Parte 6 Geometria Plana e Espacial

7/14/2019 Parte 6 Geometria Plana e Espacial

http://slidepdf.com/reader/full/parte-6-geometria-plana-e-espacial 1/54

Vestibular a 1000 Prof. Carpinelli

177

Parte 6: 120 questõesGeometria Plana e Espacial

Segmentos e Ângulos.

• Ponto médio de um segmento é o ponto que pertence ao segmento e o divide emdois segmentos congruentes

• Nomes dados aos ângulos: Ângulo reto: 900 Ângulo raso: 1800 Ângulo agudo: menor que 900 Ângulo obtuso: maior que 900

• Bissetriz de um ângulo: semi-reta que o divide ao meio.

• Ângulos complementares: dois ângulos cuja soma é igual a 900 • Ângulos suplementares: dois ângulos cuja soma é igual a 1800

Q.1 Sobre uma reta são dados quatro pontos distintos A, B, C e D tais que:• B está entre A e C• D é ponto médio de ABSabendo que DB = 8 cm e AC = 46 cm, calcule BC.

Veja: 8 8 x

A D B C

Como = 46 8 + 8 + x = 46 16 + x = 46 x = 30 cm

Q.2 Sobre um segmento de reta AD são dados os pontos B e C tais que B está

entre A e C e AD = 24 cm. Sabendo que:

=

e

=, determine AB, BC e CD

Veja: m n p

A B C D

(I):

= m = 3n/2

(II):

=

p =

m + n = 5p

(III):m + n + p = 24 5p + p = 24 p = 4 CD = 4

Em (II): m= n = 20 3n/2 + n = 20 3n + 2n = 40 n = 8 BC = 8

Logo: m = 20 – 8 m = 12 AB = 12




178

Q.3 Um segmento AB mede 20 cm. O segmento AP, P em AB, de medida x, é tal

que

=

. Calcule o valor de x2 + 20x.

Veja: x 20 - x

A P C

Então:

=

x2 = 400 – 20x x2 + 20x = 400

Q.4 (UECE) Sejam a, b e c três ângulos consecutivos e as relações:

b = 3c, b = 2a e a + c = 700. Calcule o valor de: E =

Temos:(I): b = 3c c = b/3

(III): b = 2a a = b/2(III): a + c = 700 b/2 + b/3 = 700 3b + 2b = 4200 5b = 4200 b = 840

Em (I): c = 840/3 c = 280 Em (II): a = 840/2 a = 420

Então: E = 420 + 840 – 280 E = 980/2 E = 490

2

Q.5 (PUC) Um ângulo mede a metade do seu complemento. Quanto mede esseângulo?

Seja o ângulo X

X =

2X = 90 – X 3X = 90 X = 300

Q.6 (UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça parte dosuplemento desse ângulo. Determine a medida desse ângulo.

Seja o ângulo X

Então: 3 (900 – X) =

3 (2700 – 3X) = 1800 – X

Logo: 8100 – 9X = 1800 – X 8100 – 1800 = 9X – X 8X = 6300 X = 6300/8

Observe: 6300 8

780 45’ 60 = 360’




179

Q.7 (PUC-SP) O dobro da medida do complemento de um ângulo, aumentada de20º, é igual a 70º. Calcule a medida desse ângulo.

Seja o ângulo X

Então: 2 (90

0

– X) + 20

0

= 70

0

180

0

– 2X = 50

0

2X = 130

0

X = 65

0

Q.8 (UNIFOR – Adap.) Dois ângulos são complementares e o suplemento de umdeles mede o mesmo que o suplemento do outro mais 200. Calcule a medida domaior desses ângulos.

Sejam os ângulos X e Y

Temos: X + Y = 900 (I)

Então: 1800 – X = 1800 – Y + 200

- X + Y = 200 (II)

Resolvendo o sistema: (I) (II): X = 350 e Y = 550

Então o maior ângulo mede 550

Q.9 Calcule o valor de x.

x + 300

2x - 150

3x - 100

Observe que a soma dos três ângulos vale 1800

Deste modo: 2x – 150 + x + 300 + 3x – 100 = 1800

Então: 6x = 1850

Veja: 1850 6

300 50’

50 = 300’




180

Ângulos de duas retas paralelas com uma transversal

t

Observe a figura: 1 2 r

4 3

5 6

8 7 s

A transversal t forma com as retas paralelas r e s em 8 ângulos:

a) 4 “pequenos” (2, 4, 6 e 8) iguais ( ângulos ag udos )

b) 4 “grandes” (1, 3, 5 e 7) iguais ( ângulos obtusos )

É fácil observar que: “angulo grande” + “ângulo pequeno” é sempre igual a 180º.

Nomenclatura:

Ângulos correspondentes (são iguais): 1 e 5 ; 2 e 6 ; 3 e 7 ; 4 e 8

Ângulos alternos internos (são iguais): 3 e 5 ; 4 e 6

Ângulos alternos externos (são iguais): 1 e 7 ; 2 e 8

Ângulos colaterais internos (são suplementares): 3 e 6 ; 4 e 5

Ângulos colaterais externos (são suplementares): 1 e 8 ; 2 e 7

Q.10 (UFES) Uma transversal intercepta duas paralelas formando ângulos alternosInternos expressos em graus por (5x + 80) e (7x – 120). Calcule a soma dasmedidas desses ângulos.

Dois ângulos alternos internos são iguais, logo:

7x – 120 = 5x + 80 2x = 200 x = 100 Então os ângulos medem:

7x – 120 = 700 – 120 = 580 5x + 80 = 500 + 80 = 580

Logo, a soma desses ângulos mede 1160




181

Q.11 (MACK) Na figura é paralela a . Calcule o valor de x.

A B

450

E 700

x

C D

Construção auxiliar: Trace a reta r paralela e passando pelo ponto E

A B

450

Alternos internos

E 45 r x

x

C D

Logo: x + 450 = 700 x = 300

Q.12 (FUVEST) As retas t e s são paralelas. Determine o ângulo x.

t s

x

1200

1400

Observe que:t s

x

1200

90 – x Mas: 900 – x = 200

x =700

1400 40

0




182

Q.13 (EPCAR) Na figura r é paralela a s. Determine x.A

r 60 – x 4x

2x + 90

sB C

Observe que temos dois ângulos alternos internos: (60 – x + 4x) e (2x + 90),considerando-se a transversal AC.

Então: 60 + 3x = 2x + 90 x = 300

Q.14 (FGV) Sendo r paralela a s determine o valor de (2x + 3y)

r120

20 y

sx

Observe que: (20 + y) e 120 são alternos internos e x = y (opv)

Então: 20 + x = 120 x = y = 1000

Assim: 2x + 3y = 5000

Q.15 (UFES) Na figura, r é paralela a s. Quanto mede o ângulo z?

r s

z

3x

2x 1200

É fácil notar que: 3x + 2x = 600 x = 120

Mas: 240 + 1200 + α = 1800 α = 360

Logo: z + 360 = 1800 z = 1440




183

Triângulos

Classificação quanto aos lados

a) Eqüilátero: é o que possui os três lados iguais

b) Isósceles: é o que possui dois lados iguaisc) Escaleno: é o que possui os três lados diferentes

Desigualdade triangular Em qualquer triangulo, cada lado é menor que a soma dos outros dois.

Seja o triangulo ABC de lados a, b e c:a < b + c b < a + c c < a + b

Classificação quanto aos ângulos a) Acutângulo: os três ângulos são agudosb) Obtusângulo: um dos ângulos é obtusoc) Retângulo: um dos ângulos é reto

Obs.: No triângulo retângulo o maior lado (oposto a 90º) denomina-sehipotenusa e os outros dois são denominados catetos.

