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CENTRO UNIVERSITÁRIO FAVENI
GEOMETRIA PLANA
GUARULHOS – SP
1
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................... 7
2 A MATEMÁTICA NA GRÉCIA ................................................................................... 8
2.1 Origens da matemática grega ................................................................................ 8
2.2 Tales de Mileto ...................................................................................................... 9
2.3 Pitágoras .............................................................................................................. 10
2.4 Platão................................................................................................................... 11
2.5 Aristóteles ............................................................................................................ 13
2.6 Álgebra e geometria na Grécia Antiga ................................................................. 14
2.7 Euclides ............................................................................................................... 15
2.8 Arquimedes .......................................................................................................... 16
2.9 Diofante ............................................................................................................... 17
2.10 Ptolomeu .............................................................................................................. 18
2.11 Declínio da matemática grega ............................................................................. 19
2.12 Técnicas da matemática grega na sala de aula ................................................... 20
2.13 O desafio da pirâmide .......................................................................................... 20
2.14 Triângulo pitagórico ............................................................................................. 22
3 MATEMÁTICA NOS SÉCULOS XVII A XIX ............................................................. 24
3.1 As eras Bernoulli e Euler ..................................................................................... 24
3.2 A família Bernoulli ................................................................................................ 24
3.3 Leonhard Euler .................................................................................................... 28
3.4 A matemática na Revolução Francesa e no século XIX ...................................... 30
2
3.5 Influências em sala de aula ................................................................................. 35
3.6 Interpretação do teorema do valor médio ............................................................ 35
4 DESENVOLVIMENTO DA MATEMÁTICA NO SÉCULO XX ................................... 37
4.1 A matemática entre os séculos XIX e XX ............................................................ 37
4.2 Jules Henri Poincaré ............................................................................................ 37
4.3 Conjectura de Poincaré ....................................................................................... 38
4.4 David Hilbert ........................................................................................................ 38
4.5 Matemáticos de destaque no século XX .............................................................. 40
4.6 Kurt Gödel ............................................................................................................ 40
4.7 Alan Turing .......................................................................................................... 41
4.8 As máquinas podem pensar? .............................................................................. 43
4.9 Benoît Mandelbrot ............................................................................................... 44
4.10 Quanto mede o litoral da Grã-Bretanha? ............................................................. 44
4.11 Cálculo da dimensão fractal ................................................................................. 45
4.12 A matemática do século XX na sala de aula ........................................................ 46
5 A BASE NACIONAL COMUM CURRICULAR E O ENSINO DE MATEMÁTICA ..... 49
5.1 Educação matemática e BNCC ........................................................................... 49
5.2 BNCC para os anos finais do ensino fundamental e para o ensino médio .......... 51
5.3 Anos finais do ensino fundamental ...................................................................... 51
5.4 Ensino médio ....................................................................................................... 53
5.5 Currículo escolar e BNCC .................................................................................... 54
6 DESENVOLVIMENTO DA GEOMETRIA, ANÁLISE E ÁLGEBRA .......................... 57
3
6.1 Desenvolvimento da geometria ........................................................................... 57
6.2 Gaspar Monge ..................................................................................................... 57
6.3 Jean Victor Poncelet ............................................................................................ 58
6.4 Princípio da dualidade e princípio da continuidade .............................................. 59
6.5 Michel Chasles .................................................................................................... 60
6.6 Cross-ratio ........................................................................................................... 61
6.7 Jakob Steiner ....................................................................................................... 61
6.8 Elipse de Steiner .................................................................................................. 61
6.9 Bernhard Riemann ............................................................................................... 64
6.10 Felix Klein ............................................................................................................ 64
6.11 Desenvolvimento da análise e álgebra ................................................................ 66
6.12 Voltando a Riemann ............................................................................................ 66
6.13 Karl Weierstrass .................................................................................................. 67
6.14 George Cantor ..................................................................................................... 67
6.15 Julius Wilhelm Richard Dedekind ........................................................................ 69
6.16 George Boole ....................................................................................................... 69
6.17 Augustus de Morgan ............................................................................................ 70
6.18 William Rowan Hamilton ...................................................................................... 70
6.19 Hermann Günter Grassmann ............................................................................... 71
6.20 Arthur Cayley ....................................................................................................... 71
6.21 James Joseph Sylvester ...................................................................................... 72
6.22 Geometria descritiva em sala de aula .................................................................. 73
4
6.23 Elementos básicos da geometria descritiva ......................................................... 74
6.24 Método Mongeano ............................................................................................... 76
6.25 Espaços projetivos ............................................................................................... 76
7 OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS E O ENSINO DE MATEMÁTICA
................................................................................................................................78
7.1 PCN: matemática no ensino fundamental ............................................................ 83
7.2 PCN: matemática no ensino médio ..................................................................... 88
7.3 Tema 1. Álgebra: números e funções .................................................................. 91
7.4 Tema 2. Geometria e medidas ............................................................................ 91
7.5 Tema 3. Análise de dados ................................................................................... 92
8 SEGMENTOS E ÂNGULOS .................................................................................... 93
8.1 Semirreta e segmento de reta ............................................................................. 93
8.2 Tipos de ângulos ................................................................................................. 96
8.3 Teoremas envolvendo segmentos e ângulos ...................................................... 99
9 POSIÇÕES RELATIVAS À INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS .............................. 104
9.1 Interseção entre retas ........................................................................................ 104
9.2 Classificação de retas ........................................................................................ 106
9.3 Paralelismo e coincidentes ................................................................................ 106
9.4 Concorrentes e reversas .................................................................................... 109
9.5 Retas planares e coplanares ............................................................................. 111
10 ESTUDO DA RETA NO PLANO ............................................................................ 115
10.1 Equação de reta no plano .................................................................................. 115
5
10.2 Representação de retas no plano cartesiano .................................................... 117
10.3 Retas paralelas aos eixos cartesianos .............................................................. 118
10.4 Avaliação das posições das retas em função do coeficiente angular ................ 119
11 DISTÂNCIA ENTRE PONTOS, RETAS E PLANO ................................................ 119
11.1 Dois pontos ........................................................................................................ 119
11.2 Um ponto e uma reta ......................................................................................... 120
11.3 Um ponto e um plano......................................................................................... 121
11.4 Duas retas ......................................................................................................... 121
11.5 Reta e plano ...................................................................................................... 123
11.6 Dois planos ........................................................................................................ 123
12 ÂNGULOS NO ESPAÇO ....................................................................................... 124
12.1 Retas coplanares ............................................................................................... 124
12.2 Retas reversas ................................................................................................... 124
12.3 Planos ................................................................................................................ 125
13 ÂNGULOS E INTERSEÇÕES ............................................................................... 126
13.1 Ângulo entre retas ............................................................................................. 126
13.2 Interseção entre planos ..................................................................................... 130
14 TRIÂNGULOS ........................................................................................................ 134
14.1 Triângulos e suas linhas transversais ................................................................ 134
14.2 Classificação dos triângulos .............................................................................. 135
14.3 Elementos notáveis de um triângulo .................................................................. 138
15 TEOREMAS SOBRE TRIÂNGULOS ..................................................................... 142
6
15.1 Teorema da base média .................................................................................... 142
15.2 Desigualdade triangular ..................................................................................... 142
15.3 Cálculos e demonstrações ................................................................................. 144
16 TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO ............................................. 149
16.1 Razões trigonométricas no triângulo retângulo .................................................. 149
17 POLÍGONOS ......................................................................................................... 153
17.1 O que são os polígonos? ................................................................................... 153
17.2 Polígonos convexos, côncavos e regulares ....................................................... 155
17.3 Propriedades dos polígonos .............................................................................. 155
17.4 Diagonais de um polígono ................................................................................. 156
17.5 Soma dos ângulos internos de um polígono ...................................................... 157
REFERÊNCIAS ............................................................................................................ 158
7
1 INTRODUÇÃO
Prezado aluno!
O grupo educacional Faveni, esclarece que o material virtual é semelhante ao da sala de
aula presencial. Em uma sala de aula, é raro – quase improvável - um aluno se levantar,
interromper a exposição, dirigir-se ao professor e fazer uma pergunta, para que seja
esclarecida uma dúvida sobre o tema tratado. O comum é que esse aluno faça a pergunta
em voz alta para todos ouvirem e todos ouvirão a resposta. No espaço virtual, é a mesma
coisa. Não hesite em perguntar, as perguntas poderão ser direcionadas ao protocolo de
atendimento que serão respondidas em tempo hábil. Os cursos à distância exigem do
aluno tempo e organização. No caso da nossa disciplina é preciso ter um horário
destinado à leitura do texto base e à execução das avaliações propostas. A vantagem é
que poderá reservar o dia da semana e a hora que lhe convier para isso. A organização
é o quesito indispensável, porque há uma sequência a ser seguida e prazos definidos
para as atividades.
Bons estudos!
8
2 A MATEMÁTICA NA GRÉCIA
2.1 Origens da matemática grega
Por volta do século VI a.C., houve um elevado desenvolvimento comercial entre
o Egito e a Grécia, possibilitando que o conhecimento dos egípcios ficasse acessível aos
gregos. Assim, a matemática, nas mãos dos gregos, começava a assumir uma nova
forma (ARAGÃO, 2009).
Fonte: www.pt.sodiummedia.com.br
A matemática dedutiva passou a vigorar e muito do que sabemos hoje se deve
às descobertas e aprimoramentos dos gregos. Muitos dos pensadores que se
destacaram nessa disciplina no mundo antigo eram da civilização grega, especialmente
durante o período que vai de 800 a.C. a 336 a.C. Foi nessa época que a civilização grega
teve um elevado crescimento cultural, intelectual e cientifico, considerado por muitos
historiadores como o período de maior evolução nessas áreas. Dentre muitos pensadores
importantes dessa época, podemos citar os filósofos Sócrates, Platão e Aristóteles, que
em torno de 400 a.C. chamavam a atenção com suas ideais e pensamentos (ZANARDINI,
2017).
9
A seguir, examinaremos as contribuições de alguns pensadores importantes para
o desenvolvimento matemático em ordem cronológica, destacando Tales, Pitágoras,
Platão e Aristóteles.
2.2 Tales de Mileto
Tales, nascido na cidade de Mileto (624 a.C.–548 a.C.), uniu o estudo da
astronomia ao da geometria e da teoria dos números, fundando a chamada Escola
Ioniana. Desenvolveu um dos trabalhos mais importantes no estudo das proporções. Ele
observou que a cada instante a altura dos objetos e o comprimento de suas respectivas
sombras projetadas mantinham uma razão constante. Sendo comerciante, fazia muitas
viagens e tinha contato com muitos povos diferentes. Numa de suas viagens ao Egito, foi
desafiado a medir a altura da grande pirâmide de Quéops. Com o uso de um bastão,
aplicou seus conhecimentos sobre segmentos proporcionais, comparando a altura do
bastão e de sua sombra com a altura da pirâmide e sua sobra (ARAGÃO, 2009).
Matematicamente, Tales de Mileto desenvolveu a proporção para os segmentos de
duas retas transversais a um feixe de retas paralelas, conforme exemplifica a Figura 1.
10
Nesse caso, a razão entre as medidas de dois segmentos quaisquer de uma
delas é igual à razão entre as medidas dos segmentos correspondente da outra, ou seja:
Tales de Mileto é considerado por muitos pesquisadores o criador da geometria
dedutiva, sendo a ele atribuídas as primeiras demonstrações matemáticas, incluindo os
resultados ou as tentativas de demonstração dos seguintes resultados sobre figuras
planas:
todo círculo é dividido em duas partes iguais por seu diâmetro;
os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais;
o ângulo inscrito em um semicírculo é reto;
quando duas retas se interceptam, os ângulos opostos são iguais;
os lados de triângulos semelhantes são proporcionais;
dois triângulos são congruentes se possuem dois ângulos e um lado iguais.
Vale lembrar que tanto a geometria quanto a aritmética praticada na
Mesopotâmia e no Egito nessa época se preocupavam apenas em resolver problemas
práticos, sem se preocupar com os princípios filosóficos matemáticos (BOYER;
MERZBACH, 2018).
2.3 Pitágoras
Pitágoras (580 a.C–500 a.C) nasceu na cidade Samos, próxima à cidade de
Mileto, e foi aluno de Tales. Após se estabelecer na cidade de Crotona, na atual Itália,
teve início a formação de uma irmandade religiosa, filosófica e científica chamada Escola
Pitagórica, onde foram abertas as portas pela primeira vez às mulheres.
Na Escola Pitagórica, em que os conhecimentos eram transmitidos de forma oral,
dava-se grande destaque aos estudos de aritmética, música, geometria e astronomia.
11
Seus membros tinham a ideia de que o universo era aritmético e que, no fundo, todas as
coisas são números (BOYER; MERZBACH, 2018).
São atribuídas a Pitágoras a definição do ponto como unidade com posição, a
classificação dos ângulos e a concepção geométrica do espaço como entidade
homogênea, contínua e limitada. Além disso, foi o primeiro a desenhar poliedros
regulares convexos e demonstrou que não existe qualquer fração racional cujo quadrado
é dois, sendo um dos mais belos raciocínios matemáticos (ARAGÃO, 2009).
Mas talvez o trabalho mais famoso atribuído a Pitágoras seja o teorema de
Pitágoras, segundo o qual as medidas dos catetos de um triângulo retângulo, b e c, e a
medida do maior lado do triângulo, chamado de hipotenusa, representado por a, são
relacionadas pela equação:
É importante frisar que esse resultado já era conhecido na geometria da
Mesopotâmia e do Egito e que não existem evidências de que Pitágoras ou os pitagóricos
tenham trabalhado nele (MOL, 2013).
A escola de Pitágoras foi destruída após uma rebelião popular e a irmandade
pitagórica deixou de existir como um grupo organizado, mas muitos dos seguidores ainda
mantiveram seus estudos e atividades por mais dois séculos.
2.4 Platão
Por volta do século V a.C., a cidade de Atenas consolidou-se como o principal
centro econômico e cultural do mundo helênico, tornando-se referência com em seu estilo
de governo, a democracia. Nesse período, o debate público era a base para esse sistema
democrático, o que levou ao compartilhamento de conhecimento e ideias. Assim, a
primeira grande escola filosófica ateniense foi a dos sofistas, que eram professores que
vendiam seus conhecimentos e treinavam cidadãos para os confrontos verbais. Nesse
ambiente de debates verbais e assembleias públicas, a cidade de Atenas teve a maior
12
contribuição para a estruturação da matemática na Grécia Antiga dada pelo filósofo
Platão (427 a.C.–347 a.C.).
A escola chamada de Academia foi fundada por Platão e durante um século
dominou a vida filosófica da cidade. A Academia pode ser considerada como o primeiro
exemplo de instituição de ensino e pesquisa de alto nível. Era uma escola destinada ao
estudo, pesquisa e ensino da filosofia e da ciência, e tinha na matemática sua principal
disciplina, sendo considerada indispensável para a formação intelectual do cidadão.
Dessa forma, a Academia se tornou o centro dos trabalhos matemáticos mais importantes
do seu tempo, apesar de não se ter provas de contribuições técnicas de Platão para a
matemática (MOL, 2013).
Segundo o autor, Platão foi influenciado por Pitágoras na visão de como a
matemática estruturava o universo, porém diferenciava-se na concepção geométrica,
contrastando com a concepção aritmética pitagórica. Para Platão, a matemática era um
domínio autônomo e autossuficiente, cujas verdades podem ser conhecidas a priori,
independentemente dos sentidos. Essa maneira de pensar influenciou a própria
concepção de demonstração, pois apenas o uso do raciocínio dedutivo passou a ser
permitido, não sendo admitido o recurso à experiência sensível.
Para Platão, os objetos sensíveis são suscetíveis a mutações, enquanto seus
modelos abstratos são imutáveis, eternos e universais. Assim, exigia-se na matemática
o uso do método analítico das demonstrações com a identificação clara da tese que se
deseja provar.
Platão criou novos modelos para compreender e desenvolver a estrutura e a
natureza da matemática. Sabia do caráter abstrato dos objetos matemáticos ao distinguir
o “mundo real”, onde vivem os objetos sensíveis, do “mundo das ideias”, alcançado pela
razão. Pode-se dizer que a maior contribuição de Platão para a matemática foi a
concepção da matemática pura. Talvez pela falta de registros, muitos historiadores
acreditam que Platão era obcecado pela matemática, embora não fosse um matemático
em si, sendo muito provável que nunca tenha resolvido uma questão geométrica. Suas
contribuições à geometria estão mais no melhoramento de seu método do que em
adições a seu conteúdo. De qualquer forma, sendo considerado efetivamente um
13
matemático ou não, é inegável que Platão contribuiu para o desenvolvimento da
matemática grega, em especial da geometria, o que levou a uma das maiores obras da
antiguidade, os Elementos de Euclides (BICUDO, 1998).
2.5 Aristóteles
Aristóteles (384 a.C.–322 a.C.) estudou e trabalhou na Academia de Platão, sendo
considerado seu discípulo mais famoso. Em sua trajetória, Aristóteles foi professor de
Alexandre, o Grande, e professor de outro futuro rei, que teve um papel importante na
ciência do mundo clássico, Ptolomeu Sóter. Em suas concepções matemáticas,
Aristóteles discordava de seu mestre em relação à natureza da matemática e de seus
objetos. Acreditava que as formas geométricas e numéricas não existem como entidades
independentes do mundo real, ou seja, os objetos matemáticos existem como abstração
dos objetos reais, mas sua existência depende da existência do próprio objeto. Ao
contrário da visão racionalista de Platão, Aristóteles tinha uma visão empirista, segundo
a qual os elementos matemáticos têm vida independente no “mundo das ideias” (MOL,
2013).
Aristóteles entendia a matemática como uma ciência dedutiva, como um edifício
estruturado por verdades encadeadas por relações lógicas, fundado sobre alguns
pressupostos básicos não demonstrados. Para Aristóteles, era fundamental produzir um
discurso capaz de explicá-lo de acordo com certas regras, estabelecidas por meio da
lógica formal, criada e sistematizada por ele mesmo. Esse modelo de lógica, chamado
de modelo aristotélico, dominou o Ocidente até meados do século XIX, quando foi
incorporado à lógica formal moderna (MOL, 2013).
Conforme explica Mol (2013), entre seus estudos, Aristóteles analisou a noção de
infinito, distinguindo infinito atual e infinito potencial. Além disso, contribuiu para as
noções matemáticas fundamentais, como de axioma, definição, hipótese e
demonstração.
Aristóteles (Figura 2) fez uma síntese organizada de todo o saber do seu tempo,
interessando-se pela matemática como método de raciocínio e formulando o primeiro
14
sistema de lógica. Contudo, tampouco produziu resultados ou teorias matemáticas ele
próprio. Seja como for, suas contribuições acabaram influenciando como a matemática
seria construída nos séculos seguintes (MOL, 2013).
2.6 Álgebra e geometria na Grécia Antiga
No século IV a.C., Felipe II da Macedônia conquistou a Grécia, dando fim à
autonomia e à democracia das cidades gregas. Seu filho, Alexandre, o Grande, expandiu
e unificou o império, chegando a conquistar desde a atual Grécia até o Afeganistão,
passando pela Turquia e Oriente Médio. Quando conquistou o Egito, Alexandria acabou
se tornando o centro intelectual do mundo. Após a morte de Alexandre, em 323 a.C.,
Ptolemeu Sóter (323 a.C.–283 a.C), que era um cientista grego e um de seus generais,
estabeleceu-se como rei do Egito, dando início a uma dinastia (MOL, 2013).
Nesse momento da história, Ptolemeu Sóter fundou a Escola de Alexandria, com o
intuito de proporcionar um ambiente favorável ao saber, onde a cultura grega e cultura
egípcia viriam a se ligar, sendo lar de alguns dos maiores matemáticos da Antiguidade,
como Euclides e Arquimedes, entre outros (ARAGÃO, 2009).
15
Segundo Mol (2013), o sistema de funcionamento da Escola de Alexandria era muito
semelhante ao das nossas universidades atuais. Muitos estudiosos iam para a Escola de
Alexandria fazer pesquisas, pois o local possuía uma biblioteca que chegou a ter 700 mil
rolos de papiro em seu acervo, proporcionando um status para a cidade de metrópole
intelectual da época. Assim, é nesse cenário que veremos alguns dos ilustres
matemáticos que viriam a contribuir para a evolução da matemática, como Euclides, que
foi escolhido para ser chefe do departamento de matemática da Escola de Alexandria,
além de Arquimedes, Diofante e Ptolomeu.
2.7 Euclides
O livro Elementos, escrito pelo matemático grego Euclides em Alexandria, por volta
de 300 a.C., é um tratado matemático e geométrico composto por 13 livros. A obra trata
da geometria plana conhecida da época, da teoria dos números, dos incomensuráveis e
da geometria espacial, sendo considerado a mais brilhante obra matemática grega e um
dos textos que mais influenciaram o desenvolvimento da matemática e da ciência em
todos os tempos (MOL, 2013).
Nele, são abordados aspectos da geometria plana ou, como ficou conhecida,
geometria euclidiana plana, segundo um processo já dedutivo, sem nenhuma
preocupação com aplicação em situações reais ou práticas. Euclides definiu objetos
geométrico cujas propriedades desejava estudar, totalizando 23 definições. Temos como
exemplo as definições de ponto, reta, círculo, triângulo, etc.
O método utilizado por Euclides é o método axiomático. Esse método consiste em
mostrar que uma afirmação é verdadeira por meio de outra afirmação que se acredita ser
verdadeira. Assim, se quisermos provar que P1 é uma afirmação verdadeira, utilizamos
uma afirmação P2 que seja verdadeira, e mostramos logicamente, por P2, que P1 é
verdadeira. Nesse processo, existem duas condições que devem ser cumpridas para que
uma prova esteja correta:
16
aceitar como verdadeiras certas afirmações, chamadas de axiomas ou
postulados, sem a necessidade de prova;
saber como e quando uma afirmação segue logicamente de outra.
Assim, os axiomas podem ser entendidos como afirmações que foram tantas vezes
provadas na prática que é muito pouco improvável que alguém duvide delas. No trabalho
de Euclides, com apenas cinco postulados ele foi capaz de deduzir 465 proposições,
muitas com alto grau de complexidade e não intuitivas (ZANARDINI, 2017).
Sobre a vida de Euclides pouco se sabe, apenas que viveu no século III a.C. em
Alexandria e que foi um dos estudiosos que trabalhou no museu da cidade.
2.8 Arquimedes
Após Euclides, outro importante matemático grego foi Arquimedes (c. 287 a.C.–212
a.C.), que nasceu e viveu na cidade de Siracusa, na Sicília, mas estudou em Alexandria.
Sua obra apresentava o rigor que a matemática exigia com a preocupação para a
aplicação. Arquimedes foi muito conhecido entre os gregos por suas invenções. As
máquinas de guerra que construiu, usadas para defender a cidade de Siracusa, eram
famosas. Pode-se dizer que foi um pioneiro na área da física e da mecânica teórica. Em
sua obra que trata do equilíbrio do plano, escreveu de maneira de formal e com estrutura
semelhante à dos Elementos de Euclides, partindo de definições e postulados simples
para chegar a resultados mais complexos. Foi Arquimedes quem descobriu a primeira lei
da hidrostática. Na sua obra Sobre corpos flutuantes, prova duas proposições que
compõem o chamado princípio hidrostático de Arquimedes, que afirma que, quando um
corpo é mergulhado em um fluido, recebe um empuxo de intensidade igual ao peso do
volume de água deslocado (ZANARDINI, 2017).
