Introduo ao Movimento do GiroscpioSamuel da Silva1, Centro de Engenharias e Cincias Exatas, Universidade

Estadual do Oeste do Paran, Campus de Foz do Iguau.

1 ObjetivosA taxa de variao do vetor momento angular L em relao a um ponto

qualquer s diferente de zero se houver aplicao de um torque externo.Por outro lado, a variao da direo do momento angular causada por umtorque externo pode causar um movimento chamado de precesso. Este mo-vimento traz um efeito interessante, principalmente em rotores, conhecidocomo efeito giroscpico. Neste sentido, esta nota apresenta sucintamentealguns aspectos bsicos para compreenso deste efeito e suas aplicaes namodelagem de sistemas mecnicos. Nenhum tratamento rigoroso ser feitoaqui. O docente espera resolver em sala alguns exemplos mais completos,em especial envolvendo um pio simtrico e um frisbee. de fundamentalimportncia que os alunos busquem ler e estudar na bibliografia fornecida docurso todos os tpicos apresentados na sequncia [1], [2], [3], [4], [5]. Outrafonte bastante interessante para um estudo mais avanado e aprofundado o livro clssico [6].

2 IntroduoUm corpo rgido girando em torno de um eixo de simetria definido

como um giroscpio. Assim, um pio, a roda de uma bicicleta, rotores e ata prpria terra so exemplos de giroscpios dentre muitos outros. Todos estessistemas tem uma caracterstica bem interessante que tem fascinado muitaspessoas: o efeito giroscpico. Este efeito parece a primeira vista desafiar asleis de equilbrio e gravitao, uma vez que sistemas com este efeito parecemser possuidores de inteligncia e vontade prpria.

O estudo do giroscpio para um caso geral bastante complicado, comoteremos oportunidade de ver ao estudar em detalhes daqui algumas o mo-vimento do pio. Neste primeiro instantes, iremos assumir um caso maissimples apenas para mostrar algumas ideias que sero aos poucos complica-dos para casos mais gerais. Consideramos um disco com massa M preso noponto O por uma barra com massa desprezvel em relao ao disco, visto na

1Sugestes, comentrios e correes so bem-vindos e podem ser feitos pelo emailsam.silva13@gmail.com.

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fig. (1). Esta barra presa ao ponto O que preso por sua vez ao pontoO por um fio tambm com massa desprezvel. O disco tem um momentode inrcia I em relao ao eixo OO que uma direo principal. O disco livre para girar em torno do eixo O O. Se mantermos a roda e a barraperpendicular ao eixo OO e soltarmos o movimento resultante ser umaoscilao no plano. Por outro, lado se conseguirmos manter esta roda girandocom velocidade angular em torno do eixo O O e se esta velocidade for grande, o sistema no vai mais cair como anteriormente. Esta velocidadeangular conhecida como rotao prpria ou spin. Alm de no cair elecomear a girar em torno do eixo O O vertical com uma velocidadeangular ! Este movimento chamado de precesso, fig. (2).

Figura 1: Exemplo de um giroscpio com torque externo.

O vetor momento angular L em relao ao eixo OO calculado como:

L = I (1)

este momento angular calculado em relao ao eixo OO, I o tensorde inrcia, que no caso diagonal, em especial para este exemplo, a velocidadeangular um vetor apontando para fora do eixo O O assumindo rotaono sentido anti-horrio, neste exemplo I = 1

2MR2 o momento de inrcia

de massa deste disco em relao a este eixo. Se desprezarmos o atrito eassumindo que a velocidade angular constante, o mdulo do vetor momentoangular possui mdulo tambm constante.

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Figura 2: Exemplo do movimento de precesso de um giroscpio com torqueexterno.

A nica fora que causa torque em torno do ponto O neste exemplo opeso P do disco. Assim:

T = rOO P (2)Este torque T causa uma variao na direo do vetor momento angular

L. A existncia de T faz L variar em sentido. A variao da direo do vetormomento angular L em relao ao eixo O O ocorre com uma velocidade. A partir da aplicao do produto vetorial temos o mdulo do torque:

T = Mgl (3)

Como j sabemos a taxa de variao do momento angular em torno de O igual ao torque em torno do mesmo ponto provocado pelo peso do disco:

d

dtL = T (4)

A eq. (4) pode ser descrita como2:2Lembrando que devemos descreve-la em uma base mvel para que o tensor de inrcia

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L = I + (I) + MrOCM aO (5)assim o mdulo da taxa de variao do momento angular L dado por:

L = I (6)

Note que a derivada relacionada a direo (L) a nica componentediferente de zero neste vetor, uma vez que a velocidade de spin constantee estamos posicionados em cima do centro de massa, assim o termo MraO nulo. A mudana da direo do vetor momento angular L acontece com avelocidade de precesso .

