Gestão de Recursos Hídricos e de Infra-estrutura20-%20%C1GUA%20SUBTERR%C2NEA%20NO… · No Brasil, as águas subterrâneas das regiões de rochas cristalinas ocorrem nas províncias

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA HIDRÁULICA E AMBIENTAL

Curso de pós-graduação

Gestão de Recursos Hídricos e de Infra-estrutura

Módulo 7

ÁGUAS SUBTERRÂNEAS NO MEIO

CRISTALINO

Docente: João Manoel Filho

Fortaleza, maio 2006

ii

SUMÁRIO

1. POSSIBILIDADES DE ÁGUA SUBTERRÂNEA NO CRISTALINO 1

1.1 – OCORRÊNCIA E IMPORTÂNCIA 11.1.1 – Região de Clima Semi-Árido 2

1.1.1.1. – Produtividade de aqüífero 41.1.1.2 – Resíduo seco das águas subterrâneas 41.1.1.3 – Vazão bombeada 51.1.1.4 – Espessura do manto indiferenciado e profundidade do nível estático 51.1.1.5 – Nível dinâmico e entrada de água mais profunda 61.1.1.6 – Produtividade de aqüífero 6

1.1.2 – Região de Clima Úmido 71.1.2.1 – Estatísticas da Subprovíncia Escudo Oriental Sudeste 71.1.2.2 – Produtividade de aquifero 81.1.2.3 – Estatísticas da Subprovíncia Serra Geral 9

2. PARÂMETROS GEOMÉTRICOS E HIDRÁULICOS DOS MEIOS FRATURADOS 10

2.1 - INTRODUÇÃO 102.2 – CLASSIFICAÇÃO DOS MEIOS FRATURADOS 102.3 – PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DAS FRATURAS 122.4 – PROPRIEDADES HIDRÁULICAS 17

2.4.1 – Condutividade hidráulica 172.4.1.1 – Condutividade hidráulica e Permeabilidade em Meios Isotrópicos 172.4.1.2 – Condutividade hidráulica e Permeabilidade em Meios Anisotrópicos 19

2.4.2 – Porosidade 202.4.3 – Classificação da porosidade 21

2.5 – PROPRIEDADES HIDROMECÂNICAS 222.6 – GEOMETRIA FRACTAL APLICADA 23

2.6.1 – Condutor hidráulico aleatório 242.6.2 – Dimensão fractal 242.6.3 – Limite de corte fractal 252.6.4 – Conceito de capacidade específica fractal 25

3. MODELOS DE ESCOAMENTO EM FRATURAS 27

3.1 – TIPOS GERAIS DE MODELOS 273.1.1 – Modelos de meio poroso equivalente 273.1.2 – Modelos de fraturas discretas 273.1.3 – Modelos baseados em geometria fractal 27

iii

3.1.4 – Modelos teóricos 273.1.5 – Modelos de dupla porosidade 293.1.6 – Modelo regional de placa paralela equivalente 29

3.2 – MODELOS DE FRATURAS DISCRETAS QUE COMPROVAM A LEI DE DARCY

30

3.2.1 – Placas paralelas 303.2.2 – Modelo de Tubo Capilar 313.2.3 – Modelo de Fissura Capilar 323.2.4 – Modelo de Raio Hidráulico 333.2.5 – Equação de |Kozeny 343.2.6 – Modelo de Resistência ao Fluo 34

3.3 – MODELOS ESTATÍSTICOS 353.4 – MODELOS DE FLUXO PARA POÇOS 35

3.4.1 – Meio Contínuo de Dupla Porosidade 353.4.1.1 – Duplo domínio e drenagem retardada (Barenblat et al. 1960) 363.4.1.2 – Duplo domínio com drenagem instantânea 373.4.1.3 – Sistema de blocos e fraturas horizontais (Boulton &Streltsova 1977) 38

4. EQUIVALÊNCIA ENTRE MEIO POROSO E MEIO FRATURADO 43

4.1 – CONCEITO DE ELEMENTO DE VOLUME REPRESENTATIVO (EVR) 434.2 – RELAÇÃO ENTRE CONECTIVIDADE E A HIPÓTESE DE MEIO CONTÍNUO 45

4.2.1 – Índice de Conectividade 454.2.2 – Índice de Variabilidade da Permeabilidade 454.2.3 – Índice de Variabilidade da Porosidade Efetiva

5. IDENTIFICAÇÃO DE ZONAS DE FRATURAS 48

5.1 - INTRODUÇÃO 485.2 – IDENTIFICAÇÃO DE FRATURAS EM DOMÍNIOS 2D 49

5.2.1 – Mapeamento de fraturas em campo 525.2.2 – Mapeamento de fraturas por sensoriamento remoto 525.2.3 – Mapeamento de fraturas em poços 52

6. ANÁLISE DE TESTES DE BOMBEAMENTO EM MEIO HETEROGÊNEO 54

6.1 – DIFICULDADES E DIVERGÊNCIAS DE INTERPRETAÇÃO 546.2 – ANÁLISE DE TESTES PELO MÉTODO DA CAPACIDADE ESPECÍFICA

FRACTAL (MANOEL FILHO 1996) COM O MODELO DE BOULTON & STRELTOVA (1977) 57

6.2.1 – Cálculo dos Parâmetros Hidráulicos 57

iv

6.2.1.1 – Curvas de Rebaixamento 576.2.1.2 – Curvas de Recuperação 58

6.2.2 – Gráficos Ilustrativos de Resultados 606.3 – PROPRIEDADES FRACTAIS DE DADOS DE POÇOS 62

6.3.1 – Auto-Afinidade dos Testes de Produção 626.3.1.1 – Cálculo da dimensão espectral e da medida de Hausdorff 67

7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 69

Capítulo 1 - Possibilidades de Água Subterrânea no Meio Cristalino

1

1. POSSIBILIDADES DE ÁGUA SUBTERRÂNEA

NO CRISTALINO

1.1 - OCORRÊNCIA E IMPORTÂNCIA

Nas rochas cristalinas as fraturas e/ou fissuras são os condutos através

dos quais a água subterrânea se movimenta, uma vez que o esqueleto

sólido ou matriz da rocha é considerado praticamente impermeável. De um

modo geral os aqüíferos das rochas cristalinas são importantes pelas

grandes extensões territoriais que ocupam na superfície terrestre e pela

pouca profundidade (inferior a 10 m ) em que a água quase sempre se

encontra. As rochas ígneas e metamórficas Pré-Cambrianas dominam

amplamente nas grandes plataformas continentais (Atlântica, Canadense,

da Africana, Siberiana, etc) que cobrem 30 milhões de km² (quase 20%)

da superfície da Terra.

A importância da água subterrânea das rochas cristalinas pode variar

muito de um lugar para outro. Ela depende da existência ou não de outras

fontes alternativas de suprimento hídrico e do seu confronto com a

demanda. No Brasil, as águas subterrâneas das regiões de rochas

cristalinas ocorrem nas províncias hidrogeológicas, correspondentes aos

grandes escudos (figura 1.1), formados pelos complexos de rochas ígneas e

metamórficas de todos os graus, e ainda pelas coberturas e embasamento

do craton do São Francisco (figura 1.2)

1.1.1 - Região de clima semi-árido

Em regiões semi-áridas, como o Nordeste do Brasil, com cerca de

500.000 km² ocupados por rochas cristalinas, o aproveitamento de água

subterrânea dessas rochas sempre foi uma alternativa considerada, em

virtude da carência de outros recursos hídricos. Nas estiagens prolongadas,

essa é, muitas vezes, a única alternativa para a sobrevivência dos

rebanhos. O mesmo acontece em grandes regiões da África, India, Austrália

e Sibéria, como indicam alguns estudos hidrogeológicos regionais que tem

contribuído para um melhor entendimento das propriedades hidrogeológicas

do cristalino (Biscaldi 1968, IAH 1975, Wright e Burges 1992).

Capítulo 1 - Possibilidades de Água Subterrânea no Meio Cristalino 2

Figura 1.1 – Províncias hidrogeológicas do Brasil – modificado de Pessoa et al. 1980.

Capítulo 1 - Possibilidades de Água Subterrânea no Meio Cristalino 3

Figura 1.2 – Esboço geotectônico do Pré-Cambriano do Nordeste do Brasil (Brito Neves & Manoel Filho, 1972; Brito Neves 1978).

Capítulo 1- - Possibilidades de Água Subterrânea no Meio Cristalino

4

A qualidade das águas subterrâneas, está subordinada ao clima,

distribuindo-se em 3 (três) faixas: de resíduos secos inferiores a 500 mg/L,

nas zonas mais úmidas; de valores compreendidos entre 500 e 1000 mg/L,

nas zonas de chuvas mais próximas da média regional, e finalmente,

valores acima de 1000 mm, nas zonas mais áridas. Os resíduos secos

abaixo de 1000 mg/L são indicadores de águas subterrâneas de uso

irrestrito (Cruz & Melo, 1968).

1.1.1.1 -Produtividade de aquífero

A denominação produtividade de aquífero foi introduzida por Mente &

Mont'Alverne (1982), no mapa hidrogeológico do Brasil, na escala de

1:5.000.000, como um indicador da "importância hidrogeológica relativa"

dos diferentes aquíferos do país. Corresponde à capacidade específica

(m3/h.m) de poços, para rebaixamento de cerca de 25 m (tabela 1.1).

É um indicador interessante, mas somente significativo se referido ao

tempo, pois a capacidade específica de poços é um parâmetro temporal.

Tabela1.1 -Classificação de produtividade de aquífero no Brasil (Mente & Mont’Alverne, 1982)

Produtividade de aquífero

Faixa de capacidade específica para rebaixamento de 25 m

[m3/h.m]

Faixa de vazão [m3/h]

Muito elevada Média a elevada Fraca a média Muito fraca

y > 4 1 4< ≤y 01 1. < ≤y

y < 01.

Q > 100 25 100< ≤Q 2 5 25. < ≤Q

Q < 2 5.

Estatísticas, baseadas em dados de 814 poços cadastrados por Costa

(1986), nos Estados da Paraiba e Rio Grande do Norte, estão sumarizadas

na 1.2 para 6 (seis) parâmetros hidrogeológicos: 1- resíduo seco (RS); 2 -

manto de cobertura indiferenciada (MCI); 3 - nível estático (NE); 4 – nível

dinâmico (ND); 5 – Vazão (Q); 6 – fenda mais profunda (FMP).

1.1.1.2 - Resíduo seco das águas subterrâneas

O valor médio do resíduo seco é de 3161 mg/L, porém a mediana é

de apenas 1500 mg/L. O coeficiente de variação é da ordem de 124%. O

máximo resíduo seco encontrado foi de 31125 mg/L, mas 75% dos valores

são menores ou iguais a 3960 mg/L.


5

1.1.1.3 - Vazão bombeada

A vazão média bombeada é igual a 3,13 m3/h e mediana de 2 m3/h.

A máxima registrada foi de 36 m3/h, porém 75% das vazões são inferiores

ou iguais a 3,78 m3/h. O coeficiente de variação é de 116%.

Tabela 1.2 - Parâmetros estatísticos de algumas características de 814 poços perfurados na subprovíncia Escudo Oriental Nordeste, nos Estados do Rio Grande do Norte e Paraiba ( Fonte dos dados: Costa, 1986)

Parâmetro RS

mg/L

MCI

m

NE

m

ND

m

Q

m3/h

FMP

m

N. Total de poços

Poços usados

814

760

814

799

814

814

814

814

814

814

814

814

Média

Variância

Desvio Padrão.

CV ( % )

Assimetria

Curtose

3161

15351

3918

123950

2548

11169

3,18

7,24

2,69

84,46

2,24

11,91

4,94

16,43

4,05

82,00

1,95

8,25

19,73

95,27

9,76

49,47

0,73

3,26

3,13

13,19

3,63

115,94

3,48

22,31

26,49

180,71

13,44

50,73

0,76

3,52

Mínimo

25% ≤Mediana

75% ≤Máximo

125

690

1500

3960

31125

0

1,27

3,00

4,00

23,70

0

2,27

3,72

6,33

31,00

1,80

11,88

18,08

25,97

64,00

0,05

0,90

2,00

3,78

36,00

0

15,20

24,45

35,00

98,00

RS = resíduo seco; MCI = manto de cobertura indiferenciado; NE = nível estático; ND = nível dinâmico;

Q = vazão; FMP = fenda mais profunda. 1.1.1.4 - Espessura do manto indiferenciado e profundidade do nível estático

A espessura do manto de cobertura indiferenciado, não passa de 5 m,

em 81,6% dos poços, enquanto que a profundidade das águas subterrâneas

é menor ou igual a 5 m em 65,1% dos casos. A análise comparativa dos

valores medianos da espessura do manto de cobertura indiferenciada

(mediana de 3,00m) contra os valores da profundidade do nível estático

(mediana de 3,72 m) revela que o nível de água dos poços, com pelo

menos 50% de probabilidade, se posiciona dentro das fendas do substrato

cristalino.


6

As distribuições de frequência de NE e MCI são muito semelhantes,

com coeficientes de variação da ordem de 80% e assimetrias próximas de 2

(tabela 1.3).

1.1.1.5 - Nível dinâmico e entrada de água mais profunda

O nível dinâmico (ND) é da ordem de 20 m com mediana de 12 m,

enquanto que a profundidade da entrada de água mais profunda (FMP) tem

média aproximada de 26 m e mediana de 24 m. O coeficiente de variação é

da ordem de 50% )tabela 1.3).

1.1.1.6 - Produtividade de aquífero

Na subprovíncia Escudo Oriental Nordeste a produtividade de

aquífero, ilustrada na figura 2.10, varia em duas faixas: muito fraca

(inferior a 2,5 m3/h), em 57% dos poços, e fraca a média (entre 2,5 e 25

m3/h) em 43% dos poços.

2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 80.01 0.1 1 10 100 1000

Rebaixamento [ m ]

2

4

68

2

4

68

2

4

68

2

4

68

2

4

68

0.001

0.01

0.1

1

10

100

Cap

acid

ade

espe

cífic

a [ m

3/h.

m ]

Linhas de vazão constanteLinha de rebaixamento 25 m

25 m3/h

2.5 m3/h

Muitofraca

Fraca amédia

Figura 1.3 - Produtividade de aquífero, baseada em amostra de 814 poços, na

subprovíncia Escudo Oriental Nordeste, nos Estados da Paraiba e Rio Grande do

Norte.

1.1.2 - Região de clima úmido

Em regiões desse tipo, que se caracterizam por uma relativa

abundância de água, quase sempre se dispensou o uso da água subterrânea


7

das rochas cristalinas. Nas três últimas décadas ocorreram progressos na

captação de água do cristalino de regiões temperadas, principalmente para

pequenos abastecimentos, por conta do crescimento da demanda de água

em muitas áreas. Isso graças ao aprimoramento da tecnologia de

perfuração, que facilitou e reduziu os custos de construção de poços de

pequeno diâmetro para captação de água em rochas cristalinas (Karrenberg

1981, Krásný 1990, in Gustafson e Krásný 1994).

Nas zonas úmidas, uma das características mais importantes da água

subterrânea como fonte de abastecimento é a qualidade físico-química, que

possibilita o uso para os mais diversos fins. De fato, a qualidade físico-

química costuma ser excelente e a produtividade dos poços frequentemente

maior do que nas zonas semi-áridas.

A ocorrência da água subterrânea nos climas úmidos é beneficiada

por uma pluviosidade mais abundante e por uma melhor distribuição no

tempo. Daí porque o domínio das rochas cristalinas é, geralmente,

recoberto por um manto de intemperismo ou cobertura eluvial (MCE). Esse

manto e a zona fissurada subjacente formam um sistema livre cujo nível de

saturação, geralmente pouco profundo, ora se encontra no elúvio, ora no

meio fissurado subjacente. A recarga é assegurada pelos excessos de água

de chuva.