Também contribuiu para o desenvolvimento de métodos rudimentares de cálculo
diferencial e integral em estudos relacionados à geometria espacial sobre esferas,
cilindros e cones. No seu trabalho chamado Sobre a medida do círculo, avaliou a razão
entre a circunferência e o diâmetro de um círculo. Começou com um hexágono regular
inscrito e um hexágono circunscrito a um determinado círculo, para então ir
17
progressivamente dobrando o número de lados, até chegar a um polígono de 96 lados.
Como resultado de seus cálculos, chegou a uma aproximação de π com enorme precisão
para a época: 3,1408 < π < 3,1428 (MOL, 2013).
No início do século XX, foi descoberto um dos mais importantes tratados de
Arquimedes, chamado de O método. Nele, há uma série de cartas escritas por
Arquimedes ao matemático Erastóstenes de Cirene, que era chefe da Biblioteca de
Alexandria. Nessa obra, Arquimedes comenta que a existência de indicações sobre a
validade de um resultado facilitaria sua demonstração. Essas indicações eram obtidas
por meio de investigações mecânicas, ou seja, pesos teóricos dos objetos matemáticos
envolvidos, em que uma prova rigorosa deveria ser construída pelo método geométrico
tradicional (MOL, 2013).
2.9 Diofante
Vários estudiosos da matemática acreditam que Diofante de Alexandria viveu no
século III a.C., mas seu período de vida não é preciso. Pouco se sabe sobre sua vida
com exatidão, apenas que morreu aos 84 anos, fato que foi descrito em um poema da
antologia grega que serviu de epitáfio a Diofante. Das obras de Diofante, a mais
importante é intitulada Aritmética, um tratado analítico de teoria algébrica dos números,
composta de 13 livros. É bem provável que o a obra Aritmética seja uma compilação e
sistematização dos conhecimentos da época, assim como os Elementos de Euclides. Tal
obra possui problemas de aritmética com enunciados abstratos e gerais, sendo os dados
numéricos especificados apenas a posteriori. Já na resolução desses problemas, não
utiliza as referências geométrica, diferenciando-se assim da álgebra geométrica grega
tradicional.
De certa forma, é um trabalho muito diferente dos demais trabalhos gregos da
época, pois não apresenta uma exposição sistemática de proposições, apenas uma
centena de problemas formulados em termos de exemplos, cujas demonstrações são
apenas ilustrações, em alguns casos particulares concretos (MOL, 2013).
18
Entre os assuntos abordados por Diofante, estão as chamadas equações
indeterminadas, cujos coeficientes, assim como suas soluções, eram sempre números
racionais positivos, quase sempre inteiros. Desse modo, não tinha preocupação na
obtenção de soluções gerais, apenas buscava soluções particulares com exemplos
numéricos. Diofante incorporou símbolos, notações e abreviações em seus trabalhos,
contribuindo para o primeiro passo da álgebra simbólica, que seria desenvolvida apenas
no século XVII, sobretudo por René Descartes. Muitos estudiosos consideram Diofante o
pai da álgebra, mas avaliando seus trabalhos talvez seja mais adequado tratá-lo como
precursor da moderna teoria dos números, que deslancharia com o trabalho de Fermat
no século XVII (BOYER; MERZBACH, 2018).
2.10 Ptolomeu
Cláudio Ptolomeu (90 d.C.–168 d.C.), também conhecido como Ptolomeu de
Alexandria, foi um astrônomo, geógrafo e matemático de origem grega. Nasceu em
Ptolemaida Hérmia, no Egito, na época de domínio romano. Foi um importante cientista
grego, contribuindo de forma significativa nas áreas da matemática, geografia,
cartografia, astrologia, astronomia, óptica e teoria musical. Também vale ressaltar que
não possui parentesco com os reis da dinastia ptolemaica (MOL, 2013).
Ptolomeu se esforçou muito para sintetizar os trabalhos de seus antecessores e
também escreveu uma série de trabalhos matemáticos, mas foram as teorias sobre
trigonometria esférica e sobre o movimento do Sol e da Lua e a catalogação dos corpos
celestes que o tornaram reconhecido. Escreveu um tratado astronômico e matemático
sobre o movimento estelar e planetário segundo um modelo geocêntrico do universo,
tornando-se um dos textos científicos de maior influência de todos os tempos. Esse
tratado é composto por 13 livros, sob o título de Síntese Matemática, mas ficou conhecido
como Almagesto, que em árabe significa “o maior”, destacando-se de outros tratados de
astronomia. Nele, Ptolomeu mostra o conceito da esfericidade do céu e a descoberta da
forma esférica da Terra, aplicados à geometria do círculo e da esfera, contribuindo
19
significativamente para trigonometria da Antiguidade e criando ferramentas que dariam
suporte para lidar com essa geometria.
De acordo com Mol (2013), Ptolomeu estendeu os trabalhos de Hiparco e de
Menelau, criando uma maneira de calcular as cordas subentendidas por arcos de um
círculo. Na Grécia, já se fazia uso da divisão de um círculo em 360°, mas a prática foi
incorporada de vez por Ptolomeu. Também construiu uma tabela de cordas de arcos,
com os ângulos variando de 0,5° a 180°, em intervalos de 0,5°. Essa tabela de cordas
serviria de referência para os astrônomos por mais de mil anos. O que Ptolomeu construiu
é equivalente a construir uma tabela de senos de 1/4° a 90° e, uma vez que cos θ = sen
(90° − θ), indiretamente também fornecia uma tabela de cossenos.
2.11 Declínio da matemática grega
Com o início do domínio romano no Egito por volta de 30 a.C., temos o fim da
dinastia ptolemaica. Quando Roma assumiu a administração da região, houve uma série
de conflitos sociais, fazendo com que o progresso do conhecimento científico ficasse
adormecido. Alguns matemáticos, como Ptolomeu de Alexandria, atuaram nesse período,
mas sem o apoio de seus antigos patronos. O último tratado matemático significativo que
se tem registro da Antiguidade Clássica, chamado de Coleção, foi escrito por Papos de
Alexandria, em torno de 320 d.C. Junto com o domínio do Império Romano, o cristianismo
vinha crescendo e dificultando ainda mais a produção científica.
O imperador romano Teodósio I publicou no ano 391 d.C. um decreto que bania o
paganismo. A Biblioteca e o Museu de Alexandria, sendo considerados templos pagãos,
tiveram seu fechamento ordenado. O imperador romano do Oriente, Justiniano, acusou
a escola de Atenas de ensinar uma filosofia pagã que ameaçava o cristianismo, sendo
fechada em 529 d.C. Assim, muitos filósofos fugiram de Atenas e se exilaram na Pérsia,
o que foi um marco para o fim do desenvolvimento da matemática grega da Antiguidade
(MOL, 2013).
20
2.12 Técnicas da matemática grega na sala de aula
Ao examinarmos a história da matemática, podemos perceber a evolução dessa
ciência. A matemática não é uma ciência pronta e acabada, e muitos alunos, por exemplo,
se enganam quando veem a matemática como um mero monte fórmulas. Com a ajuda
da história da matemática, é possível transpor essa barreira e promover uma
aprendizagem para os alunos que faça mais sentido. Nesta seção, serão apresentadas
duas técnicas da matemática grega antiga que podem ser usadas em sala de aula para
os alunos de ensino básico, dando uma ideia de como os matemáticos da época
pensavam e como aplicavam os conhecimentos matemáticos (MOL, 2013).
2.13 O desafio da pirâmide
Tales de Mileto, em uma de suas viagens ao Egito, foi desafiado a medir a altura da
grande pirâmide de Quéops. Com o uso de um bastão, aplicou seus conhecimentos sobre
segmentos proporcionais, comparando a altura do bastão e da sua respectiva sombra
com a altura da pirâmide (Figura 3). Dessa forma, Tales estimou que a altura da pirâmide
de Quéops era de 158,8 metros. Originalmente, a altura da pirâmide era de 146,5 metros,
mas com o passar do tempo e devido à erosão e a vandalismos, sua altura hoje é de
138,8 metros.
21
Podemos aplicar esse mesmo conceito pedindo para os alunos de uma turma
determinarem a altura de um poste usando apenas um bastão (MOL, 2013). Em certo
momento do dia, o poste projeta uma sombra de um certo comprimento. Fixando o bastão
próximo ao poste, podemos notar que este também fará uma sombra (Figura 4).
Comparando a altura do bastão e de sua sombra com a altura do poste e de sua
sombra, aplicamos o teorema de Tales, que determina que altura do poste está para o
tamanho da sombra do poste assim como a altura do bastão está para o tamanho da
sombra do bastão. Matematicamente, temos:
Fazendo as medições do tamanho de cada sombra e altura do bastão, consegue-
se chegar à altura aproximada do poste — aproximada pois há os erros que podem ser
cometidos ao realizar as medições, podendo ser de milímetros. Está é uma tarefa fácil e
que pode ser explorada em sala de aula sem a exigência de recursos sofisticados. O
22
aluno pode perceber que Tales de Mileto, mediante um processo matemático e uma
forma simples, conseguiu medir a altura de uma pirâmide colossal por volta do ano 600
a.C.
2.14 Triângulo pitagórico
Talvez a maioria dos estudantes já tenha ouvido falar do famoso teorema de
Pitágoras. Pitágoras e seus discípulos, os pitagóricos, abordavam entre seus estudos a
matemática (MOL, 2013). Na área de figuras, uma delas está relacionada ao triângulo
retângulo, importante figura, que tem inúmeras aplicações no nosso cotidiano. Pode-se
mostrar o teorema de Pitágoras já no ensino fundamental com a demonstração por
semelhança de triângulos ou com a demonstração de Perigal, em que a ideia de que a
soma de quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa é demonstrada com
o recurso geométrico das áreas. Também pode-se utilizar um dos triângulos retângulos
mais conhecidos, chamado triângulo pitagórico, que possui os lados medindo 3, 4 e 5
unidades, e que sempre formará um triângulo com um dos ângulos retos (Figura 5).
A atividade que se propõe é pedir para os alunos traçarem uma linha reta que
seja ortogonal a uma das paredes da sala usando um barbante. Primeiro, deve-se dar
nós no barbante espaçados a distâncias iguais. Ao todo, devemos fazer 13 nós. Com
23
esse barbante, desenhamos a forma de um triângulo, no caso um triângulo pitagórico
com os lados 3, 4 e 5 unidades (Figura 6).
Dessa forma, basta colocar o lado menor do triângulo, que possui três espaços,
paralelamente à parede e formar o triângulo pitagórico, com o outro cateto com quatro
espaços, formando um ângulo de 90° com a parede. Desse modo, com material de fácil
acesso e sem muito custo é possível mostrar o triângulo pitagórico e como pode ser
utilizado na prática (MOL, 2013). É muito provável que os alunos vão gostar da
experiência, entendendo o conceito e a história por trás dele. Assim, foram apresentadas
duas técnicas da matemática grega a serem aplicadas em sala de aula como apoio ao
professor. Há muitas outras que podem ser aplicadas, ajudando na aprendizagem do
aluno. Esse olhar diferenciado para a matemática, para sua evolução e como os antigos
faziam para determinar e resolver problemas, ajuda na construção do saber e no
entendimento do assunto.
24
3 MATEMÁTICA NOS SÉCULOS XVII A XIX
3.1 As eras Bernoulli e Euler
Os séculos XVII e XVIII estão marcados pelo estabelecimento de duas eras na
história da matemática: a era da família Bernoulli, com início no século XVII, e de
Leonhard Euler, no século XVIII. Podemos entende-las como eras devido às vastas
contribuições e avanços dos Bernoulli e de Euler em diversas áreas da matemática, que
são ensinadas e aplicadas até os dias de hoje.
O cenário da matemática no século XVII era efervescente, devido ao
desenvolvimento do cálculo diferencial e integral por Isaac Newton e Gottfried Leibniz e
pela melhor compreensão de alguns processos envolvendo o infinito, como as séries
infinitas e o limite. Além disso, os avanços eram descentralizados geograficamente, isto
é, encontramos ao longo desse período matemático influentes em diversos países
europeus, como França, Alemanha, Inglaterra, Suíça e Holanda. Mais do que isso, a
grande maioria desses pensadores estava em constante comunicação. Esse contexto
favoreceu o surgimento das importantes eras dos Bernoulli e de Euler, e por que não
dizer o estabelecimento do que chamamos de era moderna da matemática.
3.2 A família Bernoulli
A família Bernoulli ficou conhecida por possuir diversos matemáticos renomados
e influentes. De fato, cerca de 12 membros da família tiveram contribuições significativas
na matemática ou em áreas correlatas, como a física. A família se estabeleceu na
Basiléia, Suíça, em 1576, após fugir dos Países Baixos devido a perseguições religiosas
(BOYER; MERZBACH, 2018).
Na primeira geração de matemáticos da família, estão os irmãos Jacques
Bernoulli (1654–1705) e Jean Bernoulli (1667–1748). O mais velho, Jacques, mergulhou
no estudo do cálculo infinitesimal por meio da leitura de artigos de Leibniz, além de obras
dos ingleses Isaac Barrow (1630–1677) e John Wallis (1616–1703). Devemos a ele o
25
termo “integral” na linguagem do cálculo, termo que sugeriu a Leibniz e que foi adotado
pelo alemão.
Após certo tempo, Jacques Bernoulli já estava contribuindo para o cálculo com
publicações na Acta eruditorum, a revista matemática que Leibniz ajudou a fundar e na
qual publicava frequentemente. Apesar de seu interesse pelo cálculo infinitesimal e por
séries infinitas, Jacques Bernoulli obteve avanços em diversas áreas. Uma desigualdade
importante na matemática, conhecida como desigualdade de Bernoulli, foi desenvolvida
por ele:
Vamos analisar a desigualdade de Bernoulli para o caso particular em que n = 2,
isto é:
Observe que essa desigualdade em particular pode ser verificada expandindo-se
o termo do lado esquerdo da desigualdade (quadrado d da soma), ou seja:
uma vez que
O gráfico exibido na Figura 1 mostra a desigualdade de Bernoulli para n = 3.
Observe que a curva está acima da curva
26
Além de diversas publicações no Acta eruditorum, Jacques Bernoulli escreveu
um influente tratado, o Ars conjectandi (A arte de conjecturar) (Figura 2), que foi publicado
postumamente em 1713 e que aborda problemas de contagem envolvendo permutações
e combinações e principalmente problemas relacionados à teoria das probabilidades.
27
Nessa obra aparece um importante teorema da área, chamado de lei dos grandes
números, que enuncia que, se um evento com probabilidade de ocorrência p ocorre m
vezes em uma sequência de n experimentos, então:
Isto é, a probabilidade da frequência relativa de ocorrências deste evento tornar-
se arbitrariamente próxima da probabilidade p à medida que o número de experimentos
aumenta tende a 1, ou seja, 100%. Na área de equações diferenciais, Jacques Bernoulli,
em parceria com seu irmão Jean e com Leibniz, contribuiu para o desenvolvimento da
hoje conhecida equação de Bernoulli:
onde p(x) e g(x) e são funções quaisquer de x. A solução proposta para essa equação
consiste na transformação v = y1-n. A equação obtida ao substituir tal transformação na
equação diferencial original é linear, e portanto, passível de solução pelo método do fator
integrante, por exemplo.
O irmão de Jacques, Jean Bernoulli, também obteve resultados importantes na
matemática. Escreveu livros didáticos sobre cálculo diferencial e integral e, enquanto
esteve em Paris, ensinou esse então novo ramo da matemática para um marquês, que
possuía grande interesse pela área, o marquês de L’Hospital (1661–1704). Além dos
ensinamentos, Jean Bernoulli enviava ao marquês artigos e descobertas recentes da
matemática. Numa dessas descobertas feitas por Jean Bernoulli está a conhecida regra
de L’Hospital, extremamente utilizada no cálculo diferencial. Se f(x) e g(x) são
diferenciáveis em x = a e f(a) = g(a) = 0, então:
28
Caso o limite do lado direito da equação exista. Logo, a regra de L’Hospital é
amplamente aplicada em problemas envolvendo indeterminações no cálculo de limites.
Essa regra foi colocada por L’Hospital em seu livro Analyse des infinement petit,
publicado em 1696 e considerado o primeiro livro didático impresso de cálculo diferencial.
Os filhos de Jean Bernoulli, Nicholas (1695–1726), Daniel (1700–1782) e Jean II (1710–
1790) também se tornaram professores de matemática, com destaque para Daniel
Bernoulli, que fez importantes avanços em hidrodinâmica (princípio de Bernoulli), na
teoria das probabilidades, entre outras áreas, quando professor da Academia de Ciências
de São Petersburgo, na Rússia.
3.3 Leonhard Euler
Considerado um dos matemáticos mais produtivos da história, com mais de 500
artigos publicados em diversas áreas, o suíço Leonhard Euler (1707–1783) (Figura 3)
influenciou gerações com o desenvolvimento e a fundamentação da análise matemática.
Sua obra Introductio in analysin infinitorum, de 1748, é considerada a fonte inicial dos
fundamentos da análise e proporcionou o avanço da área posteriormente por outros
matemáticos.
29
Euler estudou com Jean Bernoulli e fez grandes amizades com seus filhos
Nicholas e, principalmente, Daniel. Tinha imensa habilidade em outras áreas do saber,
como medicina, línguas, astronomia e teologia.
Tais conhecimentos permitiram sua entrada na cadeira de medicina da Academia
de São Petersburgo, na Rússia, onde os irmãos Nicholas e Daniel Bernoulli estavam
trabalhando, porém como professores de matemática. Certo tempo depois, Euler
conseguiu transferência para a cadeira de filosofia natural da academia. Construiu grande
reputação na instituição e em toda a Europa, onde ganhou diversas premiações
acadêmicas.
Fez parte da Academia de Berlim a convite de Frederico, o Grande, onde ficou
por 25 anos, até retornar à Rússia. Mesmo com graves problemas de visão, que o
levaram à completa cegueira, Euler permaneceu produzindo e pesquisando até sua
morte, em 1783 (FLOOD; WILSON, 2013).
A influência de Euler já é evidente com as notações matemáticas definidas por
ele e utilizadas até os dias de hoje. Para citar alguns exemplos, a utilização da letra grega
∑ para representar somatórios, a notação f(x) para funções da variável x, a aplicação de
letras maiúsculas para ângulos internos de um triângulo e minúsculas para seus lados,
além da letra i para unidade imaginária de um número complexo.
Por fim, a definição da letra e para a base dos logaritmos naturais, constante
conhecida como número de Euler. Com essas notações, pode-se estabelecer a famosa
identidade de Euler:
Que relaciona alguns dos números mais importantes da matemática, como 0, 1 e
π, e ainda apresenta todo um leque de operações básicas, incluindo soma,
potenciação, multiplicação e igualdade. Como já mencionado, uma das principais
contribuições de Euler foi a fundamentação da análise matemática, que estuda
processos e metodologias associados ao infinito, como o comportamento de
sequências, limites de funções, convergência de séries infinitas, entre outros.
30
De fato, com o avanço da análise, diversos resultados oriundos do cálculo
diferencial e integral foram formalmente demonstrados com ferramentas da análise. A
família Bernoulli e Leonhard Euler foram os personagens principais de uma era na
matemática. Entretanto, diversos matemáticos importantes foram contemporâneos
dos Bernoulli e de Euler, responsáveis por grandes avanços em áreas como cálculo
diferencial e integral, análise matemática e teoria dos números.
Nesse âmbito, podemos destacar Colin Maclaurin (1698–1746), Brook Taylor
(1683–1731) e Michel Rolle (1652–1719) com importantes trabalhos no cálculo,
Gabriel Cramer (1704–1752) e Jean Le Rond D’Alembert (1717–1783) na álgebra e
Alexis Clairaut (1713–1765) nas equações diferenciais (BOYER; MERZBACH, 2018;
ROONEY, 2017).
3.4 A matemática na Revolução Francesa e no século XIX
O período da Revolução Francesa, no final do século XVIII, trouxe vários grupos
de matemáticos responsáveis por avanços em diversas áreas, principalmente na própria
França. Matemáticos como Lagrange, Laplace, Legendre, entre outros, são
personalidades tanto na matemática quanto, alguns deles, na revolução em si.
Nesse período, os matemáticos começam a propor maior rigor e formalidade no
pensamento matemático, o que se solidificou principalmente no século seguinte Joseph-
Louis Lagrange (1736–1813), italiano, mas com ascendência francesa, contribuiu
significativamente para o cálculo diferencial e integral. Formulou o teorema do valor
médio, que enuncia que, se uma função f é contínua em [a, b] e diferenciável em (a, b),
então existe tal que:
Além disso, Lagrange propôs a utilização dos atualmente conhecidos
multiplicadores de Lagrange para obtenção de máximos e mínimos de funções com
31
restrições em seu domínio, além de ter sido o autor do método da variação de parâmetro
na resolução de equações diferenciais lineares não homogêneas. Ficou conhecido pela
elegância de seus métodos, além da preocupação com o rigor analítico de suas
proposições.
Assim como Lagrange, o francês Adrien-Marie Legendre (1752–1833) foi
importante no cálculo, por meio de estudos em equações diferenciais, integrais elípticas
e na escrita do tratado Exercices du calcul integral, produzido entre 1811–1819, com
grande impacto na análise matemática. O formalismo e o rigor matemático defendidos
por Lagrange também são encontrados em Legendre, cuja obra Éléments de géometrie,
de 1794, ficou famosa pela clareza e pelo rigor aplicados nos conceitos abordados
(BOYER; MERZBACH, 2018).
O século XVIII foi marcante pelos primeiros desenvolvimentos na teoria das
probabilidades, com participações fundamentais dos franceses Abraham De Moivre
(1667–1754) e Pierre-Simon Laplace (1749–1827) (Figura 4).
O primeiro foi o autor da influente obra Doctrine of chances, de 1718, com
abordagem em diversos problemas probabilísticos envolvendo jogos de dados e retiradas
de bolas em urnas, além de estabelecer uma teoria para permutações e combinações.
Segundo Boyer e Merzbach (2018), foi o primeiro a trabalhar com a expressão
da curva gaussiana ou distribuição normal
Que também fora estudada por Laplace e utilizada por Gauss na sua teoria dos
erros. Laplace, inclusive, foi o autor de diversos artigos na área de teoria das
probabilidades. Reuniu seus resultados na obra Théorie analytique des probabilités, de
1812, considerada clássica na área. Por fim, escreveu Essai philosophique des
probabilités, de 1814, em que considera toda a teoria desenvolvida sobre a área até
então, além de introduzir o assunto para o público leigo.
32
A matemática do século XIX evoluiu tanto em aspectos técnicos — com o
surgimento de novos conceitos, como geometria não euclidiana, espaços n-dimensionais
e álgebras não comutativas — quanto em aspectos filosóficos, em que o rigor lógico-
dedutivo passava a ter papel central nas demonstrações dos resultados. A matemática
pura recebeu mais atenção, com maiores incentivos à pesquisa e à divulgação. Foi esse
o século que testemunhou o auge de Gauss, considerado o principal matemático do
período.
