Geometria Plana 2013 - Aulas Particulares Para Todas …€¦ · Página 1 de 19 Geometria Plana 2013 1. (Fuvest 2013) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de

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Geometria Plana 2013

1. (Fuvest 2013) São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3,6) e a

circunferência C de equação 22

x 1 y 2 1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em

um ponto Q. Então a distância de P a Q é

a) 15

b) 17

c) 18

d) 19

e) 20 2. (Unifesp 2013) Considere o sistema de inequações

2 2

22

x y 2x 0

3 1x 1 y

2 4

a) Represente graficamente, em sistema cartesiano de eixos ortogonais, a solução desse

sistema de inequações. b) Calcule a área da superfície que representa a solução gráfica do sistema de inequações. 3. (Enem PPL 2013) O símbolo internacional de acesso, mostrado na figura, anuncia local

acessível para o portador de necessidades especiais. Na concepção desse símbolo, foram empregados elementos gráficos geométricos elementares.

Os elementos geométricos que constituem os contornos das partes claras da figura são a) retas e círculos. b) retas e circunferências. c) arcos de circunferências e retas. d) coroas circulares e segmentos de retas. e) arcos de circunferências e segmentos de retas.


4. (Enem 2013) Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras

mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O.

A imagem que representa a nova figura é:

a)

b)

c)

d)

e)


5. (Fuvest 2013) Um teleférico transporta turistas entre os picos A e B de dois morros. A altitude do pico A é de 500 m, a altitude do pico B é de 800 m e a distância entre as retas verticais que passam por A e B é de 900 m. Na figura, T representa o teleférico em um

momento de sua ascensão e x e y representam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e vertical do teleférico, em metros, até este momento.

a) Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando o seu deslocamento vertical é igual a

20 m? b) Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1,5 m/s, quanto tempo o teleférico

gasta para ir do pico A ao pico B? 6. (Enem 2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6m e 4m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? a) 1m

b) 2 m

c) 2,4 m

d) 3 m

e) 2 6 m


7. (Unesp 2013) Uma semicircunferência de centro O e raio r está inscrita em um setor

circular de centro C e raio R, conforme a figura.

O ponto D é de tangência de BC com a semicircunferência. Se AB s, demonstre que

R s R r r s.

8. (Unicamp 2013) Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no ponto P reflete internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere que o comprimento do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ?

a) 12 cm. b) 15 cm. c) 16 cm. d) 18 cm. 9. (Unesp 2013) A figura, fora de escala, representa o terreno plano onde foi construída uma

casa.

Sabe-se do quadrilátero ABEF que:

• Seus ângulos ˆABE e ˆAFE são retos.

• AF mede 9 m e BE mede 13 m.

• o lado EF é 2 m maior que o lado AB .

Nessas condições, quais são as medidas, em metros, dos lados AB e EF?


10. (Unesp 2013) Um aluno precisa localizar o centro de uma moeda circular e, para tanto,

dispõe apenas de um lápis, de uma folha de papel, de uma régua não graduada, de um compasso e da moeda.

Nessas condições, o número mínimo de pontos distintos necessários de serem marcados na circunferência descrita pela moeda para localizar seu centro é a) 3. b) 2. c) 4. d) 1. e) 5. 11. (Enem PPL 2013) O proprietário de um terreno retangular medindo 10 m por 31,5 m deseja

instalar lâmpadas nos pontos C e D, conforme ilustrado na figura:

Cada lâmpada ilumina uma região circular de 5 m de raio. Os segmentos AC e BD medem 2,5 m. O valor em m

2 mais aproximado da área do terreno iluminada pelas lâmpadas é

(Aproxime 3 para 1,7 e π para 3.) a) 30. b) 34. c) 50. d) 61. e) 69.


12. (Enem PPL 2013) Em uma casa, há um espaço retangular medindo 4 m por 6 m, onde se

pretende colocar um piso de cerâmica resistente e de bom preço. Em uma loja especializada, há cinco possibilidades de pisos que atendem às especificações desejadas, apresentadas no quadro:

Tipo do piso Forma Preço do piso

(em reais)

I Quadrado de lado

medindo 20 cm 15,00

II Retângulo medindo 30 cm

por 20 cm 20,00

III Quadrado de lado

medindo 25 cm 25,00

IV Retângulo medindo 16 cm

por 25 cm 20,00

V Quadrado de lado

medindo 40 cm 60,00

Levando-se em consideração que não há perda de material, dentre os pisos apresentados, aquele que implicará o menor custo para a colocação no referido espaço é o piso a) I. b) II. c) III. d) IV. e) V. 13. (Enem 2013) Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual

a y centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada a área máxima S que pode ser coberta pelas N placas. Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse alterada. A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a:

a) N

9

b) N

6

c) N

3

d) 3N e) 9N 14. (Enem 2013) A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça.

Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012. Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%. Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em a) 4%. b) 20%. c) 36%. d) 64%. e) 96%.


15. (Unicamp 2013) O segmento AB é o diâmetro de um semicírculo e a base de um triângulo

isósceles ABC, conforme a figura abaixo.

