GEOMETRIA PLANA E ESPACIAL

A matemática não é uma ciência experimental. As afirmações feitas em matemática devem ser provadas.

Conforme Geraldo Garbi em seu livro CQD:“

“

Introdução

Utilizaremos nesta “apostila” os conceitos fornecidos pelo livro CQD, de forma resumida, de modo aintroduzir o leitor na maravilhoso mundo da geometria plana. Iniciaremos fornecendo algunsconceitos iniciais e elementos estudados na geometria procurando no decorrer do texto explicitar anoções mais comuns da geometria. Sendo este texto voltado para alunos do curso de Licenciaturaem Matemática que estão iniciando seus estudos nesta fantástica área do conhecimento, optamospor fornecer as ideias iniciais dos métodos utilizados pelos matemáticos para fazer “demonstrações”que são o cerne da matemática. Iremos, neste primeiro contato com a matemática, definir, oumelhor dizer, explicar o que são teoremas, corolários, lemas, definições, etc.., de modo que o alunoamplie se conhecimento e também seja introduzido no mundo da matemática. Depois desta breveexplanação sobre algumas particularidades da matemática, adentraremos no mundo da geometriaseguindo os passos de Euclides, “o grande geômetra, que nos brindou com uma exposição dageometria de modo encadeado e crescente. Bem vindos ao mundo da geometria.

Elementos e conceitos fundamentais

Conceitos primitivos: termos simples e fundamentais que não são definidos, “nascem” em nossa mente pela observação e experiência (intuitivamente). Nossos conceitos primitivos são ponto, reta e plano.

Postulados: São afirmações mais simples e fundamentais de uma teoria (no nosso caso a Geometria) aceitas sem demonstrações, serão as verdades incontestáveis.

- Exercício: Dada a figura abaixo responda as questões.

a) Quantos pontos nomeados temos sobre a reta? Resposta: b) Quantos pontos temos fora da reta?Resposta: c) Quantos pontos há entre Q e M?Resposta: d) Podemos afirmar que P está entre M e N?Resposta: e) Considerando a sua folha de papel como representação geométrica de um plano,

quantos pontos temos no plano? Resposta: f) Quantos pontos temos fora do plano?Resposta: g) O ponto que está na ponta do nariz do professor de geometria está sobre o plano

da questão (e)?Resposta:

Postulados de existência

1. Em uma reta e fora dela existem quantos pontos quisermos.

2. Dados dois pontos distintos de uma reta, existe pelo menos outro ponto entre os dois pontos dados.

3. Em um plano e fora dele existem tantos pontos quisermos.

O que é uma "Definição": Uma definição determina os atributos essenciais e específicos de um ente, de tal forma que o torne inconfundível com outro.

Exemplos:

Definição 1: Dois pontos são colineares se estiverem sobre uma mesma reta.Definição 2: Dados pontos A e B, um ponto está entre A e B se ele está sobre o

segmento que une A e B.

Exercício

1) Dada a figura abaixo responda as questões.

a) Represente a reta que passa por L e M.b) Quantas retas distintas passam por Q e M?c) Os pontos Q, L e P são colineares?d) Os pontos Q, M e P são colineares?e) O ponto M está entre Q e P?f) Dados dois pontos distintos estes serão sempre colineares? Justifique.g) Dados três pontos distintos estes serão sempre colinear

2) Represente o planoque contém os três pontos A, Be C.

3) Dados o ponto A e a reta r, represente:

a) a reta paralela a r passando por A;b) a reta perpendicular a r passando por A.

Sobre os métodos empregados nas provas (demonstrações) matemáticas

Proposição: É toda afirmação, verdadeira ou falsa, que faça sentido. Exemplos: Rogério é inteligente

Um triângulo não é um cubo. A Terra é imóvel e está no centro do universo. Jones é professor de geometria. A baleia franca pesa 523 kg Um quadrado possui três ângulos retos e um obtuso

Exercício 1 : Digas quais das proposições do exemplo acima são verdadeiras.

Teorema: É toda proposição verdadeira do tipo “se isso então aquilo”. Essa forma deescrever um teorema chama-se forma condicional.