Carl Friedrich Gauss (1777–1855) nasceu na Alemanha e desde criança já
demonstrava habilidades com a matemática. Pesquisas importantes na geometria, na
álgebra e na teoria dos números foram conduzidas, com resultados de destaques obtidos
por Gauss ainda jovem.
Apresentou demonstrações do teorema fundamental da álgebra, que afirma que
uma equação de grau n possui exatamente n raízes (reais ou complexas). Descobriu o
famoso método dos mínimos quadrados, fundamental na estatística, por ser um método
de otimização que visa obter a melhor aproximação ou, em linguagem estatística, melhor
ajuste, considerando a minimização da soma dos quadrados das distâncias entre o ajuste
e as observações (ROONEY, 2017).
33
Em teoria dos números, Gauss publicou a influente obra Disquisitiones
arithmeticae (Figura 6), publicada em 1801, em que reuniu diversos avanços na área
obtidos por matemáticos como Euler, Lagrange e Legendre, além de resultados
alcançados por ele mesmo (ROONEY, 2017).
Em teoria de probabilidades, Gauss aplicou a curva hoje conhecida como curva
gaussiana ou distribuição normal, apresentada na Figura 7, para modelar erros de
medição em dados astronômicos. Postulou que a frequência dos erros distribuía-se
simetricamente ao redor de zero, que era o valor modal. A expressão analítica da curva
gaussiana já fora estudada por De Moivre e Laplace, mas sua aplicação por Gauss no
âmbito da teoria dos erros foi fundamental para seu desenvolvimento e popularidade.
34
Apesar do destacado papel de Gauss na matemática do século XIX, diversos
matemáticos devem ser mencionados por suas importantes contribuições no período.
Augustin-Louis Cauchy (1789–1857), por exemplo, estabeleceu o termo “determinante”
e realizou diversos trabalhos sobre o assunto, que hoje é essencial em estudos sobre
matrizes. Entre outras contribuições, generalizou de certa forma o teorema do valor médio
no cálculo, em que, se f e g satisfazem as condições mencionadas anteriormente quando
introduzido o teorema, então:
O prussiano Carl Cristov Jacobi (1804–1851), o norueguês Niels Henrik Abel
(1802–1829) e o francês Évariste Galois (1811–1832), apesar do pouco período em que
viveram (Galois, por exemplo, faleceu em um duelo aos 20 anos), foram responsáveis
por avanços na teoria dos números, no cálculo diferencial e integral, na álgebra, entre
outras (BOYER; MERZBACH, 2018)
35
3.5 Influências em sala de aula
Os avanços realizados em todas as áreas da matemática entre os séculos XVII
e XIX estão presentes atualmente nas salas de aula, a começar pelas notações, muitas
delas introduzidas por Euler no século XVIII para funções matemáticas, para a unidade
imaginária e para a base do logaritmo natural, por exemplo. As ferramentas de cálculo,
amplamente estudadas naquele período, podem ser vistas em diversos assuntos. Ao
abordar esses conceitos em sala de aula, o professor pode fazer conexões com o
contexto histórico e com os matemáticos que os desenvolveram. O exemplo a seguir
interpreta o teorema do valor médio em termos de retas secantes e tangentes (BOYER;
MERZBACH, 2018).
3.6 Interpretação do teorema do valor médio
A partir do teorema do valor médio, temos que:
Note que o lado esquerdo da equação representa o coeficiente angular da reta
secante ao gráfico da função de f que passa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)). O teorema
diz que existe um ponto (c, f(c)) cuja reta tangente ao gráfico neste ponto possui o mesmo
coeficiente angular que o da reta secante em (a, f(a)) e (b, f(b)), isto é, as retas secantes
em (a, f(a)) e (b, f(b)) e tangente em (c, f(c)) são paralelas. Para ilustrar, considere a
função:
Vamos considerar também a = 1 e b = 6. É fácil verificar que a função é contínua
e diferenciável em [1, 6]. Pelo teorema do valor médio, existe tal que:
36
Esse valor c pode ser encontrado sabendo-se que f’(x) = 2x – 5. Assim:
A Figura 8 apresenta o gráfico de f com as retas secante em
, em vermelho, e tangente em em verde.
Observe que as retas são paralelas, com coeficiente angular igual a 2 pelo teorema do
valor médio (BOYER; MERZBACH, 2018).
Conceitos trabalhados no ensino básico, como matrizes, determinantes e
equações também apresentam fortes influências dos trabalhos dos matemáticos dos
séculos XVII a XIX. Os exemplos a seguir ilustram esta Por fim, o incentivo ao rigor
matemático em demonstrações e raciocínios também é fruto do período histórico
estudado nesta seção. Com os exemplos examinados, fica evidente que a matemática
37
ensinada e aplicada atualmente é resultado de séculos de árduas pesquisas,
experimentos e pensamentos desenvolvidos por diversos matemáticos em várias partes
do mundo. Além disso, seus conceitos são desenvolvidos e aperfeiçoados gradualmente,
assim como ocorre na ciência de forma geral. Entender o contexto histórico do
pensamento de um dado conceito matemático é fundamental para sua completa
compreensão.
4 DESENVOLVIMENTO DA MATEMÁTICA NO SÉCULO XX
4.1 A matemática entre os séculos XIX e XX
O século XIX foi bastante fértil para a matemática, com desenvolvimento de
ideias muito originais, fundamentando novos campos de pesquisa em várias seções da
disciplina. Historicamente, o final do século foi marcado pela guerra franco-prussiana, um
evento que redundou na anexação da Alsácia-Lorena pela Prússia, na unificação da
Alemanha, na estipulação de um pesado pagamento de indenização pela França e na
ocupação de territórios franceses por forças alemãs, com a manutenção de um processo
de enfrentamento que levou às duas guerras mundiais já no século XX (CONSTANT,
2020). No campo da matemática, vamos conhecer as atividades da virada daquele
século, examinando a trajetória de dois gênios: Jules Henri Poincaré e David Hilbert
4.2 Jules Henri Poincaré
Poincaré nasceu em Nancy, França, em 1854, filho de um médico que lecionava
na faculdade de medicina da cidade. Formou-se em engenharia, partindo em seguida
para o doutorado em matemática, abrindo as portas para a docência, lecionando
probabilidade, mecânica celeste, análise e astronomia (HENRI..., [2021]).
Seus trabalhos iniciais foram dedicados à teoria das equações diferenciais (criou
um método geral de resolução), à teoria geral das funções analíticas de uma ou duas
variáveis, bem como a mecânica analítica, mecânica celeste, álgebra e teoria dos
números e teoria das funções fuchsianas, que permitem expressar as soluções de
38
qualquer equação diferencial linear por meio coeficientes algébricos e,
concomitantemente, resolver o problema da uniformização das funções algébricas
(HENRI..., [2021b? ]).
Além disso, o matemático estabeleceu a existência das funções kleinianas e
iniciou o ramo de estudo conhecido como topologia algébrica, descobrindo em uma
pesquisa sobre o sistema solar a influência das condições iniciais, tornando-se pioneiro
da teoria do caos. Poincaré morreu em 17 de julho de 1912.
4.3 Conjectura de Poincaré
A conjectura de Poincaré, datada de 1904, afirma que qualquer variedade
tridimensional fechada é topologicamente equivalente à esfera S3, que é uma
generalização de uma esfera comum para uma dimensão superior. Segundo Hosch
(2013), o próprio Poincaré mais tarde generalizou sua conjectura para qualquer
dimensão, afirmando que a n-esfera é o único espaço n-dimensional limitado que não
contém buracos, implicando que, para n = 3 voltamos à conjectura original.
Segundo Mackenzie (2006), para n = 2 a prova ocorreu no século XIX. Mais tarde,
em 1961, Stephen Smale provou que a conjectura é verdadeira para n ≥ 5, e em 1983
Michael Freedman mostrou que é verdadeira para n = 4. Finalmente, o matemático russo
Grigori Perelman provou que a conjectura de Poincaré é verdadeira para n = 3. Os três
matemáticos foram agraciados com a medalha Fields, recusada por Perelman, que
também recusou um prêmio de um milhão de dólares pela prova.
4.4 David Hilbert
David Hilbert foi um matemático alemão, nascido numa cidade famosa por sua
ligação com a história da matemática devido às suas pontes, Königsberg, em 23 de
janeiro de 1862, e morreu em outra cidade que deve muito de sua fama aos grandes
mestres da ciência que passaram por sua universidade, como Carl Friedrich Gauss, Felix
Klein, e o próprio Hilbert. Estamos nos referindo à Göttingen, onde David morreu em 14
de fevereiro de 1943 (UNIVERSITÄTSGESCHICHTE, (2021).
39
Em 1895, Hilbert foi trabalhar em Göttingen, lecionando teoria algébrica dos
números, noções básicas de geometria, análise, física teórica e noções básicas de
matemática. Em 1900, apresentou 23 problemas no Congresso Internacional de
Matemáticos de Paris, os quais nortearam muitas buscas durante os séculos XX e XXI.
Como exemplo, podemos citar o 8º problema, que é a hipótese de Riemann
(DAVID...,2021).
Entre vários trabalhos produzidos por Hilbert, destacam-se a teoria invariante, a
criação de um método direto para provar teoremas de finitude (fundamentais para a
álgebra moderna), o teorema da irredutibilidade de Hilbert, investigações sobre a
representação de polinômios definidos como somas de quadrados, a solução das
equações de 9º grau por funções algébricas de quatro variáveis, a teoria dos campos de
números algébricos, a axiomatização da álgebra e da topologia, o resgate do princípio de
Dirichlet, o reconhecimento da importância do que hoje é denominado de espaço de
Hilbert e uma prova da conjectura de Waring (DAVID..., [2021?]).
David Hilbert propôs uma curva fractal que preenche o espaço, derivada da curva
de Peano, denominada curva de Hilbert, exibida na Figura 1.
40
4.5 Matemáticos de destaque no século XX
Analisar a matemática do século XX não é tarefa simples, pois a proximidade dos
anos ainda nos leva a ter várias dúvidas sobre as principais descobertas. É possível que
nas próximas décadas (ou séculos) possa haver uma opinião discordante da nossa, até
porque novos avanços podem surgir na ciência em virtude de descobertas recentes e
aplicações que sequer imaginamos que possam existir. Nossa lista de pesquisadores
inclui Alan Turing, Kurt Gödel e Benoit Mandelbrot
4.6 Kurt Gödel
Gödel nasceu na Áustria em 1906, e tinha o apelido familiar de “senhor por quê”,
pela curiosidade que o levava a perguntar sobre diferentes assuntos. Quando entrou na
Universidade de Viena, aos 18 anos, já tinha tanto conhecimento sobre matemática que
os cursos regulares nada podiam oferecer como acréscimo, e seu se interesse ficou
concentrado na lógica matemática (QUEM..., 2018).
Antes de Gödel, havia uma opinião recorrente entre os matemáticos de que os
problemas da área seriam cedo ou tarde resolvidos, até mesmo os que constavam na
lista de 23 problemas que Hilbert apresentou no Congresso de Matemática em 1900. Em
1930, Kurt Gödel anunciou ter provado que era impossível demonstrar todas as verdades
de uma teoria, e que sempre haveria afirmações verdadeiras que não seriam passíveis
de demonstração a partir de axiomas propostos — esse é o primeiro teorema da
incompletude de Gödel (PIÑEIRO, 2017).
Quando os nazistas assumiram o poder na Alemanha, em 1933, a situação ficou
difícil para todos os judeus, inclusive para grandes cientistas, como Einstein e Gödel. Em
1938, Gödel teve negado uma solicitação para um cargo remunerado na Universidade
de Viena e passou a temer ser recrutado pelo exército nazista, resolvendo fugir com sua
esposa. Eles atravessaram a União Soviética pela ferrovia transiberiana e pegaram um
navio para San Francisco, nos Estados Unidos, indo em seguida se estabelecer em
Princeton, onde Gödel morreu em 1978 (KURT, c2021).
41
4.7 Alan Turing
Segundo Hodges (1995), Alan Mathison Turing nasceu em 23 de junho de 1912,
e desde a infância mostrava sinais de muita inteligência, tendo oportunidade de estudar
na Sherborne School, escola de prestígio de Londres, formando-se em matemática na
Universidade de Cambridge em 1931. Em 1935, Turing começou a se dedicar a uma
questão sobre a capacidade de decisão, conhecida pelo termo alemão
Entscheidungsproblem (problema de decisão), que pergunta se poderia haver, ao menos
em princípio, um método ou processo definido capaz de decidir se qualquer afirmação
matemática é ou não demonstrável?
Para responder essa pergunta, se fazia necessário que houvesse uma definição
de método, que deveria ser precisa e convincente. Turing forneceu a resposta
expressando-a em termos de uma máquina teórica capaz de realizar certas operações
elementares precisamente definidas sobre símbolos em fita de papel, criando o conceito
chamado máquina de Turing, base da teoria da computação (HODGGES, 1995). Com o
advento da Segunda Guerra Mundial, Turing foi convocado pelas forças britânicas para
trabalhar em Bletchley Park, local onde equipes buscavam descobrir os códigos utilizados
pelas forças do Eixo (Alemanha, Itália e Japão).
Os nazistas utilizavam uma máquina chamada Enigma (Figura 2) para transmitir
mensagens para suas tropas, e a primeira quebra do código operacional do dispositivo
aconteceu em 23 de janeiro de 1940, quando a equipe formada por Alan Turing, John
Jeffreys e Peter Twinn descobriu a chave usada pelo Exército Alemão, iniciando uma
sequência que descobriu a chave usada pela força aérea alemã e posteriormente os
sistemas italiano e japonês (BLETCHLEY PARK, 2012).
42
De acordo com Mlodinow (2005), pode-se estimar que a quebra do código da
Enigma abreviou a possível duração da Segunda Guerra Mundial em dois anos. Como
morreram aproximadamente 12 milhões de pessoas por ano durante a guerra, esse
trabalho talvez tenha poupou cerca de 24 milhões de vidas. Apesar de seu heroísmo em
seu brilhante esforço de guerra, Alan Turing (Figura 3) viria a ter um destino trágico: por
ser homossexual, que era um crime na Inglaterra da época, foi forçado a um tratamento
de castração química. Aos 42 anos, Turing se suicidou, ingerindo uma maçã injetada com
cianureto, em 7 de junho de 1954.
43
4.8 As máquinas podem pensar?
Essa é a pergunta que abre o artigo “Computing machinery and intelligence”, de
Turing (1950), cuja primeira parte se chama “The Imitation Game”, o jogo da imitação.
Você já deve ter ouvido falar nessa expressão, que dá título ao filme homônimo que
retrata a vida do matemático. O artigo prossegue propondo que se troque a pergunta por
um jogo, denominado jogo da imitação, que funciona assim: temos três jogadores, um
homem (A), uma mulher (B) e um interrogador (C), que homem ou mulher. C fica em uma
sala sem ver A e B, que estão em outra. C conhece os dois por códigos X e Y. A não quer
ajudar C. B quer ajudar C. Objetivo do jogo: C deve identificar quem é o homem e quem
é a mulher no final do jogo, do seguinte modo: X é A e Y é B ou X é B e Y é A.
As respostas são datilografadas e as perguntas podem ser do tipo “qual é o
comprimento do seu cabelo? ” (TURING, 1950), e os interlocutores A e B devem dar as
respostas de acordo com seu objetivo (ajudar ou não C). A partir desse cenário, Turing
estende ainda mais o potencial do jogo, se perguntando o que aconteceria se A for
substituído por uma máquina? Conseguiria enganar o interrogador por quanto tempo?
Levaria mais tempo para ser descoberto que um ser humano?
E conseguiria enganar C em algum interrogatório? No artigo, Turing supõe que
haverá um dia em que as máquinas terão capacidade para “[...] jogar o jogo da imitação
tão bem que um interrogador médio não terá mais de 70% de chance de fazer a
identificação correta após cinco minutos de interrogatório” (TURING, 1950, p. 442,
tradução nossa).
Na sequência, apresenta nove objeções à sua ideia, desconstruindo todas elas:
a teológica, “cabeça na areia”, matemática, argumento da consciência, argumentos de
várias deficiências, objeção de Lady Lovelace, argumento de continuidade no sistema
nervoso, argumento da informalidade de comportamento e argumento da percepção
extrassensorial. O artigo de Turing é a base para julgar se uma máquina pensa ou não
ainda nos nossos dias.
44
4.9 Benoît Mandelbrot
Mandelbrot (1924–2010) nasceu em Varsóvia, na Polônia, mas durante a infância
sua família, devido a dificuldades financeiras, emigrou para a França. Após a invasão
alemã de 1939, instalaram-se em Tulle, pois eram judeus e essa era uma zona francesa
desocupada, um pouco mais segura, rumando mais tarde para Paris em 1944, onde
Benoit pôde cursar a École Polytechnique, indo para o Massachusetts Institute of
Technology (MIT) no período 1953–1954, para o pós-doutorado. Em 1958, foi trabalhar
na IBM, em um estágio de verão, e permaneceu por 35 anos na empresa, enquanto, em
paralelo, dava aulas na Universidade de Yale (BENOÎT..., c2021).
Mandelbrot ganhou fama trabalhando e divulgando a geometria fractal, que
mostrava graficamente uma série de estruturas matemáticas que estudou, especialmente
as variações econômicas caóticas e repentinas que se revelavam serem mais frequentes
do que era previsto. Ele lecionou até 2004, quando encerrou sua carreira como professor
emérito em Yale, morrendo em 2010 em Cambridge.
4.10 Quanto mede o litoral da Grã-Bretanha?
Para ilustrar o que são fractais, muitas vezes Mandelbrot (1998) utilizava como
exemplo o litoral da Grã-Bretanha, perguntando qual é o comprimento total da costa da
ilha. Em seguida, ele propunha medir o litoral com uma régua imaginária com a medida
de 200 milhas (cerca de 320 km), sendo preciso utilizar oito delas para completar a
mensuração, totalizando 1.600 milhas (cerca de 2.500 km). Diminuindo a graduação de
nossa régua para 25 milhas (40 km) cada uma, utilizaríamos 102 segmentos para a
medição, encontrando um comprimento final de 2250 milhas (cerca de 3.600 km). Se
obtivermos mapas locais e continuarmos a medir o litoral, o comprimento total segue
aumentando, pois conforme nos aproximamos, mais detalhes surgem. Isso acontece
porque o litoral é um fractal e sua dimensão não é um número inteiro, e sim uma fração,
estando entre 0 e 1.
45
4.11 Cálculo da dimensão fractal
De acordo com Assis et al. (2008), o cálculo da dimensão fractal é feito com uso de
logaritmos, em geral, para fractais construídos recursivamente, a partir de c cópias de si
próprios. Redefinidos por um fator 1/f, teremos que a dimensão (d) é:
Como exemplo, podemos tentar calcular a dimensão da curva de Koch, exibida
na Figura 4.
Observe que a curva é construída a partir de um segmento de reta que é dividido
em três partes iguais, sendo retirado o segmento do meio, que é substituído por um
triângulo equilátero que tem sua base retirada. A figura passa por um processo de
iteração, com a repetição da regra n vezes, multiplicando-se os segmentos por 4/3, em
que três segmentos são substituídos por 4 de igual comprimento, indo para um limite
46
definido por Mandelbrot como infinito interno (ASSIS et al., 2008). Aplicando a fórmula
anterior para o cálculo da dimensão d e fazendo as substituições, temos que:
Muita gente que acessa seu notebook, usa seu smartphone, assiste a um vídeo
em algum canal da web talvez nem imagine a capacidade intelectual, o talento, a
imaginação e a criatividade de matemáticos como Benoît Mandelbrot e Alan Turing, que
deram os passos teóricos que possibilitaram avanços tecnológicos definidores da nossa
sociedade, cujos hábitos e cultura estão imersos no virtual. Esse já um fato por si só com
peso considerável para admirarmos a matemática produzida no século XX, e pensar no
que ainda pode nos surpreender nos anos que vem por aí.
4.12 A matemática do século XX na sala de aula
É possível abordar conceitos de matemática do século XX em sala de aula na
educação básica, ou devemos, nesse nível do ensino, nos ater à matemática
desenvolvida até o século XIX? Alguns autores supõem que é possível mostrar um pouco
da matemática do século XX em sala de aula, inclusive porque Artur Ávila, brasileiro
ganhador da Medalha Fields em 2014, dedicou-se bastante às pesquisas sobre sistemas
dinâmicos, e seu exemplo pode servir como incentivo à população estudantil brasileira,
especialmente os mais jovens, para o estudo da matemática.
Morais (2014) defende em sua dissertação de mestrado a possibilidade de
utilização em sala de aula das descobertas matemáticas mais recentes, destacando os
sistemas dinâmicos não lineares, a teoria do caos e os fractais, argumentando que esses
temas aparecem sistematicamente na mídia, propondo uma transposição didática em
conjunto com algumas propostas de aplicações em sala de aula na educação básica.
Já Machado, Giraffa e Lahm (2011) relatam a experiência de propor um grupo de
aulas para o 9º ano do ensino fundamental, em que é utilizado o aplicativo Google Earth
para busca de imagens das geometrias euclidiana e fractal sobre a superfície da Terra.
47
A dinâmica das aulas foi organizada em diversas etapas, começando por uma produção
textual, depois revisão de conceitos, buscas de informações na web, aula expositiva
sobre geometria fractal, identificação, seleção e salvamento de imagens que
apresentassem as duas geometrias, apresentação de trabalhos mostrando as
conclusões e, para finalizar, uma segunda produção textual.
Os textos serviram para dois objetivos: o primeiro era verificar os conhecimentos
prévios dos alunos sobre a geometria em geral e o segundo era realizar uma avaliação
do conhecimento construído durante a jornada de estudos. A revisão dos conceitos é
uma tarefa sempre necessária no ensino de matemática, pois, como o conhecimento
matemático progride em cima das bases já estabelecidas e provadas formalmente, não
compreender um tema pode ter consequências negativas na trajetória escolar. Nesse
caso, o importante era conhecer os axiomas e as figuras planas, com ênfase no conceito
dimensional, para poder haver compreensão das ideias de dimensão fracionária, que
embasam o estudo dos fractais. No experimento relatado, e em outros similares
executados pelos autores do artigo, é comum os alunos se depararem com informações
na internet sobre Edward Lorenz e o efeito-borboleta, tema muito explorado pela mídia,
inclusive sendo mote para inúmeros filmes, (Morais, 2014).
Em virtude dessa disponibilidade de informações, sugere-se que o professor se
prepare estudando o tema em detalhes de antemão, para poder conversar com sua
turma. Imagens com asas, por exemplo, são comuns na geração de fractais, como ilustra
a Figura 5, que mostra um atrator fractal do tipo Lorenz.
48
A turma, nessa etapa, tem algumas informações sobre fractais e caos, pois
mesmo que possuísse pouca ou nenhuma informação sobre tais temas, agora já captou
algo via busca na internet, facilitando a exposição da teoria. No grupo de aulas em
questão, foi apresentado o modelo de construção da curva de Koch, que já vimos nesse
capítulo, mas sem menção aos logaritmos.