Inúmeros são os fatores que podem influir na magnitude dessa

recarga: natureza do solo (permeabilidade), declividade, cobertura vegetal,

duração do período de excessos de água no balanço hídrico, etc.

No Brasil as rochas cristalinas Pré-Cambrianas associadas ao clima

úmido pertencem à Subprovíncia Escudo Oriental Sudeste (62), na qual o

manto de cobertura eluvial pode atingir dezenas de metros de espessura.

Um outro meio fraturado importante nesse clima é representado pelos

derrames basálticos da bacia do Paraná, incluídos na Subprovíncia Serra

Geral (72).

1.1.2.1 - Estatísticas da Subprovíncia Escudo Oriental Sudeste

Estatísticas de profundidade dos poços (PROF); espessura do manto

eluvial (MCE); profundidade do nível estático (NE); profundidade do nível


8

dinâmico (ND); vazão (Q); profundidade da fenda mais profunda (FMP) são

indicadas na tabela 1.3.

Tabela 1.3 - Parâmetros estatísticos de algumas características de 85 poços perfurados na subprovíncia Escudo Oriental Sudeste, no Estado São Paulo (Fontes dos dados: Cavalcante, 1990; Menegasse, 1991)

Parâmetro PROF

m

MCE

m

NE

m

ND

m

Q

m3/h

FMP

m N. Total de poços

Poços usados 85 84

85 75

85 85

85 85

85 85

85 35

Média

Variância

Desvio Padrão.

CV ( % )

Assimetria

Curtose

133,88

2753,52

52,47

39,19

-0,36

2,79

37,38

347,56

18,64

49,86

1,61

7,00

12,23

161,96

12,72

104,05

1,42

4,45

72,95

1665,06

40,80

55,93

0,32

2,63

19,47

1006,71

31,72

162,96

2,48

8,41

106,51

2679,90

51,76

48,60

0,40

2,51

Mínimo

25% ≤

Mediana

75% ≤

Máximo

10,00

100,00

150,00

160,00

240,00

8,00

22,00

33,00

45,00

120,00

0

2,65

6,50

17,37

55,00

5,30

35,25

74,00

10,.6

200,00

0,10

3,22

6,70

16,00

150,00

16,00

70,00

96,00

144,25

220,00 PROF = profundidade; MCE = manto de cobertura eluvial; NE = nível estático; ND = nível dinâmico; Q = vazão; FMP = fenda mais profunda.

1.1.2.2 - Produtividade de aquífero

A produtividade de aquífero na subprovíncia Escudo Oriental Sudeste

(62), com base em amostra de 85 poços, é muito variável. As vazões mais

frequentes (65,1% dos poços), ocorrem na faixa de 2,5 a 25 m3/h, ou seja,

de produtividade fraca a média. Em ordem decrescente de frequência,

aparecem valores nas faixas de produtividade muito fraca (18,6%), média a

elevada (12,8%) e muito elevada (3,5%).


9

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000Rebaixamento [ m ]

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100

Cap

acid

ade

espe

cífic

a [ m

3/h.

m ]

100 m3/h5025

2.5 m3/h

Fraca aMédia

Fig. 1.4 - - Produtividade de aquífero, baseada em amostra de 85 poços,

na subprovíncia Escudo Oriental Sudeste, no Estado de São Paulo

1.1.2.3 - Estatísticas da Subprovíncia Serra Geral

A estatística descritiva dos parâmetros de poços: profundidade,

diâmetro, vazão, rebaixamento, vazão específica e profundidade da fenda

mais profunda, na subprovíncia Serra Geral (71) é mostrada na 1.4.

Tabela 1.4 - Parâmetros estatísticos das características de poços perfurados na subprovíncia Serra Geral, no Estado do Paraná ( dados de Fraga, 1986)

Parâmetro PROF m

DIAM mm

Q m3/h

REB m

y m3/h.m

FMP m

N. Total de poços Poços usados

198 197

198 198

198 198

198 198

198 198

198 187

Média Variância

Desvio Padrão. CV ( % )

Assimetria Curtose

123,23 935,84 30,54 24,78

0,17 2,89

191,91 391,22 19,77 10,30 -1,33 4,28

26,61 978,87 31,28

105,63 2,66

13,68

36,69 589,73 24,28 66,18

0,99 3,65

1,55 4,10 2,02

130,24 2,09 7,95

71,40 1125,33

33,54 46,98

0,52 2,59

Mínimo

25% ≤ Mediana

75% ≤ Máximo

47,00 100,00 121,00 150,00 234,00

150,00 200,00 200,00 200,00 250,00

0,20 8,75

20,00 40,00

221,00

2,00 17,84 33,11 52,55

120,00

0 0,22 0,65 1,99

11,47

10,00 43,00 67,00 90,00

165,00

PROF = profundidade; DIAM = diâmetro; Q = vazão; REB= rebaixamento; y= capacidade específica; FMP = fenda mais profunda.

Capítulo 2- - Parâmetros geométricos e hidráulicos dos meios fraturados

10

2. PARÂMETROS GEOMÉTRICOS E

HIDRÁULICOS DOS MEIOS FRATURADOS

2.1 – INTRODUÇÃO

A explotação de água subterrânea, petróleo e gás e a injeção de

resíduos de materiais tóxicos em redes de fraturas de rochas cristalinas,

requerem modelos quantitativos para descrever e prever o movimento dos

fluidos na rocha. Na tentativa de entender o fluxo nesses sistemas, os

pesquisadores geralmente procuram descrever a geometria das fraturas,

identificando: orientações, conectividade, aberturas, asperezas

(rugosidades), espaçamentos e efeitos “pele”, quando presentes.

Há uma forte influência da escala nas características das fraturas. A

extensão, por exemplo, pode variar de poucos metros a dezenas de

quilômetros. Snow (1972) depois de fazer uma ampla revisão bibliográfica

sobre os meios fraturados, chegou à conclusão de que a descrição de um

sistema de fraturas jamais pode ser completa. Nenhuma característica

geométrica pode ser atribuída de forma completa a um sistema de fraturas,

havendo sempre diferentes conjuntos de características dentre as quais

uma é dominante.

Em anos mais recentes há um reconhecimento de que as redes de

fraturas de rochas cristalinas são fractais, o que possibilita o uso de dados

de um furo pontual (poço numa fratura aleatória unidimensional) para

prever as escalas bidimensional e tridimensional do sistema de fraturas.

Segundo Barton (2001), op.cit, a reconstrução da história de uma fratura

em um ponto de conectividade inicial (poço) mediante percolação através

da rede de fraturas tem uma dimensão fractal de 1,35.

2.2 - CLASSIFICAÇÃO DOS MEIOS FRATURADOS

Os aqüíferos fraturados ou fissurados incluem muitos tipos de

formações geológicas. Nas rochas plutônicas, vulcânicas, carbonáticas e em

muitos folhelhos, as fraturas são, tipicamente, as únicas responsáveis pela

permeabilidade. As fraturas também podem constituir os caminhos

hidráulicos dominantes em rochas normalmente consideradas de meio


11

poroso intergranular, como por exemplo, arenitos e solos. Portanto, os

meios porosos dominados por fraturas podem ocorrer nos mais diversos

materiais. Podem ser classificados em 4 (quatro) categorias:

Figura 2.1 – Classificação dos meios fraturados (Streltsova, 1976)

a) Formação

fraturada

f m

f m

K KS S

>>

<

b) Meio

simplesmente

fraturado

0 e 00 e 0

f m

f m

K KS S

> =

> =

c)Meio de dupla

porosidade

f m

f m

K KS S

>

<<

d)Meio

heterogêneo

<

<f m

f m

K K

S S

Formação fraturada: (Boulton & Streltsova, 1978) é aquela cujas

propriedades de condução de um fluido estão associadas com um

coeficiente de condutividade (hidráulica no caso da água) de fratura fK , e

cujas propriedades de armazenamento estão ligadas à porosidade primária

ou da matriz , da massa rochosa (figura 2.1a). Ou seja, o fluxo é

controlado pelas fraturas, mas o fluido é armazenado principalmente na

matriz. Nesse contexto o termo formação não implica em formação

geológica, e sim em unidade aqüífera ou unidade de armazenamento de

fluido (petróleo, gás, etc). Aliás, a designação (formação fraturada) é usada

na geologia do petróleo para camadas de areia com gás, de folhelhos

porosos, rochas vulcânicas extrusivas e turfa. Em hidrogeologia,

dependendo da relação entre as características dos blocos porosos e das

fissuras, a formação fraturada pode constituir:

mS

Meio simplesmente fraturado: é um meio no qual a

condutividade hidráulica e o armazenamento do fluido estão

inteiramente nas fraturas. As propriedades, de condução e


12

armazenamento na matriz, são desprezíveis (figura 2.1b).

Exemplos incluem rochas ígneas e metamórficas de alto grau,

como granitos, gnaisses, migmatitos, e algumas rochas

vulcânicas.

Meio de dupla-porosidade: nesse meio, tanto as

propriedades das fraturas quanto as propriedades dos blocos

são levadas em conta, mas a condutividade hidráulica total é

devida principalmente às fraturas. A maior parte do fluido,

todavia, é armazenada na matriz (figura 2.1c). São

considerados aqüíferos de dupla-porosidade, arenitos

fraturados, alguns basaltos e carbonatos. A modelagem é mais

difícil porque os fluxos precisam ser quantificados tanto nas

fraturas quanto na matriz.

Meio heterogêneo: o meio fraturado é dito heterogêneo

quando as fraturas estão preenchidas com material pouco

permeável (figura 2.1d), ou menos permeável do que a matriz.

Nesse caso pode ser modelado como um meio poroso

equivalente, no qual o fluxo nas fraturas não precisa ser

especificamente modelado.

Pele de fratura – é um conceito utilizado para simular o

movimento de fluxo na interface entre os blocos da matriz

rochosa e as fraturas que os delimitam. Pode ser aplicado à

superfície de uma fratura ou a uma zona muito delgada,

imediatamente abaixo de uma superfície fraturada, que é

alterada por deposição mineral de argilas detríticas ou

infiltradas. A “pele” tem propriedades hidráulicas muito

diferentes das propriedades da matriz da rocha inalterada e

seu efeito traduz a dificuldade de intercâmbio de fluido e de

movimento de solutos entre as fraturas e os blocos porosos,

particularmente na zona saturada.

2.3 - PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DAS FRATURAS


13

As formações fraturadas ocorrem mundialmente como hospedeiras e

condutoras de fluidos, principalmente água e petróleo. Em geral, na parte

mais superior da superfície da terra, ocorre uma grande variedade de

fissuras naturais, formando sistemas de orientação bem definida, ao longo

de grandes distâncias e volumes de rochas. Tais sistemas podem ser

classificados em três grandes classes:

• Fraturas regionais ortogonais, associadas ao desenvolvimento

estrutural de toda uma região;

• Fraturas associadas com falhas e dobras;.

• Fraturas associadas com fenômenos de dissecação, variação de

temperatura e perda de massa (erosão).

As fraturas regionais apresentam-se geralmente contínuas, como

uma simples ruptura ou como uma zona de quebramento de grande

extensão, podendo atravessar verticalmente várias camadas. A orientação

dos sistemas de fraturas regionais ortogonais é quase sempre controlada

pela sedimentação primária das formações.

As fraturas associadas com falhas e dobras exibem muitos

padrões, variando desde grandes fraturas individuais, com orientação única,

até fraturas distribuídas em conjuntos com espaçamentos e orientações

diversas, podendo armazenar e conduzir fluidos por grandes distâncias.

Os reservatórios subterrâneos nos quais a produção de fluido é

devida à presença de fraturas são chamados reservatórios fraturados ou

aqüíferos fraturados. Adotam-se ainda, as denominações de aqüífero

fissural, em escala regional ou megascópica, e de condutor hidráulico

fraturado, em escala de afloramento ou mesoscópica.

A caracterização de sistemas de fraturas geralmente consiste na

avaliação de parâmetros geométricos, numa tentativa de identificar um

padrão estrutural para o domínio de fluxo. Os resultados práticos têm

demonstrado que, objetivamente, pouco se pode garantir quanto à eficácia

dessa metodologia puramente descritiva da geométrica do domínio, na

compreensão da distribuição das cargas hidráulicas no espaço e no tempo.

Muitos autores parecem concordar que uma caracterização adequada do

meio fraturado exige o conhecimento da orientação, da freqüência (ou

densidade), do tamanho e do grau de interconectividade das fraturas.


14

Segundo Sharp Jr. (1993) o uso de fotografias aéreas para locar poços, que

é uma das ferramentas mais empregadas, é apenas qualitativo, sugerindo

como métodos quantitativos, avaliações dos seguintes parâmetros:

• Orientação: pode ser definida através de diagramas de roseta ou

diretamente sobre os mapas geológicos, usando termos como direção

e mergulho.

• Densidade: a densidade de fraturas é um parâmetro que

supostamente quantifica o número de fraturas presentes em um

certo volume de rocha. A sua estimativa não é fácil, já que os traços

das fraturas nem sempre podem ser contados numa superfície

ortogonal aos mesmos. O número de fraturas que atravessa uma

certa distância, define o seu espaçamento. Supondo que todas as

fraturas estejam abertas (isto é, sem qualquer preenchimento por

materiais de baixa permeabilidade), a condutividade hidráulica deve

ser proporcional à sua densidade.

• Abertura: é a distância ortogonal entre as paredes da fratura.

• Rugosidade: é produzida pelas irregularidades existentes na

superfície da fratura. Tende a reduzir a velocidade do fluido e a criar

canais de fluxo preferencial.

• Canalização: é o processo pelo qual o fluxo de fluido em um meio

fraturado assume um caminho preferencial ou canal. Portanto, as

velocidades de fluxo podem ser altamente irregulares e os caminhos

do fluxo, simplesmente imprevisíveis. Na verdade essa canalização é

controlada pela geometria individual das fraturas, pela fonte de

recarga das mesmas e pelo gradiente hidráulico.

Canalização dofluxo ao longo de uma fratura

abertura

Paredes lisas

Paredes rugosas

Figura 2.2 - Ilustração da abertura, rugosidade e canalização do fluxo em uma

fratura.


15

• Conectividade: a eficiência hidráulica de um sistema de fraturas

está diretamente ligada ao seu grau de interconectividade. Quanto

maior o tamanho de uma fratura maior a sua chance de interconectar

uma outra. Assim, o índice de conectividade de uma rede de fraturas

pode ser definido como o número médio de interseções por fratura,

ponderado pelo tamanho (diâmetro) da fratura. Esse índice pode ser

facilmente calculado considerando-se as propriedades estatísticas de

um disco de Poisson, da rede de fraturas. (Guerin & Billaux, 1993).

Uma outra maneira de estimar a conectividade é avaliando as

características terminais e de ligação entre cada par de fraturas

(figura 2.3a ) e representando essas características em um diagrama

triangular. Barton et al. (1987), classificam as terminações das

fraturas em: cegas (A), convergentes (C) e cruzadas (I) (figura

2.3b). Laubach (1992) reúne as convergentes e cruzadas com o

nome de conectadas, e considerando que as terminações muitas

vezes são interdigitadas, sugere a classificação ternária de cega (A),

difusa (D) e conectada (I+C) (figura 2.3c).

a

A

A

AA

A

A

D

D

D D

A

A

C

I I

I

IC


16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1% CEGAS

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

% CO

NVERGEN

TES

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

% C

RUZ

ADAS

CEGAS

CONVERGENTES

CRUZADAS

SEM TIPODOMINANTE

BARTON & HSIEH (1989)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1% CEGAS

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

% DIFUSAS

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

% C

ONEC

TADA

S

CEGAS

CONECTADAS

SEM TIPODOMINANTE

LAUBACH (1992)

DIFUSAS

Figura 2.3 – Avaliação da conectividade de fraturas usando os diagramas

triangulares de Barton & Hsieh (1989) e de Laubach (1992), apud Sharp Jr. (1993).

