GGE RESPONDE IME 2020 FÍSICA (2ª FASE) · GGE RESPONDE IME 2020 FÍSICA (2ª FASE) GGE RESPONDE IME 2020 – 2ª FASE Física 3 Resolução: A afirmativa é que WF Q São dados:

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GGE RESPONDE IME 2020 – 2ª FASE Física 1

01.

A figura mostra um sistema usado em um laboratório de física para demonstrar a difração de luz por uma fenda. A luz

de um laser de comprimento de onda passa por uma fenda de largura d, formada pelo espaço entre as

extremidades de duas barras de comprimento L. A outra extremidade de cada barra é mantida fixa. Depois de passar pela fenda, a luz incide em uma tela distante, na qual é observado um padrão de difração formado por regiões claras e escuras. a) Dado que na tela são observados exatamente 3 mínimos de intensidade luminosa em cada lado do máximo

central de intensidade, determine o intervalo de valores da largura d da fenda que são compatíveis com essa observação.

b) A temperatura do laboratório normalmente é mantida em 24,0 °C por um aparelho de ar condicionado. Em um dia

no qual o experimento foi realizado com o aparelho de ar condicionado desligado, observou-se na tela apenas 1 mínimo de intensidade luminosa em cada lado do máximo central de intensidade, o que foi atribuído à dilatação

térmica das barras. Sabendo que o coeficiente de dilatação linear das barras é , determine o intervalo de

temperaturas do laboratório, no dia em que o aparelho de ar condicionado foi desligado, que são compatíveis com essa observação.

Dados:

• comprimento de onda do laser: = 532 nm;

• comprimento de cada barra a 24,0 °C: L = 50 cm;

• coeficiente de dilatação linear de cada barra: = 10-7 °C-1.

Resolução: a) Condição para o mínimo de difração:

m m

md sen m sen

d

m

Para 3 mínimos, vem: m = 3 e = 90°

3Logo, 1 d 3

d

Mas o 4º mínimo não pode existir (m = 4), logo sen 4 > 1.

41 d 4

d

Daí, 3 d 4

1.596nm d 2.128nm

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b) Seja b a nova largura da fenda, então:

b = d - 2L Da condição de mínimo de difração, como no item anterior:

m

mSen

b

Para apenas 1 mínimo, vem: < b < 2 (I)

Mas b = d - 2L = d – 2 · L · · T (II)

Substituindo (II) em (I), vem:

< d – 2 · L · · T < 2

+ 2 · L · · T < d < 2 + 2 · L · · T

Do item a), vem que: 3 < d < 4

9

7

Assim 2 L T 2 TL

532 10T

0,5 10

T 10,64 C

Diferente do que diz o enunciado da questão, não há um intervalo de temperatura, mas sim uma única variação de temperatura. 02. Um produtor rural constata que suas despesas mensais de eletricidade estão altas e decide contratar um pesquisador para que ele especifique formas alternativas de acionamento simultâneo de duas bombas empregadas para irrigação de suas lavouras. O pesquisador constata que, na fazenda, existe uma máquina refrigeradora que opera em um ciclo termodinâmico, bem como outro dispositivo que atua como um ciclo motor e propõe a solução descrita a seguir: “A potência disponibilizada pelo ciclo motor deverá ser integralmente utilizada para o acionamento da máquina refrigeradora e a energia rejeitada para o ambiente de ambos os dispositivos – de acordo com os seus cálculos – é mais do que suficiente para o acionamento simultâneo das duas bombas.” De acordo com os dados abaixo, determine se a solução encaminhada pelo pesquisador é viável, com base em uma análise termodinâmica da proposição. Dados: • temperatura do ambiente: 27 °C;

• temperatura no interior da máquina refrigeradora: 19

ºC3

−

• temperatura da fonte térmica referente ao ciclo motor: 927 °C; • potência de cada bomba empregada na irrigação: 5 HP; • estimativa da taxa de energia recebida pelo motor térmico: 80 kJ/min; • 1 HP = ¾ kW.

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Resolução:

A afirmativa é que

F QQ q 2x5HP 7,5kW

São dados:

Q

4kJQ 80 kW,min 3

F

Q

T 31 ,

T 4

F

Q F

t8

t t

Do motor, temos:

Q

Q

W 3 3W Q 1kW

4 4Q

F Q1

Q Q W kW3

Do refrigerador:

FF

q8 q 8W 8kW

W

Q Fq q W 9kW

Apesar de as desigualdades para FQ e Qq não serem no mesmo sentido, vemos que no caso ideal a some é

9,33kW > 7,5 kW. É de se esperar que para situações próximas ao ideal também seja possível superar o limiar de 7,5kW. Logo, a solução é viável.

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03.

Uma partícula, inicialmente em repouso sobre o plano horizontal XY, está presa a duas molas idênticas, cada uma solidária em sua outra extremidade a um cursor que pode movimentar-se sobre seu respectivo eixo, como mostrado na figura. As molas são rígidas o suficiente para se deflexionarem apenas nas direções ortogonais de seus respectivos eixos aos quais estão presas. No instante t = 0, a partícula é puxada para o ponto de coordenadas

11 12( L, L)10 10

e é lançada com velocidade inicial 3

( L,0)10

Determine: a) as equações das componentes de posição, velocidade e aceleração da partícula nos eixos X e Y, em função do

tempo; b) a área no interior da trajetória percorrida pela partícula durante o movimento. Dados:

• massa da partícula: m;

• constante elástica das molas: k;

•

k

m =

• comprimento das molas não flexionadas: L. Observações:

• o plano XY é totalmente liso;

• não há influência da gravidade no movimento da partícula;

• os cursores deslizam sem atrito pelos eixos;

• as coordenadas X e Y da partícula são sempre positivas.

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Resolução: a)

Considere o sistema de coordenadas x’ y’. Podemos escrever se a partícula está na posição (x’, y’):

X' Y 'F k x ' e F k y '= − = −

Logo, x x y yx ' A cos( t ) e y ' A cos( t )= + = +

MAS, 2 2 2 2 2 2

20 0 x

x X

k x mx k A L 3 L m LA A

2 2 2 100 100 k 5

+ = + = =

E,

0 x x x

x x x

L 1 L 1x cos( ) L cos( ) cos

5 10 5 2

3v ' A sen( t ) L

10

= = =

= − + L

=x

x x

sen5

3sen

2 3

− − = =

X X

2 2

X X

L Lx ' cos ( t ) x cos ( t ) L

5 3 5 3

L Lv ' sen ( t ) v sen ( t )

5 3 5 3

L La ' cos ( t ) a cos ( t )

5 3 5 3

= − = − +

− −

= − = − − −

= − = −

Analogamente, para Y’, podemos encontrar:

y

y

LA

5

0

=

=

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Daí,

y y

2 2

y y

L Ly ' cos ( t ) y cos ( t ) L

5 5

L Lv ' sen ( t ) v sen ( t )

5 5

L La ' cos ( t ) A cos ( t )

5 5

= = +

− −

= = − −

= =

b) Sabemos que, a superposição dos movimentos em x’ e y’ é uma elipse centrada na origem. A distância de um ponto

a origem (posição de equilíbrio) é:

''

2 2 2 2Lr x' y ' cos ( t) cos ( t )

5 3

= + = + −

Ela é máxima/mínima quando 2 2x ' y '+ for.

Logo,

2 2 2

MÁX

2 2 2

MIN

a (x ' y ' )

b (x ' y ' )

= +

= +

2 2d( cos ( t) cos ( t ) ) 0

dt 3

cos( t) sen( t) cos( t ) sen( t ) 03 3

2sen(2 t) sen(2 t ) 0

3

2sen (2 t ) cos( ) 03 3

2t ou t

6 3

+ − =

+ − − =

+ − =

− =

= =

Testando:

L 6t r MÁX!

6 10

2 L 2t r MÍN!

3 10

= =

= =

Então,

2L 6 L 2 La , b e A a b A 3

10 10 50

= = = =

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04.