Caso as aulas sejam adaptadas para o 3º ano do ensino médio, quando se
retorna ao tema da geometria euclidiana (com axiomas e geometria espacial), é possível
apresentar o cálculo com logaritmos, aproveitando para revisar o assunto com uma
aplicação interessante.
No experimento de Machado, Giraffa e Lahm (2011), a aula seguinte foi realizada
como projeto de pesquisa no laboratório de informática da escola. Todavia, a evolução
técnica dos smartphones e dos aplicativos permite a realização do mesmo trabalho em
sala de aula, caso haja um Wi-Fi eficiente à disposição da turma e um número suficiente
de aparelhos celulares com os alunos.
Nessa fase, a ideia é procurar imagens de satélite que apresentem figuras
geométricas e figuras fractais, como telhados, recortes de litoral, etc. A etapa final do
projeto consiste na apresentação das imagens selecionadas pelos alunos e pela
confecção do texto final, a partir do qual será avaliada a aprendizagem. A matemática
apaixona pelas ideias que contém, e sua história é um desenrolar de fatos incríveis, de
descobertas, de trabalho árduo e contínuo, executado ao longo de gerações.
Nessa última sessão, apresentamos uma sugestão de aproximação da fronteira
das pesquisas em matemática com a educação básica, pois é na sala de aula das escolas
públicas e privadas que estão agora os futuros indivíduos que levarão adiante essa
história, dependendo de nós para apresentar um vasto mundo formado por números,
teorias e demonstrações.
49
5 A BASE NACIONAL COMUM CURRICULAR E O ENSINO DE MATEMÁTICA
5.1 Educação matemática e BNCC
No século XXI, a educação brasileira, em especial a educação matemática,
fortemente vinculada aos moldes da educação francesa, depara-se com diversas
mudanças de paradigmas, resultantes de modificações sociais, políticas e avanços
tecnológicos (LACROIX, 2013).
Nesse cenário pós-moderno, em que diversas mídias moderam, mediam e
modelam o pensamento humano, de que serve a matemática? O que ensinar? Por que
ensinar? A educação brasileira, orientada à memorização, repetição e aplicação, não
priorizava o ensino crítico de matemática. Não significa que a criticidade fosse inexistente,
mas que por muito tempo a matemática, desde o tempo das missões jesuíticas, foi vista
como um recurso auxiliar (MONDINI, 2013).
Ao longo da história brasileira, registraram-se reformas e documentos na tentativa
de organizar nacionalmente a educação. No entanto, isso se dispersava pelo território e,
segundo Boaventura (2009), a finalidade era alimentar a máquina burocrática,
inicialmente do estado imperial em formação, gerando médicos, engenheiros militares,
etc. Durante o período imperial, por exemplo, o ensino de matemática e das demais
ciências exatas era reservado às aplicações militares. Observados os períodos da
República Velha (1889–1929), Segunda República (1893–1936), Estado Novo (1937–
1945) e República Nova (1946–1963), diversas reformas foram feitas, mas uma
característica permaneceu constante: a matemática dissociada de significado e utilizada
apenas como ferramenta para atingir outros objetivos, em vez de ser entendida como
uma construção humana decorrente das necessidades da sociedade.
Em virtude das mudanças sociais e econômicas entre os séculos XVI e XX, a escola,
a educação e, consequentemente, a educação matemática precisaram se adaptar às
novas necessidades da sociedade. Além disso, mais adaptações foram necessárias com
a evolução da tecnologia da informação, visto que memorizar, entre outras habilidades,
passou a ser redundante em face dos recursos disponibilizados. Tendo em vista as
50
habilidades e competências necessárias para que um ser humano se adapte a uma
sociedade tecnológica em constante mutação, a BNCC chega a nós como um documento
norteador com a finalidade não de prescrever um currículo, mas de estabelecer
aprendizagens mínimas em todo o território nacional.
Em relação à educação matemática, a BNCC (BRASIL, 2018), dando continuidade
ao proposto nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) (BRASIL, 1998), apresenta
uma matemática historicamente construída, atrelada a seus significados, revelada como
produto cultural de uma era/sociedade e suas necessidades, integrada aos demais
conhecimentos e importante para construir uma argumentação lógica. Garantindo que as
decisões curriculares propriamente ditas sejam locais, a BNCC permite liberdade teórico-
metodológica, porque não prescreve métodos específicos.
Com a BNCC, a matemática passa a ser valorizada não apenas como ferramenta
de expressão e capacitação para outras áreas da ciência, mas também como
conhecimento per se é forma organizadora de pensamento e raciocínio.
A matemática não se restringe apenas à quantificação de fenômenos determinísticos — contagem, medição de objetos, grandezas — e das técnicas de cálculo com os números e com as grandezas, pois também estuda a incerteza proveniente de fenômenos de caráter aleatório. A matemática cria sistemas abstratos, que organizam e inter-relacionam fenômenos do espaço, do movimento, das formas e dos números, associados ou não a fenômenos do mundo físico. Esses sistemas contêm ideias e objetos que são fundamentais para a compreensão de fenômenos, a construção de representações significativas e argumentações consistentes nos mais variados contextos (BRASIL, 2018, p. 265).
O documento destaca a importância do processo hipotético dedutivo inerente à
matemática e as possibilidades de seu uso heurístico, além das experimentações que
podem ser propiciadas por ambientes e tecnologias diversas. Centra o currículo
matemático no ensino fundamental, no desenvolvimento de um conjunto de ideias
fundamentais e na articulação dessas ideias, a saber: equivalência, ordem,
proporcionalidade, interdependência, representação, variação e aproximação (BRASIL,
2018).
51
5.2 BNCC para os anos finais do ensino fundamental e para o ensino médio
A BNCC (BRASIL, 2018), por meio das competências específicas de cada
componente, define como esse componente interage com os demais e como se articulam
para que sejam atingidas as 10 competências gerais. No caso do componente
matemático, a BNCC define 10 competências para o ensino fundamental e 5
competências para o ensino médio. A seguir discutimos as peculiaridades de cada
segmento.
5.3 Anos finais do ensino fundamental
No ensino fundamental, a matemática é classificada em unidades temáticas:
números, álgebra, geometria, grandezas e medidas, probabilidade e estatística. Dentro
dessas unidades temáticas, estão dispostas competências e habilidades que, à primeira
vista, parecem específicas de cada unidade temática, porém as unidades se misturam,
aprofundando suas relações. Conforme o desenvolvimento das habilidades e o decorrer
dos anos, as competências atingem graus de complexidade mais elevados. Sem esse
conhecimento, podemos pensar que alguns objetos e habilidades apenas se repetem de
um ano a outro, mas agora sabemos que eles vão sendo aprofundados. Além disso, trata-
se também de respeitar os tempos de aprendizagem, as individualidades de cada aluno.
A BNCC estabelece as seguintes competências específicas a serem adquiridas
no componente matemático no ensino fundamental (BRASIL, 2018, p. 267):
1. Reconhecer que a matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.
2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.
3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à
52
própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.
4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.
5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.
6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).
7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.
8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
Comparando a BNCC com os PCNs, podemos notar diferenças não apenas
quanto à prescrição de metodologias e recursos, mas também quanto à abordagem. Em
relação à álgebra, no 8º e no 9º anos não são mais abordados métodos para resolução
de equações exaustivamente, apenas o pensamento algébrico como forma de trabalhar
situações-problema e representá-las, apresentado desde os anos iniciais. Eixos de
espaço e forma, algoritmos e fluxogramas passam a ser temas das aulas de geometria
para identificação e classificação de figuras, verificação de regularidades e diferenciação.
Construção de figuras e transformações geométricas no plano passam a fazer parte do
arsenal dos alunos para análise de situações-problema.
Nos PCNs, o campo dos números era focado em operações e englobava diversos
conhecimentos oriundos da álgebra, com menos foco na construção dos conjuntos
numéricos. Esse modelo foi substituído por um estudo detalhado das características dos
conjuntos numéricos e suas várias representações e relações, com ênfase na construção
dos conceitos sobre frações, números decimais, sistema decimal e as aplicações
relacionados a esse sistema, além de diferenciações dos sistemas históricos (egípcios,
53
maias, romano, etc.), apresentando a evolução histórica dos conhecimentos e
representações numéricas na sociedade.
As grandezas e medidas, incluídas como unidade temática pela BNCC, não têm
equivalência direta nos PCNs, uma vez que neles, apesar de haver um bloco de
grandezas e medidas, não se incluem a aritmética, a álgebra e a geometria, focando no
conhecimento prático, na comparação, na resolução de problemas e na estimativa. A
unidade de probabilidade e estatística, anteriormente chamada de tratamento da
informação (BRASIL, 1998), além de pretender que os alunos sejam capazes de calcular
estimadores, medidas de tendência central ou de dispersão, demanda que os alunos
sejam capazes de analisar, interpretar e realizar pesquisas amostrais.
5.4 Ensino médio
A BNCC do ensino médio, em relação ao componente matemático, prevê a
ampliação e o aprofundamento das habilidades e competências adquiridas no ensino
fundamental, além de “[…] possibilitar que os estudantes construam uma visão mais
integrada da matemática, ainda na perspectiva de ampliação de sua aplicação à
realidade” (BRASIL, 2018, p. 527). Considerando o já desenvolvido no ensino
fundamental, a BNCC afirma:
Em continuidade a essas aprendizagens, no ensino médio o foco é a construção de uma visão integrada da matemática, aplicada à realidade, em diferentes contextos. Consequentemente, quando a realidade é a referência, é preciso levar em conta as vivências cotidianas dos estudantes do ensino médio — impactados de diferentes maneiras pelos avanços tecnológicos, pelas exigências do mercado de trabalho, pelos projetos de bem viver dos seus povos, pela potencialidade das mídias sociais, entre outros. Nesse contexto, destaca-se ainda a importância do 6 A Base Nacional Comum Curricular e o ensino de matemática recurso a tecnologias digitais e aplicativos tanto para a investigação matemática como para dar continuidade ao desenvolvimento do pensamento computacional, iniciado na etapa anterior (BRASIL, 2018, p. 528).
Destaca-se a importância do desenvolvimento das competências relacionadas
ao raciocínio, representado pela investigação e pela argumentação matemática de suas
ideias. As competências relativas à representação pressupõem a elaboração de diversos
54
registros com todos os recursos de linguagem disponíveis. Por meio da linguagem
matemática, especificamente, isso é possível verificando a adequação dessas linguagens
à representação de suas ideias e ao desenvolvimento de seus argumentos. Além disso,
são definidos pares de ideias complementares e fundamentais, que devem articular os
campos propostos, a saber: variação e constância, certeza e incerteza, movimento e
posição, relações e inter-relações (BRASIL, 2018, p. 527). Definidas as habilidades
essenciais para o letramento matemático, são também definidas as cinco competências
do ensino médio relativas à matemática e suas tecnologias, conforme listadas a seguir:
1. Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos para interpretar situações em diversos contextos, sejam atividades cotidianas, sejam fatos das Ciências da Natureza e Humanas, das questões socioeconômicas ou tecnológicas, divulgados por diferentes meios, de modo a contribuir para uma formação geral.
2. Propor ou participar de ações para investigar desafios do mundo contemporâneo e tomar decisões éticas e socialmente responsáveis, com base na análise de problemas sociais, como os voltados a situações de saúde, sustentabilidade, das implicações da tecnologia no mundo do trabalho, entre outros, mobilizando e articulando conceitos, procedimentos e linguagens próprios da matemática.
3. Utilizar estratégias, conceitos, definições e procedimentos matemáticos para interpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos contextos, analisando a plausibilidade dos resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a construir argumentação consistente.
4. Compreender e utilizar, com flexibilidade e precisão, diferentes registros de representação matemáticos (algébrico, geométrico, estatístico, computacional etc.), na busca de solução e comunicação de resultados de problemas.
5. Investigar e estabelecer conjecturas a respeito de diferentes conceitos e propriedades matemáticas, empregando estratégias e recursos, como observação de padrões, experimentações e diferentes tecnologias, identificando a necessidade, ou não, de uma demonstração cada vez mais formal na validação das referidas conjecturas (BRASIL, 2018, p. 531).
Um olhar detalhado sobre as competências do ensino médio revela que elas não
têm uma ordem prescrita, mas formam um todo conectado. O desenvolvimento de uma
pede situações e contextos que precisam de todas as demais.
5.5 Currículo escolar e BNCC
O currículo é mais do que uma prescrição de conteúdo a serem estudados em
épocas definidas; é um instrumento de formação, transformação, poder e controle. Se a
55
educação é o que forma o ser humano social, o currículo é o que prescreve que tipo de
ser humano está sendo formado e, consequentemente, que sociedade esses seres,
moldados por essa educação, irão criar. Todo currículo é um ato político, pois é uma
seleção que reflete os interesses particulares do grupo que o define (PEREIRA, 2019).
Por isso, seria inviável a implementação de um currículo unificado em todo o
território brasileiro, em virtude de sua multiplicidade de culturas e etnias. A BNCC, no
entanto, propõe alinhamento comum a todos os currículos, instituindo direitos de
aprendizagem que devem ser atingidos em todo o país, visando a reduzir as disparidades
no sistema educacional, como vimos anteriormente.
Para a elaboração desses currículos, temos o programa ProBNCC. Com a
BNCC, o fazer do professor foi modificado, já que antes era focado em metas de um
conteúdo específico. O avanço da tecnologia e a facilidade do acesso a recursos
tecnológicos trouxe à sociedade do século XXI novas necessidades de aprendizagem, o
que se traduz na necessidade de constituir um novo currículo para atendê-las. Esse novo
currículo institui a aprendizagem por competência, que “[…] é a capacidade de mobilizar
conceitos, procedimentos e atitudes para executar uma ação de forma eficaz” (ZANELLO,
2018, p. 43).
Isso significa que as metas da educação escolar não devem apenas ser
relacionadas aos conteúdos escolares; elas devem preparar o aluno para existir e
coexistir em uma era de mudanças rápidas e constantes. O currículo de matemática
específico definido na prática pedagógica do professor, o dito currículo em ação, é
influenciado por uma série de outras esferas.
Contudo, guardados os prescritos do currículo local e do projeto pedagógico da
unidade que definem o alinhamento teórico e metodológico e os valores a serem seguidos
pelo corpo docente da unidade, cabe ao professor realizar a articulação das habilidades
e competências em seu planejamento, instrumento primeiro do currículo em ação. O
planejamento de um professor define as metas por período (semestre, trimestre, etc.) e
as metas anuais de aprendizagem de seus grupos. Nesse planejamento são articuladas
e combinadas as habilidades prescritas na BNCC que, ao final dos segmentos de ensino
(fundamental e médio), devem constituir as competências do componente matemático.
56
Espera-se, também, que o planejamento de cada aula liste os meios,
instrumentos e recursos mobilizados para o desenvolvimento das habilidades. As
habilidades a serem articuladas no ensino fundamental são fixas em um mesmo ano,
podendo ser articuladas e combinadas entre si, o que transcende as unidades temáticas.
Além disso, o planejamento pode ser abordado de forma vertical, acompanhando as
unidades temáticas tal como elas se apresentam.
No ensino médio, as unidades temáticas são concatenadas em números e álgebra, geometria e medidas, probabilidade e estatística. As habilidades são agregadas tanto por competência quanto por unidade temática, e não são fixas em determinado ano, deixando o professor livre em sua escolha de como organizar o planejamento (por unidade ou por competência). Essa liberdade é explicitamente declarada no segmento do ensino médio: as competências não têm uma ordem preestabelecida. Elas formam um todo conectado, de modo que o desenvolvimento de uma requer, em determinadas situações, a mobilização de outras. Cabe observar que essas competências consideram que, além da cognição, os estudantes devem desenvolver atitudes de autoestima, de perseverança na busca de soluções e de respeito ao trabalho e às opiniões dos colegas, mantendo predisposição para realizar ações em grupo. Por sua vez, embora cada habilidade esteja associada a determinada competência, isso não significa que ela não contribua para o desenvolvimento de outras. Ainda que matemática, tal como Língua Portuguesa, deva ser oferecida nos três anos do ensino médio (Lei nº 13.415/2017), as habilidades são apresentadas sem indicação de seriação. Essa decisão permite flexibilizar a definição anual dos currículos e propostas pedagógicas de cada escola (BRASIL, 2018, p. 530).
A BNCC é um documento norteador e unificador, mas apenas das aprendizagens
mínimas. Ela permite pelo menos três graus de liberdade aos professores: liberdade de
avaliação, liberdade metodológica e liberdade de construção do currículo em ação, desde
que garantidas as aprendizagens mínimas. Esse documento representa para a educação
matemática uma humanização de seus processos de ensino-aprendizagem e uma
reaproximação da matemática aprendida na escola com a matemática praticada no
mundo do lado de fora da sala de aula.
57
6 DESENVOLVIMENTO DA GEOMETRIA, ANÁLISE E ÁLGEBRA
6.1 Desenvolvimento da geometria
Segundo Boyer e Merzbach (2018), ao longo do tempo, houve diversas
alterações a respeito da importância da geometria sob a percepção dos estudiosos
matemáticos. Enquanto na Grécia Clássica a geometria era considerada a disciplina
máxima, após a queda do Império Romano se tornou irrelevante.
No século XVIII, houve tentativas fracassadas de recondução da obra Os
elementos, de Euclides, à sua antiga importância. No entanto, a retomada dos conceitos
foi possível, mais tarde, a partir da introdução de novas possibilidades na área e do
trabalho de diversos matemáticos. Nesta seção, você conhecerá o trabalho desenvolvido
pelos geômetras do século XIX, como Monge, Poncelet, Chasles, Steiner, Riemann e
Kein, que trouxeram um novo enfoque, indo muito além do imaginado pelos gregos, cujas
premissas você conhecerá a seguir.
6.2 Gaspar Monge
De acordo com Comes (2008), Monge nasceu em uma família dedicada ao
comércio, e desde cedo teve a possibilidade de mostrar o seu talento no
OratorianCollege, em Beaune, sua cidade natal. Enquanto estudava no Collège de
laTrinité, na cidade de Lyon, Monge foi designado a ministrar um curso de física; e, mais
tarde, ao retornar para Beaune, desenhou o plano da cidade, trabalho que serviu de base
para sua indicação como desenhista da École Royale duGénie em Mézières, onde
projetou, baseado em suas próprias teorias, um plano de fortificação que impossibilitava
o inimigo de ver ou atirar na posição de defesa.
58
A Revolução Francesa (1789–1799) possibilitou o fortalecimento da carreira de
Monge, permitindo que ele se tornasse ministro da marinha e um dos responsáveis pela
criação da Escola Politécnica da França.
De acordo a Biblioteca Central da Politécnica (ÉCOLE POLYTECHNIQUE,
2021), a guerra entre a França e o resto da Europa causou a destruição de muitas escolas
francesas, entre elas a Escola de Pontes e Estradas, que perdeu a maior parte de seus
alunos. Monge, então, convenceu participantes do comitê de segurança pública da
importância da criação de um centro destinado à engenharia, atuação que culminou no
decreto de criação da École Polytechnique, em 11 de março de 1794.
Na obra de Monge, destaca-se o desenvolvimento da geometria descritiva, cujo
objetivo é representar sobre um plano figuras espaciais, possibilitando a resolução de
problemas de três dimensões (3D) em duas dimensões (2D). A ideia central do método
é produzir uma representação no plano 2D de uma figura 3D, de tal modo que permita
interpretações geométricas que ofereçam soluções para problemas ligados à engenharia.
Outra contribuição relevante de Monge foi a introdução de conceitos utilizados na
geometria diferencial, especialmente ao discutir conceitos de curvatura e de torção em
uma curva espacial, que, segundo ele, “[...] a torção em um ponto de uma curva
mergulhada no espaço é uma medida numérica de quanto a curva se afasta de estar
contida num plano numa vizinhança daquele ponto” (COIMBRA, 2008, documento on-
line).
6.3 Jean Victor Poncelet
Compatriota e aluno de Monge, nascido em Metz em 1788, Jean Victor Poncelet
estudou na École Polytechnique e se tornou engenheiro politécnico aos 22 anos. Após,
ingressou no exército napoleônico, onde foi designado para a campanha da Rússia e foi
prisioneiro em Moscou durante 18 meses (OLIVEIRA, 2011).
Para fugir do tédio e do sofrimento da prisão, o engenheiro começou a pensar na
geometria analítica, e, sem nenhum material para consultar, acabou por desenvolver
59
ideias próprias, que ajudaram no desenvolvimento da geometria projetiva. Esse ramo da
matemática já havia sido estudado por Désargues (que estudou os princípios
geométricos da perspectiva na arte do renascimento), Pascal, Monge e Carnot, mas foi
o seu trabalho que deu forma definitiva ao estudo sistemático dessa geometria.
6.4 Princípio da dualidade e princípio da continuidade
No século XIII, começaram a surgir os primeiros movimentos da arte
renascentista, que implementou novos sistemas de pintura, objetivando, cada vez mais,
representar tridimensionalmente seus trabalhos (LEITE, 2016).
A solução para criar esse efeito 3D veio com a utilização das linhas de projeção,
que buscavam um ponto de convergência — técnica cujos primeiros exemplares
apareceram na produção do pintor Duccio dipinto Buoninsegna, em que os planos de
fundo eram perceptíveis, como a pintura “A Anunciação” (Figura 1).
60
O tratamento matemático da perspectiva foi abordado por diversos estudiosos,
mas culminou na obra de Poncelet, que apresenta alguns conceitos sobre a geometria
projetiva, dentre eles, o princípio da dualidade e o princípio da continuidade.
Para Oliveira (2011), o princípio da dualidade aplicado a uma curva contínua
significa que qualquer curva desse tipo pode ser gerada tanto pelo movimento de um
ponto como por retas tangentes a essa curva, implicando que retas e pontos são
intercambiáveis e têm uma associação íntima e recíproca com a curva em questão.
Para Poncelet, as demonstrações analíticas dos recursos de uma projeção
central e cilíndrica podem ser substituídas por demonstrações sintéticas e gerais, ou seja,
a demonstração de uma propriedade pelo caminho de uma projeção central pode ser
generalizada em todos os casos da figura, que pode variar continuamente.
Todavia, as propriedades de suas relações continuarão válidas, o que, em termos
de projeções, significa que se uma figura tem determinadas propriedades, sua projeção
apresentará as mesmas propriedades (CHAVES; GRIMBERG, 2013).
6.5 Michel Chasles
Michel nasceu, na região de Chartres, na França, filho de um rico comerciante de
madeira. Sua condição financeira permitiu que ele estudasse no LycéeImpérial, onde
adquiriu o conhecimento necessário para ser admitido na École Polytechnique de Paris
(UNIVERSITY OF ST ANDREWS, 2020).
A época era conturbada, a França estava sob o comando de Napoleão
Bonaparte, que envolveu seu país em uma guerra desastrosa, que culminou com o
ataque a Paris, em 1814, cujo resultado foi a invasão da cidade luz e a abdicação de
Napoleão (FONDATION NAPOLÉON, 2014).
