Geometria Plana

Prof. Luiz Gonzaga Alves da Cunha 5

ENSINO FUNDAMENTAL , MÉDIO E TÉCNICO

Av. Tancredo Neves, 3500 – Bairro Universitário – Cep.: 35.170-056 – Coronel Fabriciano – MG Tel.: (031) 3846-5755– Fax.: (031) 3846-5783 - e-mail:

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Mantenedora: União Brasiliense de Educação e Cultura – UBEC

ÍNDICE

(GEOMETRIA PLANA)

CAPÍTULO 01- Elementos Primitivos Pag. 06

CAPÍTULO 02- Triângulos Pag. 14

CAPÍTULO 03- Quadriláteros Pag. 22

CAPÍTULO 04- Polígonos Regulares Pag. 28

CAPÍTULO 05- Ângulos Relacionados a Arcos Pag. 32

CAPÍTULO 06- Relações Métricas na Circunferência Pa g. 39

CAPÍTULO 07- Teorema de Tales Pag. 42

CAPÍTULO 08- Semelhança de Triângulos Pag. 44

CAPÍTULO 09- Relações Métricas no Triângulo Retâng ulo Pag. 51

CAPÍTULO 10- Àreas de Figuras Planas Pag. 54

CAPÍTULO 11- Àreas de Figuras Circulares Pag. 64

CAPÍTULO 12- Questões de Vestibulares Pag. 70

GABARITO DAS QUESTÕES Pag. 84




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Capítulo 1 Elementos Primitivos

1) DEFINIÇÕES DE ELEMENTOS BÁSICOS DA GEOMETRIA

1.1) PONTO: É a menor unidade de medida da Geometria. Não existe nada menor do

que o ponto na Geometria Plana. 1.2) RETA: É formado por infinitos pontos colineares ( isto é, em uma mesma linha).

Uma reta não possui origem e destino, portanto é um ente geométrico infinito. 1.3) PLANO: É formado por infinitas retas e consequentemente é também formado por

infinitos pontos.

1.4) SEMI–RETA: É uma reta que possui um ponto de origem mas não possuí um ponto de destino.

1.5) SEGMENTO DE RETA: É uma reta que possui um ponto de origem e outro ponto de destino.

P

Ponto P

r

Reta r α

Plano α

• A

ABretasemi−

• A

• B ABsegmento

•




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2) ÂNGULOS

2.1) REGIÃO CONVEXA : Uma região é convexa se, se somente se, o segmento determinado por dois pontos quaisquer dessa região estiver contido nela.

2.2) REGIÃO CÔNCAVA: Uma região é côncava se, e somente se, existir algum segmento de reta cujas extremidades pertence a ela, mas não esteja contido nela.

2.3) ÂNGULOS A união de duas semi-retas distintas não opostas de mesma origem chamamos

ângulo. Considere as semi-retas PA e PB não colineares da figura. O conjunto união

dessas duas semi-retas é chamado ângulo. As semi-retas PA e PB são chamadas lados desse ângulo. O ponto P é chamado vértice desse ângulo.




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2.3.1) EXTERIOR E INTERIOR DE UM ÂNGULO Dois semi-planos abertos (semi-plano menos a reta que é a origem) determinados pelas retas que contém os lados do ângulo, considere aqueles que não contém pontos do ângulo. O conjunto união desses dois semi-planos é chamado exterior do ângulo . O conjunto complementar, em relação ao plano do ângulo, da união desse ângulo com seu exterior é chamado interior do ângulo. 2.3.2) SEMI-RETA INTERNA A UM ÂNGULO Uma semi-reta é interna a um ângulo quando tem origem no vértice do ângulo e pontos internos do ângulo pertencem a ele

2.3.3) ÂNGULOS CONSECUTIVOS Dois ângulos são consecutivos quando têm o mesmo vértice e têm um lado em comum.

BPA ˆ e CPBˆ são consecutivos (têm o lado PB comum). Note que neste caso eles têm apenas os pontos de um lado comum. TDR ˆ e SDRˆ são consecutivos (têm o lado RD comum). Note que neste caso eles têm também pontos internos em comum.




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2.3.4) ÂNGULOS ADJACENTES Dois ângulos são chamados adjacentes se são consecutivos e não têm pontos internos em comum. BPA ˆ e CPBˆ são adjacentes. BPA ˆ e CPAˆ são consecutivos e não são adjacentes.

2.3.5) ÂNGULOS CONGRUENTES Dois ângulos são congruentes se, e somente se, têm a mesma medida.

2.3.6) BISSETRIZ DE UM ÂNGULO É uma semi-reta interna a esse ângulo que o divide em duas partes iguais.




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2.3.7) ÂNGULO RETO É o ângulo que tem a sua medida valendo 90o e sua representação é dada por duas semi-retas perpendiculares. 2.3.8) ÂNGULO AGUDO E OBTUSO Se um ângulo não nulo for menor que um ângulo reto, ele é chamado ângulo agudo e se um ângulo não raso (180o ) for maior que um ângulo reto ele é chamado ângulo obtuso. 2.3.9) ÂNGULOS COMPLEMENTARES, SUPLEMENTARES E REPLEMENTAR ES Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas for 90º. Cada um deles é chamado complemento do outro. Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas for 180º. Cada um deles é chamado suplemento do outro. Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas for 360º. Cada um deles é chamado replemento do outro.




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2.3.10) ÂNGULOS NULO, COMPLETO, RASO E RETO Ângulo nulo é aquele que tem medida igual a 0º. Ângulo completo é aquele que tem medida igual a 360º. Ângulo raso é aquele que tem medida igual a 180o . Ângulo reto é aquele que tem medida igual a 90o . 2.3.11) ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE É um par de ângulos formados por duas retas concorrentes e por sua vez , possuem a mesma medida.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Q1. Sejam AB e BC segmentos adjacentes e sejam M e N pontos médios de AB e AC, respectivamente. Se AB = 4 cm e BC = 10 cm, a medida de MN, em centímetros, é:

a) 2 b) 5 c) 7 d) 9 e) 14 Q2. Sejam A, M, B e N pontos colineares nesta ordem. Sabendo que AB = 12 e que

3==NB

NA

MB

MA, a medida de MN é:

a) 6 b) 8 c) 9 d) 15 e) 18 Q3. Seja O o ponto médio de um segmento AB e seja M um ponto qualquer situado em um dos prolongamentos de segmento AB. Assinale a alternativa VERDADEIRA.

a) )(2

1MBMAOM += c) )(

4

1MBMAOM += e) )(

4

3MBMAOM +=

b) )(3

1MBMAOM += d) )(

3

2MBMAOM +=




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Q4. As bissetrizes de dois ângulos consecutivos formam um ângulo de 60o . Se um dos ângulos mede 36o, a medida do outro é: a) 72o b) 84o c) 86o d) 94o e) 100o Q5. O suplemento de um ângulo excede o próprio ângulo em 50o . o complemento desse ângulo mede em graus: a) 65 b) 50 c) 45 d) 35 e) 25 Q6. A diferença entre o complemento de um ângulo e a nona parte de seu suplemento é de 6o . A medida desse ângulo, em graus, é: a) 36 b) 45 c) 67 d) 72 e) 80 Q7. (UFMG) Na figura, ECAEEDBE ⊥⊥ , e =DEA ˆ 144o . O ângulo CEBˆ , em graus, mede; a) 30o b) 32o c) 34o d) 36o e) 54o




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Q8. Classifique em verdadeira ou falsa as seguintes sentenças. a) ( ) Dois ângulos consecutivos são adjacentes. b) ( ) Dois ângulos adjacentes são consecutivos. c) ( ) Dois ângulos adjacentes são opostos pelo vértice. d) ( ) Dois ângulos opostos pelo vértice são adjacentes. e) ( ) Dois ângulos opostos pelo vértice são consecutivos f) ( ) Dois ângulos suplementares são adjacentes. g) ( ) Dois ângulos complementares são adjacentes h) ( ) Dois ângulos adjacentes são complementares i) ( ) Os ângulos de medida 10o, 20o e 60o são complementares j) ( ) Os ângulos de medidas 30o, 60o, 90o são suplementares Q9. O suplemento de um ângulo excede este ângulo em 120o . Determine este ângulo. Q10. O complemento da terça parte de um ângulo excede o complemento desse ângulo em 30o . Determine esse ângulo. Q11. O suplemento do triplo do complemento da metade de um ângulo é igual ao triplo do complemento desse ângulo. Determine esse ângulo. Q12. O suplemento do complemento de um ângulo excede a terça parte do complemento do dobro desse ângulo em 85o . Determine esse ângulo. Q13. Dois ângulos são suplementares e a razão entre o complemento de um e o suplemento do outro, nesta ordem, é 1/8 . Determine esses ângulos.




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Capítulo 2

Triângulos 1) DEFINIÇÃO

Dados três pontos A, B e C não de uma mesma reta ( não alinhados ou não colineares ) a união dos segmentos BCeACAB, chamamos triângulo ABC e indicamos por ABC∆ .

2) ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO

VÉRTICES : são os pontos A, B e C LADOS: são os segmentos BCeACAB, ÂNGULOS INTERNOS: são os ângulos BCAeCBACAB ˆˆ,ˆ ÂNGULOS EXTERNOS: Os ângulos adjacentes suplementares dos ângulos internos de um triângulo. γβα e, são ângulos externos do triângulo Perímetro : é a soma das medidas dos lados. 2p = a+ b+ c ( perímetro )




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3) CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS

3.1) QUANTO AOS LADOS Triângulo Equilátero: Possui todos os lados congruentes. Triângulo Isósceles: Possui dois lados congruentes. Triângulo Escaleno: Possui todos os lados diferentes. 3.2) QUANTO AOS ÂNGULOS Triângulo Acutângulo: Todos os seus ângulos são agudos. Triângulo Retângulo: Um de seus ângulos é reto. Triângulo Obtusângulo: um de seus ângulos é obtuso.

4) MEDIANA, BISSETRIZ, ALTURA E MEDIATRIZ

4.1) Mediana : É o segmento cujas extremidades são um vértice e o ponto médio do lado oposto a esse vértice. � AM é a mediana relativa ao lado BC ou mediana relativa ao vértice A. � As três medianas de um triângulo concorrem num mesmo ponto G que é chamado

baricentro do triângulo. � Propriedade do BARICENTRO:

“O baricentro divide cada mediana na proporção 2 : 1” 4.2) Bissetriz: É o segmento contido na bissetriz de um ângulo interno do triângulo, cujas extremidades são um vértice e o ponto de intercecção da bissetriz com o lado oposto.




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� AS é a bissetriz relativa ao lado BCou bissetriz relativa ao vértice A. � As três bissetrizes de um triângulo concorrem num mesmo ponto O que é chamado

incentro do triângulo. � Propriedade do INCENTRO:

“O incentro é o centro de uma circunferência inscri ta no triângulo” 4.3) Altura : É o segmento contido numa reta perpendicular, por um vértice, à reta que contém o lado posto a esse vértice, cujas extremidades são esse vértice e o ponto de intersecção dessas retas. � AH é a altura relativa ao lado BCou altura relativa ao vértice A. � As três alturas de um triângulo concorrem num mesmo ponto P que é chamado

ortocentro do triângulo. � Propriedade do ORTOCENTRO:

“O ortocentro é o vértice do ângulo reto no triângu lo retângulo” 4.4) Mediatriz: É a reta perpendicular a cada um de seus lados pelo seu ponto médio. � As três mediatrizes de um triângulo concorrem num mesmo ponto P que é chamado

circuncentro do triângulo. � Propriedade do CIRCUNCENTRO:

“O circuncentro é o centro de uma circunferência ci rcunscrita ao triângulo”




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5) SOMA DOS ÂNGULOS DO TRIÂNGULO.

5.1) SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS “A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180o”. Conseqüência: Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares. 5.2) SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS “ A soma dos ângulos externos de um triângulo, é igual a soma dos dois ângulos internos opostos.

OBSERVAÇÕES: � Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes. � Em um triângulo equilátero os seus ângulos são congruentes e iguais a 60o .

Ângulos de Duas Paralelas Cortadas por uma Transve rsal

ALTERNOS INTERNOS: (a e f) e ( d e e) � esses pares de ângulos são congruentes.

ALTERNOS EXTERNOS: (b e g) e ( c e h) � esses pares de ângulos são congruentes.

COLATERAIS INTERNOS: (a e e) e ( d e f) � esses pares de ângulos são suplementares.

COLATERAIS EXTERNOS: (b e h) e (c e g) � esses pares de ângulos são suplementares.

CORRESPONDENTES: (b e e) , (d e g) , (a e h) e (c e f) � esses pares de ângulos são congruentes.

Dadas duas retas r e s paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos determinados por

elas são assim determinados:




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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Q1. Observe a figura. Nela, as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo x, em graus é: a) 110o b) 120o c) 130o d) 140o e) 150o Q2. (Cesgranrio) Na figura, as retas r e r’ são paralelas, e a reta s é perpendicular à reta t. a medida, em graus, do ângulo α é: a) 36o b) 32o c) 24o d) 20o e) 18o Q3. (UFGO) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é: a) 20o b) 80o c) 100o d) 120o e) 130o Q4. O ângulo B, no vértice de um triângulo isósceles ABC, é metade do ângulo A. A medida do ângulo C, em graus, é: a) 30o b) 36o c) 45o d) 60o e) 72o




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Q5. (UFMG) Na figura, BD é bissetriz de CBAˆ , BCE ˆ = 2 )ˆ( BAE e a medida do ângulo BCE ˆ é

80o . A medida do ângulo BDC ˆ é: a) 40o b) 50o c) 55o d) 60o e) 65o Q6. (UFMG) Na figura, AC = CB = BD = e Â = 25o . O ângulo x mede: a) 50o b) 60o c) 70o d) 75o e) 80o Q7. (UFMG) Observe a figura. Nessa Figura, AD = DB, =C 60o e DÂC é o dobro de B . A razão AC/BC é igual a: a) 1/3 b) 1/2 c) 33

d) 22 d) 3/2 Q8. Em um triângulo retângulo, um ângulo agudo mede 20o . O ângulo formado pela bissetriz do ângulo reto com a mediana relativa à hipotenusa mede, em graus: a) 22o30’ b) 25o c) 20o d) 30o e) 40o

Q9. (UFMG) Num triângulo ABC, o ângulo interno C mede 6π radianos. Se a bissetriz

interna do ângulo A corta o lado BC no ponto D tal que AD = DC, então o ângulo interno b mede: a) π /2 c) π /6 e) n.d.a b) π /3 d) π /4

A

B D C




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Q10. Num triângulo retângulo, as bissetrizes dos ângulos agudos se interceptam formando um ângulo obtuso de: a) 100o b) 120o c) 130o d) 135o e) 150o Q11. (UFMG) Num triângulo ABC, o ângulo Â mede π /7 radianos. A medida do ângulo agudo formado pelas bissetrizes internas dos ângulos CeB ˆˆ , em radianos é: a) π /7 b) 2π /7 c) 3π /7 d) 4π /7 e) 5π /7 Q12. (UFMG) Num triângulo ABC, tem-se : AB = AC e Â = 124o 22’ 50”. O ângulo B mede: a) 27o 18’ 5” b) 27o 47’ 35” c) 27o 48’ 5” d) 27o 48’ 25” e) 27o 48’ 35” Q13. Observe a figura. Nela os triângulos são formados com os prolongamentos dos lados do heptágono, não regular, ABCDEFG. A soma A1+A2+ ... + A14, em graus mede: a) 180o b) 240o c) 360o d) 540o Q14. Observe a figura. Nela AB = AC e AD = DE = EF = FB = BC. A medida do ângulo Â, em graus é: a) 20º b) 30o c) 36o d) 45o e) 60o




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Q15. Num triângulo ABC, escaleno, AB = 3m, BC = 5m e o perímetro, em metros, é um número inteiro. A soma dos possíveis valores do lado AC é: a) 35 b) 27 c) 25 d) 17 e) 15 Q16. Um Triângulo escaleno ABC tem os lados AB=6, AC=10 e o lado BC é medido por um número inteiro. Sendo Â o maior ângulo do triângulo. A diferença entre a maior e a menor medida do lado BC é: a) 4 b) 5 c) 8 d) 9 e) 10




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Capítulo 3

Quadriláteros 2) DEFINIÇÃO

Considere quatro pontos A, B, C e D coplanares distintos, três a três não colineares (não alinhados), de modo que os segmentos ADeCDBCAB ,, interceptam-se apenas nas extremidades, a reunião desses quatro segmentos é um quadrilátero. 1.1) PROPRIEDADES DE UM QUADRILÁTERO

� “A soma dos ângulos internos de um quadrilátero convexo é igual a 360o “ � “A soma dos ângulos externos de um quadrilátero convexo é igual a 360o

1.2) TRAPÉZIO

Um quadrilátero é um trapézio se, e somente se, tem dois lados paralelos. Os lados paralelos são chamados de bases.

1.2.1) CLASSIFICAÇÃO DO TRAPÉZIO � TRAPÉZIO ISÓSCELES: é o trapézio cujos lados que não são bases são

congruentes. � TRAPÉZIO ESCALENO: É o trapézio cujos lados que não são bases, não são

congruentes � TRAPÉZIO RETÂNGULO: É o trapézio que tem um lado não base perpendicular

às bases e o outro oblíquo às bases.