Observação: muitos teoremas não são dados nessa forma, mas podem ser reescritos na forma condicional.

Corolário: um corolário de um teorema é um outro teorema que seja consequência direta do primeiro.

Exemplo: Teorema de Pitágoras.

- Se um triângulo é retângulo, então a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. (forma condicional)

- Em um triângulo retângulo a soma a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. (forma não-condicional)

Corolário: No triângulo retângulo de catetos de medidas 3cm e 4cm a hipotenusa mede 5cm.

Observação: O teorema é uma proposição matemática que, para ser aceito como verdade, deverá ser demonstrado.

O teorema compõem-se de duas partes principais: hipótese e tese.

Hipótese: informações conhecidas.Tese: o que se deseja concluir, provar.

Na forma condicional o teorema pode ser escrito como:

“Se [hipótese], então [tese]”.

Exemplo: Dadas duas retas que se interceptam existe exatamente um plano que as contém.

Forma condicional: Se duas retas se interceptam , então existe um único plano que ascontém.

Veja na figura abaixo uma representação geométrica deste teorema:

Exercicios 2

Teorema 1: Uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano que os contém.Forma condicional:Hipótese:

Tese:

Faça um desenho correspondente ao teorema.

Teorema 2: Duas retas paralelas a uma terceira são paralelas entre si.Forma condicional:

Hipótese:

Tese:

Faça um desenho correspondente ao teorema.

Teorema 3: Por um ponto dado fora de uma reta existe uma única reta perpendicular à reta dada.

Forma condicional:

Hipótese:

Tese:

Faça um desenho correspondente ao teorema.

Teorema 4: Em todo triângulo cada lado é sempre menor que a soma dos outros dois

Forma condicional:

Hipótese:

Tese:

Faça um desenho correspondente ao teorema.

Teorema 4: Em todo triângulo um lado é sempre menor que a soma dos outros dois.

Forma condicional:

Hipótese:Tese:Faça um desenho correspondente ao teorema.

Teoremas recíprocos

Dado um teorema “se isso então aquilo”, se o teorema “se aquilo então isso” for verdadeiro, então dizemos que os dois teoremas são recíprocos.

Exemplos:Teorema A: Se um triângulo é isósceles, então os ângulos da base são iguais.Teorema B: Se os ângulos da base de um triângulo são iguais, então o triângulo é

isósceles. Os teoremas A e B são recíprocos.

Observação: Se dois teoremas são recíprocos, então podemos combiná-los em um único teorema na forma bicondicional usando a frase “se, e somente se”.

Forma bicondicional dos teoremas A e B: Um triângulo é isósceles se, e somente se osângulos da base são iguais.

Exercicio 3: Coloque os dois teoremas a seguir na forma bicondicional

Teorema 1: Se duas retas são paralelas então elas são coplanres e não possuem pontos em comum.

Teorema 2: Se duas retas são coplanares e não possuem pontos em comum então elas são paralelas

Forma bicondicional:

Exercício 4: Escreva em dois teoremas na forma condicional o teorema dado na formabicondicional

Teorema: Duas retas são perpendiculares se, e somente se, são concorrentes e formam dois ângulos retos.

Teorema 1:

Teorema 2:

Construções Geométrica

Faça as construções geométricas dos problema 1 a 10 abaixo, usando somente réguasem escala, esquadros 60º e 45º sem escalas e compasso.

Problema 1.

Dado o segmento AB, construa o quadrado ABCD

A _________________________B

Problema 2.

Construir o triângulo ABC sendo dados os três lados:

______________________ ___________ ____________________ a b c

Problema 3.

Dado o ângulo α, e a semirreta OX construir o ângulo XOY = α.

Problema 4.Construir o triângulo ABC dados o lado a e os ângulos B e C:

Problema 5

Divida o segmento AB em duas partes iguais:

A ___________________________________________B

Problema 6Divida o ângulo em dois ângulos iguais

Problema 7Traçar duas retas perpendiculares, onde uma delas contenha o ponto R e outra

contenha os pontos P e Q.