• Índice de conectividade:Guerin & Billaux 1993, definem o índice de

conectividade , de uma rede de fraturas como o número médio de

intersecções por fratura, ponderado pelo tamanho (diâmetro) da

fratura. É computado usando a estatística descritiva de uma rede de

fraturas simulada como um processo de Poisson (disco de Poisson). A

ponderação pelo diâmetro leva em conta o fato de que uma

interseção numa grande fratura contribui mais para a conectividade

da rede do que uma interseção numa fratura menor. O índice é

baseado em levantamentos de fraturas em campo e não varia com a

escala, mas pode exibir tendência se computado numa região muito

pequena, que exclua a representação de fraturas maiores. Foram

estudados conjuntos de fraturas em minas da Suécia e da França,

incluindo de 3 a 7 direções e diâmetros de disco de 0,5 m a 92 m. A

densidade de fraturas variou de muito dispersa (

cI

cI

66 10−× fraturas/m3) a

densa (16 fraturas/m3).

• Os valores do índice de conectividade correspondem à média de

10 realizações (simulações) de redes de fratura por local pesquisado.


17

2.4 - PROPRIEDADES HIDRÁULICAS

Os parâmetros hidráulicos fundamentais são: a condutividade hidráulica e a

porosidade, ambos das fraturas e das “peles” das fraturas.

2.4.1 - Condutividade hidráulica

A estimativa desse parâmetro é feita a partir de modelos conceituais.

A respeito desse parâmetro existem alguns conceitos aparentemente

aceitos por muitos autores, mas que nem sempre se verificam na prática. Ë

o caso, por exemplo, da redução da permeabilidade das fraturas com a

profundidade (Davis & Turc 1964), sob o argumento de que a tensão efetiva

local (em profundidade) comprime as fraturas, enquanto que o

intemperismo das fraturas próximo à superfície, cria aberturas mais largas.

E se as fraturas estiverem preenchidas por fluido em profundidade? Em

muitas situações encontram-se, em profundidade, zonas fraturadas de alta

permeabilidade (maior do que se observa na superfície do terreno)

contendo água sob pressão (Ex. aqüífero termal de Caldas Novas – GO).

Outros autores destacam as influências do relevo ao afirmar (Yin & Brook

1992, apud Sharp Jr. 1993) que em áreas de rochas cristalinas de alto grau,

os vales ocorrem tipicamente em áreas de fraturamento mais intenso e,

portanto, de maior permeabilidade. Admite-se que a condutividade

hidráulica é um tensor de segunda ordem. Nas zonas mais intensamente

fraturadas a anisotropia tende a ser menor. Teoricamente fraturas mais

longas, maiores densidades de fraturas e aberturas mais largas, aumentam

a condutividade hidráulica. Mas, é preciso lembrar que essas características

variam no espaço e no tempo e que muitas restrições geológicas passíveis

de interferir, quase nunca são consideradas na análise de sistemas de

fraturas.

2.4.1.1 – Condutividade Hidráulica e Permeabilidade em Meios Isotrópicos

O coeficiente de proporcionalidade que aparece em várias formas da lei

de Darcy é chamado condutividade hidráulica e pode ser definido como a

descarga específica que ocorre sob um gradiente hidráulico unitário

3

2.L

L T⎡⎢⎣ ⎦

⎤⎥ .Como esse coeficiente expressa a facilidade com que um fluido é


18

transportado através da matriz porosa ele depende das propriedades do

fluido e da matriz porosa.

As propriedades relevantes do fluido são: a densidade 3kg mρ ⎡⎣ ⎤⎦ e a

viscosidade dinâmica [ ].kg m sµ ou, em forma combinada, a viscosidade

cinemática ,ν µ ρ= 2 /m s⎡⎣ ⎤⎦ . A condutividade hidráulica é expressa por:

k g kgK

ρµ ν

= = (2.1)

Na equação (2.1) é a permeabilidade intrínseca ou simplesmente

permeabilidade da matriz porosa, cujas propriedades relevantes são

principalmente a distribuição do tamanho dos grãos (ou dos poros), a forma

dos grãos (ou dos poros), a tortuosidade, superfície específica e porosidade.

2k L⎡ ⎤⎣ ⎦

Quando k varia com a posição, isto é, ( , , )k k x y z= diz-se que o meio

poroso é heterogêneo e quando, em algum ponto, k varia com a direção,

diz-se que o meio é anisotrópico.

Tabela 1 - Propriedades físicas da água à pressão atmosférica

Temperat

ura

ºC

Densidade

Kg/m3

Peso

específico

N/m3

Viscosidade

dinâmica

N ×s/m²

Viscosidade

cinemática

m²/s

0 1000 9810 1,79E-03 1,79E-06

5 1000 9810 1,51E-03 1,51E-06

10 1000 9810 1,31E-03 1,31E-06

15 999 9800 1,14E-03 1,14E-06

20 998 9790 1,00E-03 1,00E-06

25 997 9781 8,91E-04 8,94E-07

30 996 9771 7,97E-04 8,00E-07

35 994 9751 7,20E-04 7,24E-07

40 992 9732 6,53E-04 6,58E-07

50 988 9693 5,05E-01 5,53E-07

60 983 9643 4,66E-04 4,74E-07

70 978 9594 4,04E-04 4,13E-07

80 972 9535 3,54E-04 3,64E-07

90 965 9467 3,15E-04 3,26E-07

100 958 9398 2,82E-04 2,94E-07


19

Na engenharia do petróleo, a unidade de k é o Darcy, definido da

expressão:

( )3

2

/1 1

11

cm scentipoise

cmdarcy

atmosferacm

⎛ ⎞×⎜ ⎟

⎝ ⎠=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.2)

52

.1 1,0132 10

N satmosfera

m= × ; 3

2

.1 10

N scentipoise

m−=

3

2 22

2

.

/

m s N sQm mAk

p N mx m

µ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠ m⎡ ⎤= = = ⎣ ⎦∆ ⎛ ⎞⎜ ⎟∆ ⎝ ⎠

(2.3)

2.4.1.2 – Condutividade Hidráulica e Permeabilidade em Meios Anisotrópicos

A permeabilidade k [L²] e a condutividade hidráulica K [L/T] são

tensores simétricos de segunda ordem. Se o meio é homogêneo, a lei de

Darcy generalizada é expressa por:

( )ij i ou =-K 1, 2, 3 x,y,ziq iφ φ= − ∇ ∇ = ≡q K (2.4)

Em três dimensões: x xx xy xz

y yx yy yz

z zx zz

q K K K

q K K K

q K Kzy K

φφφ

x

y

z

∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∂ ∂∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.5)

Em duas dimensões: x xx xy

y yx yy

q K K xq K K y

φφ

∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(2.6)

Direção principal: diz-se que uma direção no espaço, especificada por

um vetor unitário 1u (de componentes (cos ,cos ,cos )iu α β γ= ) é uma direção

principal se o vetor associado é paralelo a 1u ou se esse vetor pode ser ij iK u

escrito na forma sendo K um escalar. iKu

Quando as direções principais de anisotropia de um meio poroso

(expressas pela condutividade hidráulica ou pela permeabilidade ) são

usadas como sistema de coordenadas, o tensos simétrico K se escreve:


20

0 0

0

0 0

x

y 0

z

K

K

K

⎡ ⎤⎢= ⎢⎢ ⎥⎣ ⎦

K ⎥⎥ (2.7)

As componentes do vetor descarga específica q, são:

x x y y z zq K q K q Kx y zφ φ∂ ∂

= = =∂ ∂

φ∂∂

(2.8)

Assim, em meio anisotrópico os vetores descarga específica q e o vetor

gradiente hidráulico φ∇ não são colineares. O ângulo entre eles é dado por:

cosφθφ

∇=

∇qq

(2.9)

Quando , ,x y z são direções principais de condutividade hidráulica a

equação (2.4) φ= − ∇q K se escreve:

0 0

0 0

0 0

x x

y y

z z

q K x

q K

q K

φφφ

∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

q y

z (2.10)

2.4.2 - Porosidade

A determinação de porosidade também se faz usando modelos

conceituais. A exemplo da condutividade hidráulica, a caracterização da

porosidade de um sistema fraturado, não é tão simples como se possa

pensar. Em primeiro lugar é preciso distinguir: porosidade matricial (ou dos

blocos porosos) e porosidade das fraturas. Norton & Knapp (1977)

distinguem ainda: i) a porosidade efetiva das fraturas ou porosidade

que controla o fluxo de fluido nas fraturas; ii) porosidade de difusão, ou

porosidade que contribui para o fluxo de fluido e de soluto sem obedecer à

lei de Darcy; iii) porosidade residual, ou dos poros isolados. Estimativas

de porosidade efetiva de fraturas são necessárias para fazer estimativas

consistentes dos tempos de trânsito de solutos. Sharp Jr. 1993 considera

que os métodos atualmente disponíveis para estimar a porosidade de


21

fraturas em campo (restritos a testes de bombeamento e testes com

traçadores) ainda deixam a desejar.

A capacidade dos reservatórios de armazenar líquido depende das

propriedades elásticas da formação e do estado de tensão da rocha sob

uma dada pressão efetiva. Uma redução na pressão do reservatório produz

uma compressão da formação e uma expansão do fluido, enquanto que um

aumento da pressão aumenta a concentração de tensão no contato dos

grãos, expandindo a rede de poros e comprimindo os líquidos de saturação

da rocha. Por conseguinte, a porosidade é afetada por qualquer

variação de pressão no reservatório.

2.4.3 – Classificação da porosidade

A porosidade dos reservatórios pode ser classificada em três tipos:

Pirson (1953)

• Intergranular, consistindo dos espaços vazios entre os grãos

minerais da rocha.

• Vesicular, formada por vazios produzidos por intemperismo.

• De fraturas ou fissuras, representada por vazios

macroscópicos, produzidos por fissuras e ou juntas, não

havendo distinção entre os tipos genéricos de porosidade.

Alguns autores consideram uma porosidade planar, definida

como uma porosidade entre superfícies regulares ou

irregulares, tais como juntas, clivagens, falhas, diáclases. Essa

porosidade planar ainda foi dividida em dois grupos: i) planar

de fissura, devida a dissolução ao longo da superfície

considerada; ii) planar de fratura, devida a forças de tensão de

falhas e juntas.

A porosidade intergranular é também conhecida como primária, ou

original, porque representa uma característica intrínseca da rocha. Os

outros tipos de porosidade (vesicular, de fraturas ou fissuras), são

geralmente conhecidos como secundários.


22

A porosidade de fraturas se desenvolve sob diferentes condições

geológicas. As rochas hospedeiras, além de apresentarem um sistema de

fraturas contemporâneo com a sua origem, são geralmente quebradas por

juntas que dividem a massa rochosa em lâminas paralelas à superfície do

terreno, e com espessura crescente com a profundidade. Durante os

movimentos tectônicos, a deformação da rocha pode originar fraturas

individualizadas ou sistemas locais de fraturas. Aberturas esferoidais

irregulares ou tubos curvilíneos alongados, como canais de dissolução são

comumente encontrados em lavas e em rochas carbonáticas. Segundo

Streltsova-Adams (1978) existe ampla literatura sobre classificação e

origem dos espaços porosos em geral e sobre os espaços fraturados em

particular. No que se refere às fraturas, as principais características são:

• A extensão das fraturas pode cobrir distâncias de menos de 1

km até dezenas de quilômetros.

• Os padrões de fraturas podem ser similares aos sistemas de

juntas, mas um conjunto de fraturas em geral tende a ser

dominante.

• Os tipos de rochas fraturadas variam desde folhelhos, arenitos

e calcários, até rochas metamórficas e ígneas.

• A profundidade dos reservatórios fraturados pode variar de

menos de 300 m a mais de 6000 m.

• Segundo Snow (1962), a descrição de uma fratura jamais pode

ser completa. Ou seja, não se pode dizer que são paralelas,

planas, uniformes, suaves, regularmente espaçadas ou

descontínuas.

2.5 – PROPRIEDADES HIDROMECÂNICAS

As fraturas quebram a massa rochosa em blocos de tamanhos

diversos e alteram profundamente o mecanismo de fluxo de fluido dentro da

formação. Supondo a geometria do espaço poroso como um meio

estatisticamente homogêneo, é possível considerar como uniformes, as

características do fluxo em qualquer seção do meio poroso.

Os blocos porosos e as fissuras possuem propriedades

hidromecânicas diferentes e por isso, em conjunto, respondem às


23

influências externas (por exemplo, bombeamento), de uma maneira

diferente daquela que responde um meio homogêneo. O fluxo de fluido na

fissura e no bloco poroso, possui características distintas.

Na análise de um aqüífero fraturado é fundamental saber em que

lugar se faz a medida de pressão. Ou seja, se é em uma fratura ou em uma

seção de porosidade meramente intergranular.

A diferença entre a rápida (quase instantânea) resposta das fraturas

às mudanças de pressão e a lenta resposta (retardada) dos blocos porosos,

resulta em um diferencial de pressão que induz um fluxo dos blocos porosos

para as fissuras. Esse fluxo é um processo transiente, produzido pelo ajuste

das pressões nos blocos e nas fissuras, cuja duração depende das

propriedades elásticas bem como das condutividades hidráulicas e

dimensões, dos blocos e das fissuras.

2.6 - GEOMETRIA FRACTAL APLICADA

Atualmente, o emprego da geometria fractal nas pesquisas para

avaliação de propriedades hidráulicas em formações geológicas

heterogêneas, é considerado como um campo promissor. Muitos autores

estão desenvolvendo trabalhos nesse campo, visando solucionar problemas

de fluxo e transporte de contaminantes em zonas fraturadas. Alguns dos

modelos propostos para análise da distribuição transiente de pressões em

testes de bombeamento de poços em meio fraturado (Doughty, 1994;

Acuna & Yortsos, 1995), se baseiam na geração de fractais sintéticos

usando sistemas de funções iteradas ou SFI (Barnsley, 1988).Todavia, a

geração de redes fractais sintéticas, nos dois modelos citados, admite o

conceito de auto-similaridade, que implica em um meio isotrópico.

O meio fissural das rochas cristalinas é tipicamente anisotrópico e exibe

heterogeneidades em todas as escalas. Por isso a tendência atual parece

indicar que a solução do problema de fluxo para poços no cristalino

(reconhecida como bastante difícil por métodos determinísticos), talvez se

torne mais simples por métodos estatísticos. Estudos mais recentes

(Chemingui, 2001), de meios aleatórios caracterizados por funções de

correlação Gaussiana, exponencial e de Von Karman, continuam a indicar

como meta para o futuro a formulação do problema inverso para estimar os


24

parâmetros do meio anisotrópico, isto é, a razão de anisotropia e a

dimensão fractal de Hausdorff.

2.6.1 - Condutor Hidráulico Aleatório

O termo aqüífero, no sentido em que é aplicado a uma formação

geológica granular entendida como uma formação capaz de armazenar e

transmitir água, pode ser aplicado, em escala regional, a uma formação de

rochas cristalinas. Todavia, considera-se que essa denominação é

imprópria, em escala mesoscópica (escala de campo, ou de afloramento), e

portanto para um teste de bombeamento em um poço perfurado em um

domínio de rocha cristalina fraturada, ao invés do termo aqüífero convém

empregar o conceito de condutor hidráulico (Gustafson & Krásný, 1994)

para o sistema “poço-blocos-fendas associadas”.

