GOVERNO DO ESTADO DE SÃO PAULO SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO

E.E. Prof. João Evangelista da Costa

Plano de aula semanal 2º bimestre 2020

Professor: Lucas Tavares de Castro Disciplina: Matemática.

Série/Ano: 9ºB

Período de realização: 29/06 a 03/07/2020

Quantidade de aula: 6

Tema/ Conteúdo: Expressões algébricas: fatoração e produtos notáveis;

Resolução de equações polinomiais do 2º grau por meio de fatorações.

Habilidades a serem trabalhadas: (EF09MA09) Compreender os processos de

fatoração de expressões algébricas, com base em suas relações com os

produtos notáveis, para resolver e elaborar problemas que possam ser

representados por equações polinomiais do 2º grau.

Atividades a serem realizadas: Acompanhar CMSP e através de material

disponibilizado por esse meio, realizar a copia da matéria/roteiro de estudo e

realizar as atividades preferencialmente de forma legível e buscar tirar

duvidas a distancia.

Recursos utilizados: Arquivos digitais, aplicativo do CMSP, Google sala de

aula.

Instrumento de verificação da aprendizagem: Avaliação por atividades

encaminhadas digitalmente.

1) Como verificar e corrigir dados patrocinados https://youtu.be/TH3FaNRb8Po 2) Como baixar e logar no Aplicativo CMSP (Recuperar RA e Senha - Alunos e Professores)- Atualizado https://youtu.be/6zEsuzQSX5A 3) Como usar o CHAT e fazer live no CMSP - Alunos e Professores https://youtu.be/szeTE65GM0s 4) Como o aluno acessa as turmas criadas pela SED no Google Classroom - CMSP https://youtu.be/Nn7JVVKngoE 5) Verificando sua navegação e corrigindo dados patrocinados no Aplicativo do Centros de Mídias SP https://youtu.be/TH3FaNRb8Po 6) Como resetar a senha do aluno na SED https://youtu.be/gnrILgXVM6I 7) Como acessar a SED - Primeiro Acesso https://youtu.be/GLGx_JRUs7w

8) Como baixar emulador Android para usar o app CMSP no pc

https://youtu.be/qU_Tg0hYGeI

Lembrem-se de acessar o blog do João, toda semana serão postadas as

atividades de todas as disciplinas:

https://joaoevangelista149280874.wordpress.com/bem-vindoa/

Eu postarei no Google sala de aula as mesmas atividades/conteúdo que eu enviar

para o blog.

Entretanto no Google sala de aula e no chat do aplicativo do cmsp eu posso interagir

com vocês.

Código do Google sala de aula para quem quiser optar por entrar direto: 5ci2pau

Lembrando que você deve se identificar sempre caso use um email pessoal que não

tenha seu nome completo.

Vocês podem mandar suas duvidas e atividades, pelo Google sala de aula ou pelo

cmsp de terça a sexta de manhã, que eu estarei respondendo quando possível.

Peço que entrem em contato (respeitando o distanciamento social) com seus

colegas para que todos acessem pelo menos o blog do João e baixem as

atividades/matéria.

Uma dica que passo é que o representante de classe crie um grupo no „whatsapp‟

para que um possa ajudar o outro.

Fatoração

Vocês devem se recordar de ter visto fatoração certo? Bem vamos fazer uma

rápida recapitulação.

Basicamente fatorar uma expressão algébrica é escrevê-la na forma de uma

multiplicação.

Especificamente a fatoração é um processo utilizado na matemática que

consiste em representar um número ou uma expressão como produto de fatores. Ao

escrever um polinômio como a multiplicação de outros polinômios, frequentemente

conseguimos simplificar a expressão.

Fator Comum em Evidência:

Usamos esse tipo de fatoração quando existe um fator que se repete em

todos os termos do polinômio. Esse fator, que pode conter número e letras, será

colocado na frente dos parênteses. Dentro dos parênteses ficará o resultado da

divisão de cada termo do polinômio pelo fator comum. Na prática, vamos fazer os

seguintes passos:

1º) Identificar se existe algum número que divide todos os coeficientes do

polinômio e letras que se repetem em todos os termos.

2º) Colocar os fatores comuns (número e letras) na frente dos parênteses (em

evidência).

3º) Colocar dentro dos parênteses o resultado da divisão de cada fator do

polinômio pelo fator que está em evidência. No caso das letras, usamos a regra da

divisão de potências de mesma base.

Exemplo:

a) Qual é a forma fatorada do polinômio 12x + 6y - 9z?

