GEOMETRIA E MANIPULAO

Llia Longen Fontana

Discutir diferenas entre representaes planas e espaciais.

Apresentar atividades manipulativas que envolvam conceitos bsicos de Geometria.

Trocar ideias sobre algumas dificuldades observadas em sala de aula.

Realizar algumas experincias e atividades, voltadas para alunos das salas de apoio.

Tentar estabelecer conexo entre a Geometria e outros contedos matemticos.

OBJETIVOS DA OFICINA

CONTRIBUIES DO TRABALHO COM

NOES GEOMTRICAS

Estimula o aluno a observar, perceber semelhanas e

diferenas, identificar regularidades, o que contribui para a

aprendizagem de nmeros e medidas.

Dependendo do encaminhamento feito, permite que se

estabelea conexes entre a Matemtica e outras reas do

conhecimento.

O contedo matemtico est estruturado em 4 eixos:

Nmeros e operaes

Espao e forma

Grandezas e medidas

Tratamento da informao

O QUE ISSO?

Por mais que pensemos que seja uma rvore, na verdade,

a foto apenas uma representao dela.

importante destacar que estamos trabalhando com

modelos de figuras geomtricas e no com as prprias, que

so abstraes matemticas.

O que evidencia o cuidado que precisamos ter na

linguagem que utilizamos.

Devemos aos poucos introduzir o vocabulrio prprio da Geometria , de

modo que ele se apresente como um recurso que facilita a expresso e

no como um preciosismo de linguagem

Quantas vezes j ouvimos algum se referir a um cubo

chamando-o de quadrado? Ou ento uma pirmide de tringulo?

Para ilustrar esse cuidado que devemos ter em relao ao uso

do vocabulrio correto dos termos utilizados em Geometria,

apresento a seguir alguns recortes de um livro infantil.

Esta pgina apresenta um erro em relao

s formas geomtricas. Que erro esse?

Aqui erro apresentado outro.

Que erro esse?

Ser que esta pgina apresenta algum erro?

SER QUE NOSSO ALUNO CHEGA ESCOLA

SEM SABER NADA DE GEOMETRIA?

A criana j nasce em contato com o espao e as formas

geomtricas nele presentes. A percepo desse espao

se d a partir do prprio corpo.

A explorao dessa realidade nosso melhor material de

trabalho.

Em contato direto com o objeto, a criana observa a

forma geomtrica que o objeto possui (observao manipulao - explorao).

Realizao e representao de percursos (podem ser feitas

excurses na prpria escola, observando os pontos

marcantes em cada percurso)

Localizao de objetos em relao ao prprio corpo (jogos

no ptio podem ser usados)

Familiarizao com a forma (oferecer criana situaes

em que entre em contato com todo tipo de objeto, pois

limit-la ao retngulo-quadrado-tringulo-crculo impedi-la

de explorar outras formas)

O objetivo principal do ensino de Geometria nas sries iniciais a

percepo e organizao do espao em que se vive.

Quais figuras so representaes de tringulos?

O QUE ESTUDAMOS EM GEOMETRIA:

Familiarizao com as figuras geomtricas (planas e no-

planas).

Descoberta de propriedades.

Estabelecimento de relaes (entre figuras e propriedades).

Mais do que a apresentao formal dos contedos, temos

que priorizar a explorao dos conceitos (que so

representaes mentais).

PLANAS

Apresentam apenas 2 dimenses (comprimento e largura)

ESPACIAIS

Apresentam 3 dimenses (comprimento, largura e altura)

Qual sequncia devemos trabalhar?

VOC SABE A DIFERENA ENTRE

FIGURAS PLANAS E ESPACIAIS?

O pensamento geomtrico desenvolve-se inicialmente pela visualizao (PCN)

Os slidos geomtricos comuns so mais prximos do mundo sensvel e exigem menor esforo de abstrao.

A idealizao das figuras planas requer maior esforo de abstrao.

O espao com seus slidos mais concreto que o plano com suas figuras. Alm disso, o espao mais intuitivo e favorece

atividades criativas.

As figuras planas so desenhadas, enquanto os slidos so construdos.

Ao desmontarem caixas, os alunos estaro

iniciando o trabalho com figuras planas.

ESPACIAL PLANA

O QUE DIZEM AS DIRETRIZES?

