindependente dois demais?








Pergunta natural: Sera que o quinto postulado e realmenteindependente dois demais?

Resposta: Sim (felizmente).


Um resultado preliminar: Lambert 1766





Quadrilatero de Lambert: Quadrilatero com tres angulos retos.




Denote o quarto angulo por α.









Teorema (Lambert):





Teorema (Lambert):1- Se α for agudo, entao a soma Σ dos angulos de um triangulo emenor que π. Alem disso, π−Σ e proporcional a area do triangulo.





Teorema (Lambert):1- Se α for agudo, entao a soma Σ dos angulos de um triangulo emenor que π. Alem disso, π−Σ e proporcional a area do triangulo.2- Se α for reto, entao a soma dos angulos de um triangulo e π.





Teorema (Lambert):1- Se α for agudo, entao a soma Σ dos angulos de um triangulo emenor que π. Alem disso, π−Σ e proporcional a area do triangulo.2- Se α for reto, entao a soma dos angulos de um triangulo e π.3- Se α for obtuso, entao a soma Σ dos angulos de um triangulo emaior que π. Alem disso, Σ− π e proporcional a area do triangulo.


Trecho de uma carta de Gauss a Taurinus: 1824


Trecho de uma carta de Gauss a Taurinus: 1824

“A hipotese que a soma dos angulos internos de um triangulo emenor do que π conduz a uma geometria separada, totalmentediferente de nossa geometria (euclidiana), que e em si propriainteiramente consequente, e que desenvolvı de maneirainteiramente satisfatoria para mim, exceto a determinacao de umaconstante que nao pode ser fixada a priori”.

(Traducao da carta extraıda de [2])


O inıcio da Geometria Diferencial: 1827


O inıcio da Geometria Diferencial: 1827

Publicacao da obra de Gauss, Disquisitiones circa superficiescurvas; Considerado por muitos como “marco zero” da Geometria


A Geometria Hiperbolica: 1829


A Geometria Hiperbolica: 1829

N. Lobachevsky (1829) e J. Bolyai (1832), construiram, demaneira independente, uma geometria fundamentada com osquatro primeiros postulados de Euclides mais a negacao do quintopostulado. Essa geometria e chamada de Geometria Hiperbolica.


O modelo do semi-plano da Geometria Hiperbolica





H2 : Modelo do semi-plano da Geometria Hiperbolica.




H2 := {(x , y) ∈ R2; y > 0} + “ Estruturas geometricas”









Retas em H2





Retas em H2

-

6

x

y

'$


O modelo do semi-plano do espaco hiperbolico.





Angulos em H2



Angulos em H2

Coincide com o angulo euclidiano.



Angulos em H2




Angulos em H2


Comprimento de um segmento de reta



Angulos em H2


Comprimento de um segmento de reta

Sera definido a seguir. Para isso, recordemos como se calcula ocomprimento de uma curva


Comprimento de uma curva no plano





γ : [a, b] → R2 uma curva diferenciavel tal que γ′ e contınua.




l(γ): Comprimento da curva γ.





l(γ) :=

∫ b

a|γ′(t)|dt





l(γ) :=

∫ b

a|γ′(t)|dt

Uma das ideias fundamentais da Geometria elaborada porRiemann: Redefinir o modulo de um vetor.


(Re)definindo o modulo de um vetor.



A funcao modulo atribui para cada vetor v nao nulo, um valorpositivo, que e o modulo de v , e e denotado por |v |.







A funcao modulo deve satisfazer as seguintes condicoes:





(C1) A funcao modulo ao quadrado e uma “funcao diferenciavel”.






(C2) Seja v um vetor com a origem em p ∈ H2 e c ∈ R. Entao|c .v | = |c ||v |.






(C2) Seja v um vetor com a origem em p ∈ H2 e c ∈ R. Entao|c .v | = |c ||v |.

Veja a ilustracao no quadro.


Modulo de um vetor e comprimento de curvas em H2





|v |: Modulo de v em H2.




|v | := |v |y




|v | := |v |y

O comprimento de uma curva γ : [a, b] → H2 e dado por

l(γ) :=

∫ b

a|γ′(t)|dt =

∫ b

a

|γ′(t)|y(t)

dt




|v | := |v |y

O comprimento de uma curva γ : [a, b] → H2 e dado por

l(γ) :=

∫ b

a|γ′(t)|dt =

∫ b

a

|γ′(t)|y(t)

dt

Exemplo: O comprimento de uma reta vertical.





Com esse modo de medir comprimento de segmentos de retas, H2

define uma geometria em que os quatro primeiros postulados e anegacao do quinto postulado sao satisfeitos.


Uma ideia do que e a Geometria Riemanniana



“Construindo” variedades Riemannianas.







1- Tome uma famılia (Ui )i∈N de abertos de Rn.





2- “Cole” a famılia de abertos.





2- “Cole” a famılia de abertos.

3- Atribua uma funcao modulo para cada Ui , satisfazendo C1 e C2de modo que os “todos modulos coincidam na colagem”. Alemdisso, suponha que para todo p ∈ Ui , o conjunto dos vetoresunitarios com origem em p sejam elipsoides. Entao teremos umavariedade Riemanniana.


Referencias

[1] - C. Boyer, U. C. Merzbach, A History of Mathematics, JohnWiley & Sons, New York, 1989.[2] - M. P. do Carmo, Geometrias Nao-Euclidianas, MatematicaUniversitaria, n.6, 1987, 25-48.[3] - C. Sagan, Cosmos, Episodio 7, Backbone of the night, vıdeo.[4] - M. Spivak, A Comprehensive Introduction to DifferentialGeometry, vol. 2, Publish or Perish, 1999.


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