Soma dos ângulos de um triânguloEm qualquer triângulo a soma de seus ângulos internos é igual a 180º

Ângulo externo de um triângulo

Em todo triângulo, qualquer ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internosnão adjacentes a ele.

A

B e ê = A + B




184

Elementos notáveis de um triângulo

a) Mediana: é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto.

Baricentro: é o ponto de encontro das três medianas de um triângulo.

b) Altura: é o segmento da perpendicular traçada de um vértice ao lado oposto ou aoseu prolongamento.

Ortocentro: é o ponto de encontro das três alturas de um triângulo.

c) Bissetriz: é o segmento da bissetriz de um ângulo interno que tem por extremidade ovértice desse ângulo e o ponto de encontro com o lado oposto.

Incentro: é o ponto de encontro das três bissetrizes de um triângulo. È o centro dacircunferência inscrita ao triângulo.

Obs.: Traçando-se as mediatrizes aos lados de um triângulo, sua intersecção chama-se circuncentro que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.

Área de um triângulo

1. A = base X altura2

2. No triângulo retângulo: A = cateto X cateto2

3. No triângulo equilátero de lado a: A = a2 4

4. No triângulo qualquer: A = b c sen α 2

b

α c

5. Fórmula de Herão: A =

Onde p é o semi-perímetro: p = a + b + c2




185

Q.16 (FEI-SP) Na figura: Calcule a soma dos ângulos 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

1 28

3

7 46 5

Observe o quadrilátero interno à figura:

A B

C

D

Observe o quadrilátero interno à figura:

A = 1 + 2B = 7 + 8C = 3 + 4D = 5 + 6 A + B + C + D = 1 +2 +3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8

Como A + B + C + D = 3600 (quadrilátero)

Então: 1 +2 +3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 360 0

Q.17 (PUC-SP) Na figura, BC = CA = AD = DE e B = E = 40º. Calcule o ângulo CÂD.

A

B C D E

Observe que: ABC e ADE são isósceles (BC = CA e AD = DE)

40 x 40

40 100 80 80 100 40

Assim: x + 800 + 800 = 1800 x = CÂD = 200




186

Q.18 (FATEC-SP) Na figura r é a bissetriz do ângulo B e t é perpendicular a AC.Sabendo que A = 40º e C = 30º, calcule a medida do ângulo agudo formado pelasretas r e t.

B

A C

t r

Veja que B = 1800 – 400 – 300 B = 1100

x 55

40 85 30

Bissetriz de B: logo cada parte de B bale 550

O ângulo que mede 850 é externo ao de ângulos internos 550 e 300

Como t é perpendicular (900), temos: x + 900 + 850 = 1800 x = 50

Q.19 (UFGO) Se dois lados de um triângulo medem respectivamente 3 dm e 4 dm,podemos afirmar que a medida do terceiro lado é:

a) igual a 1 dm b) igual a 5 dm c) maior que 7 dm d) menor que 7 dm

Lembre-se que:Em qualquer triângulo: maior lado < que a soma dos outros dois

Resp: d

Q.20 (UFB) Num triângulo ABC, A é obtuso. Os lados AB e AC medem,respectivamente 4 e 3 unidades de comprimento.Assinale a alternativa verdadeira.a) BC < 4 b) BC > 7 c) 5 < BC < 7 d) BC = 7

C3 A 4 B

Pela mesma razão do exercício anterior BC < 7 Resp: c




187

Q.21 (FUVEST) Na figura abaixo, AB = AC; O é o incentro do triangulo ABC, e oângulo BOC é o triplo do angulo A. Calcule a medida do angulo A.

B

A O

C

Lembre-se que o incentro é o ponto de encontro das bissetrizes.

b b

x 3x

a a

Então:

Em ABC: x + 2b + 2a = 1800

Em BOC: 3x + b + a = 1800 ( -2 )- 5x = - 1800

Assim: x = 1800/5 x = 360

Q.22 (UFMG) Na figura ao lado AC = CB = BD e A = 25º. Quanto mede o angulo x?

DC

A x B

ABC é isósceles (AC = BC), logo A = B = 250

C = 1300

(interno ABC)

BCD é isósceles (BC = BD), logo a = 500 b = 800

Então: 250 + 800 + x = 1800 x = 750

a

a

130 25 25 b x




188

Q.23 (PUC-SP) Calcule A + B + C + D + E

A B

E

CD

Veja:

Ângulo a é externo ao MEC a = C + E Ângulo b é externo ao NAD b = A + D

A BM

a E b

N

CD

Então: a + b + B = 1800

Ou, seja: C + E + A + D + B = 1800 A + B + C + D + E = 1800

Q.24 (FUVEST) Num triangulo isósceles, um ângulo A mede 100º. Qual o ânguloformado pelas alturas que não passam pelo vértice A?

Observe o triângulo ABC isósceles.M

X N O

A100

B C

No quadrilátero ANMO, temos: 1000 + 900 + 900 + x = 3600 x = 800




189

Q.25 (PUC) Os ângulos internos de um triangulo são proporcionais a 2, 3 e 4,respectivamente. Determine a medida do maior deles.

Seja o ABC, onde:

A = 2kB = 3kC = 4k

Como A + B + C = 1800 2k + 3k + 4k = 1800 9k = 1800 k = 200

Assim, o maior ângulo mede 4. 200 = 800

Q.26 (FUVEST) Na figura tem-se que: AB = BD = CD. Calcule y em função de x.

Dy

x

A x m m C

B

Temos:

DBC é isósceles: B = C = m ABD é isósceles: 2 ângulos iguais (x)

Ângulo m é externo ao ABD m = 2x

Ângulo y é externo ao ADC y = m +x y = 2x + x y = 3x

Q.27 (UFC) Calcule o valor do ângulo x sabendo que ABDE é um quadrado e BCDum triângulo equilátero.

E DX

X C

A B

Veja que o EDC é isósceles, pois ED = DB = DC ( BCD equilátero)

Como BCD cada ângulo interno mede 600

Assim, no ECD, temos: x + x + 600 + 900 = 1800

Logo: 2x = 300 x = 150




190

Q.28 (UFC) Na figura dada, calcular X em função de A, B e C (ângulos internos dotriângulo ABC)

A

B X C

Construção auxiliar:

B x C

m n

Temos:

(I): m + n + x = 1800 m + n = 1800 - x(II): A + B + C + m + n = 1800

Ou, seja: A + B + C +1800 – x = 1800 x = A + B + C

Q.29 (FUVEST) Na figura A = 60° e ADE é reto. Calcule x + y.A

D

3x E

5x y B C

Veja:

No EDA, sabemos que: D = 900, A = 600 3x + 1500 = 1800 x = 100

No ABC, temos: 600 + 500 + y = 1800 y = 700

Logo: x + y = 800




191

Q.30 (UFC) Na figura AB = AC = BD = AD. Calcule x = EBC

A

b a

96 60 DE

B 60 C

Seja o ângulo procurado EBC = x

Sabemos que ABD é equilátero, assim seus ângulos internos valem 600

Observando o AED: a + 960 + 600 = 1800 a = 240 b = 360

Mas ABC é isósceles (AB = AC) C = x + 600

Assim, no ABC: x + 600 + x + 600 + 360 = 1800 x = 120

Q.31 (FGV) Na figura, ABC é um triangulo retângulo em A e isósceles.Determine X, sendo BC = DB.