Um tubo rígido aberto nas extremidades, com seção reta de área constante, é preenchido com um fluído de mesa

específica 1 até alcançar a altura h1. O tubo é lacrado em uma das extremidades, conforme ilustra a Figura 1,

imediatamente acima de uma válvula, que se encontra fechada, de modo que a coluna de ar também tenha altura h1 e esteja com a mesma pressão atmosférica externa. A haste da válvula mantém presa uma esfera que se ajusta bem

ao duto de saída, com seção reta Sd circular. Um segundo fluido, de massa específica 2 < 1

, é lentamente

colocado na extremidade aberta até formar uma coluna de altura h2, conforme mostra a Figura 2. Em determinado instante, a válvula é subitamente aberta, liberando a esfera, que é impulsionada pelo ar comprimido por um breve intervalo de tempo ∆t, até atingir o ponto P. A esfera percorre o trajeto dentro do duto até alcançar uma mola, de constante elástica k, que se deforma ∆x. Com relação à situação apresentada, determine: a) a pressão da coluna confinada de ar, em N/m2, supondo a temperatura constante, após a inserção do segundo

fluido e antes da abertura da válvula. b) a força de atrito média a partir do ponto P, em N, que age na esfera em sua trajetória até alcançar a mola. Observações:

• considere constante a pressão que impulsiona a esfera durante seu movimento até o ponto P;

• após o ponto P, o interior do duto encontra-se à pressão atmosférica;

• não há força de atrito durante a compressão da mola;

• não há atrito no movimento da esfera entre a válvula e o ponto P. Dados:

• aceleração da gravidade: g = 10m/s2;

• altura: h1 = 1m; h2 = 1,75m; e h3 = 4m;

• ângulo = 30º;

• área da seção reta do duto: Sd = 1 cm2;

• constante elástica da mola: k = 2.000 N/m;

• deformação máxima da mola: = 2,5 cm;

• distância d1 = 1m;

• intervalo de tempo que a esfera é impulsionada: ∆t = 0,1s;

• massa da esfera: m – 50g

• massas específicas: 1 = 2.500 kg/m3; e 2

= 2.000 kg/m3;

• pressão atmosférica local: Pa = 105 N/m2

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Resolução: a)

Transformação isotérmica: o Io 1

p hp h ph h i

p= =

Transformação hidrostática:

I

o 2 1 1 I

I I

I I o 2 I 1 I

p gh gh p g(h h )

2h h 2h h h h p gh gh p g(2h h) ii

+ + = + −

− = − = + + = + −

oo 2 I

55 3 5

55 5

2 4 9

5

pi e ii :p gh p 2 gh(1 )

p

1010 2 10 10 1,75 p 2 2,5 10 10(1 )

p

5 101,35 10 p 5 10

p

p 8,5 10 5 10 0

p 1,25 10 pa

+ = + −

+ = + −

= + −

− − =

=

b)

0 d 0

0 d

0

0

2 20 3

3 at 1

at

Impulso : p p S t m V

p p S tV

m

V 5m / s

Energia :

m V hk xmgh F 2d

2 2 sen

F 0,2N

05.

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Uma partícula de massa m e carga elétrica positiva +q é lançada obliquamente com inclinação ,em t = 0, no plano z = z0, a uma velocidade inicial v0 a partir da altura y = h0, conforme ilustra a figura. Em determinado instante de sua

trajetória, a partícula é submetida a um campo magnético uniforme B = (0, B, 0), cuja intensidade varia ao longo do tempo de acordo com o gráfico. Sabendo que tf representa o instante em que a partícula encerra seu movimento no ponto D de coordenadas (xD,0,0), ao atingir o plano xz; que A e C designam as posições da partícula, respectivamente, em t = tf – 5 s e t = tf – 2 s; e que a resistência do ar pode ser desprezada, responda o que se pede: a) faça um esboço do gráfico da altura y da partícula versus o tempo t, desde seu lançamento até alcançar o ponto D,

explicitando a altura máxima alcançada, a do ponto A e a do ponto C, com os correspondentes tempos; e cx e cz do

ponto C. b) determine as coordenadas xC e zC do ponto C. Dados:

• plano de lançamento da partícula z = 0z = 225 3

m ;

• aceleração da gravidade: 2g 10m / s ;