Primeiro, identificamos que o número 3 divide todos os coeficientes e que não

existe nenhuma letra que se repete. Colocamos o número 3 na frente dos

parênteses, dividimos todos os termos por três e o resultado iremos colocar dentro

dos parênteses: 12x + 6y - 9z = 3 (4x + 2y - 3z)

Agrupamento

No polinômio que não exista um fator que se repita em todos os termos,

podemos usar a fatoração por agrupamento. Para isso, devemos identificar os

termos que podem ser agrupados por fatores comuns. Nesse tipo de fatoração,

colocamos os fatores comuns dos agrupamentos em evidência.

Exemplo Fatore o polinômio mx + 3nx + my + 3ny

Os termos mx e 3nx tem como fator comum o x. Já os termos my e 3ny

possuem como fator comum o y. Colocando esses fatores em evidência: x (m + 3n)

+ y (m + 3n) Note que o (m + 3n) agora também se repete nos dois termos.

Colocando novamente em evidência, encontramos a forma fatorada do polinômio:

mx + 3nx + my + 3ny = (m + 3n) (x + y)

Produtos notáveis

São multiplicações em que os fatores são polinômios. Existem cinco produtos

notáveis mais relevantes: quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da

soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença.

Quadrado da soma:

Os produtos entre polinômios conhecidos como quadrados da soma são os

do tipo: (x + a)(x + a)

O nome quadrado da soma é dado porque a representação por potência

desse produto é a seguinte: (x + a)2

A solução desse produto notável sempre será o polinômio a seguir:

(x + a)2 = x2 + 2xa + a2

Esse polinômio é obtido por meio da aplicação da propriedade distributiva da

seguinte maneira:

(x + a)2 = (x + a)(x + a) = x2 + xa + ax + a2 = x2 + 2xa + a2

A única diferença entre os resultados do quadrado da soma e da diferença é

um sinal negativo no termo do meio.

O quadrado da diferença:

(x – a)(x – a) Esse produto pode ser escrito da seguinte maneira por meio da

notação de potências:

(x – a)2 O seu resultado é o seguinte: (x – a)2 = x2 – 2xa + a2

Produto da soma pela diferença:

É o produto notável que envolve um fator com uma soma e outro com uma

subtração. Exemplo: (x + a)(x – a)

Não há representação em forma de potência para esse caso, mas sua

solução sempre será determinada pela seguinte expressão, também obtida com a

técnica do quadrado da soma:

(x + a)(x – a) = x2 – a2

Como exemplo, vamos calcular (xy + 4)(xy – 4). (xy + 4)(xy – 4) = (xy)2 – 162

Cubo da soma:

Com a propriedade distributiva, é possível criar uma “fórmula” também para

produtos com o seguinte formato: (x + a)(x + a)(x + a)

Na notação de potência, ele é escrito da seguinte maneira: (x + a)3

Por meio da propriedade distributiva e simplificando o resultado,

encontraremos o seguinte para esse produto notável:

(x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3

Diferença de Dois Quadrados:

Para fatorar polinômios do tipo a2 - b2 usamos o produto notável da soma pela

diferença.

Assim, a fatoração de polinômios desse tipo será:

a2 - b2 = (a + b) . (a - b)

Para fatorar, devemos calcular a raiz quadrada dos dois termos. Depois,

escrever o produto da soma dos valores encontrados pela diferença desses valores.

Exemplo

Fatorar o binômio 9x2 - 25.

Primeiro, encontrar a raiz quadrada dos termos:

√9x2 = 3x e √25 = 5

Escrever esses valores como produto da soma pela diferença:

9x2 - 25 = (3x + 5) . (3x - 5)

Cubo Perfeito

Os polinômios a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 e a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 resultam do

produto notável do tipo (a + b)3 ou (a - b)3.

Assim, a forma fatorada do cubo perfeito é:

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3

Para fatorar polinômios desse tipo, devemos calcular a raiz cúbica dos termos

ao cubo.

Exemplos

a) Fatorar o polinômio x3 + 6x2 + 12x + 8 Primeiro, vamos calcular a raiz

cúbica dos termos ao cubo:

3√ x3 = x e 3√ 8 = 2

Depois, confirmar se é cubo perfeito:

3 * x2 * 2 = 6x2

3 * x * 22 = 12x

Como os termos encontrados são iguais aos termos do polinômio, então é um cubo

perfeito.

Assim, a fatoração será:

x3 + 6x2 + 12x + 8 = (x + 2)3

Trinômio do Quadrado Perfeito:

Trinômio é um polinômio que tem três monômios sem termos semelhantes, veja

exemplos:

3x2+2x+1

20x3 + 5x – 2x2

Mas nem todo trinômio pode ser representado na forma de quadrado perfeito.

Para que um trinômio seja quadrado perfeito ele deve ter algumas características:

• Dois termos (monômios) do trinômio devem ser quadrados.