A

45 C

m X 45

360 m

B D

Se ABC é retângulo e isósceles, seus ângulos agudos medem 450

Como BC = BD o BCD é isósceles e possui 2 ângulos iguais (m)

Então: no BCD, temos: 2m + 360 = 1800 m = 720

Logo: 450 + 720 + X = 1800 X = 630

Q.32 (Cesgranrio) As bases MQ e NP de um trapézio medem 42 cm e 112 cm,respectivamente. Se o ângulo MQP é o dobro do ângulo PNM, quanto mede o ladoPQ?

M 42 Q

Veja a figura: a a Construção auxiliar: bissetriz

a a

N 42 T P Então: TP = PQ = 70 cm

112




192

Congruência e Semelhança de Triângulos

Congruência de Triângulos

1º caso: L A L (lado, ângulo, lado)

2º caso: A L A (ângulo, lado, ângulo)

3º caso: L L L (lado, lado, lado)

4º caso: L A Ao (lado, um ângulo adjacente, ângulo oposto a este lado)

Semelhança de TriângulosDois triângulos são semelhantes, se e somente se, possuem os três ângulos

ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.A M

c b p n

B a C N m P

=

ABC MNP = e

= =

=

Casos de Semelhança:

1º caso: (AA) Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes,então eles são semelhantes.

2º caso: (LAL) Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos deoutro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então eles sãosemelhantes.

3º caso: (LLL) Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles sãosemelhantes.




193

Q.33 (FUVEST) A sombra de um poste vertical, projetada pelo sol sobre um chãoplano, mede 12 m. Nesse mesmo instante, a sombra de um bastão de 1 m dealtura mede 0,6 m. Calcule a altura do poste.

Veja a figura: poste bastão

α

H α 1 m

12 m 0,6 m

Note que os triângulos são semelhantes:

Então:

=

0,6 H = 12 H = 20 m

Q.34 (UFSE) Na figura abaixo, AC = 8, CD = 4. Calcule BD.

A

a

a

B x D C

Temos 2 triângulos semelhantes: ABC e DAC ( é comum aos dois) A

D

8

4

a c a c

Bx + 4

C A8

C

Então:

=

4x + 16 = 64 4x = 48 x = BD = 12

Q.35 (Unicamp) Uma rampa de inclinação constante, como a que dá acesso aoPalácio do Planalto em Brasília, tem 4 m de altura na sua parte mais alta. Umapessoa, tendo começado a subi-la, nota que após caminhar 12,3 m sobre a rampaestá a 1,5 m de altura em relação ao solo. Calcule quantos metros a pessoa aindadeve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.

Veja a figura:

=

18,45 + 1,5x = 49,20

x12,3 4 Ou: 1,5x = 30,75 x = 20,5 m

1,5




194

Q.36 (MACK) Seja MNPQ um losango de lado x cm. Sabendo que MT = 12 cm eMS = 6 cm determine o perímetro do losango.

MN x

x 12 - x

x Qa a

x T P S

Temos 2 triângulos semelhantes: MTS e QPS:

=

Assim:

=

6x = 72 – 12x 18x = 72 x = 4

Logo o perímetro do losango é igual a 16 cm

Q.37 (UFC) Seja m a medida do lado do quadrado inscrito em um triangulo debase 12 e altura 8 . Calcule o valor de 10 m

E

8 - mC m D

m m mA m B

12

Temos 2 triângulos semelhantes: EAB e DAC e ECD:

=

Assim: 8m = 96 – 12m 20m = 96 10m = 48

Q.38 (Unifor) Os lados de um triangulo medem 5, 7 e 8 cm. Calcule as medidas deum triangulo a ele semelhante e cujo perímetro é 60 cm.

Veja que o triângulo dado tem perímetro igual a 20 cm

O segundo triângulo tem perímetro igual a 60 cm

Logo a razão de semelhança é de 1 para 3

Assim, os lados do 2º triângulo medem: 15 cm, 21 cm e 24 cm




195

Q.39 (FUVEST) Na figura abaixo, as distâncias dos pontos A e B à reta r valem 2 e4. As projeções ortogonais de A e B sobre essa reta são os pontos C e D. Se amedida de CD é 9, a que distância de C deverá cortar o ponto E, do segmento CD,

para que CA = D

BA

4

2

α α C x E 9 - x D

Como os triângulos são semelhantes:

=

4x = 18 – 2x x = CE = 3

Q.40 (FUVEST) Na figura o triângulo ABC é retângulo em A. Sendo ADEF é umquadrado com AB = 1 e AC = 3. Quanto mede o lado do quadrado?

B

1 - x D x E

x

A x 3 - x C

Temos 2 triângulos semelhantes:BAC e BDE:

=

x = 3 – 3x x = 3/4

Q.41 (UNESP) Seja ABC é um triângulo retângulo em A, e o segmento DE // AB.Sabendo-se que AB = 15 cm, AC = 20 cm e AD = 8 cm, calcule a área do trapézioABED.

C Então:

=

20 x = 180 x = 9

12D x E

8 A 15 B

Área do trapézio ADEB: A = (B + b) h A = (15 + 9) 8 A = 96 cm2

2 2




196

Q.42 (UECE) As circunferências tangentes entre si e tangentes aos lados doângulo A, tem raios r = 2 e R = 3. Calcule a distância de A ao centro da menor circunferência. T2

T1 Construções auxiliares

A X 2 2 3 3O1 O2

Lembre-se que nos pontos de tangência (T1 e T2) os ângulos são retos.

Na semelhança dos triângulos T2O2 A e T1O1 A:

=

Então: 3x + 6 = 2x + 14 x = 8

Assim a distância de A até O1 é igual a 8 + 2 = 10

Q.43 (Unicamp) Quinze toras de madeira, de 1,5m de diâmetro, são empilhadas.Calcule a altura da pilha.

Construções auxiliaresA Seja r os raios.

B C

Veja: AB = AC = 8r. Ou, seja: AB = AC = 4. 1,5m AB = AC = 6m

Temos também que: BC = 8r BC = 6m

Sejam: H a altura da pilha e h a altura do ABC equilátero

Então: h =

h = 3

Logo: H = h + 2r H = + 1,5)m




197

Teorema da bissetriz interna de um triângulo

Seja ABC um triangulo qualquer e t a bissetriz interna de um de seus ângulos.

C Teorema:

a b

=

m n

B A

t (bissetriz)

Q.44 (UFC) O perímetro do triangulo ABC é 21 cm. Sabe-se que a bissetriz internado vértice A divide BC em duas partes que medem 3 cm e 4 cm, respectivamente.Calcule as medidas dos lados desse triangulo.

Veja: A

a b

B 3 4 C

Então:

= 4a = 3b (I) e a + b + 7 = 21 a + b = 14 (II)

Resolvendo o sistema (I) (II): a + 4a/3 = 14 3a + 4a = 42 a = 6 cm b = 8 cm

Q.45 (UFC) Na figura, A = 90°, AS é bissetriz de A. AC = 12 cm, AB = 5 cm e BC =13cm. Calcule o comprimento de BS.

Bx

5 S

=

12x = 65 – 5x

13 – x Assim: 17x = 65 x = 65/17 cm

A 12 C




198

Q.46 (FUVEST) Num triângulo retângulo ABC, retângulo em B, seja D um ponto dahipotenusa AC tal que os ângulos DAB e ABD tenham a mesma medida.Determine o valor de AD

DC

C

D

90 - a

a a

B AVeja que = 90 – a, então BCD é isósceles BD = DC

Logo: CD = DA e AD = 1DC

Teorema de PitágorasRelações Métricas no Triângulo Retângulo

Seja o triângulo ABC, reto em Â.