Nesse período, Chasles foi convocado pelo o exército francês para participar da
defesa da capital, e, com a derrota napoleônica, voltou aos seus estudos na
Polytechnique (UNIVERSITY OF ST ANDREWS, 2020).
61
Nesse contexto, o matemático escreveu a sua grande obra, Aperçu historique sur
l'origine et le développement des méthodes en géométrie, que contribuiu para o
desenvolvimento da geometria projetiva (PIRE, 2021)
6.6 Cross-ratio
Segundo Ribeiro (2016), Chasles definiu genericamente as transformações
projetivas, denominadas homografias, caracterizadas pela transformação de um plano
em outro, levando linhas a linhas, pontos a pontos, com preservação da cross-ratio (razão
cruzada). A cross-ratio é uma relação de importância fundamental em geometria
projetiva, pois trata de projeções que não distorcem as medidas de comprimento e
ângulo, satisfazendo as pesquisas dos matemáticos que buscam propriedades
invariantes (LABOURIE, 2008).
6.7 Jakob Steiner
Steiner foi um matemático suíço, nascido em 1796, em uma família de
agricultores nas proximidades de Berna. Com muitas dificuldades para estudar, mas com
muitas habilidades matemáticas, ingressou na escola de Johann Heinrich Pestalozzi, em
Yverdon (Suíça), e, antes dos aos 20 anos, já lecionava matemática na mesma escola.
Ao mudar-se para a Alemanha, Steiner continuou lecionando matemática e se tornou
membro da Academia Prussiana de Ciências (KIMBERLING, [200-? ]). Na sua obra,
destaca-se a elipse de Steiner, conceito muito conhecido na geometria do triângulo,
conforme será descrito a seguir.
6.8 Elipse de Steiner
A elipse de Steiner é uma figura plana que está inscrita em um triângulo qualquer
e que toca os pontos médios de um triângulo, veja a Figura 2.
62
A seguir, veja o passo a passo para construção da elipse de Steiner,
desenvolvida por Santana (2014).
1. Desenhe um triângulo qualquer.
2. Marque um ponto qualquer no interior do triângulo.
63
3. Marque os simétricos Q, R e S do ponto F em relação aos lados AB, BC e CA
respectivamente.
4. Considere F2 o centro da circunferência que contém Q, R, S.
5. Devem ser marcados os pontos P1, P2, P3, da interseção entre os raios F2Q,
F2R e F2S respectivamente, com lados AB, BC E CA do triângulo.
6. Finalmente, trace a elipse com focos F1 e F2, passando pelos pontos P1, P2
e P3.
64
6.9 Bernhard Riemann
Riemann nasceu na Alemanha, em 1826, e estudou nas escolas em Berlim e
Göttingen, tendo como obstáculos uma saúde frágil e uma timidez excessiva.
Influenciado pelo pai, foi para a Universidade de Göttingen estudar teologia no intuito de
se tornar clérigo, mas um ano depois transferiu-se para a Universidade de Berlim para
estudar matemática.
Algum tempo depois, foi para a Universidade de Göttingen, onde obteve o título
de doutor com o estudo das equações diferenciais e a formulação do conceito de
superfícies de Riemann. Seu trabalho possibilitou a generalização de todas as
geometrias, com o estabelecimento da geometria riemanniana, que serviu de fundamento
para Einstein formular a teoria da relatividade (GEORG..., 2009).
Segundo Sá (2012), Riemann quebrou conceitos milenares na geometria,
prevendo a existência de múltiplos espaços conectados, com a existência de dimensões
adicionais e conexões em distintas regiões do espaço-tempo, o que implicou em uma
compreensão do espaço multidimensional, com a abertura de um novo campo de estudos
na matemática e na física, com influência em múltiplos campos do conhecimento.
6.10 Felix Klein
Klein estudou física e matemática na Universidade de Bonn, onde obteve
doutorado em 1868. Embora tivesse trabalhado com a teoria das funções e a física
65
matemática, foi na geometria que Klein deu suas melhores contribuições, ao descobrir
que as geometrias euclidiana e não euclidiana podiam ser explicadas mediante a teoria
dos invariantes, e que são casos particulares da geometria projetiva.
Em 1872, Klein apresentou o Programa de Erlangen, determinante para o
desenvolvimento da matemática no século XX, contribuindo para a evolução da educação
matemática no mundo (HALSTED, 1894). Um dos objetos de estudo de Klein foi a
“garrafa de Klein, conforme a Figura 3.
Como você pôde perceber, o conceito de geometria passou por uma revolução
no século XIX, com proposições que levaram muito longe o trabalho iniciado na
Antiguidade, compilado e sistematizado por Euclides em sua obra Os elementos. Na
próxima seção, você verá que outras áreas da matemática também tiveram notáveis
contribuições, muitas delas formuladas pelos mesmos matemáticos citados
anteriormente.
66
6.11 Desenvolvimento da análise e álgebra
Do mesmo modo que a geometria, também a análise e a álgebra tiveram grandes
contribuições durante o século XIX, e muitos dos matemáticos responsáveis pelas
descobertas na geometria também fizeram trabalhos relevantes nessas áreas. Nesta
seção, portanto, você vai conhecer alguns dos mais importantes matemáticos que se
dedicaram à análise e à álgebra, como Weierstrass, Cantor, Dedekind, Boole, De Morgan,
Hamilton, Grassmann, Cayley, Sylvester e Riemann.
6.12 Voltando a Riemann
Para iniciar esta seção, voltamos à obra de Riemman, que além da geometria
contribuiu em outras áreas da matemática, com destaque para a hipótese de Riemann e
a integral de Riemann.
A hipótese de Riemann está vinculada à teoria dos números, ramo que estuda
as propriedades dos números positivos inteiros e pressupõe que a função zeta de
Riemann tem solução somente para números pares negativos e números complexos,
cuja parte real seja ½, sendo muito importante, já que tem implicações na distribuição de
números primos e na criptografia (ALVITES, 2012).
Na análise real, a integral de Riemann foi a primeira definição proposta com rigor
para uma função em um intervalo. Sua ideia básica é observar uma função limitada em
um intervalo fechado [a, b] no conjunto dos números reais, criar retângulos baseados em
uma partição do intervalo, definidos a partir da altura dos valores máximo e mínimo dentro
de cada base, para, então, ao somar as áreas destes retângulos, poder aproximar a área
da curva dada pela função (REIS, 2017).
67
6.13 Karl Weierstrass
O matemático Karl Theodor Wilhelm Weierstrass nasceu em 1815 e estudou na
escola católica de Paderborn e na Universidade de Bonn. Após ter seus estudos
interrompidos por falta de resultados, estudou para ser professor de escola primária na
Royal Prussian Theological and Philosophical Academy, em Münster, onde ser formou
em 1841 (KNOBLOCH, 2014).
Knobloch (2014) explica que Karl não participava da comunidade acadêmica,
porém trabalhou na teoria das funções abelianas, cujo assunto o inspirou a publicar um
ensaio em 1854. Nesse mesmo ano, a Universidade de Königsberg concedeu-lhe um
doutorado honorário, recebeu uma licença de pesquisa, e foi nomeado para o primeiro
cargo de professor de matemática no Berlim Trade Institute. Em 1856, se tornou professor
associado da Universidade de Berlim, chegando a membro titular do Academia Prussiana
de Ciências.
Em 1864, foi promovido a professor titular da universidade, cargo que ocupou até
sua morte em fevereiro de 1897. Por meio de seminários que divulgaram suas pesquisas
sobre a teoria das funções reais e complexas, o cálculo das variações e a geometria
diferencial, ele exerceu uma enorme influência em seus ouvintes, muitos dos quais se
tornaram professores universitários, entre eles Georg Cantor.
6.14 George Cantor
O matemático George Cantor, cientista que ousou estudar o infinito, foi um
especialista em teoria dos números, elaborou a moderna teoria dos números, e, ao lado
de Felix Klein, é um dos criadores do Congresso Internacional de Matemáticos (IMPA,
2017). Cantor nasceu na Rússia, em 1845, contudo, ainda na infância, emigrou para a
Alemanha junto com a família. Já em território alemão, Cantor estudou no Liceu de
Wiesbaden e em escolas privadas de Frankfurt e Darmstadt, sempre brilhante e
interessado em filosofia, teologia e principalmente matemática, partido posteriormente
para a Escola Politécnica de Zurich, onde cursou engenharia (FREITAS, 2008).
68
Em 1863, Cantor foi para a Universidade de Berlim, onde estudou matemática,
filosofia e física, aprofundando questões sobre aritmética e teoria dos números. Já em
1867, obteve o título de doutor em matemática.
Em 1874, publicou um artigo demonstrando que os números algébricos são
numeráveis. A sua originalidade foi observada nesse e em outros trabalhos, destacando-
se a demonstração de que um intervalo tem a mesma cardinalidade que uma reta e um
plano; que os números reais não são numeráveis, dando início à teoria de conjuntos
Cantoriana e aos números transfinitos.
Em 1884, Cantor apresentou sinais de depressão, doença agravada pelas
críticas ao seu trabalho, pela frustração em não conseguir demonstrar a hipótese do
contínuo, e por nunca ter sido professor na Universidade de Berlim (FREITAS, 2008).
Cantor morreu em janeiro de 1918, em um hospital psiquiátrico em Halle. Cantor
refletiu sobre a quantidade de elementos de um conjunto infinito, não considerando
diretamente os números, mas os conjuntos, iniciando por atribuir “tamanhos” (números
transfinitos), que chamava de potências dos diferentes conjuntos de infinitos elementos
(ANDRADE, 2010).
Para estipular esses números, cantor começou por denotar o menor número
transfinito por ω, que é a cardinalidade do conjunto dos números naturais, e, se um
conjunto é enumerável, sua cardinalidade é igual a dos números naturais, sendo igual a
ω. O primeiro conjunto a ser analisado em relação aos naturais foi o dos racionais,
provando que é enumerável.
Portanto, sua cardinalidade é ω. Segundo Andrade (2010), Cantor percebeu que
o conjunto dos números reais não pode ser posto em bijeção com o conjunto dos naturais,
ou seja, ele é de tamanho maior. Pelo método do raciocínio diagonal, Cantor demonstrou
que os números reais não são enumeráveis denominando a potência daquele conjunto
de c (de contínuo).
69
6.15 Julius Wilhelm Richard Dedekind
Dedekind nasceu em outubro de 1831, em Braunschweig, na Alemanha. Filho de
um professor no Collegium Carolinum em Braunscheig, escola em que ingressou aos 16
anos, Dedekind adquiriu conhecimentos fundamentais de cálculos diferencial e integral,
geometria analítica e os fundamentos da análise, que permitiram sua matrícula em
Göttingen, em 1850 (JULIUS..., [200-?]).
Nessa universidade, Dedekind completou seu doutorado sob a supervisão de
Gauss, com uma tese que tratava da teoria das integrais de Euler. Entre as várias
homenagens recebidas por Dedekind, estão a eleição para a Academia de Göttingen
(1862), para a Academia de Berlim (1880), e para a Academia de Paris (1900). O
matemático morreu fevereiro de 1916, em Braunschweig.
6.16 George Boole
Boole nasceu em 1815, em Lincoln, na Inglaterra. Filho de um sapateiro e de uma
empregada doméstica, e seu pai, além de trabalhar com sapatos, era um cientista amador
que fabricava instrumentos. O futuro gênio da matemática começou muito pequeno,
aprendendo diversas línguas, como grego, latim, francês, alemão e italiano.
De acordo com Reville (1996), George Boole, o pai da lógica simbólica, foi o
acadêmico mais ilustre que trabalhou na University College Cork (então Queen's College
Cork, República da Irlanda), onde obteve seu primeiro cargo em 1847. O trabalho que
marcou Boole foi sobre a lógica, propondo que matemática é uma forma de raciocinar
baseada em símbolos, usando letras para representar subconjuntos e sinais para
simbolizar a relação entre eles.
A álgebra booleana forneceu a base para validar as proposições lógicas, porque
analisa os dois caracteres de valor (binário) das afirmações que podem ser verdadeiras
ou falsas. Boole descobriu um ramo da matemática seria ideal para o uso de informações
nos computadores, e muito da “matemática moderna”, que dominou o mundo há algumas
décadas, deriva do seu trabalho (REVILLE, 1996).
70
6.17 Augustus de Morgan
Augustus de Morgan nasceu em Madura, na Índia, em 1806. Ainda pequeno
emigrou para a Inglaterra, onde estudou em várias escolas britânicas. Em 1823,
ingressou no Trinity College, em Cambridge, onde descobriu grande interesse em
matemática. Em 1828, foi eleito para a cadeira de matemática na incipiente London
University, mais tarde University College (RICHARDS, 1987).
Morgan ocupou esse cargo até 1866, ano em que foi eleito o primeiro presidente
da London Mathematical Society, fundada no mesmo ano. Morgan reconheceu a
natureza puramente simbólica da álgebra, estando convicto da existência de outras
álgebras além da álgebra comum. Ele introduziu as Leis de De Morgan e sua principal
contribuição foi como um reformador da lógica matemática, além de definir e introduzir o
termo “indução matemática”, colocando uma base rigorosa no processo que havia sido
usado sem clareza.
6.18 William Rowan Hamilton
De acordo com Spearman (2021), William Rowan Hamilton foi provavelmente o
maior cientista irlandês. Nascido 1805 (a hora de registro foi meia noite), filho de um
farmacêutico da cidade de Dublin. Aos três anos, William foi enviado para viver com seu
tio James Hamilton, um classicista que conhecia um pouco de línguas orientais, e que
apresentou-lhe diversos clássicos, incluindo a obra Geometria analítica, de Bartholomew
Lloyd, cujo efeito foi despertar o seu interesse pela matemática (SPEARMAN, 2021).
Em 1823, Hamilton foi estudar no Trinity College de Dublin, onde tornou-se
professor de astronomia antes mesmo de se formar e realizou trabalhos em dinâmica,
nos quais unificou os conceitos das leis que governam as ondas de luz e o movimento
das partículas, previu em forma de cálculos o fenômeno de refração cônica, e
surpreendeu com suas pesquisas sobre quatérnios (SPEARMAN, 2021).
De acordo com O’Sullivan (2019), poucos grafites resistem ao tempo, porém, um
escrito feito na Broome Bridge (Dublin) é um registro de um momento de uma descoberta
matemática histórica. Hamilton, em 1843, fez uma descoberta matemática histórica:
71
enquanto caminhava com sua esposa para a Royal Irish Academy, encontrou a solução
para um problema no qual estava pensando há algum tempo, e, para não esquecer,
rabiscou o que conhecemos hoje como fórmula geral do quatérnio na ponte: i² = j² = k² =
ijk = -1 Essa descoberta foi fundamental para a ida do homem à Lua e para produzir
imagens usadas por computador para videogames e filmes (O’SULLIVAN, 2019).
6.19 Hermann Günter Grassmann
Hermann Günter Grassmann nasceu em 1809, na cidade de Stettin, na Prússia.
Durante uma grande parte de sua vida deu aulas no ensino secundário; entre 1834 e
1836, lecionou em Berlim, onde se decepcionou com a falta de interesse em suas ideias
matemáticas, passando a se dedicar à literatura sânscrita, língua em que produziu um
dicionário que é utilizado até hoje (HERMANN..., 2009).
A procura pelas álgebras geométricas preocupou Leibniz, que escreveu um
ensaio sobre geometria de posição, esquecido por muitos anos, sendo redescoberto em
1833, quando foi instituído um prêmio para incentivar a continuidade do trabalho,
havendo apenas uma inscrição, a de Grassman, que desenvolveu exitosamente a ideia
de álgebra geométrica com uso conceitual do que denominamos hoje como vetores, em
um trabalho que ficou conhecido posteriormente como álgebra exterior ou álgebra de
Grassmann (HERMANN..., 2009).
Grassmann faleceu em 1877, em Stettin, então Alemanha e atualmente
Szczecin, Polônia (HERMANN..., 2009).
6.20 Arthur Cayley
Cayley nasceu em 1821, em Richmond, na Inglaterra, mas passou os primeiros
sete anos em São Petersburgo na Rússia. Na volta às ilhas britânicas, frequentou o King's
College London e, posteriormente, o Trinity College, em Cambridge. Aos 41 anos,
conseguiu uma indicação para a cadeira de matemática e foi eleito o presidente da
Associação Britânica para o Avanço da Ciência em 1883 (SILVER, 2006).
72
De acordo com Dias e Grimberg (2012), dez memórias de Cayley foram
publicadas no Philosophical Transactions of Royal Society of London, e os
desenvolvimentos algébricos apresentados nesses escritos compõem hoje a teoria dos
invariantes — mais importante contribuição do matemático, que versa sobre as
propriedades que permanecem invariantes sob uma determinada transformação linear
das variáveis de polinômios homogêneos. Cayley formulou rigorosamente, pela primeira
vez na matemática, a definição de grupo, com a construção de um sistema de postulados
que permanecem até hoje.
Em 1858, ele demonstrou que os quatérnios podem ser representados por meio
de matrizes em que a, b, c, d são números complexos. Permaneceu trabalhando com
funções elípticas e abelianas, funções representadas por integrais definidas, até falecer
em Cambridge, em janeiro de 1895, três anos antes da publicação da totalidade de sua
obra (ARTHUR..., 2003).
6.21 James Joseph Sylvester
Sylvester nasceu em 1814, em Londres, atuou como professor de filosofia e
matemática em universidades na Inglaterra e nos Estados Unidos, ligado a várias
academias de ciências e foi o primeiro editor do American Mathematical Journal.
Seu talento contribuiu muito com o periódico e com outras publicações, com
artigos sobre análise finita, álgebra, determinantes, teoria da eliminação, teoria das
equações, teoria das partições, teoria das formas, teoria dos invariantes e covariantes,
matrizes, números hamiltonianos, que estão reunidos na obra The collected mathematical
papers of James Joseph Sylvester (BERNARDES; ROQUE, 2016).
Segundo Feuer (1984), Sylvester foi o principal criador da linguagem formal da
ciência moderna. Dotado de uma mente transbordando de novas ideias e termos, ele se
autodenominou um "Adão matemático”, porque deu mais nomes a concepções novas do
que todos os outros matemáticos da época juntos.
73
Em 1876, ele estabeleceu o programa de matemática na recém-inaugurada
Universidade Johns Hopkins, marcando o início de um processo de estabelecimento da
matemática em nível de pesquisa nos Estados Unidos. Nesse período, revigorou o seu
estudo de invariantes e elaborou o primeiro programa de pós-graduação em matemática
da América, o que possibilitou avanços na teoria dos invariantes, na combinatória e na
teoria das álgebras matriciais (PROFESSORS..., 2020).
Em 1883, James Sylvester viajou de volta para a Inglaterra para assumir a
cadeira Savilian de geometria no New College, em Oxford. Em 1894, renunciou à cadeira
devido a problemas de saúde, que o levou à morte em 1897 (PROFESSORS..., 2020).
6.22 Geometria descritiva em sala de aula
A geometria descritiva é um elemento de uso na história na matemática da
educação básica. Dessa forma, será apresentada uma sugestão para um projeto no 3°
ano do ensino médio, já que usualmente nesse ano estuda-se os sólidos geométricos e
aprofunda-se a geometria analítica.
Uma outra razão para as aulas serem nesse nível do ensino é porque aproxima-
se o momento em que há uma escolha de que curso seguir no ensino superior, sendo
possível citar que essa geometria é importante na engenharia e faz parte do currículo de
muitas faculdades de arquitetura.
Sugere-se a apresentação do projeto em paralelo com a geometria espacial, o
seguinte roteiro:
1. Aula expositiva abordando o contexto histórico do século XIX, falando sobre
as guerras napoleônicas e a fundação da Politécnica de Paris, e o trabalho de Monge
como engenheiro militar.
2. Apresentar os fundamentos essenciais da geometria projetiva, e como
geralmente tal estudo não faz parte das aulas das faculdades de licenciatura.
74
6.23 Elementos básicos da geometria descritiva
Na geometria descritiva proposta por Monge, podemos descrever em planos 2D
objetos espaciais 3D utilizando o conceito de projeção, segundo Biran, Lopez-Pulido e
Banai (2005) de que a projeção é uma noção muito próxima do intuitivo, pois a
conhecemos primeiramente como um fenômeno da natureza, que pode ser feita de modo
artificial por uma pessoa. Quando um objeto é atingido por raios solares, projetando uma
figura sobre uma superfície plana, temos a formação de um contorno desse objeto,
exposto em uma figura escura que chamamos de sombra.
De acordo com Rabello (2005, p. 11), em linguagem matemática:
Projeção é o conjunto de operações geométricas que permite obter a figura formada pelos pontos de interseção dos raios projetantes que partem de um centro projetivo e incidem sobre uma figura do espaço, com uma superfície.
Observe, na Figura 4, a projeção de uma sombra em uma parede. De acordo
com Coutinho Neto (2014), temos dois tipos de figura: a figura objetiva, conforme a Figura
4, o corpo da pessoa; e a figura projetada que é a sombra na parede. As figuras objetiva
e projetada são consideradas correspondentes se todos os pontos de uma e de outra
pertencem ao mesmo raio projetivo.
75
Para Rabello (2005), temos definições fundamentais da geometria descritiva,
afirmando que: sendo (O) o ponto do espaço que especifica um centro projetivo e um
plano π de projeção, e (f) a figura objetiva a ser projetada em π. Ao determinarmos raios
projetantes partindo de (O) incidentes sobre os pontos de (f), forma-se um feixe de raios
que se constitui em uma figura geométrica projetada em π, denominada figura projetante
e identificada por (f1). A partir dessa situação, são estabelecidas as condições:
1. se (f) é um ponto, (f1) será uma reta (Figura 5a);
2. se (f) é uma reta que não contém (O), (f1) será um feixe de retas, portanto uma
figura plana (Figura 5b);
3. se (f) for uma figura plana, dois casos podem ocorrer:
■ se o plano que contém (f) contiver (O), (f1) será também um feixe de retas
(Figura 5c);
■ se o plano que contém (f) não contiver (O), (f1) será uma figura tridimensional
(Figura 5d);
4. se (f) for uma figura tridimensional, (f1) também o será (Figura 5e).
76
6.24 Método Mongeano
Ainda de acordo com Rabello (2005), o método desenvolvido por Gaspar Monge
utilizava dois planos de projeção, um vertical e o outro horizontal, cada um associado a
um centro projetivo, cujos raios projetantes são perpendiculares aos seus respectivos
planos de projeção, implicando em projeções ortogonais, conforme são apresentadas na
Figura 6.
6.25 Espaços projetivos
O plano horizontal de projeção identificado como plano (π), e plano vertical de
projeção identificado como plano (π’), sendo a interseção entre (π) e (π’) a linha de terra
do sistema. Divide-se (π) em dois semiplanos, anterior e posterior, logo teremos plano
horizontal anterior (PHA) e plano horizontal posterior (PHP). O plano (π’) também é
dividido em dois semiplanos, plano vertical superior (PVS) e plano vertical inferior (PVI).
Observe a Figura 7 para compreender melhor a divisão.
77
Os planos (π) e (π’) dividem o espaço em quatro regiões distintas denominados
diedros, como mostra a Figura 8.