Denotando as áreas das regiões semicircular e triangular, respectivamente, por S φ e T ,φ

podemos afirmar que a razão S T ,φ φ quando 2φ π radianos, é

a) 2.π

b) 2 .π c) .π d) 4.π

16. (Fuvest 2013) O mapa de uma região utiliza a escala de 1: 200 000. A porção desse

mapa, contendo uma Área de Preservação Permanente (APP), está representada na figura, na

qual AF e DF são segmentos de reta, o ponto G está no segmento AF, o ponto E está no

segmento DF, ABEG é um retângulo e BCDE é um trapézio. Se AF 15, AG 12, AB 6,

CD 3 e DF 5 5 indicam valores em centímetros no mapa real, então a área da APP é

a) 100 km

2

b) 108 km2

c) 210 km2

d) 240 km2

e) 444 km2


17. (Fuvest 2013)

Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por

A’, B’, C’ e D’, de modo que os novos segmentos sejam, então, AA’, BB’, CC’ e DD’. Dado

que AB 4 e que a distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do a) paralelogramo ABCD; b) triângulo BB’C’; c) quadrilátero A’B’C’D’. 18. (Unicamp 2013) Os lados do triângulo ABC da figura abaixo têm as seguintes medidas:

20, 15 e 10. AB BC AC

a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que 3BD e traça-se o segmento DE paralelo ao

lado AC. Ache a razão entre a altura H do triângulo ABC relativa ao lado AC e a altura h do triângulo EBD relativa ao lado ED, sem explicitar os valores de h e H.

b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo ABC em relação ao lado AC.


19. (Enem 2013) Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são

soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa distância é garantida por um espaçador de metal,

conforme a figura: Utilize 1,7 como aproximação para 3.

O valor de R, em centímetros, é igual a a) 64,0. b) 65,5. c) 74,0. d) 81,0. e) 91,0. 20. (Enem 2013) Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com base quadradas.

Todos os copos desse restaurante têm o formato representado na figura:

Considere que 7

AC BD5

e que é a medida de um dos lados da base da bandeja.

Qual deve ser o menor valor da razão BD

para que uma bandeja tenha capacidade de portar

exatamente quatro copos de uma só vez? a) 2

b) 14

5

c) 4

d) 24

5

e) 28

5


Gabarito: Resposta da questão 1: [D]

A circunferência C tem centro no ponto A(1, 2) e raio igual a 1. Logo, de acordo com as

informações, considere a figura abaixo.

Como PQ PQ' e AQ AQ' 1, vem

2 2 2PA (3 1) (6 2) 20

e, portanto,

2 2 2 2PQ PA AQ PQ 20 1

PQ 19 u.c.

Resposta da questão 2:

a) Reescrevendo o sistema, obtemos

2 2 2 2 2

2 2 22 2

x y 2x 0 (x 1) (y 0) 1

,3 1 3 1(x 1) y (x 1) y

2 4 2 2

ou seja, a solução do sistema é a região do plano limitada pelas circunferências de centros

em (1,0) e 3

1, ,2

com raios respectivamente iguais a 1 e 1

.2


b) Considere a figura.

A área pedida corresponde à área do semicírculo de centro O e raio igual a 1

,2

subtraída da

área do segmento circular OBDC, ou seja,

2 21 1 3sen

2 2 2 3 3 8 6 4

6 3u.a.

24

π π π π π

π


[E] É fácil ver que os elementos geométricos que constituem os contornos das partes claras da figura são arcos de circunferências e segmentos de retas. Resposta da questão 4: [E]

Como o simétrico de um ponto P do plano, em relação ao ponto O, é o ponto P' tal que

PO P'O e P' pertence à reta PO, segue-se que a alternativa correta é a alternativa [E].



a) x 20

ATD ~ ABC : x 60 m.900 300

Δ Δ

b) 2 2

AB 300 900 300 10

Sendo t o tempo para o televérico ir de A até B, temos:

300 10 1,5.t t 200 10.

Resposta da questão 6: [C]

É fácil ver que os triângulos AEC e BED são semelhantes. Logo,

AF AC AF 4

6BF BD BF

AF BF 2 3

2AF

AF 2.

5AF BF

Além disso, como os triângulos AEF e ABD também são semelhantes, vem

AF EF AF EF

6AB BD AF BF

EF 2

6 5

EF 2,4 m.



Considere a figura.

Os triângulos retângulos ODC e BAC são semelhantes. Logo,

OC OD R r r

R sBC BA

R s r s R r

R s R r r s.

c.q.d. Resposta da questão 8: [B]

o

o

22 2

2 2 2

HPQ FQP(L.A.A ) HP FQ K e PF HQ

3BHG AFG(L.A.A ) AG BG e HG = GF

2

36 K2AGF~ QPF K 4

3 K

3 5No GBH : GH 2 GH

2 2

No HPQ: HQ 4 3 HQ 5

Δ Δ

Δ Δ

Δ Δ

Δ

Δ

Logo, a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto PFGHQ é PF + FG + GH + HQ = 5 + 5/2 + 5/2 + 5 = 15 cm.



Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos AFE e ABE, obtemos

2 2 2AE 9 (AB 2)

e 2 2 2AE AB 13 .