Problema 8Por um ponto P sobre uma reta r traçar uma perpendicular a reta r

Problema 9Construa um quadrado inscrito na circinferência dada abaixo , usando régua e

compasso

Problema 10Construa um triângulo equilátero inscrito na circinferência dada abaixo, usando régua

e compasso

Métodos de demonstração

Método direto: partindo-se das premissas e dos axiomas (postulados) evidencia-se averacidade da proposição por meio de uma sequência direta de interferências (conclusões).

Exemplo: se um número natural é par, então seu quadrado é par.Demonstração: suponhamos que um número N é par, então, por definição N é divisível

por 2 , ou seja, N=2k, onde k é um número natural, logoN²=(2k)²N²=4k²

N²=2.2k²N²=2(2k²)

N²=2h’, onde h’=2k²Portanto, N² é divisível por 2, então N² é par.

Método de indução: método direto aplicável às afirmações envolvendo números naturais que usa basicamente o princípio de indução matemática

Se uma propriedade referente aos números naturais for verdadeira para o número 1 e se da suposição que ela é válida para o número n provarmos que ela é válida para n+1, então ela será válida para todo n.

Passo 1: prova-se que a propriedade vale para n=1Passo 2: supõe-se que vale para nPasso 3: Prova-se que vale para n+1

Exemplo: Demonstre que para a > -1 vale a propriedade.

Demonstração:Passo 1: para n=1

Passo 2: suponha que .Passo 3: Demos mostrar que a propriedade vale para para n+1, ou seja, que é

verdade a desigualdade Como podemos multiplicar ambos os lados da desigualdade por

Portanto

Note que a última desigualdade decorre do fato que . Portanto, de fato vale

Logo, pelo princípio da indução, a desigualdade vale para todo n

Método de redução ao absurdo (ou método da contradição): Supõe-se que a tese é falsa e chega-se a um absurdo ou contradição de hipótese.

Passo 1: deseja-se provar que hipótese tesePasso 2: prova-se que negação da tese negação de hipóteseOu seja:

.

Exemplo: prove que não é racional.

Demonstração: vamos supor que é racional, isto é, = , onde p e q são

primos entre si, ou seja, p e q não têm fatores primos em comum.

= => =>

Logo é par, portanto p é par.

Se p é par, então p=2k.Logo e dai Mas se é par então q é par.

Portanto = , onde p e q são pares, mas isso é um absurdo, pois partimos do

início com p e q primos entre si. Portanto se supormos que é racional chegamos a um absurdo, logo não pode ser racional.

A seguiremos o contido no livro CQD, esta apostila não substitui o livro, apenas direciona o estudo de forma resumida, é sempre aconselhável que o aluno procure o livro e estude por ele.

DEFINIÇÕES INICIAIS

OS POSTULADOS DE EUCLIDES

Os postulados de Euclides

Nocões Comuns

Após definir os postulados Euclides enuncia as "noções comuns", que também sãopostulados (aquilo a que hoje chamamos axiomas), consideradas evidentes, verdadeiras (nãoapenas na geometria), e necessárias para as demonstrações:

Congruência de Triângulos

- Teorema 1: Se dois triângulos têm respectivamente dois lados congruentes e osângulos entre eles congruentes, então os terceiros lados também serão congruentes e osângulos entre eles congruentes, então os terceiros lados também serão congruentes, assimcomo os pares de ãngulos, um em cada triângulo, que se opõe aos pares de ladoscongruentes.

Hipótese: ΔABC , ΔA'B'C' , AB=A’B’, AC=A’C’ e BÂC=B’Â’C’.Tese: ΔABC = ΔA'B'C' .

Demonstração: sejam dois triângulos ΔABC e ΔA'B'C' tais que AB=A’B’, BC=B’C’ e AC=A’ ’C’. Imaginemos que o triângulo A’B’C’ seja colocado sobre o triângulo ABC de modoque os pontos B e B’ coincidam e que a reta que contém A’B’ coincida com a reta que contémAB.

Como AB=A’B’, o ponto A coincidirá com o ponto A’. Como A B C=A’ B ’C’, então a reta que contém B’C’ coincidirá com a reta que contém

BC.Como BC=B’C’, os pontos C e C’ coincidirão.Como A coincidiu com com A’ e C coincidiu com C’, então AC coincide com A’C’.Pela noção comum 4, o triângulo ABC=A’B’C’, pois ΔABC coincidiu com ΔA'B'C' .