Provavelmente os alunos perceberão as semelhanças entre os diedros e os
quadrantes do plano cartesiano, o que pode ser um bom momento para rever algum
conceito da geometria analítica, (Rabello, 2005). Como última etapa, os alunos podem
confeccionar algum sólido geométrico (há inúmeros modelos disponíveis na internet) e,
na sequência, projetar suas sombras em cartolinas e desenhar as projeções, tendo uma
boa noção do conceito que embasa essa geometria. Também pode ser usado um mesmo
sólido por todos os alunos (ou grupos) e provavelmente haverá diferenças nas projeções
devido ao fato muito provável do ponto de emissão de luz ser diferente nos diversos
78
trabalhos, propiciando mais uma discussão interessante. Como você pôde acompanhar
ao longo deste capítulo, os matemáticos e suas obras foram responsáveis por
importantes descobertas da história da matemática, ampliando horizontes, dando forma
e sustentação ao desenvolvimento da ciência, fundamentando um processo que
prosseguiu nos séculos seguintes.
7 OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS E O ENSINO DE MATEMÁTICA
Os PCN foram elaborados no período de 1995 a 2002 para diferentes níveis e
modalidades de ensino. Foi um processo bastante polêmico e que envolveu muita
discussão a respeito da educação brasileira. De fato, sabe-se que houve um grande
movimento realizado por professores e especialistas para a análise de um texto preliminar
que havia sido elaborado (KOBASHIGAWA, 2006).
Os PCN surgiram da necessidade de organização do sistema educacional, com
a finalidade de garantir que a educação pudesse atuar decisivamente no processo de
construção da cidadania, visando à crescente igualdade de direitos entre os cidadãos,
com base nos princípios democráticos. Na busca pela melhoria na qualidade da
educação brasileira, é importante ter claro que existe a necessidade de investimentos em
diferentes frentes, como na formação inicial e continuada de professores, em uma política
de salários adequada, em planos de carreira, na disponibilidade e qualidade de materiais
e recursos didáticos, etc. (BRASIL, 1997).
De modo geral, os PCN são um referencial de qualidade para a educação em
todo o país.
Eles buscam orientar e garantir a coerência dos investimentos no sistema
educacional, socializando discussões, pesquisas e recomendações, e promovendo a
participação de técnicos e professores brasileiros. Trata-se de uma proposta flexível, que
leva em consideração as particularidades regionais, respeitando a diversidade
sociocultural do país e envolvendo a todos, até as áreas mais distantes (BRASIL, 1997).
79
As intenções educativas relativas às capacidades que precisam ser
desenvolvidas pelos alunos ao longo de sua vida escolar são concretizadas por meio dos
objetivos propostos nos PCN. O objetivo geral do ensino de matemática proposto nos
PCN é analisar informações relevantes do ponto de vista do conhecimento e estabelecer
o maior número de relação entre elas, fazendo uso do conhecimento matemático para
interpretá-las e avaliá-las criticamente (BRASIL, 1997).
Nesse contexto, Bittencourt (2004) sugere a articulação entre os conteúdos
matemáticos e as situações cotidianas dos alunos, bem como com conteúdo de outras
áreas do conhecimento. Ainda, ressalta a importância de uma interdisciplinaridade
intrínseca, ou seja, de estabelecer conexões internas à própria matemática. Como
exemplo, a autora menciona o trânsito entre o enfoque algébrico e o geométrico.
A elaboração dos PCN teve início a partir do estudo de propostas curriculares de
estados e municípios brasileiros, da análise sobre os currículos oficiais e do contato com
informações a respeito da experiência de outros países. Além da análise do Plano
Decenal de Educação para Todos, de pesquisas nacionais e internacionais, também
foram considerados dados estatísticos sobre desempenho dos alunos e experiências de
sala de aula compartilhadas em encontros, seminários e publicações (BRASIL, 1997).
Dessa forma, os PCN constituem o primeiro nível de concretização curricular.
Sua função é subsidiar a elaboração ou revisão curricular de estados e municípios,
considerando as propostas e experiências preexistentes, e incentivando a discussão
pedagógica nas escolas e a elaboração de projetos educativos, além de servir como
material de reflexão para a prática docente (BRASIL, 1997). Todos os documentos que o
compõem:
[...] configuram uma referência nacional em que são apontados conteúdos e objetivos articulados, critérios de eleição dos primeiros, questões de ensino e aprendizagem das áreas, que permeiam a prática educativa de forma explícita ou implícita, propostas sobre a avaliação em cada momento da escolaridade e em cada área, envolvendo questões relativas a o que e como avaliar. Assim, além de conter uma exposição sobre seus fundamentos, contém os diferentes elementos curriculares — tais como Caracterização das Áreas, Objetivos, Organização dos Conteúdos, Critérios de Avaliação e Orientações Didáticas —, efetivando uma proposta articuladora dos propósitos mais gerais de formação de
80
cidadania, com sua operacionalização no processo de aprendizagem (BRASIL, 1997, p. 29)
Os PCN, assim, apresentam o que e como se pode trabalhar, por área e por ciclo,
no intuito de garantir coerência entre os pressupostos teóricos, os objetivos e os
conteúdos, mediante sua operacionalização em orientações didáticas e critérios de
avaliação. As questões sociais são incorporadas nos PCN como temas transversais. São
elas: ética, saúde, meio ambiente, orientação sexual e pluralidade cultural. Os conteúdos
levam em conta as particularidades dos estados e municípios, o grau de profundidade e
a melhor forma de distribuição no decorrer da escolaridade (BRASIL, 1997).
Os PCN estão organizados em ciclos de dois anos. O primeiro ciclo se refere às
primeira e segunda séries; o segundo ciclo, à terceira e quarta séries, e assim por diante
para as outras quatro séries. É importante destacar, nesse contexto, que os PCN foram
escritos na época em que o ensino fundamental tinha oito anos (BRASIL, 1997).
Os PCN de matemática buscam ampliar o debate nacional sobre o ensino dessa
área do conhecimento, socializando informações e resultados de pesquisas e
compartilhando-as com todos os professores brasileiros. O propósito é orientar a prática
escolar para que os estudantes tenham acesso a um conhecimento matemático que
permita sua inserção como cidadãos no mundo do trabalho, das relações sociais e da
cultura. Além disso, os PCN visam a sinalizar a importância de estabelecer conexões da
matemática com os conteúdos relacionados aos temas transversais (BRASIL, 1998).
Estudos na área de educação matemática realizados no Brasil e em outros
países apontam para a necessidade de adequar o trabalho escolar a uma nova realidade,
em que a matemática possa ser percebida nos mais diversos campos da atividade
humana. Esse movimento tem influenciado análises e revisões nos currículos de
matemática (BRASIL, 1998).
Os movimentos realizados para a reorientação curricular que ocorreram no Brasil
a partir dos anos 1920 não foram suficientes para mudar a prática docente, eliminar a
elitização do ensino e melhorar sua qualidade. Houve, por muito tempo (e, em alguns
nichos, ainda se perpetua), uma ideia de que a formalização de conceitos, o treino de
habilidades e a mecanização são adequados para o ensino de matemática. Já nas
81
décadas de 1960 e 1970, o ensino da matemática foi influenciado por um movimento de
renovação, que ficou conhecido como “matemática moderna” (BRASIL, 1998).
A matemática moderna privilegiava o pensamento científico e tecnológico,
preocupando-se em aproximar a matemática escolar da matemática como é vista pelos
estudiosos e pesquisadores. No entanto, as propostas estavam fora do alcance dos
alunos, em especial daqueles das séries iniciais do ensino fundamental, de modo que
houve um distanciamento das questões práticas. O ensino se fundamentava em grandes
estruturas, que organizavam o conhecimento matemático contemporâneo enfatizando a
teoria dos conjuntos, as estruturas algébricas, a topografia, etc. Havia, na verdade,
exageros e distorções que foram incoerentes com a aproximação da matemática a
situações práticas. Porém, em 1980, surgiu um novo movimento, iniciado nos Estados
Unidos, que deu destaque à resolução de problemas no ensino da matemática. Essa
ideia influenciou as reformas que ocorreram em todo o mundo (BRASIL, 1998).
Obstáculos brasileiros no ensino de matemática incluem a falta de uma formação
profissional qualificada, as restrições ligadas às condições de trabalho, a falta de políticas
educacionais efetivas e as interpretações equivocadas de concepções pedagógicas.
Diversos esforços vêm sendo feitos para reduzir esses problemas, por parte de grupos
de professores, de secretarias de educação, de universidades e demais instituições
preocupadas com o ensino. No entanto, essa não é uma realidade acessível a todos os
professores, o que promove uma expressiva desigualdade de oportunidades, tanto para
professores, em termos de qualificação, quanto para alunos, em termos de acesso às
melhores práticas (BRASIL, 1998).
O Brasil é um país com uma extensa área territorial, onde vemos, diariamente, as
disparidades regionais que dificultam a igualdade de condições, de acesso a uma
educação de qualidade, de direitos iguais aos cidadãos brasileiros, tanto aos nossos
estudantes quanto aos docentes. A escassez de políticas públicas educacionais (e não
apenas delas) impacta negativamente a qualidade do ensino. A matemática, nesse
contexto, muitas vezes é abordada de forma completamente desconexa da realidade, e
não por falta de interesse dos professores, mas por falta de qualificação e de acesso à
pesquisa, a recursos e a experiências que viabilizem um trabalho eficiente e de qualidade.
82
É importante, nessas circunstâncias, discutir a natureza do conhecimento matemático e
identificar suas principais características, visando refletir sobre o papel dessa disciplina
do conhecimento no currículo (BRASIL, 1998, p. 24):
A Matemática caracteriza-se como uma forma de compreender e atuar no mundo e o conhecimento gerado nessa área do saber como um fruto da construção humana na sua interação constante com o contexto natural, social e cultural. Esta visão opõe-se àquela presente na maioria da sociedade e na escola que considera a Matemática como um corpo de conhecimento imutável e verdadeiro, que deve ser assimilado pelo aluno. A Matemática é uma ciência viva, não apenas no cotidiano dos cidadãos, mas também nas universidades e centros de pesquisas, onde se verifica, hoje, uma impressionante produção de novos conhecimentos que, a par de seu valor intrínseco, de natureza lógica, têm sido instrumentos úteis na solução de problemas científicos e tecnológicos da maior importância.
Grandes descobertas nas mais diversas áreas, como na saúde, na economia, na
engenharia, na astronomia, etc., perpassam o conhecimento matemático, e os
pesquisadores do futuro serão estudantes que passaram pelo ensino básico e tiveram
uma boa formação inicial. Para contribuir com futuros profissionais reflexivos, que
busquem aprofundar os conhecimentos e dialogar sobre sua prática diária, contribuindo
para a sociedade e, ao mesmo tempo, beneficiando-se pelas oportunidades providas por
seu conhecimento adquirido ao longo de sua formação escolar, é necessário que a
matemática ultrapasse essa barreira do mecanicismo e do distanciamento do cotidiano e
dos problemas reais com os quais nos deparamos. Como menciona D’Ambrosio (2019,
p. 24), quando fala do fazer matemático no cotidiano:
O cotidiano está impregnado dos saberes e fazeres próprios da cultura. A todo instante, os indivíduos estão comparando, classificando, quantificando, medindo, explicando, generalizando, inferindo e, de algum modo, avaliando, usando os instrumentos materiais e intelectuais que são próprios à sua cultura.
Nesse sentido, estudos sobre a etnomatemática, que enfatizam as ações
pedagógicas construídas dentro do contexto sociocultural dos educandos, têm reportado
a importância da etnomatemática não apreendida nas escolas, mas no ambiente familiar,
no ambiente dos brinquedos e de trabalho, recebida de amigos e colegas (D’AMBROSIO,
2019).
83
É importante considerarmos que a matemática é impulsionada por duas forças
indissociáveis: por um lado, o apelo às aplicações das mais variadas atividades humanas,
das mais simples às mais complexas; por outro lado, a especulação pura, a busca por
respostas a questões geradas.
A matemática está presente na quantificação do real (contagem, medição) e no
desenvolvimento de técnicas de cálculo com os números e grandezas, mas vai além. Ela
cria sistemas abstratos, que organizam, inter-relacionam e revelam fenômenos do
espaço, do movimento, das formas e dos números, associados, muitas vezes, a
fenômenos do mundo físico (BRASIL, 1998).
Nesta seção, tratamos do papel dos PCN na educação matemática. A princípio,
abordamos sua finalidade e como está organizado, e apresentamos seu contexto
histórico no campo da educação matemática para sua implementação na educação
básica. Nas próximas seções, seguiremos aprofundando os estudos, explicando as
diretrizes propostas pelos PCN para a sala de aula matemática nos ensinos fundamental
e médio.
7.1 PCN: matemática no ensino fundamental
Na matemática para o ensino fundamental (7 a 14 anos), os PCN buscaram
expressar a contribuição das investigações e experiências na área de educação
matemática. Por meio da proposição de objetivos, evidenciaram o papel da matemática
como instrumental para a compreensão do mundo, como área do conhecimento que
estimula o interesse, a curiosidade, o espírito investigativo e o desenvolvimento da
capacidade de resolver problemas (KOBASHIGAWA, 2006).
Kobashigawa (2006) afirma que, além disso, os PCN destacaram a importância
da história da matemática e das tecnologias da comunicação, a importância de
estabelecer conexões entre os conteúdos, entre a matemática e outras áreas do
conhecimento, suas relações com o cotidiano e com os temas transversais. Não existe
um caminho único para o ensino da matemática, mas conhecer as possibilidades de
84
trabalho em sala de aula é fundamental para que o professor construa sua prática. Como
exemplo, pode-se destacar a história da matemática, as tecnologias da comunicação e
os jogos como recursos que fornecem os contextos dos problemas e os instrumentos
para a construção de estratégias de resolução (BRASIL, 1998).
Santos, Oliveira e Oliveira (2013) destacam o uso da história da matemática no
ensino fundamental, explicando que ela pode auxiliar o professor em sua prática em sala
de aula por meio de um processo de transposição didática e, em conjunto a outros
recursos didáticos e metodológicos, oferecer uma importante contribuição ao processo
de ensino e aprendizagem.
A história da matemática, em todos os níveis da educação básica, atribui
significado aos conceitos matemáticos e estimula os alunos a refletirem. Assim,
atividades sistematizadas nesse sentido ajudam a fazer relações interativas entre as
partes que integram o processo construtivista de desenvolvimento que associa a
linguagem matemática e a construção histórica. Os PCN incorporaram, já no ensino
fundamental, o estudo da probabilidade e da estatística e evidenciaram a importância da
geometria e das medidas para o desenvolvimento das capacidades cognitivas
fundamentais. Os blocos de conteúdo para o ensino fundamental são: números e
operações; espaço e forma; grandezas e medidas e tratamento da informação
(KOBASHIGAWA, 2006).
No terceiro ciclo do ensino fundamental, convivem alunos de 11 e 12 anos com
características, por vezes, bastante infantis. Os alunos mais velhos, que já passaram por
uma ou várias reprovações e/ou interrupção dos estudos, também podem pertencer a
esse ciclo. O estudo repetitivo de muitos conteúdos contribui para o fracasso escolar, e
alguns alunos atribuem esse fracasso à matemática, pois acham que ela tem pouca
utilidade prática e se sentem incapazes de compreender seus principais conceitos
(BRASIL, 1998).
Diante dessa complexidade, é importante considerar a bagagem de
conhecimentos matemáticos que os alunos trazem consigo, dando continuidade ao
processo de consolidação desses conhecimentos. Estimular o senso crítico dos
estudantes, instigando para que sejam questionadores, busquem explicações e
85
finalidades para as questões quanto à utilidade da matemática, compreendam como ela
foi construída e busquem soluções para problemas do cotidiano, os auxiliará a
compreender e atuar no mundo (BRASIL, 1998, p. 63):
Assim, é fundamental que os alunos ampliem os significados que possuem acerca dos números e das operações, busquem relações existentes entre eles, aprimorem a capacidade de análise e de tomada de decisões, que começam a se manifestar. Também é necessário explorar o potencial crescente de abstração, fazendo com que os alunos descubram regularidades e propriedades numéricas, geométricas e métricas. Com isso criam-se condições para que o aluno perceba que a atividade matemática estimula o interesse, a curiosidade, o espírito de investigação e o desenvolvimento da capacidade para resolver problemas.
Quanto aos conteúdos propostos para o ensino de matemática no terceiro ciclo,
os PCN (BRASIL, 1998) os organizam da seguinte forma.
Bloco Números e Operações: aqui, é fundamental oferecer situações-
problema que possibilitem o desenvolvimento do sentido numérico e dos significados das
operações. Dar continuidade ao trabalho com os números naturais, explorando situações
de contagem, ordenação, codificação, conceito de múltiplo e divisor, conceito de número
primo. O estudo dos números racionais, em suas representações fracionárias e decimais,
também deve ser destacado. Deve-se estimular os alunos a aperfeiçoarem seus
procedimentos de cálculo aritmético de diferentes formas, objetivando superar a mera
memorização de regras e de algoritmos. No trabalho com os números, é fundamental
estudar algumas relações funcionais, explorando padrões em sequências numéricas que
levem os alunos a fazerem generalizações e a compreenderem a natureza das
representações algébricas.
Bloco Espaço e Forma: os alunos reorganizam e ampliam os
conhecimentos anteriores, trabalhando com problemas mais complexos de localização
no espaço e com as formas nele presentes. Aqui, é importante dar ênfase às noções de
direção e sentido, de ângulo, de paralelismo e de perpendicularismo, às classificações
das figuras geométricas (quanto à planicidade e à dimensionalidade), às relações entre
figuras espaciais e suas representações planas e à exploração das figuras geométricas
planas, pela sua decomposição e composição, transformação (reflexão, translação e
86
rotação), ampliação e redução. Também é importante ensinar procedimentos de
construção com régua, compasso e outros instrumentos, como esquadro e transferidor,
estabelecendo relação entre esses procedimentos e as propriedades geométricas que
neles estão presentes.
Bloco Grandezas e Medidas: cabe, aqui, proporcionar, aos alunos,
experiências que lhes permitam ampliar sua compreensão sobre o processo de medição,
percebendo que as medidas são úteis para descrever e comparar fenômenos. Exploram-
se medidas já estudadas de comprimento, massa, capacidade, superfície, tempo e
temperatura, e incorpora-se, nesse ciclo, o estudo das medidas de ângulo, de volume e
de algumas unidades da informática, como quilobytes e megabytes, que têm se tornado
usuais em alguns contextos. Além disso, deve-se orientar os alunos para que
desenvolvam estratégias de estimativa, ensinando-os a utilizar instrumentos como
balanças, relógios, escalímetros, transferidor, esquadro, trenas, cronômetros, etc.
Bloco Tratamento da Informação: nesse momento, os alunos ampliarão
as ideias básicas de estatística quanto à coleta e à organização de dados em tabelas e
gráficos, às relações entre acontecimentos, às previsões e à observação de frequência
de ocorrência de um acontecimento, bem como aprenderão a formular questões
pertinentes a um conjunto de informações, a elaborar algumas conjecturas, a comunicar
informações de modo convincente e a interpretar diagramas e fluxogramas. Também é
possível iniciar o estudo das medidas estatísticas como média aritmética. As noções
básicas de probabilidade têm papel fundamental nessa etapa, para que compreendam
como a matemática é usada para fazer previsões e percebam a importância da
probabilidade na vida cotidiana.
No quarto e último ciclo do ensino fundamental, muitos alunos ainda estão
passando por mudanças corporais e inquietações emocionais. Eles também começam a
preocupar-se com a continuidade dos estudos e o futuro profissional. Essas
preocupações podem ser favoráveis ao ensino e à aprendizagem em matemática, pois
os alunos percebem que esses conhecimentos são fundamentais para seus estudos
futuros e o ingresso no mundo do trabalho (BRASIL, 1998).
87
Quanto aos conteúdos propostos para o ensino de matemática no quarto ciclo,
os PCN (BRASIL, 1998) os organizam da seguinte forma.
Bloco Números e Operações: aqui, consolida-se o estudo dos números e
das operações já conhecidas pelos alunos e ampliam-se os significados dos números
pela identificação da existência de números não racionais. É importante fomentar
situações em que os números racionais sejam insuficientes para resolver determinados
problemas, tornando necessária a consideração de outros números: os irracionais. Deve-
se levar o aluno a selecionar e utilizar procedimentos de cálculo (exato ou aproximado,
mental ou escrito) mais adequados à situação-problema proposta, fazendo uso da
calculadora como um instrumento para produzir resultados e para construir estratégias
de verificação desses resultados. Deve-se destacar que, no campo dos racionais,
ocorrem duas representações, a fracionária e a decimal, que pode ser finita ou infinita
periódica. Tratando-se do estudo da álgebra, são fundamentais a compreensão dos
conceitos de variável e de função, a representação de fenômenos na forma algébrica e
na forma gráfica, a formulação e a resolução de problemas por meio de equações (ao
identificar parâmetros, incógnitas, variáveis) e o conhecimento da sintaxe (regras para
resolução) de uma equação.
Bloco Espaço e Forma: o ponto de partida para o estudo está na análise
das figuras por observações, manuseios e construções que permitam, aos alunos, fazer
conjecturas e identificar propriedades. Aqui, cabem atividades que permitam, ao aluno,
perceber que, pela composição de movimentos, é possível transformar uma figura em
outra. O trabalho de ampliação e redução de figuras possibilita a construção da noção de
semelhança de figuras planas. Os problemas de geometria oportunizarão, aos alunos, os
primeiros contatos com a necessidade e as exigências estabelecidas por um raciocínio
dedutivo.
Bloco Grandezas e Medidas: permite a articulação entre diversos
conteúdos matemáticos. Os estudantes poderão ampliar a noção de número e aprender
noções geométricas. As medidas indicadas para estudo nesse ciclo não se referem
somente às grandezas de fenômenos físicos ou sociais, mas também a medidas de
memória do computador. Indica-se o estudo de grandezas determinadas pela razão de
88
duas outras, como a densidade demográfica, ou pelo produto, como a energia elétrica
(kWh).
Bloco Tratamento da Informação: nesse momento, os alunos já têm
melhores condições de desenvolver pesquisas sobre sua própria realidade e interpretá-
las, fazendo uso de gráficos e algumas medidas estatística. Nas situações-problema
envolvendo estatística, os alunos podem dedicar mais tempo à construção de estratégias
e se sentir estimulados a testar suas hipóteses e interpretar resultados de resolução.
Também podem ser utilizados softwares de fácil acesso, como planilhas eletrônicas, que
permitem construir diferentes tipos de gráfico. O estudo da probabilidade permitirá que
os alunos percebam que podem indicar a possibilidade de ocorrência de determinado
evento e compará-la com a probabilidade prevista por um modelo matemático.
7.2 PCN: matemática no ensino médio
Nesta seção, seguiremos aprofundando os PCN, agora sob a perspectiva do
ensino médio. Para tanto, é necessário considerar que, cada vez mais, integramos uma
sociedade da informação, globalizada, e, portanto, a educação deve voltar-se para o
desenvolvimento das capacidades de comunicação, resolução de problemas e tomada
de decisões, oportunizando fazer inferências, criar, aperfeiçoar conhecimentos e valores,
e trabalhar cooperativamente (BRASIL, 2002).