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1.3) PARALELOGRAMO

Um quadrilátero que possui os lados opostos respectivamente paralelos.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Q1. No paralelogramo ABCD da figura, CBAˆ é o dobro de DMA ˆ e AM = MB. Se o perímetro de ABCD é 24 cm, então o lado BC, em centímetros, é: a) 4 cm b) 5 cm c) 6 cm d) 8 cm e) 9 cm Q2. (UNESP) Considere as seguintes proposições: � todo quadrado é um losango � todo retângulo é um paralelogramo � todo quadrado é um retângulo � todo triângulo equilátero é isósceles Pode-se afirmar que: a) só uma é verdadeira b) todas são verdadeiras c) só uma é falsa d) duas são verdadeiras e) todas são falsas




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Q3. (UFMG) Seja P o conjunto de todos os paralelogramos. Seja R o conjunto de todos os retângulos. Seja L o conjunto de todos os losangos. Seja Q o conjunto de todos os quadrados. Marque a alternativa ERRADA. a) PR⊂ b) PL ⊂ c) QLR =∩ d) =− RQ ∅ e) PLR =∪ Q4. (FUVEST) No retângulo a seguir, o valor em graus de βα + é: a) 50 b) 90 c) 120 d) 130 e) 220 Q5. Na figura, ABCD é um quadrado e DCE um triângulo equilátero. A medida do ângulo

BEA ˆ , em graus é: a) 150 b) 120 c) 110 d) 75 Q6. Observe a figura. Nela ABCD é um retângulo e o triângulo DEC é equilátero. Se AB = 12 cm, então , o segmento EF, em centímetros, mede a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 Q7. Num quadrilátero convexo ABCD, as diagonais AC e BC medem, respectivamente, 12 cm e 8 cm. Unindo-se os pontos médios dos lados do quadrilátero ABCD, obtemos um novo quadrilátero cujo perímetro, em centímetros, é: a) 10 b) 15 c) 20 d) 24




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Q8. Na figura. M e N são pontos médios de AB e AC, respectivamente. Assinale a afirmativa FALSA. a) MN // BC b) AC + BC = 2 CM c) BC = 2 MN d) PC = 2PM e) PB = 2 PN Q9. Na figura abaixo, o ponto Q é médio de AB, e o segmento PQ é paralelo ao lado BC. Sendo AC = 30, a medida do segmento PM é: a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 Q10. (UFMG) NA figura, ABCD é um paralelogramo e M é o ponto médio de DC. Se 6=AM , a medida de AO, em cm, é:

a) 34

3

b) 69

5

c) 63

2

d) 69

7

e) 2 Q11. Observe a figura abaixo. Nela, AB = 3 cm, AC = 9 cm, retoADBCÂDBÂD 1ˆ, == ,e M é ponto médio de BC. O valor do segmento DM, em centímetros é: a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6




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Q12. Na figura, ABCD é um paralelogramo, EF ⊥ AD e AE = ED. Se BÂF = 40o, então DCB ˆ , em graus, mede: a) 100o b) 110o c) 120o d) 130o Q13. No trapézio isósceles da figura, DB é bissetriz de D e é perpendicular a BC. O ângulo x mede: a) 30o b) 35o c) 40o d) 45o e) 50o Q14 (FUVEST) No trapézio ARTP da figura, RB e AB estão contidos nas bissetrizes de R e A. Se B = 70o , o valor de P + T é: a) 140o b) 130o c) 120o d) 110o e) 100o Q15. (UFMG) O trapézio ABCD é isósceles, com AB // DC, AD = BC. A diagonal AC é perpendicular ao lado BC. Os ângulos agudos do trapézio são a metade dos seus ângulos obtusos. A base menor mede 2 cm. A medida de AD, em cm. É: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5




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Q16. Na figura, M e P são , respectivamente, pontos médios de AB e MB. Se MN = 8, PQ mede: a) 10 b) 12 c) 16 d) 18 e) 24 Q17. (FAAP) No trapézio abaixo, o segmento MN que une os pontos médios M e N das diagonais e a base AB têm ambos 7 cm de comprimento. Calcular o comprimento l da base DC. a) 7 b) 10 c) 12 d) 21




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Capítulo 4 Polígonos Quaisquer e Polígonos regulares

1) DEFINIÇÃO

Um polígono simples é um polígono convexo, se e somente se, a reta determinada por dois vértices consecutivos quaisquer deixa todas os demais (n-2) vértices num mesmo semiplano dos dois que ela determina. Se um polígono não é polígono convexo, diremos que ele é um plano côncavo.

1.1) NOMENCLATURA

De acordo com o número n de lados, alguns polígonos convexos recebem nomes especiais. Isto é:

Observação: O número de vértices de um polígono é igual ao número de lados 1.2) SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS

A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo de n lados

é dada pela expressão a seguir:

onSi 180)2( −=




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1.3) SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS

A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo de n lados é dada por:

oSe 360= 1.4) NÚMERO DE DIAGONAIS

O número de diagonais de um polígono convexo de n lados é dado pela expressão a seguir:

2

)3( −= nnd

2) POLÍGONOS REGULARES

Quando se trata de polígonos regulares podemos verificar as seguintes definições:

2.1) Ângulo Interno ( Ai ) e Ângulo Externo ( Ae ) Como um polígono regular de n lados tem n ângulos internos congruentes entre si, temos:

n

n

n

SiAi

o180)2( −== e nn

SeAe

o360==




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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Q1. Se em um polígono convexo, o número de diagonais é quatro vezes o número de lados, então, a quantidade de ângulos retos que cabem na soma de seus ângulos internos, é: a) 9 b) 11 c) 12 d) 16 e) 18 Q2. De um dos vértices de um polígono convexo podemos conduzir, no máximo 9 diagonais. A soma de seus ângulos internos, em graus, é: a) 720o b) 1080o c) 1440o d) 1800o e) 2160o Q3. O número de lados de dois polígonos convexos são números pares consecutivos e um deles possui 11 diagonais a mais do que o outro. A soma do número de lados desse polígono é: a) 12 b) 14 c) 16 d) 18 e) 20 Q4. (PUC-MG) Qual polígono regular possui ângulo interno de 108o ? a) Pentágono b) Hexágono c) Heptágono d) Octógono e) Dodecágono Q5. (PUC) O ângulo formado pelas bissetrizes internas de dois ângulos consecutivos de um polígono regular de 20 lados, em graus, é: a) 80 b) 72 c) 36 d) 20 e) 18




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Q6. Dados dois polígonos com n e n+6 lados, respectivamente, calcule n, sabendo que um dos polígonos tem 39 diagonais mais do que o outro. Q7. Três polígonos convexos têm n, n+1, n+2 lados, respectivamente. Sendo 2700o a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos, determine o valor de n. Q8. Os números que exprimem o número de lados de três polígonos são n-3, n, n+3. Determine o número de diagonais de cada um dos polígonos, sabendo que a soma de todos os seus ângulos internos vale 3240o . Q9. Três polígonos têm o número de lados expressos por números inteiros consecutivos, sabendo que o número total de diagonais dos três polígonos é igual a 28, determine o polígono com maior número de diagonais.




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Capítulo 5

Ângulos Relacionados a Arcos 3) DEFINIÇÕES BÁSICAS

CORDA: Segmento de reta que une dois pontos quaisquer de uma circunferência. DIÂMETRO: Qualquer corda que passa pelo centro de uma circunferência. ARCO: Qualquer uma das duas partes em que uma circunferência fica dividida por dois quaisquer de seus pontos. Esses dois pontos são as extremidades dos arcos.

4) ÂNGULO CENTRAL

Dada uma circunferência de centro O, ângulo central é qualquer ângulo que tem vértice em O

AÔB é ângulo central Os lados do ângulo central determinam na circunferência dois pontos, no caso, A e B. A medida do menor arco AB já foi definida como a medida do ângulo AÔB. Então, sendo a a medida do arco AB, sabemos que a é também a medida de AÔB. A medida do ângulo central é igual a medida do arco compreendido entre seus lados: m(AÔB) = m(AB) Para simplificar: AÔB = a




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3) ÂNGULO INSCRITO

Dada uma circunferência, dizemos que um ângulo é inscrito nessa circunferência se o seu vértice é um ponto dela e os seus lados contém, cada um deles, uma corda.

α = 2

AB

4) ÂNGULO EXCÊNTRICO INTERIOR

α=2

CDAB +

A medida de um ângulo de vértice interno à circunferência é igual à semi-soma das medidas dos arcos determinados pelo seus lados 5) ÂNGULO EXCÊNTRICO EXTERIOR

α = 2

CDAB −

A medida de um ângulo de vértice externo à circunferência é igual à semi-diferença dos

arcos determinados pelo seus lados.

O

C B

V α

D A

C

B

V α

D

A




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6) ÂNGULO DE SEGMENTO

α = 2

AB

A medida de um ângulo de segmento é igual à metade do arco por ele determinado.

7) SEGMENTOS TANGENTES

Toda reta tangente à circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Se de um ponto P conduzirmos os segmentos PA e PB, ambos tangentes a uma

circunferência, com A e B na circunferência então

8) QUADRILÁTERO CIRCUNSCRITO

Um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência se, e somente se, seus quatro lados são tangentes à circunferência. Se um quadrilátero convexo é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois dos seus lados opostos é igual à soma dos outros dois lados.