Mais explicitamente, um poço construído em um ponto , no

espaço bidimensional (x,y), ocupado por rochas fraturadas, o conjunto

{poço + fendas interconectadas + blocos de matriz impermeável + manto

de cobertura} constitui um condutor hidráulico (CH). Admite-se que o CH,

pode conter uma ou mais fraturas interconectadas com o poço através da

superfície de controle. Assim ele é uma amostra aleatória do aqüífero

cristalino regional. O teste de bombeamento pode então ser encarado como

um experimento probabilístico, conduzido com vazões de diferentes

magnitudes.

0 0( , )x y

2.6.2 - Dimensão Fractal

O termo “dimensão fractal” é algumas vezes usado para referir-se ao

que geralmente se conhece como “dimensão de capacidade”, (que,

grosseiramente falando, é o expoente D na expressão ( ) Dn ε ε −= ). É também

chamado dimensão de Hausdorff, dimensão de Hausdorff-Besicovitch, na

qual são permitidos valores não integrais. Objetos que possuem dimensão

de capacidade diferente da dimensão topológica (Euclidiana, que é

sempre inteira) são chamados fractais.

Na geometria Euclidiana o comprimento L de um objeto retilíneo

medido com uma unidade de medida ε (por ex. m, dm, cm, mm), é dado

por L=Nε=constante (1m, 10dm, 100 cm, 1000 mm). Note que usando um


25

fator de redução no tamanho de ε, o valor de N aumenta de 10 vezes,

posto que o objeto retilíneo tem um comprimento constante finito. Observe

ainda que

10r =

ε está implicitamente elevado à potencia 1, correspondente à

dimensão topológica na qual são efetuadas as medidas. Se o objeto fosse

um retângulo essa dimensão seria 2.

Já o comprimento L Nε= , de um objeto irregular, como, por exemplo,

uma linha costeira, não é constante. Na verdade quando 0 limNε ε→ → ∞ . Ou

seja, o comprimento do objeto irregular depende da escala de medida.

Mandelbrot 1967, descobriu que o comprimento ,de uma linha costeira

irregular

F

constanteDF Nε= = (2.11)

independe da unidade de medida ε e é a dimensão que torna constante o

valor de . Portanto é o comprimento da linha costeira medida na

dimensão , chamada dimensão fractal.

D

F F

D

2.6.3 - Limite de corte fractal

Uma das limitações da aplicação da geometria fractal no estudo dos

problemas de fluxo e transporte de solutos em meio fraturado, se deve ao

fato de que o comprimento de uma curva fractal cresce sem limite quando a

unidade de medida tende para zero. Ou seja, para que a extensão do

caminho percorrido por uma partícula fluida de um certo ponto do domínio

fraturado até o poço de bombeamento (curva fractal) seja finita, é preciso

que a unidade de medida ε tenha um limite inferior, chamado limite de

corte fractal cε . O maior valor que cε pode assumir deve ser o tamanho do

elemento de volume representativo (EVR – Bear, 1972), que possa ser

definido no meio heterogêneo em estudo.

2.6.4 - Conceito de Capacidade Específica Fractal

Segundo Turcotte (1992), um conjunto fractal pode ser definido pela

expressão:

n Dn

CN

r= (2.12)

sendo Nn o número de unidades de medida, fragmentos ou “caixas” - para

usar a linguagem do método de contagem de caixas (Peitgen et al. 1992) -


26

no qual um dado objeto pode ser sucessivamente (n =1, 2, ...) dividido,

com um fator de redução de escala rn ; C é uma constante de

proporcionalidade e D é a dimensão fractal.

Seja um teste de bombeamento realizado com descarga variável em um

condutor hidráulico aleatório. Durante o experimento, de duração , um

certo número n, de medidas discretas de vazão não-uniforme e de

rebaixamento , é feito em diferentes instantes . Por definição a

capacidade específica y

bt

iQ

is it

i do condutor hidráulico [ L2/T ]

ii

i

Qy

s= (2.13)

é uma função temporal discreta de duas variáveis: vazão e rebaixamento,

na qual, no tempo . it

iy = capacidade específica para descarga variável 2 /L T⎡ ⎤⎣ ⎦

iQ =descarga variável com o tempo 3 /L T⎡ ⎤⎣ ⎦

si = rebaixamento medido no poço [L]

Suponha-se agora que é possível aproximar os valores de pela

expressão

yi

**

*i dii

Q Qy

*ss

= = (2.14)

sendo:

yi* = capacidade específica fractal [L2/T ]

Q* =descarga fractal constante equivalente [Ld+2/T]

si* =rebaixamento fractal [Ld ]

d = dimensão fractal do fluxo

Comparando as equações (2.14) e (2.12) pode-se notar que ambas

caracterizam uma mesma lei de potência, com o rebaixamento s

representando o fator de redução de dimensão linear [L] característico do

experimento. Pode-se então concluir, em virtude das definições, que é

um conjunto fractal (Manoel Filho, 1996).

*y


27

3 – MODELOS DE ESCOAMENTO EM FRATURAS

liação quantitativa do fluxo

3.1.1 -M

fraturas são mal conectadas, os

3.1.2 -

luído devido às incertezas das

3.1.3 -

Os resultados

a precisam de comprovação.

3.1.4

3.1 – Tipos Gerais de Modelos

Citam-se, entre os modelos disponíveis para ava

de fluido e transporte de solutos, os seguintes:

odelos de meio poroso equivalente

Esses modelos admitem que o meio fraturado pode ser tratado como

um meio contínuo equivalente, no qual é possível definir um elemento de

volume representativo (EVR), dentro da escala do sistema em estudo, sem

explicitar a geometria, tamanho ou orientação das fraturas. Em alguns

casos esse modelo fornece bons resultados, especialmente para estimativas

de descarga, em estudos de fluxo regional. Em problemas locais de

transporte de solutos, ou quando as

resultados podem não ser satisfatórios.

Modelos de fraturas discretas

Tentam caracterizar diretamente o sistema de fraturas com base em

dados de campo. Segundo Sharp Jr. 1993 (op.cit.), mapeamentos

sistemáticos de fraturas em diversas escalas foram feitos por alguns

autores em minas, túneis e poços. A introdução desses dados em modelos

hidrogeológicos realistas, não tem evo

extrapolações para áreas não mapeadas.

Modelos baseados em geometria fractal

Alguns autores (Barton et al. 1987, Wheatcraft et al. 1990) sugerem

métodos baseados em geometria fractal para redes de fraturas discretas.

São também sugeridos modelos fractais para análise de dados de testes de

poços. (Chang & Yortsos 1990; Acuna & Yortsos, 1995).

obtidos por esses métodos aind

. - Modelos teóricos

Em virtude das limitações e desvantagens apresentadas pelos

modelos já descritos, alguns modelos teóricos foram propostos para fluxo

Capítulo 3- -Modelos de escoamento em fraturas

28

em formações simplesmente fraturadas e fraturadas. Eles tentam avaliar o

fluxo em fraturas usando distribuições sintéticas de aberturas, orientações,

espaçamentos e dimensões. A sua aplicação a sistemas naturais é restrita,

já que não se dispõe de dados reais suficientes para introduzir nos modelos.

Por outro lado, a conceituação teórica de modelos de fraturas discretas e de

dupla porosidade pode ser usada, de maneira inversa, onde se tenha uma

3.1.5 - Modelos de dupla-porosidade

avaliar. Como os demais modelos

3.1.6. - Modelo Regional de

s sociada

de abertura , ou seja, Na∑∑ . Essa relação é ilustrada, em duas

resposta hidrogeológica conhecida.

Sistemas de dupla-porosidade, incluindo aqüíferos e reservatórios de

petróleo, são comuns na natureza. Neles é preciso calcular o fluxo de fluido

e o transporte de solutos nas fraturas e na matriz dos blocos rochosos, bem

como as interações entre esses dois ambientes. A verificação experimental

de como esse fluxo se realiza é difícil de

apresentam vantagens e desvantagens.

placa - paralela equivalente

Esse modelo (Sharp Jr. 1993) sugere a utilização de dados geológicos

e especialmente a análise estrutural dos sistemas de fraturas, em escala

regional. Segundo Fuller & Sharp (1992) os sistemas de fraturas podem ser

caracterizados, dentro de certos domínios, como dependentes da tectônica,

das propriedades geomecânicas e solubilidades das rochas e solos neles

presentes. Raramente se dispõe de dados quantitativos de espaçamentos e

de propriedades hidráulicas de fraturas levantadas em campo. Mesmo

assim, em muitos casos, é possível fazer boas estimativas da orientação e

das propriedades hidráulicas esperadas. A precisão dessas estimativas

depende naturalmente da quantidade de dados disponíveis, envolvendo,

fotografias aéreas, dados de sensoriamento remoto, mapas geológicos

publicados e mapeamentos de campo, estudos de fraturas em túneis e em

poços, dados de estudos geofísicos e de testes com traçadores e outros

métodos hidrogeológicos, como por exemplo, testes de bombeamento em

poços. Usando a lei cúbica (equação 3.1), a condutividade hidráulica em

duas dimensõe pode ser as à densidade integrada (N) das fraturas

ii

dimensões (figura 3.1), pela direção das linhas com setas duplas, cujo

a 2i


29

comprimento representa a densidade integrada e a distribuição das

aberturas das fraturas em cada subdomínio. Pode-se pensar até em

introduzir dados de rugosidade e de canalização, se existirem dados a esse

respeito.

apa e o seu comprimento às densidades integradas

das fraturas (Sharp Jr. 1993).

ionais,

que calculam o tensor de condutividade em cada domínio.

odelos de Fraturas Discretas que Comprovam a Lei de

Darcy

Figura. 3.1 – Caracterização de sistemas de fraturas numa situação

hipotética usando ilustrações gráficas do tensor de condutividade hidráulica em

duas dimensões. As direções das linhas de setas duplas correspondem às direções

dominantes das fraturas no m

Essa forma de representação estrutural, integrando propriedades

geométricas e hidráulicas, é, sem dúvida, uma alternativa interessante de

modelagem de sistemas de fraturas principalmente em escala regional. Os

domínios de fraturas identificados e suas respectivas permeabilidades

podem ser introduzidos em modelos de elementos finitos bidimens

hidráulica

3.2 –M

Alguns modelos de fluxo em fraturas discretas, concebidos por diversos

autores em um passado relativamente distante, com base em estudos de


30

laboratório, e que podem ser vistos com mais detalhe em Bear (1972), são

descritos a

(paredes lisas) , na direção z, de comprimento

seguir.

3.2.1 - Placas paralelas:

A descarga q , através de uma única fratura, de abertura uniforme

a L , n

infinita , na direção y, é dada pela lei cúbica (Lamb, 1932), expressa por:

a direção x e largura

b

µ∆

=∆

3

12a p

q bL

(3.1)

2 2gradiente de pressao p ML L

∆ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥∆ ⎣ ⎦%

T

2 2 3

1 . 1N kg mm 2 2

Mm s m T L

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤bx

y

zL

a

× = × =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ˆviscosidade dinamica

MLT

µ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦

Figu – Ilustração da lei cúbica

ded

para

ra 3.2

uzida a partir de um modelo de placas

lelas

as d uma

de massa sa fraturada, a porosidade

Se existem N fratur e largura b e abertura a sobre altura h

rocho fNba Na

nbh h

= = . Assim = fh

N na

e a descarga total Q Nq= através da área A bh= , será:

µ µ∆ ∆

= ⇒3 3ba p h ba p

=∆ ∆

12 12fQ N Q n

L a L

µ∆

=∆

2

12f

a pQ n A

L (3.2)

A variação da carga de pressão ia de pressão ou energ p hγ∆ = ∆ sendo γ

o peso específico idodo flu e h∆ a variação da carga hidráulica.

Portanto, substituindo p∆ na equação (3.2) resulta:

2

12fa h

LQ n A

γµ

⎛ ⎞ ∆= ⎜ ⎟⎜ ⎟ ∆⎝ ⎠

(3.3)

A equação (3.3) é análoga à lei de Darcy na qual

γ2

µ= ⎡ ⎤⎣ ⎦/

12f fK n L T (3.4)

é a condutividade hidráulica da fratura, que depende das propriedades

bilidade

a

do meio, representadas pelo coeficiente de permea


31

⎡ ⎤= ⎣ ⎦2L (3.5)

2

12f fa

k n

e das prese dpropriedades do fluido, re nta as por:

γ ρµ µ ν

= =g g (3.6)

ρ é a densidade do fluido ⎡ ⎤⎣ ⎦ é a celeração da gravidade

⎣ ⎦ imensional].

3M L , g a

⎡ ⎤2/L T , /h L∆ ∆ é o gradiente hidráulico [ad

[ ]/M LT µ é a viscosidade dinâmica do fluido

ν é a viscosidade cinemática do fluido −⎡ ⎤ = ×⎣ ⎦2 7 2/ ( 9 10 / a 25 )oL T m s C (

Capilares

a) Um tubo capilar retilíne de

3.2.2 – Modelos de Tubos

o diâmetro δ : esse modelo é clássico

e usa a lei de Hagen-Poiseuille, segundo a qual o fluxo estacionário

através de um único tubo capilar retilíneo de diâmetro δ , orientado na

direção de um vetor unitário 1x é 4

4 32 dxg dπδ ρ φ

= −Q (3.7)

locidade média no tubo:

µx

A ve 2

2 / 4 32g d

dxδ ρ φ

πδ µ= = −x

x

Qv (3.8)

Na equação 3.8 o fator 2 / 32δ é análogo à permeabilidade k do meio

poroso.

b) Vários tubos capilares retilíneos de diâmetro δ : (figura 3.3). Se

existirem N tubos na área ab de seção transversal ao flu

descarga específica através do bloco po

xo, então a

roso é dada por:

xb

a

Figura 3.3 Modelo de tubos capilares de

2 2

4 32N g d

Nab ab dx

πδ δ ρ φµ

=q = −xx

Q (3.9)

A porosidade n desse modelo é dada

por:

2

4n N

abπδ

=

ão (3.9)

(3.10)

Na equaç 4 2

128 4 32N N

2πδ πδ= δ

Então a equação (3.9) pode ser


32

mesmo diâmetro . escrita:

2

32g d

ndx

δ ρ φµ

= −xq (3.11)

Nesse caso, se a permeabilidade 2

32k n

δ= (3.12)

Então obtém-se a lei de Darcy: g dk

dxρ φµ

= −xq (3.13)

c) Vários tubos capilares de diâmetro variável : (figura 3.4) iδ

xb

a

Figura 3.4 Modelo de vários tubos

capilares de diâmetros variáveis.

4

1 128

mi

ii

g dN

dxπδ ρ φ

µ=

= −∑xq (3.14)

4

1 128i

mi

ik Nπδ

= ∑ (3.15)

rmeabilidade

definida pela equação (3.12).

=

Uma limitação dos modelos descritos nos

itens a, b, c é que eles só fornecem a

permeabilidade em uma direção. Para

superar essa limitação, 1/3 dos tubos é

colocado em cada uma das três direções do

espaço. Isso leva a uma permeabilidade

1/3 menor do que a pe

2

96k n

δ= (3.16)

3.2

ar, 1972 usa fissuras capilares para representar um

meio poroso fraturado.