Para Ricardo e Zylbersztajn (2008), os PCN para o ensino médio são uma
ambiciosa tentativa de o Ministério da Educação propor mudanças curriculares e
metodológicas nas práticas educacionais presentes na escola. Tratando-se da
matemática, a implementação das propostas enfrenta várias dificuldades, como a falta
de discussão nas escolas de modo que possam ser compreendidas pelos professores, a
falta de políticas educacionais que possam viabilizar discussões e a falta de formação
continuada e de ações efetivas para modificar a estrutura escolar centralizadora e com
cargas horárias pesadas para os docentes.
Conforme os PCN do ensino médio, a matemática tem um valor formativo, ajuda
a estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, formando, no aluno, a capacidade de
89
resolver problemas genuínos, gerando hábitos de investigação, proporcionando
confiança e desprendimento para analisar e enfrentar novas situações, permitindo a
formação de uma visão ampla e científica da realidade, entre outras capacidades. A
matemática, no ensino médio, também desempenha um papel instrumental, uma vez que
é uma ferramenta para a vida cotidiana. Ela deve ser vista, pelo aluno, como um conjunto
de técnicas e estratégias para serem aplicadas a outras áreas do conhecimento, bem
como a atividades profissionais (BRASIL, 2002).
Além disso, a matemática deve ser vista como ciência, com suas características
estruturais específicas. No ensino médio, aqueles conhecimentos adquiridos no ensino
fundamental são ampliados, e o aluno pode desenvolver suas capacidades de abstração,
raciocínio, resolução de problemas, investigação, análise e compreensão de fatos
matemáticos e de interpretação da própria realidade. O uso de tecnologias ligadas à
matemática também é essencial, uma vez que elas têm impacto direto na vida dos
indivíduos (BRASIL, 2002). Os PCN do ensino médio estabelecem os objetivos para que
o ensino da matemática possa resultar em aprendizagem real e significativa para os
alunos.
Conforme Brasil (2002), as finalidades do ensino de matemática no nível médio
incluem levar o aluno a:
compreender conceitos, procedimentos e estratégias matemáticas
que lhe permitam desenvolver estudos posteriores e adquirir uma formação
científica geral;
aplicar seus conhecimentos matemáticos a situações diversas,
utilizando-os na interpretação da ciência, na atividade tecnológica e nas
atividades cotidianas;
analisar e valorizar informações provenientes de diferentes fontes,
utilizando ferramentas matemáticas para formar uma opinião própria, que lhe
permita expressar-se criticamente sobre problemas da matemática, das outras
áreas do conhecimento e da atualidade;
90
desenvolver as capacidades de raciocínio, de resolução de
problemas e de comunicação, bem como o espírito crítico e criativo;
utilizar, com confiança, procedimentos de resolução de problemas
para desenvolver a compreensão dos conceitos matemáticos;
expressar-se oral, escrita e graficamente em situações matemáticas
e valorizar a precisão da linguagem e as demonstrações em matemática;
estabelecer conexões entre diferentes temas matemáticos e entre
esses temas e o conhecimento de outras áreas do currículo;
reconhecer representações equivalentes de um mesmo conceito,
relacionando procedimentos associados às diferentes representações
promover a realização pessoal mediante o sentimento de segurança
em relação às suas capacidades matemáticas, o desenvolvimento de atitudes
de autonomia e cooperação.
O desenvolvimento de valores, habilidades e atitudes desses alunos em relação
ao conhecimento e às relações entre colegas e professores é essencial. De fato, essa
preocupação com a formação integral dos indivíduos é um dos objetivos centrais da
educação (BRASIL, 2002).
Conforme Brasil (2006), explorar conteúdos a respeito de números, álgebra,
medidas, geometria, noções de estatística e probabilidade envolve diferentes formas do
pensar em matemática, diferentes contextos para as aplicações e a existência de razões
históricas que originaram esses conhecimentos. Portanto, os conteúdos ou temas
escolhidos para o processo de ensino e de aprendizagem em matemática devem permitir,
ao aluno, desenvolver suas competências, avançando em relação ao ponto em que se
encontra. Um conjunto de temas com relevância científica e cultural e com articulação
lógica das ideias e conteúdos matemáticos pode ser sintetizado em três eixos ou temas
estruturadores, que serão vistos a seguir (BRASIL, 2006).
91
7.3 Tema 1. Álgebra: números e funções
A álgebra tem grande importância como linguagem, como na variedade de
gráficos presentes nos noticiários e jornais, e como instrumento de cálculo de natureza
financeira e prática. No ensino médio, esse tema trata de números e variáveis em
conjuntos infinitos e quase sempre contínuos, no sentido de serem completos. Os objetos
de estudo são os campos numéricos dos números reais e, eventualmente, os números
complexos e as funções e equações de variáveis ou incógnitas reais. Para o
desenvolvimento desse eixo, são propostas duas unidades temáticas:
1. variação de grandezas;
2. trigonometria.
Os procedimentos básicos desse tema se referem a calcular, resolver, identificar
variáveis, traçar e interpretar gráficos e resolver equações de acordo com as
propriedades das operações no conjunto dos números reais e as operações válidas para
o cálculo algébrico. Esse tema possui forte caráter de linguagem, com seus códigos
(números e letras) e regras (as propriedades das operações) formando os termos dessa
linguagem, que são as expressões que, por sua vez, compõem as igualdades e
desigualdades (BRASIL, 2006).
7.4 Tema 2. Geometria e medidas
A geometria é essencial à descrição, à representação, à medida e ao
dimensionamento de uma infinidade de objetos e espaços na vida diária e nos sistemas
produtivos e de serviços. No ensino médio, trata das formas planas e tridimensionais e
de suas representações em desenhos, planificações, modelos e objetos do mundo
concreto. Para o desenvolvimento desse tema, são propostas quatro unidades temáticas:
92
1. geometrias plana;
2. geometria espacial;
3. geometria métrica;
4. geometria analítica.
As propriedades de que a geometria trata são de dois tipos: associadas à posição
relativa das formas e associadas às medidas. Isso dá origem a duas maneiras diferentes
de pensar em geometria. A primeira delas é marcada pela identificação de propriedades
relativas a paralelismo, perpendicularismo, interseção e composição de diferentes
formas. A segunda delas tem, como foco, quantificar comprimentos, áreas e volumes.
Usar as formas geométricas para representar ou visualizar partes do mundo real é uma
capacidade importante para a compreensão e a construção de modelos para a resolução
de questões da matemática e de outras disciplinas. Como parte integrante desse tema,
o aluno poderá desenvolver habilidades de visualização, de desenho, de argumentação
lógica e de aplicação na busca de soluções para problemas (BRASIL, 2006).
7.5 Tema 3. Análise de dados
A análise de dados tem sido essencial em problemas sociais e econômicos, como
nas estatísticas relacionadas a populações, saúde, transporte, orçamento e questões de
mercado. Propõe-se que constitua o terceiro eixo ou tema estruturador do ensino, e tem,
como objetos de estudo, os conjuntos finitos de dados, que podem ser numéricos ou
informações qualitativas, o que dá origem a procedimentos bem distintos daqueles dos
demais temas, pela maneira como são feitas as quantificações, usando-se processos de
contagem combinatórios, frequências e medidas estatísticas e probabilidades. Esse tema
pode ser organizado em três unidades temáticas:
1. estatística;
2. contagem;
3. probabilidade.
93
A matemática do ensino médio pode ser determinante para a leitura das
informações que circulam na mídia e em outras áreas do conhecimento na forma de
tabelas, gráficos e informações de caráter estatístico. Contudo, espera-se do aluno nessa
fase da escolaridade que ultrapasse a leitura de informações e reflita mais criticamente
sobre seus significados. Assim, o tema proposto deve ir além das simples descrição e
representação de dados, atingindo a investigação sobre esses dados e a tomada de
decisões (BRASIL, 2006).
8 SEGMENTOS E ÂNGULOS
8.1 Semirreta e segmento de reta
Algumas ideias são básicas em geometria, dentre as quais se destacam o ponto
(adimensional, ou seja, sem dimensão), a reta (com uma dimensão — comprimento) e o
plano (com duas dimensões — largura e comprimento). Há dois princípios fundamentais
que estão vinculados à reta, demonstrados a seguir, (SAGAH, 2018).
1- Por um ponto passam infinitas retas.
2. Por dois pontos distintos, passa uma, e somente uma, reta
94
As semirretas são as que têm início em um ponto e um sentido, sem fim. Se
temos, por exemplo, um ponto P qualquer em uma reta, ele a divide em duas semirretas,
com origem em P, conforme demonstrado a seguir.
Agora, vamos marcar dois pontos, A e B, sobre cada uma das semirretas a
seguir.
Passamos a ter dois pontos pertencentes a duas semirretas distintas:
O segmento de reta é uma linha delimitada por dois pontos, chamados de
extremidades. Ele contém todos os pontos que se encontram na reta entre os dois pontos
finais.
Segmentos consecutivos são dois segmentos de reta que têm uma extremidade
em comum, como nos exemplos , a seguir.
95
Segmentos adjacentes são aqueles em que a extremidade de um é
concomitantemente à do outro. Conforme aparece a seguir, os segmentos são
adjacentes.
Segmentos colineares são aqueles que se encontram sobre uma mesma reta,
conforme demonstrado a seguir. Os segmentos , por exemplo, são colineares.
Segmentos congruentes são aqueles que têm medidas iguais. Os segmentos
são congruentes
Ponto médio de um segmento é o ponto M que o divide em dois segmentos
congruentes, conforme a seguir.
96
8.2 Tipos de ângulos
Os ângulos são figuras formadas por duas semirretas que têm a mesma origem,
sendo elas os lados do ângulo, e o ponto de origem seu vértice. Observe o exemplo a
seguir (SAGAH, 2018).
Para medir um ângulo, utilizamos uma ferramenta chamada transferidor (Figura
1), que faz coincidir o ponto de origem do ângulo com o ponto de origem do instrumento.
As medidas de um ângulo são expressas em graus (°), minutos (’) e segundos (”), sendo
1 grau igual a 60 minutos, e 1 minuto igual a 60 segundos.
97
É possível fazer algumas operações aritméticas entre ângulos: adição,
subtração, multiplicação por um número natural e divisão por um número natural.
Observe os seguintes exemplos (SAGAH, 2018)..
1) Adição
Note que o máximo que temos é 81 segundos, e a representação dos minutos e
segundos é de, no máximo, 60. Temos 81”, que podem ser expressos por 1’ 21”.
Somando 1’ aos 48 da primeira soma, temos a seguinte resposta:
2) Subtração
O problema aqui é que não há minutos no primeiro termo, portanto devemos
retirar 1 grau dos 100 graus, que ficará 99° 60’:
3) Multiplicação
17° 20’ . 3 = 51° 60’; como 60’ = 1°, temos 51º + 1º = 52º.
98
4) Divisão
29º : 2 = 14º, sobrando resto 1º; como 1º = 60’, continuamos a operação dividindo
60’ por 2 e obtendo como resposta 14º 30’. Os ângulos podem ser retos, agudos ou
obtusos. Os retos têm 90º e são formados por retas perpendiculares, conforme a seguir
(SAGAH, 2018).
Os agudos têm menos que 90º
Os obtusos têm mais que 90º
99
Outro ângulo notável é o raso, que tem 180º, conforme pode ser visto a seguir.
8.3 Teoremas envolvendo segmentos e ângulos
Existem alguns teoremas muito utilizados, que foram deduzidos a partir de
algumas relações existentes nos ângulos. Duas dessas relações referem-se a ângulos
complementares e suplementares. Ângulos complementares são aqueles cuja soma é
sempre 90º, como pode ser visto na ilustração a seguir, cujos ângulos 11º e 79º somam
90º (SAGAH, 2018).
Nesse caso, podemos afirmar que um ângulo é complementar ao outro. Já os
ângulos suplementares são aqueles cuja soma é sempre 180º, conforme segue:
100
Ângulos construídos sobre um ângulo raso somam 180º. Nesse exemplo anterior,
há dois ângulos: um medindo 35º e outro 145º. Assim, podemos dizer que um é
suplementar ao outro. Observamos, a seguir, uma consequência da proposição dos
ângulos suplementares (SAGAH, 2018).
Os ângulos a e b foram construídos sobre um ângulo raso. Assim:
a + b = 180°
O mesmo pode-se afirmar sobre b e d:
b + d = 180°
Podemos substituir 180° por b + d na primeira equação e teremos:
101
a + b = b + d
Assim:
a + b – b = d
∴ a = d
mostrando que ângulos opostos pelo vértice são congruentes. Veja um exemplo
de aplicação: com base na figura a seguir, determine os valores de x e y (SAGAH, 2018).
Podemos ver que o ângulo 3x + 15º é oposto pelo vértice ao ângulo de 60º.
Portanto, eles são congruentes. Assim:
Os ângulos y e 60° são suplementares. Portanto:
102
Podemos partir para uma nova proposição sobre ângulos formados por três retas
— duas paralelas (r e s) e uma transversal (t), (SAGAH, 2018).
Os ângulos são congruentes:
Os ângulos são suplementares:
Agora, veremos um exemplo da aplicação, determinando os valores de a e b,
sendo r//s, e t uma reta transversal.
103
105º e a são suplementares. Assim:
105º e b são congruentes, logo b = 105º. Você pode perceber a elegância dos
teoremas apresentados, que são muito simples e de demonstração fácil, servindo para
que você se aproxime das provas matemáticas e compreenda a estrutura lógica da
disciplina (SAGAH, 2018).
104
9 POSIÇÕES RELATIVAS À INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS
9.1 Interseção entre retas
As retas são representadas por meio de diversas formas de equações. Essas retas,
apesar de expressas com equações diferentes, podem ter relações de coincidência,
paralelismo e concorrência entre elas (WINTERLE, 2014). Como ponto de partida para
análise das relações entre retas no espaço, vamos observar a presença de pontos de
interseção entre elas. Quando duas retas r e s estão no espaço, é possível haver um
ponto de interseção I entre elas, como mostra a Figura 1. Em diversos campos de
estudos, a busca por esse ponto pode ser um processo de otimização de sistemas ou
mesmo melhor custo-benefício.
Exemplo 1 — Qual é o ponto de interseção entre as retas r e s, representadas
pelas equações a seguir?
105
Solução: Para encontrar o ponto de interseção I entre as retas r e s, substituímos
os valores de x, y e z dados pelas equações paramétricas da reta s nas mesmas posições
do sistema de equação reduzida da reta r, obtendo assim (WINTERLE, 2014):
Da primeira equação obtemos t igual a -7 e da segunda obtemos t igual a -2.
Como não há equivalência entre os resultados, não há ponto de interseção I entre as
retas.
Exemplo 2 — Qual é o ponto de interseção entre as retas p e t, representadas
pelas equações a seguir?
Solução: Novamente, devemos iniciar a solução pela substituição das
componentes de uma reta em outra equação de reta:
Da primeira e segunda equações obtemos x igual a 2. Como são valores iguais,
conseguimos encontrar os valores de y e z, substituindo x por 2. O ponto de interseção
será I (2,1,3)
106
9.2 Classificação de retas
Retas dispostas no espaço podem ter diversas relações entre elas, dentre as
quais o paralelismo e a coincidência são analisados a partir dos vetores diretores. A
concorrência e a reversão são analisadas com os vetores diretores e a presença de ponto
de interseção. Por fim, retas podem pertencer a um mesmo plano, sendo assim
chamadas de retas coplanares (SANTOS; FERREIRA, 2009).
9.3 Paralelismo e coincidentes
A determinação de paralelismo entre retas no espaço ocorre por meio de uma
análise dos vetores diretores de cada uma delas (SANTOS; FERREIRA, 2009). Se os
vetores diretores u e v são múltiplos escalares, consideramos que as retas terão a mesma
direção e serão paralelas, como mostra a Figura 2.
É possível ainda existir uma coincidência total entre as retas, chamando assim
de retas coincidentes. Para verificar isso, é necessário inicialmente que os vetores
diretores sejam múltiplos escalares e, em seguida, que se teste um ponto de uma reta na
outra; caso a inserção do ponto seja válida, concluímos que as retas são coincidentes
(BOULOS; CAMARGO, 1987).
107
Caso os vetores sejam diferentes, é possível a existência ou não de concorrência,
para verificar isso, basta igualar as duas equações de retas e ver se há um ponto de
interseção I. Veja nos exemplos a seguir a demonstração dessa verificação para
paralelismo e coincidência (BOULOS; CAMARGO, 1987).
Exemplo 3 — Determine se há paralelismo entre as retas r e s a seguir.
Solução: Inicialmente extraímos os vetores diretores u e v das retas r e s. Caso
os vetores possuam relação escalar entre eles, as retas são paralelas:
O vetor diretor u e v serão:
Portanto, analisando os vetores, vemos que o vetor v é igual a u multiplicado pelo
escalar -2, logo as duas retas r e s são paralelas, ou seja, r // s. Quando temos duas retas
paralelas, conforme apresentado na Figura 2, podemos ver que não haverá nenhum
ponto de interseção entre elas. A única maneira de isso acontecer é se os vetores
diretores u e v forem iguais, assim sendo, toda a reta r será coincidente à reta s, e,
108
portanto, todos os pontos serão de interseção. De qualquer maneira, vamos verificar o
ponto de coincidência substituindo r em s:
Se igualarmos dois a dois as partes das equações simétricas, veremos que os
valores de t encontrados não são iguais e, portanto, não haverá ponto de interseção entre
as retas, conforme duas retas paralelas devem se comportar (BOULOS; CAMARGO,
1987).
Exemplo 4 — Verifique a posição relativa entre as retas r e s, dadas pelas
equações a seguir.
Solução: Novamente extraímos os vetores diretores u e v das retas r e s (a reta
s foi alterada para equações simétricas a fim de facilitar encontrar o vetor diretor):
O vetor diretor u e o v serão:
109
Como os vetores são iguais, podemos concluir que as retas r e s são
coincidentes.
9.4 Concorrentes e reversas
Quando as retas são previamente determinadas como não paralelas e/ou
coincidentes, elas podem ser classificadas como concorrentes, quando há um ponto de
interseção, ou reversas, quando não há interseção alguma (STEINBRUCH; WINTERLE,
2014). Para a determinação de retas reversas, é necessário provar que não há ponto
algum de interseção, como mostra a Figura 3. Veja a seguir exemplos de retas reversas
e concorrentes.
Exemplo 5 — As retas a seguir são reversas ou concorrentes?
110
Solução:
Substituindo r em s:
Resolvendo as igualdades, obtemos um valor de t igual para todos, ou seja, t
igual a 2. Desse modo, concluímos que as retas são concorrentes. Indo além,
substituímos t na equação de r e obtemos o ponto I:
Retas planares e coplanaresO ponto de interseção das retas concorrentes é I
(1,2,–2).
Exemplo 6 — As retas a seguir são reversas ou concorrentes?
Solução:
Substituindo s em r:
Obtemos y igual a 11 e z igual a 19. Aparentemente isso nos leva a um ponto de
interseção e, assim, a concluir que as retas são concorrentes, no entanto, devemos ficar
atentos ao processo de verificação com x. Nesse exemplo, se substituirmos y e z,
obteremos diferentes valores de x, logo, não há ponto de interseção, e, assim,
classificamos as retas como reversas (BOULOS; CAMARGO, 1987).
111
9.5 Retas planares e coplanares
Retas são ditas coplanares quando se localizam em um mesmo plano no espaço
(SANTOS; FERREIRA, 2009). Qualquer plano no espaço pode ser usado como
comparação para analisar as retas, por isso, para determinar com exatidão a
coplanaridade, utilizamos novamente os vetores diretores das retas. Se os vetores
diretores u(a,b,c) e v(d,e,f) de uma reta e um novo vetor feito por dois pontos das retas,
por exemplo, vetor AB(x1 – x2 ,y1 – y2 ,z1 – z2 ) tiverem como resultado da determinante
entre eles igual a zero, os vetores são coplanares. Veja a seguir:
Caso os vetores sejam colocados em ordem diferente, ou mesmo que o cálculo
do vetor AB seja feito como BA, não há problemas, pois o objetivo é verificar apenas a
igualdade com zero; assim, se o valor for diferente, já é desconsiderada a coplanaridade
entre retas.
Exemplo 7 — Determinar se as retas r e s são coplanares
Solução:
Vetores diretores u e v e vetor AB
112
Em seguida, montamos o determinante:
Concluímos, então, que as retas são coplanares.
Exemplo 8 — Qual é o valor de m para que as retas r e s sejam coplanares?
Solução:
Vetores diretores u e v e vetor AB:
Em seguida, montamos o determinante:
113
Para satisfazer o determinante, m tem de ser igual a 2/3.
Exemplo 9 — Dadas as retas a seguir, determine a relação entre elas.
Solução:
Inicialmente extraímos os vetores diretores u e v das retas r e s. Caso os vetores
possuam relação escalar entre eles, as retas são paralelas:
O vetor diretor u e o v serão:
Portanto, analisando os vetores, percebemos que os vetores diretores u e v não
possuem igualdade ou relação escalar entre eles, logo as retas não são paralelas e,
portanto, não podem ser coincidentes. A seguir, veremos como verificar se são
concorrentes (SANTOS; FERREIRA, 2009).
Substituindo r em s:
114
Resolvendo as igualdades, obtemos um valor de t igual a –2/7 para a primeira e
a segunda partes da equação simétrica. E obtemos t igual a –13/3 entre a segunda e a
terceira partes da equação simétrica. Logo, se não há convergência entre os valores de
t, não há ponto de coincidência na reta e, assim, podemos classificá-la como reversa.
Indo além, vamos verificar a condição de coplanaridade. Vetores diretores u e v e vetor
AB:
Em seguida, montamos o determinante:
Como o resultado é diferente de zero, dizemos que as retas também não são
coplanares. Isso, porém, já pode ser deduzido quando as retas são consideradas
reversas: se retas são reversas, elas não são coplanares (WINTERLE, 2014).
115
10 ESTUDO DA RETA NO PLANO
10.1 Equação de reta no plano
As retas são representadas por meio de equações (SANTOS; FERREIRA, 2009).
Essas equações podem ser obtidas por pontos no plano cartesiano e relações com
vetores (Figura 1). Na construção da equação da reta por meio de vetores, temos as
chamadas equações vetoriais, que não são o foco deste capítulo. Aqui, vamos abordar a
construção da equação através de pontos, na qual é necessário o uso de no mínimo dois
pontos para determinar um segmento de reta ou reta completa (Figura 2).
Imagine que uma reta é feita por dois pontos, um ponto localizado na origem e
outro na coordenada B (5,5). Quais são os pontos que pertencem à reta que tem como
base esses pontos? Se um ponto de referência da reta está na origem, isso significa que
116
a reta passa pelo ponto (0,0). O segundo ponto está em (5,5). Os demais pontos devem
estar em coordenadas que são iguais nos valores de x e y. Sendo assim, alguns dos
pontos que pertencem a essa reta são os seguintes (SANTOS; FERREIRA, 2009).
A Figura 3 apresenta esses pontos no plano cartesiano
Como os valores de x e y devem ser iguais para pertencer à reta, podemos dizer
que uma relação/equação que a representa é y = x. Assim, todo valor de y será igual a x.