Igualando o torque responsvel por esta variao com a derivada do m-dulo do momento angular L temos:

Mgl = I (7)

que conduz a:

=Mgl

I(8)

A equao anterior mostra que se o spin for muito grande, a precesso pode ser desprezada. Caso a precesso no seja pequena h um outromovimento bem interessante chamado de nutao.

Este primeiro exemplo mostrou o efeito giroscpico causado por um tor-que externo. Um exemplo, talvez at mais interessante, corresponde a umgiroscpio sem torque externo. Imagine uma haste AA livre para girar emtorno do ponto O com atrito desprezvel, fig. (3). Supomos que exista umamassa m que equilibre o peso do disco na extremidade A. Assim o torqueresultante zero, portanto, o vetor momento angular L ser uma constante.Isto significa em outras palavras que a direo do vetor L no alterada permanece sempre na mesma direo. Se o disco girado com velocidade ,no h movimento de precesso, uma vez que no h torque3. Qualquer queseja a tentativa de mudar a direo do vetor L a reao ser sempre manteresta direo.

Este um exemplo bem simples de giroscpio usado na aviao para man-ter a direo constante, chamado de girocompasso. Na verdade, o sistemaresponde com uma reao bem grande em sentido contrrio a tentativa demudana de direo do vetor L. Na prtica, dificil manter um giroscpio

seja invariante3Note que mesmo se houvesse torque externo aplicado e a velocidade de spin fosse

muito, mas muito grande, tambm no haveria precesso e L manteria a sua direo!

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Figura 3: Exemplo de um giroscpio sem torque externo.

bem balanceado e com atrito pequeno, assim a ideia manter o rotor girandoem velocidade bem alta para manter a precesso nula, coisa que comumenteacontece em girocompasso para uso profissional. Este mesmo efeito res-ponsvel pelo equilbrio do pio, uma vez este posto para girar em torno doseu eixo de simetria (spin). O vetor momento angular sofrer uma variaoda sua direo causada pelo torque da fora peso uma vez o pio comece acair. Esta variao causa o movimento de precesso. Por fim, o pio tambmir tender a oscilar com uma velocidade de nutao at desestabilizar total-mente, uma vez que o seu spin vai diminuindo em razo do atrito com o solo.Interessante verificar que o pio permanece com seu movimento mesmo seo soltarmos em uma bandeja e andar com esta.

3 Aplicaes prticas do giroscpioO giroscpio tem sido empregado como indicadores de agulha, pilotos

automticos em navios, avies, msseis, alm de estabilizadores de navios,satlites, torpedos, etc. No projeto de mquinas, em especial mquinas ecomponentes rotativos, deve se tomar muito cuidado com os efeitos giros-cpicos. Algumas vezes estes efeitos so desejveis, porm na maior partedas vezes, estes efeitos so indesejveis e so obrigatrios considera-lo nomomento de especificar mancais e peas rotativas.

Atualmente, os rotores operam em velocidades cada vez mais elevadas ecom fatores de segurana mais baixos em virtude de requisitos econmicos,sendo assim as foras giroscpicas devem ser consideradas nos projetos demquinas visando maior robustez e segurana de operao. Alm disto desa-

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linhamento, desbalanceamento, roamento entre outros efeitos pode causarmovimentos angulares em rotores. O movimento de precesso em rotoresfaz com que as frequencias naturais da mquina sejam dependentes da rota-o de operao. Portanto, em um projeto de turbina, gerador, compressor,etc. devemos conhecer extamente como as frequncias naturais (velocidadescrticas) so alteradas conforme se varie a rotao de trabalho para garan-tir as melhores condies de trabalhos visando manter o sistema estvel eprodutivo.

Referncias[1] J. B. Neto. Mecnica Newtoniana, Lagrangiana e Hamiltoniana. Livraria

da Fsica, 1.o edition, 2004.

[2] J. L. Meriam. Engineering Mechanics: Dynamics, volume 2. John Wileyand Sons, 1986.

[3] I. F. Santos. Dinmica de Sistemas Mecnicos. Makron Books, 2001.

[4] N. A. Lemos. Mecnica Analtica. Livraria da Fsica, 2.o edition, 2007.

[5] J. E. Shigley. Dinmica das Mquinas. Edgard Blucher, 1961.

[6] R. F. Deimel. Mechanics of Giroscope. Dover Publications, 1950.

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