.3– Modelos de Fissuras Capilares

Irmay 1955 apud Be

a

Fissura Bloco

( A )

Bloco

Bloco

a

a

b

b

( B )

a v

( C )


33

Figura 3.5 – Modelo de fissuras capilares: A) vista plana dos blocos de espessura b

e fissuras de abertura a; B) vista em perfil dos blocos de espessura b e fissuras de

abertura a; C) parábola de velocidade do fluxo nas fissuras.

O ponto de partida para esse modelo é a solução das equações de

Navier-Stokes, para a velocidade média em uma fratura individual de

abertura a, constante, limitada por dois planos impermeáveis, que é a

seguinte:

2

12a g

vρ φµ

= ∇ (3.17)

Como a porosidade an

a b=

+, a descarga específica a

q v nva b

= =+

(3.18)

Da equação (3.4) conclui-se que 2

12a

k n= (3.19)

3.2.4 – Modelos de Raio Hidráulico

O raio hidráulico R é definido como a razão entre a área da seção

transversal ao fluxo e o perímetro molhado. Por exemplo, em um tubo

circular de raio r o raio hidráulico é dado pela expressão:

P= 2 rπ

A= r²π

v

Figura 3.6 Modelo de raio hidráulico.

2ÁreaPerímetro 2 2

rR

rππ

r= = = (3.20)

Uma outra definição de R é a razão

entre um tubo cheio de líquido e a sua

superfície molhada.

2Volume do cilindro2 2Área lateral do cilindro

r x rR

r xππ

∆= = =

∆(3.21)

Visualizando o meio fraturado como uma rede de canais interconectados

ou passagens, o conceito de raio hidráulico leva à seguinte relação:

[ ]1 sendo a dimensão

Mn

RM

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦L= . Nesta relação R representa um raio

hidráulico equivalente para o fluxo através dos inúmeros canais

interconectados. Esse raio seria dado pela razão entre a porosidade e um


34

número M (que ao invés da constante 2, corresponderia a um valor

equivalente ao perímetro dos canais).

Usando a equação de Poiseuille (3.7) para o fluxo em tubulações e

substituindo 2 por 4r Rδ =

2

2R g d

dxρ φµ

= −xv (3.22)

Da equação (3.12) resulta 2

2R

k n= (3.23)

E da equação (3.16) 2

6R

k n= (3.24)

3.2.5 - Equação de Kozeny (1927)

Usando o conceito de raio hidráulico Kozeny (1927) concebeu o meio

poroso como um conjunto de tubos capilares e apresentou uma das

deduções até hoje mais aceitas de permeabilidade. A velocidade do fluxo

através de uma seção transversal ao movimento é obtida solucionando as

equações de Navier-Stokes:

30

2

C np

Mµ= − ∇q (3.25)

A permeabilidade 3

02

C nk

M= (3.26)

0C é a constante de Kozeny (varia de 0,5 a 0,667).

3.2.6 - Modelos de Resistência ao Fluxo

Um fluido em movimento em relação a um sólido exerce uma força no

contato, que possui duas componentes: uma tangencial produzida por

gradientes de viscosidade e velocidade e uma normal, produzida por

gradientes de pressão ao longo da parede de contato (figura 3.5 C). O vetor

soma dessas componentes é a força resultante. A compone te n xF dessa

força na direção da velocidade relativa v é chamada força de resistência ao


35

fluxo. A componente normal à velocidade é chamada força l teral a yF .Daí se

obtém a conhecida fórmula:

( ou g p k

k z pg

ρ ρµ ρ µ

⎛ ⎞= − ∇ + = − ∇ +⎜ ⎟

⎝ ⎠q q )gz (3.27)

3.3 – MODELOS ESTATÍSTICOS

Até certo ponto os modelos que se acaba de descrever são aceitos como

satisfatórios porque levam à lei de Darcy. Todavia, neles a descrição do

meio poroso real é muito simplificada para permitir o tratamento

matemático teórico na forma de uma solução das equações de Navier-

Stokes. Os sistemas porosos naturais (especialmente fraturados) são

desordenados. O deslocamento de uma partícula pode ser considerado

como a soma de um grande número de deslocamentos elementares,

aleatórios, estatisticamente independentes uns dos outros. Então, de acordo

com o teorema central limite, se o número desses deslocamentos tende

para infinito, a distribuição de probabilidade do deslocamento total da

partícula tende para uma distribuição normal (Gaussiana).

3.4 - MODELOS DE FLUXO PARA POÇOS

3.4.1 - Meio Contínuo de Dupla Porosidade

Alguns autores rejeitam a hipótese de velocidade única de fluxo

uniforme, em meio estatisticamente homogêneo, e consideram que os

modelos uni-porosos não se aplicam aos meios fraturados, devido à forte

descontinuidade mecânica representada pelas fraturas. Para ambientes

desse tipo, propõem modelos alternativos de fluxo para poços, formulando

o problema com as mesmas idéias básicas e os mesmos métodos de

solução, através de famílias de curvas-padrão, empregados para os meios

porosos granulares. Recorrem, porém, ao conceito de dupla-porosidade

para contornar o problema da descontinuidade, admitindo a superposição

de dois meios contínuos, cada um dos quais possuindo condutividades e

armazenamentos hidráulicos primários (nos blocos da matriz rochosa) e

secundários (nas fraturas).


36

Exemplos de modelos de dupla porosidade talvez os mais conhecidos,

aplicáveis a uma formação fraturada, segundo Streltsova (1978) e

Sauveplane (1984), são descritos a seguir, com os índices: f, indicando

fratura; m, matriz; A, adimensional; w, poço.

3.4.1.1 - Duplo domínio e drenagem retardada (Barenblatt et al 1960)

São definidos dois domínios de fluxo: o primeiro, é formado pela

matriz de uma rede de blocos isotrópicos, irregulares e o segundo, por um

grande número de fraturas com tamanhos e direções aleatórias (Barenblatt

et al. 1960). O elemento de volume representativo (EVR) do modelo deve

ser muito grande, em relação ao tamanho dos blocos, mas precisa

permanecer pequeno em relação ao volume total do aquífero. As hipóteses

básicas, são:

• A taxa de drenagem retardada dos blocos para as fraturas, por

unidade de volume de rocha, é proporcional ao diferencial de

pressão entre os dois domínios componentes do modelo.

• O fluxo dos blocos para as fraturas é estacionário, enquanto que o

fluxo das fraturas para o poço é transiente.

• O fluido é incompressível e a vazão bombeada é constante.

• Não existe fluxo das fraturas para os blocos.

• A variação de volume dos blocos, devido à perda de líquido para as

fraturas, é desprezível em relação à variação de volume produzida

pela expansão do líquido.

• Os blocos são isotrópicos e o aquífero é confinado, com extensão

lateral infinita, como em Theis (1935).

Equação do rebaixamento

2

0 2 20

( ) 1 exp4 1f

f f

t xQ ds J xr

T xB x

βπ

∞ ⎡ ⎛ ⎞−= −⎢ ⎜ ⎟

+⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦∫

x⎤⎥ (3.28)

Curvas -padrão:

mono ou dilog: ( ),fW α β

4 f

f

T sW

Qπ

= (3.29)


37

2

4= ; =f

sm f

K tS Br

α rβ (3.30)

Curvas experimentais mono ou dilog: versus fs t

Parâmetros:

4f

ff

Q sT

sπ= (3.31)

ff

TK

b= (3.32)

f

rB

β= (3.33)

2f

f

KgB

µλ

ρ= (3.34)

2

4 fsm

K tS

rα= (3.35)

3.4.1.2 - Duplo domínio com drenagem instantânea

Boulton (1963) admite, como Barenblatt et al. (1960), que o fluxo, dos

blocos porosos para as fissuras, acontece por conta da resposta elástica às

diferenças de pressão entre pontos situados dentro e fora dos blocos. No

modelo de Barenblatt et al. (op. cit.), esse fluxo acontece após um certo

tempo de bombeamento, ou seja, equivale a uma drenagem retardada

oriunda dos blocos porosos. Mas, Boulton (op.cit.), considera essa

"drenagem retardada" (fluxo vertical ilustrado na figura 3.9), em todos os

instantes t, a partir do início do bombeamento.

a

a

bloco

bloco

fissura

fissura

H

H

Figura .3.7 - Unidade bloco-fissura e a solução de Boulton (1963)

Equação do rebaixamento na fissura:


38

00

24f

f f

Q r xs J

T Bπ ν

∞ ⎛ ⎞= ×⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

( ) ( )2

21

1 exp 0.5 1 cosh(0.5 ) senh(0.5 )f f

x dxt x t q t q

q x

ηα η α α

⎧ ⎫⎡ ⎤+⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎢ ⎥− − + × +⎨ ⎬⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭f (3.36)

Curvas-padrão: ( , , )f fW r Bθ η monolog ou dilog

Parâmetros:

A integral infinita da equação (3.36) é simbolicamente representada pela

função ( , , / )W r Bθ η , de modo que o rebaixamento na fissura pode ser

expresso por:

** ( , ,

4ff

Q/ )s W r

Tθ η

π= B (3.37)

2 //

f f f ff f

f m m m m

T K K a TB aH T K a T

S K K H Tα′= = = = = =

′ f m mK H (3.38)

( )22 21 4q xη= + − 2xη (3.39)

1ην

η−

= (3.40)

1 m

f

SS

η = + (3.41)

2

4 f

f

T t

r Sθ = (3.42)

14 1f

f

rt

Bθα

η⎛⎛ ⎞

= ⎜⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎞⎟ (3.43)

3.4.1.3 - Sistema de blocos e fraturas horizontais (Boulton & Streltsova, 1977)

Neste caso, admite-se que a formação rochosa real, constituída de

blocos irregulares, de tamanho e forma diferentes, separados por fissuras, é

substituída por uma formação ideal, constituída de blocos horizontais,

separados por fissuras horizontais (figura 3.8) e com extensão lateral

infinita (Boulton-& Streltsova 1977). Os blocos rochosos idealizados com

espessura constante 2H, representam a espessura média dos blocos

verdadeiros, enquanto que as fissuras horizontais idealizadas, com

espessura 2a, representam a espessura média das fissuras reais.


39

Devido à simetria vertical deste sistema (figura 3.9), conclui-se que

não existe componente de fluxo vertical através da linha central de um

bloco ou de uma fissura, já que uma dessas linhas centrais representa o

topo, e a outra, a base do aquífero. Assim sendo, para fins de análise,

Boulton & Streltsova, (op.cit.) consideram o fluxo apenas em uma unidade,

bloco-fissura, compreendida entre as linhas centrais de um bloco e da

fissura adjacente.

2a

2a

2a

2H

2H

Figura 3.8 - Idealização de uma formação rochosa fissurada segundo Boulton &

Streltsova, 1977

O módulo bloco-fissura, figura 3.8, ampliado e associado a um poço de

bombeamento, é ilustrado na figura 3.9 como um elemento representativo

de dimensões H e a, no plano vertical de coordenadas (z, r). Streltsova-

Adams, (1978) estuda dois casos: um, mais simples, em que o fluxo no

bloco poroso é suposto vertical e outro, incluindo componentes de fluxo

horizontal e vertical no bloco poroso. Ambos são apresentados a seguir.


40

Figura 3.9 - Elemento bloco-fissura, de um meio fissurado com fluxo vertical no

bloco (Boulton & Streltsova , 1977).

Caso 1: Fluxo vertical no bloco

Para esse caso mais simples (fig. 3.9), restrito a fluxo vertical no bloco

poroso, a dedução das equações do rebaixamento se faz com base nas

seguintes hipóteses:

• O fluxo na fratura é confinado e obedece à lei de Darcy.

O bloco rochoso e a fratura são compressíveis.

O fluxo é vertical no bloco poroso e horizontal na fisssura, ou seja,

a entrada de água para o poço se faz apenas pela fratura.

Não existe resistência ao fluxo ao longo do contato bloco-fissura.

A espessura da fissura (ao longo da qual se considera o

rebaixamento), é pequena, em relação à espessura do bloco.

O raio do poço é desprezível e a descarga bombeada é constante, a

partir do instante t = 0.

Equações do rebaixamento, na fissura e na matriz dos

blocos:

0102f

jf f

Q rjs x J x dx

T Bψ

π

∞ ∞

=

⎡ ⎤⎛ ⎞′ ′= ⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎦∑∫ ′ (3.44)

0102m

jf f

Q rj js x J x dx

T Bψ ϕ

π

∞ ∞

=

⎡ ⎤⎛ ⎞′ ′= ⎜ ⎟ ′⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎣ ⎦∑∫ (3.45)

onde 2 2

2 2

1 exp 0.25 ( )( )

( ) 0.5 (tan secj f m f

jf m j j j j j

S S r B

S S

β θψ

)β β β β β

⎡ ⎤− −⎣ ⎦=+ +

(3.46)

m

f

Tc

T= (3.47)

jβ é uma raiz positiva da equação

( ) 2 tanf m j j jS S xβ β β 2′+ = (3.48)

Curvas-padrão: ( , , ) e ( , , )f f m m fW S S W S Smα β α β

4 f

f

T sW

Qπ

= e 4 m

m

T sW

Qπ

= (3.49)

2

4 e =f

ff

T t rBr S

α = β (3.50)


41

2

m

f f

T Hc

T B⎛ ⎞

= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(3.51)

Parâmetros:

4 4f ff m

Q QT W

s sπ π= = mW (3.52)

2

4 ff

t TS

rα= (3.53)

mT cT= f (3.54)

f

HB

c= (3.55)

Caso 2: Fluxo vertical e horizontal no bloco

Este caso é ilustrado na figura 3.10 e as hipóteses consideradas, são:

O fluxo na fratura é confinado e obedece à lei de Darcy.

O bloco rochoso e a fratura são compressíveis.

A entrada de água para o poço se faz pela fratura e pelo bloco,

já que existe componente horizontal de fluxo no bloco.

Não existe resistência ao fluxo no contato bloco-fissura.

A espessura da fissura (ao longo da qual se considera o

rebaixamento) é pequena, em relação à espessura do bloco.

O raio do poço é desprezível e a descarga bombeada é

constante, a partir do instante t = 0.


42

Figura 3.10 - Elemento bloco-fissura de uma formação fraturada, com fluxo

horizontal e vertical no bloco (Boulton & Streltsova, 1977).

Equações do rebaixamento na fissura e na matriz dos blocos:

0102 ( )f

jf m

Q rjs xJ x dx

T T Hπ

∞ ∞

=

⎡ ⎤− ⎛ ⎞= Ψ⎢ ⎥⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦∑∫ (3.56)

0102 ( )m

jf m

Q rj js x J x dx

T T Hπ

∞ ∞

=

⎡ ⎤− ⎛ ⎞= Ψ Φ⎢ ⎥⎜ ⎟+ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦∑∫ (3.57)

1

2

tan( )1 21

( )( )

tm j

jm jm j j

ce jH

λ

λ χ

⎡ ⎤ℜ−Ψ = +⎢ ⎥

ℜ⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.58)

cos ( ) (1 )

cos( )

m j

jm j

zH

⎧ ⎫⎡ ⎤ℜ −⎨ ⎬⎢ ⎥⎣⎩Φ =ℜ

⎦⎭ (3.59)

2( ) [ ( )mm j m j

m m

Tx

H Sλ = − + ℜ 2 ] (3.60

22tan( )

sec ( )2 ( )

m jf mj

f m m j

S c ST T

χ m j

⎡ ⎤ℜ= + + ℜ⎢ ⎥

ℜ⎢ ⎥⎣ ⎦ (3.61)

1 2 m f mm

f m f

T S Tc c T

T S T= = = fT T+

1 x

(3.62)

( )m jℜ é uma raiz positiva da equação

21 2( ) ( ) tan( ) (1 )m j m j m jc c c⎡ ⎤ℜ ℜ + ℜ = −⎣ ⎦ (3.63)

Curvas-padrão: ( , , ) e ( , , )f mW c W cα β α β

4 f

f

T sW

Qπ

=4 m

m

T sW

Qπ

= (3.64)

2

4 f

ff

T t Trc

H Tr Sα β= = m= (3.65)

Parâmetros

4

4

ff

mm

QT W

s

QT W

s

π

π

⎧ =⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩

(3.66)

21f

TT

c=

+ (3.67)

2m fT c T= (3.68)


43

2

4 ff

t TS

rα= (3.69)

2

1m f

cS S

c= (3

4 – EQUIVALÊNCIA

.70)

ENTRE MEIO POROSO E

4.1 CONCEITO DE ELEMENTO DE VOLUME REPRESENTATIVO

(EVR)

o poroso. No caso do fluxo

de fluid

meio contínuo no

qual se

ín o

centrado em deve

ter um ta conter

isto é, da matriz sólida e do espaço vazio.