• Um termo (monômio) do trinômio deve ser o dobro das raízes quadradas dos dois

outros termos.

Veja um exemplo:

Dois membros do trinômio têm raízes quadradas e o dobro delas é o termo do meio,

então o trinômio 16x² + 8x + 1 é quadrado perfeito.

Então, a forma fatorada do trinômio é 16x² + 8x + 1 é (4x + 1)², pois é a soma das

raízes ao quadrado.

Equações polinomiais de 2º grau utilizando fatoração

Bem, vocês devem já ter visto equações do 2º grau não é mesmo?

Temos aqui que o produto de dois fatores é igual a 0.

E para que o produto de dois números reais seja zero, necessariamente um dos dois é zero, ou ambos iguais a zero.

Assim, x-2 = 0 ou x-3 = 0.

Dessa maneira, x = 2 ou x = 3 são as soluções da equação polinomial de 2º grau

Observe essas equações polinomiais de 2º grau indicadas a seguir:

Lembrando:

Uma equação do 2º grau é considerada completa quando os coeficientes b e c são diferentes de zero e é incompleta quando b= 0 ou c= 0, ou, ainda, b= 0 e c= 0.

Recordando a fórmula de Bhaskara

Onde a é o numero que está com a incógnita ao quadrado, b é o numero que acompanha a incógnita e c é o numero sem incognita.

Vamos ver passo a passo a resolução dos exemplos a seguir:

1) 16x² - 8x + 1=0

Primeiramente se nota que é uma equação do segundo grau completa.

Para fatorar ela vamos ver se ela é um Trinômios quadrado perfeito, para tal ela tem de obedecer estes conceitos:

(a+b)² = a²+2*a*b+b²

(a-b)² = a²-2*a*b+b²

Então no exemplo 1 podemos fazer o seguinte:

O primeiro termo é 16x²

Podemos tirar raiz dele? Sim, raiz de 16 é 4 e raiz de x² é x (raiz quadrada anula potencia quadrada) então temos 4x, e o mesmo vale para 1, raiz de 1 é 1 mesmo.

Note que o termo do meio é -8x então como é menos teremos um quadrado da diferença (a-b)² = a²-2*a*b+b²

Logo (4x – 1)² é a forma fatorada de16x² - 8x + 1

Para confirmar basta fazer isso:

(4x – 1)² é o mesmo que (4x – 1)* (4x – 1) afinal um numero elevado ao quadrado é ele vezes ele mesmo e todos os termos dentro do () estão incluídos para serem elevados.

Resolvendo (4x – 1)* (4x – 1) temos

4x * 4x +4x*(-1) -1*4x -1*-1

16x² -4x – 4x +1 = 16x² - 8x + 1.

Assim temos que ao fatorar 16x² - 8x + 1=0 temos (4x – 1)²=0

Agora como resolver?

Temos duas formas, considere ambos os lados da equação

(4x – 1)* (4x – 1)

E iguale a zero

4x-1= 0 4x-1= 0

4x=1 4x=1

x=1/4 x=1/4

Os dois lados coincidem logo x= ¼.

Ou podemos pegar o (4x – 1)²=0

E tirar a raiz de ambos os lados

√(4x – 1)² = √0

(4x – 1)=0

4x=1

x=1/4

Perceba que 16*(1/4)² - 8*(1/4) + 1=0 Pode pegar sua calculadora e conferir.

Vamos para mais um exemplo:

x²+17x+30=0

Vamos analisar o primeiro e o terceiro termo para verificar o trinômio quadrado perfeito.

X² é um quadrado perfeito pois a raiz dele é x.

Mas 30 não é um quadrado perfeito, sua raiz não dá um valor inteiro.

Quando isso ocorre não dá para usar o conceito de trinômio quadrado perfeito.

Neste caso você pode trabalhar com o produto de dois binômios:

(x+x1)*(x+x2)=0

Vamos usar o segundo e o terceiro termo da equação que queremos fatorar nesse produto de binômios:

Neste caso temos que ter dois números que somados igualem 17 e quando multiplicados resultem em 30.

Recomendo pensar quais números multiplicados resultam 30, exemplo 1*30 é 30 mas 1+30 não é 17.

Mas não precisa pensar muito para perceber que 2*15 = 30 e 2+15 =17

Coloque o 2 como x1 e o 15 como x2

x²+17x+30=0

|

(x+2)*(x+15)=0

Como o produto dos fatores é igual a zero então um deles é 0

x+2 = 0

x+15=0

x=-2

x=-15

temos aqui o conjunto solução:

x1=-2 e x2=-15

Você pode substituir x tanto por -2 quanto por -15 que você obterá 0 na equação inicial.

Agora resolva as equações a seguir fatorando elas: