GEOMETRIA ESPACIAL - Parte 2

8/7/2019 GEOMETRIA ESPACIAL - Parte 2

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ISERJ - 2013


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O paraleleppedo retngulo um poliedro com 6faces retangulares.

A

B

F

C D

G

H

Dois vrtices opostos so vrtices que

no pertenam a uma mesma face. Por

exemplo: O vrtice A pertence s faces

ABCD, ABEF e ADHE, logo, o vrtice

oposto ao vrtice A o vrtice G.

E


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Diagonal de um prisma o segmento que une doisvrtices opostos

A

B

F

C

D

G

H

d

E

d


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Comprimento da diagonal

d

x

ya

A

B

F

C

D

H

Observe a face EFGH: sejam x e yas medidasdas arestas e a a medida da diagonal da face.

E

G

Paraleleppedo reto retngulo de dimenses , e


6/29

F

x

y

a

E

G

Considere o tringulo retngulo EGH.

Aplicando o Teorema de Pitgoras s medidas, temos:

H


7/29

d

x

y

A

B

F

C

D

H

Considere agora o tringulo retngulo AEG.

E

Gz

Sendo za medida da aresta AE, perpendicular face EFGH, e aplicando novamente Pitgoras:


8/29

d

A

G

z

E

Diagonal de umparaleleppedoretngulo de

arestasx, yez


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d

x

y

z

Agora vamos estabelecer uma frmula para o

clculo do volume do paraleleppedo retngulo de

arestasx, yez.

Lembrando que o volume de um prisma

calculado ao multiplicarmos a rea de sua

base pela medida da altura, temos:


10/29

rea da base = rea do retngulo de dimensesxe y

Altura = medida da aresta lateral, perpendicular base =z

Volume de umparaleleppedoretngulo de

arestasx, yez


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12/29

O cubo um prisma cujas 6 faces so quadradas.

A

B

F

C

D

G

HEa

a

a

Consideraremos todas as arestas com

medida igual a a.


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A

B

F

C

D

G

HE aa

a

Aplicando a frmula para o clculo da medida da diagonal de

um paraleleppedo com x= y= z= a, temos:

d

Diagonal de umcubo de aresta a


14/29

a

a

a

Aproveitando novamente a frmula deduzida para o

paraleleppedo retngulo para o clculo do volume de um

cubo de arestas x= y= z= a, temos:

Volume de umcubo de aresta a


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16/29

Antes de continuarmos a estudar o clculo devolumes dos prismas, vamos rever algumasfrmulas bsicas do clculo de reas de figurasplanas.

Tringulo Qualquer

b

h


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Tringulo Equiltero

h

/2

Vamos aplicar o teorema de Pitgoras

para escrever a medida da altura, h,em funo da medida do lado, :

Usando essa expresso da altura na frmula para o

clculo da rea de um tringulo qualquer, temos:


18/29

Losango

d

D

diagonal menor

Diagonal maior

D/2

d/2

O

A

B

Considere o tringulo retngulo

OAB cuja rea

Como o losango formado por 4

tringulos congruentes ao DOAB,sua rea ser o qudruplo da

rea do DOAB:

1

2


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Trapzio

b

B

h

H

H

h

T

P Q

RS

Considere o trapzio PQRS debases paralelas b e B e altura h

Considere agora o tringulo PQTde base B e altura H

O tringulo RST, de base b ealtura H h, semelhante aotringulo PQT e da:

A rea do trapzio PQRS ser a diferena entre a rea do tringulo

PQT e a do tringulo RST resultando na forma:


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Hexgono Regular

60

60 60

Considere o hexgono regularABCDEF de lado

B

A

FC

D E

OT

As diagonais AD, BE e CFconcorrem no ponto O dividindoo ngulo central de 360 em 6ngulos de 60

Sendo o hexgono regular, as diagonaistm o mesmo comprimento einterceptam-se no meio. Da, podemosconcluir que o tringulo OAB issceles.

Se o tringulo OAB issceles com um ngulo interno de 60,ento ele tambm equiltero e os lados AO e OB medem


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60

60 60

B

A

FC

D E

Sabemos que a rea do tringulo equiltero de lado igual a

A rea do hexgono regular ABCDEF igual a 6 vezes a rea dotringulo OAB:

O

3

2


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1) Seja um paraleleppedo de dimenses 5, 3 e 2. Calcule a medida dadiagonal desse paraleleppedo.

Soluo: A primeira figura mostra a base do paraleleppedo.

Aplicando Pitgoras, vem: d = 5 + 3 = 25 + 9 = 34

A segunda figura mostra outro tringulo retngulo onde um

dos catetos a diagonal da base. Logo,D2 = 22 + d2 = 4 + 34 = 38

Calculando, temos: 38D


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2) Num paraleleppedo reto, as arestas da base medem 8dm e6dm e a altura mede 4dm. Calcule a rea da figuradeterminada pela diagonal do paraleleppedo, com a diagonal

da base e a aresta lateral.

Soluo: A rea pedida est sombreada na figura. umtringulo retngulo com base de altura (cateto) 4dm.

A base d a diagonal da base:

1010086 22 d

Logo a rea :220

2

40

2

)4)(10(

2

.dm

hbA


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3) Sabendo que a aresta de um cubo mede 5 cm, calcule:

a) A diagonal do cubo.

b) A rea total do cubo.

c) O volume do cubo.

a) O cubo o paraleleppedo com as arestas iguais.

Substituindo o valor da aresta na frmula, temos:

cmdd 3553 2

3ad

b)O cubo possui seis faces quadradas:

222 1505.6.6 cmAaAtt

c) O volume dado pelo produto da rea da base pela altura.No caso do cubo, a altura vale a mesma medida da aresta,Logo, V = a3. Ento:

333 1255 cmVaV


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4) Calcule a rea total de um prisma reto de altura 12 cm e base

quadrada, com aresta 5 cm.

Soluo: A rea total dada pela soma

das reas das bases (quadradas)com oqudruplo da rea da face lateral (retngulo).

Temos:

22 19550144)25(2)36(4)5(2)12.3(4 cmAt


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5) Calcule a rea lateral e o volume de um prisma reto de basetriangular, cujas arestas da base medem 6 cm, 8 cm e 10 cm e cujaaresta lateral mede 20 cm.

Soluo:

a) A rea lateral ser a soma das reasde cada face. Ou o produto do permetroda base pela altura. O permetro da base: 10 + 6 +8 = 24cm. Logo,

248020.24).24( cmhAl

10

6 8

20

b) O volume ser o produto da rea da base pela altura.

Observando com ateno os lados da base, vemos que somltiplos de 3, 4 e 5. Logo ele retngulo. A rea ser ametade do produto dos catetos. Ento,

348020.2420).

2

86( cmx

V


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6) Calcule o volume de um prisma hexagonal regular de 6 cm dealtura e cuja rea lateral igual rea da base.

Soluo: Sejaxo lado do hexgono. Area lateral calculada como o sxtuplo

da rea de um retngulo de lados 6 ex:xxA

l36)6)((6

A rea da base o sxtuplo da rea de umtringulo equiltero de ladox:

2

33

4

3

6

22xx

Ab

Pelas informaes do problema Al = Ab. Logo,

38

9

372

333

372

33

72

2

3336

2

xx

x

O volume o produto da rea da base pela altura.Logo, substituindo os valores, temos:

32

317283)3)(64(962

3)38(3cmV

3

1


29/29

Questes resolvidas:

http://www.professorwaltertadeu.mat.br

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