Sobre os contedos bsicos relacionados ao ensino das

Geometrias estabelece que um aluno da 5 srie/6 ano deva ser

capaz de:

Reconhecer e representar ponto, reta, plano, semirreta e segmento de reta;

Conceituar e classificar polgonos;

Identificar corpos redondos;

Identificar e relacionar os elementos geomtricos que envolvem o clculo de rea e permetro de diferentes figuras planas;

Diferenciear crculo e circunferncia, identificando seus elementos;

Reconhecer os slidos geomtricos em sua forma planificada e seus elementos.

J para o aluno da 8 srie/9 ano, as Diretrizes apontam que ele

seja capaz de:

Verificar se dois polgonos so semelhantes, estabelecendo relaes entre eles;

Compreender e utilizar o conceito de semelhana de tringulos para resolver situaes-problemas;

Conhecer e aplicar os critrios de semelhana dos tringulos;

Aplicar o Teorema de Tales em situaes-problemas;

Realizar clculo da superfcie e volume de poliedros.

Alm disso, orienta que este aluno tenha noes bsicas de

geometria projetiva.

Voc sabe o que representa esta imagem? Como

poderia ser usada em uma aula sobre Geometria?

O recorte de uma propaganda em uma

revista pode proporcionar um momento

de aprendizagem.

REPRESENTAES TRIDIMENSIONAIS

No podemos esperar que nosso aluno possa aprender apenas

olhando diferentes representaes.

POSSVEL COMPREENDER AS REPRESENTAES

TRIDIMENSIONAIS SOMENTE POR MEIO DE IMAGENS?

Sem a manipulao de objetos, fica mais difcil, pois torna-se um

exerccio de imaginao.

Devemos valorizar a trade: observao manipulao explorao.

Algumas sugestes:

ATIVIDADE EM GRUPOS

Cada equipe receber algumas peas de madeira.

No necessrio se preocupar com definies ou nomes

desses slidos.

Estas peas devero ser agrupadas de acordo com um

critrio escolhido pela equipe.

Este critrio deve estar relacionado a uma caracterstica

observada. Todas as peas que formam um grupo devem

ter esta caracterstica definida.

Jogo do no: ao ser indicada determinada caracterstica, o

grupo deve mostrar os slidos que NO apresentam esta

caracterstica.

GEOPLANO

Criado pelo matemtico egpcio Caleb Gattegno, formado por

uma placa de madeira, marcada com uma malha quadriculada

ou pontilhada. Em cada vrtice dos quadrados formados fixa-se

um prego, onde se prendero os elsticos ou barbantes, usados

para "desenhar" sobre o geoplano.

O uso do Geoplano permite a construo de conceitos e a

resoluo de problemas por meio da integrao da geometria

com grandezas e medidas, nmeros e operaes e lgebra.

Atravs de atividades que desenvolvem habilidades relativas

explorao espacial; visualizao; construo de noes de

rea e permetro; comparao entre reas e permetros; a idia

de frao; compreenso de simetria, reflexo, rotao e

translao.

O Geoplano um suporte concreto para a representao de algumas ideias abstratas. Pode ser visto como uma ajuda

didtica, que oferece suporte representao mental, auxiliando no caminho para a abstrao.

O geoplano pode ser substitudo pela malha quadriculada.

Ganhamos em simplicidade e praticidade, mas perdemos em

mobilidade e possibilidade de explorao.

A partir do geoplano possvel

construir o geoespao que sua

traduo espacial e consiste em

uma caixa vazia com algumas faces

faltando e com pregos nas outras

faces onde podem ser trabalhados

figuras ou elementos espaciais.

Apresento a seguir algumas atividades que podem ser feitas

com o geoplano.

1. Construir as figuras conforme

modelo ao lado.

2. Calcular a rea de cada uma

das superfcies construdas.

3. Qual delas tem a maior rea?

Quais figuras tm reas iguais?

4. Quando podemos afirmar que a

rea de um polgono maior

que a de outro?

Objetivo: Comparar superfcies utilizando um quadradinho

como unidade de medida de rea.

Unidade de medida

A B

C

D

E

1. Construir as figuras conforme

modelo ao lado.

2. Com uma cor diferente, construir

um quadriltero que represente

o dobro da rea do tringulo

menor.

3. Calcular a rea de cada um dos

tringulos.

4. Como podemos relacionar a

rea de cada tringulo com a

rea de cada quadriltero?

Objetivo: Calcular reas de tringulos atravs das reas de

retngulos adequados, fazendo deslocamentos.

Objetivos: Consolidar conceitos de rea e permetro, fazer

comparaes entre reas.

1. Usando o quadradinho como unidade de medida de rea, qual

a rea do polgono construdo abaixo?