Observação: Na demonstração acima usamos o deslocamento de figuras para demonstrar a congruência dos triângulos, mas alguns geômetras não admitem o deslocamento de figuras para efeito de demonstrações. Neste caso o Teorema 1 deve ser enunciado como um axioma.

- Teorema 2: num triângulo isósceles os ângulos que se opõe aos lados congruentessão congruentes.

Exercício:a) escreva este teorema na forma condicional;b) escreva a hipótese e a tese.

Demonstração: seja um triângulo ΔABC tal que AB=AC. Queremos provar que AC=A C B. Seja F um ponto sobre a reta AB tal que B esteja entre A e F. Tomemos um ponto G sobre a reta AC de modo que BF=CG e C esteja entre A e G (postulado 2). Como AB=AC,então AB+BF=AC+CG, portanto AF=AG.

Considere os triângulos ΔAFC e ΔABG . Como AF=AG, AC=AB e o ânguloFÂC=BÂG, então, pelo caso LAL, os triângulos ΔAFC e ΔABG são congruentes, isto é,ΔAFC = ΔABG .

Assim FC=BG, A G B=A F C e A B G=A C F.Considere agora o triângulo BCE e Δ BCG.Sabemos que BF=CG, FC=BG e B F C=C G B, portanto Δ BFC= Δ BCF, pelo caso

LAL.Como Δ BCF= Δ BCG, então se conclui que B C F = C B G. Já havia sido provado

que A B C = A C F.Como A B G=A B C+C B G e o ângulo A C F=A C B+B C F, temos que A B C + C B G

= A C B + B C F.Logo: A B C=A C B.

- Teorema 3: Se em um triângulo dois ângulos são congruentes entre si, então os lados subentendidos pelos ângulos congruentes são congruentes.

Demonstração: seja um triângulo Δ ABC tal que A B C=A C B. Desejamos provar que AB=AC. Suponhamos que, por absurdo, AB≠AC , logo AB>AC ou AC>AB.Logo AB=BD+DA com BD=DC e D está entre A e B.

Considere o DBC. Por construção BD=AC, BC é comum aos triângulos Δ DBC eΔ ABC e D B C= A C B (por hipótese, já que D B C= A C B e A B C=A C D).

Logo Δ DBC e ABC são congruentes, mas isso é absurdo pois BCD é uma partede Δ ABC, pela noção comum 5, uma parte não pode ser maior que o todo (pelademonstração Δ DBC é maior que Δ ABC).

- Teorema 4: Se dois triângulos têm lados respectivamente congruentes e o ângulocom vértices nas extremidades desses lados respectivamente congruentes, então os doistriângulos são congruentes.

Hipótese: Δ ABC e Δ DEF com BC=EF, A B C=D E F e A C B=D F ETese: ΔABC∼ΔDEF .

Demonstração: Vamos supor que Δ ABC e Δ DEF não são congruentes, logonecessariamente devemos ter AB≠DE (se AB=DE, pelo teorema 1 teríamos Δ ABC = ΔDEF). Logo AB>DE ou DE>AB. Vamos supor que AB>DE.

Logo existe um ponto D’ entre A e B tal que DE=D’B.

Δ D’BC= Δ DEFD’B=DE BC=EFD’ B C=D E F

Chegamos ao absurdo, pois Δ E C D’= E F D e isso é a parte não pode ser igual aotodo.

Supomos que os triângulos não são congruentes e chegamos no absurdo, então ABC = DEF.

Definição: um ângulo que é congruente com seu suplementar é chamado de ângulo reto e os lados de um ângulo reto são chamados de segmentos (ou retas) perpendiculares.

Notação:

AV VB e AV VC

Geometricamente

- Teorema 5: Se por um ponto sobre uma reta for traçada uma semirreta, os ângulosassim formados ou são ambos retos ou sua soma é igual à dois ângulos retos.

Hipótese: dada uma reta r, um ponto P pertencente a r e uma semirreta s com origem em P que forma os ângulos α e β .