Partindo de um volume em escala microscópica e aumentando

ssivamente o

MEIO FRATURADO

Por definição um meio poroso é uma porção do espaço ocupada por

material heterogêneo ou material multifásico, no qual uma das fases é

representada por um esqueleto sólido ou matriz sólida e a outra (não

ocupada pelo sólido) é um espaço vazio ou espaç

os em meio poroso somente interessa o espaço poroso

interconectado, chamado espaço poroso efetivo.

Para um dado meio poroso é preciso definir um elemento de volume

representativo para que se possa passar da escala microscópica (na qual se

considera o que acontece em cada ponto de uma fase dentro de cada poro

do meio poroso), para uma escala macroscópica, de um

considera o que acontece em termos médios dentro de certo volume

representativo das duas fases: a matriz sólida e o fluido.

Se P é um ponto matemático dentro do dom io do meio por so ele

pode estar dentro da fase sólida ou dentro do espaço vazio. Para ser

representativo do meio, qualquer volume esférico 0V P

manho suficiente para matéria ou massa das duas fases,

progre mesmo para

1V

1 2 ... iV V V< < < , verifica-se que os valores d

razão

a

( ) viVn P = entre a fração de vazio viV contida em iV e o próprio iV

iV

oscilam quenos va 4.1). bastante entre zero e um, para pe lores de (figura iV

Capítulo 4 - Equivalência entre meio poroso e meio fraturado

44

A partir de certo volume mínimo minV as oscilações no valor ( )n P que

ocorrem em escala microscópica alcançam um valor ente

constante que caracteriza

aproximad

a passagem domínio dos efeitos microscópicos

para o

resenta a porosidade (volumétrica)

no ponto . Segue-se dessa de o que o tamanho do EVR é tal que a

soma ou subtração de alg ros do mesmo, não tem influência

significativa no valor da porosida .

am

do

domínio (macroscópico) do meio poroso. A escolha do EVR deve ser

feita de modo que o seu valor fique numa faixa min maxV EVR V< < como

mostrado na figura 4.1.

Diz-se então que a razão ( )n P rep

P finiçã

uns po

de n

Figura 4.1 – Definição de porosidade e elemento de volume representativo (Bear,

1972)

Em meios heterogêneos, quando se usa a homogeneização

estocástica, isto é, quando a porosidade de fraturas é considerada

estatisticamente distribuída no espaço, ela passa a constituir um meio

poroso fictício equivalente. Esse meio, tanto pode ser considerado

isoladamente, isto é, como um meio de porosidade única, quanto pode ser

io superposto ao meio poroso da matriz, dando lugar, neste caso, a um me

de dupla porosidade.

4.2 - RELAÇÃO ENTRE A CONECTIVIDADE E A HIPÓTESE DE

CONTÍNUO MEIO


45

Na hidráulica dos meios fraturados a hipótese de meio contínuo

equiv nte la do EVR, ou seja, ela só é válida para

. Em escala de campo é difícil avaliar o EVR.

VALIDADE DA HIPÓTESE DE MEIO POROSO EQUIVALENTE:

i) Como determinar?

ii) Usando índices associados ao sistema fraturado

= índice de conectividade do sistema fraturado

= índice de variabilidade do sistema fraturado (

ale depende da esca

V EVR≥

cI

vI ≡ diferença entre a

rede de fratura e o EVR)

ram estudadas por Guérin &Billaux

1993, através de modelagem numérica estocástica 3D de fraturas discretas.

Os resultados mostram que existe uma relação única entre e

traços de fraturas e dados de

perfi ,

s propriedades

estatística

vkI = índice de variabilidade da permeabilidade

vSyI = índice de variabilidade da porosidade efetiva

As relações entre esses índices fo

c vk

4.2.1 - Índice de conectividade

É o número médio de interseções por fratura, ponderado pelo tamanho

(diâmetro) da fratura. O peso do diâmetro leva em conta o fato de que uma

interseção numa fratura maior contribui mais para a conectividade da rede

do que uma interseção numa fratura menor. Esse índice não varia com a

escala considerada, mas precisa ser computado numa região que

represente adequadamente os tamanhos das fraturas medidas. Se a área

for muito pequena as fraturas maiores podem não ser bem representadas.

Podem ser usados dados de mapas de

I I

lagem de poços bem como dados levantados diretamente em campo,

em afloramentos e em galerias de minas. O índice de conectividade

computado é específico do local levantado.

O cálculo do cI é feito a partir do conhecimento da

s de uma rede de fraturas de disco de Poisson. Ou seja, gerando

um desvio Poisson e efetuando simulação numérica.


46

4.2.2 - Índice de variabilidade da permeabilidade

Dadas as propriedades estatísticas de um campo de fraturas, pode-se

computar a permeabilidade desse campo numa dada direção impondo um

gradiente uniforme nessa direção numa rede simulada numericamente e

avaliar a velocidade média induzida. Repetindo esse processo em diferentes

direções pode-se produzir um conjunto de permeabilidades direcionais e

definir o tensor de permeabilidade equivalente como sendo aquele que se

obtém

ço 3D são simuladas regiões esféricas em cujo contorno são

impo s

uniformes de fluxo. O fluxo induzido é registrado em um disco ortogonal ao

gradiente.

O índice de variabilidade da permeabilidade é expresso pela equação

através de um ajuste de mínimos quadrados às permeabilidades

direcionais. Para redes de traços de fraturas no plano o método usa regiões

de fluxo quadradas.

No espa

stas cargas hidráulicas com variação linear para produzir gradiente

( )

( )

2

1

1 2 3 / 3

N

k

N k k k

−

+ +

∑ ku (4.1)

Sendo:

é o número de direções de gradiente consideradas ( )

é o vetor unitário que define a direção i

ii

vkI ==i

N 50≥

iu

é a permeabilidade direcional computada na direção i

é tensor de permeabilidade ajustado pelos mínimos quadrados

ik

k

1 2 3, ,k k k são as principais direções de permeabilidade do tensor

é um erro médio quadrático normalizado [0,1] que decresce quando

to de um

meio poroso.

k

vkI

o comportamento do meio fraturado se aproxima do comportamen

4.2.3 – Índice de Variabilidade da Porosidade Efetiva:


47

Para estimar esse índice, adiciona-se à simulação usada para o

cálculo de vkI , uma simulação de transporte de massa. Essa última

simulação usa um algoritmo de acompanhamento de partículas sem

incorporar, todavia, o efeito de dispersividade dentro dos canais. Ou seja:

considera-se apenas o transporte mecânico (advectivo), uma vez que se

deseja conhecer apenas a distribuição espacial da porosidade efetiva ao

fluxo r. Para cada orientação de gradiente essa po osidade é dada pela

expressão:

e

tn q

L∆

=∆

(4.2)

Na

equação (4.2) é a velocidade de Darcy, q t∆ é o tempo médio de

trânsito da s e

pelas partículas, com velocidade média

s partícula L é o comprimento médio do caminho percorrido ∆

/ ev q n= . Para simplificar a notação,

a porosidade efetiva en é substituída pelo símbolo ω nas equações (4.3) e

(4.4).

Admite-se que en ω= é constante e independe da direção do fluxo, de

modo que a supe correspondente às “porosidades direcionais” é

uma esfera. Para ve se o conjunto das p

por uma esfera, define-se um Índice de Variabilidade da Porosidade Efetiva,

rfície 3D

rificar orosidades pode ser ajustado

vI ω da seguinte maneira:

[ ]2N

ω ω−∑ 0 i

(4.3)

Na

é o número de orientações de gradiente consideradas

120/

ivI Nω ω

==

equação (4.3):

N

iω é a porosidade efetiva computada para a direção i

0ω é um alor de referência da porosidad dado por: v e

10

ic

Vω == (4.4)

1( )

N

vol iN ∑

c


48

Sendo: o volume da região de fluxo, o número de canais dentro

Da mesma forma que no caso da permeabilidade o índice de

variabilidade da porosidade decresce quando o comportamento da rede de

comportamento de um meio poroso.

5.1 - IN

Do ponto

resposta

geralmente de soluções para problemas

práticos.

água subterrânea, recarga artificial) etc.

as

fraturas ou fissuras (incluindo juntas e falhas), nas rochas ígneas e

metamórficas e até mesmo zonas de dissolução, nas rochas carbonáticas,

V cN

da região de fluxo e ( )vol i o volume do canal i.

fraturas se aproxima do

5 - IDENTIFICAÇÃO DE ZONAS DE FRATURAS

TRODUÇÃO

de vista hidrogeológico é preciso avançar na compreensão da

dos meios fraturados aos diversos tipos de intervenções que

se fazem sobre eles na busca

São, por exemplo, questões ligadas à:

geotécnica (barragens, túneis, minas)

produção de energia (engenharia de petróleo, geotermia)

seguranca ambiental (disposição de resíduos nucleares, injeção

de resíduos perigosos em geral)

produção e conservação de recursos hídricos (explotação de

Na solução desses tipos de problemas a caracterização do domínio 3D

do meio aqüífero fissural, ainda continua desafiando os pesquisadores. Isto

porque a variedade de padrões de fraturamento em um maciço rochoso

pode tornar o domínio hidrogeológico tridimensional tão complexo que

qualquer tentativa de descrevê-lo em detalhe pode ser uma tarefa muito

difícil.

As rochas cristalinas apresentam-se como um meio ou sistema

descontínuo, heterogêneo, formado por blocos rochosos de tamanhos

irregulares, separados por fraturas cuja magnitude pode variar, em escala

macroscópica, de poucos centímetros até quilometros de extensão. Ess

Capítulo 5- Identificação em superfície das zonas de fraturas

49

corta

as de uma

fenda

m os maciços rochosos segundo as mais diversas orientações

espaciais, formando blocos tridimensionais de dimensões e formas

simplesmente imprevisíveis. Elas constituem os espaços vazios onde a água

subterrânea fica armazenada e através dos quais eventualmente circula.

As aberturas desses espaços vazios variam muito, não apen

para outra mas também dentro de uma mesma fratura, a qual pode

exibir pontos de contato entre blocos adjacentes. A presença desses pontos

aumenta a tortuosidade dos espaços vazios e cria perdas de carga

localizadas durante o escoamento da água através das fraturas.

Em escalas mesoscópica e macroscópica, a análise geométrica ou

estrutural, é representada por um conjunto de métodos, usados em estudos

de campo, para estabelecer, além da forma, extensão e arranjo ou estilo de

estruturas em uma área mapeada, a seqüência temporal em que tais

estruturas se desenvolveram. A interpretação é feita com base na hipótese

de que todas as estruturas, de um dado estilo tectônico, pertencem à

mesma seqüência de eventos de deformação (geração). Mas, em áreas

mpre é

possível relacionar, univocamente, estilo e geração. Não obstante, na falta

de m

struturas (Hobbs, et al. 1979).

5.2 - IDEN

De um

escalas de

desarmado,

muito complexas, como acontece no domínio cristalino, nem se

elhores critérios, o estilo tectônico ainda continua sendo a melhor base

para o agrupamento de e

TIFICAÇÃO DE FRATURAS EM DOMÍNIOS 2D

modo geral, segundo Hobbs et al. (op.cit.), distinguem-se três

investigação:

macroscópica, envolvendo corpos rochosos que não podem ser

observados em toda a sua extensão e cuja estrutura somente

pode ser reconstituida a partir de dados levantados em

diferentes pontos;

mesoscópica, aplicável a massas rochosas que podem ser

observadas, em toda a sua extensão a olho

incluindo, portanto, corpos cujo tamanho pode variar desde uma

amostra de rocha até um afloramento;


50

microscópica, que analisa estruturas ao microscópio,

examinando, por exemplo, deformações de grãos.

Em uma das mais completas revisões dos conhecimentos sobre as

rochas fraturadas, Jouanna (1993) apresenta um sumário dos métodos e

técnicas de investigação de fraturas, envolvendo domínios bidimensionais

(2D) e tridimensionais (3D). Aqui, são descritos apenas métodos 2D, que

analisam informações obtidas numa superfície de controle do maciço

rochoso (figura 5.1).

Figura 5.1 - Possíveis domínios de investigação 2D de rochas

fratura fissural é

sup

São

Σ1);

postos em taludes naturais

ostas em túneis ou minas (Σ4).

das. A geometria do domínio Γ (3D), do aquífero

osta desconhecida. Modificado de Jouanna (1993)

exemplos de domínios 2D:

Superfícies naturais de afloramentos de rochas (

Superfícies de maciços rochosos ex

ou em cortes de estradas (Σ2);

Superfícies de maciços expostos em trincheiras (Σ3),

Superfícies exp


51

Superfícies expostas em poços (Σ5)

Todos esses tipos de superfícies podem ser observados diretamente

em campo emoto, utilizando reflexão e

refra d

métodos de

No ti re em poços (Σ5), a

observ

mente através de imagens de TV.

Os mapeamentos de superfícies fraturadas, dos tipos, (Σ3)e (Σ4)

geralmente são usados para outras finalidades, principalmente em estudos

porte de solutos, para

diverso

de fraturas em campo

campo, no mapeamento geológico, ainda é a mais

fácil e menos onerosa forma de obter informações importantes sobre os

maciços fraturados em afloramentos desprovidos de manto de

ou através de sensoriamento r

ção e ondas eletromagnéticas, ou seja, através dos chamados

teledetecção.

po de superfície fraturada que ocor

ação pode ser feita de duas maneiras:

i) exame de testemunhos da rocha;

ii) através de perfilagens usando sensores sísmicos, ultrassônicos,

ou elétricos, com interpretação de registros gráficos ou

direta

O mapeamento de superfícies (Σ1) e (Σ2) costuma ser utilizado em

praticamente todos os tipos de pesquisa de meios fraturados, devido à

facilidade de acesso às mesmas. Na locação de poços, por exemplo, é

prática usual investigar-se, tão somente, esses dois tipos de superfícies

fraturadas.

de detalhe associados com problemas de trans

s fins (por exemplo, identificação e controle de plumas de poluição;

identificação de locais apropriados para armazenamento de resíduos

perigosos, etc).

5.2.1 -Mapeamento

As exposições naturais de rochas (Σ1) são superfícies nas quais a

visibilidade das fraturas pode, muitas vezes, ser afetada pela cobertura

vegetal ou pelo manto de intemperismo. Por isso, as melhores observações

são sempre feitas em taludes (Σ2), trincheiras (Σ3), túneis, galerias ou

shafts de minas (Σ4).