117
10.2 Representação de retas no plano cartesiano
Retas podem ser construídas a partir de dois pontos no plano cartesiano. A
Figura 3, vista anteriormente, apresenta uma reta r construída a partir de dois pontos
.O uso desses pontos também permite o cálculo do coeficiente angular
da reta. Esse coeficiente representa o valor da tangente referente ao ângulo de inclinação
α:
De posse do coeficiente angular, é possível gerar a equação da reta (SANTOS e
FERREIRA, 2009):
y = a ∙ x + b
O valor de b, chamado de coeficiente linear, representa o valor de translação da
reta no sentido do eixo y. Caso a reta passe pela origem, esse valor será igual a zero.
Para encontrar o valor de b, é preciso substituir o valor de y e x por um dos pontos que
compõem a reta.
A equação de reta é:
Na Figura 4, os pontos A, B e P geraram a reta no plano, e o ângulo α representa
a inclinação da reta (SANTOS; FERREIRA, 2009). Perceba que, quando o coeficiente
angular é positivo, a reta é ascendente; quando é negativo, a reta é descendente.
118
10.3 Retas paralelas aos eixos cartesianos
Quando obtemos equações de retas em que o coeficiente linear é igual a zero, a
reta passa pela origem do sistema. Quando o coeficiente angular é igual a zero, o valor
da tangente do ângulo de inclinação é igual a zero, ou seja, o único valor de ângulo que
satisfaz essa tangente é zero grau. Por isso, podemos perceber que há retas sem as
variáveis x ou y, sendo x igual a uma constante ou y igual a uma constante. Quando isso
acontece, dizemos que a reta está paralela aos eixos cartesianos (STEINBRUCH;
WINTERLE, 2014). Quando não houver x, a reta está paralela ao eixo x; quando não
houver y, a reta está paralela ao eixo y. Observe a Figura 5 com as retas r e s, paralelas
aos eixos x e y, respectivamente.
119
10.4 Avaliação das posições das retas em função do coeficiente angular
As retas variam suas inclinações em função do coeficiente angular. Quando
temos coeficientes angulares iguais em retas diferentes, temos retas com o mesmo grau
de inclinação e, portanto, paralelas (STEINBRUCH; WINTERLE, 2014). Quando temos
coeficientes angulares diferentes, temos um ângulo de diferença entre as retas
comparadas. Como cada reta possui um ângulo correspondente em relação ao eixo
horizontal, se a diferença entre esses ângulos for igual a 90° (ou igual a um múltiplo de
90º), temos, então, um caso de ortogonalidade entre retas. Observe, na Figura 9, retas
com inclinações diferentes em função de coeficientes angulares diversos.
11 DISTÂNCIA ENTRE PONTOS, RETAS E PLANO
11.1 Dois pontos
A distância entre dois pontos é dada pelo comprimento da semirreta que os liga.
Observe a Figura 1, a seguir, e lembre-se de que você poderia construir diversos
caminhos para chegar do ponto A ao ponto B, e cada um deles terá um comprimento
diferente. Mas o conceito de distância é denominado pela menor delas ente os caminhos
possíveis — no caso, uma linha reta.
120
11.2 Um ponto e uma reta
A distância entre um ponto P e uma reta r é dada pela distância entre P e o ponto
pertencente a r mais próximo de P. Observe a Figura 2 e note que há diversos pontos
pertencentes à reta r, cujas menores distâncias são segmentos de retas, como visto
anteriormente. Mas o ponto mais próximo a P é o C, cujo segmento de reta que os liga
faz um ângulo de 90º entre ele e a reta r (STEINBRUCH; WINTERLE, 2014).
121
11.3 Um ponto e um plano
A distância entre um ponto P e um plano α é dada pela distância entre o ponto P e
um ponto pertencente ao plano mais próximo de P. Veja que, na Figura 3, existem
diversos pontos que pertencem ao plano α, mas apenas o ponto B é o mais próximo de
P. O segmento que une esses dois pontos faz um ângulo de 90º com o plano
(STEINBRUCH; WINTERLE, 2014).
11.4 Duas retas
A distância entre duas retas r e s é definida como a menor distância entre um
ponto de r e um ponto de s (Figura 4). Podemos dizer, também, que a distância entre as
duas retas é igual à distância de um ponto P qualquer de r e a reta s, como visto
anteriormente.
122
Se as retas forem paralelas, temos a distância como mostrada na Figura 4. Note
que os ângulos entre o segmento que junta os pontos P e A e as retas são de 90º. Se as
retas forem concorrentes ou coincidentes, a menor distância entre elas é nula, pois os
pontos de ambas mais próximos entre si são coincidentes (Figura 5) (STEINBRUCH;
WINTERLE, 2014)
Se as retas forem reversas, a distância entre elas é o comprimento da semirreta
perpendicular a elas (Figura 6). Note que essa semirreta deve ter pontos em comum com
ambas as retas, r e s
123
11.5 Reta e plano
A distância entre uma reta r e um plano paralelo a r é igual à distância entre um
ponto qualquer da reta até o plano. Dessa maneira, essa distância recai no caso já visto
de distância entre ponto e plano (Figura 7) (STEINBRUCH; WINTERLE, 2014).
11.6 Dois planos
A distância entre dois planos paralelos é a distância entre um ponto qualquer de um
deles com o outro plano (Figura 8).
124
12 ÂNGULOS NO ESPAÇO
12.1 Retas coplanares
Suponha as retas r e s coplanares. Se elas forem coincidentes ou paralelas,
podemos dizer que o ângulo entre elas é zero. Agora, se elas forem concorrentes, elas
formam quatro ângulos entre si (Figura 9). Os pares θ e θ´ e γ e γ´ são chamados de
opostos pelo vértice e são congruentes. Se forem considerados dois ângulos não opostos
pelo vértice, eles são suplementares, como γ´ + θ = 180°. Nesse caso, o ângulo entre
elas é considerado o menor entre os quatro (AZEVEDO FILHO, 2015). Se as retas forem
perpendiculares, os quatro ângulos são iguais a 90º.
12.2 Retas reversas
Suponha as retas r e s reversas e dois pontos A e B quaisquer de r e s
respectivamente (Figura 10a). Agora, vamos desenhar uma reta paralela a s, s´, que
passe por r no ponto A, e, opostamente, uma reta paralela a r, r´, que passe por s no
125
ponto B (Figura 10b). Os ângulos formados entre r e s´ e s e r´ são iguais, e, por definição,
esse será o ângulo considerado entre as retas r e s (AZEVEDO FILHO, 2015).
Se as retas r e s forem ortogonais, o ângulo entre elas é de 90º.
12.3 Planos
Se dois planos forem considerados coincidentes ou paralelos, a angulação entre
eles é nula. Agora vamos pensar em dois planos concorrentes. Suponha α e β como dois
planos concorrentes (Figura 11a). Seja t a reta resultante da intersecção entre os planos.
Agora, considere A e B como pontos distintos dessa reta (Figura 11b). As retas s e s´ são
perpendiculares a t, passando por A e B, e as retas r e r´ são perpendiculares a t,
passando também por A e B. Dessa maneira, temos que r e s, e r´ e s´ são pares de retas
concorrentes, e que r//r´ e s//s´. Temos, então, que os dois ângulos formados entre as
retas são congruentes, sendo essa a definição de ângulos entre planos. Caso os planos
forem perpendiculares, esse ângulo é de 90º.
126
13 ÂNGULOS E INTERSEÇÕES
13.1 Ângulo entre retas
As retas, como os vetores, podem ser comparadas de modo que se obtenham
os valores de ângulos entre elas. Para analisar o ângulo, uma maneira é por meio dos
vetores diretores (SANTOS; FERREIRA, 2009), com os quais basta utilizar a relação de
produto escalar sobre o produto do módulo de cada vetor:
Sendo u e v os vetores diretores de duas retas distintas r e s. Observe a Figura 1
Exemplo 1 – Qual é o ângulo entre as retas r e s, dadas pelas equações a seguir?
127
Solução: Primeiro, é necessário identificar os vetores diretores u e v das retas r
e s. O vetor diretor da reta r, apresentada na forma de equações paramétricas, é extraído
pela observação do número que multiplica t em cada equação, ou seja (SANTOS;
FERREIRA, 2009):
O vetor diretor u será:
O vetor diretor da reta s, apresentada na forma de equações simétricas, é
extraído pela observação dos números no denominador de cada equação, ou seja:
O vetor diretor v será:
O ângulo entre as retas será:
128
A partir desse exemplo, podemos perceber que, quando tivermos vetores
diretores que produzam um produto escalar igual a 0, haverá uma condição de
ortogonalidade entre as retas (ângulo θ igual a 90°) (SANTOS; FERREIRA, 2009):
Exemplo 2 – Qual é o valor de m para que o ângulo entre as retas r e s seja de
30°?
Solução:
Inicialmente obtemos os vetores diretores de r e s:
O ângulo entre as retas é dado por:
129
Para ter o ângulo de 30°, é necessário um cosseno no valor de , logo:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Como |m| 2 é igual a m2 , então retiramos o módulo:
A partir dessa equação, obtemos o valor de m igual a ±√30 para satisfazer o
ângulo θ entre as retas igual a 30° (SANTOS; FERREIRA, 2009):
Exemplo 3 – Sabendo que as retas r e s são ortogonais, qual é o valor de m
necessário para essa condição?
130
Solução: Para que as retas sejam ortogonais, o produto escalar entre os seus
vetores diretores deve ser igual a zero. Logo, iniciamos o cálculo obtendo os vetores
diretores u e v das retas r e s:
Após uma transformação da equação da reta s de reduzida para simétrica, de
modo a se obter mais facilmente o vetor v, temos os vetores diretores (SANTOS;
FERREIRA, 2009):
O produto escalar deve ser igual a zero, logo:
13.2 Interseção entre planos
Quando retas se interceptam, é obtido um único ponto de equivalência. Quando
uma reta cruza um plano, obtém-se também apenas um ponto de interseção. Já quando
131
planos se interceptam, são obtidos vários pontos, ou seja, a interseção entre planos é
representada por uma reta r, como se vê na Figura 2 (STEINBRUCH; WINTERLE, 2014)
Veja nos exemplos a seguir casos de interseção entre planos e entre planos e
retas. Exemplo 4 – Qual é o ponto de interseção da reta r no plano π?
Solução: O procedimento de interseção entre reta e plano é similar ao de pontos
de interseção entre retas concorrentes, ou seja, substituímos os valores da reta r na
equação do plano π:
Em seguida, substituímos t na equação paramétrica da reta r:
132
O ponto de interseção entre a reta r e o plano π é em I (–3,2,4).
Exemplo 5 – Qual é a reta de interseção entre os planos π1 e π2 ?
Solução: Para se obter a reta que representa a interseção entre planos,
iniciamos com o agrupamento das equações dos planos em um sistema:
Como temos apenas duas equações e três variáveis, é impossível de se resolver
o problema, a menos que se coloque uma das variáveis como parte da solução. Mas
façamos diferente, vamos atribuir uma das posições de cada uma das equações como
sendo zero. Ou seja, tanto o plano 1 quanto o plano 2 devem ter interseção em algum
ponto quando x for igual a zero, dessa forma, resta apenas descobrir o valor das variáveis
y e z que estão nesse local. O sistema fica reduzido como a seguir (SANTOS;
FERREIRA, 2009):
133
Com esse sistema reduzido, de duas equações e duas variáveis, obtemos os
valores de y e z quando x for igual a zero. Esse ponto P é dado por:
Com o ponto obtido, falta determinar o vetor diretor u da reta r que faz interseção
com os dois planos. Para determinar essa reta, é importante lembrar que a reta deve
estar ortogonal a ambos os planos, logo o vetor diretor da reta de interseção é resultado
do produto vetorial entre os dois vetores normais n1 e n2 dos planos π1 e π2 :
O produto vetorial é dado por:
A equação vetorial da reta r que faz interseção pelos dois planos é dada por
(SANTOS; FERREIRA, 2009)::
Exemplo 6 – Qual é a equação paramétrica da reta de interseção entre os planos
π1 e π2 ?
Solução:
134
14 TRIÂNGULOS
14.1 Triângulos e suas linhas transversais
Triângulos são figuras geométricas formadas pelos segmentos que unem três
pontos não colineares, conforme demonstrado na Figura 1, a seguir.
Um triângulo é constituído pelos seguintes elementos, demonstrados na Figura 2:
135
Outro elemento do triângulo é o ângulo externo, mostrado na Figura 3.
14.2 Classificação dos triângulos
Os triângulos são classificados de acordo com as medidas dos seus lados e
ângulos (BOSTOCK et al., 1996). Por meio dos lados, eles podem ser classificados em
equiláteros (Figura 4), isósceles (Figura 5) e escalenos (Figura 6), de acordo com as
características descritas a seguir.
Equiláteros — têm os três lados congruentes.
Isósceles — têm dois lados congruentes.
Escalenos — os três lados têm medidas diferentes
136
Em relação aos seus ângulos, os triângulos podem ser acutângulos (Figura 7),
obtusângulos (Figura 8) e retângulos (Figura 9).
Acutângulo — todos os ângulos medem menos de 90°.
137
Obtusângulo — tem um ângulo com mais de 90°.
Retângulo — tem um ângulo com mais de 90°.
138
14.3 Elementos notáveis de um triângulo
No triângulo, os elementos notáveis são a mediana, a bissetriz, a altura e a
mediatriz.
Triângulos Mediana — é o segmento que une um vértice ao ponto médio do
lado oposto (Figura 10).
O encontro das três medianas de um triângulo é denominado baricentro (Figura 11).
139
Bissetriz — é o segmento que une o vértice ao seu lado oposto, dividindo o
ângulo do vértice em duas partes congruentes (Figura 12)
Incentro — é o encontro das três bissetrizes de um triângulo (Figura 13)
140
Altura — é a perpendicular que vai de um vértice ao lado oposto, ou ao seu
prolongamento (Figura 14).
Ortocentro — é o encontro das três alturas de um triângulo (Figura 15).
Mediatriz — é uma reta perpendicular que passa pelo ponto médio de um lado
do triângulo, de onde se conclui que o triângulo tem três mediatrizes (Figura 16).
141
Circuncentro — o ponto de encontro das três mediatrizes é denominado
circuncentro, que fica a uma mesma distância de cada um dos seus vértices (Figura 17).
A Figura 18, a seguir, demonstra que o circuncentro é o centro da circunferência
circunscrita no triângulo.
A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°. Assim, dados
dois ângulos, podemos sempre calcular a medida do terceiro, como demonstrado no
exemplo a seguir.
142
15 TEOREMAS SOBRE TRIÂNGULOS
15.1 Teorema da base média
A base média de um triângulo é o segmento que tem extremidades nos pontos
médios do referido triângulo (Figura 20).
O teorema da base média do triângulo afirma que, em qualquer triângulo, o
segmento com extremidades nos pontos médios de dois lados é paralelo ao terceiro lado,
e sua medida é igual à metade desse terceiro lado (ÁVILA, 2006).
15.2 Desigualdade triangular
Em todo triângulo, o comprimento de qualquer lado é sempre menor que a soma
dos comprimentos dos outros dois (Figura 21).
143
A Figura 21 apresenta um triângulo ABC, a partir da qual temos que (ÁVILA,
2006):
Dessas desigualdades, podemos deduzir que:
Vamos reescrever em termos de módulo para a e b ∈ ℛ, definindo que:
Ou
144
Portanto: x = |x| ou x = –|x| e
Somando as desigualdades, termo a termo:
que é denominada desigualdade do triângulo.
15.3 Cálculos e demonstrações
O perímetro de qualquer figura plana é a medida do seu contorno, dada pela
soma das medidas dos seus lados. Como um triângulo possui três lados, a medida de
seu perímetro é o resultado da adição deles. A área do triângulo é dada pela multiplicação
da medida de uma base por sua altura. Vamos dar continuidade com uma demonstração
do teorema da base média dos triângulos, cuja afirmativa é que a medida dessas bases
é igual à metade do lado do triângulo que é paralelo. Observe o triângulo DEF, de base
B e altura h, na Figura 22 (ÁVILA, 2006).
Agora, vamos traçar duas retas paralelas à altura h: uma passando pelo vértice
E, e outra passando pelo vértice F. Traçaremos, também, uma reta paralela à base B,
passando pelo vértice D, conforme vemos na Figura 23.
145
Veja que:
o triângulo EID possui metade da área de EIDH;
o triângulo IFD possui metade da área de IFGD.
Como EFGH = EIDH + IFGD e DEF = EID + IFD, temos que:
área de DEF =
Como a área do retângulo = B . h temos que:
área do triângulo =
Agora, demonstraremos o teorema da base média. Observe a Figura 26, a seguir:
146
No triângulo, MN//BC
Agora, vamos prolongar MN até um ponto P, que será determinado para que
tenhamos MN congruente com NP (Figura 27).
Unimos, então, o ponto P ao vértice C, criando o triângulo NPC (Figura 28).
Observe que é congruente com
Assim:
147
Desse modo, temos que BCPM é um paralelogramo,
Como 2 MN = MP, temos que:
2 MN = BC
Logo:
Na Figura 29, você verá uma demonstração de que a soma dos ângulos internos
de um triângulo é 180°.
O próximo passo da demonstração é construir uma reta paralela ao lado AB, que
passa pelo vértice C (Figura 30).
148
Na Figura 31, prolongamos o lado BC e marcamos os ângulos δ e ε.
Analisando essa figura, verificamos que:
γ + δ + ε = 180º
Os ângulos β e ε são correspondentes, logo, são congruentes. Os ângulos a e δ
são alternos internos, logo, são congruentes. Substituindo em γ + δ + ε = 180°, temos
que:
γ + α + β = 180°
Na Figura 32, você acompanhará a demonstração de que um ângulo externo
mede a soma dos dois ângulos internos não adjacentes (ÁVILA, 2006).
149
No triângulo, temos que:
δ + ζ = 180 → ζ = 180 – δ
α + β + ζ = 180
Substituindo:
α + β + 180 – δ = 180
e
α + β = 180 – 180 + δ
∴ α + β = δ
16 TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO
16.1 Razões trigonométricas no triângulo retângulo
O triângulo retângulo é uma figura geométrica muito utilizada na matemática. A
partir dele, conseguimos descrever diversas razões e propriedades trigonométricas,
como você vai ver neste capítulo. Para iniciar o estudo dessa forma geométrica, é
importante conhecer os elementos que a compõem. A Figura 1 mostra um triângulo
retângulo ABC, retângulo em A (FILHO, 2015).
Os elementos desse triângulo são descritos a seguir.
150
Os triângulos retângulos também possuem algumas relações métricas. A partir
do triângulo ABC, você pode identificar mais dois triângulos retângulos, DAC e DBA,
conforme mostra a Figura 2 (FILHO, 2015).
Os triângulos ABC e DAC são semelhantes pelo caso ângulo ângulo (A.A). Os
ângulos do primeiro triângulo e do segundo triângulo são retos, e o ângulo é comum aos
dois. Assim, podemos escrever que:
Pelo mesmo tipo de semelhança, podemos analisar os triângulos ABC e DBA, de
onde concluímos que:
151
Observando o triângulo DCA, verifica-se que os ângulos e são complementares
— ou seja, a sua soma é 90°. E, como no triângulo ABC, os ângulos e também são
complementares. Podemos concluir que os ângulos e são congruentes. Assim, os
triângulos DBA e DCA são semelhantes pelo caso A.A. Portanto, podemos escrever que:
Agora, somando b2 = am e c2 = an, ficamos com:
Ou seja:
Agora, vamos ver algumas razões trigonométricas do triângulo retângulo.
Considere o triângulo retângulo mostrado na Figura 3 à esquerda. Nele, verificam-se os
seguintes elementos (FILHO, 2015):
Agora, vamos traçar paralelas a c, como mostrado na Figura 3 à direita. Então,
por semelhança de triângulos, temos que:
152
Assim, como os triângulos são semelhantes, as relações referentes ao ângulo α
serão as mesmas para todos eles. Portanto, pode-se definir as seguintes relações
(FILHO, 2015):
Seno de α:
Tangente de α:
153
E, se quisermos encontrar o ângulo α com base nos lados do triângulo, usamos
as relações trigonométricas inversas. Assim (FILHO, 2015):
17 POLÍGONOS
17.1 O que são os polígonos?
Para definirmos o que são os polígonos, iniciaremos pela linha poligonal, que é
uma sequência de segmentos não colineares pertencentes a um mesmo plano. A Figura
1, a seguir, mostra dois exemplos de linhas poligonais: aberta e fechada. A diferença
entre elas é que as fechadas ocorrem quando o ponto final coincide com o ponto inicial
(FILHO, 2015).
154
Um polígono é, então, definido como um conjunto de pontos de uma linha
poligonal fechada e de seu interior. A seguir, a Figura 2 mostra dois exemplos de
polígonos. Note que os segmentos não se cruzam (FILHO, 2015).
Os polígonos podem ser classificados pelo número n de lados. O Quadro 1
mostra a sua classificação de acordo com esse número n. Note que um polígono de n
lados também possui n vértices e n ângulos internos. Geralmente, acima de n = 20, usa-
se a denominação “polígono de n lados”.
155
17.2 Polígonos convexos, côncavos e regulares
Os polígonos podem ser convexos ou não convexos. Um polígono convexo é
aquele que possui todos os seus ângulos internos menores que 180º. Já, se o polígono
possuir algum ângulo interno maior que 180º, ele será considerado não convexo ou
côncavo. Alternativamente, podemos dizer que um polígono é dito convexo se, dados
dois pontos quaisquer A e B pertencentes ao seu interior, o segmento AB terá todos os
seus pontos no interior do polígono, conforme figura 3, a seguir. Já, se o polígono for não
convexo ou côncavo, é possível encontrar pontos de um segmento como AB fora do
polígono.
Um polígono regular é aquele que, além de convexo, possui todos os lados os
ângulos congruentes (FILHO, 2015).
17.3 Propriedades dos polígonos
Os polígonos exibem diversas propriedades, as quais envolvem suas diagonais,
seus ângulos internos, externos, dentre outros. A seguir, veremos algumas delas
156
17.4 Diagonais de um polígono
Definição: a diagonal de um polígono é definida como todo segmento de reta
que une dois vértices que não sejam consecutivos. A Figura 4, a seguir, mostra exemplos
de diagonais (linhas tracejadas) (FILHO, 2015).
Já o número de diagonais D de um polígono é dado por:
Onde n é o número de lados do polígono. Demonstração: suponha A como um
dos vértices do polígono, podemos traçar n – 3 diagonais (Figura 4). Como o polígono
tem n vértices, o número total de diagonais é n(n – 3). Note que cada diagonal foi contada
duas vezes (por exemplo, AC = CA), assim, dividimos por 2, chegando ao resultado final:
157
17.5 Soma dos ângulos internos de um polígono
Definição: um ângulo interno de um polígono é definido como aquele entre dois
lados que sejam consecutivos do mesmo (Figura 5a). A soma de todos os ângulos
internos de um polígono Si é dada por (FILHO, 2015):
onde n é o número de lados do polígono.
158
REFERÊNCIAS
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
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BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR
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