Tese: β+α=2R ( β+α = dois ângulos retos) ou β=α=R .

Demonstração: temos duas possibilidades para os ângulos retos, já que α e β sãosuplementares.

Se β≠α , então β>α ou β<α .Vamos supor β>α (para o outro caso o raciocínio é análogo).Tracemos pelo ponto P a semirreta t perpendicular a r:

Esta perpendicular formará com r dois ângulos retos γ e δ , de modo que γ+δ=2R .Mas δ=θ+α , logo γ+θ+α=2R .Mas β=γ+θ , portanto β+α=2R .

cqd

- Teorema 11: Em todo triângulo qualquer lado é menor do que a soma dos outros

lados.

- Teorema 15: Se dois triângulos t m dois lados respectivamente congruentes e se os ẽângulos entre esses lados forem diferentes, então o lado que se opões ao maior dos dois ângulos é maior do que o lado que se opõe ao menor dos dois ângulos.

Se AC=DF e AB=DE, e se <CAB > <FDE então CB > FE

- Teorema 17: Se dois triângulos têm os três lados respectivamente congruentes, eles são congruentes.

Exercício: Demonstre o teorema 17.

Postulados do plano

Postulado 6: se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então todos os pontos da reta pertencem a tal plano.

Postulado 7: três pontos não em linha reta determinam um plano (ou por três pontos não em linha reta passa um e um só plano).

Postulado 8: se as extremidades de um segmento de reta situam-se em semiespaçosopostos em relação a um plano origem, então esse segmento cruza tal plano. Se elas situam-se no mesmo semiespaço o segmento não cruza a origem.

- Teorema 120: Uma reta e um ponto não pertencente a ela determinam um únicoplano que os contém.

Exercício: escreva o teorema 120 na forma condicional.

Demonstração:Três pontos A, B e C não são colineares, pelo postulado 7 existe um único plano α

que contém os três pontos. Como os pontos B e C da reta pertencem ao plano, então a reta restá toda contida em α (postulado 6). Suponhamos que exista um plano β diferente de αque contém r e o ponto A. Se β contém r e A, então também contém A,B e C, mas A,B e C

determinam um único plano α , absurdo, pois somente o plano contém estes pontos.Logo α é único.

- Teorema 127: Duas retas que se cruzam determinam um único plano que ascontém.

Exercício: Demonstre o teorema 127.

Exercício: Demonstre que duas retas paralelas determinam um único plano que ascontém.

Definição: Duas retas r e s são reversas se não existe um plano que as contenham.

Exercício: sejam A,B,C,D,E,F,G e H vértices de um cubo conforme a figura abaixo, detal forma que cada quatro vértices pertença a um único plano. Nestas condições mostre queas retas e são reversas.

- Teorema 130: Se duas retas de um plano cruzam-se em um ponto e se, por esse ponto uma terceira reta for perpendicular a ambas, essa reta será perpendicular a qualquer reta do plano que passe pelo cruzamento das duas retas.

Posições relativas de retas e planos

1. Reta e retaRetas coplanares - concorrentes/paralelasRetas reversas

2. Reta e planoReta paralela ao planoReta perpendicular ao planoReta oblíqua ao plano

3. Plano e planoPlanos paralelosPlanos concorrentes

Definição: o pé da perpendicular baixada por um ponto P a um plano é chamada de projeção do ponto P no plano.

Definição: denomina-se distância entre ponto e plano o segmento de reta que une o ponto a sua projeção no plano.

Definição: a distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto de um plano e o outro plano.

Definição: a reta que contém as projeções dos pontos de uma reta sobre um plano é chamada de projeção da reta sobre o plano.

Definição: o ângulo entre uma reta oblíqua e um plano é o ângulo agudo entre tal retae sua projeção sobre o plano.

Definição: denomina-se ângulo entre duas retas reversas os ângulos retos ou agudos formados quando se traça, por um ponto de uma, a paralela à outra.

- Teorema: Dado um ponto P no espaço e um plano α existe uma reta r perpendicular ao plano passando por P.

Definição: dois planos são paralelos quando não possuem pontos em comum.