• velocidade inicial: v0 = 100 m/s; • ângulo de lançamento da partícula: = 30º; • altura inicial da partícula: h0 = 280 m. Resolução: a) A descrição da força resultante será dada por:

Result BF mg F mg qv B

ma mg qv B

Temos, para a velocidade:

0 0v v cos i v sen gt j

v 100 cos30 i 100 sen30 10t j

v 50 3 i 50 10t j

Com isso, a força resultante fica:

1

1

ma mgj q 50 3i 50 10t j B j

ma mgj qB 50 3 k

Essa equação significa que no eixo y a partícula está sujeita apenas à força da gravidade! Desse modo, encontramos tf através da equação:

2

0 0y

2

f

f

1y y v t gt

2

0 280 50t 5t t 14s

t 4s

não convém!

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A f

c f

Para o ponto A

t t 5 14 5 9s

Para o Ponto C

t

C

t 2 14

om isso

2 12

:

s

Por fim, a equação que expressa a altura versus o tempo, será dada por:

2y 280 50t 5t

Graficamente:

y(m)

t(s)0

405

325

280

160

5 9 12 14

b) Projetando o movimento da partícula a partir de tA = 9 s , no plano xz, temos:

Um arco de circunferência.

x(m)

Z(m)

225 3R

225 3

cx C

AC

0zcz

450 3

R

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Seu raio será dado por:

1

mV m 50 3 450 3R

mqBq

9q

450 3R m

O seu período será dado por:

1

2 m 2 mT 18

mqBq

9q

T 18s

Desse modo, o ângulo será dado pela seguinte regra de três:

360 18s

3s

60

Por fim, as coordenadas do ponto C serão dadas por:

c

c

c

X 450 3 R sen60

450 3 3X 450 3

2

675X 450 3 994m

c

c

c

225 3Z R cos60 R

R 225 3Z

2

450 3 225 3Z 0

2

06. Um feixe de luz monocromática de seção reta de área A vindo de um meio com índice de refração n1 = 2 incide na superfície de separação entre dois meios. O ângulo de incidência é igual a 1 = 45º em relação à normal de separação com o outro meio, cujo índice de refração é n2. O feixe incidente separa-se em feixe refletido e feixe transmitido (refratado). Calcule o valor numérico do índice de refração n2. Dados:

• as intensidades dos feixes incidente, refletido e transmitido são iguais a Ii = 1 ; Ir = 1⁄3 e It = √2⁄3 , respectivamente.

Observação:

• despreze a energia absorvida.

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Resolução:

l r t

ot ot otP P P (conservação da energia)= +

l

I r tI A I A I A= +

I1 21 A A A

3 3 = +

I2 2A A

3 3 =

Decomposição do vetor área:

II

t t

ACos45º A A * Cos45º

A *

ACos A A * Cos

A *

= =

= =

Logo: t

2 2 2A * A * Cos

3 2 3 =

t

1Cos

3 =

2 2 2

t t t t

1 2Mas Sen Cos 1 Sen 1 Sen

3 3 + = + = =

Da Lei de Snell:

1 2 tn Sen45º n Sen =

2 2

2 22 n n 3

2 3 = =

t

t

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07.

Um recipiente de vidro contendo gás tem uma lente convergente e uma fonte sonora presas a um suporte (A) que desliza no trilho (B) a velocidade constante. Um feixe laser (C), que ilumina o objeto (D), forma imagens reais nítidas por duas vezes em (E), separadas por uma diferença de tempo Δt, sendo que, entre a formação dessas duas imagens, chegam n bips (pulsos sonoros de mesma duração) no detector (F) e n − 1 bips são emitidos pela fonte sonora. Considerando que o comprimento do recipiente é L e a distância focal da lente é f, determine a velocidade do som no gás. Resolução: 1. Análise das imagens formadas pela lente:

x y

x y L

1 1 1 Lxy Lf

f x y x y

1

2

2

L L 4fLx

2 2 2

L L 4fLx

2 2

Logo, x L x L f 0

L L 4Lfx

2

Distância entre as 2 posições da lente (d):

1 2d x x L(L 4 f)