A a: hipotenusa

c

h b b: cateto

c: cateto

B m H n C h: altura relativa à hipotenusa

m: projeção de c sobre a

n: projeção de b sobre a

Relações Métricas:

1. a = m + n2. a2 = b2 + c2 (Pitágoras)3. a . h = m . n4. h2 = m . n5. c2 = h2 + m2 (Pitágoras)

b2 = h2 + n2 (Pitágoras)6. c2 = a . m e b2 = a . n




199

Q. 47 (PUC) (PUC) Calcule a medida AB do trapézio:

D 15 C

13 20

A 5 H 15 R m B

No ADH (retângulo), temos: 132 = 52 + h2 h2 = 144 h = 12

No CRB (retângulo), temos: 202 = 122 + m2 m2 = 256 m = 16

Assim: AB = 5 + 15 + 16 AB = 36

Q.48 (FGV) O triângulo ABC é isósceles com a base AB medindo 2 cm e com os

lados iguais medindo cm. Calcule a área do trapézio BEDC.

C D

h

A x H x B 2x E

Base AB = 2 x = Então a base BE = 2x = 2 e a base CD = 3x = 3

E, ainda: h2 = ( )2 – ( )2 h2 = 34 – 2 h2 = 32 h = h = 4

Assim, a área do trapézio BEDC é: A = (3 + 2 ) 4 5 . 4 2 2

Então: A = 20 cm2

Q.49 (FUVEST) A aresta do cubo abaixo mede 2 e BP mede 3. Calcule PC.

D

C

2

A B P

2 3

Então: PC2 = 52 + 22 PC2 = 29 PC =

E




200

Q.50 (MACK) Numa esfera de 26 cm de diâmetro, faz-se um corte por um planoque dista 5 cm do centro. Calcule o raio da secção feita.

No triângulo retângulo: 132 = 55 + r 2

Logo: r 2 = 169 – 25 r 2 = 144 r = 12 cm

Q.51 (UFC) As diagonais de um quadrilátero convexo são perpendiculares e

medem 12 cm e 18 cm. Calcule a área do quadrilátero.

Área = 12 X 18 Área = 108 cm2 2

Q.52 (VUNESP) Num triangulo retângulo a medida de um cateto é a metade damedida da hipotenusa. O quociente da medida do outro cateto pela medida dahipotenusa é:

a) 3. 30,5 b) 2. 30,5 c) 2. 3- 0,5 d) 30,5 e) 3. (2. 30,5) -1

Veja:

2aa

m

Então: m2 = 4a2 – a2 m2 = 3a2 m = a

Logo: Q =

Q =

Por exclusão encontramos a resposta. Resp: e




201

TEOREMA: Se P é um ponto qualquer interno em um triangulo ABC, de lados a, be c, a soma das distâncias de P aos vértices é maior que o semi-perímetro emenor que o perímetro do triangulo ABC.

a + b + c < PA + PB + PC < a + b + c

2

Q.53 (UFC) Seja P um ponto interno ao triangulo ABC. Se os lados desse triângulomedem 5 cm, 7 cm e 8 cm, então a soma das distâncias de P aos vértices podeser:

a) 10 cmb) 20 cmc) 25 cm • P d) 15 cm

e) 30 cm

Veja: 5 + 7 + 8 < PA + PB + PC < 5 + 7 + 82

Ou, seja: 10 < PA + PB + PC < 20 Resp: d

Q.54 (UFC) Um dos catetos de um triangulo retângulo foi aumentado de 25% deseu comprimento. Para que a área do triangulo não se altere é necessário que ooutro cateto sofra uma diminuição de p%. Determine o valor de p.

h A = b. h x2

b b + 1/4b = 5/4 b

Assim, a área do 2º triângulo é: A = 5/4b . x2

Como as áreas são iguais: 5b x = b h x = 4/5 b x = 0,8 p ou x = 80% b4

Assim, houve uma diminuição na altura de 20%




202

TEOREMA de PILOT: Em todo quadrilátero circunscritível a um círculo, as somasde seus lados opostos são iguais.

ba a + c = b + d

cd

TEOREMA: Se o quadrilátero ABCD é tal que suas diagonais são perpendiculares,então a2 + c2 = b2 + d2

a b

d c

Q.55 (UNICAMP) Em um triangulo com vértices A, B e C, inscrevemos um círculode raio r. Sabe-se que Â = 90º e que o círculo inscrito tangencia o lado BC noponto P, dividindo esse lado em dois trechos com comprimentos PB = 10 ePC = 3.

a) Determine r b) Determine AB e ACc) Determine a área da região que é, ao mesmo tempo, interna ao triangulo eexterna ao círculo

C P, M e N são pontos de tangência (900)

a) AB = 10 + R e AC = 3 + R

3 3 Pitágoras: 132 = (10 + R)2 + (3 + R)2 R = 2

P

M R 10 b) AC = 5 e AB = 12

R

A N 10 Bc) AT = 12. 5 AT = 30

2 AO = πR2 AO = 4π

Então: A = 30 - 4π




203

Q.56 (ITA) Por um ponto A de uma circunferência traça-se o segmento AA’perpendicular a um diâmetro dessa circunferência. Sabendo-se que o ponto A’determina no diâmetro segmentos de 4 cm e 9 cm, calcule a medida do segmentoAA’

A

M 4 9 N

A’

(I): Todo triângulo inscrito numa semicircunferência é retângulo (A = 900)

Lembre-se que no triângulo retângulo: h2 = m n

Logo: ( AA’)2

= 4. 9 AA’ = 6 cm

Q.57 (FEI) Num triangulo ABC, retângulo em Â, os catetos medem 5 e 12. Calcule amedida da mediana AM.

A

12 5

B M C

Veja: AM = MB = MC é o raio de uma semicircunferência de centro O

A hipotenusa do triângulo (BC) mede 13.

Então: MC = MB = AM = 6,5 cm

Q.58 (MACK) Na figura abaixo, o triangulo ABC é retângulo em Â; AM é a medianarelativa à hipotenusa. Calcule o perímetro e a área do triangulo AMC, em funçãode seus lados a, b, c.

A

c b Perímetro AMC = a + b

B a/2 M a/2 C

Área do ABC = bc/2Mas: ABM = AMC (mesma base e mesma altura)Logo: ABM + AMC = bc/2 2. AMC = bc/2 AMC = bc/4




204

Q.59 (UECE) Calcule o raio da circunferência inscrita no triangulo retângulo delados 3 cm, 4 cm e 5 cm.

3 – r

3 - r4 – r

r

r 4 - r

Como a hipotenusa mede 5: 3 – r + 4 – r = 5 2r = 2 r = 1 cm

Propriedades no Trapézio

a a

x x

b b

Base Média: x = a + b Base Média de Euler: x = b – a

2 2

Q.60 (ITA) Considere o quadrilátero ABCD cujas diagonais AC e BD medem,

respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados doquadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero RSTU vale:

a) 22 cm b) 5,5 cm c) 8,5 cm d) 11 cm e) 13 cm

A

R S AC = 5 e DB = 6

D B

U TC

Sejam R, S, T e U pontos médios dos lados.RS é base média (DB) RS = 3ST é base média (AC) ST = 2,5UT é base média (DB) UT = 3RU é base média (AC) RU = 2,5

Logo o perímetro do quadrilátero RSTU vale: 11 cm Resp: d




205

Q.61 (FGV) Um triângulo ABC é retângulo em C e suas medianas BN e CM são

perpendiculares. Se BC = , calcule o comprimento BN

AG é o baricentro

N Mx

G2x

C B

Observe o NCD retângulo e lembre-se da fórmula b2 = a m

Então: ( )2 = 3x . 2x 6x2 = 6 x = 1

Assim: BN = 3

Q.62 (FUVEST) Uma escada de 25dm de comprimento se apóia num muro dealtura 2,4 m, do qual seu pé dista 7dm. Se o pé da escada se afastar mais 8dm domuro, qual será o deslocamento verificado pela extremidade superior da escada?

Escada: 25 dmDeslocamento: x

H = 2,4mw

7 8

Então: w2 + 152 = 252 w2 = 625 – 225 w2 = 400 w = 20

Assim, o deslocamento será de: x = 24 – 20 x = 4 dm

Q.63 (UNIFOR) As três circunferências da figura abaixo são iguais, tangentesentre si e de raio igual a 1,5 cm. Calcule a área do retângulo.

Comprimento = 6r = 6. 1,5 = 9 cmLargura: 2r = 2. 1,5 = 3 cm

Assim, a área é dada por: A = 9. 3 A = 27 cm2




206

Relações trigonométricas no triângulo retângulo

Seja o triângulo ABC, reto em Â.

C

a (hipotenusa)

b

A c B

Definições:

1. sen = cat oposto 2. cos = cat adjacente 3. tg = cat opostohipotenusa hipotenusa cat adjacente

Lei dos senos. Lei dos cossenos

Seja ABC um triangulo qualquer

A

c b

B a C

Lei dos senos:

=

=

= 2R, onde R é o raio da

circunferência circunscrita.

a2 = b2 + c2 – 2bc cos Â

Lei dos cossenos: b2

= a2

+ c2

– 2ac cos Bc2 = a2 + b2 – 2ab cos C




207

Q.64 (MACK) Calcule x e y na f +igura.

D

y

30 60

A 10 B x C

Temos: (I): tg 300 =

=

(II): tg 600 = =

y = x

Em (I):

=

10 + x = 3x x = 5 e y =

Q.65 (UECE) Calcule a altura h = CH de um triangulo de base AB = 20.Dados: tg A =3/4 e tg B = 1/2.

C

hα β

A x 20 - x B

Temos: tg α = h/x = 3/4 x = 4h/3

Ainda: tg β =

2h =20 – 4h/3 6h = 60 – 4h h = 6

Q.66 (F. Franciscanas – SP) Se a = x2 + x + 1, b = 2x + 1 e c = x 2 – 1 são as medidasdos lados de um triangulo, calcule a medida do ângulo oposto ao lado a, emgraus.

c A b Lei dos cossenos: a2 = b2 + c2 – 2ac cos A

a

Então: (x2 + x + 1) (x2 + x + 1) = (2x + 1)2 + (x2 – 1)2 – 2 (2x + 1) (x2 – 1) cos A

Ou: x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + 1 = 4x2 + 4x + 1 + x4 – 2x2 + 1 – (4x3 + 2x2 – 4x – 2) cos A

Assim: 2x3 + x2 – 2x – 1 = -2 (2x3 + x2 – 2x – 1) cos A

Então: cos A = -1/2 A = 120

0




208

Q.67 (UECE) Num triangulo ABC, tem-se: AB = 6, BC = 6 e C = 30º. Determine amedida do lado AC

A

6 x30

B 6 C

Usando a Lei dos cossenos:

Temos: 62 = x2 + (6 )2 – 2. 6. 6 cos 300

Então: 36 = x2 + 108 – 18x x2 – 18x + 72 = 0

E, as raízes são: 12 ou 6

Logo: AC = 12 ou AC = 6

Q.68 (PUC) Calcule a área do triangulo PMN

41

5 A1 M

P A3 5

1 A2 5 N 1

Observe que:

(I): Área do quadrado = 36

(II): A1 + A2 + A3 = (1 + 5) 6 + 5/2 + 5/2 = 18 + 5 = 232

Logo a área do PMN = 36 – 23 = 13 u2

Q.69 O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio R. Seus ladosmedem 2 cm, 3 cm e 4 cm e sua área vale 6 cm2. Calcule o raio R.

Fórmula: A = abcR

Assim: 6 = 2. 3. 4 6R = 24 R = 4 cm




209

Q. 70 (UECE) Na figura, ABCD é um trapézio retângulo no qual AB = 6, CD = 10 eAD = 3. Calcule a área hachurada.

A B

3 – r 3 - r 4 - r

r

D E r 4 - r C

Mas: BC2 = 16 + 9 BC = 5

Logo: 3 – r + 4 – r = 5 r = 1

Assim, a área procurada será: 4. 3 -

. 1

2

A = (6 -

) u

2

2

Polígonos regulares. Lado e Apótema

Seja um polígono regular e convexo den lados e d diagonais

Soma dos ângulos internos. Si = 1800 (n – 2)

Soma dos ângulos externos. Se = 3600

Ângulo interno. ai = Si Ângulo externo. ae = 3600 n n

Em qualquer polígono regular: ai + ae = 1800

Número de diagonais. d = n (n – 3)2

Lado e Apótema: Triângulo equilátero. Quadrado. Hexágono regular Seja R o raio da circunferência circunscrita a esses polígonos.

Formulário:

(I): L4 = R a4 = R /2

(II): L3 = R a3 = R/2

(III): L6 = R a6 = R /2

Definição: Apótema é o segmento de reta que vai do centro ao meio do lado.




210

Q. 71 (UECE) Determine o raio da circunferência inscrita no hexágono regular cujolado mede 6 cm.

Veja: R = 6 é o raio da circunferência circunscrita

Mas: a6 = r = 6 /2 r = 3 R

A a6

Q.72 (UEBA) Seja o hexágono regular inscrito na circunferência de centro O e raio6 cm. Calcule a área do polígono ABCO, em cm2.

A

B

C

A área do polígono é: A = 2 OAB (equilátero de lado 6 cm)

Assim: A = 2 62 A = 18 cm2

4

Q.73 (PUC) Qual a medida do ângulo interno de um decágono regular?

Veja: Si = 1800 (10 – 2) Si = 1440o

Logo: a1 = 14400/10 a1 = 1440

Q.74 (UFC) Determine o número n de lados de um polígono regular convexo quepossui 54 diagonais.

Sabemos que: d = n (n – 3) = 54 n2 – 3n – 108 = 02

Resolvendo a equação: n = -9 ou n =12

O polígono possui 12 lados (dodecágono)

O




211

Q.75 (ITA) O número de diagonais de um polígono regular de 2n lados, que nãopassam pelo centro da circunferência circunscrita a esse polígono é dado por:

a) 2n(n – 3) b) 2n(n – 2) c) 2n(n – 1) d) n(n – 5)2

Teorema:Se um polígono tiver um número ímpar de lados, nenhuma diagonal passará pelocentro.Se um polígono tiver um número par de lados, o número de diagonais que nãopassam pelo centro é dado por: n(n – 3) - n

2 2

No exercício: o nº de lados é par: 2n

Então: d = 2n (2n – 3) – 2n d = 2n2 – 4n ou d = 2n (n – 2)

2 2 Resp: b

Q.76 (UFC) As mediatrizes de dois lados adjacentes de um polígono regular convexo formam um ângulo de 24º. Determine o número de diagonais dessepolígono.

ai

24

Então: 1800 + ai + 240 = 3600 ai = 1660

Logo: ae = 1800 – 1160 ae = 240

Mas: ae = 3600 n = 3600 n = 15 ladosN 24

Q. 77 (FEI) Quanto mede o ângulo interno de um polígono regular em que onúmero de diagonais excede de 3 o número de lados?