2. Construir outro polgono que tenha rea igual do polgono

inicial.

3. possvel transformar o polgono inicial em um quadriltero de

mesma rea?

Figuras com mesma medida de contorno possuem,

necessariamente, mesma rea?

Objetivos: Comparar medidas de rea e permetro

Usando o geoplano, construam figuras que justifiquem a

resposta encontrada.

Permetro = 16

rea = 15

Permetro = 16

rea = 12

1. Quantos retngulos diferentes possvel construir com permetro

igual a 24?

2. Usando cores diferentes, construir todos os retngulos possveis.

3. Calcular a rea de cada um dos retngulos e preencher a tabela

abaixo.

Objetivo: Consolidar conceitos de rea e permetro.

Lado 1 Lado 2 rea

1 11 11

2 10 20

3 9 27

4 8 32

5 7 35

6 6 36

Observe a seqncia a seguir e responda:

1. Conte os pontos que indicam os primeiros termos

representados na seqncia;

2. Qual ser o prximo termo desta seqncia?

3. Qual a lei de formao desta seqncia?

4. Construa uma seqncia de quadrados em que cada um

tenha como permetro o dobro do anterior.

Objetivos: Trabalhar a representao geomtrica de nmeros

naturais.

Trace o eixo de simetria das figuras:

Em alguns casos, o eixo de simetria pode no passar pelos

pontos das malhas.

Universidade Federal de Santa Catarina

Centro Tecnolgico - CTC

Dep. de Informtica e Estatstica

Projeto GEOPLANO

Disponvel em:

http://www.inf.ufsc.br/~edla/projeto/geoplano/software.htm

Podemos encontrar esta ferramenta para ser usada no

computador e, atravs dela, simular diferentes construes.

Teorema de Pitgoras

Usando a

representao

geomtrica, podemos

mostrar que a soma das

reas dos 2 quadrados

menores igual rea

do quadrado maior. Isso

pode ser feito com o

geoplano ou com

recorte e colagem.

Como? Formando

quadrados com

quadradinhos de 1 cm

de lado, recortando e

colando no quadrado

maior.

Plato acreditava que existia uma enorme diferena entre

uma pessoa que conhece Geometria e outra que no

conhece.

Vamos fazer um teste? Quantos cubos possvel identificar

no desenho abaixo?

Ao realizar nossas prticas pedaggicas precisamos

propor situaes em que os alunos visualizem,

comparem, dobrem, desdobrem, componham,

decomponham, para, em seguida, ou

concomitantemente, interpretar, argumentar,

representar, relatar suas concluses,

construindo/reconstruindo conceitos, neste caso,

geomtricos.

Martha Cornlio Ferraz

APRENDIZAGEM MATEMTICA

Ocorre atravs:

Da investigao De descobertas

De tentativas De erros e acertos

De ao e reflexo

REFERNCIAS

Alsina i Pastells, ngel. Desenvolvimento de competncias matemticas com recursos ldico-manipulativos: para crianas de 6 a 12 anos. Traduo: Vera Lcia de Oliveira Dittrich. Curitiba: Base Editorial, 2009.

Ferraz, Martha Cornlio. Compreenso de conceitos geomtricos com uso de origami/dobraduras.

Fontana, Llia Longen. Possibilidades para ver o invisvel nas representaes tridimensionais nos livros didticos de matemtica. 122 p. Dissertao (Mestrado em Educao) Universidade Federal do Paran, Curitiba, 2010.

Fonseca, Maria da Conceio F. R., et al. O ensino da geometria na escola fundamental trs questes para a formao do professor dos ciclos iniciais. 2 edio. Belo Horizonte: Autntica, 2005.

Machado, Rosa Maria. Minicurso: Explorando o geoplano.

Rocha, Cristiane de Arimata; Pessoa, Gracivane; Pereira, Jos

Alexandre de A.; Silva Filho, Jos Menezes. O uso do geoplano para o

ensino de geometria: uma abordagem atravs de malhas

quadriculadas. Revista SBEM.

Toledo, Marlia; Toledo, Mauro. Didtica de matemtica: como dois e

dois a construo da matemtica. So Paulo: FTD, 1997.

SBEM DF (atividades com geoplano) http://sbemdf.com/index.php?option=com_content&view=category&id=5

&Itemid=20

Filme: Dr Quantum visita Planolndia (Flatland)

CONSTRUO DO TANGRAM

Voc dever

descobrir as

propriedades

geomtricas

que esto por

trs da

construo

das 7 peas

que formam

o tangram.