Logo AB+CD = AD + BC

O

A

α

V = B

PA = PB.




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Q1. Observe a figura. Nela AB = OD e Â = 25º . Sabendo que O é o centro da circunferência a medida de EBCˆ , em graus, é: f) 30o g) 37o 30’ h) 45o i) 60o j) 75o Q2. Observe a figura. Nela, A, B e C são pontos da circunferência de centro O. Sabendo que,

aOÂC= , bCBO =ˆ , cBCA =ˆ , podemos afirmar que f) a = b + c g) b = a + c h) c = a + b i) 2b = a - c j) 2a = b - c Q3. Observe a figura. Nela A, B, C ,D e E são pontos da circunferência de centro O,

=APE ˆ 25o e AO = PD. Medida de EBD ˆ , em graus é: f) 25o g) 30o h) 35o i) 40o j) 45o Q4. Na figura AB e CD são respectivamente os lados do quadrado e triângulo equilátero inscrito no círculo. A diferença βα − , em graus, é: f) 85o g) 95o h) 100o i) 105o j) 80o




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Q5. Numa circunfer6encia de centro O, os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero. Seja D um quarto ponto da circunferência não coincidente com os demais. Sobre a medida x do ângulo CDA ˆ , podemos afirmar que f) 60o g) 120o h) 60o ou 120o i) 45o j) 45o ou 150o Q6. Numa circunferência está inscrito um triângulo ABC. Seu lado BC igual ao raio da circunferência. O ângulo CABˆ mede: a) 15o b) 30o c) 36o d) 45o e) 60o Q7. Na figura temos O como o centro do círculo, AB = AC , BH = HC e AM = MC. A relação α e β é:

a) 2

βα =

b) βα 2= c) βα =

d) 3

βα =

e) =+ βα 90o Q8. Observe a figura. Nela, os pontos B, C, D e E pertencem à circunferência. Se EDA ˆ = 40o e ECD ˆ = 50o , então a medida do ângulo DÂE, em graus é: a) 10o b) 20o c) 30o d) 40o e) 50o




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Q9. Na figura, O é o centro de uma circunferência cujo raio é igual a PA.. O ângulo central x mede: k) 80o l) 40o m) 35o n) 30o o) 20o Q10. Na figura abaixo, AP é tangente e AB é secante à circunferência. Se o arco b = 100o e Â = 50o, a medida do arco a, em graus, é igual a: k) 50o l) 60o m) 65o n) 75o o) 80o Q11. Na figura, α=BPAˆ e θ=BEAˆ . O ângulo PÂD = x, em função de θα e , é:

k) 2

2 αθ −

l) 2

αθ −

m) 3

αθ +

n) αθ + Q12. Observe a figura. Nela, o quadrilátero ABCD está inscrito na circunferência de centro O. Se =CDA ˆ 112o , a medida de CBEˆ é: k) 68o l) 72o m) 108o n) 112o o) 120o




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Q13. Observe a figura. Nessa figura D é um ponto da circunferência de centro C e diâmetro AB, e M e N são pontos médios dos segmentos AC e AD, respectivamente. A medida MN em função do diâmetro AB é:

k) 5

AB

l) AB5

2

m) 4

AB

n) 3

AB

o) 2

AB

Q14. Na figura, o círculo está inscrito no triângulo ABC cujos lados medem AB = 9 cm, BC = 8 cm e AC = 5 cm e M é o ponto de tangência. A medida de MB é: f) 5 cm g) 5,5 cm h) 6 cm i) 6,5 cm j) 7 cm Q15. Se AB = 10 cm, então o perímetro hachurado vale (E, B e T são pontos de tangência) f) 10 cm g) 15 cm h) 20 cm i) 30 cm j) N.D.A




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Capítulo 6

Relações Métricas na Circunferência

1) Relação entre duas cordas – Quando duas cordas se cruzam no interior de um círculo, o produto das medidas dos dois segmentos determinados sobre essas cordas é igual ao produto das medidas dos segmentos determinados sobre a outra.

PDPCPBPA ⋅=⋅

2) Relação métrica das secantes– Quando duas secantes se cortam externamente a um círculo, o produto da medida da secante inteira pela medida de sua parte externa é igual ao produto da medida da outra secante pela medida de sua parte externa.

PDPCPBPA ⋅=⋅

3) Relação métrica entre secante e tangente – Quando, de um ponto exterior, traçamos

uma tangente e uma secante a um círculo, a medida da tangente é a média proporcional entre a medida da secante inteira e a medida da sua parte externa.

PCPBPA2 ⋅= em que t ⊥ OA

A D

C B

P

O

A B

C

D

P

O

t

C

B

P

O

A

R




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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Q1. Observe a figura. Nela DP > PC, AP = 9 cm, BP = 4 cm e CD = 15 cm. O comprimento de segmento DP, em cm, é: a) 3 b) 6 c) 9 d) 12 e) 14 Q2. Observe a figura. Nela , O é o centro do círculo, OC = 5 cm, AB = 12 cm e BC = 2 cm. O raio do círculo, em centímetros, é: a) 53

b) 63

c) 33

d) 35 e) 6 Q3. Observe a figura. Nela C é o centro da circunferência, AB = 10 cm, PB = 8 cm e PC = 16 cm. O raio da circunferência, em centímetros, mede: a) 10 b) 11 c) 74

d) 36 Q4. Ne figura, AB é tangente ao círculo e AE é secante passando pelo centro C. Se AB = 15 cm e AD = 9 cm, então o raio do círculo, em cm, mede; a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8




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Q5. Na figura, o diâmetro AB é perpendicular à corda CD no ponto E. Se AE x EB = 2, então a corda CD mede: p) 2 q) 2 r) 5

s) 8 t) N.R.A. Q6. Numa circunferência de raio 13 metros, traça-se uma corda de 24 metros. A distância da corda ao centro da circunferência é, em metros: a) 5 b) 8 c) 11 d) 20 e) 25 Q7. Na figura, PB = 25 cm e BC = 144 cm. Se PA é tangente à circunferência, então PA mede: a) 13 b) 50 c) 60 d) 65 e) 70 Q8. Na figura, O é o centro da circunferência; AB = a, AC = b e AO = x. O valor de x, em função de a e b, é:

a) 2

ba+

b) ba −

c) 222 ba −

d) 22

2 b

b

a −

e) é impossível calcular por falta de dados




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Capítulo 7

Teorema de Talles 1) DEFINIÇÕES

• Feixe de Paralelas : É um conjunto de retas pertencentes a um mesmo plano ( coplanares ) paralelas entre si.

• Transversal do feixe de retas paralelas: É uma reta do plano do feixe que concorre com todas as retas do feixe.

• Pontos correspondentes de duas transversais: São pontos destas transversais que estão numa mesma reta do feixe.

• Segmentos correspondentes de duas transversais: São segmentos cujas extremidades são os respectivos pontos correspondentes.

2) TEOREMA DE TALLES

Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas, então a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra. No caso da figura acima, podemos dizer que:

...''''''''====

DA

AD

DC

CD

CB

BC

BA

ABou seja, os segmentos correspondentes formam um proporção.

A e A’, B e B’, C e C’, D e D’ são pontos correspondentes AB e A’B’, CD e C’D’ são segmentos correspondentes




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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Q1. Observe a figura. Nela, as retas r, s e t são paralelas, AB = 6 cm, BC = x, DE = 4 cm e DF = x+3. A medida de x, em centímetros é a) 2 b) 3 c) 4 d) 6 e) 9 Q2. Observe a figura. Nela, as retas r, s e t são paralelas, AD = 5 cm, BC = 4 cm e DF = 6 cm. A medida do segmento BE, em centímetros, é: a) 4,8 b) 6 c) 7,2 d) 8,8 e) 9,6 Q3. Os triângulos ABE e ACD são retângulos em B e C, respectivamente. Sabendo-se que AB = 3 cm, BC = 2 cm e AE = 4 cm, a medida de AD é: a) 7 cm

b) 4

15cm

c) 3

20cm

d) 5

15cm

e) N.D.A




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Capítulo 8

Semelhança de Triângulos 1) DEFINIÇÕES

Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos

ordenadamente congruentes e os lados homólogos ( correspondentes ) proporcionais.

Dois lados homólogos são tais que cada um deles está em um dos triângulos e ambos são opostos a ângulos congruentes. 2) RAZÃO DE SEMELHANÇA

Sendo k a razão entre os lados homólogos, kc

c

b

b

a

a ==='''

, k é chamado razão de

semelhança dos triângulos. Se k = 1, os triângulos são congruentes.

3) CASOS OU CRITÉRIOS DE SEMELHANÇA.

• 1O CASO (AA)

Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes, então eles são semelhantes.




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• 2O CASO (LAL)

Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes, então os triângulos são semelhantes.

• 3O CASO (LLL)

Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais, então eles são semelhantes.