Logo, d v t

onde v é a velocidade do carrinho (Fonte Sonora)

L(L 4 f)v (I)

t

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2. Seja n0 o número de bips emitidos pela fonte sonora.

v

Observador

E

Observador

F

Efeito Dopple Sonoro

Para o intervalo de tempo considerado,

somE 0

som

somD 0

som

Vf n 1 n (II)

V v

Vf n n (III)

V v

som somV v V v 2V(II) (III)

n n 1 2n 1

Pr opriedade aditiva

da proporção

som som

som

2n 2V V v

2n 1

V (2n 1)v (IV)

Substituindo (I) em (IV), vem que:

som

(2n 1) L(L 4f)V

t

08.

A figura apresenta três esferas de cargas positivas Q fixas nos vértices de um triângulo equilátero ABC de centro O e localizado no plano horizontal. Um corpo de massa m, posicionado no ponto D em t = 0, tem a ele grudadas milhares de micropartículas de cargas positivas e massas desprezíveis. O corpo sofre uma queda vertical até o ponto O. No

intervalo 0 t < 5/3 s, diversas micropartículas vão se soltando gradativamente do corpo, de modo que sua velocidade permanece constante.

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O restante das micropartículas desprende-se totalmente em t = 5/3 s, exatamente no ponto E, no qual o ângulo entre os segmentos AO e AE é de 30°. O corpo continua em movimento até atingir o plano ABC no ponto O em t = 8/3 s. Determine:

a) a velocidade do corpo no intervalo 0 t < 5/3 s; b) a altura inicial do corpo (comprimento DO) em t = 0; c) a carga do corpo imediatamente antes do instante t = 5/3 s, quando o restante das micropartículas se desprendeu; d) a carga inicial do corpo em t = 0. Observações: • considere a massa do corpo constante; • despreze as dimensões do corpo; • ao se desprenderem, as cargas das micropartículas não influenciam no movimento do corpo. Dados: • massa do corpo: m = 2,7 kg; • cargas fixas nos vértices do triângulo: Q = 10-4C; • aceleração da gravidade: g = 10 m/s2; • constante dielétrica do meio: k = 9 x 109 N m2/C2; • comprimentos dos lados do triângulo: L = 24 m. Resolução: Item (a)

O movimento do corpo desde o ponto E é uma queda livre com duração de 8 5

t 1s.3 3

= − =

Isso até o ponto O. Daí:

2

0 0

1y y V t g t

2= + +

2

0

24 10 V 1 10 1

3 2= − −

0 00 8 V 5 V 3m / s= − − =

Item (b)

O percurso DE foi realizado em movimento uniforme com velocidade calculada no Item(a). Assim:

I

0

5DE V t 3

3= =

DE 5m=

Portanto:

5

DO DE EO

DO 8 13

13mDO

= +

= + =

=

2L

3

E

L

3

O

L

2

A

L

3

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Item (c) No ponto E, temos o equilíbrio das forças. Então:

ele

2

9 4

2

5

3

3 F cos60º mg

qQ3 k cos60º mg

AE

3 9 10 q 10 12,7 10

216

q 10 512

q 5,12 10 C

q 5,12 mC

−

−

=

=

=

=

=

=

Item (d) Na situação inicial, em t=0, temos a seguinte configuração: No ponto D também temos equilíbrio de forças, então:

I

ele3F cos mg =

I

2

Q q3 k cos mg

AD

=

9 4 I

2

9 10 10 q 133 2,7 10

1919

− =

I 5 I 3

I

6859q 10 q 5,28 10 C

13

ou q 5,28 mC

− =

09.