Veja: d = n (n – 3) 2 (n + 3) = n (n – 3) n2 – 3n = 2n + 6 n2 – 5n – 6 = 02

Resolvendo a equação: n = -1 ou n = 6

Logo: ae = 3600/6 ae = 600 ai = 1200




212

Potência de um ponto

1º caso: P é interno à circunferência

A

C PA. PB = PC. PD

D B

2º caso: P é externo à circunferência

A

B P PA. PB = PC. PD

C D

Caso particular: PT é tangente à circunferência

A

B P (PT) 2 = PA . PB

T

Q. 78 (UFC) Sabe-se que AB = 3x, AD = x + 1, AC = 4x – 1 e AE = x. Calcule BD.

E

B D

C

Temos: AB. AD = AE. AC 3x (x + 1) = x (4x – 1)

Então: 3x2 + 3x = 4x2 – x x2 – 4 = 0 x = 2

Logo: BD = BA + AD BD = 3x + x + 1 BD = 6 + 3 BD = 9

P

A




213

Q.79 (UECE) Seja um círculo de raio 10 cm. Traçando-se uma corda de 12 cm,quais as medidas dos segmentos que esta corda determina sobre o diâmetro quelhe é perpendicular?

Veja:

6

x y

6

(I): x + y = 20 (II): xy = 36 (h2 = m n)

Procuramos dois números cuja soma é 20 e cujo produto é 36

Assim, temos: 2 cm e 18 cm

Q.80 (MACK) Calcule a medida do diâmetro da circunferência de centro Osabendo que PT = 6 e PB = 12

T6

P A • B12 – 2r r r

Temos: PT2 = PA. PB

Então: 36 = (12 – 2r) 12 12 – 2r = 3 2r = 9 (diâmetro)

Q.81 (UFC) Em um círculo, duas cordas se cortam. Os dois segmentos da primeiramedem 3 cm e 8 cm. Sabendo-se que os dois segmentos da segunda estão entresi na razão 2 para 3, calcule esses valores.

(I): a = 2b/38 (II):ab = 24

a

b Então: 2b/3 b = 24 b2 = 36 b = 6 e a = 4

3




214

Ângulos na circunferência

Ângulo Central relativo a uma circunferência é o ângulo que tem o vértice nocentro da circunferência.

A

β = AB

B

Ângulo Inscrito relativo a uma circunferência é o ângulo que tem o vértice nacircunferência e os lados são secantes a ela.

A

= ou = ABα β 2 2

B

Ângulo excêntrico interior: sua medida é igual à semi-soma das medidas dos

arcos interceptados por ele e por seu oposto pelo vértice.

AD

P AB = AB + CD2

CB

Ângulo excêntrico exterior: sua medida é igual à semi-diferença das medidas dosarcos que ele intercepta.

A

D P AB = AB - CD2

C

B




215

Q. 82 (UFC) Na figura, O é o centro do círculo, BC // AO e OÂC = 35º. Calcule oângulo AOB.

X O

A 35 C35

B

Veja: AB = 350 AB = 700. Mas AOB é central AOB = 700 2

Q. 83 (U. Amazonas) Determine a medida do ângulo x.

M

A x x = 800 - 400 x = 200

400 2

C B

800

D

Circunferência

“A razão entre o perímetro do círculo e seu diâmetro é um número constanterepresentado por ”

Comprimento da circunferência: C = 2R

“O comprimento de um arco de circunferência () é proporcional à sua medida(), em radianos” Comprimento de um arco de circunferência: = R

Área de um círculo de raio R: A = . R2




216

Q.84 (UECE) O quadrado da figura abaixo, tem 8 cm de lado. Calcule a áreahachurada.

1

A = 64

A1 = 1/4 64 A1 = 16

Assim, a área pintada vale 64 - 16 = 16 (4 - ) cm2

Q.85 (CESGRANRIO) O triângulo ABC está inscrito no semicírculo de centro O ediâmetro AB = 2. Se o ângulo CÂB = 30º, calcule a área compreendida entre ocirculo e o triângulo.

C

A B

Temos: R = 1 Acieculo =

Mas: cos 300 = AC/2 /2 = AC/2 AC =

E: sen 300 = BC/2 = 1/2 BC = 1

Então: A ABC = /2

Assim, a área procurada é A = - /2

1




217

Q. 86 (FATEC) Na figura ao lado, os arcos BD são arcos de circunferências decentro em A e C. Calcule a área da região branca.

B 5 cm C

5 cm S S5 cm

600 S

A 5 cm D

1/6 da área da circunf. de raio 5

Área do triângulo equilátero de lado 5

Cálculo da área S: S = 25/6 - 25

Mas 2S = 253 - 25 /2 ou S = 25 ( /3 - /2)

Q.87 E. 250 (Unicamp) Um terreno tem a forma de um trapézio retângulo ABCD,conforme mostra a figura a seguir, e as seguintes dimensões: AB = 25 m. BC = 24m e CD = 15 m

D 15 C

24

d a b c

A 25 B

a) Se cada m2 desse terreno vale R$ 50,00, qual é o preço total do terreno?

b) Divida o trapézio em quatro partes de mesma área, por meio de três segmentosparalelos ao lado BC, indicando nela as dimensões das divisões no lado AB.

a) Área = (25 + 15) 24/2 A = 480 m2

Preço do terreno: P = 480 X 50,00 P = R$ 24.000,00

b) Comparando as áreas: 24 a = 24 b = 24 c = 12 d (24 d/2 = 12 d: área ret.)

Então d = 2 a = 2 b = 2 c (I) e a + b + c + d = 25 (II)

Logo: Em (II): d/2 + d/2 + d/2 + d = 25 5 d = 50

Então: d = 10 m e a = b = c = 5 m




218

Geometria Espacial e Métrica

(Noções Básicas)

• Um plano paralelo a uma reta é paralelo a um único plano que contem a reta

• Um plano secante a uma reta é secante a todo plano que contem a reta• Se duas retas são ortogonais, toda reta paralela a uma delas forma um ânguloreto com a outra

• Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, então ela éperpendicular ao plano

• Se dois planos são paralelos, toda reta perpendicular a um deles é perpendicular ao outro

• Duas retas perpendiculares a um plano são paralelas

• Se dois planos são perpendiculares, qualquer outro plano perpendicular a umdeles é paralelo ao outro

• Uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano

• Duas retas concorrentes determinam um único plano

• Duas retas paralelas distintas determinam um único plano

Q. 88 (F. C. Chagas) Se um plano e uma reta r são tais que r = r, então:

a) Existe uma reta em que é concorrente com r b) Existe um plano que contem r e não intercepta c) Toda reta paralela a é paralela a r d) Toda reta paralela a r está contida em e) Toda reta perpendicular a é perpendicular a r

Resp: a

Q. 89 (MACK) Considere as afirmações:( I ) Se dois planos são paralelos, toda reta paralela a um deles ou está contida nooutro ou é paralela a esse outro( II ) Duas retas perpendiculares a um mesmo plano são paralelas ou coincidentes( III ) Um plano perpendicular a uma reta de um outro plano é perpendicular a esteúnico planoEntão:a) todas são verdadeirasb) somente ( I ) é verdadeirac) somente ( II ) é verdadeirad) somente ( Ii ) e (III) são verdadeirase) nenhuma afirmativa é verdadeira

Resp: a




219

Q. 90 (PUC) Se r e s são retas reversas, então se pode garantir que:a) todo plano que contem r também contém sb) existe um plano que contem r e é perpendicular a sc) existe um único plano que contem r e sd) existe um único plano que contem r e é paralelo a s

e) toda reta que encontre r encontra sResp: d

Q. 91 (FUVEST) Assinale a correta:a) Se dois planos forem perpendiculares, todo plano perpendicular a um delesserá paralelo ao outrob) Se dois planos forem perpendiculares, toda reta paralela a um deles seráparalela ao outroc) Duas retas paralelas a um plano são paralelasd) Se duas retas forem ortogonais reversas, toda reta ortogonal a uma delas será

paralela à outrae) Se duas retas forem ortogonais, toda reta paralela a uma delas será ortogonal àoutra

Resp: e

Poliedros (Noções básicas) 1. Um poliedro é convexo se, e somente se, o plano de cada face deixa todas

as outras faces num mesmo semi-plano.