4) CONSEQUÊNCIAS DOS CASOS DE SEMELHANÇA:

Se a razão de semelhança de dois triângulos é k, então:

• A razão entre lados homólogos é k;

• A razão entre os perímetros é k;

• A razão entre as alturas homólogas é k;

• A razão entre as medianas homólogas é k;

• A razão entre as bissetrizes internas homólogas é k;

• A razão entre os raios dos círculos inscritos é k;

• A razão entre os raio dos círculos circunscritos é k;

• A razão entre dois elementos lineares homólogos é k;

E os ângulos homólogos são congruentes.




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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Q1. Os lados de um triângulo ABC são AB = 15 cm, BC = 10 cm e AC = 20 cm. Se AM = 3 cm, MN // AC e MP // BC, o perímetro do paralelogramo MNCP, em centímetros é: a) 26 b) 30 c) 32 d) 36 e) 40 Q2. Se a altura de um triângulo escaleno é 10,2 metros, o baricentro dista da base: a) 2,5 m b) 5,1 m c) 3,6 m d) 3,7 m e) 3,4 m Q3. Na figura AC // BD e BC // DE. Então: a) ))(3( OEOAOB =

b) 2

OEOAOB

+=

c) ))((2 OEOAOB=

d) ))(( OEOAOB = e) ))(( OEOAOB= Q4. Num triângulo ABC, AB = 6 cm e BC = 3 cm. Se a bissetriz NA determina sobre o lado BC o segmento BN =1,8 cm, a medida do lado AC, em centímetros, é: a) 1,2 b) 3,8 c) 4 d) 4,2 e) 5,6




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Q5. No triângulo ABC, de perímetro igual a 88 cm, a bissetriz do ângulo A determina sobre o lado BC, que mede 22 cm. Segmentos de 12 cm e 10 cm. Calcule os outros dois lados do triângulo. a) 28 e 38 b) 26 e 40 c) 22 e 44 d) 30 e 36 e) n.d.a Q6. Num triângulo isósceles ABC, de 15 cm de perímetro, a base AC = 3 cm. Se AM e AN são respectivamente, mediana e bissetriz, então, o segmento MN, em centímetros, mede; a) 1 b) 1,6 c) 2 d) 2,4 e) n.d.a Q7. Na figura, os ângulos assinalados são retos, temos, necessariamente,

a) m

p

y

x =

b) p

m

y

x =

c) pmxy =

d) 2222 mpyx +=+

e) pmyx

1111 +=+

Q8. Na figura ABCD é paralelogramo BE é perpendicular a CD e BF é perpendicular a CD. Se BE = 12 , BF = 6 e BC = 8, então AB mede: a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16




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Q9. O losango ADEF está inscrito no triângulo ABC, como mostra a figura. Se AB = 12 m, BC = 8 cm e AC = 6 m, o lado l do losango mede: a) 5 m b) 3 m c) 2 m d) 4 m e) 8 m Q10. No paralelogramo ABCD da figura, AB = 34 m, AD = 3 m e BM = 2 m. O segmento CN mede:

a) 2

3

b) 3

c) 32

d) 2

35

e) 33 Q11. Na figura ADEF é um quadrado e ABC, um triângulo cujos catetos AB e AC mede 1 cm e 3 cm , respectivamente. O lado do quadrado, em cm , é:

a) 4

1

b) 3

1

c) 2

1

d) 4

3

e) 3

2




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Q12. No trapézio ABCD, MN é paralelo a AB. Se AB = 36 cm, DC = 12 cm e as alturas dos trapézios ABCD e MNCD são, respectivamente, 15 cm e 10 cm, pode-se afirmar que a medida de MN, em cm, é: a) 16 b) 24 c) 28 d) 36 e) 48 Q13. Na pirâmide regular de base quadrada da figura, M é o ponto médio de DE, CM pertence ao plano da base, CM é perpendicular a DE e AB é perpendicular a CM. Se DE = 200 m, AB = 5 m, AC = 7 m e AM = 75 m, então a altura da pirâmide, em metros é: a) 150 b) 145 c) 140 d) 135 e) 130 Q14. Observe a figura. Nessa figura, os segmentos AD e BC são paralelos, AD = 8, AB = 3 e BC = 7. Sendo P o ponto de interseção das retas AB e DC, a medida do segmento BP é: a) 22 b) 21 c) 24 d) 23 Q15. O triângulo ABC da figura ( BC = 3m ) sofre um deslocamento lateral de 2 m ocupando a posição do triângulo A’B’C’. Sabendo que o perímetro do triângulo ABC é 16 cm, então o perímetro do triângulo B’CD é em metros: a) 16 b) 16/3 c) 8 d) 6 e) 4/3




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Q16. O triângulo ABC é equilátero, AD=DE=EF=FB, DG // EH // FI // BC , DG+EH+FI+= 18. O perímetro do triângulo ABC é: a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 54 Q17. O triângulo ABC da figura é equilátero. AM = MB = 5 e CD = 6. O valor de AE : a) 76/11 b) 78/11 c) 80/11 d) 77/11 e) 79/11 Q18. Na figura, CD = 30 e a razão entre os raios CP = R e QD = r é 5. Sendo A e B pontos de tangência, então, MD é: a) 1/6 b) 1/5 c) 5 d) 6 e) 15 Q19. Dois círculos de raios 6 cm e 4 cm têm centro na altura relativa à base do triângulo isósceles da figura e são tangentes exteriormente. A altura do triângulo relativa à base, em centímetros, é: a) 16 b) 26 c) 30 d) 32 e) 36 Q20. O lado do quadrado inscrito no triângulo ABC de base AC = 8 m e altura BH = 2 m é: a) 1 m b) 1,2 m c) 1,5 m d) 1,6 m




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Capítulo 9

Relações Métricas no Triângulo Retângulo 5) ELEMENTOS

Considerando um triângulo ABC, retângulo em A, e conduzindo AD perpendicular a BC, com D em BC, vamos caracterizar os elementos seguintes:

6) RELAÇÕES MÉTRICAS

Com base nas semelhanças dos triângulos abaixo e com os elementos já caracterizados

acima, temos:

RELAÇÕES MÉTRICAS 1) b2 = n a 2) c2 = a m 3) h2 = m n 4) b c = a h 5) Teorema de Pitágoras : a2 = b2 + c2




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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Q1. Um triângulo tem catetos AB = 4 m e AC = 3 m. A soma da hipotenusa com a altura relativa a ela é: a) 2,4 b) 5 c) 5,2 d) 7,4 e) 8 Q2. Em um trapézio isósceles, as bases medem 14 m e 10 m e a altura mede 5 m. O valor da diagonal, em metros, é: a) 10 b) 12 c) 11 d) 13 e) 15 Q3. Em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é o dobro do produto dos catetos. Então, um dos ângulos agudos vale; a) 75o b) 60o c) 45o d) 15o e) 10o Q4. Uma folha de papel quadrada ABCD é dobrada de modo que o vértice C coincide com o ponto M médio de AB. Se o lado de ABCD é 1, o comprimento BP é: a) 0,3 b) 0,325 c) 0,375 d) 0,45 e) 0,5




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Q5. Na figura, OAB, OBC e OCD são triângulos retângulos em A, B e C, respectivamente e AO = AB = BC = CD = 1. o segmento OD mede: a) 2 m b) 3m c) 2m d) 5m e) 4 m Q6. Essa figura representa um trecho retilíneo de estrada entre os quilômetros 148 e 150. Os pontos A e B representam duas escolas que estão a uma distância de 200 m e 100 m, respectivamente da estrada. A quantos metros do quilômetro 148 deve ser construída uma passarela que seja eqüidistante das duas escolas? a) 500 b) 800 c) 850,3 d) 992,5 e) 1000 Q7. Se as medidas, em metros, das diagonais de um losango são a e b, então a medida do raio do círculo inscrito nesse losango é, em metros:

a) 222 ba

ab

+ b)

22 ba

ab

+ c)

22

22

ba

ba

+ d)

22

2

ba

ab

+ e)

22

222

ba

ba

+

Q8. No triângulo retângulo ABC da figura, a hipotenusa a mede 3 m e b/c = 2. A altura AH mede: a) 1 b) 6/5 c) 7/5 d) 8/5 e) 9/5 Q10. Observe a figura. No triângulo retângulo isósceles ABC, Â é o ângulo reto. O ponto D pertence à reta AB. Se CD = 13cm e BC = 22 cm, a medida do segmento BD em cm é: a) 1 b) 3/2 c) 2 d) 21 e) 5




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Capítulo 10

Áreas de figuras planas 7) INTRODUÇÃO

Assim como as medidas de segmentos e as medidas de ângulos, a forma rigorosa para se

conceituar áreas é vista em um curso de terceiro grau.

Vamos aqui enunciar algumas propriedades que nos leva às fórmulas de algumas regiões poligonais. Para simplificar os enunciados muitas vezes quando falarmos polígono estaremos querendo dizer região poligonal: área de um polígono vai significar, de agora em diante, área da região poligonal que ele determina. 8) ÁREA DO TRIÂNGULO

A área do triângulo é dada pela formula:

2

ALTURAxBASE

Veja as figuras:

Aqui, é importante saber que qualquer lado do triângulo pode ser tomado como base, desde que se utilize a altura relativa ao respectivo lado na aplicação da fórmula




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3) ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DE DOIS LADOS E DO ÂNGU LO

Caso seja fornecido apenas dois lados de um triângulo e o ângulo compreendido por estes lados, podemos calcular a sua área pelas expressões abaixo:

4) ÁREA DO TRIÂNGULO EM FUNÇÃO DOS LADOS

Caso seja fornecido apenas os lados do triângulo, a sua área pode ser calculada através da fórmula de HERÃO.




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4) CÁLCULO DO RAIO DA CIRCUNFERÊNCIA INSCRITA

4.1) Circunferência inscrita

Seja I o incentro de um triângulo ABC qualquer. Unindo-se o ponto I aos três vértices do triângulo, este fica decomposto nos triângulos BIC, AIC e AIB. Logo:

5) ÁREA DO PARALELOGRAMO

A área do paralelogramo qualquer é dada pela fórmula:

ALTURAxBASE

Do mesmo modo que ocorre com o triângulo, também no paralelogramo qualquer lado pode ser tomado como base. A altura será a distância desse lado ao lado oposto.

‘




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6) ÁREAS DOS PARALELOGRAMOS NOTÁVEIS

Os paralelogramos notáveis são o retângulo, o losango e o quadrado. Suas áreas também são dadas pela fórmula:

ALTURAxBASE Porém, como as diagonais do losângo são perpendiculares, é possível expressar sua área

em função de suas diagonais.




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7) ÁREAS DO TRAPÉZIO

A área de um trapézio qualquer é dada pela fórmula:

2

)( ALTURAxMENORBASEMAIORBASE +

Essa fórmula pode ser obtida facilmente decompondo o trapézio em dois triângulos.

EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Q1. Na figura, ABCD e EFGH são quadrados. Sabendo-se que AE = 4 cm e EB = 2 cm, a área do quadrado EFGH é: a) 4 cm2 b) 12 cm2 c) 16 cm2 d) 18 cm2 e) 20 cm2 Q2. Observe a figura. Nessa figura, está representado um canteiro retangular de 6 metros de largura por 10 metros de comprimento, cercado por um passeio de largura constante. Se a área do passeio é de 36 m2 a medida de sua largura é: a) 1 b) 0,5 c) 2 d) 1,5




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Q3. Um terreno tem a forma da figura abaixo. Se AB é perpendicular a AD, BC é perpendicular a CD, AB = 10 m, BC = 70 m, CD = 40 m e AD = 80 m, então a área do terreno é: f) 1500 m2 g) 1600 m2 h) 1700 m2 i) 1800 m2 j) 2000 m2 Q4. Lucas, proprietário do terreno sombreado na figura, cujo preço era de R$ 1000,00 o metro quadrado, trocou-o por outro, do mesmo valor, situado numa região onde o metro quadrado valia R$ 900,00. A área do novo terreno é de: e) 3600 m2 f) 9000 m2 g) 12600 m2 h) 14000 m2 i) 16200 m2 Q5. A área do paralelogramo ABCD é a. Então a área de um triângulo ABE, onde E pertence à reta suporte de DC é: a) a/4 b) a/3 c) a/2 d) 2a/3 e) a Q6. Considere NQ = MP = MN/3, sendo MN a base do retângulo KNML. Se a soma das áreas dos triângulos NQL e PLM é 16, a área do retângulo KMNL é: a) 24 b) 32 c) 48 d) 72 e) 96

40 m




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Q7. No paralelogramo ABCD, AB = BD = CD, AD= (1/2 ) AB. Se AB = 4 cm, então a área do paralelogramo, em cm2, é: a) 8 b) 24 c) 26 d) 36

e) 152 Q8. Considere o triângulo ABC tal que AB = 8 cm, CBAˆ = 60o e área 316 cm2. Então, o lado

oposto ao ângulo CBAˆ mede, em cm: a) 22 b) 24 c) 34 d) 4 e) 8 Q9. Num triângulo retângulo, um dos ângulos mede 30o . A área desse triângulo em função do comprimento a de sua hipotenusa é dada por:

a) 2

2a

b) 8

32a

c) 4

2a

d) 8

3 2a

e) 4

32a

Q10. Num triângulo retângulo de 14 cm2 de área, a hipotenusa mede 65cm. A soma dos comprimentos dos catetos, em centímetros, é: a) 9 b) 11 c) 13 d) 15 e) 17




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Q11. Se a área de um triângulo retângulo isósceles é 9 m2, o seu perímetro, em metros, é: a) 33+

b) 323+

c) 363+

d) 36+

e) 266+ Q12. A área do trapézio ABCD é 7 cm2 e a do quadrado CDEF é 4 cm2 . a medida de base AB é: a) 4,5 b) 5 c) 5,5 d) 6 e) n.d.a Q13. Considere um trapézio isósceles ABCD, em que AB = BC = CD = 4 cm. Se AD = 8 cm, pode-se afirmar que a área do trapézio, em cm2, é: a) 34

b) 36

c) 38

d) 312

e) 324 Q14. Num trapézio de área 48 cm2, o segmento cujos extremos são pontos médios dos lados não paralelos mede 36 cm. Então, a altura desse trapézio, em cm, é: a) 2/3 b) 3/4 c) 4/3 d) 3/2 e) 12




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Q15. Na figura, ABCD é um trapézio de altura 8 cm e EF é paralelo a AB. Se AB = 12 cm, CD = 6 cm e AE = ED, então a área do trapézio ABFE é: a) 21 cm2 b) 36 cm2 c) 38 cm2 d) 42 cm2 e) 84 cm2 Q16. Um hexágono regular de área 312 m2 está inscrito num círculo cujo raio, em metros mede: a) 2 b) 22 c) 32 d) 3 e) 23 Q17. Observe a figura. BC é a hipotenusa do triângulo ABC, AE = (1/4)AB, FC = (1/4) AC e a área do quadrilátero BCFE é igual a 30. A área do triângulo AEF é igual a: a) 10 b) 20 c) 60/13 d) 80/13 e) 90/13 Q18.Nessa figura, os pontos M. N. P. Q são pontos médios dos lados do quadrado ABCD, cuja área mede 16 cm2. A área do quadrado RSTV, em cm2, mede: a) 4 b) 8 c) 10 d) 16/3 e) 16/5




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Q19. Na figura, o hexágono regular ABCDEF está inscrito no circulo de centro O. Se AB = 4 cm, a área do quadrilátero ABOF é: a) 28 cm2 b) 38 cm2 c) 16 cm2 d) 216 cm2 e) 316 cm2 Q20. A área de um losango é 120 m2 e uma de suas diagonais mede 10 m. O lado do losango, em metros, é: a) 9 b) 11 c) 13 d) 15 e) 16




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Capítulo 11

Áreas de figuras circulares 1) ÁREA DO CÍRCULO

A área do círculo de raio r é dada pela fórmula:

2) ÁREA DA COROA CIRCULAR

Considere dois círculos concêntricos, isto é, de mesmo centro, de raios R e r, R > r.

Chama-se coroa circular o conjunto de todos os pontos que pertencem ao circulo maior e

que não estão no interior do círculo menor.




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3) ÁREA DO SETOR CIRCULAR

Chama-se setor circular a intersecção de um círculo qualquer com um ângulo também

qualquer que tenha seu vértice no centro do círculo.

O setor circular é uma fração do círculo. Desse modo, para calcular a área de um setor

circular basta descobrir qual é a fração que ele representa do círculo. 4) ÁREA DO SEGMENTO CIRCULAR

Chama-se segmento circular qualquer uma das partes em que um círculo fica dividido por

uma corda qualquer.