A observação de


52

intem

ergulhos.

om o desenvolvimento tecnológico, estão surgindo métodos

constituem em meios cada vez mais rápidos para caracterização de redes

de fr

e

flexão eletromagnética, cuja capacidade de resolução tem produzido

es fraturadas (Jouanna,

1993). Os procedimentos mais usuais nesse tipo de mapeamento, todavia,

utiliz

5.2.3 - Mapeamento de fraturas em poços

as procuram evidenciar, sobretudo, as

descontinuidades (juntas, falhas, etc), muito mais do que a própria rocha

ou das suas fraturas. Essas técnicas, usadas

principalmente na pesquisa de petróleo, além das clássicas perfilagens

geofís

agens:

perismo ou em superfícies criadas artificialmente. Em tais sítios o

geólogo pode observar, tanto a olho desarmado quanto com o auxílio de

lupa, as aberturas e os comprimentos das fraturas bem como as suas

direções e m

C

topográficos que, com a ajuda de taqueômetros computadorizados, se

aturas.

5.2.2 - Mapeamento de fraturas por sensoriamento remoto

Nos últimos anos grandes progressos foram alcançados nas técnicas

2D de observação da superfície da terra, através de métodos de emissão

re

resultados surpreendentes no mapeamento de regiõ

am imagens de satélite, imagens de radar e aerofotos convencionais.

A perfuração de um poço permite acessar facilmente o ambiente

fraturado, na medida em que dá origem, em profundidade, a uma superfície

de controle (Σ5) do maciço rochoso.

Nas observações de interesse para o estudo do fluxo de água

subterrânea, as técnicas usad

os preenchimentos

icas, costumam envolver:

Testemunh


53

A testemunhagem litológica permite detectar, visualizar e medir as

descontinuidades que interceptam a parede do poço. Em alguns

estudos especiais chega a ser feita de forma contínua.

Imagens:

Representam hoje outra alternativa de visualização das paredes do

ura das fendas. São

utiliz

exemplo

dos mes

Entre os

a geometria 3D

ii)

ância da formação

(Lloyd et al., 1986; Cull, 1988; Burke, 1989;

iii) MFP, máquinas fotográficas de poço, cujas imagens de alta

resolução, permitem até mesmo observar a dilatação de uma

fratura durante e após um teste hidráulico.

poço, permitindo medir a orientação e abert

adas, sobretudo, em estudos específicos, para detectar, por

, problemas construtivos de poços e auxiliar na recuperação

mos.

tipos usados de imagens, incluem-se:

i) BHTV "borehole televiewer" (Zemanek et al., 1970; Rambow,

1984; Dreesen, 1986). A análise das imagens é feita através

de programas de computador que reproduzem

do poço e medem a orientação e abertura das fraturas.

FMS, "formation microscanner" ou microvarredura da

formação, baseada em medidas de condut

Capítulo 6 –Análise de testes de bombeamento em meio fraturado 54 6 - ANÁLISE DE TESTES DE BOMBEAMENTO EM

MEIO HETEROGÊNEO

6.1 - Dificuldades e divergências de interpretação

Os reservatórios das rochas fraturadas, em virtude das diferenças de

comportamento que apresentam em relação aos aqüíferos sedimentares,

podem ser tratados como condutores hidráulicos. O fraturamento das

rochas cria blocos de dimensões muito diversas. A diferença entre as

propriedades hidromecânicas das fraturas e dos blocos cria um meio

heterogêneo fraturado que responde às influências externas

(bombeamento, por exemplo), de uma maneira muito diferente dos meios

homogêneos.

A permeabilidade e a difusividade hidráulica fk fδ das fraturas

possuem magnitudes muito maiores do que a permeabilidade e a

difusividade

bk

bδ dos blocos porosos.

As respostas a bombeamentos, observadas em campo em condutores

hidráulicos mostram que os meios fraturados podem exibir comportamentos

muito distintos. Ora semelhantes aos dos meios porosos granulares, ora

completamente diferentes. Alguns comportamentos observados são os

seguintes:

Evidência de comunicação hidráulica revelada por uma resposta

quase instantânea ao bombeamento, entre poços relativamente

distantes uns dos outros, indicando que os poços estão no

mesmo condutor hidráulico e que o meio se comporta como

contínuo.

Observação de rebaixamento maior em poços de observação

mais distantes do que em poços de observação mais próximos do

poço bombeado, caracterizando uma descontinuidade do meio

fraturado.

Capítulo 6 –Análise de testes de bombeamento em meio fraturado 55

No cristalino do Nordeste do Brasil a tendência de queda da

vazão bombeada com o tempo, observada na maioria dos poços,

sugere que o condutor hidráulico associado com o poço

bombeado tem extensão limitada, o que leva o nível dinâmico a

atingir o crivo da bomba.

As curvas ilustradas nas figuras 1a - 1j, de variação da

capacidade especifica fractal1 com o tempo, sugerem que a

resposta do condutor hidráulico ao bombeamento não se ajustam

a nenhuma tendência previsível de produção sustentável.

1 10 100 1000

Tempo (minutos)

0.01

0.1

1

10

Vazã

o es

pecí

fica

(m3 /h

.m)

1 10 100 1000

Tempo (minutos)

0.1

1

10

Cap

acid

ade

espe

cífic

a fra

ctal

(m

3 / h.

m)

a b

1 10 100 1000Tempo ( minutos )

0.01

0.1

1

10

Cap

acid

ade

espe

cífic

a fra

ctal

( m

3 / h.

m )


0.1

1

10

100

Cap

acid

ade

espe

cífic

a fra

ctal

( m

3 / h.

m )

0.1 1 10Horas

c d

1 Capacidade específica para vazão constante de dimensão [LD+2/T]



0.1

1

10

100C

apac

idad

e es

pecí

fica

fract

al (

m3 /

h.m

)0.1 1 10Horas

1 10 100 1000 10000

Tempo ( minutos )

0.01

0.1

1

10

100

Cap

acid

ade

espe

cífic

a fra

ctal

( m

3 / h.

m )

0.1 1 10 100 Horas

e f


0.01

0.1

1

10

Cap

acid

ade

espe

cífic

a fra

ctal

( m

3 / h.

m )

0.1 1 10Horas

1 10 100 1000

Tempo ( minutos )

0.1

1

10

Cap

acid

ade

espe

cífic

a fra

ctal

( m

3 / h.

m )

1 1Horas 0

g h

1 10 100 1000 10000Tempo ( minutos )

0.1

1

10

100

Cap

acid

ade

espe

cífic

a fra

ctal

( m

3 / h.

m )

0.1 1 10 100 Horas

1 10 100 1000 10000

Tempo ( minutos )

0.1

1

10

100

Cap

acid

ade

espe

cífic

a fra

ctal

( m

3 / h.

m )

0.1 1 10 100 Horas

i j

Figura 6.1 – Curvas de variação da capacidade específica fractal com o

tempo em testes de produção de poços no cristalino do Ceará (granito da

Serra da Mecuoca).

Capítulo 6 –Análise de testes de bombeamento em meio fraturado 57 6.2 – Análise de testes pelo método da capacidade específica

fractal (Manoel Filho 1996) com o Modelo de Boulton &

Streltsova (1977)

Se a vazão de teste em meio fraturado não é constante, os passos para

o cálculo dos parâmetros hidráulicos são os seguintes:

i. Construir a curva de capacidade específica y, versus

rebaixamento s, em coordenadas bilogarítmicas e ajustar à

mesma uma lei de potência do tipo * * dy Q s−= , para obter a

capacidade específica fractal, função temporal dos parâmetros d

(dimensão fractal do fluxo) e Q* (descarga fractal constante).

ii. Construir a curva de variação da capacidade específica fractal

com o tempo (ou do rebaixamento fractal com o tempo), em

gráfico bilogarítmico , fazendo a superposição da mesma com

uma das curvas da família de curvas-padrão de Boulton (figuras

6.2a -6.2c).

iii. A integral infinita da equação (3.36) é simbolicamente

representada pela função ( , , / )W r Bθ η , e o rebaixamento na

fissura é expresso por:

** ( , ,

4ff

Q/ )s W r

Tθ η

π= B (6.1)

6.2.1 - Cálculo dos parâmetros hidráulicos

6.2.1.1 - Curvas de rebaixamento

Substituindo a capacidade específica fractal em (6.1), obtém-se *y

Transmissividade *

( , , )4f

yT W rθ η

π= B (6.2)

Difusividade2 δθ

= =TS

rt

f

f

2

4 (6.3)

Armazenamento nas fraturas S Trf f= ×1

2δ (6.4)

2 O modelo admite que o raio do poço é desprezível. Para fins de cálculo, considera-se uma distância r = 1 m como representativa das proximidades imediatas do poço.


Armazenamento na matriz S Sm f= −( )η 1 (6.5)

Abertura média das fraturas ( a )

A abertura média das fraturas é dada pela expressão:

a Tgf=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

12 1 3ν

/

(6.6)

Condutividade hidráulica ( )Kf

A condutividade hidráulica das fraturas é obtida dividindo-se a

transmissividade pela abertura média das fraturas, ou seja, através da

relação:

KTaf

f= (6.7)

Permeabilidade

A permeabilidade das fraturas é obtida da relação:

k Kgf f=ν

(6.8)

Porosidade do condutor hidráulico ( n )

A porosidade do condutor hidráulico, é obtida de uma relação entre

superfícies, a saber: área de vazios e área total da superfície de controle.

nr ar h

ah

w

w i i=

22

=ππ

(6.9)

6.2.1.2 - Curvas de recuperação

A descarga fractal Q* reflete um regime de fluxo de dimensão D

rigorosamente constante. Isto permite definir uma capacidade específica

fractal de recuperação , de modo que a transmissividade do condutor

hidráulico na recuperação é dada pela equação:

*y ′

[1 14y T

W t W tf

b′= − ′

*( ) ( )

π θ θ ] (6.10)


0.10 1.00 10.00 100.00 1000.00 10000.00θ

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

W

η = 10

= 4Tt / r²S

W = 4 Ts / Q

θ

π 0.05

r/B

W( )θ

0.2

0.5

1.0

2.03.0

W( )θ′

Figura 6.2a - Curvas padrão de Boulton (1963) em coordenadas mono-log para a

função do rebaixamento em um poço em meio fraturado [Equação (3.36)]. para η

=10.

0.01 0.10 1.00 10.00 100.00 1000.00 10000.00θ

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

W

η = 100

θ = 4Tt / r²S

W = 4 Ts / Qπ

r/B

2.03.0

1.0

0.5

0.2

0.05

W( )θ

W( )θ′

Figura 6.2b - Curvas padrão de Boulton (1963) em coordenadas mono-log para a

função do rebaixamento em um poço em meio fraturado [Equação (3.36)] para η

=100.


0.001 0.01 0.1 1 10 100 1E+3 1E+4θ

0.00

2.00

4.00

6.00

8.00

W

η = 1000

= 4Tt / r²S

W = 4 Ts / Qπ

θ

0.5

1.0

2.03.0

0.2

r/B

0.05

W( )θ

W( )θ′

Figura 6.2c - Curvas padrão de Boulton (1963) em coordenadas mono-log para a

função do rebaixamento em um poço em meio fraturado [Equação (3.36)] para η

=1000.

6.2.2 - Gráficos Ilustrativos de Resultados

Foram selecionados gráficos de testes realizados em meio

heterogêneo, em três diferentes litologias e três diferentes subprovíncias

hidrogeológicas, a saber:

meta-calcário do Grupo Salitre (Bambuí), na subprovíncia

Coberturas Carbonáticas São Francisco (52), conforme figura

6.3.

quartzito da Formação Morro do Chapéu, na subprovíncia

Coberturas Clásticas São Francisco (51), conforme figura 6.4.

gnaisse do maciço Rio Piranhas, na subprovíncia Escudo Oriental

Nordeste (61), conforme figura 6.5.

Convém alertar que a boa superposição observada entre os dados de

campo e as curvas teóricas nas figuras 6.3 a 6.5, possivelmente não se

manterá para tempos mais longos.


0.1 1 10 100 1000 10000 , t , tb/t'

0.001

0.01

0.1

1

10

100

W ,

s , s

'

θ

31.68 <= Q <=26.40 m3/h 22.60 <= Q <=14.40 Q = 10.50

4752000801RebaixamentoRecuperação

Figura 6.3 - Curvas de rebaixamento e recuperação de teste de produção em meta-

calcário, na subprovíncia Coberturas Carbonáticas São Francisco (52) superpostas

às curvas padrão da função W1 (Boulton 1963).

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000, t , tb/t'

0.00

0.00

0.01

0.10

1.00

10.00

100.00

W ,

s , s

'

θ

4751001401

Rebaixamento Recuperação

Figura 6.4 -Curvas de rebaixamento e recuperação de teste de produção em

quartzito, na subprovíncia Coberturas Clásticas São Francisco (51) superpostas às

curvas padrão da função W2 (Boulton, 1963).


0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

t , tb/t'

0.01

0.10

1.00

10.00

W ,

s , s

'

0.01 0.1 1 10 100 1000 10000

Rebaixamento Recuperação

θ ,

3761002901

Figura 6.5 - Curvas de rebaixamento e recuperação de teste de produção em

gnaisse, na subprovíncia Escudo Oriental Nordeste (61) superpostas às curvas

padrão da função W3 de Boulton (1963).

6.3 - Propriedades Fractais de Dados de Poços

6.3.1 - Auto-Afinidade dos Testes de Produção

Revendo os trabalhos publicados no período de 1974-1994 sobre

testes de campo e de laboratório, conduzidos em uma única fratura aberta,

Atkinson et al. 1994 confirmaram que a evolução do rebaixamento no poço

em função da vazão pode ser bem aproximada pela equação de Rorabaugh

(1953):

ns BQ CQ= + (6.11)

que possui equação dimensional

[ ]3 3

2 3( 1)

n n

n

T L T LL

TL L −

⎡ ⎤ ⎡= × + ×⎢ ⎥ ⎢

⎣ ⎦ ⎣nT

⎤⎥⎦ (6.12)


]

e na qual, para um certo tempo , os coeficientes B e C são supostos

constantes e n varia tipicamente entre 2 e 3. Mais precisamente:

bt

Q = descarga constante bombeada [L3/T]

s = rebaixamento no poço ou perda de carga total no poço [L]

B = coeficiente de perda laminar [T/L2]

C = coeficiente de perda turbulenta 3( -1)[ /n nT L

Normalmente, no domínio das rochas cristalinas da região semi-árida

do Nordeste do Brasil, mesmo para curtos períodos de tempo, é muito difícil

realizar um teste de bombeamento com vazão constante. Por via de regra

os testes apresentam vazões com tendência de decaimento (figura 6.6), o

que invalida o uso dos métodos tradicionais de estimativa dos parâmetros

físicos do meio.

Considere-se agora um teste de produção em duas etapas de

bombeamento, realizadas com vazões fractais constantes equivalentes

1 2* , *Q Q 2 /dL T+⎡⎣ ⎤⎦ 2de dimensões respectivamente, produzindo

rebaixamentos fractais

1 ,d d

1 2* , *s s dL⎡ ⎤⎣ ⎦ .


0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

Vazã

o bo

mbe

ada

( m

3/h

)

a) Teste 35610001 - etapa 1 GRANITO

1 10 100 1000Tempo (minutos)

6

7

8

9

10

11

Vazã

o bo

mbe

ada

m3/

h

b) Teste 99610001 - etapa 1 - BASALTO

Figura 6.6 – Exemplos de curvas de variação de descarga com o tempo durante

testes de bombeamento em poços perfurados em rochas cristalinas do Nordeste do

Brasil. a) Granito Meruoca – CE; b) Basalto de Fernando de Noronha.