Um poliedro é considera convexo se:• as suas faces são polígonos regulares e congruentes • os seus ângulos poliédricos são congruentes

2. Cada polígono é uma face; cada lado comum a duas faces é uma aresta ecada ponto comum a três ou mais arestas é um vértice

3. Relação de Euler: A + 2 = V + F

4. Num poliedro convexo de V vértices, a soma dos ângulos internos de todasas faces é dada por: S = (V – 2) . 3600

Notação Importante: Fn é o número de faces com n lados. Veja oexemplo:

F4 = 6 (são 6 faces quadrangulares)




220

Poliedros de Platão

Para que um poliedro seja considera poliedro de Platão, é necessário que: • todas as suas faces tenham o mesmo número de arestas • dos vértices parta o mesmo número de arestas Há somente cinco tipos de poliedros regulares (Poliedros de Platão) Tetraedro regular: as faces são triângulos eqüiláteros. F3 = 4 (são 4 faces triangulares)

F = 4; V = 4 e A = 6 Hexaedro regular: as faces são quadrados. F4 = 6 F = 6; V = 8 e A = 12 Octaedro regular: as faces são triângulos eqüiláteros. F3 = 8 F = 8; V = 6 e A = 12 Dodecaedro regular: as faces são pentágonos regulares. F5 = 12 F = 12; V = 20 e A = 30

Icosaedro regular: as faces são triângulos eqüiláteros.

F3 = 20 F = 20; V = 12 e A = 30

Q. 92 (PUC) Qual o número de vértices de um poliedro convexo que possui 12faces triangulares

O número de faces é: F = 12

Cálculo do número de arestas: 2A = 12 X 3 A = 18

Relação de Euler: V + F = A + 2 V + 12 = 18 + 2 V = 8 vértices

Q.93 (PUC) Qual o poliedro regular que tem 12 vértices e 30 arestas?

Sabemos que: A + 2 = V + F

Então: 30 + 2 = 12 + F F = 20 ou Icosaedro




221

Q. 94 (ITA) Se um poliedro convexo possui 20 faces e 12 vértices, qual o númerode arestas desse poliedro?

V + F = A + 2 20 + 12 = A + 2 A = 30 arestas

Q.95 (MACK) Sabe-se que um poliedro convexo tem 8 faces e que o número devértices é maior que 6 e menor que 14. Então, o número A de arestas é tal que:a) 14 A 20b) 14 < A < 20c) 13 < A < 19d) 12 A 20e) 17 A 20

Temos: V + F = A + 2 V = A + 2 – 8 V = A – 6

Mas: 6 < V < 14 6 < A – 6 < 14 12 < A < 20 Resp: d

Q.96 (CESGRANRIO) Um poliedro convexo é formado por 80 faces triangulares e12 pentagonais. Qual o número de vértices deste poliedro?

Temos: 2 A = 80. 3 + 12. 5 2 A = 300 A = 150 arestas

Então: A + 2 = F + V 150 + 2 = 92 + V V = 60 vértices

Q. 97 (ESAN) Calcule em graus a soma dos ângulos das faces do dodecaedroregular.

O dodecaedro regular é o poliedro de 12 faces pentagonais.

Assim: 2 A = 12 X 5 2 A = 60 A = 30 arestas

Então: A + 2 = V + F 32 = V + 12 V = 20 vértices

Assim: S = (V – 2) 3600 S = 18. 3600 S = 64800

Q. 98 (CESGRANRIO) O ângulo AFH formados pelas diagonais AF e FH de facesdo cubo, abaixo, vale:a) 30o b) 45o c) 60o d) 90o e) 180o

H G

E F Note que: AF = FH = AH (diagonais de faces)

Então o AFH é equilátero e o ângulo AFH = 60o

A




222

Q. 99 (UFES) Uma formiga mora na superfície de um cubo de aresta a. O menor caminho que ela deve seguir para ir de um vértice ao vértice oposto é:

a) a

b) a Ac) 3a

d) (1 + ) a B

e) a

Procuramos a menor distância entre A e B

Veja a planificação deste cubo:

A’ A

a

a a

Então: (AB)2 = a2 + 4a2 AB = AB = a Resp: e

Q.100 (UFMG) Qual o volume, em litros, de um cubo de 5 cm de aresta?

Lembre-se que 1 dm3 = 1 litro

Então: a = 5 cm = 0,5 dm

V cubo = a3 V cubo = (0,5)3 V cubo = 0,125 dm3 V cubo = 0,15 litros

Q.101 (CESGRANRIO) Quanto mede a diagonal de um paralelepípedo retângulo dedimensões 2, 3 e 4?

Veja:

c D =

ba

D = D =




223

Q.102 (FAAP) Calcule, em litros, o volume de uma caixa d’água em forma deprisma reto, de aresta lateral 6 m, sabendo-se que a base é um losango cujasmedidas das diagonais são 7 m e 10 m.

O volume de um prisma é dado por: V = A b . h (área da base X altura)

No exercício, a base é um losango de diagonais D = 10 e d = 7 Assim a área da base é: A losango = 10. 7 = 35 m2

2

Então: V = 35. 6 = 210 m3 = 210 000 dm3 V = 210 000 litros

Q.103 (PUC) Se a área da base de um prisma diminui 10% e a altura aumenta 20%,o seu volume:a) aumenta 8%

b) aumenta 15%c) aumenta 18%d) diminui 8%e) não se altera

Seja um prisma de área da base A e altura h. Sabemos que V = A h

Se sua área da base diminui 10% A’ = 0,9 A Se sua altura aumenta 20% h’ = 1,2 h

Assim: V’ = 0,9A. 1,2h V’ = 1,08 A h V’ = 1,08 V Resp: a

Q. 104 (UFG) O volume de uma esfera é 36 m3. Calcule o volume, em m3, do cubocircunscrito à esfera.

Seja a esfera de raio R

V esf = 4/3 π R3 = 36 π R3 = 27 R = 3 m

Como a aresta do cubo é a = 2R a = 6 m

Então: V cubo = a3 V cubo = 216 m3




224

Q. 105 (UCMG) Numa esfera de 26 cm de diâmetro, faz-se um corte por um planoque dista 5 cm do centro. Calcule o raio da secção feita, em cm.

r

Veja:

d = 5 R = 13

Então: R2 = r 2 + d2 r 2 = 169 – 25 r 2 = 144Logo: r = 12 cm

Q. 106 (UFC) Calcule, em cm3, o volume de um dado fabricado a partir de um cubode aresta igual a 4 cm, levando em conta que os buracos representativos dos

números, presentes em suas faces, são semi-esferas de raio igual a

cm.

• • • •

• • • •

Temos:

(I): V cubo = 43 = 64 cm3

(II): Um dado possui 21 números (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)(III): Volume de cada meia esfera: V = 1/2 (4/3 π R3) V = 2/3 π R3

Assim, o volume de 21 números é: V21 = 21. 2/3 π R3 V21 = 14πR3

Mas: R3 = (

)3 R3 = 1/7π

Então: V21 = 14 1/7π V21 = 2 cm

3

Logo, o volume do dado é: V dado = V cubo – V 21 V dado = 62 cm3

Q. 107 (UFRS) A medida da aresta da base de um prisma triangular regular é 4 cm

e sua altura mede 3 cm. Calcule o volume desse prisma.