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EXERCÍCIOS DE FIXAÇÃO Q1. Na figura, o triângulo ABC está inscrito na semicircunferência e o comprimento do arco menor AB é 1/6 do comprimento da circunferência. Então, a razão entre as áreas do triângulo do ABC e do disco mostrado na figura é:

f) π2

3

g) 6

π

h) 3π i) π6

j) π6

Q2. Na figura, o triângulo OPA é equilátero e PB é perpendicular à reta que tangencia o círculo no ponto A. Se a área do triângulo PBA é 32 m2, então o raio da circunferência é, em metros: f) 1 g) 4 h) 34 i) 8 j) 38 Q3. Observe a figura. Nessa figura, há um quadrado, uma circunferência de raio 1 e quatro triângulos equiláteros. Cada triângulo tem um vértice na circunferência. A área da região hachurada é: f) )433(2 −

g) 4

31+

h) 2

31+

i) )13(2 −




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Q4. Se os lados de um triângulo ABC medem, respectivamente, 30 cm, 40 cm e 50 cm, então a área do círculo inscrito neste triângulo mede: f) 210 cmπ

g) 225 cmπ

h) 25 cmπ

i) 2100 cmπ

j) 225 cmπ Q5. Na figura, o círculo está inscrito no triângulo equilátero de lado 3 metros. A área hachurada é, em m2:

f) 12

39 π−

g) 12

33 π−

h) 4

33 π−

i) 4

32 π−

j) 4

39 π−

Q6. Na figura abaixo, o ângulo Â mede 30o e o lado BC = 2 cm. A área hachurada é, em cm2:

f) 3

332 −π

g) 12

332 −π

h) 3

342 +π

i) 6

32 −π

j) 3

32 +π




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Q7. Na figura, o triângulo ABC está inscrito na semicircunferência de centro O e raio a. Se BÂC = 30o , a medida da área hachurada é:

b) )3(2

2

−πa b) )3(2 −πa

c) )1(2

2

−πa d) )

2

3(2 −πa

e) )1(2 −πa Q8. Observe a figura. Nela a circunferência maior C tem raio 2, e cada uma das circunferências menores, C1, C2, C3 e C4, é tangente a C e a um lado do quadrado inscrito. Os centros de C1, C2, C3 e C4 estão em diâmetro de C perpendiculares a lados do quadrado. A soma das áreas limitadas por essas quatro circunferências menores é: f) )223(8 +π

g) )223( +π

h) )223( −π

i) )223(2 −π Q9. A figura representa os quadrados ABCD e EFGH circunscrito e inscrito na circunferência de centro O . Sendo o lado maior do quadrado igual a 4, a área hachurada, é: f) 44 −π g) 84 −π h) 84 +π i) 82 +π j) 816 −π Q10. Observe a figura. Nela, a circunferência de centro O tem raio r e arcos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e HÁ congruentes. O valor da área sombreada em função de r, é: a) )2(2 −πr

b) )1(2 2 −πr

c) 22r d) )2(2 −πr




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Q11. A área de uma coroa circular de raios r e R, sendo R>r, é: a) 2)( rR−π

b) 2)( rR+π

c) )( 22 rR −π d) ))(( rRrR +−π e) )(2 rR−π Q12. Seja d a distância entre os centros de dois discos de raios r1 e r2, com r1 < r2. A diferença de suas áreas é de )( 21 rrd −π . Sobre as posições relativas de suas circunferências, conclui-se que: a) não têm pontos comuns b) são concêntricas c) são tangentes interiormente d) são tangentes exteriormente e) têm dois pontos em comum. Q13. Nessa figura, o triângulo ABC é equilátero DF e EF são arcos de circunferência de raio a e centros em A e C respectivamente. Então, a área da região sombreada é:

a) )3(2

2

π−a

b) 36

2

πa

c) π3

2a

d) )3(2 π−a

e) )33(3

2

π−a




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Capítulo 12

Questões de vestibulares QUESTÃO 01 (UFSM – RS) A soma de dois ângulos é igual a 100º. Um deles é o dobro do complemento do outro. A razão do maior para o menor é: a ( ) 6 b ( ) 5 c ( ) 4 d ( ) 3 e ( ) 2 QUESTÃO 02 (UFMG) Na figura, OM é a bissetriz do ângulo AÔB, ON é a bissetriz do ângulo BÔC e OP é a bissetriz do ângulo CÔD. A soma PÔD + MÔN é igual a:

a. ( ) 2

πrad

b. ( ) 4

πrad

c. ( ) 6

πrad

d. ( ) 3

πrad

e. ( ) π rad QUESTÃO 03 (UFES) Se as retas r e s da figura são paralelas, então 3α + β vale: a ( ) 225º b ( ) 195º c ( ) 215º d ( ) 175º e ( ) 185º




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QUESTÃO 04 (Fuvest - SP) No quadrilátero ABCD abaixo, CBA = 150º, cm2MN,cm10BC,cm4ABAD ==== , sendo M e N, respectivamente, os pontos médios de BCeCD . A medida, em cm2, da área do triângulo BCD é: a. ( ) 10 b ( ) 15 c ( ) 20 d ( ) 30 e ( ) 40 QUESTÃO 05 (UFU-MG) Do ponto P partem duas semi-retas que encontram as paralelas r e t, nos pontos indicados na figura. Sabendo-se que ;cm6MR = ;cm20MS = ;cm32RQ = ;cm24PQ= os valores dos segmentos

,PM QSePS são, respectivamente:

a. ( ) 9cm, 15cm, 10cm

b. ( ) 15cm, 10cm, 9cm

c. ( ) 10cm, 15cm, 9cm

d. ( ) 10cm, 9cm, 15cm

e. ( ) 9cm, 10cm, 15cm

QUESTÃO 06 (FEI - SP) O ângulo interno do polígono regular em que o número de diagonais excede de 3 o número de lados é: a ( ) 60º b ( ) 72º c ( ) 108º d.( ) 150º e. ( ) 120º




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QUESTÃO 07 (Unifor - CE) A moldura de um retrato é formada por trapézios congruentes, como está representado na figura abaixo. A moldura dá uma vota completa em torno do retrato. Quantos trapézios formam essa moldura? a ( ) 7 b ( ) 8 c ( ) 9 d.( ) 10 e. ( ) 11 QUESTÃO 08 (UFJF - MG) Em um pentágono convexo, os ângulos internos formam uma P.A. de razão r. O valor de r tal que o maior ângulo desse pentágono meça 128º é: a ( ) 10º b ( ) 15º c ( ) 20º d.( ) 27º e. ( ) 36º QUESTÃO 09 (ITA - SP) A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 2 160º. Então o número de diagonais deste polígono, que não passam pelo centro da circunferência que o circunscreve, é a ( ) 50 b ( ) 60 c ( ) 70 d.( ) 80 e. ( ) 90 QUESTÃO 10 (PUC - SP) O ângulo interno de um polígono regular de 170 diagonais é igual a: a ( ) 80º b ( ) 170º c ( ) 162º d.( ) 135º e. ( ) 81º




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QUESTÃO 11 (Fac.Fed. Odont. Diamantina - MG) Considere um triângulo ABC isósceles,retângulo em Â e cujo perímetro é igual a 4(2 + 2 ) m. O valor da hipotenusa BC , em m, é : a ( ) 4 b ( ) 23 c ( ) 5 d.( ) 4 2 e. ( ) 2 QUESTÃO 12 (UFU - MG) Na figura abaixo, OBeOA são perpendiculares. BC é a bissetriz do ângulo ABD e AC é a

bissetriz do ângulo EÂB. A medida do ângulo ACB é:

a. ( ) 4

π

b. ( ) 3

π

c. ( ) 6

π

d. ( ) 12

π

e. ( ) 2

π

QUESTÃO 13 (Fuvest - SP) Na figura, .CYCZeBYBX,ACAB === Se o ângulo Â mede 40º então o ângulo ZYX mede: a ( ) 40º b ( )50º c ( ) 60º d.( )70º e. ( )90º




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QUESTÃO 14 (PUC – SP) Na figura, DEADCABC === . O ângulo CÂD mede: a ( ) 10º b ( )20º c ( ) 30º d.( )40º e. ( )60º QUESTÃO 15 (UCMG) Na figura, o ângulo CDA é reto. O valor, em graus, do ângulo DBC é: a ( ) 95º b ( )100º c ( ) 105º d.( )110º e. ( )120º QUESTÃO 16 (FATEC - SP) Na figura, r é a bissetriz do ângulo CBA . Se α = 40º e β = 30º, então: a. ( ) γ = 0º b. ( ) γ = 5º c. ( ) γ = 35º d. ( ) γ = 15º e. ( ) os dados são insuficientes para a determinação de γ.