Logo,

2 281 AB 4 AB 4 AB 169 AB 21m.

Portanto, AB 21m e EF 23 m.

Resposta da questão 10: [A] Marcando três pontos na circunferência, determinamos os vértices de um triângulo inscrito na mesma. O centro da moeda é o circuncentro do triângulo obtido. Resposta da questão 11:

[D] Considere a figura.

Do triângulo ACF, vem

AC 2,5cosACF cosACF

5CF

ACF 60 .

Logo, ECF 180 ACF 120 .

Portanto, como os triângulos ACF e BDG são congruentes, bem como os setores ECF e

BGH, segue-se que a área pedida é dada por

2 2

2

1 1 1 5 3 12 AC CF senACF CF 2 5 5

2 3 2 2 2 3

25 12 1,7 3 25

8 3

61m .

π π



[B]

A área do espaço é igual a 2 24 6 24 m 240.000cm .

Cada quadrado do tipo I tem área igual a 2 220 400cm . Logo, o custo do piso I é

24000015 R$ 9.000,00.

400

Cada retângulo do tipo II tem área igual a 230 20 600cm . Assim, o custo do piso II é

24000020 R$ 8.000,00.

600

Cada quadrado do tipo III tem área igual a 2 225 625cm . Desse modo, o custo do piso III é

24000025 R$ 9.600,00.

625

Cada retângulo do tipo IV tem área igual a 216 25 400cm . Desse modo, o custo do piso IV é

24000020 R$ 12.000,00.

400

Cada quadrado do tipo V tem área igual a 2 240 1.600cm . Então, o custo do piso V é

24000060 R$ 9.000,00.

1600

Por conseguinte, o piso que implicará o menor custo para a colocação no referido espaço é o piso II. Resposta da questão 13: [A]

Seja S' a área coberta pelas placas de uma caixa nova. Como 2S N y , 2S' X 9y e

S' S, temos

2 2 NX 9y N y X .

9


[C]

Sendo de 20% a redução nas medidas dos lados, tem-se que a redução na área é dada por

21 0,8 1 0,64 0,36 36%.



[A]

Sejam 2 90 ,φ π R o raio do semicírculo e x o lado do triângulo isósceles.

22 2 2 2

22 2

22 2

x x 2R x 2.R

1R

S( ) R R21T( ) x 2Rx x2

ππ

φ π π

φ


[E] Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de D sobre BE.

Sabendo que AF 15cm, AG 12cm e AB EG 6cm, pelo Teorema de Pitágoras, vem

2 2 2 2 2 2

2 2

EF GF EG EF 3 6

EF 3 5

EF 3 5 cm.

Logo, dado que DF 5 5 cm, obtemos ED 5 5 3 5 2 5 cm.

Assim, como os triângulos FGE e EHD são semelhantes, encontramos

DH DE DH 2 5

6EG EF 3 5

DH 4cm.


Desse modo, a área pedida, em 2cm , é dada por

(15 12) (12 3)(ABEF) (BCDE) 6 4

2 2

81 30

111.

Por conseguinte, se x é a área real da APP, então

21010 10

2

111 10 1x 111 10 4 10

x 200000

x 444km .


a) A = 4 3 = 12.

b) No triângulo ADE, 3

sen .x

θ

Logo, a área do triângulo BB’C será dada por: 1 1 3

A 2x 4 sen 2x 4 12.2 2 x

θ

c) Considerando que 3

sen sen(180 ) .x

θ θ

S(A’B’C’D’) = S(A’DD’) + S(AA’B’) + S(BB’C’) + S(C’C’D’) + S(ABCD)

S(A’B’C’D’) = 1 1 1 1

.2x.4.sen( ) .2.4x.sen(180 ) .2x.4.sen( ) .2.4x.sen(180 ) 122 2 2 2

θ θ θ θ

S(A’B’C’D’) = 12 + 12 + 12 + 12 + 12

S(A’B’C’D’) = 60



a) Como o segmento DE é paralelo ao segmento AD, podemos utilizar o teorema de Tales:

H 155.

h 3

b) H é a altura relativa ao lado AC.

Calculando a área do triângulo ABC pela fórmula de Herão, temos:

p = (10 + 15 + 20)/2 = 45/2

2 2

45 45 45 45A . 20 . 15 . 10

2 2 2 2

45 5 15 25A

2 2 2 2

3 .5.5.3.5.5A

4

3.5.5. 15A

4

AC.H 75 15

2 4

10.H 75 15

2 4

15 15H

4

=



[C]

Considere a figura, em que O é o centro do triângulo equilátero ABC de lado 60cm, M é o

ponto médio do lado BC e D é a interseção da reta OC com o círculo de raio 30cm e centro

em C.

Desse modo, como OC é o raio do círculo circunscrito ao triângulo ABC, segue-se que

60 3OC 34cm.

3

Portanto,

R OC CD DE

34 30 10

74cm.


[D]

Considere a figura, em que BD x e AC y.

Para que a bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez, deve-se ter

2472 (x y) 2 x.x x

55

Portanto, o resultado pedido é dado por

24x

245 .x 5BD

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