A área da base ( equilátero) é: A = 42 A = 4 4

Então: V = 4 . V = 12 cm3




225

Q. 108 (UNESP) Uma piscina retangular de 10,0 m x 15,0 m e fundo horizontal estácom água até a altura de 1,5m. Um produto químico em pó deve ser misturado àágua à razão de um pacote para cada 4500 litros. O número de pacotes a seremusados é:

a) 45 b) 50 c) 55 d) 60 e) 75

1,5

1015

Seu volume é: V = 15 X 10 X 1,5 V = 225 m3 V = 225000 dm3 V = 225000 litros

Para cada 4500 litros misturamos um pacoteLogo, serão adicionados 225000 = 50 litros

4500 Resp: b

Q. 109 (FUVEST) Dois blocos de alumínio, em forma de cubo, com arestasmedindo 10 cm e 6 cm são levados juntos à fusão e em seguida o alumínio líquidoé moldado como um paralelepípedo reto de arestas 8cm, 8cm e x cm. O valor de xé:a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20

Volume dos 2 blocos fundidos: 103 + 63 = 1216 cm3

V paral = x. 8. 8 = 1216 x = 19 cm Resp: d

Q. 110 (UFPR) Um cubo tem área total 150m2. Qual o volume da pirâmidequadrangular regular que tem como vértice o centro de uma das faces desse cuboe como base a face oposta a esse vértice?

Veja a figura: Seja o cubo de aresta a. Seu volume V = a3

Note que o Vpir = AB . h/3 Vpir = a2 a/3 Vpir = a3/3

No cubo: AT = 6a2 = 150 a2 = 25 a = 5

a Logo: Vpir = 125/3 m3

a

a




226

Q.111 (MACK) Um cone e um prisma quadrangular regular têm bases de mesmaárea. O prisma tem altura 12 e volume igual ao dobro do volume do cone.Determine a altura do cone.

Sejam:

H = 12 h = ?

A

A

Então:

Vp = 12 A e Vc = A h/3

Mas: Vp = 2 Vc 12 A = 2 A h h = 12. 3. A h =18 3 2 A

Q.112 (UFC) O volume do cilindro circunscrito a uma esfera mede 30 m3. Se V é ovolume da esfera, medida em m3, determine o valor de 2V/

Veja a figura:

R h = 2R

Vcil = AB h Vcil = R2 2R Vcil = 2 R3 = 30 R3 = 15

Mas: Vesf = 4/3 R3 Vesf = 4/3 15 Vesf = 20

Assim: 2V/ = 40/ = 40




227

Q.113 (Sta Casa – SP) Um recipiente tem o formato de um tronco de cone, com asmedidas indicadas na figura abaixo. Calcule o volume de água que esse recipientecomporta, quando totalmente cheio, em cm3.

6 Saiba que: VT = h. /3 (R2 + Rr + r 2 )

9

12

Então: VT = 9/3 (144 + 12. 6 + 36)

Assim: VT = 3 (144 + 72 + 36) VT = 756 cm3

Q.114 (UFPR) Calcule o volume, em cm3, de um tetraedro regular de altura 10 cm.

D Seja o tetraedro regular de aresta a

Tetraedro: pirâmide onde todas as 4 faces são triângulos eqüiláterosa a

h

A Ca G Mreto

BNa base do ABC, G é o baricentro (AG = 2. GM) e GM é o apótema do ABCEntão: AG = 2/3 AM

Mas: AM é a altura do ABC 9 equilátero). Isto é: AM = a /2

Logo: AG = 2/3 AM AG = 2/3 a /2 AG = a /3

No AGD (retângulo em G), temos: a2 = (a /3)2 + h2

Assim: h2 = a2 – a2/3 h = a /3 (Vale a pena decorar)

Então: V = AB h/3 V = a2 /4 a /3 V = a3 3 12

No exercício h = 10 10 = a /3 a = 5

Logo: V = (5 )3 V = 125 cm3 3




228

Q.115 (PUC – SP) A área total de um octaedro regular é 6 cm2. Calcule seuvolume.

Seja o octaedro regular de aresta a (8 faces: triângulos eqüiláteros de lado a)A

aH

aM

G aa

Sua base é um quadrado de lado a

Assim, a diagonal da base mede a e GM = a /2

Como a área total do octaedro é formada por 8 triângulos eqüiláteros, sua área total, é:

AT = 8 a2 /4 ou AT = 2 a2 = 6 a2 = 3 (área da base)

Sendo AGM retângulo em G, temos: a2 = (GM)2 + H2

Então: H2 = a2 - a2/2 H2 = a2/2 ou H2 = 3/2 H = /2

Mas: V = 2 (AB H) V = 2. 3. /2 V = cm3 3 3

Q.116 (UFPA) A área lateral de um cilindro de revolução é a metade da área dabase. Se o perímetro de sua secção meridiana é 18 m, calcule seu volume.

Sua secção meridiana é um retângulo r

Perímetro: 4r + 2h = 18 (I) r

Mas: AL = 2 r h e AB = r 2 Como AB = 2 AL hTemos: r 2 = 2 r h r = 4h

Em (I): 4(4h) + 2h = 18 h = 1 e r = 4

Logo: V = r 2 h V = 16 m3




229

Q.117 (UFMG) Qual o volume do sólido gerado pela rotação do triângulo isóscelesde 6 cm de altura e 2 cm de base, em torno da base?

Será formado um sólido com 2 cones idênticos de raio da base 6 cm e altura 1 cm.Veja:

6 h = 11

r = 61

6

Volume do sólido: V = 2 (1/3 r 2 h)

Então: V = 2/3. . 36. 1Logo: V = 24 cm2

Q.118 (PUC – SP) O recipiente em forma de cone circular reto tem raio 12 cm ealtura 16 cm. O líquido ocupa 1/8 do volume do recipiente.

R = 12

H = 16

x

Calcule a altura x do líquido

Seja o recipiente cônico de volume V e altura HSeja v o volume do líquido e sua altura x

Então: V = H3. Como v = 1/8 V V = H3 H3 = 8 H = 2v x3 1/8V x3 x3 x

Ou, seja: x = H/2 x = 8 cm




Q.119 (ITA) Se as dimensões de um paralelepípedo reto retangular são dadaspelas raízes da equação 24x3 – 26x2 + 9x – 1 = 0, calcule o comprimento de suadiagonal.

As possíveis raízes racionais são os divisores de 1/24: { 1/2, 1/3, 1/4,...}

Por tentativa: x = 1/2

1/2 24 -26 9 -1

24 -14 2 0

Portanto x = 1/2 é uma raiz e as demais são raízes de 24x 2 -14x +2 = 0

Em 24x2 -14x +2 = 0; = 100 e x’ = 1/2 e x” = 1/12 Assim, as suas dimensões são: a = b = 1/2 e c = 1/12

Sua diagonal é dada por D2 = a2 + b2 + c2 Então: D2 = 1/4 + 1/4 + 1/144

Ou, seja: D2 = 73/144 D =

Q.120 (MACK) Calcule o volume de um cone de revolução, sabendo que odesenvolvimento de sua superfície lateral é um setor circular de raio 6 cm e oângulo central de 60o

Veja: É válida a relação: g2 = h2 + r 2 ( I )

h g

r

Setor circular:

60

g = 6 α =

= /3 r = 1

2 Em ( I ): h2 = 36 – 1 h =

Documents

Parte 6 Geometria Plana e Espacial