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QUESTÃO 17 (UFMG) Na figura º.25ÂeBDCBAC === O ângulo x mede: a ( ) 50º b ( ) 60º c ( ) 70º d.( )75º e. ( )80º QUESTÃO 18 (FEI - SP) Na figura dada, a soma 8...321 ++++ vale: a ( ) 180º b ( ) 270º c ( ) 360º d.( )720º e. ( )n.r.a. QUESTÃO 19 (Mack - SP) O triângulo ABC da figura é equilátero .6CDe5MBAM === O valor de AE é

a. ( ) 11

76

b. ( ) 11

77

c. ( ) 11

78

d. ( ) 11

79

e. ( ) 11

80




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QUESTÃO 20 (Fatec – SP) Na figura, ABCD é um retângulo. A medida do segmento EF é: a ( ) 0,8 b ( )1,4 c ( ) 2,6 d.( )3,2 e. ( )3,8 QUESTÃO 21 (Cesgranrio - RJ) No triângulo retângulo ABC da figura, os seis quadrados têm o lado igual a 2cm. A hipotenusa BC mede: a ( ) 6 5 b ( ) 12cm c ( ) 12 2 cm d.( ) 12 3 cm e. ( )18cm QUESTÃO 22 (Cesgranrio - RJ) O lampião representado na figura está suspenso por duas cordas perpendiculares pressas

ao teto. Sabendo-se que essas cordas medem 5

6e

2

1 , a distância do lampião ao teto é:

a. ( ) 1,69 b. ( ) 1,3 c. ( ) 0,6

d. ( ) 2

1

e. ( ) 13

6




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QUESTÃO 23 (PUC - SP) A figura mostra um hexágono regular de lado a. A diagonal AB mede:

a ( ) 2a b ( )a 2 c ( ) 2

3a d.( )a 3 e. ( )3

2a2

QUESTÃO 24 (PUC - SP) Os pontos médios dos lados de um quadrado de perímetro 2p são vértices de um quadrado de perímetro:

a ( ) 4

2p b ( )2

2p c ( ) p 2 d.( )2p 2 e. ( )4p 2

QUESTÃO 25 (UFSC) No teste abaixo dê o somatório das afirmações corretas. Dada a circunferência de centro O, onde AB é uma corda e t é uma tangente no ponto B, então, com base na figura abaixo, é correto afirmar: 01. OB é perpendicular a t. 02. O ângulo CBA (γ) é um ângulo de segmento, e o ângulo

BVA (α) é um ângulo inscrito. 04. γ + θ = 90º 08. α = γ

16. α = β2

1

32. α = γ = β2

1




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QUESTÃO 26 (Unisantos - SP) Na figura abaixo, o valor de x é: a ( ) 31º b ( ) 38º c ( ) 48º d.( )50º QUESTÃO 27 (UCBA) A medida do ângulo x, representado na figura, é: a ( ) 10º b ( ) 15º c ( ) 20º d.( )25º e. ( ) 30º QUESTÃO 28 (Mack - SP) Na figura, sabe-se que m(CÂD) = 20º e m(CÊD) = 70º. Então BMA é igual a: a. ( ) 50º b. ( ) 45º c. ( ) 60º d. ( ) 22º30’ e. ( ) 30º




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QUESTÃO 29 (FESP - SP) Os valores dos ângulos a, b e c são, respectivamente: a. ( ) 58º, 32º, 116º b. ( ) 32º, 58º, 64º c. ( ) 58º, 32º, 64º d. ( ) 32º, 58º, 116º e. ( ) n.r.a. QUESTÃO 30 (EPCAR - SP) De um ponto P, traça-se uma tangente e uma secante a um círculo. Se o segmento PT da

tangente mede 8m e o segmento PB da secante mede 16m, qual deve ser, em m2, a área do

círculo, se a secante contém o diâmetro do mesmo?

a. ( ) 12π b. ( ) 18π c. ( ) 24π d. ( ) 30π e. ( ) 36π QUESTÃO 31 (EPCAR - SP) A área da figura hachurada, no diagrama, vale:

a. ( ) 4,0 b. ( ) 3,5 c. ( ) 3,0 d. ( ) 4,5 e. ( ) 5,0




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QUESTÃO 32 (Cesgranrio - RJ) Numa cozinha de 3m de comprimento, 2m de largura e 2,80m de altura, as portas e janelas

ocupam uma área de 4m2. Para azulejar as quatro paredes, o pedreiro aconselha a compra

de 10% a mais da metragem a ladrilhar, A metragem de ladrilhos a comprar é:

a ( ) 24,40m

2 b( ) 24,80m

2 c( ) 25,50m

2 d( )26,40m

2 26,80m

2

QUESTÃO 33 (UFMG) Na figura, os ângulos CBA , DCA e CÊD são retos. Se AB = 2 m3 e m3CE = , a razão entre

as áreas dos triângulos ABC e CDE é:

a. ( ) 6 b. ( ) 4 c. ( ) 3 d. ( ) 2 e. ( ) 3 QUESTÃO 34 (UCMG) A área hachurada é:

a. ( ) a – b

b. ( ) a2 – b

2

c. ( ) a + b

d. ( ) (a + b)2

e. ( ) 2

ba 22 +




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QUESTÃO 35 (UCMG) Na figura, 5,2BR,5BM,10BC,6AB ==== e MN é paralelo a RS e a AB . Então a área do trapézio

RSNM;

a. ( ) vale 7,5 b. ( ) vale 10,5 c. ( ) vale 13,5

d. ( ) é 3

2 da área do triângulo ABC

e. ( ) é a metade da área do triângulo ABC QUESTÃO 36 (UFSM - RS) Um marceneiro deseja fazer uma mesa na forma de um octogono regular. Para isso, dispõe

de uma tábua na forma de um quadrado de lado x cm, do qual fará o tampo da mesa,

retirando os cantos, conforme indica a figura. O comprimento de cada lado da mesa, em cm,

será:

a. ( ) 22

x2

+

b. ( ) 22

x

+

c. ( ) 2

x2

d. ( ) 23

x

e. ( ) 3

x




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QUESTÃO 37 (Fuvest - SP) A secção transversal de um maço de cigarros é um retângulo que acomoda exatamente os

cigarros como na figura. Se o raio dos cigarros é R, as dimensões do retângulo são:

a. ( ) 14R e 2R (1 + 3 ) b. ( ) 7R e 3R c. ( ) 14R e 6R d. ( ) 14R e 3R e. ( ) (2 + 3 3 )R e 2R 3 QUESTÃO 38 (EPCAR - SP) Se A for a área de um quadrado inscrito em uma circunferência, então a área do quadrado

circunscrito à mesma circunferência é equivalente a:

a ( ) 3

4 A b ( ) 2A c ( ) 3

7 A d ( )2 2 A e ( ) 3 2 A

QUESTÃO 39 (EPCAR - SP) Na figura, tem-se um hexágono regular inscrito em um círculo de raio r. Tem-se também 6

arcos de círculo com centros nos vértices do hexágono e cujos raios são iguais ao lado do

hexágono. Calcule a superfície da região sombreada.

a. ( ) (π – 3 )r2

b. ( ) (2π – 3 )r2

c. ( ) (2π – 3 3 )r2

d. ( ) (π – 3 3 )r2

e. ( ) (3π – 2 3 )r2




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QUESTÃO 40 (EPCAR - SP) Na figura, contém semicírculos de raio a e centro nos vértices do quadrado menor. Calcule a

área da região sombreada.

a. ( ) 2a

2

b. ( ) πa2

c. ( ) 2πa2

d. ( ) a2(4 – π)

e. ( ) a2(π – 2)




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Capítulo 1 1) b 2) c 3) a 4) b 5) e 6) d 7) d 8) a) F

b) V c) F d) F e) F f) F g) F h) F i) F J) F

9) 30o 10) 45o 11) 80o 12) 15o 13) 80o e 100o

Capítulo 2 1) b 2) e 3) c 4) e 5) d 6) d 7) b 8) b 9) a 10) d 11) c 12) e 13) c 14) a 15) d 16) a

Capítulo 3 1) a 2) b 3) e 4) d 5) a 6) c 7) c 8) b 9) a 10) c 11) b 12) b 13) a 14) a 15) b 16) b 17) d

Capítulo 4 1) e 2) d 3) b 4) a 5) e 6) 5 7) 6 8) 5,20,44

Capítulo 5 1) b 2) b 3) d 4) b 5) c 6) b 7) c 8) a 9) d 10) e 11) b 12) d 13) c 14) c 15) c

Capítulo 6 1) d 2) a 3) c 4) e 5) d 6) a 7) d 8) d

Capítulo 7 1) b 2) d 3) c

Capítulo 8 1) d 15)b 2) e 16)c 3) d 17)c 4) c 18)c 5) d 19)e 6) a 20) d 7) b 8) e 9) d 10) c 11) d 12) c 13) e 14) b

Capítulo 9 1) d 2) d 3) c 4) c 5) c 6) d 7) a 8) b 9) a

Capítulo 10 1) e 2) a 3) d 4) d 5) c 6) c 7) e 8) e 9) b 10) b 11) e 12) b 13) d 14) c 15) d 16) b 17) e 18) e 19) b 20) c

Capítulo 11 1) a 2) b 3) d 4) d 5) c 6) a 7) a 8) d 9) b 10) a 11) d 12) c 13) e

Capítulo 12 – Questões de Vestibulares 1) C 2) A 3) B 4) C 5) C 6) E 7) D 8) A 9)C 10)C 11) D 12) A 13) D 14) B 15) B 16) B 17) D 18) C 19) E 20) B 21) A 22) E 23) D 24) C 25) 63 26) C 27) C 28) E 29) A 30) E 31) D 32) D 33) B 34) E 35) A 36) A 37) A 38) B 39) C 40) A

GABARITO – GEOMETRIA PLANA




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Referências Bibliográficas:

� Fundamentos de Matemática Elementar

Odvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo

� Exercícios de Geometria Plana

Manoel Benedito Rodrigues e Álvaro Zimmermann Aranha

� Matemática

Manoel Jairo Bezerra e José Carlos Putnoki

� De Olho no Vestibular

Giovanni & Bonjorno

� Vestibulares de Universidades Brasileiras

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Geometria Plana