O problema da variabilidade da descarga pode ser superado usando a

lei de potência (95), característica da capacidade específica fractal, através

da qual obtém-se uma descarga fractal constante Q* de dimensão [ ] 2 1dL T+ −

Capítulo 6 –Análise de testes de bombeamento em meio fraturado 64 (Manoel Filho 1996). Neste caso, verifica-se que a expressão

correspondente da equação de Rorabaugh (6.11), para um fluxo constante

de dimensão fractal, seria:

( )* * *s BQ C Q α= + (6.13)

com equação dimensional

( )( )( 2)( 2)

2 ( 1)2 ( 2)

ddd

d

LT L TL

TL TL L

αα

α α

++

−+

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢⎡ ⎤ = × × ×⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎥ (6.14)

e com parâmetros:

Q* = vazão fractal constante equivalente [Ld+2/T]

s* = rebaixamento fractal equivalente [Ld]

D = dimensão fractal do fluxo d

B = coeficiente da perda fractal ( )*BQ laminar equivalente [T/L2]

C = coeficiente da perda fractal turbulenta equivalente ( 2) /dL Tα+⎡ ⎤⎣ ⎦

Explicitamente, a equação (6.14) para o rebaixamento fractal

transiente discreto pode ser escrita:

* * (t t ts B Q C Q*)α= + (6.15)

ou ainda ( 1)*( *)

*t

t t

sB C Q

Qα −= +

(6.16)

Em (6.16) os dois coeficientes t desconhecidos, podem ser

determinados solucionando o sistema (99), fazendo, em primeira

aproximação,

e tB C

1 2

2d d

α+

= :

1

2

*1 1

*2 2

*

*

dt t

dt t

1

2

s B Q C Q

s B Q C Q

α

α

= +

= + (6.17)

Dois exemplos mostrando o comportamento do sinal dos coeficientes

com o tempo são ilustrados na figura 6.7. e tB Ct


1 10 100 1000Tempo (minutos)

-40

0

40

-20

20

60

-60

[1/y* - B(t)]Q*

C(t)Q*

Etapa 1 2

Q* D α1.0199 1.2003 1.11141.5023 1.0277

a) Teste 35610001- GRANITO

α

B(t)

e C

(t)

1.00 10.00 100.00 1000.00Tempo (minutos)

-120

-80

-40

0

40

80

120C

B

b) Teste 35610003 - 2 etapas - GRANITO

Figura 6.7 – Comportamento do sinal dos coeficientes t das componentes do

rebaixamento fractal com o tempo em testes de produção realizados no granito

Meruoca, Sobral-CE.

e tB C

Da equação (6.16), usando a equação (6.11), obtém-se, em função da

capacidade específica fractal:

( 1)1*

* t tt

B C Qy

α −⎡ ⎤− =⎢ ⎥

⎣ ⎦ (6.18)

ou finalmente, usando a descarga fractal constante como fator de escala *Q

1* ( *

* t tt

B Q C Qy

)α⎡ ⎤

− =⎢ ⎥⎣ ⎦

(6.19)

A equação (6.20) é da forma: 1 2( ) * ( ) *g t Q g t Q α=

(6.20)

sendo 2 21 2( ) e ( ) ( )dg t T L g t T L L α+ −⎡ ⎤ ⎡⎣ ⎦ ⎣

2 1⎤⎦ duas séries temporais representando os

coeficientes das perdas fractais do poço, associadas respectivamente com o

fluxo “laminar” e com o fluxo turbulento.

Neste ponto vale lembrar que duas séries temporais são ditas

fractais auto-afins, e possuem as mesmas propriedades estatísticas, se

obedecerem à relação (Turcotte, 1992):

1 2( ) e ( )x t x t

1 2( ) ( ) Hx t r x t r= (6.21)

na qual r é um fator de escala e H é a medida de Hausdorff. Comparando as

equações (102) e (103) conclui-se que os testes de produção em meio


t

fraturado exibem propriedades fractais (ou seja, são fractais auto-afins,

característicos de meios anisotrópicos). Isto significa que, no espaço

bidimensional dos coeficientes , a função é

estatisticamente similar a , e

e tB C *, ( *)t tf B Q C Q α⎡ ⎤⎣ ⎦

( , )t tf B C α é a medida de Hausdorff, a ser

determinada através de análise espectral.

Ainda segundo (Turcotte, op. cit.) uma condição necessária para que

uma função seja um fractal auto-afin é que ( )x t

( ) ( )( )H

x t x tprob x F x

ττ

+ −⎡ ⎤′ ′< =⎢⎣ ⎦⎥

1

(6.22)

Em (105) é a distribuição normal e assim os valores de possuem

uma distribuição Gaussiana que independe do valor de H. Se os valores

discretos de fossem pontos aleatórios sem nenhuma correlação entre sí,

o valor esperado de H seria nulo (ruído branco). Pela equação (6.23) se

então os valores de são pontos aleatórios, mas correlatos com

os valores adjacentes (ruído Browniano). Para um ruído Browniano, .

Um ruído Browniano é análogo a um deslocamento aleatório (“random

walk”), e pode ser gerado por um processo iterativo do tipo: 1) olhe para o

leste e lance uma moeda; 2) cara, dê um passo à direita (sul); 3) coroa, dê

um passo à esquerda (norte); 4) dê um passo para oeste e repita o

processo.

( )F x ( )x t

( )x t

0 H< < ( )x t

1/ 2H =

A figura 6.8 ilustra a distribuição de freqüência das funções

1

1( ) e ( )

* tt

2 tg t B g ty

⎡ ⎤= − =⎢ ⎥

⎣ ⎦C , mostrando que elas apresentam as mesmas

propriedades estatísticas.


15 20 25 30 35 40g1(t)

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00Fr

eqüê

ncia

acu

mul

ada

a) Teste 35610001: Etapas 1-2 GRANITO

12 16 20 24 28 32 36

g2(t)

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

Freq

üênc

ia a

cum

ulad

a

b)Teste 35610001: Etapas 1-2 GRANITO

Figura 6.8 – Distribuição Gaussiana ajustada aos valores das funções

1

1( ) e ( )

* tt

2 tg t B g ty

⎡ ⎤= − =⎢ ⎥

⎣ ⎦C para um teste de produção em duas etapas em poço

perfurado no granito Meruoca, Sobral-CE.

6.3.1.1 - Cálculo da dimensão espectral e da medida de Hausdorff

Os fractais auto-afins são geralmente tratados usando técnicas

espectrais (ver por exemplo Press et al,1986) aplicadas a uma série

temporal que é aleatória e possui um dado espectro. Essa função pode ser

expressa no domínio físico como ou no domínio da freqüência f, em

termos da amplitude

( )x t

( , )X f T sendo T o intervalo de tempo da série temporal.

A quantidade ( , )X f T é geralmente um número complexo que indica a fase do

sinal. A amplitude, no domínio da freqüência é obtida usando a

transformada de Fourier de no intervalo ( )x t 0 t T< < , dada por:

0

( , ) ( )exp(2 )T

X f T x t ift dtπ= ∫ (6.23)

sendo 1i = − . A densidade de potência espectral de é definida por ( )x t

21( ) ( , )S f X f T

T= (6.24)

no limite quando T . O produto é a potência na série temporal,

associada com a faixa de freqüência entre

→ ∞ ( )S f df

e f f df+ .


Para uma série temporal que é fractal a densidade de potência

espectral, em função da freqüência f, segue uma lei de potência do tipo ( )S f

( )S f f β−∝ (6.25)

conforme se vê na figura 6.8. As relações entre β, e DH (dimensão fractal

independente de escala) são obtidas da relação:

2 1 5 2H Dβ = + = − (6.26)

0.001 0.01 0.1 1Freqüência f da função g1(t)

0.1

1

10

100

1000

10000

Den

sida

de d

e po

tênc

ia e

spec

tral S

(f) β = 2.27973

S(f) = 0.03060004 f-2.27973

a)Teste 35610004 - etapas 1-2 - GRANITO

β = 2.37676

S(f) = 0.016574 f-2.37676

0.001 0.01 0.1 1Freqüência f da função g2(t)

0.01

0.1

1

10

100

1000

10000

Den

sida

de d

e po

tênc

ia e

spec

tral S

(f)

b) Teste 35610004 - etapas 1-2 - GRANITO

Figura 6.9 – Densidade de potência espectral em função da freqüência para as

funções 1

1( ) e ( )

* tt

2 tg t B g ty

⎡ ⎤= − =⎢ ⎥

⎣ ⎦C correspondentes a um teste de produção em

poço perfurado no granito Meruoca, Sobral-CE.

Os gráficos da figura 6.8, avaliados com os dados da primeira e

segunda etapa do teste de produção em três etapas realizado no poço

35610004 (Poço Jordão nº 4 ) mostram que o valor esperado para o

expoente β é o seu valor médio 2,33β = . Com esse valor, a medida de

Hausdorff (equação 6.26) é 0,67H = e a dimensão fractal invariante de

escala . Este valor confirma resultados de Barton 2001, segundo os

quais a reconstrução da história de uma fratura em um ponto de

conectividade inicial (poço) através de uma rede de percolação tem

dimensão fractal de 1,35.

1,34D =

Capítulo 7 –Referências bibliográficas 69

7 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ACUNA, J.A. & YORTSOS, Y. C., 1995, Application of fractal geometry to the

study of networks of fractures and their pressure transient. Water

Resources. Research, v. 31, p. 527-540.

ATKINSON, L. C., GALE, J. E., & DUDGEON, C. R., 1994, New insight into

the step-drawdown test in fractured-rock aquifers, Applied

Hydrogeology, v.2, p. 9-18.

BARKER, J. A., 1988, A generalized radial flow model for hydraulic tests in

fractured rock. Water Resources Research, v. 24, 1796-1804.

BARENBLATT, G. E., ZHELTOV, I. P., AND KOCHINA, I. N., 1960, Basic

concepts in the theory of seepage of homogeneous liquids in fissured

rocks. Journal of Applied Mathematics and Mechanics, v. 24, p. 1286-

1303.

BARNSLEY, M. F., 1988, Fractals everywhere, San Diego, Academic Press,

531p.

BARTON, C.C. 2001. Scaling of fractures and fluid flow networks in rock.

USGS. 9th. Kongsberg Seminar. Processes at the fluid-rock interface.

BARTON, C.C.; LARSEN, E.; PAGE, W. R. & HOWARD, T. M. 1987.

Characterizing fractured rock for fluid flow, geomechanical and

paleostress modelling: Methods and preliminary results from Yucca

Mountain, Nevada, USGS. Open-File Report, 87, 36p.

BARTON, C. C. & Hsieh, P. A. 1989. Physical and Hydrologic Properties of

Fractures. Trip Guidebook T385, 28th International Geological Congress,

Washington, D. C.

BEAR, J. 1972. Flow of homogeneous fluids through porous media. Elsevier.

BLACK, J. H., 1994, Hydrogeology of fractured rocks – a question of

uncertainty about geometry. Applied Hydrogeology, v.3, p.56-70.

BOEHMER, W. K., 1993, Secondary type aquifers and the value of pumping

tests for the evaluation of groundwater potential. Memoirs of the XXIV

Congress International Association of Hydrogeologists, Oslo, p. 159-

168.

Capítulo 7 –Referências bibliográficas 70 BOULTON, N.S., & STRELTSOVA, T.D., 1977, Unsteady flow to a pumped

well in a fissured water-bearing formation. Jounal of Hydrology, v. 35,

p. 256-269.

CHANG, J. & YORTSOS, Y. C. 1990. Pressure transient analysis of fractal

reservoirs, SPE Form Eval., 5, 631.

COOPER, H. H. JR., & JACOB, C. E. , 1946, A generalized graphical method

for evaluating formation constants and summarizing well field history.

Transactions of American Geophysical Union, v. 27, p. 526-534.

DAVIS, S. N. & TURC, L. J. 1964. Optimum depth of wells in crystalline

rocks. Ground Water, 22: 6-11.

DOUGHTY, C., LONG, C. S., HESTIR, K., & BENSON, S. M., 1994, Hydrologic

characterization of heterogeneous geologic media with na inverse

method base on iterated function systems, Water Resources Research,

v. 30, p. 1721-1745.

FEDER, J., 1988, Fractals. New York, Plenum Press, 283p.

FULLER, C. M. & SHARP, J. M. Jr. 1992. Permeability and fracture patterns

in extrusive volcanic rocks: implications from the Welded Santana Tuff,

Trans- Pecos Texas, Geol. Soc. America Bull., 104: 1485-1496.

GUERIN F. P. M. & BILLAUX, D.M. 1993. On the relationship between

connectivity and the continuum approximation in fracture flow and

transport modeling. Memoires of the XXIV Congress of IAH. Oslo. 215-

224.

GUSTAFSON, G., & KRÁSNÝ, J., 1994, Crystalline rock aquifers: their

occurrence, use and importance. Applied Hydrogeology, v. 2, p.64-75.

JACOBS, D. J. & THORPE, M. F. 1996. Generic rigidity percolation in two-

dimensions. Michigan State University. Dept. of Physics and Astronomy.

LAUBACH, S. 1992. Fracture networks in selected Cretaceous sandstones of

the Green River and San Juan Basins, Wyoming, New Mexico and

Colorado, Geological Studies relevant to Horizontal Drilling; Examples

from Western North America (eds Schmoker, J. W.., Coalson, E. B. &

Brown, C.A.), Rocky Mountain Association of Geologists, p. 61-73.

MANOEL FILHO, J. 1996. Modelo de dimensão fractal para avaliação de

parâmetros hidráulicos em meio fissural. (Tese de Doutorado).

Universidade de São Paulo. 197p.

Capítulo 7 –Referências bibliográficas 71 NORTON, D. & KNAPP, R. 1977. Transport phenomena in hydrothermal

systems: Cooling plutons, American Journal of Science. 277: 913-936.

PEITGEN, H. O. ; JURGENS, H. ; SAUPE, D. 1992. Fractals for the

classroom. Part one: introduction to fractals and chaos. New York,

Springer Verlag. 452p.

RORABAUGH, M. I., 1953, Graphical and theoretical analysis of step-

drawdown tests of artesian wells. Proceedings American Society of Civil

Engineers, v. 79, p.23-26.

SHARP Jr., J. M. 1993 – Fractured aquifers/reservoirs: approaches,

problems and apportunities. Memoires of the XXIV Congress of IAH.

Oslo, 23-38.

STRELTSOVA, T. D. 1976. Hydrodynamics of groundwater flow in a

fractured formation. Water Ressources Research, 12, 405-413.

STRELTSOVA-ADAMS, T.D., 1978, Well hydraulics in heterogeneous aquifer

formations .In: Chow V.T. ed., Advances in hydroscience v. 11. New

York, Academic Press, p. 357-423.

THEIS, C. V., 1935, The relation between the lowering of the piezometric

surface and the rate and duration of discharge of a well using

groundwater storage. Transations of American Geophysical Union, v.

16, p.239-240.

TURCOTTE, D. L., 1992, Fractals and chaos in geology and geophysics.

Cambridge University Press, 221p.

WARREN, J. E., & ROOT, P. J., 1963, The behavior of naturally fractured

reservoirs. Journal of the Society of Petroleum Engineers, v. 9, p. 245-

255.

WHEATCRAFT, S. W. ; SHARP, G. A. & TYLER, S. W. 1990.Fluid flow and

solute transport in fractal heterogeneous porous media. IN: CUSHMAN,

J. H. ed. Dynamics of Fluids in Hierarchical Porous Media, Academic

Press, pp. 305-326.

YIN, Z. & BROOK, G. 1992. The topographic approach to locating high-yield

wells in crystalline rocks: Does it work? Ground Water, 30: 96-102.

Documents

Gestão de Recursos Hídricos e de Infra-estrutura20-%20%C1GUA%20SUBTERR%C2NEA%20NO… · No Brasil, as águas subterrâneas das regiões de rochas cristalinas ocorrem nas províncias