A figura mostra o diagrama esquemático de um conversor eletromecânico que transforma a energia elétrica de entrada, fornecida pela fonte VT, em energia mecânica na saída, utilizada para acionar o eixo do rotor. Nesse conversor, toda a potência dissipada no resistor R2 é transformada em potência mecânica empregada para acionar o eixo. Sabendo que a velocidade angular do eixo é 1800 rpm, pede-se: a) o torque no eixo do conversor, considerando que os reostatos R1 e RC estão ajustados em 1 e em 50

respectivamente; b) a nova velocidade de rotação do eixo, em rpm, se o reostato R1 for ajustado para 2 e RC continuar ajustado

em 50 , sabendo que o torque no eixo do motor é proporcional ao produto das correntes Ic e Ip ; c) o que deve ser feito para que o torque desenvolvido pelo eixo, com R1 ajustado em 2 , volte a ser o mesmo das

condições de funcionamento do item (a). d) o rendimento do sistema para as mesmas condições de funcionamento do item (c).

E

8

O

A

16

8 3

O

13

D

19

A

8 3

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Resolução:

a) Temos

2 2

( .)

100 (1 9)I 10

9 10 900 900

P p

ot P ot diss

I A

P R I P W

= + =

= = = =

Daí

900 2

1800900 2 9 600 2 9 20

60

309,5

otP f

N m

= =

= =

=

b)

100100 (2 9)

11

1002

10 1011

10 2 11 11

10 30 3008,7

11 11

3008,7

11

P PI I A

N m

N m

= + → =

= = =

= =

=

2

2

100 10 30. 9

1111

100 3 3009 2

11 11

150 150 60 9000

11 11 11

9000818,2

11

otP

f

rpmf Hz Hz rpm

Hz

f rpm rpm

= =

= = =

= = =

=

c) Para que o torque volte a apresentar o valor constante do item (a) é preciso que:

o P o P´ ´

o o

1002 10 ´ ´ 2,2A

11

Assim

c c

500100 R ´ 2,2 R ´ 45,5

11

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Ou seja:

O reostato CR precisa ser ajustado para cR ´ 45,5

d) Temos

2

2

2

2

100.( )

1009

50011100 759

100 (2,2 )11

0,66 66%

P

o P

R I

I I

=

+

= =

+

10.

Um profissional de iluminação deseja projetar um sistema de feixe de luz capaz de iluminar o fundo reflexível de uma piscina e o gramado posicionado logo após o lado A. Sua ideia é submergir parcialmente um bloco maciço em formato de paralelepípedo reto, com uma fonte luminosa presa em sua base submersa B1, que emite um feixe de luz que percorre a trajetória mostrada na figura. O bloco é fixado por dois cabos horizontais presos a sua base não submersa B2 e ortogonais ao lado A da piscina, sendo um deles amarrado, por meio de roldanas, na tampa articulada do compartimento onde é guardado o material de limpeza da piscina e o outro, na árvore. Considere que a piscina esteja completamente cheia com água e que a tração aplicada nos cabos seja metade do seu valor máximo para ruptura, especificado pelo fabricante. Calcule: a) a altura L do bloco; b) a distância d em que o bloco deve ser posicionado, em relação ao lado A da piscina.

GGE RESPONDE

IME 2020

FÍSICA (2ª FASE)


Dados:

• profundidade da piscina: 3 m;

• índice de refração do ar: 1;

• índice de refração da água da piscina: 5/3;

• massa específica da água: 1 g/cm3;

• massa específica do material do bloco: 0,5 g/cm3;

• comprimento t da tampa: 1 m;

• massa da tampa: 8 kg;

• tração máxima até a ruptura nos cabos: 30 N;

• aceleração da gravidade: 10 m/s2. Observações:

• despreze o atrito e as dimensões das quatro roldanas;

• considere a árvore uma estrutura rígida;

• as roldanas estão fixas. Resolução:

a) Com os cabos presos a 2B são horizontais, o equilíbrio vertical nos dá:

2água sub bloco sub

Ld L g d Lg L= =

Como a piscina está cheia, a altura a que a tampa sobe é exatamente 2

sub

LL L− = . Do equilíbrio de rotação em

relação à base, temos

2

L

2 30T N=

80N P=

80 4 4 822 cos 1,62 4 60 3 5 5

LP P t

T sen tg sen L mT t

= = = = = = = =

b) Para que o feixe saia iluminando o gramado é necessário que incida na interface com ângulo crítico.

c

1,6m

1,4m

d

4,4m

3m

3 31 3,3

5 4 4,4c c c

dnsen sen tg d m

m = = = = =

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